5 Das Lebesgue Integral

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1 5 AS LEBESGUE INTEGRAL 5 as Lebesgue Integral er Remann sche Integralbegrff m R n, den wr m ersten (für n = 1) und drtten Kaptel kennengelernt haben, eröffnet uns de Möglchket zur Berechnung ener sehr großen Klasse von Integralen und recht für vele praktsch relevante Konfguratonen aus. Es ermöglcht darüber hnaus ene sehr anschaulche und ntutve Enführung. Es hat jedoch auch enge wesentlche Schwachpunkte. So st de Notwendgket der Unterschedung zwschen egentlchen und unegentlchen Integralen oftmals beschwerlch, und gerade n höheren mensonen (n 2) gerstalten sch zahlreche Bewese sehr technsch (man denke etwa an den Transformatonssatz). er zentrale Nachtel besteht jedoch n der Unvollständgket gewsser Funktonenmengen (etwa des Raumes C(Ω) der stetgen Funktonen auf ener Menge Ω R n ) bezüglch der Konvergenz n gewssen Integralnormen (etwa der L 2 -Norm, de de Konvergenz m quadratschen Mttel beschrebt). e Vollständgket st jedoch nsbesondere für Exstenzaussagen, z. B. Exstenz von Lösungen bestmmter parteller fferentalglechungen, oftmals unverzchtbar. Aus desem Grund müssen wr den Raum C(Ω) erwetern, doch auch der Raum der Remann-ntegrerbaren Funktonen erwest sch noch als zu klen. Erst der Raum L 2 (Ω) der m Quadratsnne Lebesgue-ntegrerbaren Funktonen st rechhaltg genug. Wr wollen daher n desem Kaptel den Remann schen Integralbegrff erwetern. Wesentlche Unterschede m Verglech zum bslang bekannten Remann-Integral snd we folgt gegeben: An engen Stellen snd anstatt endlcher Zerlegungen (etwa des Integratonsberechs Ω) abzählbar unendlche Zerlegungen zugelassen. Unbeschränkte Integratonsgebete Ω snd zugelassen. Unbeschränkte Integranden f : Ω R {± } snd zugelassen. Es gbt mehrere alternatve Zugänge zum Lebesgue-Integral. Alle führen aber zu denselben Ergebnssen. Wr verfahren n wetgehender Analoge zur Enführung des Remann-Integrals. 5.1 Lebesgue-Maß und messbare Mengen. Wr wollen ener möglchst großen Klasse von Mengen A des R n enen Inhalt bezehungswese en Maß zuordnen. Wr verwenden dazu endlche oder abzählbar unendlche Überdeckungen I A (1) durch (beschränkte offene, abgeschlossene oder auch halb-offene) kartessche Intervalle, d. h. I = I 1 I n R n. (2) abe snd auch degenererte Intervalle zugelassen. Für den Inhalt enes Intervalls I glt: I := I 1... I n (3) efnton 5.1 (Äußeres Lebesgue-Maß) as äußere Lebesgue-Maß ener Menge A R n st defnert durch µ (A) := nf { I, A I } (4) abe darf de Indexmenge m Gegensatz zur efnton des äußeren Jordan-Inhaltes auch unbeschränkt sen. In desem Fall kann das äußere Lebesgue-Maß auch den Wert µ (A) = annehmen. Es wrd µ ( ) = 0 gesetzt. 1

2 5 AS LEBESGUE INTEGRAL Wr erwetern de Arthmetk der reellen Zahlen auf R := R {, }, sodass a + := a R { } (5) a := a R + { } (6) 0 := 0 (7) amt st de Multplkaton n R mmer defnert. agegen bleben Ausdrücke der Form undefnert. as Lebesgue-Integral wrd weder mt Hlfe von Ober- und Untersumme bezüglch endlcher oder auch abzählbar unendlcher Zerlegungen defnert werden. Im Fall von unbeschränkten Funktonen benötgen wr herfür Regeln für Rehen mt Gledern aus R. Für 0 a k st S = a k wohldefnert mt dem Wert S = m Falle von dvergenten Rehen, oder wenn en a k = st. Für λ R glt: λa k = λ a k (8) (9) Wr werden außerdem unendlche doppelt ndzerte Summen betrachten: ( ) a j = = a j a j,j=1 j=1 j=1 (10) ese Bezehung glt, falls mndestens ene der Summen n R (!) absolut konvergert oder falls 0 a j für alle Summanden glt. 0 µ (A) µ ({a}) = 0 Lemma 5.2 Für das äußere Lebesgue-Maß gelten de folgenden Aussagen: () Aus A B folgt µ (A) µ (B) (Monotone) () Für endlche oder abzählbare Mengen (A ) glt µ ( A ) µ (A ) (σ-subaddtvtät) () Für beschränkte Mengen A µ (A) A a (das heßt für Jordan-quadrerbare Mengen) st µ (A) = A, d. h. her stmmen Jordan-Inhalt und äußeres Lebesgue-Maß überen. (v) as äußere Lebesgue-Maß st bewegungs-nvarant, das heßt nvarant gegenüber Translatonen, Spegelungen und rehungen. efnton 5.3 (Lebesgue-Nullmenge) Ene Menge A R n mt äußerem Lebesgue-Maß µ (A) = 0 wrd Lebesgue-Nullmenge (oder enfach Nullmenge) genannt. Glt ene Aussage fast überall n A, so glt se für alle Punkte von A bs auf de aus ener Nullmenge. Lemma 5.4 e Verengung von abzählbar velen Lebesgue-Nullmengen st weder ene Lebesgue- Nullmenge. Insbesondere snd abzählbare Mengen Lebesgue-Nullmengen. 2

3 5 AS LEBESGUE INTEGRAL Bewes: es folgt aus der σ- Subaddtvtät des äußeren Lebesgue-Maßes µ. Aus dem Lemma 5.4 folgt, dass zum Bespel de Menge Q n R n ene Lebesgue-Nullmenge st. Mt Hlfe des äußeren Lebesgue-Maßes wollen wr en Mengen-Maß defneren, welches zusätzlch zu den Egenschaften des Jordan-Inhaltes (Postvtät, Bewegungsnvaranz, Normerung und endlche Addtvtät) noch de σ-addtvtät bestzt, das heßt ( ) A R n, N, A A j = ( j) µ A = µ(a ). (11) Ahnlch we der Jordan-Inhalt kann auch das Lebesgue=-Maß ncht für alle Mengen des R n defnert werden, ncht enmal für n = 1 und n = 2. Wr beschränken uns daher soglech auf ene geegnete Telklasse von Mengen des R n. efnton 5.5 (Mengenalgebra) e Menge von nchtleeren Telmengen A P(X) (Potenzmenge) heßt Algebra auf X, wenn se X und enthält und wenn mt A, B A auch A \ B, A B, A B A. Se heßt σ-algebra, wenn zusätzlch mt A A, N auch I N A, N A, A. Ene Algebra st nach efnton abgeschlossen bezüglch (mengentheoretscher) fferenzenbldung, das heßt mt A A st auch X \ A A, und bezüglch endlcher Verengung, das heßt A, B A, st auch A B A Ene σ-algebra st zusätzlch noch abgeschlossen bezüglch abzählbar unendlcher Verengung. Für belebge, paarwese dsjunkte Mengen A A ( N) st A A. (12) Bespel: N () Für ene Menge X st A = {, X} de klenste Algebra und de Potenzmenge A = P(X) de größte σ-algebra auf X. () Für X = R n heßt de klenste σ-algebra, de alle offenen und alle abgeschlossenen Telmengen von X enthält, de Borel sche σ-algebra (Borel-Mengen) () Ist X R n ene Jordan-quadrerbare Menge, so st de Menge der Jordan-quadrerbaren Telmengen von X ene Algebra (aber kene σ-algebra). (v) Für ene Menge X und Telmenge A X st A = {, A, A c := X \ A, X} de klenste σ-algebra, de A enthält. e Menge A := [0, 1] \ Q, de en nchtleeres äußeres Maß (µ (A) = 1) hat, kann ncht durch Intervallsummen von nnen approxmert werden. Wr kommen nun zur efnton des Lebesgue-Maßes. Obwohl man auch her en nneres Lebesgue- Maß µ defneren könnte (das aber ncht analog zum nneren Jordan-Inhalt erklärt sen kann), beschreten wr her enen etwas anderen Weg, der von Caratheodory angegeben wurde und nur das äußere Maß µ benutzt. efnton 5.6 (Lebesgue Maß) Ene Menge A R n heßt Lebesgue-messbar (oder schlcht messbar), wenn mt jeder Menge E R n glt µ (E) = µ (E A) + µ (E A c ). (13) In desem Fall wrd µ(a) := µ (A) das Lebesgue-Maß von A genannt. e Menge der Lebesguemessbaren Telmengen des R n se mt L µ bezechnet. 3

4 5 AS LEBESGUE INTEGRAL Lemma 5.7 Für de Menge L µ P(R n ) der Lebesgue-messbaren Mengen des R n gelten folgende Aussagen: () Jede Lebesgue-Nullmenge st n L µ. () L µ st ene Algebra. () Alle Jordan-quadrerbaren Mengen snd n L µ. Satz 5.8 () e Menge L µ P(R n ) der Lebesgue-messbaren Mengen des R n bldet (über Aussage () des obgen Lemmas hnaus) ene σ-algebra, das heßt mt A, B, A L µ snd auch A c, A B, A B, A \ B, ese enthält alle Jordan-quadrerbaren Mengen. A, A n L µ. (14) () as Lebesgue-Maß st auf L µ bewegungsnvarant und stmmt auf den Jordan-quadrerbaren Mengen mt dem Jordan-Inhalt überen. Für A, B, A L µ glt: Lemma 5.9 µ(a \ B) = µ(a) µ(b) für B A, µ(b) (15) ( ) µ A = µ(a ) für A A j =, j (16) ( µ ( µ A ) = lm µ(a ) für A A +1 (17) A ) = lm µ(a ) für A +1 A, µ(a 1 ) < (18) () Für de fferenz zweer belebger Intervalle I, J R n gbt es ene endlche, dsjunkte arstellung I \ J = m I als Intervallsumme. () Jede endlche oder abzählbar unendlche Verengung von Intervallen S = I bestzt ene arstellung als Verengung S = j J j endlch bezehungswese abzählbar unendlch veler paarwese dsjunkter Intervalle J j. () Jede offene Menge A R n lässt sch als Verengung von höchstens abzählbar velen, paarwese dsjunkten Intervallen I darstellen, so dass glt: A = I, I I j = ( j) (19) Korollar 5.10 e Menge L µ P(R n ) enthält alle offenen und abgeschlossenen Mengen des R n sowe de abzählbaren Schntte (sogenannte G σ -Mengen) und Verengungen (sogenannte F γ -Mengen). ennoch gbt es Telmengen des R n, de ncht Lebesgue-messbar snd, d. h. L µ P(R n ). erartgen Mengen muss man aber mt dem Auswahl-Axom bzw. dem Zorn schen Lemma konstrueren. 5.2 as Lebesgue-Integral as Lebesgue-Integral wrd analog we das Remann-Integral mt Hlfe von Unter- und Obersummen engeführt, wobe de Arthmetk n R st, und Zerlegungen n abzählbar vele messbare Mengen statt endlch vele quadrerbare Mengen verwendet werden. 4

5 5 AS LEBESGUE INTEGRAL Konstrukton: Se R n ene messbare Menge. Wr betrachten abzählbare Zerlegungen Z = {B } von n messbare Telmengen B L µ, sodass = B, B B j =, j. (20) e Menge aller derartger Zerlegungen Z wrd mt Z() bezechnet. e Fenhet der Zerlegung Z st defnert durch Z := sup µ(b ) (21) B Z Wr sagen Z Z (Z st Verfenerung von Z), wenn alle B j Telmengen gewsser B j snd. Se f : R, dann defneren wr ene Unter- und Obersumme durch S Z (f) := S Z (f) := nf f(x)µ(b ), (22) x B sup f(x)µ(b ). (23) x B Ene Lebesgue sche Summe st mt Punkten ξ B weterhn gegeben durch LS Z (f, ξ) := f(ξ )µ(b ). (24) Für ene unbeschränkte Funkton kann es passeren, dass S Z (f) =, während sup k N S Zk (f) < für andere Zerlegungen glt. Bespel: = (0, 1] f(x) := 1 x Im Allgemenen wrd S Z (f) = sen (zum Bespel für jede endlche Zerlegung). Für de Zerlegung Z := {B = glt sup x B f(x) = + 1. es mplzert S Z (f) = ( 1 + 1, 1 ( 1 1 ) = ], N} (25) (26) <. (27) er eben beschrebene Sachverhalt erfordert de ausdrücklche Formulerung der folgenden Bedngung. efnton 5.11 (Bedngung (Z)) Se R n Lebesgue-messbar. Wr sagen, dass ene Funkton f : R de Egenschaft (Z) bestzt, wenn ene Zerlegung Z := {B } Z() exstert, sodass de zugehörge Obersumme von f endlch st: S Z ( f ) <. (28) amt snd dann auch de Ober- und Untersummen von f zu jeder Verfenerung von Z endlch und konvergeren absolut. ese Klasse von Zerlegungen Z Z() bezechnen wr mt Z f (). Lemma 5.12 () e Egenschaft (Z) ener Funkton f : R mplzert, dass de Menge der Sngulartäten f := {x : f(x) = ± } ene Lebesgue-Nullmenge st, das heßt µ ( f ) = 0. 5

6 5 AS LEBESGUE INTEGRAL () Ferner glt mt ener Zerlegung Z Z f () : (a) Für Verfenerungen Z, Z Z() von Z mt Z Z glt < S Z (f) S Z (f) S Z (f) S Z (f) <. (29) (b) Für belebge Verfenerungen Z, Z Z() von Z glt (c) Für jede Verfenerung Z Z() von Z glt S Z (f) S Z (f). (30) S Z (f) LS Z (f, ξ) S Z (f), (31) und für alle ɛ > 0 gbt es Sätze von Punkten ξ B und η B, so dass für de zugehörgen Lebesgue-Summen glt S Z (f) LS Z (f, ξ) ɛ (32) LS Z (f, η) S Z (f) ɛ (33) Wr defneren für Funktonen mt Egenschaft (Z) das Unter- und Oberntegral: J(f) = f(x)dx := sup S Z (34) Z Z(),Z Z J(f) = f(x)dx := nf S Z Z(),Z Z Z (35) Wr bekommen: (36) J(f) J(f) (37) J(f) = J( f) (38) e efnton st unabhängg von der Wahl der Zerlegungen Z Z f () efnton 5.13 (Lebesgue-Integral) Se R n Lebesgue-messbar. Snd für ene Funkton f : R mt Egenschaft (Z) hr Ober- und Unterntegral glech, so heßt der gemensame Wert das Lebesgue-Integral von f über, f(x)dx := J(f) = J(f) = J(f), (39) und de Funkton f wrd Lebesgue-ntegrerbar genannt. Man schrebt dann: f L(). Alle Remann-ntegrerbaren Funktonen snd Lebesgue-ntegrerbar. er Integralwert st glech. Lemma 5.14 (Egenschaften des Lebesgue-Integrals) () f L() genau dann, wenn de Bedngung (Z) glt und für alle ɛ > 0 ene Zerlegung Z ɛ Z() exstert mt S Zɛ (f) S Zɛ (f) < ɛ (Lebesgue sches Integratonskrterum). (40) () Ist f L() fast überall n glech g : R, so st auch g L() und J(f) = J(g). () Für f, g L() mt f g fast überall n glt J(f) J(g) (Monotone). (v) L() st en Vektorraum, und das Lebesgue-Integral st en lneares Funktonal auf L(), das heßt für f, g L(), α, β R st αf + βg L() und J(αf + βg) = αj(f) + βj(g). (41) 6

7 5 AS LEBESGUE INTEGRAL (v) Ist f L() und ϕ : R R Lpschtz-stetg mt ϕ(0) = 0, so st ϕ f L(). Also glt auch f, f +, f L(). (v) Se Z = {B k } Z() ene dsjunkte Zerlegung und f : R + {0} ene belebge Funkton. Ist f L(), so st für k N auch f L(B k ), und umgekehrt f(x)dx = f(x)dx (42) B k Satz 5.15 Ist R n quadrerbar und f : R Remann-ntegrerbar, so st f auf auch Lebesgue-ntegrerbar, und de entsprechenden Integrale haben denselben Wert. as Lebesgue-Integral st ene echte Erweterung des Remann-Integrals; es glt zum Bespel: f(x) : [0, 1] R, f(x) := { 1 x Q [0, 1] 0 sonst (43) st ncht Remann-ntegrerbar, aber wegen f = 0 fast überall st f Lebesgue-ntegrerbar mt 1 0 f(x) dx = 0. (44) as Lebesgue-Integral lässt sch analog zum Remann-Integral auch für f = (f 1,..., f d ) : R d komponentenwese defneren. Satz 5.16 (reecksunglechung) Ist R n messbar und f : R d Lebesgue-ntegrerbar, so st für jede Norm auf R d auch f( ) Lebesgue-ntegrerbar, und es glt f(x)d f(x) dx. (45) Integrabltätskrterum Wr führen nun das wchtge Konzept der Messbarket von Funktonen en. efnton 5.17 (Messbare Funkton) Se R n Lebesgue-messbar. f : R heßt Lebesgue messbar (messbar), wenn für alle α R de folgenden Mengen Lebesgue-messbar snd: N > α (f) := {x : f(x) > α}. (46) Lemma 5.18 Snd f k, f, g : R messbar, so snd auch de folgenden Funktonen messbar: nf k f k (x), sup k f k (x), lm nf k f k (x), lm sup k f k (x) f + := max{f, 0}, f := max{ f, 0} f p für p > 0 f + g, αf für α R, f g, 1 f für f 0 sofern de Funktonen von nach R wohldefnert snd. Lemma 5.19 Ist R n Lebesgue-messbar und f : R Lebesgue-ntegrerbar, so st f messbar. Satz 5.20 Ist R n Lebesgue-messbar, so st ene messbare Funkton f : R mt Egenschaft (Z), für de J(f) < glt, Lebesgue-ntegrerbar. Insbesondere st ene messbare Funkton f : R Lebesgue-ntegrerbar, falls se ene Lebesgue-ntegrerbare Majorante g L() bestzt, das heßt falls f g glt. 7

8 5 AS LEBESGUE INTEGRAL 5.3 Konvergenzsätze In der Enletung deses Kaptels hatten wr versucht, de Erweterung des Integrals hn zur Lebesgue schen Integratonstheore zu motveren. En weterer Nachtel des Remann-Integrals, aus dem sch letztlch de berets erwähnte Unvollständgket des Raumes R(Ω) der auf Ω R n Remannntegrerbaren Funktonen bzgl. der L 2 -Norm ergbt, st de nur unter starken Enschränkungen möglche Vertauschung von Remann-Integral und Lmesbldung. Wr wenden uns daher nun der Vertauschbarket des Lebesgue-Integrals mt Konvergenzprozessen zu und führen de wchtgsten desbezüglchen Konvergenzsätze an. abe werden wr sehen, dass de genannte Vertauschung von Integral und Lmes n der Lebesgue schen Theore unter wesentlch schwächeren Voraussetzungen glt. Satz 5.21 (Beppo Lev, monotone Konvergenz) Se R n messbar und (f k ) k N ene monoton wachsende Folge ncht negatver Funktonen f k L(), f k 0 mt sup k N f k(x)dx <. ann konvergeren de f k fast überall n gegen ene Lebesgue-ntegrerbare Grenzfunkton f L(), und es glt: lm f k (x)dx = k lm f k(x)dx = f(x)dx. (47) k es bedeutet gerade, dass Integral und Lmesbldung vertauscht werden dürfen. Korollar 5.22 Se R n quadrerbar und (f k ) k N ene Folge ncht negatver Lebesgue-ntegrerbarer Funktonen f k : R mt der Egenschaft ann st de Rehe und es glt sup n N s(x) := n f k (x)dx <. (48) f k (x) L(), (49) s(x)dx = f k (x)dx. (50) Korollar 5.23 (Satz von Beppo-Lev für Funktonen ohne Vorzechenbedngung) Se R n messbar und (f k ) k N ene monotone Folge von Funktonen f k L() mt f k : R mt der Egenschaft sup f k (x)dx <. (51) k N ann st f := lm k f k Lebesgue-ntegrerbar und f k (x)dx = lm k lm f k(x)dx = k f(x)dx. (52) Korollar 5.24 (Lemma von Fatou) Se R n messbar und (f k ) k N ene Folge ncht negatver Funktonen f k L() mt der Egenschaft f k (x)dx <. (53) ann glt sup k N lm nf f k(x)dx lm nf f k (x)dx. (54) k k 8

9 5 AS LEBESGUE INTEGRAL Ist zusätzlch sup f k g (55) k N mt enem g L(), so glt lm supf k (x)dx lm sup k k f k (x)dx. (56) Satz 5.25 (Satz von Lebesgue über majorserte Konvergenz) Se R n ene messbare Menge und (f k ) k N ene Folge von Funktonen f k L(), de fast überall gegen ene Funkton f auf konvergeren. e Folge (f k ) k N bestze ene Lebesgue-ntegrerbare Majorante, das heßt es exstere ene Funkton g auf mt f k g fast überall auf. ann st auch der Lmes f = lm k f k Lebesgue-ntegrerbar auf, und es glt lm f k (x) dx = lm f k(x) dx = f(x) dx. (57) k k Bewes: Wr können o.b.d.a. annehmen, dass de Funktonen f k und g überall n beschränkt snd, und dass (f k ) k N überall gegen f konvergert. Andernfalls werden de betreffenden Funktonswerte auf Nullmengen geändert, was de Werte der Lebesgue-Integrale ncht ändert. er Lmes f st messbar, durch g L() beschränkt und daher nach Satz 5.20 Lebesgue-ntegrerbar. e ncht-negatven Funktonen h m (x) := sup{ f k (x) f(x) : k m} (58) snd dann wegen h m (x) 2g(x) auch Lebesgue-ntegrerbar und streben monoton fallend gegen Null. Nach dem Korollar 5.23 folgt J(f k ) J(f) = J(f k f) J( f k f ) 0 (59) }{{} 0 k Für Lebesgue-Integrale können wr auch den Satz von Fubn und de Transformatonsregel bewesen. Satz 5.26 (von Fubn) Seen I x R n, I y R m (ncht notwendgerwese beschränkte) Intervalle mt dem kartesschen Produkt ann glt I = I x I y R n+m un f L(I). (60) () Für fast alle x I x st de Funkton f(x, ) : I y R auf I y Lebesgue-ntegrerbar. () e Funkton I y f(, y)dy : I x R st Lebesgue-ntegrerbar auf I x. () I f(x, y)d(x, y) = ( ) I x I y f(x, y)dy dx = ( ) I y I x f(x, y)dx dy. Satz 5.27 (Substtutonsregel) Se de Menge R n offen und φ : R n ene njektve und stetg dfferenzerbare Abbldung mt det(φ ) 0 n. ann st auch de Bldmenge φ() offen und damt Lebesgue-messbar. Ist f : φ() R Lebesgue-ntegrerbar, so st auch de Funkton Lebesgue-ntegrerbar und es glt φ() (f φ) det(φ ) : R (61) f(y)dy = f(φ(x)) det(φ (x)) dx. (62) 9

10 5 AS LEBESGUE INTEGRAL Satz 5.28 (Parameterntegral) Se B R m messbar und A R n offen, ferner se de Funkton f : A B R für alle festen x A Lebesgue-ntegrerbar auf B und für fast alle y B auf A nach x stetg dfferenzerbar. Weter gebe es ene Lebesgue-ntegrerbare Funkton g : B R mt x f(x, y) g(y) x A und für fast alle y B. ann glt () x f(x, y) st für jedes feste x A Lebesgue-ntegrerbar auf B. () as Parameterntegral F (x) = B f(x, y)dy st stetg dfferenzerbar mt der Abletung F (x) = x f(x, y)dy (63) Entsprechende Aussagen gelten auch für höhere Abletungen. efnton 5.29 (Absolut-stetge Funkton) Auf enem Intervall I R heßt ene Funkton f : I R absolut-stetg, wenn für alle ɛ R + en δ R + exstert, sodass für alle endlchen Mengen von offenen, dsjunkten Intervallen I k I glt B {I k = (a k, b k ), k = 1,..., m} (64) m I k < δ Lemma 5.30 Es gelten folgende Aussagen m f(b k ) f(a k ) < ɛ. (65) () Absolut-stetge Funktonen snd glechmäßg stetg. () Lpschtz-stetge Funktonen snd absolut-stetg. () Se f : I R absolut-stetg und ϕ Lpschtz-stetg auf f(i) ϕ f st auch absolut-stetg. (v) Ene absolut-stetge Funkton f st von beschränkter Varaton und darstellbar als fferenz zweer monotoner Funktonen g, h, d. h. f = g h. Satz 5.31 (Hauptsatz der fferental- und Integralrechnung) Für ene belebge Funkton f : I = [a, b] R glt. () Ist f absolut-stetg, so st es fast überall n I dfferenzerbar und f st Lebesgue-ntegrerbar und () Ist f Lebesgue-ntegrerbar, so st f(b) f(a) = F (t) := t b absolut-stetg mt f = F fast überall n I, das heßt F (t) = t a a a f (x)dx. (66) f(s)ds (67) f(s)ds F (t) = f(t). (68) 10

11 5 AS LEBESGUE INTEGRAL 5.4 Aufgaben zu Kaptel 5 Aufgabe 1 (Satz von der monotonen Konvergenz) Seen a > 0 und f : R R gegeben durch x { 1 a 2 x 2 für x < a, 0 für x a. Konstrueren Se explzt ene Folge (f k ) k N C(R) von auf ganz R stetgen Funktonen mt f k f, und zegen Se f(x) dx = π. R Aufgabe 2 (Nchtäquvalenz von Normen) Auf dem Raum C([ 1; 1]) der stetgen Funktonen f : [ 1; 1] R werden we folgt zwe Normen defnert (de Normegenschaften müssen Se ncht nachrechnen): Zegen Se: f := sup { f(x) x [ 1; 1] } ( 1 und f L 2 := (f(x)) dx) a) Es gbt en K > 0, sodass für alle f C([ 1; 1]) glt: f L 2 K f. b) Es gbt ken k > 0, sodass für alle f C([ 1; 1]) glt: f K f L 2. Tpp: Untersuchen Se für ε > 0 z. B. de Funktonen f ε (x) := ( { max 0, 1 ( ε 1 x ) }) 1 2 ε. Aufgabe 3 (Unvollständgket von C(I) bzgl. L 2) er Raum C([0; 2]) der stetgen Funktonen f : [0; 2] R se weder mt der Norm (de Normegenschaften müssen Se erneut ncht nachrechnen) ( 2 ) 1 f L 2 := (f(x)) 2 2 dx versehen. Zegen Se, dass C([0; 2]; L 2) ken Banachraum, d. h. ncht vollständg, st. 0 Tpp: Betrachten Se für k N z. B. de Funktonen f k mt f k (x) = x k für x [0; 1] und f k (x) = 1 für x (1; 2] und konstrueren Se enen geegneten Vektorraum V mt C([0; 2]) V R([0; 2]), wobe R([0; 2]) den Raum der auf [0; 2] Remann-ntegrerbaren Funktonen bezechnet. Auch heran erkennt man de Nchtäquvalenz der beden Normen und L 2, denn C([0; 2]; ) st bekanntlch en Banachraum. eses Ergebns motvert de Vervollständgung des Raumes C([0; 2]; L 2) zum Banachraum der m Lebesgue schen Snne quadratntegrerbaren Funktonen L 2 ((0; 2); L 2). 11