Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik

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1 Technsche Unverstät Dresden Fachrchtung Mathematk Insttut für Mathematsche Stochastk Vertelungskonvergenz für V und U Statstken baserend auf multplen stochastschen Integralen vom Wenertyp Dplomarbet zur Erlangung des ersten akademschen Grades Dplommathematker vorgelegt von Name: Scholz Vorname: Mchael geboren am: n: esng Tag der Enrechung: Betreuer: Prof. Dr. rer. nat. habl. Detmar Ferger

2 Inhaltsverzechns Enletung 1 1 V Statstken Vorbetrachtung Hoeffdng Zerlegung Degenererthet Q Brownsche Brücke Das multvarate G Q Integral Integraton von Elementarfunktonen Integraton von Funktonen endlcher Halbnorm Bekannte Bespele Vertelungskonvergenz Asymptotsches Verhalten Mehrdmensonale Verallgemenerung Identfzerung der Grenzvarablen Verallgemenerte Cramér v. Mses Statstk Der allgemene Fall Übertragung auf U Statstken Vertelungskonvergenz Identfkaton der Grenzvarablen Anhang A 97

3 Bezechnungen B σ Algebra der Borel Mengen λ ebesgue Maß δ x (A) Drac Maß F n (z) emprsche Vertelungsfunkton zu X 1,..., X n Q n emprsches Maß G n emprscher Prozess G Q Gauß Prozess B Brownsche Brücke Φ c (x 1,..., x c ) bedngte Erwartung EΦ(x 1,..., x c, X c+1,..., X m ) V n V nm (Φ) V Statstk zum Kern Φ U n U nm (Φ) U Statstk zum Kern Φ B(p, q) Betafunkton mt Parametern p, q > F p,q Betavertelung Γ Gammafunkton P n Jacob Polynom H n Hermte Polynom o P, O andau Symbole P 2 stochastsche Konvergenz Vertelungskonvergenz 2 Konvergenz, 2 Glechhet n Vertelung, m Mttel dsjunkte Verengung [x] größte ganze Zahl x, Skalarprodukt, R 2 Norm auf (Ω, A, P ), (S R, I R, Q R ) N, Ñ Norm auf F, F f K Enschränkung von f auf K f +, f Postv, Negatvtel von f ω(a, f) Oszllatonsmodul K Komplement der Menge K K Kardnaltät der Menge K δ j Kronecker Symbol 1I A Indkatorfunkton E Enhetsmatrx l.. m. lmes n medo Zur besseren Überscht werden wchtge Glechungen n den Kapteln durchnummerert. Im Untersched zu den ebenfalls chronologschen Nummern der Defntonen, Sätze etc. stehen de Nummern n Klammern.

4 Enletung Vor mehr als enem halben Jahrhundert wurde de Klasse der U Statstken von P. R. Halmos und Wassly Hoeffdng n de statstsche Praxs engeführt. Sether snd ene Rehe von Artkeln und ganze Bücher zu desem Thema erschenen. Etwa zur selben Zet regte R. von Mses de V Statstken an, deren Untersuchung der Hauptbestandtel deser Arbet sen soll. In der üblchen teratur werden aber zunächst de U Statstken betrachtet und als Folgerung überträgt man de gewonnenen Ergebnsse nebenbe auf de V Statstken. Im Vorlegenden wollen wr des umkehren, d. h. de V Statstken n den Vordergrund stellen. Zunächst werden auch wr de Hoeffdng Zerlegung für V Statstken erhalten und mt hr sehen, dass es für de asymptotsche Untersuchung ausrecht, sch auf solche mt vollständg degenererten Kernen zu beschränken. Dese ermöglchen aber de Darstellung n Form von multplen Integralen bzgl. des emprschen Prozesses. De Untersuchung der Vertelungskonvergenz auf der Bass von multplen stochastschen Integralen wrd dabe de Hauptaufgabe darstellen. Des erfordert zunächst ene geegnete Konstrukton enes solchen. Erste Schrtte auf dem Gebet der stochastschen Integraton wurden dabe von K. Itô gemacht, welcher das Multple Wener Integral [18] enführte. Im Zusammenhang mt den V Statstken wrd deses von A. A. Flppova [12] weder aufgegrffen und wrd von uns mt Hlfe enes Gauß Prozesses G Q zum multvaraten G Q Integral. We sch zegen wrd, erhalten wr de Vertelungskonvergenz gegen eben deses Integral. Ene Identfkaton der Grenzvarablen st mttels Hlbertraumtheore ebenso möglch, we de unproblematsche Übertragung der gewonnenen Ergebnsse auf de U Statstken. Dabe erhalten wr wetaus handhabbarere Ergebnsse als se z. B. von ee [2] gefunden werden. Herrn Prof. Dr. rer. nat. habl. D. Ferger möchte ch an deser Stelle für de Unterstützung und krtsche Beratung be der Fertgstellung deser Arbet danken. 1

5 Kaptel 1 V Statstken 1.1 Vorbetrachtung Behandelt werde der Parameter θ, der auf ener Menge Q von Vertelungen defnert se, d.h. θ θ(q), Q Q. Deser soll nun auf der Bass ener Stchprobe X 1,..., X n von unabhänggen dentsch mt Q : P X1 1 vertelten Zufallsvarablen, de messbare Abbldungen aus dem Wahrschenlchketsraum (Ω, A, P ) n den Maßraum (S, I) snd, geschätzt werden. Dazu se Φ : (S m, I m ) (R, B) ene symmetrsche Funkton, en sog. Kern vom Grad m, und erfülle θ EΦ(X 1,..., X m ). (1.1) Ene nähere Charakterserung deses Sachverhaltes erhält man durch de Anwendung des Transformatonssatzes (Theorem auf S. 121 n [1]), unter Ausnutzung der Unabhänggket der Varablen X sowe des Satzes von Fubn (Satz 2.1 auf S. 175 n [11]): θ Φ(X 1,..., X m )dp Ω Φ(x 1,..., x m )dp (X 1,..., X m ) 1 S m Φ(x 1,..., x m )dp X1 1 P Xm 1 S m Φ(x 1,..., x m )dq Q(x 1,..., x m ) S m... Φ(x 1,..., x m )Q(dx 1 )... Q(dx m ). (1.2) S S 2

6 Ersetzt man nun n (1.2) das unbekannte Q durch das emprsche Maß Q n Q n (A) : 1 n n δ X (A), (1.3) 1 wobe δ x für A I und festes x S das Drac Maß { 1, x A δ x (A) 1I A (x), x / A beschrebt, so erhält man de sog. V Statstk. Des se n der folgenden Defnton festgehalten. Defnton 1.1 Es seen X 1,..., X n unabhängge dentsch nach Q vertelte Zufallsvarablen n (S, I), Q n das zugehörge emprsche Maß und de Abbldung Φ : S m R en symmetrscher Kern vom Grad m, dann bezechnet man V n... Φ(x 1,..., x m )Q n (dx 1 )... Q n (dx m ) (1.4) als V Statstk oder von Mses Statstk. Das emprsche Maß wrd n desem Zusammenhang aufgrund der P fast scheren Konvergenz verwendet, denn es glt für alle A I Q n (A) 1 n n 1I A (X ) 1 n E1I A (X 1 ) 1I A (x)q(dx) Q(A) nach dem starken Gesetz der großen Zahlen (Satz 12.1 auf S. 86 n [2]) und dem Transformatonssatz. Ene wetere nützlche Darstellungsform der V Statstken lefert der folgende Satz. Satz 1.2 Es gelten deselben Annahmen we n Defnton 1.1. Dann lässt sch de V Statstk V n we folgt formuleren: V n V nm (Φ) 1 n m n 1 1 n Φ(X 1,..., X m ). (1.5) m1 Bewes: Betrachten wr zunächst das nnere Integral von (1.4): [ ] Φ(x 1,..., x m )Q n (dx 1 ) (1.3) 1 n Φ(x 1,..., x m ) δ X (dx 1 ) n 3 1

7 und erhalten 1 n 1 n n Φ(x 1,..., x m )δ X (dx 1 ) 1 n Φ(X, x 2,..., x m ). 1 Somt wrd (1.4) zu V n 1 n... n Φ(X 1, x 2,..., x m )Q n (dx 2 )... Q n (dx m ). 1 1 Wederholt man analog das Vorgehen für de verblebenden m 1 Integrale, so ergbt sch de Behauptung. Im Folgenden werden nun enge Bespele angegeben. Bespel 1.3 r tes Stchprobenmttel Φ(x) x r, θ(q) x r Q(dx) EX1, r θ(q n ) 1 n Bespel 1.4 Stchprobenvaranz n X r : µ r. 1 Φ(x 1, x 2 ) 1 2 (x 1 x 2 ) 2, θ(q) 1 (x 1 x 2 ) 2 Q(dx 1 )Q(dx 2 ) 2 1 { } x 2 2 1Q(dx 1 ) 2x 2 x 1 Q(dx 1 ) + x 2 2 Q(dx 2 ) 1 x 2 2 1Q(dx 1 ) x 1 Q(dx 1 ) x 2 Q(dx 2 ) + 1 x 2 2 2Q(dx 2 ) [ 2 x 2 Q(dx) xq(dx)] V arx 1, 4

8 θ(q n ) 1 n 2 1 2n 1 n n 1 n j1 n X 2 1 n 2 1 n Xk 2 k1 1 2 (X X j ) 2 1 n 2 [ 1 n n 1 [ n 2 X2 X n X j j1 n n X X j + 1 n Xj 2 2n 1 j1 j1 n ] 2 X k 1 n (X k µ 1 ) 2 : σ 2. n k1 k1 n j1 X 2 j ] Bespel 1.5 Stchprobenkovaranz () Wr betrachten X (Y, Z ) für 1 n unabhängg und nach Q auf R 2 vertelt. Des Weteren seen µ EY 1 sowe ν EZ 1 bekannt. Dann Φ(x) φ(y, z) (y µ)(z ν), θ(q) (y µ)(z ν)dq(y, z) Cov(Y 1, Z 1 ), R 2 θ(q n ) 1 n (Y µ)(z ν). n 1 () Snd nun µ und ν unbekannt, so erhalten wr mt µ : n 1 Y ν : n 1 Z und Φ(x 1, x 2 ) φ((y 1, z 1 ), (y 2, z 2 )) 1 2 (y 1 y 2 )(z 1 z 2 ), 1 θ(q) 2 (y 1 y 2 )(z 1 z 2 )dq(y 1, z 1 )dq(y 2, z 2 ) E(Y 1 Z 1 ) EY 1 EZ 1 Cov(Y 1, Z 1 ), θ(q n ) 1 n n 1 n 2 2 (Y Y j )(Z Z j ) 1 n Y Z 1 n n 2 1 j1 1 1 n (Y µ)(z ν). n 1 n Y n 1 j1 Z j Bespel 1.6 Wlcoxon Rangstatstk Φ(x 1, x 2 ) 1I {x1 +x 2 >} 5

9 θ(q) 1I {X1 +X 2 >}dp Ω P (X 1 + X 2 > ), θ(q n ) 1 n n n 2 1 j1 1I {X +X j >}. Bespel 1.7 Gns mttlere Dfferenz Φ(x 1, x 2 ) x 1 x 2, θ(q) E X 1 X 2, θ(q n ) 1 n n X n 2 X j. 1 j1 Bespel 1.8 χ 2 Statstk für goodness-of-ft Wr betrachten ene Partton A 1,..., A r von R n Intervalle sowe X, de weder für 1 n unabhängg und dentsch nach enem unbekannten Q vertelt snd. De Anzahl der X, welche n A l legen, soll dabe mt n l gezählt werden und es se p l Q (A l ) sowe folglch l p l 1, wobe Q ene bekannte hypotetsche Vertelung se. Unter H : Q Q erhalten wr damt 1 Φ(x 1, x 2 ) 1I Al (x 1 )1I Al (x 2 ) 1, p l l1 [ ] 1 θ(q) 1I Al (x 1 )1I Al (x 2 ) 1 dq(x 1 )dq(x 2 ) p l l1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 dq 1 dq p l, p l l1 A l p l l1 A l [ θ(q n ) 1 n n ] 1 1I n 2 Al (X )1I Al (X j ) 1 p 1 j1 l l1 ( ) 1 n 2 l n 2 l n. n 2 p l n n p l l1 Bespel 1.9 verallgemenerte Cramér v. Mses Statstk Φ(x 1, x 2 ) + l1 (1I {x1 z} Q (z))(1i {x2 z} Q (z))w(q (z))dq (z), 6

10 wobe Q ene bekannte Vertelungsfunkton st und w ene Gewchtsfunkton, we z. B. w(t) 1 oder w(t) (t(1 t)) 1, θ(q) (Q Q ) 2 w(q )dq, θ(q n ) 1 n 2 n n 1 j1 + + (1I {X z} Q (z))(1i {Xj z} Q (z))w(q (z))dq (z) (F n (z) Q (z)) 2 w(q (z))dq (z), wobe F n (z) de emprsche Vertelungsfunkton zu X 1,..., X n st. 1.2 Hoeffdng Zerlegung Um ene wchtge Egenschaft der V Statstken beschreben zu können, st es nützlch, de bedngten Erwartungen Φ c (x 1,..., x c ) EΦ(x 1,..., x c, X c+1,..., X m ) E(Φ(X 1,..., X m ) X 1 x 1,..., X c x c ) für alle c 1,..., m 1 enzuführen und Φ m Φ zu setzen. Defneren wr noch de sog. kanonschen Funktonen g 1,..., g m rekursv n der folgenden Wese, (vgl. S. 2 n [19]) g 1 (x 1 ) Φ 1 (x 1 ) θ g 2 (x 1, x 2 ) Φ 2 (x 1, x 2 ) g 1 (x 1 ) g 1 (x 2 ) θ g 3 (x 1, x 2, x 3 ) Φ 3 (x 1, x 2, x 3 ) g 1 (x ). g m (x 1,..., x m ) Φ m (x 1,..., x m ) m 1 1 < 2 < < m 1 m 1 <j 3 g 1 (x 1 ) g 2 (x, x j ) θ 1 1 < 2 m g 2 (x 1, x 2 ) g m 1 (x 1,..., x m 1 ) θ, (1.6) so snd alle Hlfsmttel gegeben, um den zentralen Satz der Hoeffdng Zerlegung anzugeben und zu bewesen. Zuvor se jedoch noch auf ene Egenschaft der bedngten Erwartungen Φ c sowe auf Egenschaften der m Weteren als symmetrsche Kerne benutzten Funktonen g k n den folgenden emmata hngewesen. 7

11 emma 1.1 Für 2 k m glt Φ k 1 (x 1,..., x k 1 ) EΦ k (x 1,..., x k 1, X k ). Bewes: Mt dem Transformatonssatz und dem Satz von Fubn erhalten wr EΦ k (x 1,..., x k 1, X k ) Φ k (x 1,..., x k )dq(x k ) EΦ(x 1,..., x k, X k+1,..., X m )dq(x k )... Φ(x 1,..., x m )dq(x k+1 )... dq(x m )dq(x k )... Φ(x 1,..., x m )dq(x k )... dq(x m ) EΦ(x 1,..., x k 1, X k,..., X m ) Φ k 1 (x 1,..., x k 1 ). emma 1.11 De Funktonen g k : S k R, 1 k m, snd symmetrsch und es glt für Q k 1 fast alle (x 1,..., x k 1 ) S k 1 Eg k (x 1,..., x k 1, X k ). (1.7) Bewes: De Symmetre der Funktonen g k folgt aus hrer Defnton und der Symmetre der Φ c. De Egenschaft (1.7) lässt sch mttels Indukton zegen. Wr gehen somt von der Gültgket von Eg l (x 1,..., x l 1, X k ) für alle 1 l k 1 aus und erhalten als Induktonsanfang für l 1 mt dem Transformatonssatz und dem Satz von Fubn Eg 1 (X 1 ) EΦ 1 (X 1 ) θ Φ 1 (x 1 )dq(x 1 ) θ EΦ(x 1, X 2,..., X m )dq(x 1 ) θ... Φ(x 1,..., x m )dq(x 2 )... dq(x m )dq(x 1 ) θ... Φ(x 1,..., x m )dq(x 1 )... dq(x m ) θ EΦ(X 1,..., X m ) θ (1.1). 8

12 Der Induktonsschrtt lefert schleßlch den Bewes, denn mt der neartät des Erwartungswertes und mt (1.6) folgt Eg k (x 1,..., x k 1, X k ) EΦ k (x 1,..., x k 1, X k ) θ k 1 d1 k 1 d1 1 1 < < d k < < d 1 k 1 g d (x 1,..., x d ) Eg d (x 1,..., x d 1, X k ). Nach der Induktonsvoraussetzung verschwnden aber alle Eg l (x 1,..., x l 1, X k ) für 1 l k 1 und somt EΦ k (x 1,..., x k 1, X k ) θ k 1 d1 1 1 < < d k 1 Nutzen wr noch emma 1.1, so erhalten wr und schleßlch weder mt (1.6) Φ k 1 (x 1,..., x k 1 ) θ k 1 d1 1 1 < < d k 1 g d (x 1,..., x d ). g d (x 1,..., x d ) Φ k 1 (x 1,..., x k 1 ) Φ k 1 (x 1,..., x k 1 ). Satz 1.12 (Hoeffdng Zerlegung) Gegeben seen de symmetrschen Kerne g k we oben beschreben für k 1,..., m und somt de auf hnen baserenden V Statstken. Dann glt V nm (Φ) θ m k1 ( m k ) Vnk (g k ). (1.8) Bewes: Nach der Defnton von g m n (1.6) lässt sch Φ durch g 1,..., g m ausdrücken: m Φ(X 1,..., X m ) g k (X j1,..., X jk ) + θ. (1.9) k1 1 j 1 <j 2 < <j k m 9

13 Somt folgt nach Satz 1.2, Glechung (1.9), der Betrachtung von θ sowe dem Vertauschen der Summen V nm (Φ) θ (1.5) 1 n m (1.9) 1 n m 1 n m n 1 1 n 1 1 n 1 1 n Φ(X 1,..., X m ) θ m 1 n { m m1 n { m m n m nm θ θ 1 m { n n m k1 1 1 k1 1 j 1 <j 2 < <j k m k1 1 j 1 <j 2 < <j k m n { m 1 1 j 1 <j 2 < <j k m } g k (X j1,..., X jk ) + θ θ } g k (X j1,..., X jk ) }} g k (X j1,..., X jk ). Beachtet man nun, dass n der nneren Summe ( m k ) Summanden schleßlch durch de m k letzten Summen, also für de Indzes k+1,..., m, aufsummert werden können, so erhält man V nm (Φ) θ 1 n m m m { n k1 k1 m ( m k k1 ( m k ) 1 n k 1 1 n 1 1 ) Vnk (g k ). n k 1 ( m k } ) n m k g k (X 1,..., X k ) n g k (X 1,..., X k ) k Degenererthet Ene wchtge Egenschaft der symmetrschen Kerne g k wrd festgehalten n Defnton 1.13 Es seen g k de symmetrschen Kerne der V Statstk V nm (Φ). Dese bzw. hr Kern werden als d degenerert bezechnet und d als Rang der V Statstk, falls g 1 g d 1 Q fast überall, g d (1.1) für 1 d m glt. Im Fall d m sprcht man häufg auch von vollständger Degenererthet. 1

14 Bemerkung 1.14 () Ene äquvalente Formulerung für de Egenschaft der d Degenererthet st V ar Φ 1 V ar Φ d 1, V ar Φ d >. () Für vollständg degenererte Kerne Φ glt be θ Bewes: EΦ(x 1,..., x m 1, X m ), für Q m 1 fast alle (x 1,..., x m 1 ) S m 1. () Aus (1.6) folgt V ar Φ k V ar [ k l1 1 1 < < l k ] g l (X 1,..., X l ) + θ, was offenschtlch genau dann verschwndet, wenn g 1 g d 1 für 1 k d 1, so dass sch für g d ergbt. V ar Φ d V ar g d (X 1,..., X d ) > () Aus der Defnton der bedngten Erwartungen Φ c und (1.6) folgt EΦ(x 1,..., x m 1, X m ) Φ m 1 (x 1,..., x m 1 ) m 1 l1 1 1 < < l m 1 g l (x 1,..., x l ) + θ, was genau dann verschwndet, wenn g 1 g m 1 und θ. Im nun folgenden Satz wollen wr solche d degenererte V Statstken betrachten. Dazu benutzen wr für Zufallsvarablen R n R n o P (n s ) : n s R n P, de stochastsche Verson der n der Analyss verwendeten andau Symbolk. 11

15 Satz 1.15 Es se V nm (Φ) ene d degenererte V Statstk mt hren zugehörgen symmetrschen Kernen g k. Dann glt n d/2 (V nm (Φ) θ) ( m d ) n d/2 V nd (g d ). (1.11) Bewes: Betrachten wr zunächst V nm (Φ) und nutzen de Hoeffdng Zerlegung sowe de Degenererthet: V nm (Φ) θ (1.8) m k1 ( m k ) Vnk (g k ) (1.1) ( m d ) Vnd (g d ) + m kd+1 ( m k ) Vnk (g k ). } {{ } :R n Wr werden n Satz 3.9 sehen, dass n k/2 V nk (g k ) n Vertelung konvergert. Damt erhalten wr n d/2 R n m kd+1 m kd+1 o P (1), ( m k ) n d/2 V nk (g k ) ( m k ) n (d k)/2 }{{} n, da k>d n k/2 V nk (g k ) }{{} ξ was mt dem emma von Slutsky (Korollar 5.84 auf S. 76 n [3]) folgt. Bespel 1.16 Für d 1 erhalten wr durch den zentralen Grenzwertsatz (Satz auf S. 155 n [14]) n 1/2 (V nm (Φ) θ) ( ) m 1 n 1/2 V n1 (g 1 ) m 1 n n g 1 (X ) 1 N(µ, σ 2 ) N(, σ 2 ), wobe nach emma 1.11 µ me(g 1 (X 1 )) und σ 2 m 2 V ar(g 1 (X 1 )) m 2 E(g 1 (X 1 ) 2 ). 12

16 Satz 1.15 zegt also, dass man sch be der asymptotschen Betrachtung von V Statstken auf solche beschränken kann, deren Kerne vollkommen degenerert snd. Nutzt man dese Tatsache sowe emma 1.11 und defnert den emprschen Prozess G n : n 1/2 (Q n Q), (1.12) so erhält man n d/2 V nd (g d ) (1.4) n d/2 (1.7) n d/ g d (x 1,..., x d )Q n (dx 1 )... Q n (dx d ) g d (x 1,..., x d )(Q n Q)(dx 1 )... (Q n Q)(dx d ) g d (x 1,..., x d )G n (dx 1 )... G n (dx d ). (1.13) Des bedeutet, dass sch V Statstken als multple stochastsche Integrale bzgl. des emprschen Prozesses darstellen lassen. Dazu Defnton 1.17 Se f : S m R ene symmetrsche Abbldung, dann bezechnen wr I m (f, G n ) :... f(x 1,..., x m )G n (dx 1 )... G n (dx m ) als multvarates G n Integral. 1.4 Q Brownsche Brücke Im nun Folgenden wollen wr ene Funkton f 2 (S, I, Q) betrachten, d. h. de Abbldung f : S R st I messbar und erfüllt f 2 dq <. Beachtet man, dass es sch be dem n (1.12) defnerten emprschen Prozess um en zufällges Maß handelt, kann man de Funkton f n Bezug darauf ntegreren. Es ergbt sch G n (f) : fdg n S ( ) (1.12) n 1/2 fdq n fdq S S ( ) (1.3) n 1/2 1 n f(x ) Ef(X 1 ) n 1 1 n (f(x ) Ef(X 1 )). (1.14) n 1 13

17 Da de Zufallsvarablen X unabhängg und dentsch vertelt snd, glt des auch für de Summanden n (1.14) (Satz auf S. 78 n [14]), de darüberhnaus noch zentrert snd. Nach dem zentralen Grenzwertsatz folgt wobe σ 2 V ar f(x 1 ). G n (f) N(, σ 2 ), Deses Vorgehen lässt sch auf endlch vele Funktonen f 1,..., f k 2 (S, I, Q) ausdehnen. Für de dadurch entstehende Folge von unabhänggen, dentsch vertelten und zentrerten Zufallsvektoren glt nach dem mehrdmensonalen zentralen Grenzwertsatz (CT) (Satz auf S. 358 n [14]) (G n (f 1 ),..., G n (f k )) N k (, Γ), mt der Kovaranzmatrx Γ, deren Elemente sch für 1, j k durch Γ j Cov(f (X 1 ), f j (X 1 )) f f j dq f dq f j dq bestmmen. Se nun G Q {G Q (f) : f 2 (S, I, Q)} en zentrerter Gauß Prozess mt der Kovaranzfunkton c(f, g) EG Q (f)eg Q (g) f g dq f dq g dq. En solcher Prozess exstert gemäß Theorem auf S. 443 n [1], denn für jede endlche Menge f 1,..., f k st (c(f, f j )) 1,j k ene ncht negatv defnte Kovaranz-Matrx. Da deser Prozess m Folgenden ene zentrale Rolle spelt, wrd er festgehalten n Defnton 1.18 Der obge zentrerte Gauß Prozess G Q mt der Kovaranzfunkton c(f, g) EG Q (f)g Q (g) f g dq f dq g dq (1.15) heßt Q Brownsche Brücke. Ferner gelte für alle A I G Q (A) : G Q (1I A ). (1.16) Bemerkung 1.19 Für belebge Mengen A, B I folgt somt aus (1.16) EG Q (A)G Q (B) 1I A 1I B dq 1I A dq 1I B dq Q(A B) Q(A)Q(B). 14

18 Snd A und B dsjunkt, erhalten wr daraus { Q(A)(1 Q(A)), falls A B, EG Q (A)G Q (B) Q(A)Q(B), falls A B. Bespel 1.2 Se S das Intervall [, 1], I de σ Algebra der Borelmengen über S und Q das ebesgue Maß λ. So erhält man mt B (t) : G λ (1I [,t] ), t 1, (1.17) EG λ (1I [,t] )G λ (1I [,s] ) 1 s(1 t) 1I [,t] 1I [,s] dλ 1 1I [,t] dλ 1 1I [,s] dλ für s t 1 den als Brownsche Brücke bekannten Gauß Prozess (vgl. auf S. 445 n [1] bzw. auf S. 383 n [2]). We gesehen, konvergeren de endlch dmensonalen Randvertelungen von G n {G n (f) : f 2 (S, I, Q)} gegen de des Gauß Prozesses G Q, d. h. (G n (f 1 ),..., G n (f k )) (G Q (f 1 ),..., G Q (f k )) für alle f 1,..., f k 2 (S, I, Q). Deser soll deshalb m Folgenden zur Defnton enes Integrals I d (g d, G Q ) benutzt werden. Zel deser Konstrukton soll dabe sen, dass de Vertelungen der n Glechung (1.13) als multples stochastsches Integral bzgl. des emprschen Prozesses beschrebenen V Statstk gegen de Vertelung des noch näher zu untersuchenden Integrals I d (g d, G Q ) konvergeren. Das Problem der Defnton und de Frage der Vertelungskonvergenz I d (g d, G n ) werden n den nächsten Kapteln untersucht. I d (g d, G Q ) 15

19 Kaptel 2 Das multvarate G Q Integral In desem Kaptel werden we be den klassschen Integraldefntonen zunächst elementare Funktonen betrachtet und dese auf Wohldefnerthet und neartät untersucht. Anschleßend erfolgt deren Fortsetzung auf Funktonen, de ene endlche Halbnorm bestzen. 2.1 Integraton von Elementarfunktonen Für unsere weteren Betrachtungen gehen wr von ener Zerlegung der Menge S n paarwese dsjunkte Mengen A, 1 r aus, d. h. es se A 1... A r S. Wr betrachten nun de spezellen Elementarfunktonen f : S m R folgender Gestalt f(x 1,..., x m ) 1 1 f 1... m 1I A1 A m (x 1,..., x m ), (2.1) m 1 mt A 1,..., A r I paarwese dsjunkt, f 1... m R sowe r N und bezechnen mt E den Raum deser Elementarfunktonen f. Es st also E 2 (S m, I m, Q m ). En Bespel für ene solche Elementarfunkton wrd dabe n Abbldung 2.1(b) (a) 1I F E (b) 1I A C + 1I B A + 1I C B E Abbldung 2.1: Elementarfunktonen 16

20 gegeben, wobe S 2 [, 1] 2 gewählt wurde. In Abbldung 2.1(a) beachte man hngegen, dass de Funkton 1I F mt F [, 1] 2 auch nur zwe Werte annmmt, aber ncht n E legt. emma 2.1 De Funkton f 2 (S m, I m, Q m ) habe de Darstellungen f(x 1,..., x m ) a 1... m 1I A1 A (x m 1,..., x m ) 1 1 s j 1 1 m 1 s b j1...j m 1I Bj1 B jm (x 1,..., x m ) j m 1 mt A 1,..., A r, B 1,..., B s I paarwese dsjunkt, r 1 A s j1 B j S, a 1... m, b j1...j m R und r, s N. Dann glt fast scher: 1 1 a 1... m G Q (A 1 )... G Q (A m ) m 1 s j 1 1 s b j1...j m G Q (B j1 )... G Q (B jm ). j m 1 Für den Bewes deses emmas st entschedend, dass man den Gauß Prozess G Q näher untersucht. Bemerkung 2.2 Der Gauß Prozess G Q st en zufällges Maß, d.h. er erfüllt () G Q ( ) fast scher sowe () für alle paarwese dsjunkten Mengen A 1, A 2 I fast scher G Q (A 1 + A 2 ) G Q (A 1 ) + G Q (A 2 ). Bewes: Mt Hlfe von (1.15) und (1.16) aus Defnton 1.18 ergbt sch () EG Q ( ) 2 1I dq ( 1I dq ) 2 Q( ) Q( ) 2. Beachtet man noch, dass G Q zentrert st, so folgt de Behauptung. () Beachtet man de Dsjunkthet von A 1 und A 2, d.h. 1I A1 1I A2, sowe de Addtvtät des Maßes Q, so folgt E(G Q (A 1 + A 2 ) (G Q (A 1 ) + G Q (A 2 ))) 2 E [ G Q (A 1 + A 2 ) 2] 2E [G Q (A 1 + A 2 )(G Q (A 1 ) + G Q (A 2 ))] + E [ (G Q (A 1 ) + G Q (A 2 )) 2] Q(A 1 + A 2 ) (Q(A 1 + A 2 )) 2 + 2Q(A 1 + A 2 )(Q(A 1 ) + Q(A 2 )). Q(A 1 ) Q(A 2 ) (Q(A 1 )) 2 (Q(A 2 )) 2 2Q(A 1 )Q(A 2 ) 17

21 Bewes emma 2.1: Aus r 1 A s j1 B j S folgt und somt sowe S m r 1 1 r m1 A 1 A m s j 1 1 s j m1 B j1 B jm A 1 A m (A 1 A m ) S m s s ((A 1 A m ) (B j1 B jm )) j 1 1 s j 1 1 j m 1 s (A 1 B j1 ) (A m B jm ), (2.2) j m1 B j1 B jm (B j1 B jm ) S m r r ((A 1 A m ) (B j1 B jm )) 1 1 r 1 1 m 1 r (A 1 B j1 ) (A m B jm ). (2.3) m1 Damt lässt sch aber de Funkton f nun we folgt darstellen f(x 1,..., x m ) m 1 j 1 1 m1 j 1 1 s s s a 1... m 1I (A1 B j1 ) (A m B jm ) (x 1,..., x m ) j m 1 s b j1...j m 1I (A1 B j1 ) (A m B jm )(x 1,..., x m ) j m1 und man erkennt, dass a 1... m b j1...j m st für alle 1,..., m, j 1,..., j m mt (A 1 B j1 ) (A m B jm ), d. h. mt A k B jk für 1 k m. Betrachten wr nun G Q und nutzen dessen n Bemerkung 2.2 festgestellte endlche Addtvtät, so ergbt sch für alle 1 k r, 1 j k s, 1 k m ( s ) s G Q (A k ) G Q (A k S) G Q (A k B jk ) G Q (A k B jk ) j k 1 ( r ) G Q (B jk ) G Q (B jk S) G Q (A k B jk ) k 1 j k 1 G Q (A k B jk ). k 1 18

22 Damt erhält man 1 1 a 1... m G Q (A 1 )... G Q (A m ) m m 1 j 1 1 s s a 1... m G Q (A 1 B j1 )... G Q (A m B jm ). j m 1 We gesehen, st a 1... m b j1...j m für alle 1 k m mt A k B jk. Wrd dese Bedngung nun ncht erfüllt, d. h. für en k st A k B jk, so folgt aber aus Bemerkung 2.2, dass G Q (A k B jk ) G Q ( ) f. s. glt und somt k G Q(A k B jk ). Daraus können wr schleßen, dass 1 1 s j 1 1 m 1 j 1 1 s s b j1...j m G Q (A 1 B j1 )... G Q (A m B jm ) j m 1 s b j1...j m G Q (B j1 )... G Q (B jm ). j m1 Nunmehr st de folgende Defnton snnvoll, denn se st unabhängg von der Auswahl der Darstellung der Elementarfunkton f. Defnton 2.3 Für de Funkton f E, mt der Darstellung we n (2.1), st I(f) : I m (f, G Q ) :... f(x 1,..., x m )G Q (dx 1 )... G Q (dx m ) : das multvarate G Q Integral. 1 1 f 1... m G Q (A 1 )... G Q (A m ) m1 Folgerung 2.4 Für alle α R, f, g E glt () I(αf) αi(f), () I(f + g) I(f) + I(g) f. s., () f g I(f) I(g) f. s. Bewes: () Folgt sofort aus der Defnton

23 () Bestzen de Funktonen f und g de Darstellungen f 1 1 s f 1... m 1I A1 A und g m m1 j 1 1 s g j1...j m 1I Bj1 B, j m j m1 so erhält man unter Beachtung der Glechungen (2.2) + (2.3) aus dem Bewes von emma 2.1 für alle 1 l r, 1 j l s, 1 l m Es ergbt sch s 1I A1 A m 1I Bj1 B jm j s 1I (A1 B j1 ) (A m B jm ), j m1 1I (A1 B j1 ) (A m B jm ). m 1 f g 1 1 m m 1 s s f 1... m 1I (A1 B j1 ) (A m B jm ), (2.4) j 1 1 s j m 1 j 1 1 j m 1 s g j1...j m 1I (A1 B j1 ) (A m B jm ) (2.5) und somt f + g 1 1 m1 s s (f 1... m + g j1...j m )1I (A1 B j1 ) (A m B jm ). j 1 1 j m1 Folglch st I(f) I(g) 1 1 m1 1 1 m1 s s f 1... m G Q (A 1 B j1 )... G Q (A m B jm ), j 1 1 s j m1 j 1 1 j m1 s g j1...j m G Q (A 1 B j1 )... G Q (A m B jm ) und I(f + g) 1 1 m1 s s (f 1... m + g j1...j m )G Q (A 1 B j1 )... G Q (A m B jm ), j 1 1 j m1 womt de Behauptung bewesen st. 2

24 () Aus (2.4) + (2.5) erkennt man, dass wegen f g auch f 1... m g j1...j m folgt für (A 1 B j1 ) (A m B jm ). Beachtet man weder, dass wenn dese Bedngung ncht erfüllt st, d. h. wenn A k B jk für en k glt, wegen Bemerkung 2.2 auch G Q (A k B jk ) G Q ( ) f. s. st. Damt folgt auch für das Produkt k G Q(A k B jk ) und wr erhalten das Behauptete. Folgerung 2.4 hat also gezegt, dass das Integral I en lnearer Operator auf dem Unterraum E von 2 (S m, I m, Q m ) st. 2.2 Integraton von Funktonen endlcher Halbnorm Im nun Folgenden wollen wr das Integral I auf den Raum F von Funktonen mt endlcher Halbnorm fortsetzen. Wr betrachten also F : {f : S m R N m (f, Q) < } 2 (S m, I m, Q m ), wobe N m (f, Q) N(f) ene geegnete Halbnorm st. Ene solche st z. B. de n [12] auf S. 28 erwähnte Halbnorm N m (f, Q) {... f 2 (x 1,..., x m )dq(x j1 )... dq(x jr )} 1/2, (2.6) wobe über alle r [(m + 1)/2],..., m summert wrd und de m verschedenen Argumente x 1,..., x m von f so darzustellen snd, dass se de Werte der x j1,..., x jr, x jk x jl für j k j l, annehmen und kener von hnen mehr als zwemal vorkommt. Bespel 2.5 { N 1 (f, Q) { N 2 (f, Q) { N 3 (f, Q) f 2 (x)q(dx)} 1/2, 1/2 { f 2 (x, x)q(dx)} + { + } 1/2 f 2 (x, x, y)q(dx)q(dy) f 2 (x, y)q(dx)q(dy)} 1/2, f 2 (x, y, z)q(dx)q(dy)q(dz)} 1/2. 21

25 In der folgenden Bemerkung wollen wr uns nun davon überzeugen, dass N m (f, Q) auch wrklch ene Halbnorm st. Bemerkung 2.6 Der oben engeführte Ausdruck N m (f, Q) st ene Halbnorm. Bewes: Es bezechne r de 2 Norm auf (S r, I r, Q r ) und f : S m R se ene Abbldung. Defneren wr nun für jeden Summanden von (2.6) de Funkton f r : S r R mt f r f r (x j1,..., x jr ) : f(x 1,..., x m ), wobe de Anordnung der x jk, 1 k r, bzw. der x l, 1 l m, aus der obgen Beschrebung der Halbnorm stammt und de Funkton f r endeutg festlegt. Damt folgt aber f r 2 r... fr 2 (x j1,..., x jr )dq(x j1 )... dq(x jr )... f 2 (x 1,..., x m )dq(x j1 )... dq(x jr ). Somt erhalten wr N m (f, Q) f r r und können begnnen, de Egenschaften der Halbnorm zu überprüfen. () Für alle Summanden glt f r r Summe zu, d. h. N m (f, Q). und damt trfft des auch auf de () Betrachten wr en belebges α R. Mt desem ergbt sch N m (α f, Q) α f r r α f r r α f r α N m (f, Q). () Für ene Abbldung g : S m R werden analog we oben de Funktonen g r engeführt. Damt erhält man N m (f + g, Q) (f + g) r r f r + g r r, wobe man sch lecht überlegen kann, dass (f +g) r (f +g) r (x j1,..., x jr ) (f + g)(x 1,..., x m ) f(x 1,..., x m ) + g(x 1,..., x m ) f r (x j1,..., x jr ) + g r (x j1,..., x jr ) f r + g r glt. Schleßlch erhalten wr mt der Dreecksunglechung f r r + g r r N m (f, Q) + N m (g, Q). 22

26 Dass es sch be N m (f, Q) nur um ene Halbnorm handelt, legt darn begründet, dass de Egenschaft N m (f, Q) f nur Q fast überall glt. Kommen wr nun zu enem wchtgen Merkmal der n (2.1) engeführten Elementarfunktonen. emma 2.7 Der Raum E der Elementarfunktonen legt dcht n F. Bewes: Zu zegen st, sehe z. B. Defnton 1 auf S. 33 n [5], dass zu jedem f F und zu jedem ε > Funktonen e E exsteren, de N(f e) < ε erfüllen. Nun stehen uns zwe Varanten zur Verfügung, um des zu zegen. In der ersten wollen wr we n den klassschen Bewesen vorgehen. De zwete hngegen beruht auf dem Satz von usn (Satz 1.18 auf S. 323 n [11]). Zunächst beachte man, dass für en belebges e E nach (2.1) e 2 (x 1,..., x m ) l 1 1 l 1 1 folgt und somt N(e) { l m1 k 1 1 k m1 e l1...l m e k1...k m 1I (Al1 A l m ) (A k 1 A k m ) (x 1,..., x m ) e 2 l 1...l m 1I Al1 A lm (x 1,..., x m ) l m1... { j 1 1 { j 1 1 l 1 1 R e 2 l 1...l m 1I Al1 A lm (x 1,..., x m ) dq(x jk ) l m 1 e 2 j 1...j R j R 1 R e 2 j 1...j R j R 1 k1... Q(A jk ) 1I Aj1 A jr (x j1,..., x jr ) } 1/2 k1 R dq(x jk ) k1 } 1/2 } 1/2 glt, wobe de verwendete Anordnung der x sowe der Wert R sch analog zur obgen Defnton der Halbnorm N ergeben. Da aber nun de Werte e j1...j R : e 1... m R snd und das W Maß Q(A ) 1 für alle 1 r st, erhalten wr N(e) < und somt E F. 23

27 Betrachten wr nun zunächst en belebges f, f F 2 und ε >. Dann exstert ene nchtfallende Folge von postven Elementarfunktonen t n T + : {postve Elementarfunktonen} mt t n f (Theorem auf S. 159 n [17]). Damt erhält man lm [N(f t n)] n lm {... [f(x 1,..., x m ) t n (x 1,..., x m )] 2 n { lm n [... [f(x 1,..., x m ) t n (x 1,..., x m )] 2 R k1 R k1 dq(x jk ) } 1/2 dq(x jk )]} 1/2. Wendet man nun den Satz von ebesgue (Satz 5.2 auf S. 145 n [11]), wobe 4 f 2 ene ntegrerbare Majorante darstellt, auf jeden Summanden enzeln an, so kann de Grenzwertbldung mt der Integraton vertauscht werden. Des führt aber wegen t n f zu lm n [N(f t n)], d. h. dass wr en t n T + wählen können, das N(f t n ) < ε erfüllt. Betrachten wr nun das Aussehen der t n (Satz 4.13 auf S. 18 n [11]): t n (x 1,..., x m ) n2 n j j 2 n 1I A j,n (x 1,..., x m ), mt A j,n { { j 2 n f < j+1 } 2 n für j,..., n 2 n 1, {f n} für j n 2 n, wobe de Mengen A j,n paarwese dsjunkt snd und j A j,n S m glt. Nun kann man aber zegen, dass dese sch durch ene Folge (e k,n ) von Funktonen aus E approxmeren lassen, d. h. lm N(t n e k,n ). k Dafür recht es zu bewesen, dass zu jedem A j,n I m und jedem ε > dsjunkte A 1 A m exsteren mt N(1I Aj,n 1I n 1...nm 1...m A 1 A m ) < ε, für 1 n 1,..., n m r. Motverend dazu se auf Abbldung 2.2 verwesen sowe auf den Bewes zu Satz 2.28 b) auf S. 242 n [11]. 24

28 Abbldung 2.2: Approx. der Menge F durch de Summe von Mengen A A j We gesehen, fndet man für jedes f, f F und jedes ε > en t n T + mt N(f t n ) < ε/2. Glechzetg gbt es aber zu jedem t n en e k,n E, das N(t n e k,n ) < ε/2 erfüllt. De Dreecksunglechung lefert schleßlch N(f e k,n ) N(f t n ) + N(t n e k,n ) < ε. Für en belebges f F wende man das soeben Erläuterte auf f + bzw. f an, d. h. zu jedem ε > fndet man Elementarfunktonen t 1, t 2 T + derart, dass se N(f + t 1 ) < ε/4 sowe N(f t 2 ) < ε/4 erfüllen. Glechzetg exsteren aber zu jedem t 1, t 2 auch Funktonen e k,1, e k,2 E, so dass N(t 1 e k,1 ) < ε/4 bzw. N(t 2 e k,2 ) < ε/4 glt. Mt der Dreecksunglechung erhalten wr für ẽ k : e k,1 e k,2 E N(f ẽ k ) N(f + f (e k,1 e k,2 )) und somt de Behauptung. N(f + t 1 ) + N(f t 2 ) + N(t 1 e k,1 ) + N(t 2 e k,2 ) < ε Wenden wr uns nun der zweten Varante zu. Da dese auf dem Satz von usn beruht, gehen wr von enem metrschen Raum (S, d) mt abzählbarer Bass aus, der auf kanonsche Wese zum topologschen Raum wrd, und stets separert st (S. 342 n [15]), also Hausdorff Raum. Wr werden uns dabe auf de wchtgsten Fälle, n denen S offen bzw. kompakt st, beschränken. Nun se f F. Außerdem se f R we m Bewes von Bemerkung 2.6 defnert. () Nehmen wr zunächst an, dass f stetg st und kompakten Träger bestzt. Für ε > wählen wr nun ene Zerlegung A, 1 r, so dass de Funkton f auf dem Berech A 1... m : A 1 A m nur um den Wert ε schwankt, d. h. für alle s (s 1,..., s m ), t (t 1,..., t m ) A 1... m mt 1 1,..., m r glt ω(a 1... m, f) : sup f(s) f(t) ε. s,t A 1...m 25

29 Für e 1... m wählen wr nun enen Wert we folgt: e 1... m [ mn s A 1...m f(s), max s A 1...m Somt erhalten wr für das so konstruerte e E f(s)]. f e f1i S m e f(x 1,..., x m )1I A1 A (x m 1,..., x m ) 1 1 m e 1... m 1I A1 A m (x 1,..., x m ) m 1 (f(x 1,..., x m ) e 1... m )1I A1 A (x m 1,..., x m ). m1 Betrachten wr nun N(f e) (f e) R R. Zunächst erkennen wr (f e) R (f e) R (x j1,..., x jr ) (f R (x j1,..., x jr ) e j1...j R )1I Aj1 A jr (x j1,..., x jr ) und somt j 1 1 j R 1 (f e) 2 R (f e) 2 R(x j1,..., x jr ) (f R (x j1,..., x jr ) e j1...j R ) 2 1I Aj1 A jr (x j1,..., x jr ). j 1 1 j R 1 Damt erhalten wr für jeden Summanden der Norm N (f e) R 2 R... (f e) 2 R(x j1,..., x jr )dq(x j1 )... dq(x jr ) j 1 1 j R 1... (f R (x j1,..., x jr ) e j1...j R ) 2 1I Aj1 A jr (x j1,..., x jr ) dq(x j1 )... dq(x jr ). Nun stellen wr fest, dass für alle 1 j 1,..., j R r sowe (x j1,..., x jr ) A j1...j R nach der Konstrukton der Elementarfunkton e glt. Daraus folgt aber sowe (f R (x j1,..., x jr ) e j1...j R ) 2 ε 2 (f e) R R ε N m (f e) (f e) R R ε C, wobe C de Anzahl der Summanden n der Norm darstellt. 26

30 () Nun se f F belebg. (a) S se offen. Damt st auch S R offen. Nach dem Satz von usn exstert zu jedem offenen U S R und jedem δ > ene kompakte Menge K δ U mt Q R (U\K δ ) < δ, so dass f R K δ stetg st. Des glt also auch für U S R und es folgt 1 Q R (K δ ) Q R (U) Q R (U\K δ ) > 1 δ. (2.7) }{{} < δ Zerlegen wr nun de Funkton f, d. h. wr betrachten f f1i Kδ + f1i Kδ, so folgt für e E mt der Dreecksunglechung für N N(f e) N(f1I Kδ + f1i Kδ e) N(f1I Kδ e) + N(f1I Kδ ). Für den ersten Summanden erhalten wr dabe we n () beschreben N(f1I Kδ e) ε/2 für geegnetes e E. Für den zweten ergbt sch, weder de Elemente der Norm N enzeln betrachtend lm δ f 2 R1I Kδ dq R f 2 R lm δ 1I Kδ dq R, wegen (2.7), wobe Integraton und mesbldung mt dem Satz von ebesgue vertauscht werden können, da fr 2 ene ntegrerbare Majorante st. Vorausgesetzt dass δ hnrechend klen st, erhalten wr somt auch her N(f1I Kδ ) ε/2 und erkennen abschleßend N(f e) ε. (b) Nun se S kompakt, womt auch S R kompakt st. Nach dem Satz von usn exstert nun zu jeder kompakten Menge T S R und jedem δ > ene kompakte Menge K δ T mt Q R (T \K δ ) < δ, so dass f R K δ stetg st. Benutzt man T S R kompakt, so folgt 1 Q R (K δ ) Q R (T ) Q R (T \K δ ) > 1 δ, }{{} < δ und mt dem selben Zerlegungsargument we n (a) erhält man de Behauptung. Zel wrd es m Folgenden sen, ene Abschätzung der 2 Norm des Integrals I(f) durch de oben engeführte Halbnorm N(f) zu erhalten, um mttels enes Cauchy Folgen Arguments ene Fortsetzung der Integraldefnton von E auf F zu errechen. Vorberetend dazu 27

31 emma 2.8 Für den zentrerten Gauß Prozess G Q {G Q (A ) : 1 r} mt der Kovaranzfunkton c j EG Q (A )G Q (A j ) glt : { 2m } E G Q (A k ) c l1 l2... c l2m 1 l2m, P k1 wobe über alle Parttonen P {P 1,..., P m } der Indexmenge { 1,..., 2m } summert wrd, deren Telmengen P j zweelementg snd, d. h. P j { l2j 1, l2j } mt l 2j 1 < l 2j für 1 j m und Permutatonen der P j snd auszuschleßen. Bewes: Für den Bewes deses emmas stehen uns nun zwe Möglchketen zur Verfügung. Zum enen können wr we auf S. 34 n [12] de Abletungen der charakterstschen Funkton des Zufallsvektors G 1 (G Q (A 1 ),..., G Q (A r )) verwenden, zum anderen kann der Bewes auch auf drekterem Wege geführt werden (emma 4.2 auf S. 123 n [7]), n dem man de Normaltät von G 2 (G Q (A 1 ),..., G Q (A 2m )) ausnutzt. Betrachten wr zunächst de charakterstsche Funkton des zentrert normalvertelten Vektors G 1, de sch we folgt für en u (u 1,..., u r ) R r ergbt (vgl. Bespel 2 auf S. 287 n [22]): { [ ]} ϕ G1 (u) E exp u k G Q (A k ) (2.8) exp [ 1 2 k1 1 ] c j u u j. (2.9) Im Weteren wollen wr de Ausdrücke (2.8) und (2.9) genau 2m mal dfferenzeren, de erhaltenen Abletungen an der Stelle u auswerten und schleßlch weder glechsetzen. Für (2.8) erhalten wr u 1 ϕ G1 (u) E {. 2m ϕ G1 (u) u 1... u 2m { 2m 2m E j1 G Q (A 1 )exp k1 [ ]} u k G Q (A k ), k1 G Q (A k )exp [ } u k G Q (A k )]. Zur Abletung der charakterstschen Funkton se dabe auf Theorem auf S. 31 n [1] verwesen, dessen Kern der Satz von ebesgue st, und das uns letztendlch erlaubt, Dfferentaton und Erwartungswertbldung zu vertauschen. Setzen wr nun u, so bekommen wr { 2m 2m } ϕ G1 (u) u 1... u 2m ( 1) m E G Q (A k ). (2.1) u 28 k1 k1

32 Betrachten wr nun (2.9) und führen dazu zwe Abkürzungen en: S : j1 c j u u j sowe S k : u k S c k tu t, t1 wobe c j c j berückschtgt wurde. Somt folgt für m 1 2 u 1 u 2 ϕ G1 (u) und mt u u 2 [ ] e S [ S1 e S] c 1 u 1 u 2 e S + S 1 S 2 e S 2 2 ϕ G1 (u) u 1 u 2 c 1 2. u Führen wr dese Rechnung nun analog für m 2 durch, dann ergbt sch 4 u 1... u 4 ϕ G1 (u) c 1 2 c 3 4 e S c 1 2 S 3 S 4 e S + c 1 3 c 2 4 e S c 1 3 S 2 S 4 e S + c 2 3 c 1 4 e S c 2 3 S 1 S 4 e S c 1 4 S 2 S 3 e S S 1 c 2 4 S 3 e S S 1 S 2 c 3 4 e S + S 1 S 2 S 3 S 4 e S sowe weder für u 4 ϕ G1 (u) u 1... u 4 c 1 2 c c 1 3 c c 1 4 c 2 3. u Allgemen erkennt man somt für (2.9), ausgewertet an der Stelle u, 2m ϕ G1 (u) u 1... u 2m ( 1) m c l1 l2... c l2m 1 l2m, (2.11) u P wobe über de oben beschrebene Anzahl von Parttonen P summert wrd. Setzen wr nun de beden Ergebnsse (2.1) und (2.11) glech, sehen wr, dass das emma bewesen st. Wenden wr uns nun der zweten Varante zu. Dafür werde an folgende Egenschaften ernnert: () Für ene N(, 1) vertelte Zufallsvarable Y j glt (vgl. S. 3 n [2] ): EY 2m j (2m 1). 29

33 () Nach der Defnton der zentrerten mehrdmensonalen Normalvertelung (Defnton auf S.16 n [14]) exsteren für den Vektor G 2 de unabhänggen N(, 1) vertelten Zufallsvarablen Y 1,..., Y 2m sowe ene (2m 2m) Matrx B (b j ), welche und G 2 (Y 1,..., Y 2m )B (2.12) B T B C (2.13) erfüllen, wobe C (c r s ) 1 r,s 2m de Kovaranzmatrx des Vektors G 2 st und de c r s sch we oben beschreben bestmmen. Betrachten wr nun (2.12) für das k te Element des Vektors G 2 und erhalten G Q (A k ) b 1k Y b 2m k Y 2m 2m j1 b jk Y j. Für das Produkt deser 2m Terme nutzt man dese Darstellung und durch Ausmultplzeren ergbt sch 2m k1 G Q (A k ) 2m 2m k1 j1 2m b jk Y j 2m j 1 1 j 2m 1 b j b j2m 2mY j1... Y j2m. Wendet man darauf nun den Erwartungswert an und nutzt dessen neartät, so bekommt man { 2m } 2m 2m E G Q (A k ) b j b j2m 2mE {Y j1... Y j2m }. k1 j 1 1 j 2m 1 Da de Y j unabhängg und zentrert snd, bleben aber nur Erwartungswerte von Produkten von k ten Momenten der Y j, wobe k gerade st, denn z.b. mt m 2 würde für EY1 3 Y 2 EY1 3 EY 2 folgen. Deshalb telen wr de Indexmenge {1, 2,..., 2m} n r Telmengen von gerader Kardnaltät en. Somt blebt über alle möglchen deser Parttonen P {P 1,..., P r }, für de P t gerade st, zu summeren. Für m 2 snd des mt r 1 de Menge {1, 2, 3, 4} und mt r 2 de Mengen {{1, 2}, {3, 4}}, {{1, 3}, {2, 4}} sowe {{1, 4}, {2, 3}}. 3

34 Allgemen folgt also { 2m } E G Q (A k ) P k1 2m 2m j 1 1 j r 1 j 1... j r ( r b jts t1 s P t ) ( r ) E Y jt P t. (2.14) Benutzen wr nun (), so können wr den Ausdruck (2.14) dahngehend verändern, dass nur noch über solche Parttonen P summert wrd, deren Telmengen zweelementg snd. Dabe vertelen sch de noch n (2.14) auftretenden höheren Potenzen n den Produkten der Erwartungswerte auf hre zweelementgen Äquvalente derart, dass de Indzes j 1,..., j m auch glech sen können. Weder am Bespel für m 2 wrd des deutlch. Wegen () glt Y sowe Y und (2.14) stellt sch somt we folgt dar: { 4 } E G Q (A k ) 3 b j1 b j2 b j3 b j4 + b j1 1b j1 2b j2 3b j2 4 + k1 j1 4 j 1 1 j 2 1 j 1 j 2 4 j 1 1 j Allgemen ergbt sch folglch: { 2m } E G Q (A k ) k1 4 j 1 1 j 2 1 j 1 j 2 4 b j1 1b j1 3b j2 2b j b j1 1b j1 2b j2 3b j2 4 + j 1 1 j 2 1 P 4 b j1 1b j1 4b j2 2b j2 3. 2m j 1 1 2m j m1 4 t1 j 1 1 j 2 1 j 1 j 2 4 j 1 1 j 2 1 m b jts t1 s P t 4 b j1 1b j1 4b j2 2b j2 3 4 b j1 1b j1 3b j2 2b j2 4, (2.15) wobe sch de äußere Summe über alle Parttonen P { P 1,..., P m } erstreckt, welche P t 2 erfüllen. Im letzten Schrtt nutzt man nun de n () beschrebene Egenschaft (2.13) der Kovaranzmatrx C aus, um de Summen der Produkte von den b j n solche umzuwandeln, de aus Elementen der Kovaranzmatrx bestehen. Für unser Bespel ergbt sch somt { 4 } E G Q (A k ) k1 (b 11 b 12 + b 21 b 22 + b 31 b 32 + b 41 b 42 )(b 13 b 14 + b 23 b 24 + b 33 b 34 + b 43 b 44 )+ (b 11 b 13 + b 21 b 23 + b 31 b 33 + b 41 b 43 )(b 12 b 14 + b 22 b 24 + b 32 b 34 + b 42 b 44 )+ (b 11 b 14 + b 21 b 24 + b 31 b 34 + b 41 b 44 )(b 12 b 13 + b 22 b 23 + b 32 b 33 + b 42 b 43 ) 31

35 also { 4 E k1 } G Q (A k ) c 1 2 c c 1 3 c c 1 4 c 2 3. Damt st nun auch das emma bewesen, denn verallgemenert erhalten wr { 2m } E G Q (A k ) c l1 l2... c l2m 1 l2m k1 P wobe P t {l 2t 1, l 2t }. emma 2.9 Bezechne de 2 Norm auf 2 (Ω, A, P ), so glt für alle f E I(f) C N(f), wobe C ene endlche Konstante st. Bewes: Nach der Defnton des multvaraten G Q Integrals n 2.3 erhält man für ene Funkton f E mt der Darstellung (2.1) I(f) m 1 f 1... m f m m 2m k1 G Q (A k ) und somt durch de neartät des Erwartungswertes { 2m } E(I(f) 2 ) f 1... m f m m E G Q (A k ). (2.16) 1 1 2m 1 Wenden wr nun de n emma 2.8 erhaltene Darstellung für den Erwartungswert des 2m fachen Produktes normaler Zufallsvarablen an, so ergbt sch E(I(f) 2 ) P f 1... m f m m c l1 l2 c l3 l4... c l2m 1 l2m, (2.17) 1 1 2m 1 wobe weder über alle Möglchketen P summert wrd, n dem man de Indexmenge {1,..., 2m} so parttonert, dass zweelementge Telmengen P t {l 2t 1, l 2t } entstehen (vergleche dazu Bewes emma 2.8) und c j de Kovaranzfunkton des Gauß Prozesses (G Q (A 1 ),..., G Q (A r )) beschrebt, d. h. c j E(G Q (A )G Q (A j )). Ernnern wr uns nun an de n Defnton 1.18 angegebene Kovaranzfunkton: c j E(G Q (A )G Q (A j )) 1I A 1I Aj dq 1I A dq 1I Aj dq, k1 Q(A A j ) Q(A )Q(A j ) 32

36 und schätzen dese mt der Egenschaft des W Maßes Q, dass Q(A) für alle A I glt, folgendermaßen nach oben ab: c j Q(A A j ) + Q(A )Q(A j ). Beachtet man außerdem, dass aus (a b) 2 für belebge Werte a, b R a b 1 2 (a2 + b 2 ) folgt, so kann der Erwartungswert aus (2.17) nach oben vergrößert werden: E(I(f) 2 ) P m t m 1 1 [ ] f m + f 2 m m [ Q(A l2t 1 A l2t ) + Q(A l2t 1 )Q(A l2t ) ]. (2.18) Im nun folgenden Schrtt betrachten wr zunächst de 2m nneren Summen und nutzen dabe erneut de Egenschaften des W Maßes Q, d.h. de endlche Addtvtät sowe Q(S) 1, und de dsjunkte Zerlegung der Menge S r 1 A. Anwendung fnden also ( r ) Q(A ) Q A Q(S) 1, sowe 1 1 ( r ) Q(A A j ) Q (A A j ) Q(S A j ) Q(A j ) Q(A A j ) 1. j1 Multplzert man nun das Produkt n (2.18) aus und wendet das oben Beschrebene an, so lässt sch der Ausdruck (2.18) erneut nach oben abschätzen. Für gerades m erhalten wr E(I(f) 2 ) C j 1 1 fj j m j m1 [ Q(A j1 A j2 )Q(A j3 A j4 )... Q(A jm 1 A jm ) + Q(A j1 A j2 )... Q(A jm 3 A jm 2 )Q(A jm 1 )Q(A jm )... ] + Q(A j1 )Q(A j2 )Q(A j3 )Q(A j4 )... Q(A jm 1 )Q(A jm ) (2.19) 33

37 und für ungerades m E(I(f) 2 ) C j 1 1 fj j m j m 1 [ Q(A j1 A j2 )... Q(A jm 2 A jm 1 )Q(A jm ) + Q(A j1 A j2 )... Q(A jm 4 A jm 3 )Q(A jm 2 )... Q(A jm )... ] + Q(A j1 )Q(A j2 )Q(A j3 )Q(A j4 )... Q(A jm 1 )Q(A jm ), (2.2) wobe C C 1 C 2. De dabe auftretende Konstante C 1 ergbt sch aus der Tatsache, dass de verschedenen Parttonen P auch verschedene Anwendungen der oben beschrebenen Egenschaften zur Folge haben, d.h. es müssen ncht alle Summanden n (2.19) bzw. (2.2) auftauchen aber dafür können andere wederum mehrfach vorhanden sen. Somt blebt C 1 mmer klener oder glech 2 m. De Konstante C 2 entsteht dadurch, dass es für de äußere Summe n (2.18) genau (2m 1) (2m)! 2 m m! : C 2 Möglchketen für P gbt, also de Indexmenge {1, 2,..., 2m} n zweelementge Telmengen zu parttoneren. Nutzt man nun erneut de Dsjunkthet der A, d.h. { für j, Q(A A j ) Q(A ) für j, so verenfachen sch de Darstellungen von (2.19) und (2.2) we folgt für m gerade [ E(I(f) 2 ) C k+1 1 f k k Q(A 1 )... Q(A k )+ k 1 f k k+1 Q(A 1 )... Q(A k+1 ) + + ] f m Q(A 1 )... Q(A m ) m1 (2.21) 34

38 und für m ungerade [ E(I(f) 2 ) C f k 1 k 1 k Q(A 1 )... Q(A k ) k m 1 k 1 f k 1 k k+1 Q(A 1 )... Q(A k+1 ) + + ] f m Q(A 1 )... Q(A m ), (2.22) wobe k [ ] m+1 2. Im letzten Schrtt blebt nun noch der Übergang zu der n (2.6) engeführten Halbnorm. Dazu betrachten wr zunächst das Quadrat der auftretenden Elementarfunktonen und dentfzeren de Summen n (2.21) bzw. (2.22) als deren Integral bzgl. Q und erhalten somt de gewünschte Abschätzung mttels der Halbnorm (2.6). Nach (2.1) glt f 2 (x 1,..., x m ) 1 1 m 1 j 1 1 f 1... m f j1...j m 1I A1 A m A j1 A jm (x 1,..., x m ) j m 1 und aufgrund der Dsjunkthet der A folgt 1 1 f m 1I A1 A m (x 1,..., x m ). m 1 Integrert man des nun bzgl. Q, so erhält man... f 2 (x 1,..., x m )dq(x 1 )... dq(x m )... f m 1I A1 A (x m 1,..., x m )dq(x 1 )... dq(x m ) m1 f m Q(A 1 )... Q(A m ). m 1 35

39 Des wederholt man analog für alle benötgten Varanten n (2.21) bzw. (2.22), also bs man... f 2 (x 1, x 1, x 2, x 2,..., x k, x k )dq(x 1 )... dq(x k )... f k k 1I A1 A k (x 1,..., x k )dq(x 1 )... dq(x k ) k 1 f k k Q(A 1 )... Q(A k ) k 1 erhält. Somt werden (2.21) und (2.22) zu E(I(f) 2 ) C... f 2 (x 1,..., x m )dq(x j1 )... dq(x jk ), (2.23) k[ m+1 2 ] wobe de m verschedenen Argumente x 1,..., x m von f so darzustellen snd, dass se de Werte der x j1,..., x jk, x js x jt für j s j t, annehmen und kener von hnen mehr als zwemal vorkommt. Man erkennt aber nun, dass sch (2.23) durch de Halbnorm aus (2.6) abschätzen lässt: Damt st aber das emma bewesen. E(I(f) 2 ) C [N m (f, Q)] 2. Bemerkung 2.1 Für den Spezalfall der m Bespel 1.2 beschrebenen Brownschen Brücke fndet man analoge Resultate zu emma 2.9 z. B. m Theorem auf S. 71 n [8] bzw. m Abschntt 1 auf S. 33 n [12]. Nun snd alle Hlfsmttel gegeben, um den Begrff des Integrals vom Raum der Elementarfunktonen E auf den Raum der normerten Funktonen F fortzusetzen. Dazu betrachte man ene belebge Funkton f F. Nach emma 2.7 legt E dcht n F und somt exstert ene Folge von Elementarfunktonen (f k ) E, de N(f k f) für k erfüllt. (f k ) st also ene Cauchy Folge (S. 546 n [16]). Für f k, f l E ergbt sch nun mttels Folgerung 2.4 und emma 2.9 folgende Abschätzung: I(f k ) I(f l ) I(f k f l ) C N(f k f l ). (2.24) Da aber (f k ) ene Cauchy Folge st, muss (I(f k )) wegen (2.24) ebenfalls ene Cauchy Folge sen. Benutzt man nun noch de Vollständgket des Raumes ( 2 (Ω, A, P ), ) (Theorem auf S. 158 n [1]), so erhält man de Konvergenz der Folge (I(f k )) n ( 2 (Ω, A, P ), ). Des motvert de nun folgende Defnton. 36

40 Defnton 2.11 Für ene Funkton f F und ene Folge (f k ) E, welche N(f f k ) für k erfüllen, st I(f) : I m (f, G Q ) :... f(x 1,..., x m )G Q (dx 1 )... G Q (dx m ) das multvarate G Q Integral. : l.. m. k I(f k) Bemerkung 2.12 Defnton 2.11 st wohldefnert, d. h. se st unabhängg von der spezellen Auswahl der Folge (f k ). Bewes: Gegeben seen we n Defnton 2.11 ene Funkton f F sowe ene Folge (f k ) E, d. h. für k glt N(f f k ) und I(f) I(f k ). Se nun (g k ) E ene wetere Folge, de N(f g k ) erfüllt. Daraus folgt aber mt der Dreecksunglechung I(f) I(g k ) I(f) I(f k ) + I(f k ) I(g k ). (2.25) Beachtet man nun de neartät des Integrals I aus Folgerung 2.4 und nutzt emma 2.9, so erhält man für den zweten Summanden n (2.25) I(f k ) I(g k ) I(f k g k ) C N(f k g k ), wobe C ene endlche Konstante darstellt. Deser Ausdruck kann nun aber mt der Dreecksunglechung für N abgeschätzt werden so dass man für (2.25) C N(f k f) + C N(f g k ), I(f) I(g k ) I(f) I(f k ) + C N(f k f) + C N(f g k ) erhält. Da aber nun alle Summanden gegen Null konvergeren folgt somt I(f) I(g k ) für k, d. h. I(f) l.. m. k I(g k ) we behauptet. 37

41 Folgerung 2.13 Für alle α R, f, g F glt () I(αf) αi(f), () I(f + g) I(f) + I(g), Bewes: Es seen de Folgen (f k ), (g k ) E und de Funktonen f, g F we n Defnton () Beachtet man, dass nach Folgerung 2.4 I(αf k ) αi(f k ) glt, so folgt I(αf) αi(f) I(αf) I(αf k ) + α I(f }{{} k ) I(f). }{{} () Weder mt Folgerung 2.4 glt I(f k + g k ) I(f k ) + I(g k ) und somt I(f + g) (I(f) + I(g)) I(f + g) I(f k + g k ) }{{} + I(g k ) I(g). } {{ } + I(f k ) I(f) }{{} Folgerung 2.14 Für alle f F glt I(f) C N(f), wobe C ene endlche Konstante st. Bewes: Für en f F und ene Folge (f k ) E mt N(f f k ) für k ergbt sch mt Defnton 2.11 und emma 2.9 I(f) I(f) I(f k ) + I(f }{{} k ). }{{} C N(f k ) Beachtet man nun noch, dass N(f k f) für k, so folgt mt der Dreecksunglechung für de Halbnorm N N(f k ) N(f) + N(f k f) }{{} und damt de Behauptung. 38

42 2.3 Bekannte Bespele Bespel 2.15 Betrachtet man für S das Intervall [, 1], für I de σ Algebra der Borelmengen über S und für Q das ebesgue Maß λ sowe de n Bespel 1.2 defnerte Brownsche Brücke B, so ergbt sch der n [12] S. 31 beschrebene Spezalfall I m (f, Q) f(x 1,..., x m )db (x 1 )... db (x m ), wobe B (t) G λ (1I [,t] ) mt t 1. Defnton 2.16 Der Gauß Prozess G Q wrd als sonormal bezechnet, falls er für f, g 2 (S, I, Q) EG Q (f)g Q (g) fgdq erfüllt. Bespel 2.17 Benutzt man den sonormalen Gauß Prozess, so erhält man das, we n [18] engeführte, multple Wener Integral I m (f, Q)... f(x 1,..., x m )W (dx 1 )... W (dx m ), wobe W G Q sonormal (vgl. A.1. auf S. 494 n [21]). 39

43 Kaptel 3 Vertelungskonvergenz Zel deses Abschnttes wrd es sen, de Vertelung des soeben engeführten Integrals zu nutzen, um se als Grenzwert der Vertelungskonvergenz der n Kaptel 1 als multples stochastsches Integral bzgl. des emprschen Prozesses beschrebenen V Statstk darzustellen. 3.1 Asymptotsches Verhalten Für de folgenden Betrachtungen erwest sch de Enführung ener an de n (2.6) defnerte Halbnorm N m (f, Q) angelehnte Verson Ñm(f, Q) Ñ(f) als nützlch. Für ene symmetrsche Funkton f : S m R wrd dese Halbnorm we folgt festgelegt: Ñ m (f, Q) { 1/2... f 2 (x 1,..., x m )dq(x j1 )... dq(x jr )}, (3.1) wobe über alle r 1,..., m summert wrd und de m verschedenen Argumente x 1,..., x m von f so darzustellen snd, dass se de r Werte der x j1,..., x jr, x jk x jl für j k j l, n allen möglchen Permutatonen annehmen. Dass es sch auch herbe um ene Halbnorm handelt, kann analog zu Bemerkung 2.6 gezegt werden. Für de weteren Untersuchungen beschränken wr uns weder auf solche Funktonen f, de n deser Norm endlch snd, d. h. wr betrachten { } F : f : S m R Ñ m (f, Q) < 2 (S m, I m, Q m ). Offenschtlch glt so F F und N m (f, Q) Ñm(f, Q). Bespel 3.1 Ñ 1 (f, Q) N 1 (f, Q), Ñ 2 (f, Q) N 2 (f, Q), 4

44 { Ñ 3 (f, Q) 1/2 { f 2 (x, x, x)dq(x)} + { + } 1/2 f 2 (x, y, z)dq(x)dq(y)dq(z) } 1/2 f 2 (x, x, y)dq(x)dq(y) emma 3.2 Der Raum E der Elementarfunktonen legt dcht n F. Bewes: Analog zum Bewes von emma 2.7. Um unser Zel, de Vertelungskonvergenz von V Statstken, zu errechen, se an den n (1.13) beschrebenen Zusammenhang der V Statstk mt dem emprschen Prozess G n n 1/2 (Q n Q) ernnert: n d/2 V nd (g d ) (1.13)... g d (x 1,..., x d )G n (dx 1 )... G n (dx d ), I d (g d, G n ). (3.2) Funktonale solcher Art bestzen ene wchtge Egenschaft, de wr zunächst festhalten wollen. emma 3.3 Bezechne de 2 Norm auf 2 (Ω, A, P ), so glt für alle f F I m (f, G n ) O(1). Bewes: emma B auf S. 223 n [23]. In Worten ausgedrückt, bedeutet deses Ergebns aber nchts anderes als, dass der durch de 2 Norm gemessene Wert des Integrals I m (f, G n ) mmer klener als ene gewsse Konstante blebt. Für das wetere Vorgehen st es aber wchtg, das genaue Aussehen deser zu kennen. Vorberetend für den späteren Bewes werden dazu noch enge Hlfsmttel beretgestellt. emma 3.4 Ausgehend vom festen Wahrschenlchketsraum (Ω, A, P ) betrachten wr enen meßbaren Raum (U, J ) mt ener A J meßbaren Abbldung η : Ω U. Ferner se (Ω, A ) en weterer meßbarer Raum und de Abbldung ζ : Ω Ω A A meßbar. Seen nun ζ und η unabhängg und T : Ω U R A J B meßbar derart, dass T (ζ, η) 2 (Ω, A, P ), dann glt für P η 1 fast alle x U E(T (ζ, η) η x) E(T (ζ, x)). Bewes: Satz auf S. 199 n [14]. 41