Skriptum zum Vorkurs Mathematik für Studierende in Ingenieursstudiengängen und Chemie Teil I

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1 Skriptum zum Vorkurs Mathematik für Studierende in Ingenieursstudiengängen und Chemie Teil I M Rathgeb 6 September 2012 Frühere Versionen haben verantwortet: M Rathgeb (2010); E Kaufmann (2009); U Cormann, P Schupp (2008); M Dücker (2007); M Charton, M Demmerling, M Dücker (2006)

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Einleitung 4 1 Mengen 5 11 Allgemeines zu Mengen 5 12 Exkurs: Grenzen der naiven Mengenlehre Übungsaufgaben 13 2 Abbildungen Allgemeines zu Abbildungen Spezielle Eigenschaften von Abbildungen Exkurs: Äquivalenzumformungen Inversenpaare zu einer Abbildungsvorschrift bestimmen Übungsaufgaben 25 3 Summen, Produkte, Potenzen Summen Produkte Potenzen (spez Produkte) und Wurzeln (spez Potenzen) Übungsaufgaben 33 4 Der binomische Lehrsatz Motivation Gleiches Problem in neuem Gewand Sätze und Definitionen Übungsaufgaben 40 5 Matrizen und Lineare Gleichungssysteme Motivation Allgemeines zu Matrizen Rechenoperationen für Matrizen Lineare Gleichungssysteme Gauß Algorithmus Invertieren einer Matrix Übungsaufgaben 67 6 Grenzwerte Grenzwerte von Folgen Grenzwerte von Abbildungen Rechenregeln für Grenzwerte Übungsaufgaben 73 2

3 Inhaltsverzeichnis Anhang 74 A Grundbegriffe der mathematischen Logik 75 A1 Aussagenlogik 75 A2 Gesetze der Aussagenlogik 81 A3 Implikation und Äquivalenz 82 A4 Existenz- und Allaussagen 83 B George Pólya Wie sucht man die Lösung? 87 Literaturverzeichnis 89 3

4 Einleitung Einleitung Der Vorkurs Mathematik ist für die meisten von Ihnen vermutlich die erste Veranstaltung an der Universität Siegen Daher möchte die Fakultät IV Ihnen zunächst sagen: Sie sind hier Willkommen Diese Veranstaltung ist ein Service an Sie, in gewissem Sinne ein Luxus; was für die meisten Veranstaltungen an Universitäten gilt, das gilt für den Vorkurs insbesondere: Sie müssen nicht vor Ort sein; Sie dürfen es aber Der Vorkurs Mathematik soll Ihnen den Übergang zwischen Mathematik-Unterricht an der Schule und Mathematik-Vorlesungen an der Universität erleichtern; drei Ziele seien explizit ausgewiesen: 1 Ihre Mathematik-Kenntnisse sollen auf bzw über ein gemeinsames Mindest-Level gehoben werden, es werden also Themen der Mathematik an Schulen wiederholt 2 Sie sollen einen Vorgeschmack auf die zukünftige Vermittlung von Mathematik bekommen Das Wie der Thematisierung sei folgendermaßen skizziert: a) Das Abstraktionsniveau ist deutlich höher als in der Schule, das prototypische Schema ist die Abfolge Definition Satz Beweis ( Beispiel [ Übungen]) ; b) Mathematik wird als präzise, Beweise ermöglichende Sprache präsentiert; c) Zur Stoffbewältigung werden Sie fleißig üben müssen und das wohl vornehmlich in kleinen Gruppen; denn es gilt: Mathematik ist kein Zuschauer-Sport 3 Last but not least: Lernen Sie Ihre Kommilitonen und Ihre Universität kennen Dieses Skript soll die Vorbereitung(!), den Ablauf (!) und die Nachbereitung(!) der Lehreinheiten unterstützen sowie eine Reduktion des Tafelanschriebs und Ihres Mitschriebs ermöglichen; das Skript ist in Teilen für ein Selbststudium geeignet aufbereitet; nutzen Sie diese Möglichkeit bei Gelegenheit Das Skript wird nicht en détail durchgearbeitet Machen Sie mich bitte auf (Tipp-) Fehler aufmerksam Zu Mathematik-Vorkursen gibt es eine Fülle ausgezeichneter Literatur, in welcher der Schulstoff ausführlicher als im Skript präsentiert wird; beachten Sie dbzgl das Literaturverzeichnis des Skripts bzw das Angebot der UB Siegen insbesondere die online- Ressourcen (Bücher, die als *pdf-files downgeloadet werden können) So manche Vorkurs- Literatur birgt in sich bereits den Stoff aus einer Anfänger-Vorlesung; auch Internetquellen wie beispielsweise die folgende könnten hilfreich sein: Siegen, 6 September M Rathgeb 4

5 1 Mengen 1 Mengen Ich möchte verweisen auf die zum Teil interaktiv aufbereitete Darstellung unter 11 Allgemeines zu Mengen Definition 11 ( Naiver Mengenbegriff nach Cantor): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen, wohlbestimmten Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens Die Objekte dieser Zusammenfassung nennt man Elemente Bezeichung 12 (Schreib- und Sprechweisen zum naiven Mengenbegriff): 1 m M, d h m ist ein Element der Menge M bzw m liegt in M 2 m / M, d h m ist kein Element der Menge M bzw m liegt nicht in M 3 Das Zeichen := (zwischen Mengen und anderen Termen) steht für per Definition gleich bzw ist nach Definition ; dabei zeigt der Doppelpunkt den neuen Term an, der Term auf der anderen Seite von = gilt als bekannt; insgesamt wird also ein neues Zeichen vereinbart Wir verwenden das Gleichheitszeichen (zwischen Mengen und anderen Termen) lax, insofern wir für T 1 = T 2 und T 2 = T 3 oft nur T 1 = T 2 = T 3 schreiben 4 Angabe einer Menge durch (andeutende) Aufzählung ihrer Elemente: M := {a, b, c}, d h die Menge M besteht (nd) aus den Elementen a, b, c 5 Angabe der Menge durch Aussonderung mittels charakterisierender Eigenschaft: M := {a R: a > 0}, d h M ist (nd) die Menge aller reellen Zahlen, die positiv sind (alias: mit der Eigenschaft, dass sie positiv sind) Das Zeichen : (alias: ) innerhalb der Mengenklammern steht dabei für mit der Eigenschaft Beispiel 13 (Erste Beispiele): 1 := {}, d i die leere Menge; sie enthält keine Elemente 2 N := {0, 1, 2, }, d h N ist (nd) die Menge der natürlichen Zahlen 3 Z := {0, +1, 1, +2, 2, }, d h Z ist (nd) die Menge der ganzen Zahlen 4 Q ist (nach Definition) die Menge der rationalen Zahlen (Die rationalen Zahlen lassen sich unter Bezugnahme auf die ganzen Zahlen leicht beschreiben: Die rationalen Zahlen sind genau die Quotienten teilerfremder ganzer Zahlen (Nenner ungleich 0); iz (mit ggt für größter gemeinsamer Teiler ): Q := { p : p, q Z, q 0, ggt(p, q) = 1}) q 5

6 1 Mengen 5 R ist (nach Definition) die Menge der reellen Zahlen 6 C ist (nach Definition) die Menge der komplexen Zahlen 7 N + := {1, 2, 3, }, d h N + ist (nd) die Menge der positiven natürlichen Zahlen 8 R 0 := {x R: x 0}, d h R 0 ist (nach Definition) die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen; weiter sei R := R \ {0} 9 Seien a, b R mit a b Wir definieren folgende (reelle) Intervalle von a nach b: a) [a, b] := {x R: a x b} ist beidseitig geschlossen; b) (a, b] := {x R: a < x b} ist linksseitig offen, rechtsseitig geschlossen; c) [a, b) := {x R: a x < b} ist linksseitig geschlossen, rechtsseitig offen; d) (a, b) := {x R: a < x < b} ist beidseitig offen Die Intervallschreibweise macht in kanonischer Weise noch Sinn, falls a (bzw b) (bzw + ) bezeichnet, allerdings nur in Kombination mit einer öffnenden (bzw schließenden) Klammer; bspw gilt: [0, + ) = R 0 10 Die Bezeichnungen N, N +, R, R 0 sind nicht einheitliche Konvention (manchmal gilt bspw N 0 für unser N und N für unser N + ); also geben Sie auf die im Kontext geltende Konvention acht Definition 14 (Gleichheit zweier Mengen, Mächtigkeit einer Menge): 1 Zwei Mengen A, B gelten genau dann als gleich, wenn sie dieselben Elemente haben; in Zeichen (alias: iz): A = B : ( x: (x A x B)) Das Zeichen : steht für gilt per Definition genau dann, wenn bzw ist nach Definition äquivalent zu ; das ist die gleiche Konvention wie bei := bzw =: Das Zeichen steht für für alle bzw für für jede/r/s Mehr zu diesen Zeichen und den Konzepten, in denen sie verwendet werden, steht im Anhang A 2 Sei M eine Menge, so bezeichnet #M die Anzahl ihrer (verschiedenen) Elemente Bemerkung 15 (Gleichheit zweier Mengen, Mächtigkeit einer Menge): 1 Die Reihenfolge der Nennung der Elemente einer Menge ist (bzgl Gleichheit und Anzahl) irrelevant 2 Bei fast allen Autoren ist Mehrfachaufzählung zulässig; in den seltenen Fällen gilt bspw folgende Zeichenkette nicht als Menge: {a, b, c, a} (bei uns allerdings schon) 3 Weitere Schreibweisen für #M sind: ord(m) oder M 6

7 1 Mengen 4 Für unsere Bedürfnisse gilt die Festlegung #M N 0 { }, d h wir betrachten endliche Mengen oder weisen sie als unendlich aus Wir differenzieren also nicht zwischen der Mächtigkeit verschieden großer unendlicher Mengen; bspw gilt, dass N +, N, Z, Q paarweise gleich groß sind und R 0, R größer sind Beispiel 16 (Gleichheit zweier Mengen, Mächtigkeit einer Menge): 1 {x R: x 2 = 1} =, 2 {x R: x 2 = 1} = { 1, 1} 3 [a, a) = für a R beliebig 4 {a, b, c} = {a, c, b, a}, insbesondere #{a, b, c} = #{a, c, b, a} 5 # = 0, #N + =, #N =, #R =, #{1, 0, 5, 5, 2, 1} = 4 6 Seien a, b R, dann gilt 1 #{a, b, a} 2 (Beachten Sie: FU nach a = b, a b) Definition 17 (Mengenoperationen): Seien F, F 1, F 2, M, O, O 1, O 2, S, T, T 1, T 2, V, K, P Mengen 1 T heißt Teilmenge von O (alias: O heißt Obermenge von T ) wenn gilt: Für jedes x gilt: Wenn x ein Element von T ist, dann ist x (auch) ein Element von O; iz: T O bzw O T Speziell: Gilt zusätzlich T O, so heißt T echte Teilmenge von O bzw O echte Obermenge von T ; iz: T O bzw O T 2 S heißt Schnitt(menge) von O 1 und O 2, wenn S die Menge aller Elemente ist, die in O 1 und in O 2 liegen; iz: S = O 1 O 2 3 V heißt Vereinigung(smenge) von T 1 und T 2, wenn V die Menge aller Elemente ist, die in T 1 oder (auch) T 2 (inkl in beiden Mengen) liegen; iz: V = T 1 T 2 Speziell: Gilt zusätzlich T 1 T 2 =, liegen die Elemente von V also entweder in T 1 oder in T 2, so heißt V disjunkte Vereinigung von T 1 und T 2 ; iz: V = T 1 T 2 4 Gilt T O, so heißt K das Komplement(menge) von T in O (alias: die Differenz von O und T ), wenn K die Menge aller Elemente ist, die in O und nicht in T liegen; iz: K = O \ T 5 Die Produktmenge P von F 1 und F 2 besteht aus allen geordneten Paaren (f 1, f 2 ) mit f 1 F 1 und f 2 F 2 ; iz: P = F 1 F 2 Statt Produktmenge sagt man auch kartesisches Produkt Speziell: Für die Produktmenge F F schreibt man auch F 2 6 Die Potenzmenge P(M) einer Menge M ist definiert als die Menge, die aus allen Teilmengen von M besteht 7

8 1 Mengen Bemerkung 18 (Mengenoperationen, Mengengleichheit): 1 In Definition 17 wurde darauf geachtet, dass die Mengennamen insbesondere die Anfangsbuchstaben der zu definierenden Begriffe aufgreifen; solch sprechende Bezeichnungsweisen sind eventuell nicht immer möglich, glücklicherweise nicht immer nötig, aber oft hilfreich 2 Die Definitionen der Mengenoperationen erfolgen in Rückgriff auf Zeichen wie und alias sowohl als auch, wie oder (auch) versus entweder oder, wie wenn dann, wie genau dann, wenn wie und nicht alias aber nicht ua Diese Wörter werden weitgehend wie in der Umgangssprache gebraucht, sie sind aber genau genommen termini technici, die in Definitionen bzgl ihrer Bedeutung eigens festgelegt sind; vgl den Abschnitt A1 3 Venn-Diagramme (alias: Kreis-Diagramme; Kreise in allgemeiner bzw spezieller Lage zueinander) können die Teilaussagen zu Teil-, Ober-, Schnitt-, Vereinigungsund Komplement-Menge illustrieren; Produktmengen können durch Rechtecke veranschaulicht werden, wobei jeweils zwei aneinander grenzende Seiten für die beiden Mengen stehen Die Konvention des aus der Schule wohl bekannten kartesischen Koordinatensystems für R 2 ist eine (leicht) andere 4 Mit Definition 171 lässt sich Definition 141 folgendermaßen neu formulieren: A = B (A B A B) (Denn: Es gilt A B (pd) genau dann, wenn x: x A x B gilt; und entsprechend: Es gilt A B (pd) genau dann, wenn x: x A x B gilt Weiter steht für und und der zweite -Pfeil in Definition 141 für die Zusammenfassung von und ) 5 Aus Definition 17 ist sofort ersichtlich, dass folgende Aussagen gelten: a) Für jede Menge M gilt: M M, M M = M, M M = M und M \ M = b) Der Schnitt zweier Mengen ist eine (gemeinsame) Teilmenge der geschnittenen Mengen igs die größtmögliche c) Die Vereinigung zweier Mengen ist eine (gemeinsame) Obermenge der vereinigten Mengen igs die kleinstmögliche d) Das Komplement K von T in O ist eine Teilmenge von O, deren Schnitt mit T leer ist igs die größtmögliche Für T O ist T \ O nicht definiert e) Die Produktmenge P von F 1 und F 2 ist nicht im Allgemeinen Obermenge von F 1 oder F 2 Doch gelten für jede Menge M die Gleichungen: = M, = M und insbesondere = 2 Im Spezialfall kann also P eine Obermenge von F 1 oder F 2 sein und sogar F 1 oder F 2 gleich sein 8

9 1 Mengen f) Es gilt T O genau dann, wenn T \ O = gilt MaW: Für T liegt (ganz) in O können wir auch sagen: Das Komplement von O bzgl T ist leer bzw außerhalb von O gibt es kein Element von T (Denn es ist a T a O gemäß dem Kontrapositiongesetz (vgl Abschnitt A2) äquivalent zu a / O a / T ; letzteres erlaubt folgende Umformung(en): T \ O = {x T : x / O} {x T : x / T } =, kurz: T \ O = ) g) Folgerung: Es gilt M für jede Menge M Denn offensichtlich gilt \M = Daraus folgt: P(M) bzw { } P(M) und insbesondere P( ) = { } Beispiel 19 (Mengenoperationen): Betrachten Sie die Menge der geraden Zahlen G = {n N: 2 n} und die Menge der ungeraden Zahlen U = {n N: 2 (n + 1)}, dabei steht für teilt (mit Rest 0) ; vgl Beispiel A26 Der gilt: 1 G N, U N; insbesondere: G N, U N; 2 G U =, N G = G, N U = U; 3 G U = N, N G = N, N U = N; G U = N; 4 G \ G =, N \ U = G, N \ G = U, (N \ G) \ U = ; 5 {2, 4, 6} {1, 3} = {(2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3)}; 6 P({2, 4, 6}) = {, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}}; 7 {n G: n 6} = {2, 4, 6} Bemerkung 110 (Rechnen mit reellen Zahlen): In der Schule haben Sie reelle Zahlen zueinander addiert und miteinander multipliziert Dabei haben Sie vermutlich ohne es zu wissen, die sog Kommutativität und sog Assoziativität dieser Operationen verwendet und wussten beispielsweise, dass das sog Distributivgesetz (a (b+c) = a b+a c für beliebige a, b, c R) und 2+(2 2) sowie 2 (2 + 2) 2 gilt Es folgen einige Gesetze für das Rechnen mit Mengen Satz 111 (Rechnen mit Mengen): Seien A, B, C Megen Dann gelten folgende Rechenregeln: 1 -Kommutativgesetz: A B = B A; 2 -Kommutativgesetz: A B = B A; 3 -Assoziativgesetz: A (B C) = (A B) C; 4 -Assoziativgesetz: A (B C) = (A B) C; 5 ein Distributivgesetz: A (B C) = (A B) (A C); 9

10 1 Mengen 6 ein Distributivgesetz: A (B C) = (A B) (A C); 7 ein Verschmelzungsgesetz: A (B A) = A; 8 ein Verschmelzungsgesetz: A (B A) = A; 9 -Produktgesetz: A (B C) = (A B) (A C); 10 -Produktgesetz: A (B C) = A B A C 11 ein de Morgan-Gesetz: X \ (A B) = (X \ A) (X \ B), wobei A, B X, X Mge 12 ein de Morgan-Gesetz: X \ (A B) = (X \ A) (X \ B), wobei A, B X, X Mge Bemerkung 112 (Rechnen mit Mengen): 1 Zu Satz 111: Die Teilaussagen können insbesondere auf die entsprechenden logischen Beziehungen (vgl den Abschnitt A2) zurückgeführt werden: Übersetzen Sie dafür einerseits mit bzw und, andererseits mit bzw oder (auch) ; alternativ erstellen Sie direkt sog Mengentafeln, das sind Wahrheitstafeln mit für wahr und / für falsch Venn-Diagramme sind für die Überlegungung vermutlich hilfreich 2 Seien A, B, C Mengen Dann gilt nach Konvention oft auch: A (B C) = (A B) C 12 Exkurs: Grenzen der naiven Mengenlehre Bemerkung 113 (Russelsche Antinomie): Die Grenzen des naiven Mengenbegriffes werden an folgendem Beispiel deutlich Es scheint zunächst harmlos Mengen auf folgende Eigenschaft hin zu untersuchen: Eine Menge ist normal (per Definition) genau dann, wenn sie sich nicht selbst als Element enthält Betrachten wir zunächst ein, zwei harmlose Beispiele: Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine normale Menge, denn sie enthält nur bestimmte Zahlen und ist selbst keine Zahl; also enthält sie sich nicht und ist folglich eine normale Menge Ist dagegen die Zusammenfassung genau der wohlunterschiedenen, wohlbestimmten Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, die abstrakt sind, tatsächlich eine Menge, die wir gegebenenfalls M nennen, dann ist M (vermutlich weiter und insbesondere) ein wohlunterschiedenes, wohlbestimmtes Objekt unserer Anschauung oder unseres Denkens, das abstrakt ist; also enthält M sich selbst und ist folglich eine Menge, die nicht normal ist Es scheint weiter harmlos zu sein, genau die Mengen zusammenzufassen, die nicht normal sind, d h die Menge N := {x: x x} zu bilden, und auf Normalität hin zu untersuchen: Ist N normal? Die Antwort ist nicht offensichtlich Prüfen wir also mögliche Antworten: 10

11 1 Mengen 1 Kann N normal sein? Angenommen N ist normal Wenn N normal ist, sich also nicht als Element enthält (N / N), dann ist also N keines der x: x x Dies bestätigt, dass N sich selbst nicht als Element enthält und N folglich normal ist Diese Überlegung lautet zusammengefasst: Wenn N normal ist, dann ist N normal 2 Kann N nicht normal sein? Angenommen N ist nicht normal Wenn N nicht normal ist, sich also als Element enthält (N N), dann ist also N eines der x: x x Dies bestätigt, dass N sich selbst als Element enthält und N folglich nicht normal ist Diese Überlegung lautet zusammengefasst: Wenn N nicht normal ist, dann ist N nicht normal Dahingehend sind für N beide Antworten in sich stimmig und somit insoweit keine Kriterien dafür gefunden werden, mindestens eine der beiden noch auszusondern beide möglich Das ist einerseits zwar seltsam, weil wir (vgl Satz vom Widerspruch im Abschnitt A2) (gerne) davon ausgehen, dass nur eine der beiden Antworten wahr ist, das ist andererseits allerdings keine besonders beunruhigende Situation, weil wir beide möglich nicht mit beide wahr identifizieren Es scheint weiter harmlos zu sein, genau die Mengen zusammenzufassen, die normal sind, d h die Russell-Menge R := {x: x / x} zu bilden, und auf Normalität hin zu untersuchen: Ist R normal? Die Antwort ist nicht offensichtlich Prüfen wir also mögliche Antworten: 1 Kann R normal sein? Angenommen R ist normal Wenn R normal ist, sich also nicht als Element enthält (R / R), dann ist also R eines der x: x / x, die allesamt in R enthalten sind; also gilt R R und damit ist R nicht normal Dies widerspricht der Annahme, dass R normal ist Diese Überlegung lautet zusammengefasst: Wenn R normal ist, dann ist R nicht normal 2 Kann R nicht normal sein? Angenommen R ist nicht normal Wenn R nicht normal ist, sich also als Element enthält (R R), dann ist also R keines der x: x / x, die einzig in R enthalten sind; also gilt R / R und damit ist R normal Dies widerspricht der Annahme, dass R nicht normal ist Diese Überlegung lautet zusammengefasst: Wenn R nicht normal ist, dann ist R normal Statt der Eigenschaft normal kann man auch die Relation betrachten und erhält entsprechend: R R R / R Dahingehend ist für R keine der beiden Antworten in sich stimmig und sind somit beide nicht möglich Das ist nach herkömmlicher Ansicht problematisch, weil wir (vgl Satz vom Widerspruch zusammen mit Satz vom ausgeschlossenen Dritten im Abschnitt A2) (gerne) davon ausgehen, dass genau eine der beiden Antworten wahr ist Dahingehend ist die vorgestellte naive Mengenlehre noch nicht das Gelbe vom Ei 11

12 1 Mengen Das gleiche Phänomen tritt auch bei sprachlichen Gebilden wie Dieser Satz ist wahr (vgl mit N) und Dieser Satz ist falsch (vgl mit R) auf Begnügen wir uns mit folgendem Hinweis auf einen möglichen Ausweg: N und R dürfen nicht als Mengen und die entsprechenden Sätze nicht als Aussagen gelten 12

13 1 Mengen 13 Übungsaufgaben 1 Sei B = {0, 1}, M = {{0}, {1}} a) Bestimmen Sie die folgenden Mengen jeweils mit ihrer Mächtigkeit: B B, B B, B \ B, P(B) und B 3 b) Bestimmen Sie die Mächtigkeit der Mengen: B, M, {B}, {M}, P(B), P(M) c) Prüfen Sie die Wahrheit der Aussagen: 1 M, 1 M, {1} M, {1} M, {{1}} M, {{1}} M, B = M, {B} = M, M P(B), M P(B), M = {X P(B): 0 < #X < 2} 2 Seien a, b, c R Bestimmen Sie die Menge P({a, b, c}) mit ihrer Mächtigkeit (Tipp: Beachten Sie die Notwendigkeit einer FU (alias: Fallunterscheidung)) 3 Seien A := {2, 4, 6}, B := {0, 1} und C := A {1} a) Bestimmen Sie die Menge {a A: a 4} b) Bestimmen Sie die Menge (A B) \ C c) Bestimmen Sie die Menge C ({2, 4} {1, 0}) d) Bestimmen Sie die Menge C mit Mächtigkeit (Tipp: Bemerkung 185) 4 Seien A = {n Z: 2 n}, B = {n Z: 3 n} und C = {n Z: 6 n} a) Untersuchen Sie A, B, C auf Teil- bzw Ober-Mengenbeziehungen b) Bestimmen Sie die paarweisen Schnitte und Vereinigungen c) Bestimmen Sie die (definierten) paarweisen Komplemente 5 Seien A, B, X Mengen mit A, B X Beweisen Sie die Äquivalenz der Aussagen: a) A B; b) A B = A; c) A B = B 6 Beweisen Sie: Seien A, B Mengen mit A A B und B B A, so gilt: A = B (Tipp: Verwenden Sie Bemerkung 185) 7 Beweisen Sie die beiden Distributivgesetze von Satz 111 (Tipp: Vergleichen Sie für jede der beiden Gleichungen die Venn-Diagramme der beiden als gleich zu erweisenden Mengen) 13

14 2 Abbildungen 2 Abbildungen 21 Allgemeines zu Abbildungen Definition 21 (Abbildung (alias: Funktion)): Seien M, N zwei nicht-leere Mengen Weiter sei f M N, sodass es für jedes m M genau ein n N gibt mit (m, n) f (Rechtseindeutigkeit), dann spricht man bzgl f von einer Abbildung (alias: Funktion) von M nach N Bezeichung 22 (Schreib- und Sprechweisen zu einer Abbildung f M N): 1 Statt f M N schreiben wir f : M N und lesen dies als die Abbildung f geht von M nach N bzw f ist eine Abbildung von M nach N 2 Wir nennen M den Definitionsbereich von f (D f = M) und N den Wertebereich von f (W f = N) 3 Statt (m, n) f schreiben wir f(m) = n bzw f : m n und lesen dies als f bildet m auf n ab bzw f angewandt auf m ergibt n 4 Wir schreiben meist explizit: f : M N, f(m) = n bzw f : M N, m n; dabei ist das n jeweils von dem m abhängig, d h n = n m Wir nennen f(x) = y die Abbildungsgleichung und m n die Abbildungsvorschrift 5 Sei M M, so bezeichnet man die Menge f(m ) := {f(m): m M } N als Bild von M unter f Speziell: Die Menge f(m) = {f(m): m M} N nennt man das Bild (alias: die Bildmenge) von f 6 Sei N N, so bezeichnet man die Menge f 1 (N ) := {m M : f(m) N } M als Urbild von N bzgl f Speziell: Sei n N Die Menge f 1 ({n}) = {m M : f(m) = n} M nennt man die Faser von (bzw über) y; dbzgl ist gängige Konvention: f 1 (y) 7 Oft wird als Graph von f (G f ) bezeichnet, was für uns bereits f selber ist: G f := {(m, f(m)): m M} = f M N Beispiel 23 (Erste Beispiele): 1 Sei M eine nicht-leere Menge Als identische Abbildung (alias: Identität) auf M bezeichnet man die Abbildung Id M : M M, m m 2 Es ist Id R : R R, ( Id R )(x) := (Id R (x)) eine (reelle) Abbildung 3 Seien M, N nicht-leere Mengen Weiter sei n 0 N Dann ist c n0 : M N, m n 0 eine sog konstante Abbildung Es gilt: c n0 (M) = {n 0 } 14

15 2 Abbildungen 4 Sei M eine Menge und T M Als charakteristische Abbildung χ T von T bzgl M bezeichnet man folgende Abbildung (mit χ T (M) {0, 1}): { 1, falls m T ; χ T : M R, m 0, falls m M \ T (Manchmal spricht man diesbezüglich auch von der Indikatorfunktion I T ) 5 Als Betrag(sabbildung) bezeichnet man folgende Abbildung (mit R 0 als Bild): { +x, falls x 0 ; : R R, x x, sonst 6 Sei f : R R, f(x) = x 2 Dann gilt: f(r) = {x 2 : x R} = [0, + ) 7 Sei f : R 0 R, f(x) = x Dann gilt: f(r 0 ) = R 0 8 Sei f : {a, b, c, d} {1, 2, 3, 4, 5, 6}, f(a) = 1, f(b) = 1, f(c) = 1 und f(d) = 6 Dann gilt: a) f({a, c, d}) = {f(m): m {a, c, d}} = {f(a), f(c), f(d)} = {1, 6}, b) f 1 ({1}) = {a, b, c}, f 1 ({3, 4}) =, f 1 ({6}) = {d} 9 Sei f : {0, 1, 2, 3} {0, 1} {0, 1}, 0 (0, 0), 1 (0, 1), 2 (1, 0), 3 (1, 1) Dann gilt: a) f({0, 1, 2, 3}) = {0, 1} {0, 1}, f({0, 3}) = {(0, 0), (1, 1)}, b) f 1 ({1} {0, 1}) = f({(1, 0), (1, 1)}) = {2, 3} Bemerkung 24 (Spezielle (Ur-)Bilder, Gleichheit von Abbildungen): 1 Sei f : M N eine Abbildung, so gilt stets: a) f 1 (N) = M b) f 1 ( ) = {m M : f(m) } =, c) f( ) = {f(m): m } =, Dagegen gilt f(m) = N nur für spezielle (sog surjektive) Abbildungen f 2 Jede Abbildung ist eine spezielle Teilmenge der Produktmenge zweier nicht-leerer Mengen und besteht demnach (wenn auch nicht immer explizit genannt) aus ihrem Definitionsbereich, ihrem Wertebereich sowie ihrer Abbildungsgleichung bzw ihrer Abbildungsvorschrift; d h zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn sie in ihren Definitionsbereichen, Wertebreichen sowie Abbildungsgleichungen bzw Abbildungsvorschriften übereinstimmen Folgende vier Abbildungen f 1, f 2, f 3, f 4 sind also voneinander verschieden, sie stimmen in gewissen Eigenschaften nicht überein; vgl nachfolgende Definition 219: 15

16 2 Abbildungen a) f 1 : R R, x x 2, b) f 2 : R 0 R, x x 2, c) f 3 : R R 0, x x 2, d) f 4 : R 0 R 0, x x 2, Skizzieren Sie jede Abbildung in einem Schaubild und beantworten Sie die Frage: Schneidet jede Parallele der x-achse mit einer Höhe aus W fi (i {1, 2, 3, 4}) die Abbildung in mindestens / höchstens / genau einem Punkt? Definition 25 (Summe, Produkt): Seien f, g : R R Dann wird f + g : R R, x f(x) + g(x) als ihre Summe und f g : R R, x f(x) g(x) als ihr Produkt bezeichnet Bemerkung 26 (Summe, Produkt): In der Situation von Definition 25 gilt offensichtlich: f + g = g + f und f g = g f Definition 27 (Komposition): Seien f : M N, g : N O zwei Abbildungen Dann ist als Komposition (alias: Hintereinanderausführung) g f (lies: g nach f) folgende Abbildung definiert: Beispiel 28 (Komposition): g f : M O, (g f)(m) := g(f(m)) 1 Seien f : R \ {3} R, f(x) = x+2 x 3 und g : R R 0, g(x) = x 2 gegeben Dann ist die Komposition g nach f folgende Abbildung: g f : R \ {3} R 0, (g f)(x) = g(f(x)) = g ( ) x + 2 = x 3 ( ) 2 x + 2 x 3 Offensichtlich lassen sich f und g nicht in umgekehrter Reihenfolge komponieren 2 Für f, g : R R mit f(x) = x + 1 und g(x) = x 1 gibt es zwei Kompositionen: a) g f : R R, (g f)(x) = x; b) f g : R R, (f g)(x) = x Offensichtlich gilt g f = Id R = f g 3 Für f, g : R R mit f(x) = x 2 und g(x) = x + 1 gibt es zwei Kompositionen: a) g f : R R, (g f)(x) = x 2 + 1; b) f g : R R, (f g)(x) = (x + 1) 2 Offensichtlich gilt g f f g 16

17 2 Abbildungen Bemerkung 29 (Komposition: (Nicht-)Kommutativität, Assoziativität): 1 Die Komposition von Abbildungen ist nicht ia kommutativ, es gibt aber Abbildungen, die miteinander kommutieren; beides ist in Beispiel 28 zu sehen 2 Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ; maw: Seien f i : M i M i+1 (für i = 1, 2, 3) drei Abbildungen Dann sind zunächst die beiden Kompositionen f 2 f 1 : M 1 M 3 und f 3 f 2 : M 2 M 4 wohldefiniert und damit weiter die beiden Kompositionen f 3 (f 2 f 1 ): M 1 M 4 und (f 3 f 2 ) f 1 : M 1 M 4 Ferner gilt: (f 3 f 2 ) f 1 = f 3 (f 2 f 1 ) Definition 210 (Restriktion): Sei f : M N Weiter sei T M nicht-leer Dann ist die Restriktion (alias: Einschränkung, Beschränkung) von f auf T folgende Abbildung: f T : T N, (f T )(t) := f(t) Bemerkung 211 (Restriktion): Seien f : M T, g : N O zwei Abbildungen, wobei insbesondere gilt: T N Die Komposition von g nach f ist durch Definition 27 nicht erklärt, obwohl g(f(m)) für alle m M bestimmt ist Wir können nun aber folgende Komposition bilden: (g T ) f : M O, ((g T ) f)(m) := g(f(m)) Definition 212 (Umkehrabbildung): Sei f : M N eine Abbildung Weiter sei g : N M eine Abbildung mit g f = Id M und f g = Id N Dann heißt g Umkehrabbildung (alias: Inverse) von f; iz: g = f 1 MaW: Seien m M und n N beliebig, so gilt: Beispiel 213 (Umkehrabbildung): (g f)(m) = m, (f g)(n) = n 1 In Beispiel 282 steht ein Inversenpaar 2 Sei M = {1, 2, 3} Dann gilt: Die Abbildung Id M ist ihre eigene Umkehrabbildung, dagegen gibt es zu folgender Abbildung f keine Umkehrabbildung: { 1, falls m = 1 ; f : M M, m 2, sonst Denn sei g : M M beliebig, so gilt: g(m) M Daraus folgt f g Id M, insofern Id M (3) = 3 gilt, doch f g(3) 3 wegen 3 / f(g(m)) f(m) = {1, 2} Bemerkung 214 (Umkehrabbildung): Ist g Umkehrabbildung zu f, so ist g die (einzige, eindeutige) Umkehrabbildung zu f und f ist zudem die Umkehrabbildung zu g; dh insbesondere, dass gilt: (f 1 ) 1 = f 17

18 2 Abbildungen 22 Spezielle Eigenschaften von Abbildungen Definition 215 (Symmetrie, Antisymmetrie): 1 Eine in einem Intervall I D f R definierte Abbildung f heißt gerade oder symmetrisch genau dann, wenn für alle x I mit x I gilt: f( x) = f(x) 2 Eine in einem Intervall I D f R definierte Abbildung f heißt ungerade oder antisymmetrisch genau dann, wenn für alle x I mit x I gilt: Beispiel 216 (Symmetrie, Antisymmetrie): f( x) = f(x) 1 Es ist f : R 0 R, f(x) = x gerade und ungerade (laut Definition 215) 2 Es sind f 1, f 2 : R R mit f 1 (x) = x 2 1 und f 2 (x) = x 2 2 beide gerade 3 Es sind f 1, f 2 : R R mit f 1 (x) = x 3 x und f 2 (x) = x 3 + 2x beide ungerade Definition 217 (Monotonie): 1 Eine Abbildung f heißt in einem Intervall I D f R monoton steigend genau dann, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt: f(x 1 ) f(x 2 ) Speziell: Man spricht von streng monoton steigend, falls die Gleichheit nicht gilt 2 Eine Abbildung f heißt in einem Intervall I D f R monoton fallend genau dann, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt: f(x 1 ) f(x 2 ) Speziell: Man spricht von streng monoton fallend, falls die Gleichheit nicht gilt Beispiel 218 (Monotonie): 1 Es ist f : R R, f(x) = 1 x 1 str m steigend in jedem Intervall in R 2 2 Es ist f : R R, f(x) = 1 x + 1 str m fallend in jedem Intervall in R 2 3 Es ist f : R 0 R, f(x) = x str m steigend in jedem Teilintervall von [0, + ) 4 Es ist f : R R, f(x) = x 2 str m steigend in jedem Teilintervall von [0, + ) und str m fallend in jedem Teilintervall von (, 0] 18

19 2 Abbildungen Definition 219 (Surjektiv, injektiv, bijektiv): Eine Abbildung f : M N heißt 1 surjektiv, wenn f(m) = N gilt; maw: Wenn es zu jedem n N ein m M gibt mit f(m) = n, also f 1 ({n}) Man sagt dann auch: Es ist f eine Abbildung von M auf N 2 injektiv, wenn für alle m 1, m 2 M gilt: Aus m 1 m 2 folgt f(m 1 ) f(m 2 ); maw (vgl Kontrapositionsgesetz A2): Aus f(m 1 ) = f(m 2 ) folgt m 1 = m 2 Man sagt dann auch: Es ist f eine linkseindeutige Abbildung von M nach N 3 bijektiv, falls f sowohl surjektiv als auch injektiv ist Man nennt f dann eine Bijektion Beispiel 220 (Surjektiv, injektiv, bijektiv): 1 Sei M eine nicht-leere Menge Die identische Abbildung Id M ist offensichtlich surjektiv, injektiv und damit auch bijektiv 2 Es ist Id R offensichtlich surjektiv, injektiv und damit auch bijektiv 3 Sei f : R R, f(x) = x + 1 a) Es ist f surjektiv, denn sei y R, so gilt: f 1 ({y}) Denn aus f(y 1) = (y 1) + 1 = y folgt y 1 f 1 ({y}) b) Es ist f injektiv, denn seien x 1, x 2 R beliebig mit f(x 1 ) = f(x 2 ) Aus f(x 1 ) = f(x 2 ) folgt x = x und daraus x 1 = x 2 c) Es ist f bijektiv; das ist klar nach Definition 4 Die charakteristische Abbildung von Q bzgl R und die Betragsabbildung sind weder surjektiv noch injektiv, insbesondere nicht bijektiv 5 Sei f 1 : R R, f 1 (x) = x 2 Dann gilt: a) Es ist f 1 nicht injektiv, denn bspw gilt: Es ist 1 1, doch f 1 ( 1) = f 1 (1) b) Es ist f 1 nicht surjektiv, denn bspw gilt: Für x := 1 R ist f 1 1 ({x}) =, weil das Quadrat jeder reellen Zahl ist nicht-negativ c) Es ist f 1 nicht bijektiv; das ist klar nach Definition In folgender Tabelle sind die Abbildungen f 1, f 2, f 3, f 4 aus Bemerkung 24 bzgl ihrer Eigenschaften surjektiv, injektiv, bijektiv klassifiziert: 19

20 2 Abbildungen Abbildung D fi W fi surjektiv injektiv bijektiv f 1 R R nein nein nein f 2 R 0 R nein ja nein f 3 R R 0 ja nein nein f 4 R 0 R 0 ja ja ja 6 Es ist f : R 0 R 0, x x surjektiv, injektiv und damit auch bijektiv Bemerkung 221 (Surjektiv, injektiv, bijektiv): Sei f : M N Die Begriffe surjektiv, injektiv und bijektiv lassen sich mittels der f 1 -Notation einheitlich formulieren; vgl Bemerkung 24 Denn es gilt: surjektiv, falls f 1 ({n}) 1, Die Abbildung f ist injektiv, falls f 1 ({n}) 1, für alle n N bijektiv, falls f 1 ({n}) = 1, MaW: Es ist f surjektiv / injektiv / bijektiv, falls für alle n N gilt: Die Faser von n ist mindestens / höchstens / genau einelementig Definition 222 (Folgen, endliche Folgen): Sei a: N R, so spricht man von einer reellen Folge Bzgl Folgen ist eine eigene Notation üblich Man schreibt a n für die Folgenglieder, dh die Abbildungswerte a(n) Die Abbildung selbst notiert man meist folgendermaßen: (a n ) n N R, kürzer: (a n ) R oder spricht von einer reellen Folge bzw Folge in R Wir rechnen mit Folgen also wie mit Abbildungen: Seien (a n ), (b n ) R, c R, so gilt: 1 (a n ) + (b n ) = (a n + b n ); 2 c (a n ) = (c a n ); 3 (a n ) (b n ) = (a n b n ) Ist der Definitionsbereich der Abbildungen auf eine endliche Teilmenge von N beschränkt, so spricht man dbzgl von endlichen Folgen Bemerkung 223 (Abbildungstypen): Eine genauere Untersuchung inkl Einführung weiterer wichtiger Abbildungstypen (Potenzen, Wurzeln, Exponentialfunktion, Logarithmen, Winkelfunktionen) wird im zweiten Teil des Vorkursskripts erfolgen 20

21 2 Abbildungen Bemerkung 224 (Einschränkungen): 1 Sei f : M N Durch Einschränkung des Definitionsbereichs M auf eine geeignete Teilmenge T M (vgl 210) erhält man bspw eine injektive Variante f T von f Ist f nicht injektiv, so hat man bzgl T gewisse Wahlfreiheiten; selbst wenn man an einem maximalen T interessiert ist 2 Sei f : M N Durch Einschränkung des Wertebereichs N auf f(m) kann man in kanonischer Weise zu einer surjektiven Variante f von f übergehen: f : M f(m), f(m) := f(m) Speziell: Für eine injektive Abbildung f ist die zugeordnete Variante f bijektiv Man könnte f 1 als Pseudo-Umkehrabbildung von f bezeichnen Weiter könnte man als Wertebereich der charakteristischen Abbildung (bzw Indikatorfunktion) von T bzgl M gut und gerne {0, 1} festlegen; als Wertebereich der Betragsabbildung käme bspw auch R 0 in Frage Satz 225 (Bijektion und Umkehrbarkeit, strenge Monotonie und Injektivität): 1 Sei f : M N bijektiv Dann gibt es genau eine Umkehrabbildung f 1 2 Zu einer nicht-bijektiven Abbildung gibt es keine Umkehrabbildung 3 Seien a, b R mit a < b Weiter sei f : [a, b] R streng monoton (st oder fallend) Dann gilt: Es ist f injektiv Beweis: Seien x 1, x 2 [a, b] mit x 1 x 2 Dann gilt entweder x 1 > x 2 oder x 1 < x 2 ; ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x 1 < x 2 (die Indizierung also passend gewählt) Für streng monoton steigende f gilt dann f(x 1 ) < f(x 2 ), für streng monoton fallende f dagegen gilt f(x 1 ) > f(x 2 ) In beiden Fällen ist also f(x 1 ) f(x 2 ) und damit f als injektiv gezeigt 23 Exkurs: Äquivalenzumformungen Bemerkung 226 (Äquivalenzumformungen): 1 Wir haben Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen über R schon mehrfach (insb beim Bestimmen des Monotonieverhaltens) äquivalent manipuliert; dabei heißt äquivalent, dass die Lösungsmenge (der Gleichung, Ungleichung, Relation) nicht verändert wurde; das heißt genauer: Wir betrachten die beiden Seiten der (Un-) Gleichung als Abbildungsterme zweier Abbildungen (in der einen Variablen) mit Definitions- sowie Wertebereichen in R und setzen dann als Grundmenge G den Schnitt der Definitionsmengen Als Lösungsmenge L (LM) bezeichnen wir die Menge all der Elemente von G, für die gilt: Unter den Elementen in G sind es genau die Elemente in L, für die durch die (Un-) Gleichung eine wahre Aussage formuliert ist, falls die Variable mit dem (Wert des) Element(s) belegt ist 21

22 2 Abbildungen 2 Wir betrachten also folgende Situation (formuliert für eine Gleichung): g(x) = f(x), G = D f D g R, L = {x G: f(x) = g(x)} G Sei nun h: G R eine weitere Abbildung, so gilt: a) Die Lösungsmenge von h(x) + g(x) = h(x) + f(x) ist ebenfalls L b) Die LM von h(x) g(x) = h(x) f(x) ist ebenf L, falls h(x) 0 für alle x G c) Die LM von h(f(x)) = h(g(x)) ist ebenfalls L, falls h injektiv ist Beispiel 227 (Äquivalenzumformungen): 1 In Bemerkung 2262b gilt für die LM der Gleichung h(x) g(x) = h(x) f(x), dass sie (insb / auch) die Nullstellen von h enthält Denn sei x 0 G Nullstelle von h, so behauptet die Gleichung (nach Einsetzung (dieses Wertes) von x 0 für x und anschließender Vereinfachung der beiden Produkte) nur noch 0 = 0; diese Aussage ist wahr, also x 0 eine Lösung, auch dann wenn gilt: f(x 0 ) g(x 0 ) Ist h bspw die Nullabbildung c n0 mit n 0 = 0, so gilt: L = G 2 Ist die Abbildung h in Bemerkung 2262c nicht injektiv, so kann sich die Lösungsmenge vergrößern Betrachtet man bspw eine konstante Abbildung als h, so ist h(f(x)) = h(g(x)) für alle x G erfüllt; die Lösungsmenge ist dann (ganz) G 3 Dass man gut daran tut, die Grundmenge anfangs explizit zu bestimmen, sieht man an folgendem Beispiel, das ebenfalls im Kontext von Bemerkung 2262c steht Sei also h(x) = x 2, dann gilt: x 1 = x2 1 ; h x 1 = x 2 1 ; über R x = x 2 ; über R x = 1 x = 0 Nach Anwendung von h ist bei Betrachtung der Gleichung(en) über R auch 0 Bestandteil der Lösungsmenge, obwohl die ursprüngliche Gleichung nicht von 0 gelöst wird, weil deren Seiten für x = 0 nicht definiert sind; vgl Unterkapitel 33 22

23 2 Abbildungen 24 Inversenpaare zu einer Abbildungsvorschrift bestimmen Bemerkung 228 (Umkehrabbildung, Restriktion): 1 Möglicher Nutzen der Umkehrabbildung: Gegeben sei eine Gleichung der Form f(m) = n für eine Abbildung f : M N und ein n N Gesucht ist das (bzw sind die) zu n gehörige(n) m M Falls f bijektiv ist, gibt es für jedes n N genau ein m M, das diese Gleichung löst; denn es gilt: f(m) = n f 1 (f(m)) = f 1 (n) m = f 1 (n) Die Faser f 1 ({n}) enthält für ein injektives f höchstens ein Element, für ein surjektives f mindestens ein Element Anmerkung: Ein beliebige Abbildung f muss weder injektiv noch surjektiv sein 2 Bestimmung von Definitionsbereich, Wertebereich und Umkehrfunktion: Wird zu gegebener Abbildungsgleichung f(x) = y ein (großer) Definitionsbereich D und ein (großer) Zielbereich W gesucht, so dass f : D W umkehrbar ist, so muss f injektiv und surjektiv sein Vorgehen: Bestimmen Sie zunächst die (ca maximale) Menge D max, für welche gilt: Es ist f max : D max f(d max ), f max (x) := f(x) eine (insb surjektive) Abbildung Lösen Sie dann die Gleichung f(x) = y nach x auf; das liefert (bei geeigneter Wahl) die Abbildungsvorschrift y x für eine mögliche Umkehrabbildung Suchen Sie (als W f ) eine Teilmenge T von f(d max ) bzgl derer f 1 : y x injektiv ist Dann ist f : f 1 (T ) T bijektiv Beispiel 229 (Umkehrabbildung): 1 Gegeben sei die Abbildungsvorschrift f : x x 2 Weiter sei D max = R Dann gilt für f max : D max f max (D max ), f max (x) := f(x) die Gleichung f(d max ) = R 0 Sei nun y R 0 beliebig Dann gilt x 2 = y genau für die x R mit x { y, + y} Eine Auflösung der Gleichung lautet also x = + y x = y Für jedes y R 0 kann man nun entweder die eine oder die andere Gleichung als Abbildungsgleichung wählen Sei nun T := R 0 und U := (, 3) ( 2, 1] [0, 1) [2, 3] Dann sind (bspw) folgende Abbildungen invers zueinander: f : U R 0, x x 2 ; + y, falls y [0, 1) ; f 1 y, falls y [1, 4) ; : R 0 U, y + y, falls y [4, 9] ; y, falls y (9, + ) 23

24 2 Abbildungen 2 Gegeben sei die Abbildungsvorschrift f : x 1 /x 4 Weiter sei D max = R \ {4}, denn x 4 muss wegen des Nenners gelten, jede weitere reelle Zahl ist unproblematisch und noch ist es nicht an der Zeit für größere Zahlbereiche als R Man kann sich dem Wertebereich und der Abbildungsgleichung der Umkehrabbildung auch anders nähern und sie simultan bestimmen Sei demnach zunächst y R beliebig Falls y Element ist von f(d max ), dann gibt es ein x D max, das eine Lösung der beiden folgenden äquivalenten Gleichungen ist: f(x) = y 1 x 4 = y Das weitere Vorgehen besteht nun darin, diese Gleichung nach x aufzulösen: 1 x 4 = y x 4 y(x 4) = 1 y 0 x 4 = 1 y x = 1 y + 4 Dabei ist das x 4 über dem ersten Äquivalenzpfeil keine weitere Einschränkung, weil sie bereits getroffen war, insofern 4 / D max gilt; dagegen ist der Fall y = 0 noch eigens zu prüfen Zunächst aber zusammenfassend: Zu beliebigem y 0 gibt es also ein x 4 mit f(x) = y, nämlich x = 1 + 4; nun zum noch ausstehenden y Fall: Gilt 0 f(dmax)? Wir betrachten dazu die Gleichung vor der Einschränkung auf y 0, das ist y(x 4) = 1, und setzen dort y = 0 ein; das liefert die falsche Aussage 0 = 1 Die Gleichung 1 = y ist also wie eh offensichtlich für y = 0 x 4 nicht lösbar Man kann also setzen: W f := T := R und D f := D max ; maw: f : R \ {4} R, x 1 x 4 ; f 1 : R R \ {4}, y 1 y

25 2 Abbildungen 25 Übungsaufgaben 1 Zeigen Sie: a) Es ist f : R R, f(x) = (χ [0, ) (x) χ (,0) (x)) Id(x) die Betragsabbildung b) Seien T, M Mengen mit T M Dann gilt: i Aus χ T (M) = {0} folgt T = ii Aus χ T (M) = {1} folgt T = M 2 Seien f, g : R \ { 1, 0} R mit f(x) = 1 x 3 Seien f, g : R \ {±1} R mit f(x) = 1+x x 1 4 Seien f, g : R R mit f(x) = 1 x und g(x) = x2 1 und g(x) = Bestimmen Sie f + g x+1 4 und g(x) = Bestimmen Sie f g x+1 a) Bestimmen Sie {x R : (f + g)(x) = 0} und {x R : (g f)(x) = 0} b) Bestimmen Sie f g, g f, f g und g f 5 Seien f : R 0 R, f(x) = x und g : R R 0, g(x) = x 2 a) Bestimmen Sie die möglichen Kompositionen von f und g b) Gilt f g = Id R? Gilt g f = Id R 0? 6 Seien f, g : R 0 R 0 mit f(x) = x 3 + x und g(x) = x a) Bestimmen Sie die möglichen Kompositionen von f und g b) Kommutieren f und g; soll heißen: Gilt f g = g f? 7 Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Symmetrie und Antisymmetrie: a) c n0 : R R, c n0 (x) = n 0 mit n 0 {0, 1, x}; b) f : R R, f(x) = x + 1; c) f : R R, f(x) = 2x 2 + 1; d) f : R R, f(x) = x x 3 ; e) f : R R, f(x) = 1 2 x4 ; f) f : R R, f(x) = x 8 x 4 ; g) f : R R, f(x) = x 5 x 3 ; h) f : R R, f(x) = 1 x ; i) f : R R, f(x) = 1 4x 2 ; j) f : R R, f(x) = 2 x x 2 ; k) f : R R, f(x) = 2+1 x 4 +x 2 ; 25

26 2 Abbildungen l) f : R R, f(x) = 1 x 5 x 3 ; 8 Zeigen Sie folgende Aussagen zu Symmetrie und Antisymmetrie: a) Sei f : R R ungerade, so gilt: f(0) = 0 b) Sei f : R R gerade und ungerade, so gilt: x 0 c) Seien f : R R gerade und c R, so ist c f gerade d) Seien f : R R ungerade und c R, so ist c f ungerade e) Seien f, g : R R gerade, so sind f + g, f g und f g gerade f) Seien f, g : R R ungerade, so sind f +g, f g ungerade und ist f g gerade g) Seien f, g : R R mit f gerade und g ungerade, so sind f g, g f gerade und f g ungerade 9 Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Monotonie: a) f : R R, f(x) = 42; b) f : R R, f(x) = 2x 3; c) f : R R, f(x) = x 2 + 1; d) f : R 0 R, f(x) = x 2 1; e) f : R R, f(x) = 1 x ; f) f : R R, f(x) = 1 x 2 10 Zeigen Sie folgende Aussagen zu Monotonie: a) Seien f, g : R R mit f str m fallend und g mf, so ist f + g str mf b) Seien f, g : R R mit f str m steigend und g mst, so ist f + g str mst c) Knobelaufgabe: Suchen Sie Beispiele für f, g : R R mit f str m fallend und g str m steigend, sodass gilt: i Es ist f + g auf R str m fallend ii Es ist f + g auf R str m steigend iii Es ist f + g auf R weder monoton fallend noch monoton steigend ist 11 Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Surjektivität, Injektivität, Bijektivität: a) f : R R, f(x) = 2x 1; b) f : R 0 R 0, f(x) = x 2 2x 1; c) f : R R, f(x) = x 3 ; d) f : R R, f(x) = x 4 ; e) f : R R 0, f(x) = x 4 ; 26

27 2 Abbildungen f) f : R 0 R 0, f(x) = x 4 ; g) f : R R, f(x) = 1 x ; h) f : R R, f(x) = x3 x 12 Sind die in Beispiel 229 bestimmten Abbildungen tatsächlich zwei Inversenpaare? 13 Bestimmen Sie zu folgenden Abbildungsvorschriften jeweils ein Inversenpaar: a) x 2 1 x 2 1; b) x x Beweisen Sie die ersten beiden Teilaussagen von Satz 225: a) Sei f : M N bijektiv Dann gibt es genau eine Umkehrabbildung f 1 (Tipp: Sei f : M N bijektiv Dann gibt es (Weshalb?) zu jedem n N genau ein m M mit f(m) = n Basteln Sie sich daraus die Abbildungsvorschrift für f 1 ) b) Zu einer nicht-bijektiven Abbildung gibt es keine Umkehrabbildung (Tipp: Sei f : M N nicht bijektiv Weiter sei g : N M beliebig Falls f nicht surjektiv ist, so ist f g nicht surjektiv Falls f nicht injektiv ist, so ist g f nicht injektiv) 27

28 3 Summen, Produkte, Potenzen 3 Summen, Produkte, Potenzen 31 Summen Definition 31 (Summensymbol): Seien i, k, n N Weiter seien a i R (für k i n) Dann verwenden wir im Folgenden das Summen-Symbol gemäß folgender Konvention: n a k + a k a n, k < n; a i := a k, k = n; i=k 0, k > n Beispiel 32 (Summensymbol): Setze a 1 := 1, a 2 := 2, a 3 := 3, a 4 := 4, a 5 := 5 Dann gilt: 1 5 i=1 a i = a 1 + a 3 + a 3 + a 4 + a 5 = = 15; 2 3 i=2 a i = a 2 + a 3 = = 5 Bemerkung 33 (Summensymbol): In Beispiel 32 und entsprechenden Situationen können die in einer Summe auftretenden Summanden in folgendem Sinne direkt angegeben werden: 1 5 i=1 i = = 15; 2 3 i=2 i = = 5; 3 4 i=0 2i = ; 4 5 i=3 (x + i)2 i = (x + 3) (x + 4) (x + 5) 2 5 Satz 34 (Rechenregeln für Summen): Seien (a i ) n i=1 und (b i ) n i=1 endliche (reelle) Folgen und c R Dann gilt: 1 n i=1 (a i + b i ) = n i=1 a i + n i=1 b i; 2 n i=1 c a i = c n i=1 a i; 3 Inversion: n i=1 a i = n i=1 a n+1 i; 4 Teleskopsumme: n 1 i=1 (a i+1 a i ) = a n a 1 ; 5 Für 1 k n: n i=1 a i = k i=1 a i + n i=k+1 a i; 6 Indexshift um k N: n i=1 a i = n+k i=1+k a i k 28

29 3 Summen, Produkte, Potenzen Satz 35 (Berechnungsformeln (insbfd abbrechende geom Reihe)): 1 Für n N gilt: n i=1 i = n (n+1) 2 Für q R gilt: n i=0 qi = Beweis: 2 { q n+1 1 q 1 q 1; n + 1, q = 1 1 Sei n N Dann ist die Aussage äquivalent zu 2 n i=1 i = n (n + 1) Betrachte dafür: n n n n n 2 i = i + i = i + (n + 1 i) i=1 = i=1 i=1 i=1 n (i + n + 1 i) = i=1 = n (n + 1) i=1 n (n + 1) 2 Sei q R mit q 1 Dann ist die Aussage äquivalent zu (q 1) n i=0 qi = q n+1 1 Betrachte dafür: n n n (q 1) q i = (q 1)q i = (q i+1 q i ) i=0 i=0 i=1 i=0 = q n+1 q 0 = q n+1 1 Für q = 1 folgt die Aussage sofort aus der Definition Produkte Definition 36 (Produktsymbol): Seien i, k, n N Weiter seien a i R (für k i n) Dann verwenden wir im Folgenden das Produkt-Symbol gemäß folgender Konvention: n a k a k+1 a n, k < n; a i := a k, k = n; i=k 1, k > n Definition 37 (n-fakultät): Sei n N Dann ist n! (sprich: n-fakultät) folgendermaßen definiert: n! := n Beispiel 38 (n-fakultät): 1 Es gilt: 5! = = Es gilt: 6! = 5! 6 = 720 i=1 i 29

30 3 Summen, Produkte, Potenzen 33 Potenzen (spez Produkte) und Wurzeln (spez Potenzen) Ich möchte verweisen auf die zum Teil interaktiv aufbereitete Darstellung unter Definition 39 (Potenzen mit ganzzahligen Exponenten): 1 Seien a R, n N Dann ist die Potenz a n (sprich: a hoch n) folgendermaßen definiert: n a n := a Mit Blick auf a n spricht man bei a von Basis, bei n von Exponent und bei b R mit b = a n von Potenzwert 2 Seien a R, n N + Dann definiert man: i=1 a n := 1 a n 3 Damit ist a n für alle n Z, a R mit a 0, falls n < 0 gilt, bestimmt Satz 310 (Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten): Seien a, b R, m, n Z Dann gilt, falls die Potenzen und Brüche wohldefiniert sind: 1 a n a m = a n+m ; 2 a n : a m = an a m = an m ; 3 a n b n = (a b) n ; ( 4 a n : b n = an a ) n; b = n b 5 (a n ) m = a n m Beispiel 311 (Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten): 1 Seien a, b, x, y R mit a x y 0 Dann gilt: ( ) 4a 3 b 0 2 = (4a 3 b 0 x 2 y) 2 = 4 2 a 6 x 4 y 2 = a6 x 4 x 2 y 1 16y 2 2 Seien a, b R mit a > 0, b 0 Dann gilt: 9 4 (a 2 ab) (3ab) 3 = 3 8 a 4 ab a 3 b 3 = 3a2 4b 30

31 3 Summen, Produkte, Potenzen Definition 312 (n-te Wurzeln): 1 Seien a R 0, n N + Dann gibt es genau ein x 0 R 0 mit x n 0 = a, dh also genau eine nicht-negative reelle Lösung der Gleichung x n = a (Der Beweis hiervon ist nicht leicht; vgl [Heu90]), die wir folgendermaßen bezeichnen: n a := x0 Mit Blick auf n a spricht man bei a von Radikand, bei n von Wurzelexponent und bei x 0 von Wurzelwert 2 Seien a R 0, m N, n N + Dann definiert man: a m n := n a m (= n a m ) 3 Seien a R >0, m, n N + Dann definiert man: a m n := 1 a m n 4 Damit ist a q für alle q Q, a R 0 mit a 0, falls q < 0 gilt, bestimmt und sind n-te Wurzeln unter die Potenzen zu rechnen Beispiel 313 (n-te Wurzeln, Potenzen mit rationalen Exponenten): 1 Es gilt: ( ) = = ( ) = = 5 2 Es gilt: = 8 (7 3 ) (5 4 ) 1 2 = = = 44 3 Es gilt: = 5 (2 3 ) (4 4 ) 1 4 = = = 10 Bemerkung 314 (n-te Wurzeln): 1 Wir setzen a := 2 a 2 Radikand und Wurzelwert sind nicht-negativ; vgl bzgl einer Begründung [SG94] 3 Im Umgang mit Wurzeln hat man gerne bestimmte Standardisierungen, soll heißen: Unter einer n-ten Wurzel, deren Radikand eine positive natürliche Zahl ist, steht keine n-te Potenz einer positiven natürlichen Zahl und im Nenner von Brüchen steht keine Wurzel: Um ersteres zu erreichen, zieht man geeignete Faktoren aus der Wurzel; um letzteres zu erreichen, erweitert man (zb mittels 3BinFo) geeignet Beispiel 315 (Potenzfreie n-te Wurzeln, wurzelfreie Brüche): 1 Es gilt: 72 = = =

32 3 Summen, Produkte, Potenzen 2 Es gilt: 18 3 = = = Es gilt: 5 = = = = Es gilt: = = = 2( 2+2) Satz 316 (Rechenregeln für Wurzeln): Seien a, b R >0, m N, n N +, α, β R Dann gilt: 1 n a m a = nm a n+m ; 2 n a : m a = nm a m n ; 3 n a n b = n ab; 4 n a : n n b = a n b = n a b 5 n m a = nm a; 6 n a = a 1 n Bemerkung 317 (Potenzen mit reellen Exponenten): ( 2 2)( = 2( 2+2) 2+2) 2 4 = Die Rechenregeln von Satz 310 gelten auch für Potenzen mit rationalen Exponenten, wobei darauf zu achten ist, dass die Potenzen und Brüche wohldefiniert sind 2 Die Rechenregeln von Satz 310 gelten auch für Potenzen mit reellen Exponenten, wobei darauf zu achten ist, dass die Potenzen und Brüche wohldefiniert sind Dabei werden die Potenzen mit irrationalen Exponenten bspw durch Intervallschachtelungen definiert Im Kapitel?? über die Exponentialfunktion wird eine weitere Definition von Potenzen eingeführt, die reelle Exponenten miteinschließt Satz 318 (Rechenregeln für Potenzen): Seien a, b R >0, m Z, n N +, α, β R Dann gilt: 1 a α a β = a α+β ; 2 a α : a β = a α β ; 3 a α b α = (ab) α ; 4 a α : b α = (a : b) α ; 5 (a α ) β = a α β ; 6 1 a α = a α ; 7 a 0 = 1 32

33 3 Summen, Produkte, Potenzen 34 Übungsaufgaben 1 Bestimmen Sie 0 0, 1 α für α R, 0! und 7! 2 Gilt die Formel n! = (n 1)! n für n N? 3 Seien a, b R Schreiben Sie als Potenzen: a) ( 1 a 2 1 a 2 1 a 2 ) für a 0; b) (b a)(a b)(a b); c) (a 0 b)(a 0 b)(a 0 b)(a 0 b) 4 Bestimmen Sie die Werte folgender Ausdrücke, wobei Sie deren Wohldefiniertheit annehmen dürfen: a) ( 2 1 ) 3 ; b) ( 3 4) 2 ( 4 3) 3 und ( 3 4) 2 ( 4 3) 3; c) 18(a 1) 3 3(1 a) 3 15(a 1) 3 + 4(1 a) 3 + 3(1 a) 3 ; d) ax+1 b x+3 a 3x 1 b x+3 a x 2 b 3 x a x b x+1 ; e) a5x 2y b 6m 1 : a4x+y b m 1 ; f) an+1 b x 1 +a n b x +a n 1 b x+1 a n 2 b x 1 5 Machen Sie jeweils den Nenner wurzelfrei: a) ; b) x(2r2 4x 2 ) r 2 x 2 8x r 2 x 2 Bestimmen Sie insbesondere D r, D x R der für r, x erlaubten Werte 6 Sei a R >0 Bestimmen Sie ein (dh das eindeutig bestimmte) x R, sodass gilt: a x = 3 a 3 a a a 3 7 Die französische Gräfin Elisabeth-Angelique de Beauteville verwitwete im Alter von 20 Jahren Ihr Gatte, der Gouverneur Sanslisse, liebte sie sehr und hinterließ folgendes Testament: Im ersten Jahr nach seinem Tode wird der Witwe ein Goldstück ausgezahlt, wenn sie nicht wieder heiratet, im zweiten zwei Goldstücke, im dritten vier usw, also in jedem Jahr doppelt so viele Goldstücke wie im Vorjahr, vorausgesetzt sie bleibt unverheiratet Die Gräfin lebte noch 69 Jahre und heiratete nicht wieder Wie viele Goldstücke hätte sie erhalten müssen? 33