Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Funktionen und ihre Graphen Helfer im Alltag. Florian Borges, Traunstein VORANSICHT. 11/12 (G8) Stunden

Transkript

1 Reihe 8 S Verlau Material LEK Glossar Lösunen Funktionen und ihre Graphen Heler im Allta Florian Bores, Traunstein + sin() Klasse: Dauer: Inhalt: / (G8) 0 Stunden 5 + cos() Symmetrie des Graphen, Nullstellen, Polynomdivision, Grenzverhalten, Steiun, Ableitunsreeln, Etrempunkte, Wendepunkte, Krümmun, verschiedene Funktionstypen sowie Anwendunsbeispiele aus Wirtschat, Medizin, Sport, Physik und Technik Ihr Plus: ideal zur Vorbereitun au das Abitur Wiederholunsblatt und LEK au CD-ROM 55 E Ihre Schüler ermitteln Symmetrien an Funktionsraphen, das Verhalten einer Funktion an den Grenzen des Deinitionsbereichs sowie im Unendlichen, lokale und lobale Etrema, Wendepunkte und Nullstellen. Sie erarbeiten sich die Besonderheiten bei verschiedenen Funktionsamilien eemplarisch. Lebensnahe Anwendunen runden den Beitra ab. 80 RAAbits Mathematik September 04

2 Reihe 8 S Verlau Material LEK Glossar Lösunen Didaktisch-methodische Hinweise In esten Arbeitsruppen beinnen Sie die Analyse von Funktionsraphen mit nicht nur ästhetischen, sondern auch arbeitsökonomisch sinnvollen Symmetriebetrachtunen (M ). Je nach Leistunsähikeit und Erahrun Ihrer Lernruppe verwenden Sie auch die Symmetriebetrachtunen bezülich anderer Achsen bzw. Punkte als = 0 bzw. (0 0) als Einstie (M ). In diesem Fall ist mehr Zeit zu veranschlaen. Als erste besondere Punkte eines Graphen werden in Material M die Achsenschnittpunkte behandelt, was im Falle von Polynomunktionen mit der Polynomdivision als Faktorisierunshile ut elint. Hierbei wird auch die schritliche Division von natürlichen Zahlen wiederholt (M 4). Das Verhalten des Graphen an den Rändern des Deinitionsbereichs sowie im Unendlichen olt in Material M 5. Reeln zur Ableitun besonderer wie auch beliebier Funktionen in Material M 6 bereiten das systematische Suchen nach Monotoniebereichen vor. Etremwerte (M 7) und Krümmunsverhalten bzw. Wendepunkte (M 8) werden anschließend bestimmt. Typische Eienschaten verschiedener Familien von Funktionen erarbeiten sich Ihre Schüler in einem Lernzyklus aus drei Stationen (M 9 M ). Dies sind in Material M 9 die Polynom- (mit Schwerpunkt Faktorisieren und Symmetrie) und die ebrochenrationalen Funktionen (mit Polen und anderen Asymptoten). Mit Gewicht au Periodizität und Streckun bzw. Verschiebun in Achsenrichtun olen die trionometrischen Funktionen in Material M 0. Schließlich werden lineares und eponentielles Wachstum in Material M verwendet, um e- und ln-funktion als weitere Funktionenklasse oberster Priorität zu besprechen. Als Abschluss dient Material M mit seinen Anwendunen aus verschiedenen Lebensbereichen. Vorkenntnisse Die Schüler kennen die Stauchun und Verschiebun von Graphen (a (b + c) + d; a, b, c und d r), rundleende Zusammenhäne zwischen Funktionsterm und -raph, die Berie Sekanten- und Tanentensteiun, das Thema Ableitun, Eponential- und Loarithmusunktion (M, M ), eponentielles Wachstum/ep. Zerall, Halbwerts- und Verdoppelunszeit (M ). Vorbereitun und Ablau der Arbeit an der Lerntheke Sie kopieren die Materialien M M in Klassenstärke. Laminieren Sie jeweils ein Eemplar, das Sie mit den Kopien au der Fensterbank ausleen. Teilen Sie Ihre Schüler in Arbeitsruppen ein. Die Lernenden holen sich die Materialien jeweils in Gruppenstärke und ertien bei M M und M 5 M 8 jeweils eine Folie mit den Lösunen an, die dann in der Folestunde stichprobenarti im Plenum besprochen werden. Beim Lernzirkel (M 9 M ) arbeiten die Gruppen parallel an verschiedenen Funktionsklassen. Das Material M bearbeitet jeder Schüler ür sich allein. Ziele Die Schüler erkennen die Symmetrie eines Graphen am Funktionsterm, entnehmen dem Funktionsterm das Grenzverhalten des Graphen an Deinitionsrändern und im Unendlichen, 80 RAAbits Mathematik September 04

3 Reihe 8 S 4 Verlau Material LEK Glossar Lösunen Au einen Blick Einstie: Erkennen von Besonderheiten eines Funktionsraphen Material Thema Stunde M Symmetrische Graphen sind schön!. Symmetrie zum Koordinatensystem M Punkt- und Achsensymmetrien bei Funktionsraphen Weitere Symmetrien M Graphenschnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (inkl. Polynomdivision) M 4 Tippkarte zum Thema Polynomdivision (M ) M 5 Verhalten des Graphen an den Deinitionsrändern Verhalten an den Deinitionsrändern und im Unendlichen M 6 Die Ableitunsreeln und die Tanentensteiun 4. M 7 M 8 Au und nieder! Steiun und Etrempunkte Steiun, Monotonieverhalten und Etrema Radahren kinderleicht! Krümmun und Wendepunkte Krümmun und Wendepunkte Lernzirkel zu typischen Eienschaten verschiedener Funktionsamilien Material Thema Stunde M 9 M 0 M Polynom- und ebrochenrationale Funktionen Eienschaten der Funktionsamilie Trionometrische Funktionen 8. Eienschaten der Funktionsamilie Eponential- und Loarithmusunktionen 9. Eienschaten der Funktionsamilie Abschluss im Plenum Material Thema Stunde M Anwendunen Anwendunsauaben aus den Bereichen Wirtschat, Medizin, Sport, Physik und Technik 0. und. Die Lösunen zu den Materialien inden Sie ab Seite RAAbits Mathematik September 04

4 Reihe 8 Verlau Material S LEK Glossar Lösunen M Symmetrische Graphen sind schön! Symmetrie wird als schön empunden, anz besonders auch von Mathematikern, weil sie bei Erkennen einer Symmetrie am Funktionsraphen nur halb so viel Arbeit erledien müssen wie sonst. Aus diesem Grund erolt die Überprüun au Symmetrie auch am Anan. Abebildet sind Ausschnitte der Funktionsraphen von () = sin() ; () = cos() ; Sie weisen alle Symmetrie au. () = + und Zwei der Graphen sind symmetrisch zur y-achse ( erade Funktionen ), die anderen beiden sind punktsymmetrisch zum Ursprun (0 0) und heißen unerade Funktionen. Für erade Funktionen ilt stets: ( ) = (), d. h., Vertauschen des Vorzeichens von ändert nichts am Funktionswert (jeweils leiche Höhe ). Für unerade Funktionen ilt stets: ( ) = (), d. h., Vertauschen des Vorzeichens von ändert nur das Vorzeichen des Funktionswerts. Alle anderen Funktionen (leider die meisten!), ür die weder ( ) = () noch ( ) = () ilt, sind weder erade noch unerade. 5 4() = +. Merkreel ür Polynomunktionen ( anzrationale Funktionen): Kommen im Funktionsterm nur erade (unerade) Hochzahlen von vor, ist die Funktion erade (unerade). Großer Vorteil der eraden und uneraden Funktionen: Kennt man den Graphen au einer Seite der y-achse, kennt man die andere Hälte auch! sin() 5 + cos() + E Auabe a) Untersuchen Sie die Graphen der olenden Funktionen au Symmetrie. Verwenden Sie einen Funktionsplotter (wie GeoGebra). Geben Sie dazu erst den Funktionsterm () ein. Lassen Sie als weitere Funktion ( ) darstellen, am besten in anderer Farbe oder Linienart. So erkennen Sie eperimentell, ob ( ) = () oder ( ) = () (oder keines von beiden) ilt. b) Weisen Sie einen Symmetriebeund. alebraisch (durch Umormun) nach. Ordnen Sie die Funktionen in einer Tabelle (erade, unerade, sonstie) richti zu. Funktionen: 6 () 4 = + ; 5() = + ; 9() cos() 7 () 4 = + ; 6() sin() 0() sin( ) () 7() cos() () = + sin( ) 4() 8() 0 sin() 80 RAAbits Mathematik September 04

5 Reihe 8 Verlau Material S LEK Glossar Lösunen M Graphenschnittpunkte mit den Koordinatenachsen Bei diesem Thema lohnt es sich, eine eientlich jedem bekannte, aber vermeintlich zu selbstverständliche Eienschat von Punkten au Funktionsraphen zu wiederholen: Merke Ein Punkt P 0 ( 0 y 0 ) liet enau dann au dem Graphen einer Funktion (), wenn y 0 = ( 0 ) ilt, d. h., wenn seine Koordinaten die Funktionsleichun erüllen. Ist daeen y 0 > ( 0 ), dann liet der Punkt oberhalb des Graphen bzw. im Falle y 0 < ( 0 ) unterhalb. Außerdem ist im Koordinatensystem die Mene aller Punkte mit -Koordinate 0 die y-achse, entsprechend bilden alle Punkte mit y-koordinate 0 zusammen die -Achse. Den Schnittpunkt eines Graphen G mit der y-achse nennt man y-abschnitt, er hat die Koordinaten (0 (0)). Ween der Eindeutikeit der Zuordnun einer Funktion kann es maimal einen y-abschnitt eben. Die Schnittpunkte mit der -Achse heißen Nullstellen. Sie haben die Koordinaten ( ) 0. Nullstelle Man berechnet die Nullstellen durch Lösun der Gleichun () = 0. Bei der Nullstellenbestimmun hilt eine mölichst vollständi aktorisierte Darstellun, denn ein Produkt ist enau dann leich 0, wenn mindestens einer seiner Faktoren leich 0 ist. 4 Beispiel: () = ( )( + )( + )( 4) = hat (wie man an der ersten Schreibweise ablesen kann) die Nullstellen,, und 4. Liet die ausmultiplizierte Darstellun vor (welche daür andere Vorteile bietet!), muss man probieren, es empiehlt sich, die Teiler des konstanten Summanden zu testen (hier 4), eine Treerarantie ist das aber nicht. Für lineare (Aulösen nach ) und quadratische Funktionen (Mitternachtsormel) kennen Sie die Verahren, bei Polynomunktionen höheren Grades hilt in Einzelällen evtl. eine Substitution, die au eine quadratische Hilsleichun ührt, eleentlich kann man ausklammern, meist muss man aber raten. Hat man dann eine Nullstelle a erraten, lässt sich das Problem durch eine Polynomdivision (vl. Tippkarte) durch ( a) um einen Eponentenrad verrinern, und so kann man den Summenterm aktorisieren. Wenn Raten nicht hilt, ibt es zuverlässie Näherunsverahren (z. B. das Newtonverahren), die aber eben nur (beliebi enaue) Uneähr-Nullstellen lieern. Auabe (Partnerarbeit) a) Bestimmen Sie Deinitionsmene sowie alle Nullstellen olender Funktionen: ( ) ( + ) cos 4 4 () = ( ) sin(); () = ; () = + + ; 4() = Die Deinitionsmene d ist die Mene aller, die in den Funktionsterm einesetzt werden düren. b) Erinden Sie eine Funktion vierten Grades in aktorisierter Darstellun, multiplizieren Sie den Term (ehlerrei!) aus und lassen Sie ihn vom Partner wieder aktorisieren. Vereinbarun: Zwei der Nullstellen sollten aus {, -,, 0,,, } ewählt werden, damit der Partner beim Raten eine Chance hat. Auch mehrache Nullstellen düren vorkommen, also etwa: () = ( ) ( + )( + ). 80 RAAbits Mathematik September 04

6 Reihe 8 Verlau Material S 4 LEK Glossar Lösunen M 4 Tippkarte zum Thema Polynomdivision a) Wiederholun der schritlichen Division von natürlichen Zahlen: 9890 :: 85 = b) Analoes Verahren bei der Polynomdivision: Mit welchem Faktor muss man jeweils den ührenden Summanden (mit der höchsten Potenz von ) des Divisors multiplizieren, um den ührenden Summanden des Dividenden (bzw. später des Restes) zu erhalten? ( ) : ( ) ( ) 5 ( ) 4 + = + 0 ( 4 4) ( 4 + 4) 0 4 Beispiel: Hat man etwa bei der Beispielunktion () = die Nullstelle bei = erraten, dann ührt die oben voreührte Rechnun au das neue Problem = 0. Hier muss man eine weitere Nullstelle (etwa = ) inden und nochmals dividieren: : ( + ) = Das Restproblem = 0 lässt sich mit der Mitternachtsormel lösen: Nullstellen bei und 4. Man schreibt den Summenterm 4 () = aktorisiert als () = ( )( + )( + )( 4). Da quadratische Gleichunen nicht immer lösbar sind, kann es vorkommen, dass im vollständi aktorisierten Term auch ein quadratischer Faktor bleibt, z. B. ( + ) ( + ) ( + ). Beründun: + = 0 = =± Widerspruch! ( r) 80 RAAbits Mathematik September 04

7 Reihe 8 Verlau Material S 5 LEK Glossar Lösunen M 5 Die Abbildun zeit ausschnittsweise den Graphen von () = + \. mit Deinitionsmene d = r { } Verhalten des Graphen an den Deinitionsrändern Oensichtlich strebt der Funktionswert links von der Deinitionslücke ( Pol ) bei een, rechts davon een sowie rechts und links ür ± een den Grenzwert. Bevor wir diese Vermutun beründen, muss der Beri Grenzwert klar deiniert sein: Deinition Eine Funktion hat ür a den Grenzwert c enau dann, wenn () beliebi nahe bei c liet, alls man hinreichend nahe bei a wählt. Schreibweise: lim () = c () = + besteht aus zwei Summanden: Der erste ist und strebt ür betrasmäßi über jede Schranke hinauswachsende -Werte een 0, der zweite ist konstant, und es eribt sich: lim () =. ± In der Nähe der Polstelle bei = kommt es darau an, ob man sich dieser von links nähert (dann ist eine Idee kleiner als, der Nenner von somit um eine Idee kleiner als 0, der Bruchterm strebt also een ) oder von rechts (dann ist eine Idee rößer als, der Nenner von somit um eine Idee rößer als 0, der Bruchterm strebt also een + ). Der konstante Summand spielt hier keine Rolle. Also: lim () = und lim () =. < > a E Weitere Beispiele:. Bei Polynomunktionen hat ür ± stets die höchste Potenz von Recht : a) b) + + = ; 5 lim ( ) = + 5 lim ( ) 4 lim ( ) + + = ; 4 lim ( ) + + = 80 RAAbits Mathematik September 04

8 Reihe 8 Verlau Material S 7 LEK Glossar Lösunen M 6 Die Ableitunsreeln und die Tanentensteiun Um den Beri der Steiun von den Geraden au beliebie Kurven zu übertraen, let man als Steiun eines Funktionsraphen G an einer Stelle = a die Steiun der Tanente an den zuehörien Graphenpunkt P(a (a)) est. Die Tanentensteiun erhält man soern dies mölich ist als Grenzwert der Sekantensteiun ür den Fall, dass der ür eine Sekante notwendie. Graphenpunkt Q(a + h (a + h)) beliebi nahe bei P liet, also (a + h) (a) '(a) = lim. h 0 h Allemein (ür alle mölichen Werte von a) lieert diese Tanentensteiun dann die so. Ableitunsunktion: ( + h) () '() = lim h 0 h Zusammenassun der wichtisten Ableitunsreeln: Funktion Ableitunsunktion Funktion Ableitunsunktion n () (n = r) () = = '() n = n () sin() () = = ' = '() = cos() () = cos() '() = sin() Reeln ür beliebie, zusammenesetzte Funktionen (soern anwendbar): () = u() + v(); '() = u'() + v'() (Summenreel) () = c u(); '() = c u'(), c r (Faktorreel) () = u() v(); '() = u'() v() + u() v'() (Produktreel) u() v() u'() () ; '() u() = = v'() (Quotientenreel) v() [ v() ] () = u(v()); '() = u'(v()) v'() (Kettenreel) Auaben. Berechnen Sie die Ableitunsunktion zu a) () = + 4 b) () = c) 7 sin(). Bestimmen Sie die Gleichun der Tanenten am Graphen von () = + 4 im Punkt P( ()). () = + 4. Bestimmen Sie die Ableitunsunktion () der Ableitunsunktion () zu () = Bestimmen Sie alle Funktionen () mit der Ableitun Hier müssen Sie interieren. '() = + 4 cos(). 80 RAAbits Mathematik September 04

9 Reihe 8 Verlau Material S 8 LEK Glossar Lösunen M 7 Au und nieder! Steiun und Etrempunkte Graph der Funktion () = ( ) Betrachtet man den abebildeten Graphen von der Seite, dann ällt er (von links kommend) zunächst immer wenier steil ab bis zum linken Tiepunkt, dann eht es erst immer steiler, dann ab ( 0) wieder immer wenier 5 steil berau zum Hochpunkt 0, von dort aus zunehmend steil berab bis ( 0), ab dort wieder wenier steil bis zum rechten Tiepunkt sowie schließlich immer steiler berau. Die Ableitunsunktion () einer Funktion () beschreibt die Steiun des Graphen von, also wie stark sich der Funktionswert ändert. Die. Ableitun () beschreibt als Ableitun der. Ableitun die Änderun der Änderun. Steiunsverhalten eines Graphen G : Ist in einem Bereich '() > 0, dann steit der Graph dort ( echt, also ohne Waarechtstellen ). Ist in einem Bereich '() < 0, dann ällt der Graph dort ( echt ). Ist an einer Stelle '() = 0, dann liet ein Punkt waarechter Tanente vor, der ein Hoch-, Tie- oder Terrassenpunkt sein kann. Praktische Merkreel daür: '() = 0 und ''() < 0 (neativ) Maimum '() = 0 und ''() > 0 (positiv) Minimum oben 0 0 E Maima und Minima nennt man dann lobale (oder absolute) Maima bzw. Minima, wenn es auch im übrien Deinitionsbereich keine rößeren bzw. kleineren Funktionswerte ibt (sonst: lokale (oder relative) Etrema). Man beschreibt das Steiuns- oder Monotonieverhalten mit einer Steiunstabelle, in der die Bereiche zwischen den Nullstellen der Ableitun estehalten werden. Beispiel von oben: () = ( ) mit '() = ( ) < < < 0 0< < < Vorzeichen von () + + Graph von ällt stren monoton steit stren monoton ällt stren monoton steit stren monoton Auabe: Fertien Sie eine Steiunstabelle und eine Skizze der Funktionsraphen an: 5 a) () = b) () = 80 RAAbits Mathematik September 04

10 Reihe 8 Verlau Material S 0 LEK Glossar Lösunen M 9 Polynom- und ebrochenrationale Funktionen Checkliste Polynomunktion: Symmetrien zur y-achse oder zum Ursprun? Faktorisieren ür NS (berührende NS bei erader Vielachheit!),. Ausmultiplizieren ürs Ableiten Führende Potenz = maimale Anzahl der Nullstellen Beispiel: Der Graph von () = + + = ( + + ) ist nicht symmetrisch (da erade und unerade Eponenten von vorkommen), hat maimal drei Nullstellen (da dritten Grades), tatsächlich aber nur eine bei = 0, weil sich der zweite Faktor (rechter Term!) nicht weiter zer- leen lässt. Die Ableitun '() = = ( + ) hat eine doppelte Nullstelle (also ohne VZW) bei =, weil außerdem ''() = = 6 ( + ) an dieser Stelle ebenalls den Wert 0 hat, liet dort ein Terrassen- und Wendepunkt. Links verschwindet der Graph nach unten ( lim () = ), rechts nach oben ( lim() = ) ween der ührenden. Potenz von. Checkliste ebrochenrationale Funktion (Zählerrad Z, Nennerrad N): Z < N ( echt rational ): lim () = 0 und ± Z N ( unecht rational ) mit Z = N: lim () = c; c 0 ± Z > N bedeutet schräe Asymptote (Gerade bei Z = N + ) oder ekrümmte Asymptote (z. B. Parabel bei Z = N + ), asymptotischer Term wird ewonnen durch Polynomdivision mit Rest. Unerade/erade Vielachheit der Polstelle Pol mit/ohne VZW. Beispiel: () = = + hat einache Polstellen bei =±, der Graph schmiet sich außen an die Gerade y = an (der echt rationale Summand strebt dort een 0). 4 '() = = 0 ür = 0 (doppelte NS des Zählers Terrassenpunkt von G ) sowie =± (je einach, Ma. bei und Min. bei + ) y y Auaben 4. Zeien Sie, dass der Graph von () = achsensymmetrisch ist, beidseiti nach oben verschwindet, mit y-abschnitt 4, einachen NS bei ± und ±, Etrema an den Stellen = 0, =±,5 sowie Wen- 5 destellen bei =±. 6. Skizzieren Sie die Graphen: a) () = + + b) () = + c) + () = + 80 RAAbits Mathematik September 04

11 Funktionen und ihre Graphen Reihe 8 M Verlau Material S LEK Glossar Lösunen Anwendunen Thinkstock/iStock, Aleander Raths. a) Das Wachstum einer wohl enährten Bakterienkultur verläut nahezu eponentiell, bei anans 00 Zellen stellt man eine Verdoppelun nach jeweils 4 Stunden est. Geben Sie die Funktion an, welche den zeitlichen Verlau (t in Stunden) der Bakterienanzahl B(t) beschreibt, und berechnen Sie B(8), B(0), B(), B(6) und B(00) sowie b) wann B(t)= überschritten wird.. Ein radioaktives Präparat hat eine Halbwertszeit von 00 s und eine Anansaktivität von A(0)=0 000 Bq (Bequerel = Zerälle je Sekunde). T H C a) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlau der Aktivität A(t). Geben Sie die Funktion A(t) an. b) Wann ist die Aktivität der Probe unter 0 % abeklunen, wann unter 0, %?. Eine Tasse Kaee von anans 85 C kühlt eponentiell ab und nähert sich asymptotisch der Raumtemperatur von 0 C. Nach 0 Minuten beträt die Temperatur nur noch 55 C. Geben Sie den zeitlichen Verlau (Zeit t in Minuten) der Kaeetemperatur T(t) in C an. Zeichnen Sie den Graphen und bestimmen Sie (durch Ablesen und durch Rechnun) I S N a) die Temperatur nach 0 Minuten, A R O b) nach welcher Zeit der Kaee erade 5 C hat. a = 0,5; b = 4. Eine (eponentiell) edämpte Schwinun lässt sich durch die Funktion (t) = e a t sin(b t), a > 0, b > 0 beschreiben, dabei ist der Abklinaktor a ür die Stärke der Dämpun (Amplitude wird immer kleiner!) maßeblich, der Parameter b ist ein Maß ür die Schwinunsdauer bzw. Frequenz. y V a) Bestimmen Sie am abebildeten Graphen durch Ablesen Näherunswerte ür a und b und eränzen Sie die Graphen der Amplitudenunktion ± e a t und der unedämpten Schwinun sin(b t) im Koordinatensystem. b) Beschreiben Sie, wie sich der Funktionsterm ändert, wenn die Dämpun verstärkt wird bzw. die Schwinun lansamer abläut. c) Der Wert von a wird im Verleich zum abebildeten Graphen halbiert, der von b verdoppelt. Skizzieren Sie den Graphen im leichen Koordinatensystem. 5. Der Alkoholehalt eines Verkehrsteilnehmers wird zu 0,8 Promille bestimmt, eine Stunde später werden 0,6 Promille estestellt. Welche Funktion beschreibt seinen Alkoholehalt, wenn a) man davon auseht, dass der Abbau proportional zum Bestand ist, bzw. b) man von einer stündlichen Abnahme um 0, Promille auseht? c) Stellen Sie beide Ansätze raphisch dar. Entscheiden Sie, welche Aussae jeweils über den Alkoholehalt bzw. Stunden vor der ersten Kontrolle zu erwarten wäre. 80 RAAbits Mathematik September 04

12 Reihe 8 Verlau Material LEK Glossar Lösunen S Lösunen und Tipps zum Einsatz M a) Symmetrische Graphen sind schön! 6 () = 4 + ; hat einen zur y-achse symmetrischen Graphen, weil nur erade Hochzahlen bei vorkommen: = + = () 4 4 y G 7 () = 4 + ; hat einen zum Ursprun symmetrischen Graphen, weil nur unerade Hochzahlen bei vorkommen. () E sowohl unerade als auch erade Hochzahlen bei, also keine Symmetrie zum Ursprun oder zur y-achse. ist symmetrisch zur Achse =. E E 4() = + ; hat einen zum Ursprun symmetrischen Graphen, weil nur unerade Hochzahlen bei vorkommen. E 80 RAAbits Mathematik September 04