Kommunikation als Spiel zwischen rationalen Agenten

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1 Kommunikation als Spiel zwischen rationalen Agenten Nach Prashant Parikh, The Use of Language, 2001, Kap. 2-5 David Kaumanns Hauptseminar Geteiltes Wissen und spieltheoretische Semantik Dr. Hans Leiß, Prof. Martin Hoffmann Ludwig-Maximilians-Universität München 11. Juli / 49

2 Inhaltsverzeichnis I 1 Spieltheorie Grundlagen Hintergrundsituation 2 Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel 3 Lösungskonzept: Nash-Gleichgewicht Pareto-Dominanz Zusammenfassung 4 Unwahrscheinliche Sprecherintention Multiple Gleichgewichte 5 2 / 49

3 Grundlagen Hintergrundsituation Spieltheorie 3 / 49

4 Grundlagen I Spieltheorie Grundlagen Hintergrundsituation Beispiele für mehrdeutige Aussagen Lexical ambiguity: I m going to the bank. Structural ambiguity: He saw her duck. Indexical resolution: It is 4. Pronominal resolution: He is eating. Double anaphora: Bill said to Bob that he would join him today. Noun phrase resolution: The book is highly original. Ideen: Kommunikation (Äußerung und Disambiguierung) ist strategisches Koordinationsspiel mit partiellem Wissen. Äußerungen sind Aktionen mit spezifischen Nutzwerten. Ziel: Formalisierung von Kommunikation 4 / 49

5 Grundlagen II Spieltheorie Grundlagen Hintergrundsituation Parikh: Natürliche Sprache ist ungenügend, mathematische Formalisierung ist notwendig. Gründe Wahrscheinlichkeiten in der Disambiguierung von Meaning Reziproke Kommunikation und Bedeutungsinterpretation zwischen den Agenten Einfachheit Genauigkeit Möglichkeit der rigorosen Ableitung von Kommunikation aus ihrer Definition 5 / 49

6 Grundlagen III Spieltheorie Grundlagen Hintergrundsituation Sprache L Menge aller Äußerungen. L = {ψ 1, ψ 2,...} Meaning m(ψ) Menge von möglichen Contents der Äußerung ψ. m : L P(Propositions) Spiel Entscheidungssituation mit mehreren Beteiligten, die sich mit ihren realen und mutmaßlichen Entscheidungen gegenseitig beeinflussen. 6 / 49

7 Grundlagen IV Spieltheorie Grundlagen Hintergrundsituation Koordinationsspiel Spiel, in dem alle Agenten die Spielausgänge mit derselben Nutzenfunktion bewerten. Der Sprecher weiß für jede ambige Äußerung, für welchen Content sich ein rationaler Zuhörer entscheiden würde. Der Zuhörer weiß nicht, welchen der möglichen Contents der Sprecher vermitteln wollte. Asymmetrische Wissensverteilung in der Spielstruktur (Spiel mit partiellem Wissen) Der Hörer muss den mutmaßlich intendierten Content aus der Diskurssituation d ableiten. 7 / 49

8 Hintergrundsituation I Grundlagen Hintergrundsituation Background Assumptions (BA) (Common Knowledge) 1 Die Agenten kooperieren (gleiche Nutzwertfunktion). 2 Die Agenten sind rational (Ziel: maximaler Nutzwert). 3 Gemeinsame Sprache L und damit Meaning-Funktion m. Privates Wissen Absicht p des Sprechers, dh. seine Ausgangssituation. Frage: Wann kommuniziert der Sprecher den intendierten Content (Proposition p) durch Äußerung von ϕ in d an den/die Hörer? 8 / 49

9 Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel 9 / 49

10 Konkrete Situation I Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Arbeitsbeispiel: Unterhaltung zwischen Agenten aus I = {A, B} A äußert zu B in d den folgenden ambigen Satz: ϕ = Every ten minutes a man gets mugged in New York. Ambiguität: p = Every ten minutes some man or other gets mugged in New York. p = Every ten minutes a particular man gets mugged in New York. A will die Proposition p an B durch L vermitteln. A wählt dazu eine Aussage ψ C(p) mit p m(ψ)} 10 / 49

11 Konkrete Situation II Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Circumstantial Assumptions (CA) 1 A will p vermitteln (Intention von A). 2 A äußert ϕ. 3 Falls B ϕ erhält, würde er es interpretieren wollen (Intention von B). 4 B erhält und interpretiert ϕ. 5 m(ϕ) = {p, p } 6 p ist relativ unwahrscheinlich: ρ < ρ. 7 Jede eindeutige Äußerung µ ist aufwändiger als die mehrdeutige Äußerung ϕ. 8 Identische Interessen (Koordinationsspiel): v A = v B = v 9 Nutzwerte von Information sind größer als Nutzwerte von Falschinformation: v(s, ϕ, p) = v(s, ϕ, p ) > v(s, ϕ, p ) = v(s, ϕ, p) 10 Die obigen Annahmen sind (mit Ausnahme von 1. und 3.) CK! 11 / 49

12 Konkrete Situation III Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Diskurssituation d d = BA CA Behauptung: Falls die Annahmen in d erfüllt sind, ist kann A p eindeutig nach B kommunizieren. Bs Aufgaben: Berechnung des erwarteten Nutzwerts jeder möglichen Proposition q m(ϕ) in Diskurssituation d Wahl der nützlichsten Proposition Kommunikationsspiel ist erfolgreich, wenn A ϕ so wählt, dass B p wählt. 12 / 49

13 Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Das lokale Spiel: Ausgangssituation I A äußert ϕ. 13 / 49

14 Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Das lokale Spiel: Ausgangssituation II Merkmale des Spiels (Common Knowledge): ϕ ist eine mögliche Aktion für beide Propositionen: m(ϕ) = {p, p } A kann zwischen s und s sowie t und t unterscheiden: A = {{s}, {s }, {t}, {t }} B kann zwischen t und t nicht unterscheiden: B = {{s}, {s }, {t, t }} B weiß nach der Äußerung von A nicht, ob s oder s vorliegt (dh. ob p oder p gilt). 14 / 49

15 Das lokale Spiel: Strategien I Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel B will eine sichere Wahl aus zwei möglichen Interpretationen treffen. Beide Agenten wissen das. 15 / 49

16 Das lokale Spiel: Strategien II Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Strategie x k Funktion von (Äquivalenzklassen von) Situationen zu Aktionen. Strategien lösen Entscheidungssituationen auf. x k : i Aktion Aktion x k (t) Konkrete Aktion eines Agenten in Situation t unter Strategie x k. In folgender Darstellung kodiert die Position im Tupel die Situation, in der die Aktion angewandt wird. 16 / 49

17 Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Das lokale Spiel: Strategien III Σ A = Strategien von A (Aktion = wähle bestimmten Satz ): 1 s φ, s µ = ϕ, µ = a 1 2 s φ, s ϕ = ϕ, ϕ = a 2 3 s µ, s ϕ = µ, ϕ = a 3 4 s µ, s µ = µ, µ = a 4 Σ B = Strategien von B (Aktion = wähle bestimmte Interpretation ): 1 e p, {t, t } p, e p = p, p, p = p = b 1 2 e p, {t, t } p, e p = p, p, p = p = b 2 17 / 49

18 Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Das lokale Spiel: Strategien IV Strategieprofil σ Tupel aus Strategien aller Agenten. σ = x 1,..., x n : x i Σ i Schreibweise: a ˆ= x A, b ˆ= x B σ = a k, b l : a k Σ A, b l Σ B Strategieraum Σ Menge aller Strategieprofile. 18 / 49

19 Das lokale Spiel: Strategien V Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Strategieprofile Σ = Σ A Σ B = { ϕ, µ, p, a 1, b 1 {a 1 (s), a 1 (s ), b 1 ({t, t })} ϕ, ϕ, p, a 2, b 1 {a 2 (s), a 2 (s ), b 1 ({t, t })} µ, ϕ, p, a 3, b 1 {a 3 (s), a 3 (s ), b 1 ({t, t })} µ, µ, p, a 4, b 1 {a 4 (s), a 4 (s ), b 1 ({t, t })} ϕ, µ, p, a 1, b 2 {a 1 (s), a 1 (s ), b 2 ({t, t })} ϕ, ϕ, p, a 2, b 2 {a 2 (s), a 2 (s ), b 2 ({t, t })} µ, ϕ, p, a 3, b 2 {a 3 (s), a 3 (s ), b 2 ({t, t })} µ, µ, p a 4, b 2 {a 4 (s), a 4 (s ), b 2 ({t, t })} } 19 / 49

20 Das lokale Spiel: Pfade I Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Pfad Tupel aus Anfangssituation s j T init und Aktionen x i (t) für alle Agenten i I und Situationen t T i. s j, a k (s j ), b l ({t, t }) Ableitung von Bs Aktion aus As Aktion (Intuition): b(a k (s j )) b l ({t, t })) mit l {1, 2} Frage: Inwiefern ist l von As Aktion abhängig? Nach welchem Kriterium wählt B seine Aktion? 20 / 49

21 Das lokale Spiel: Nutzwerte I Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Von-Neumann-Morgenstern-Nutzwertfunktion v eines Pfads Funktion, die einem Pfad eine reelle Zahl zuweist. v : Pfade R 21 / 49

22 Das lokale Spiel: Nutzwerte II Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Bs Problem: Nutzwerte sind punktsymmetrisch, keine Aktion ist eindeutig besser als die andere. Bs Lösung: Berechnung von erwarteten Nutzwerten der verschiedenen Strategieprofile mit Hilfe der Contentwahrscheinlichkeiten in d! 22 / 49

23 Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Das lokale Spiel: Erwartete Nutzwerte I Erwarteter Nutzwert v e eines Strategieprofils Der erwartete Nutzwert eines Strategieprofils ist die Summe aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Anfangssituationen und ihren jeweiligen Pfaden. v e (a k, b l ) := ρ j v( s j, a k (s j ), b l ({t, t }) )) s j T init Anfangszustand s j T init Pfad s j, a k (s j ), b l ({t, t }) Wahrscheinlichkeiten ρ : T init [0, 1] Contentwahrscheinlichkeiten für p und p (Common Knowledge): ρ = 0, 9; ρ = 0, 1 23 / 49

24 Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Das lokale Spiel: Mehrdeutig vs. eindeutig I Frage, die sowohl A als auch B angeht: Warum zieht A die mehrdeutige Äußerung der eindeutigen vor? Notwendig: Erweiterung der Struktur um eindeutige Alternativäußerungen zum Vergleich der Nutzwerte. Beispiel: C(p) = {ϕ, µ, µ } ϕ = Every ten minutes a man gets mugged in New York. (mehrdeutig) µ = Every ten minutes some man or other gets mugged in New York. (eindeutig) µ = There is one particular man who gets mugged in New York every ten minu (eindeutig) 24 / 49

25 Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Das lokale Spiel: Mehrdeutig vs. eindeutig II Contents: m(ϕ) = {p, p } m(µ) = {p} m(µ ) = {p } Verhältnis der Nutzwerte der Pfade mit µ/µ zu den Nutzwerten der Pfade mit ϕ: v(s, µ, p) < v(s, ϕ, p) v(s, µ, p ) < v(s, ϕ, p ) 25 / 49

26 Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Das lokale Spiel: Mehrdeutig vs. eindeutig III Nach der Äußerung von ϕ ist also folgende Struktur g(ϕ) CK: 26 / 49

27 Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Zusammenfassung lokales Spiel I Ergebnisse: Nach der Äußerung von ϕ ist g(ϕ) CK zwischen A und B. A muss g(ϕ) berücksichtigen, bevor er sich für ϕ entscheidet. B muss g(ϕ) berücksichtigen, um ϕ zu disambiguieren. Bs Frage: Enthält g(ϕ) genug Information, um t ausschließen zu können und sich sicher für p zu entscheiden? As Frage: Unter welcher Äußerung ist B in der Lage, korrekt zu disambiguieren? Jeder Agent muss die Situation des anderen berücksichtigen, bevor er sich für eine Aktion entscheidet. Strategische Interaktion 27 / 49

28 Das globale Spiel I Spieltheorie Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel Globaler Nutzwert v[g(ψ)] eines lokalen Spiels g(ψ): v[g(ψ)] = v(s, a k (s), b l ({t, t }) wobei a k, b l die Lösung des lokalen Spiels ist. s die A bekannte Anfangssituation ist. Für jede Äußerung ψ in der Menge der möglichen Äußerungen C(p) L existiert ein lokales Spiel g(ψ) mit dem Nutzwert v[g(ψ)]. Beispiel: g(µ) v[(g(µ)] = 7 28 / 49

29 Das globale Spiel II Konkrete Situation Das lokale Spiel Das globale Spiel As globales Spiel G(p): Spiele die lokalen Spiele aller möglichen Äußerungen ψ L (eindeutige und mehrdeutige). Wähle die Äußerung, deren lokales Spiel den höchsten Nutzwert bringt. A spielt global und lokal, B nur lokal! 29 / 49

30 Lösungskonzept: Nash-Gleichgewicht Pareto-Dominanz Zusammenfassung 30 / 49

31 Nash-Gleichgewicht I Spieltheorie Lösungskonzept: Nash-Gleichgewicht Pareto-Dominanz Zusammenfassung Lösungskonzept Ein Lösungskonzept ist ein Algorithmus zur Bestimmung von S(g) Σ. Wenn S(g) = 1, ist das Strategieprofil σ S(g) optimal und die Lösung des Spiels. Nash-Gleichgewicht Ein Strategieprofil σ über n Agenten ist im Nash-Gleichgewicht, wenn sich kein Agent einen Vorteil verschaffen kann, indem er einseitig von seiner Strategie abweicht. x i, x i Σ i : v i (σ) v i (σ[x i /x i ]) (a k, b l ) ist im Nash-Gleichgewicht, wenn: a m : v A (a k, b l ) v A (a m, b l ) b n : v B (a k, b l ) v B (a k, b n ) 31 / 49

32 Nash-Gleichgewicht II Lösungskonzept: Nash-Gleichgewicht Pareto-Dominanz Zusammenfassung Algorithmus: Für jeden Agent i: Optimiere die Entscheidung von Agent i bei fixierten Strategien der anderen Agenten. 32 / 49

33 Nash-Gleichgewicht III Lösungskonzept: Nash-Gleichgewicht Pareto-Dominanz Zusammenfassung Beim Koordinationsspiel mit gemeinsamer Evaluierungsfunktion v A = v B = v genügt ein Durchlauf. v( ϕ, µ, p ) = 10, 7 v( ϕ, ϕ, p ) = 10, 10 v( µ, ϕ, p ) = 7, 10 v( µ, µ, p ) = 7, 7 v( ϕ, µ, p ) = 10, 7 v( ϕ, ϕ, p ) = 10, 10 v( µ, ϕ, p ) = 7, 10 v( µ, µ, p ) = 7, 7 Nash-Gleichgewichte: N = { ϕ, µ, p, µ, ϕ, p } = {N 1, N 2 } 33 / 49

34 Pareto-Dominanz I Spieltheorie Lösungskonzept: Nash-Gleichgewicht Pareto-Dominanz Zusammenfassung Problem: Zwei Lösungen, welche ist besser? Pareto-Dominanz > pd Ein Strategieprofil σ pareto-dominiert eine anderes Strategieprofil τ, wenn es für alle Agenten einen höheren erwarteten Nutzwert v e besitzt: σ > pd τ i I : vi e (σ) > vi e (τ) 34 / 49

35 Pareto-Dominanz II Spieltheorie Lösungskonzept: Nash-Gleichgewicht Pareto-Dominanz Zusammenfassung v e (N 1 ) = ρ v( s, ϕ, p ) + ρ v( s, µ, p ) = 0, , 1 7 = 9, 7 v e (N 2 ) = ρ v( s, µ, p ) + ρ v( s, ϕ, p ) = 7, 3 = 0, , 1 10 = 7, 3 N 1 > pd N 2 Lösung von g(ϕ) nach Pareto-Nash-Gleichgewicht: PNG(g(ϕ)) = N 1 Lösung B spielt g(ϕ) mit p. A spielt G(p) mit ϕ. 35 / 49

36 Pareto-Dominanz III Spieltheorie Lösungskonzept: Nash-Gleichgewicht Pareto-Dominanz Zusammenfassung Nutzwert des Spiels v[g(ϕ)]: A darf davon ausgehen, dass B davon ausgeht, dass mit dem Strategieprofil N 1 gespielt wird. Globaler Nutzwert eines Strategieprofils a k, b l von g(ψ) ist nicht sein erwarteter Nutzwert, sondern der Wert, den a k, b l bei Anwendung auf As Anfangssituation s im globalen Spiel G(p) liefert. v[g(ϕ)] = v( a k, b l ) = v( s, ϕ, p ) = 10 ψ L : v[g(ϕ)] v[g(ψ)] 36 / 49

37 Zusammenfassung I Spieltheorie Lösungskonzept: Nash-Gleichgewicht Pareto-Dominanz Zusammenfassung Gegeben: Äußerung Falls eindeutig: Triviales Spiel Falls mehrdeutig: 1 Einrichten von Startknoten nach Anzahl der möglichen Interpretationen 2 Spielbaum konstruieren 3 Nutzwerte zuweisen 4 Wahrscheinlichkeiten zuweisen 5 Spiel lösen 37 / 49

38 Unwahrscheinliche Sprecherintention Multiple Gleichgewichte 38 / 49

39 Unwahrscheinliche Sprecherintention Multiple Gleichgewichte Unwahrscheinliche Sprecherintention I Szenario: A befindet sich in s anstelle von s. A will p vermitteln. Nach wie vor: PNG(g(ϕ)) = N 1 mit N 1 = ϕ, µ, p v[g(µ )] = 7 < v e (N 1 ) = 7.3 Lösung A spielt G(p) trotz geringeren erwarteten Nutzwertes mit µ, damit B sich nicht fälschlicherweise für p entscheidet. B spielt g(µ ) mit p. 39 / 49

40 Multiple Gleichgewichte I Unwahrscheinliche Sprecherintention Multiple Gleichgewichte Szenario: ρ = ρ = 0, 5 v e (N 1 ) = ρ v( s, ϕ, p )+ρ v( s, µ, p ) = 0, , 5 7 = 8, 3 v e (N 2 ) = ρ v( s, µ, p )+ρ v( s, ϕ, p ) = 0, 5 7+0, 5 10 = 8, 3 Keine der beiden Strategien kann durch Pareto-Dominanz-Filter entfernt werden, ϕ bleibt für B ambig. Wenn B N 1 spielt, ist v[g(ϕ)] = 10, wenn B N 2 spielt, ist v[g(ϕ)] = -10 Frage: Wie lässt sich trotzdem eine ideale Strategie ableiten? Idee: Erweiterung der Definition von v[g(ψ)] als Summe der Nutzwerte aller für B gleich wahrscheinlichen Pfade. v[g(ϕ)] = v( s, ϕ, p ) + v( s, ϕ, p ) = 10 + ( 10) = 0 40 / 49

41 Multiple Gleichgewichte II Unwahrscheinliche Sprecherintention Multiple Gleichgewichte Folge: Lokales Spiel mit eindeutiger Äußerung µ oder µ erzielt einen höheren Nutzwert und wird von A gewählt: Lösung v[g(µ)] = 7 A spielt G(p) mit µ B muss nicht disambiguieren und spielt trivial. 41 / 49

42 42 / 49

43 Anmerkungen zu BA I Background Assumptions (BA) (Common Knowledge) 1 Die Agenten kooperieren (gleiche Nutzwertfunktion). 2 Die Agenten sind rational (Ziel: maximaler Nutzwert). 3 Gemeinsame Sprache L = {ϕ,...} und damit Meaning-Funktion m : L P(Propositions) 43 / 49

44 Anmerkungen zu BA II Zu 3 und 4: Naive Annahme: m ist innerhalb einer Sprache konstant und situationsunabhängig. Beispiel: The man over there drinking champagne is happy tonight. Szenario: The man over there trinkt in Wahrheit Mineralwasser. Agentenidentische Referenzauflösung trotzdem möglich m ist abhängig von Bedeutung und Situation m nicht nur Bedeutungsfunktion, sondern allgemeine Verbindungsfunktion zwischen L und P(Propositions) Die Sprache L und die Funktion m müssen muss nicht vollständig bekannt sein, nur die zur aktuellen Kommunikation nötigen Fragmente. 44 / 49

45 Anmerkungen zu CA I 45 / 49

46 Anmerkungen zu CA II Circumstantial Assumptions (CA) 1 A will p vermitteln (Intention von A). 2 A äußert ϕ. 3 B will ϕ interpretieren (Intention von B). 4 B erhält und interpretiert ϕ. 5 m(ϕ) = {p, p } 6 p ist relativ unwahrscheinlich: ρ < ρ. 7 Jede eindeutige Äußerung µ ist aufwändiger als die mehrdeutige Äußerung ϕ. 8 Identische Interessen (Koordinationsspiel): v A = v B = v 9 Nutzwerte von Information sind größer als Nutzwerte von Falschinformation: v(s, ϕ, p) = v(s, ϕ, p ) > v(s, ϕ, p ) = v(s, ϕ, p) 10 Die obigen Annahmen sind (mit Ausnahme von 1. und 3.) CK! 46 / 49

47 Anmerkungen zu CA III Zu 1, 2, 3 und 4: A muss Intention zur Kommunikation besitzen, ansonsten kann er sich nicht auf B einspielen. d hängt von As Intention ab. As Äußerung hängt von d ab. Analog: Bs Empfangen und Willen zur Interpretation der Äußerung 47 / 49

48 Anmerkungen zu CA IV Zu 5: Durch m(φ) können beliebig feine Ambiguitäten berücksichtigt werden (z.b. New York Stadt oder Staat) Nicht lösbar innerhalb der Spieltheorie: Unendliche oder teilweise undefinierte Contents. Lösung: Anpassung der Diskurssituation d 48 / 49

49 Anmerkungen zu CA V Zu 6 und 7: Annahmen sind unnötig. Wahrscheinlichkeiten, Nutzwerte und Aufwandsverhältnisse können beliebig sein. Gründe: Beliebigkeit erlaubt, solange erfolgreiche Kommunikation der intendierten Proposition ermöglicht wird. Spieltheorie zeigt lediglich, dass erfolgreiche Kommunikation möglich ist, nicht notwendig. Erfolg der Kommunikation allein abhängig von der Diskurssituation mit den durch sie gegebenen Werten. Nutzwertfunktionen v A und v B und Wahrscheinlichkeitsfunktionen P A und P B müssen nicht zwingend gleich sein. 49 / 49