Quantitative BWL [Teil Finanzwirtschaft]

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1 Quantitative BWL [eil Finanzwirtschaft] hemenübersicht 1. Portfoliotheorie und Portfoliomodelle 1.1. Grundbegriffe: Rendite, Risiko, Wahrscheinlichkeitstheorie 1.. Erwartungswert-Varianz-Portfoliotheorie 1.3. APM 1.4. Evaluierung von Finanzinstrumenten basierend auf APM. Optionen.1. Optionsbegriff.. Bewertung von Optionen..1. Binomialbäume (Arbitragestrategien, AF-Bedingungen)... Black-choles Modell.3. imulationen (plus möglicherweise Hedging) 1

2 Optionsbegriff Option ist im Grunde ein Vertrag, welches das Recht verkörpert, ein bestimmtes Gut, underlying, (z.b. Ware, Wertpapiere, etc.) zu bestimmten Vertragsbedingungen zu kaufen (Kaufsoption all Option) bzw. zu verkaufen (Verkaufsoption Put Option). Die Vertragsbedingungen beziehen sich vor allem auf die Zeitperiode, in der das Recht besteht, auf den Preis, zu dem der Kauf bzw. Verkauf durchzuführen ist, sowie natürlich die Menge des unterliegenden Gutes, auf deren Kauf bzw. Verkauf das Recht besteht, etc.. In der Folge werden sog. stock options behandelt, d.h. Optionen auf den Kauf bzw. Verkauf von Aktien bzw. Firmenanteilen. Die Parallele zu anderen Optionsverträgen ist jedoch ganz eindeutig. Außer der Unterscheidung, ob ein Kauf- bzw. Verkaufsrecht besteht, gibt es eine weitere wichtige Unterscheidung, und zwar aus der icht der Zeitperiode, in der das Recht ausgeübt werden kann. Dementsprechend gibt es sog. europäische Optionen (European options), welche nur zu einem bestimmten Zeitpunkt, und andererseits sog. amerikanische Optionen (American options), welche in einem bestimmten Zeitintervall bis zu einem Zeitpunkt ausgeübt werden können. Beide Optionsarten werden sowohl in Europa als auch in Amerika gehandelt. Die Bezeichnung hat im Grunde nichts mit der geografischen Anwesenheit der Optionen zu tun. Eine Option ist also im Grunde auch ein Wertpapier, welches entsprechend einen bestimmten Wert hat. Daher kann die Option als solche selbst gekauft bzw. verkauft werden. Primär wird ein Optionsvertrag zwischen dem Ausgeber (Writer) der Option und deren Käufer abgeschlossen. Der Writer verkauft an den Käufer das Recht, zu bestimmten Bedingungen eine bestimmte Menge von Aktien von ihm zu kaufen (all) bzw. ihm zu verkaufen (Put). Dabei geht er also eine Verpflichtung ein, dem Käufer (Optionsinhaber) die vereinbarte Menge von Aktien zu den vereinbarten Vertragsbedingungen ihm zu verkaufen bzw. von ihm zu kaufen. Hingegen treffen den Käufer (Optionsinhaber) keine Verpflichtungen. Dieser hat gemäß seinem Willen die Möglichkeit das in der Option verkörperte Recht entweder auszuüben (exercise the option) oder nicht. Daher kann die Option keinen negativen Wert einnehmen, denn entweder ist die Ausübung des Rechtes für ihren Inhaber günstig (gewinnbringend), dann übt er es wohl aus, oder es wäre für ihn ungünstig, so lässt er das Recht einfach verfallen. Die Option kann daher ständig nur einen positiven Wert haben

3 (solange die Zeitperiode ihrer Ausübung noch nicht ganz verlaufen ist), daher muss der Käufer bei dem Vertragsabschluss dem Writer der Option einen Preis zahlen. Um eine höhere Übersichtlichkeit und Eindeutigkeit zu verschaffen, wird nun eine klare Notation definiert, die in weiterer Folge verwendet wird. Der in dem Optionsvertrag festgelegte Preis, zu dem (European Option) bzw. bis zu dem (American Option) die Aktie zu einem vereinbarten Zeitpunkt gekauft werden kann (aus der icht von K) bzw. verkauft werden muss (aus der icht von W), d.h. der Basispreis (exercise price), wird mit X bezeichnet. Der Aktienwert (oder allgemein Wert des Unterlyings) zu einem beliebigen Zeitpunkt t sei t bezeichnet. Der aktuelle Wert der Aktie ist daher und deren Preis zum Zeitpunkt entsprechend. Für Preis der Option verwenden wir den Buchstaben (call option) bzw. P (put option). Dementsprechend lassen sich die Zahlungsströme der beiden Vertragspartner, die aus der Option resultieren, folgendermaßen darstellen. abelle 1: Zahlungsströme einer Kaufsoption 3

4 abelle : Zahlungsströme einer Verkaufsoption In der Grafik 1 sind die Erträge (Optionswerte zum Zeitpunkt ) von beiden Vertragspartnern sowohl für den Fall einer Kaufs- als auch für den Fall einer Verkaufsoption in Abhängigkeit von veranschaulicht. Dabei wurden die Werte X = 5 bzw. 7 und = P = 1 verwendet buyer writer all Option Payoffs 4 Put Option Payoffs buyer writer Grafik 1: Optionserträge zum Zeitpunkt in Abhängigkeit von Es ist offensichtlich, dass der Writer einer Kaufsoption ein unbeschränktes Risiko eingeht, da ja keine Oberschranke hat. Andererseits ist der potenzielle Verlust des Writers einer 1 Beachte bitte, dass in der Grafik 9 die Zahlungsströme für die Entrichtung des Preises beim Kauf bzw. Verkauf der Option bereits einkalkuliert sind. 4

5 Verkaufsoption mit X eingeschränkt. Der Käufer kann außer dem für die Option entrichteten Preis bzw. P keinen Verlust mehr erleiden. Die wahrscheinlich meist behandelte Frage bei Optionen ist die Bestimmung ihres Preises. Wie viel ist das Recht überhaupt wert? Dies ist im Grunde keine triviale Frage. Aus Grafik 9 ist nämlich ersichtlich, dass der Ertrag, den der Optionsinhaber mit der Option erwirtschaften kann, unendlich viele Werte einnehmen kann, in Abhängigkeit von. Daher sind für die Ermittlung des Preises wahrscheinlichkeitstheoretische Überlegungen, vor allem Informationen über die Verteilung des künftigen Aktienpreises, von Bedeutung. Zur Ermittlung des Optionspreises wurden bereits einige Verfahren entwickelt. In der Folge werden zwei davon präsentiert: a) Binomialbäume; b) Black-choles Modell. Bevor jedoch diese beiden Methoden behandelt werden, machen wir uns einige Gedanken über die Gegebenheiten von Optionspreisen. Es ist ganz offensichtlich, dass der Ertrag, welchen der Optionsinhaber erwirtschaften kann, linear abhängig von dem künftigen Wert der zugrundeliegenden Aktie ist. Aus diesem Grund lassen sich aus Optionen und den ihnen zugrundeliegenden Aktien unter bestimmten Bedingungen in geeigneter Weise risikolose Portfolios bilden, indem sich die chwankungen des künftigen Aktienpreises gemeinsam mit den daraus resultierenden chwankungen des Optionspreises gegenseitig kompensieren. Um mögliche Arbitragegewinne auszuschließen, müssen risikolose Portfolios im Grunde eine dem risikolosen Zinssatz entsprechende Rendite bieten. Basierend auf diesen simplen Überlegungen lässt sich bereits Einiges über die Optionspreise aussagen. Gehen wir dies also näher an! Um die Nebenbedingungen zu bestimmen, welche mögliche Arbitragegewinne ausschließen, repliziert man üblicherweise eine risikolose Investmentstrategie. Anschließend kann man die entsprechenden chranken ableiten, die die trategie arbitragefrei stellen. chauen wir uns nun eine von möglichen trategien an: Zum Zeitpunkt t = : Kaufe eine Aktie chreibe (gebe heraus) eine Kaufsoption Nehme einen Kredit in der Höhe des Kapitalwertes von dem Basispreis der Option X 5

6 Zum Zeitpunkt t = Zahle den Kredit zurück Verkaufe die Aktie Erfülle die Verpflichtungen, falls der Optionsinhaber die Option ausübt abelle 3: truktur von trategie 1 Da der ash Flow zum Zeitpunkt stets nicht positiv ist, muss in einer arbitragefreien Welt der ash Flow zum Zeitpunkt nicht negativ sein, daher muss also gelten: r + Xe + Xe (1) r Außerdem darf der Wert der Option nicht negativ sein, da diese ein Recht darstellt, welches für den Optionsinhaber schließlich nur zu nicht negativen ash Flows führen kann. Daher muss also für eine Kaufsoption im allgemeinen gelten: r max( Xe,) () Allein basierend auf dem Arbitrageargument kann man also leicht eine Unterschranke für den Preis einer Kaufsoption bestimmen. Die Bedingung (6) ist besonders interessant bezüglich der Beurteilung von dem Preis von amerikanischen Kaufsoptionen, d.h. solchen, welche nicht nur zu sondern auch vor ausgeübt werden können. Würde man nämlich die Option zu einem Zeitpunkt t < ausüben, wäre der entsprechende Gewinn t X. Nun lässt sich die Ungleichung (6) für ein beliebiges t folgendermaßen erweitern 6

7 t r ( t ) max( Xe,) (3) t Aus (63) ist nun ersichtlich, dass der aktuelle Wert einer Kaufsoption bei t < ständig höher ist als der Gewinn, den man durch das Ausüben der Option erzielen könnte. Daher ist es günstiger die Option zu verkaufen, als sie auszuüben. Optimalerweise wird also eine Kaufsoption immer erst zu, falls überhaupt, ausgeübt. Aus diesem Grund ist der Wert eines amerikanischen alls äquivalent mit dem eines europäischen alls und kann somit in der gleichen Weise bewertet werden. Basierend auf dem No-Arbitrage-Argument kann man leicht auch die Unterschranke für eine Verkaufsoption bestimmen. Nehmen wir nun folgende trategie an: Zum Zeitpunkt t = : Borge eine Aktie aus und verkaufe sie (short selling of one share of stock) chreibe (gebe heraus) eine Verkaufsoption Lege den Kapitalwert von dem Basiswert der Option auf ein Konto in der Bank Zum Zeitpunkt t = Kaufe eine Aktie und gebe sie zurück Hebe das Geld von dem Konto ab Erfülle die Verpflichtungen, falls der Optionsinhaber die Option ausübt abelle 4: truktur von trategie 7

8 Davon lässt sich nun leicht die Unterschranke für den Wert einer Verkaufsoption ableiten: r P max( Xe,) ( 4) Kombiniert man geeignet eine Kaufs-, eine Verkaufsoption und die Aktie selbst in einer trategie, resultiert daraus ein interessanter und bedeutender Zusammenhang, welches in der Finanzwelt als Put-all-Parity bezeichnet wird. Die entsprechende trategie ist die folgende: Zum Zeitpunkt t = : Borge eine Aktie aus und verkaufe sie (short selling of one share of stock) chreibe (gebe heraus) eine Verkaufsoption Lege den Kapitalwert von dem Basiswert der Option auf ein Konto in der Bank bzw. kaufe eine Anleihe in dieser Höhe Kaufe eine Kaufsoption Zum Zeitpunkt t = Kaufe eine Aktie und gebe sie zurück Hebe das Geld von dem Konto ab Übe das Recht aus der Kaufsoption aus und erfülle die Verpflichtungen, falls der Optionsinhaber die Verkaufsoption ausübt abelle 5: truktur von trategie 3 8

9 Aus der abelle ist ersichtlich, dass die trategie künftige ash Flows von Null hat, unabhängig von dem künftigen Aktienpreis. Daher muss auch der ash Flow zum Zeitpunkt t = einen Wert von Null betragen. Xe r r + P + = P = + Xe ( 5) Die Gleichung (64) verkörpert ein eindeutiges Verhältnis zwischen dem Preis einer Kaufsund dem einer Verkaufsoption. Daher lässt sich P als eine Funktion von ausdrücken. Es ist nun offensichtlich, dass sich basierend auf dem No-Arbitrage-Argument durch die Bildung unterschiedlicher geeigneter Investmentstrategien wertvolle Aussagen über die Gegebenheiten der Optionspreise treffen lassen. Von Bedeutung ist auch die Konvexität der Optionspreise, sowohl von einem all als auch von einem Put, im Bezug auf den Basispreis (exercise price), solange alle anderen Bedingungen identisch bleiben. Für den Beweis dieser Eigenschaft basierend auf dem No-Arbitrage-Argument siehe bitte Benninga, eiten 48 und 49. Bewertung von Optionen Wie bereits angesprochen steht die Bewertung von Optionen im Kern der Optionsproblematik. Zu diesem Zweck werden in der Praxis mehrere Verfahren bzw. echniken angewandt. Im Rahmen des Kurses werden zwei bekannteste von diesen verfahren kurz erläutert und schließlich an realen Beispielen appliziert. Die Bewertung anhand von Binomialbäumen und das Black-choles Modell. Binomialbäume zur Bewertung von Optionen Der große Vorteil des Binomialmodells zur Bewertung von Optionen besteht vor allem in seiner Einfachheit und seiner Anwendbarkeit auch bei der Bewertung von etwas komplizierteren Finanzkonstrukten. Anstatt die gesamte Verteilung des künftigen Aktienpreises als stetiger Variable in stetiger Zeit zu betrachten, wird die Zeit diskretisiert und die möglichen Realisierungen jedes in der nächsten Periode aufzutretenden Preises auf zwei Werte eingeschränkt. Dadurch entsteht ein leicht handelbares und programmierbares 9

10 Modell, welches bei kleiner Länge der einzelnen Zeitperioden relativ zufriedenstellende Ergebnisse liefert. chauen wir uns nun ein einfaches Beispiel an! Angenommen es wird nur eine Zeitperiode betrachtet, zwischen und. Der aktuelle Aktienpreis ist bekannt, angenommen er liegt bei 1. Auf den Kauf von einer Aktie wird nun ein europäischer Optionsvertrag abgeschlossen (all), wobei der Zeitpunkt der Optionsausübung (exercise date) auf und der Basispreis (exercise price) auf X = 1 fixiert wird. Wir nehmen an, dass der Aktienpreis zum Zeitpunkt entweder bei 11 (Up-state) oder bei 96 (Down-state) liegen wird. Alle anderen möglichen Werte werden ausgeschlossen. Dies stellt eine große Vereinfachung der Problematik dar, jedoch auf Kosten der Repräsentativität des Modells im Bezug auf die Realität. Wir wollen nun unter diesen vereinfachten Bedingungen die Option bewerten, d.h. bestimmen. chauen wir uns vorher das Problem grafisch an. Die Grafik 11 liefert einen entsprechenden Anblick. Aktienpreis 1 Optionspreis Grafik 11: Binomiale Entwicklung des Aktien- und Optionspreises (1 Periode) Wegen der Vereinfachung auf zwei Fälle kann man nun die Bewertung leicht durchführen, indem man ein Portfolio aus Optionen und Aktien bildet, welches unabhängig von der Entwicklung des Aktienpreises in den gleichen Wert einnimmt, also ein risikoloses Portfolio. Angenommen das Portfolio enthält eine Option, d.h. das Recht zum Ankauf von einer Aktie. Die Anzahl von Aktien n, welche das Portfolio risikolos stellt ist einfach auszurechnen. Zu diesem Zweck braucht man nur die beiden Ausgänge bei Up bzw. Down gleichsetzen. max( up X,) + n = max( (11 1) + 11n = + 96n up down X,) + 3 n = 4 down n (6) 1

11 Was sind nun die Werte von einem solchen Portfolio zu den Zeitpunkten t = und t =? π = + n up up down π = max( X,) + n = max( X,) + down n (7) Da das Portfolio risikolos ist, muss es laut dem No-Arbitrage-Argument eine der risikolosen Verzinsung entsprechende Rendite r bieten. In so einem Fall muss also gelten: up up [ max( X, + n] n π (8) r r = e π = e ) Angenommen die stetige Rendite eines risikolosen Finanztitels (etwa einer taatsanleihe) beträgt r = 5% p.a. und = 1 Jahr. Dann gilt für,5 3 3 = e max(11 1,) ,51 4 (9) 4 Der Optionspreis müsste hier also 6,51 betragen, um jegliche Arbitragegewinne zu vermeiden. Versuchen wir nun das Verfahren etwas verallgemeinern. Angenommen der künftige Preis ist entweder (1+u), der Up Zustand oder (1+d), der Down Zustand. Der Wert der Option im Up Zustand bezeichnen wir nun vereinfachend mit u und im Down Zustand mit d. Für ein risikoloses Portfolio, welches 1 Option und n Aktien enthält, muss also folgendes gelten: ( + d u d + n 1+ u) = + n (1 ) (1) Dabei sind u und d natürlich folgendermaßen bestimmt u [ (1 + u) X,] = max[ (1 + d),] = max und X (11) d Aus (7) lässt sich n leicht bestimmen: n d u ( u d) = (1) 11

12 Der Wert eines solchen Portfolios zum Zeitpunkt t = beträgt π = + n. Da das Portfolio risikolos ist, muss seine Rendite wiederum der des risikolosen Finanztitels r entsprechen. Bei stetiger Betrachtung muss also gelten π = e π r (13) etzt man nun für π und π, siehe (69), ein, kommt folgendes für heraus: u r e e r (1 + d) + ( u d) d (1 + u) e r e ( u d) = (14) r Hätte man r nicht als stetig betrachtet, dann müsste für folgender Zusammenhang gelten u r d u r + d ( 1+ r)( u d) (1 + r)( u d) = (15) Dies entspricht dem Ergebnis in Benninga, Kapitel über state prices ab eite 54. In der gleichen Weise könnte man leicht auch den Preis einer Verkaufsoption bestimmen, indem man ein risikoloses Portfolio aus einer Verkaufsoption und einer geeigneten Anzahl von Aktien bildet. Dies führt im Grunde zu dem gleichen Ergebnis, P r e Pu e r (1 + d) + Pd ( u d) (1 + u) e r e ( u d) = (16) r Wobei natürlich die Werte von Pu und Pd ähnlich, wie bei einem all, jedoch im umgekehrten inn, siehe (71), definiert sind [ X (1 + u),] P = max[ X (1 ),] P max + u d = und d (17) Das eben behandelte Binomialmodell war offensichtlich nur ein 1-Perioden-Modell, d.h. die Zeit bis zum Zeitpunkt der Optionsausübung wurde als nur eine einzige Periode betrachtet. Nehmen wir an, die Zeit zwischen und wird in zwei Perioden der gleichen Länge geteilt. Dabei wird angenommen, dass sich der Aktienpreis in jeder der beiden Perioden entweder mit dem Faktor 1 + u ( Up Zustand) oder mit dem Faktor 1 + d ( Down Zustand) verändert. Gleichzeitig nehmen wir nun zur Vereinfachung für beide Perioden den gleichen risikolosen 1

13 Zinssatz r an. Der Zeitpunkt der Optionsausübung sei nun wiederum, hier also der Endzeitpunkt der zweiten Periode. Der Einfachheit halber wird das Modell anhand einer europäischen Kaufsoption erklärt. Für eine amerikanische Kaufsoption gilt, wie bereits erklärt, der gleiche Preis. Die Bewertung eines europäischen Puts müsste basierend auf dem folgenden Modell für den europäischen all leicht abzuleiten sein. Die spezifischen Gegebenheiten des einzig unterschiedlichen Falls eines amerikanischen Puts werden später etwas näher erläutert. Laut Annahen kann die Entwicklung des Aktienpreises und des Optionspreises von zu für einen europäischen all folgendermaßen dargestellt werden (siehe Grafik 1). Aktienpreis o Optionspreis o(1+u) o(1+d) u d o(1+u)^ o(1+u)(1+d) o(1+d)^ uu ud = du dd Grafik 1: Binomiale Entwicklung des Aktien- und Optionspreises ( Perioden) Nun, da für die Option der Basispreis X bekannt sein muss, sind die Optionswerte zum Zeitpunkt der Ausübung (t = ), also uu, ud bzw. du und dd bekannt. In jedem der Fälle ist der Optionspreis folgendermaßen bestimmt ij = max( X,) (18), ij Dabei steht die Notation von i und j für die sich in den Perioden ergebenden Zustände Up bzw. Down, die im Einzelfall aufgetreten sind. Der Optionspreis am Ende der zweiten Periode ist also für jedes mögliche zenario bekannt. Um den Optionspreis (bzw. Optionspreise für alle mögliche zenarien) für eine Periode zuvor d.h. Ende der ersten Periode, zu bestimmen, kann man das gleiche Verfahren wie bei dem 1-Perioden-Modell anwenden. Falls nämlich die Option morgen entweder den Wert u oder den Wert d haben 13

14 wird, falls der Aktienpreis von heute sich mit dem Faktor 1 + u oder mit dem Faktor 1 + d verändert, so muss der heutige Optionspreis laut dem bereits besprochenen No-Arbitrage- Argument die Gleichung (74), bzw. (75) bei nicht stetiger Betrachtung von r, erfüllen. Dadurch ist also z.b. der Preis u folgendermaßen bestimmt: u uu e e r / r / (1 + d) + ( u d) ud r / (1 + u) e r / e ( u d) = (19) Gleichfalls lässt sich also auch der Wert d ausrechnen. Falls beide möglichen Optionswerte für das Ende der ersten Periode bekannt sind, kann man auf die gleiche Weise gemäß (74) den heutigen Optionspreis, zu t =, bestimmen. Eine wichtige atsache in diesem Zusammenhang ist es wohl, dass der aktuelle Optionspreis nur über die möglichen Optionspreise der Folgeperiode von dem aktuellen Aktienpreis abhängig ist. ind diese bekannt, dann ist für die Bewertung der Option nur die prozentuelle Änderung des Aktienpreises für beide mögliche zenarien und der risikolose Zinssatz ausschlaggebend, nicht aber direkt der aktuelle Aktienpreis selbst. Dies ist im Grunde ganz plausibel, denn seitdem das risikolose Portfolio nur aus Aktien und den zugehörigen Optionen besteht, und die Rendite des Aktienanteils in den zwei möglichen Fällen allein durch u und d bestimmt ist, muss die Rendite des Optionsanteils in beiden Fällen solche Werte betragen, so dass schließlich die Rendite des gesamten Portfolios in beiden Fällen gleich ist und gleichzeitig der risikolosen Rendite r entspricht. Ist die Rendite klar definiert, so ist durch die Bekanntheit des künftigen Optionspreises automatisch der aktuelle Optionspreis bestimmt. Nun muss man sich natürlich keineswegs auf zwei Perioden beschränken, da stückweise für jede einzelne Periode das gleiche Verfahren zur Bestimmung des je früheren Optionspreises verwendet werden kann und somit durch backward induction von dem Zeitpunkt (Ende der letzten Periode) bis zu dem Zeitpunkt (Anfang der ersten Periode, also heute) der aktuelle Optionspreis bestimmt werden kann, wobei man das Zeitintervall von zu auf beliebig viele n Perioden der Länge /n teilen kann. elbstverständlich kann man die gesamte Berechnung weitaus simplifizieren. Von der ersten bis zu der n-ten Periode kann entweder, 1,, oder n Mal der Zustand Up auftreten und 14

15 mit umgekehrter Anzahl n - # Up Zustände der Zustand Down auftreten. Da wegen der Kommutativeigenschaft (xy = yx) der Multiplikation die Reihenfolge des Auftretens der Zustände keine Rolle spielt, kommt es für die Anzahl der möglichen Ausgänge am Ende der n-ten Periode (t = ) nur auf die Anzahl der Up -s bzw. Down -s, daher gibt es also n + 1 mögliche Ausgänge. Jeder der Ausgänge, der bei der Anzahl von Up -s gleich i resultiert, n wird dabei in der insgesamt Fälle erreicht. Angenommen, wir bezeichnen die i Faktoren mit denen die sich in der je folgenden Periode ergebenden Optionspreise u und d im Rahmen der Gleichung (74) multipliziert werden, entsprechend mit q u und q d. Jeder mögliche Ausgang fließt, multipliziert bei der sukzessiven Anwendung von (74) i Mal mit dem entsprechenden Faktor q u und n i Mal mit dem Faktor q d, wegen dessen mehrfachen Auftretens, n i n Mal in den aktuellen Optionspreis hinein. Daher lässt sich der Optionspreis vereinfachend mit folgender Gleichung ausdrücken: n n i n i i n i = q q max[ (1 + u) (1 + d) X,] () u d i= i Es folgt automatisch für den Wert einer Verkaufsoption P n n i n i i n i = q q max[ X (1 + u) (1 + d),] (1) u d i= i Bei der Bewertung einer amerikanischen Option dürfte man im Grunde die sukzessive Methode von backward induction nicht durch diese aggregierte Variante ersetzen. Denn man müsste ja in jeder einzelnen Periode, auf jeder einzelnen tufe die Möglichkeit der Optionsausübung betrachten. Wäre nämlich der mögliche Gewinn von der sofortigen Optionsausübung höher als der aktuelle Optionspreis, würde man in der entsprechenden Periode die Option ausüben. Daher müsste der Optionspreis für den entsprechenden Knoten des Baumes also in der Höhe des möglichen sofortigen Ausübungsgewinns und nicht in der Höhe des im Falle einer künftigen Ausübung bestehenden Wertes angesetzt werden. Auf eine amerikanische Kaufsoption hat diese Überlegung im Grunde keine Auswirkung, da der Diese Notation entspricht genau der in Benninga. Hinweis: Benninga behandelt die risikolose Rendite zuerst in diskreter (nicht stetiger Form)! 15

16 aktuelle Wert der Option immer höher ist als der potentielle Gewinn durch ihre sofortige Ausübung. Daher gilt für den Preis eines amerikanischen alls die Gleichung (8), entsprechend dem Preis eines europäischen alls. Bei der Bewertung eines amerikanischen Puts müsste man jedoch dieses sukzessive Vergleichen der beiden Werte (intrinsischer Wert der künftigen Ausübung und potentieller Gewinn aus sofortiger Ausübung) auf jeder einzelnen tufe des Binomialbaumes mitbetrachten. Daher gilt die vereinfachte Formel (81) für den Preis einer amerikanischen Verkaufsoption nicht. Das Verfahren zur Bewertung von Optionen anhand des eben vorgestellten Binomialmodells kann leicht programmiert werden. iehe die Kapitel 14.5 und 14.6 in Benninga. Noch eine kurze Erläuterung zur richtigen Implementierung von u und d Es stellt sich nun die Frage, welche Werte von u bzw. d man bei der Bewertung einer Option heranziehen sollte. Hiefür gibt es im Grunde mehr Möglichkeiten. Da wir bereits bei der Messung der Rendite von Finanztiteln eine stetige Änderung des Aktienpreises angenommen haben, würde ich nun gerne bei dieser Ansicht bleiben. Außerdem scheint diese Annahme im Bezug auf die reale Welt besonders gut zuzutreffen. Entsprechend haben wir bei der Messung der Performance von Finanztiteln die durchschnittliche stetige Rendite sowie ihre Volatilität ermittelt. Nun kann man diese beiden Werte nutzen, um u und d möglichst plausibel zu wählen. Meiner Meinung nach ist wohl die am meisten geeignete Variante die Folgende: u d = e = e ( μ σ / ) Δt+ σ Δt ( μ σ / ) Δt σ Δt 1 1 () Dabei entspricht Δt der Länge einer Periode (entsprechend dem Binomialmodell), d.h. falls die gesamte Dauer von t = (heute) bis t = (Zeitpunkt der Optionsausübung) in n gleiche Perioden geteilt wird dann Δt = /n. μ und σ repräsentieren hier die erwartete stetige Rendite der Aktie und die Volatilität der Rendite pro eine Zeiteinheit (üblicherweise 1 Jahr) entsprechend. Diese Werte werden also gemäß der eigentlichen Periodenlänge Δt angepasst. Die genaue Herleitung der Ausdrücke in (8) unterliegt der Annahme, dass der Aktienpreis einem geometrischen Wiener Prozess folgt. Dies scheint der Realität besonders nah zu entsprechen (diese Eigenschaft wird in der Folge vor allem im Zusammenhang mit der 16

17 Lognormalverteilung von Aktienpreisen sowie dem darauf beruhenden Black-choles-Modell näher diskutiert). Black-choles-Modell Lognormalverteilung von Aktienpreisen Die Entwicklung des Aktienpreises ist unsicher und daher auch jeder künftige Wert, den der Aktienpreis annimmt. Eine wichtige Frage in diesem Zusammenhang ist nun die folgende: Wie ist der künftige Aktienpreis verteilt? In der Praxis wird meistens angenommen, dass der Aktienpreis einer Lognormalverteilung gehorcht. Diese Eigenschaft stammt im Grunde automatisch aus einer anderen ganz elementaren Annahme, welche im Grunde die Realität besonders gut widerspiegelt und zwar, dass der Aktienpreis einen geometrischen Wiener Prozess verfolgt, d.h. d = μ dt + σdz (3) Dabei ist z eine normalverteilte Variable mit Erwartungswert und Varianz dt. Die stochastische Differentialgleichung impliziert, dass die erwartete Rendite (einfach gemessen und nicht stetig!) von in dem Zeitintervall dt einen Erwartungswert μdt und die Varianz σ dt hat, d.h. die μ und σ repräsentieren den Erwartungswert der einfachen Rendite pro eine Zeiteinheit (üblicherweise 1 Jahr) und ihre tandardabweichung, entsprechend. Dies wird ganz offensichtlich, falls man die Gleichung (83) in folgender Form schreibt d = μ dt + σdz (4) Unter der Annahme, dass der Aktienpreis einen geometrischen Wiener Prozess verfolgt, kann nun gezeigt werden, dass der künftige Aktienpreis im Grunde lognormalverteilt ist bzw., dass der natürliche Logarithmus des künftigen Aktienpreises normalverteilt ist. Diesen Beweis kann leicht über einen kleinen rick durchführen. Führen wir erstens eine Variable ein, welche im Grunde eine deterministische Funktion des Aktienpreises ist, konkret ihr natürlicher Logarithmus, also G = ln. Nach der Anwendung Ito s Lemma können wir nach einigen Umformungen über den Prozess der Variable G folgende Aussage treffen 17

18 dg σ = μ dt + σdz (5) Aus der Gleichung (85) folgt dann automatisch d ln ln ln t = ln + dt = t+ dt t t σ = μ dt + σdz (6) Dies ist eine wichtige Feststellung, denn es besagt genau die Verteilung des künftigen Aktienpreises t+dt σ ln ~ N ln + + dt, σ dt t dt t μ (7) Oder etwa, anders geschrieben, über die Verteilung der stetigen Rendite des Aktienpreises σ t+ dt ln ~ N dt, σ dt t μ (8) Aus (87) ist ersichtlich, dass der künftige Aktienpreis lognormalverteilt ist, denn die Definition einer lognormalverteilten Variable besagt, dass der natürliche Logarithmus der Variable normalverteilt ist. Gemäß (88) ist die stetige Rendite der Aktie normalverteilt. Um nun wirklich zu einem Ausdruck für den künftigen Aktienpreis (und nicht nur für seinen Logarithmus) zu kommen, kann man (86) leicht umformen, so dass σ = exp μ dt + σdz t+ dt t (9) Oder etwa in der Form = e Y σ Y = μ dt + εσ ε ~ N(,1) wobei und (3) + t dt t dt 18

19 Dies ist die Grundlage für die imulation der Entwicklung der Aktienpreise! Es bleibt nur noch μ und σ für eine konkrete Aktie zu ermitteln (dies wird grundsätzlich anhand der historischen Entwicklung des entsprechenden Aktienpreises gemacht), um die möglichen rajektorien des Aktienpreises simulieren zu können. Wie bereits erwähnt repräsentiert μ den Erwartungswert der einfachen Rendite des Aktienpreises, daher sei der Wert auch entsprechend von den historischen Daten zu ermitteln. Oder man kann direkt den Wert μ σ / bestimmen, indem man den Mittelwert der stetigen Rendite des Aktienpreises berechnet. 3 Die Volatilität σ ist gemäß (84) und (88) gleich sowohl bei einfacher als auch bei stetiger Rendite. Meine Empfehlung ist, zur Vereinfachung immer die stetige Rendite für die einzelnen historischen Beobachtungen zu ermitteln, und anschließend einfach deren Mittelwert und tandardabweichung. elbstverständlich müssen die Werte schließlich an die gewählte Periodenlänge Δt angepasst werden. Die zwei daraus resultierenden Variablen repräsentieren dann den Erwartungswert und tandardabweichung der Zufallsvariable Y in (9), welche dann zur imulation der Entwicklung von genutzt wird. Bevor wir nun tatsächlich eine imulation der Aktienpreise durchführen, schauen wir uns eine empirische Entwicklung eines Aktienpreises an und die Verteilung seiner Rendite. Obwohl in dem File aktienkurse.xls nur 36 Beobachtungen für jede Aktie zur Verfügung stehen, was eigentlich sehr wenig ist, um die Verteilung in der gesamten Grundgesamtheit zu erahnen, scheint die empirische Verteilung der stetigen Rendite für einige der Aktientitel besonders stark auf die Normalverteilung hinzuweisen. Die Grafik 13 enthält z.b. den Histogramm der stetigen Rendite von der Microsoft Aktie. 3 Dies ist konsistent mit Benninga, Kapitel 15.7! Der Vergleich zu Hull, eite 4, mag etwas verwirrend scheinen, denn in Hull wird von der Rendite noch der erm σ / subtrahiert, aber dies ist eigentlich das Gleiche, denn die Rendite dort ist tatsächlich nur μ (also im Grunde die einfache Rendite). Bestimmt man jedoch direkt den Mittelwert der stetigen Rendite, so ist dieser Wert automatisch μ - σ /, also der Erwartungswert von Y in (9) und kann daher direkt zur imulation verwendet werden, ohne zuerst wie im Falle des Mittelwertes der einfachen Rendite μ. 19

20 15 Microsoft - Emp. Verteilung der stetigen Rendite 1 5 -, -,5,1,5 Grafik 13: Histogramm der stetigen Rendite von Microsoft Versuchen wir nun die Entwicklung des Aktienpreises von Microsoft zu simulieren. Dabei verwenden wir für die Ermittlung des Erwartungswertes der Zufallsvariable Y den Mittelwert der stetigen Rendite (,18% p.a.) und deren tandardabweichung ( 4,81% p.a.) zur Bestimmung der entsprechenden tandardabweichung von Y. Es ist nun jedenfalls die Länge der zur imulation verwendeten Zeitperiode zu wählen, auf die anschließend beide Werte angepasst werden müssen. Angenommen, es sei eine Periode der Länge von einem ag gewählt, d.h. 1/5 des Jahres (denn es gibt ca. 5 Börsentage im Jahr). Der Erwartungswert der Zufallsvariable Y beträgt in so einem Fall,87% und die ihre tandardabweichung 1,57%. Angenommen, man möchte nun die Preisentwicklung für die Dauer eines Jahres beginnend mit dem 8. August 8, an dem der Preis 8,13 UD beträgt. Mit Hilfe der Funktionen rnd() bzw. zufallszahl() sowie normsdist(), normsinv() kann man die zufälligen Werte für eine standardnormalverteilte Variable preadsheet-basiert produzieren. Dabei kann man die Werte in die Gleichung (9) implementieren und somit die ganze zufällige Preisentwicklung der Microsoft Aktie simulieren. Alternativ kann ein VBA- Makro schreiben, welches die zufälligen Werte produziert und gleichzeitig die entsprechenden simulierten Aktienpreise berechnet. Den Ausgang der imulation kann man dann leicht in Form eines Diagramms darstellen. Black-choles Modell Das Black-choles Modell wurde entwickelt zum dem Zweck der Bewertung von Optionen. Dabei beruht das Modell an der Eigenschaft der Lognormalverteilung von Aktienpreisen.