Quantitative BWL [Teil Finanzwirtschaft]

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Quantitative BWL [Teil Finanzwirtschaft]"

Transkript

1 Quantitative BWL [eil Finanzwirtschaft] hemenübersicht 1. Portfoliotheorie und Portfoliomodelle 1.1. Grundbegriffe: Rendite, Risiko, Wahrscheinlichkeitstheorie 1.. Erwartungswert-Varianz-Portfoliotheorie 1.3. APM 1.4. Evaluierung von Finanzinstrumenten basierend auf APM. Optionen.1. Optionsbegriff.. Bewertung von Optionen..1. Binomialbäume (Arbitragestrategien, AF-Bedingungen)... Black-choles Modell.3. imulationen (plus möglicherweise Hedging) 1

2 Optionsbegriff Option ist im Grunde ein Vertrag, welches das Recht verkörpert, ein bestimmtes Gut, underlying, (z.b. Ware, Wertpapiere, etc.) zu bestimmten Vertragsbedingungen zu kaufen (Kaufsoption all Option) bzw. zu verkaufen (Verkaufsoption Put Option). Die Vertragsbedingungen beziehen sich vor allem auf die Zeitperiode, in der das Recht besteht, auf den Preis, zu dem der Kauf bzw. Verkauf durchzuführen ist, sowie natürlich die Menge des unterliegenden Gutes, auf deren Kauf bzw. Verkauf das Recht besteht, etc.. In der Folge werden sog. stock options behandelt, d.h. Optionen auf den Kauf bzw. Verkauf von Aktien bzw. Firmenanteilen. Die Parallele zu anderen Optionsverträgen ist jedoch ganz eindeutig. Außer der Unterscheidung, ob ein Kauf- bzw. Verkaufsrecht besteht, gibt es eine weitere wichtige Unterscheidung, und zwar aus der icht der Zeitperiode, in der das Recht ausgeübt werden kann. Dementsprechend gibt es sog. europäische Optionen (European options), welche nur zu einem bestimmten Zeitpunkt, und andererseits sog. amerikanische Optionen (American options), welche in einem bestimmten Zeitintervall bis zu einem Zeitpunkt ausgeübt werden können. Beide Optionsarten werden sowohl in Europa als auch in Amerika gehandelt. Die Bezeichnung hat im Grunde nichts mit der geografischen Anwesenheit der Optionen zu tun. Eine Option ist also im Grunde auch ein Wertpapier, welches entsprechend einen bestimmten Wert hat. Daher kann die Option als solche selbst gekauft bzw. verkauft werden. Primär wird ein Optionsvertrag zwischen dem Ausgeber (Writer) der Option und deren Käufer abgeschlossen. Der Writer verkauft an den Käufer das Recht, zu bestimmten Bedingungen eine bestimmte Menge von Aktien von ihm zu kaufen (all) bzw. ihm zu verkaufen (Put). Dabei geht er also eine Verpflichtung ein, dem Käufer (Optionsinhaber) die vereinbarte Menge von Aktien zu den vereinbarten Vertragsbedingungen ihm zu verkaufen bzw. von ihm zu kaufen. Hingegen treffen den Käufer (Optionsinhaber) keine Verpflichtungen. Dieser hat gemäß seinem Willen die Möglichkeit das in der Option verkörperte Recht entweder auszuüben (exercise the option) oder nicht. Daher kann die Option keinen negativen Wert einnehmen, denn entweder ist die Ausübung des Rechtes für ihren Inhaber günstig (gewinnbringend), dann übt er es wohl aus, oder es wäre für ihn ungünstig, so lässt er das Recht einfach verfallen. Die Option kann daher ständig nur einen positiven Wert haben

3 (solange die Zeitperiode ihrer Ausübung noch nicht ganz verlaufen ist), daher muss der Käufer bei dem Vertragsabschluss dem Writer der Option einen Preis zahlen. Um eine höhere Übersichtlichkeit und Eindeutigkeit zu verschaffen, wird nun eine klare Notation definiert, die in weiterer Folge verwendet wird. Der in dem Optionsvertrag festgelegte Preis, zu dem (European Option) bzw. bis zu dem (American Option) die Aktie zu einem vereinbarten Zeitpunkt gekauft werden kann (aus der icht von K) bzw. verkauft werden muss (aus der icht von W), d.h. der Basispreis (exercise price), wird mit X bezeichnet. Der Aktienwert (oder allgemein Wert des Unterlyings) zu einem beliebigen Zeitpunkt t sei t bezeichnet. Der aktuelle Wert der Aktie ist daher und deren Preis zum Zeitpunkt entsprechend. Für Preis der Option verwenden wir den Buchstaben (call option) bzw. P (put option). Dementsprechend lassen sich die Zahlungsströme der beiden Vertragspartner, die aus der Option resultieren, folgendermaßen darstellen. abelle 1: Zahlungsströme einer Kaufsoption 3

4 abelle : Zahlungsströme einer Verkaufsoption In der Grafik 1 sind die Erträge (Optionswerte zum Zeitpunkt ) von beiden Vertragspartnern sowohl für den Fall einer Kaufs- als auch für den Fall einer Verkaufsoption in Abhängigkeit von veranschaulicht. Dabei wurden die Werte X = 5 bzw. 7 und = P = 1 verwendet buyer writer all Option Payoffs 4 Put Option Payoffs buyer writer Grafik 1: Optionserträge zum Zeitpunkt in Abhängigkeit von Es ist offensichtlich, dass der Writer einer Kaufsoption ein unbeschränktes Risiko eingeht, da ja keine Oberschranke hat. Andererseits ist der potenzielle Verlust des Writers einer 1 Beachte bitte, dass in der Grafik 9 die Zahlungsströme für die Entrichtung des Preises beim Kauf bzw. Verkauf der Option bereits einkalkuliert sind. 4

5 Verkaufsoption mit X eingeschränkt. Der Käufer kann außer dem für die Option entrichteten Preis bzw. P keinen Verlust mehr erleiden. Die wahrscheinlich meist behandelte Frage bei Optionen ist die Bestimmung ihres Preises. Wie viel ist das Recht überhaupt wert? Dies ist im Grunde keine triviale Frage. Aus Grafik 9 ist nämlich ersichtlich, dass der Ertrag, den der Optionsinhaber mit der Option erwirtschaften kann, unendlich viele Werte einnehmen kann, in Abhängigkeit von. Daher sind für die Ermittlung des Preises wahrscheinlichkeitstheoretische Überlegungen, vor allem Informationen über die Verteilung des künftigen Aktienpreises, von Bedeutung. Zur Ermittlung des Optionspreises wurden bereits einige Verfahren entwickelt. In der Folge werden zwei davon präsentiert: a) Binomialbäume; b) Black-choles Modell. Bevor jedoch diese beiden Methoden behandelt werden, machen wir uns einige Gedanken über die Gegebenheiten von Optionspreisen. Es ist ganz offensichtlich, dass der Ertrag, welchen der Optionsinhaber erwirtschaften kann, linear abhängig von dem künftigen Wert der zugrundeliegenden Aktie ist. Aus diesem Grund lassen sich aus Optionen und den ihnen zugrundeliegenden Aktien unter bestimmten Bedingungen in geeigneter Weise risikolose Portfolios bilden, indem sich die chwankungen des künftigen Aktienpreises gemeinsam mit den daraus resultierenden chwankungen des Optionspreises gegenseitig kompensieren. Um mögliche Arbitragegewinne auszuschließen, müssen risikolose Portfolios im Grunde eine dem risikolosen Zinssatz entsprechende Rendite bieten. Basierend auf diesen simplen Überlegungen lässt sich bereits Einiges über die Optionspreise aussagen. Gehen wir dies also näher an! Um die Nebenbedingungen zu bestimmen, welche mögliche Arbitragegewinne ausschließen, repliziert man üblicherweise eine risikolose Investmentstrategie. Anschließend kann man die entsprechenden chranken ableiten, die die trategie arbitragefrei stellen. chauen wir uns nun eine von möglichen trategien an: Zum Zeitpunkt t = : Kaufe eine Aktie chreibe (gebe heraus) eine Kaufsoption Nehme einen Kredit in der Höhe des Kapitalwertes von dem Basispreis der Option X 5

6 Zum Zeitpunkt t = Zahle den Kredit zurück Verkaufe die Aktie Erfülle die Verpflichtungen, falls der Optionsinhaber die Option ausübt abelle 3: truktur von trategie 1 Da der ash Flow zum Zeitpunkt stets nicht positiv ist, muss in einer arbitragefreien Welt der ash Flow zum Zeitpunkt nicht negativ sein, daher muss also gelten: r + Xe + Xe (1) r Außerdem darf der Wert der Option nicht negativ sein, da diese ein Recht darstellt, welches für den Optionsinhaber schließlich nur zu nicht negativen ash Flows führen kann. Daher muss also für eine Kaufsoption im allgemeinen gelten: r max( Xe,) () Allein basierend auf dem Arbitrageargument kann man also leicht eine Unterschranke für den Preis einer Kaufsoption bestimmen. Die Bedingung (6) ist besonders interessant bezüglich der Beurteilung von dem Preis von amerikanischen Kaufsoptionen, d.h. solchen, welche nicht nur zu sondern auch vor ausgeübt werden können. Würde man nämlich die Option zu einem Zeitpunkt t < ausüben, wäre der entsprechende Gewinn t X. Nun lässt sich die Ungleichung (6) für ein beliebiges t folgendermaßen erweitern 6

7 t r ( t ) max( Xe,) (3) t Aus (63) ist nun ersichtlich, dass der aktuelle Wert einer Kaufsoption bei t < ständig höher ist als der Gewinn, den man durch das Ausüben der Option erzielen könnte. Daher ist es günstiger die Option zu verkaufen, als sie auszuüben. Optimalerweise wird also eine Kaufsoption immer erst zu, falls überhaupt, ausgeübt. Aus diesem Grund ist der Wert eines amerikanischen alls äquivalent mit dem eines europäischen alls und kann somit in der gleichen Weise bewertet werden. Basierend auf dem No-Arbitrage-Argument kann man leicht auch die Unterschranke für eine Verkaufsoption bestimmen. Nehmen wir nun folgende trategie an: Zum Zeitpunkt t = : Borge eine Aktie aus und verkaufe sie (short selling of one share of stock) chreibe (gebe heraus) eine Verkaufsoption Lege den Kapitalwert von dem Basiswert der Option auf ein Konto in der Bank Zum Zeitpunkt t = Kaufe eine Aktie und gebe sie zurück Hebe das Geld von dem Konto ab Erfülle die Verpflichtungen, falls der Optionsinhaber die Option ausübt abelle 4: truktur von trategie 7

8 Davon lässt sich nun leicht die Unterschranke für den Wert einer Verkaufsoption ableiten: r P max( Xe,) ( 4) Kombiniert man geeignet eine Kaufs-, eine Verkaufsoption und die Aktie selbst in einer trategie, resultiert daraus ein interessanter und bedeutender Zusammenhang, welches in der Finanzwelt als Put-all-Parity bezeichnet wird. Die entsprechende trategie ist die folgende: Zum Zeitpunkt t = : Borge eine Aktie aus und verkaufe sie (short selling of one share of stock) chreibe (gebe heraus) eine Verkaufsoption Lege den Kapitalwert von dem Basiswert der Option auf ein Konto in der Bank bzw. kaufe eine Anleihe in dieser Höhe Kaufe eine Kaufsoption Zum Zeitpunkt t = Kaufe eine Aktie und gebe sie zurück Hebe das Geld von dem Konto ab Übe das Recht aus der Kaufsoption aus und erfülle die Verpflichtungen, falls der Optionsinhaber die Verkaufsoption ausübt abelle 5: truktur von trategie 3 8

9 Aus der abelle ist ersichtlich, dass die trategie künftige ash Flows von Null hat, unabhängig von dem künftigen Aktienpreis. Daher muss auch der ash Flow zum Zeitpunkt t = einen Wert von Null betragen. Xe r r + P + = P = + Xe ( 5) Die Gleichung (64) verkörpert ein eindeutiges Verhältnis zwischen dem Preis einer Kaufsund dem einer Verkaufsoption. Daher lässt sich P als eine Funktion von ausdrücken. Es ist nun offensichtlich, dass sich basierend auf dem No-Arbitrage-Argument durch die Bildung unterschiedlicher geeigneter Investmentstrategien wertvolle Aussagen über die Gegebenheiten der Optionspreise treffen lassen. Von Bedeutung ist auch die Konvexität der Optionspreise, sowohl von einem all als auch von einem Put, im Bezug auf den Basispreis (exercise price), solange alle anderen Bedingungen identisch bleiben. Für den Beweis dieser Eigenschaft basierend auf dem No-Arbitrage-Argument siehe bitte Benninga, eiten 48 und 49. Bewertung von Optionen Wie bereits angesprochen steht die Bewertung von Optionen im Kern der Optionsproblematik. Zu diesem Zweck werden in der Praxis mehrere Verfahren bzw. echniken angewandt. Im Rahmen des Kurses werden zwei bekannteste von diesen verfahren kurz erläutert und schließlich an realen Beispielen appliziert. Die Bewertung anhand von Binomialbäumen und das Black-choles Modell. Binomialbäume zur Bewertung von Optionen Der große Vorteil des Binomialmodells zur Bewertung von Optionen besteht vor allem in seiner Einfachheit und seiner Anwendbarkeit auch bei der Bewertung von etwas komplizierteren Finanzkonstrukten. Anstatt die gesamte Verteilung des künftigen Aktienpreises als stetiger Variable in stetiger Zeit zu betrachten, wird die Zeit diskretisiert und die möglichen Realisierungen jedes in der nächsten Periode aufzutretenden Preises auf zwei Werte eingeschränkt. Dadurch entsteht ein leicht handelbares und programmierbares 9

10 Modell, welches bei kleiner Länge der einzelnen Zeitperioden relativ zufriedenstellende Ergebnisse liefert. chauen wir uns nun ein einfaches Beispiel an! Angenommen es wird nur eine Zeitperiode betrachtet, zwischen und. Der aktuelle Aktienpreis ist bekannt, angenommen er liegt bei 1. Auf den Kauf von einer Aktie wird nun ein europäischer Optionsvertrag abgeschlossen (all), wobei der Zeitpunkt der Optionsausübung (exercise date) auf und der Basispreis (exercise price) auf X = 1 fixiert wird. Wir nehmen an, dass der Aktienpreis zum Zeitpunkt entweder bei 11 (Up-state) oder bei 96 (Down-state) liegen wird. Alle anderen möglichen Werte werden ausgeschlossen. Dies stellt eine große Vereinfachung der Problematik dar, jedoch auf Kosten der Repräsentativität des Modells im Bezug auf die Realität. Wir wollen nun unter diesen vereinfachten Bedingungen die Option bewerten, d.h. bestimmen. chauen wir uns vorher das Problem grafisch an. Die Grafik 11 liefert einen entsprechenden Anblick. Aktienpreis 1 Optionspreis Grafik 11: Binomiale Entwicklung des Aktien- und Optionspreises (1 Periode) Wegen der Vereinfachung auf zwei Fälle kann man nun die Bewertung leicht durchführen, indem man ein Portfolio aus Optionen und Aktien bildet, welches unabhängig von der Entwicklung des Aktienpreises in den gleichen Wert einnimmt, also ein risikoloses Portfolio. Angenommen das Portfolio enthält eine Option, d.h. das Recht zum Ankauf von einer Aktie. Die Anzahl von Aktien n, welche das Portfolio risikolos stellt ist einfach auszurechnen. Zu diesem Zweck braucht man nur die beiden Ausgänge bei Up bzw. Down gleichsetzen. max( up X,) + n = max( (11 1) + 11n = + 96n up down X,) + 3 n = 4 down n (6) 1

11 Was sind nun die Werte von einem solchen Portfolio zu den Zeitpunkten t = und t =? π = + n up up down π = max( X,) + n = max( X,) + down n (7) Da das Portfolio risikolos ist, muss es laut dem No-Arbitrage-Argument eine der risikolosen Verzinsung entsprechende Rendite r bieten. In so einem Fall muss also gelten: up up [ max( X, + n] n π (8) r r = e π = e ) Angenommen die stetige Rendite eines risikolosen Finanztitels (etwa einer taatsanleihe) beträgt r = 5% p.a. und = 1 Jahr. Dann gilt für,5 3 3 = e max(11 1,) ,51 4 (9) 4 Der Optionspreis müsste hier also 6,51 betragen, um jegliche Arbitragegewinne zu vermeiden. Versuchen wir nun das Verfahren etwas verallgemeinern. Angenommen der künftige Preis ist entweder (1+u), der Up Zustand oder (1+d), der Down Zustand. Der Wert der Option im Up Zustand bezeichnen wir nun vereinfachend mit u und im Down Zustand mit d. Für ein risikoloses Portfolio, welches 1 Option und n Aktien enthält, muss also folgendes gelten: ( + d u d + n 1+ u) = + n (1 ) (1) Dabei sind u und d natürlich folgendermaßen bestimmt u [ (1 + u) X,] = max[ (1 + d),] = max und X (11) d Aus (7) lässt sich n leicht bestimmen: n d u ( u d) = (1) 11

12 Der Wert eines solchen Portfolios zum Zeitpunkt t = beträgt π = + n. Da das Portfolio risikolos ist, muss seine Rendite wiederum der des risikolosen Finanztitels r entsprechen. Bei stetiger Betrachtung muss also gelten π = e π r (13) etzt man nun für π und π, siehe (69), ein, kommt folgendes für heraus: u r e e r (1 + d) + ( u d) d (1 + u) e r e ( u d) = (14) r Hätte man r nicht als stetig betrachtet, dann müsste für folgender Zusammenhang gelten u r d u r + d ( 1+ r)( u d) (1 + r)( u d) = (15) Dies entspricht dem Ergebnis in Benninga, Kapitel über state prices ab eite 54. In der gleichen Weise könnte man leicht auch den Preis einer Verkaufsoption bestimmen, indem man ein risikoloses Portfolio aus einer Verkaufsoption und einer geeigneten Anzahl von Aktien bildet. Dies führt im Grunde zu dem gleichen Ergebnis, P r e Pu e r (1 + d) + Pd ( u d) (1 + u) e r e ( u d) = (16) r Wobei natürlich die Werte von Pu und Pd ähnlich, wie bei einem all, jedoch im umgekehrten inn, siehe (71), definiert sind [ X (1 + u),] P = max[ X (1 ),] P max + u d = und d (17) Das eben behandelte Binomialmodell war offensichtlich nur ein 1-Perioden-Modell, d.h. die Zeit bis zum Zeitpunkt der Optionsausübung wurde als nur eine einzige Periode betrachtet. Nehmen wir an, die Zeit zwischen und wird in zwei Perioden der gleichen Länge geteilt. Dabei wird angenommen, dass sich der Aktienpreis in jeder der beiden Perioden entweder mit dem Faktor 1 + u ( Up Zustand) oder mit dem Faktor 1 + d ( Down Zustand) verändert. Gleichzeitig nehmen wir nun zur Vereinfachung für beide Perioden den gleichen risikolosen 1

13 Zinssatz r an. Der Zeitpunkt der Optionsausübung sei nun wiederum, hier also der Endzeitpunkt der zweiten Periode. Der Einfachheit halber wird das Modell anhand einer europäischen Kaufsoption erklärt. Für eine amerikanische Kaufsoption gilt, wie bereits erklärt, der gleiche Preis. Die Bewertung eines europäischen Puts müsste basierend auf dem folgenden Modell für den europäischen all leicht abzuleiten sein. Die spezifischen Gegebenheiten des einzig unterschiedlichen Falls eines amerikanischen Puts werden später etwas näher erläutert. Laut Annahen kann die Entwicklung des Aktienpreises und des Optionspreises von zu für einen europäischen all folgendermaßen dargestellt werden (siehe Grafik 1). Aktienpreis o Optionspreis o(1+u) o(1+d) u d o(1+u)^ o(1+u)(1+d) o(1+d)^ uu ud = du dd Grafik 1: Binomiale Entwicklung des Aktien- und Optionspreises ( Perioden) Nun, da für die Option der Basispreis X bekannt sein muss, sind die Optionswerte zum Zeitpunkt der Ausübung (t = ), also uu, ud bzw. du und dd bekannt. In jedem der Fälle ist der Optionspreis folgendermaßen bestimmt ij = max( X,) (18), ij Dabei steht die Notation von i und j für die sich in den Perioden ergebenden Zustände Up bzw. Down, die im Einzelfall aufgetreten sind. Der Optionspreis am Ende der zweiten Periode ist also für jedes mögliche zenario bekannt. Um den Optionspreis (bzw. Optionspreise für alle mögliche zenarien) für eine Periode zuvor d.h. Ende der ersten Periode, zu bestimmen, kann man das gleiche Verfahren wie bei dem 1-Perioden-Modell anwenden. Falls nämlich die Option morgen entweder den Wert u oder den Wert d haben 13

14 wird, falls der Aktienpreis von heute sich mit dem Faktor 1 + u oder mit dem Faktor 1 + d verändert, so muss der heutige Optionspreis laut dem bereits besprochenen No-Arbitrage- Argument die Gleichung (74), bzw. (75) bei nicht stetiger Betrachtung von r, erfüllen. Dadurch ist also z.b. der Preis u folgendermaßen bestimmt: u uu e e r / r / (1 + d) + ( u d) ud r / (1 + u) e r / e ( u d) = (19) Gleichfalls lässt sich also auch der Wert d ausrechnen. Falls beide möglichen Optionswerte für das Ende der ersten Periode bekannt sind, kann man auf die gleiche Weise gemäß (74) den heutigen Optionspreis, zu t =, bestimmen. Eine wichtige atsache in diesem Zusammenhang ist es wohl, dass der aktuelle Optionspreis nur über die möglichen Optionspreise der Folgeperiode von dem aktuellen Aktienpreis abhängig ist. ind diese bekannt, dann ist für die Bewertung der Option nur die prozentuelle Änderung des Aktienpreises für beide mögliche zenarien und der risikolose Zinssatz ausschlaggebend, nicht aber direkt der aktuelle Aktienpreis selbst. Dies ist im Grunde ganz plausibel, denn seitdem das risikolose Portfolio nur aus Aktien und den zugehörigen Optionen besteht, und die Rendite des Aktienanteils in den zwei möglichen Fällen allein durch u und d bestimmt ist, muss die Rendite des Optionsanteils in beiden Fällen solche Werte betragen, so dass schließlich die Rendite des gesamten Portfolios in beiden Fällen gleich ist und gleichzeitig der risikolosen Rendite r entspricht. Ist die Rendite klar definiert, so ist durch die Bekanntheit des künftigen Optionspreises automatisch der aktuelle Optionspreis bestimmt. Nun muss man sich natürlich keineswegs auf zwei Perioden beschränken, da stückweise für jede einzelne Periode das gleiche Verfahren zur Bestimmung des je früheren Optionspreises verwendet werden kann und somit durch backward induction von dem Zeitpunkt (Ende der letzten Periode) bis zu dem Zeitpunkt (Anfang der ersten Periode, also heute) der aktuelle Optionspreis bestimmt werden kann, wobei man das Zeitintervall von zu auf beliebig viele n Perioden der Länge /n teilen kann. elbstverständlich kann man die gesamte Berechnung weitaus simplifizieren. Von der ersten bis zu der n-ten Periode kann entweder, 1,, oder n Mal der Zustand Up auftreten und 14

15 mit umgekehrter Anzahl n - # Up Zustände der Zustand Down auftreten. Da wegen der Kommutativeigenschaft (xy = yx) der Multiplikation die Reihenfolge des Auftretens der Zustände keine Rolle spielt, kommt es für die Anzahl der möglichen Ausgänge am Ende der n-ten Periode (t = ) nur auf die Anzahl der Up -s bzw. Down -s, daher gibt es also n + 1 mögliche Ausgänge. Jeder der Ausgänge, der bei der Anzahl von Up -s gleich i resultiert, n wird dabei in der insgesamt Fälle erreicht. Angenommen, wir bezeichnen die i Faktoren mit denen die sich in der je folgenden Periode ergebenden Optionspreise u und d im Rahmen der Gleichung (74) multipliziert werden, entsprechend mit q u und q d. Jeder mögliche Ausgang fließt, multipliziert bei der sukzessiven Anwendung von (74) i Mal mit dem entsprechenden Faktor q u und n i Mal mit dem Faktor q d, wegen dessen mehrfachen Auftretens, n i n Mal in den aktuellen Optionspreis hinein. Daher lässt sich der Optionspreis vereinfachend mit folgender Gleichung ausdrücken: n n i n i i n i = q q max[ (1 + u) (1 + d) X,] () u d i= i Es folgt automatisch für den Wert einer Verkaufsoption P n n i n i i n i = q q max[ X (1 + u) (1 + d),] (1) u d i= i Bei der Bewertung einer amerikanischen Option dürfte man im Grunde die sukzessive Methode von backward induction nicht durch diese aggregierte Variante ersetzen. Denn man müsste ja in jeder einzelnen Periode, auf jeder einzelnen tufe die Möglichkeit der Optionsausübung betrachten. Wäre nämlich der mögliche Gewinn von der sofortigen Optionsausübung höher als der aktuelle Optionspreis, würde man in der entsprechenden Periode die Option ausüben. Daher müsste der Optionspreis für den entsprechenden Knoten des Baumes also in der Höhe des möglichen sofortigen Ausübungsgewinns und nicht in der Höhe des im Falle einer künftigen Ausübung bestehenden Wertes angesetzt werden. Auf eine amerikanische Kaufsoption hat diese Überlegung im Grunde keine Auswirkung, da der Diese Notation entspricht genau der in Benninga. Hinweis: Benninga behandelt die risikolose Rendite zuerst in diskreter (nicht stetiger Form)! 15

16 aktuelle Wert der Option immer höher ist als der potentielle Gewinn durch ihre sofortige Ausübung. Daher gilt für den Preis eines amerikanischen alls die Gleichung (8), entsprechend dem Preis eines europäischen alls. Bei der Bewertung eines amerikanischen Puts müsste man jedoch dieses sukzessive Vergleichen der beiden Werte (intrinsischer Wert der künftigen Ausübung und potentieller Gewinn aus sofortiger Ausübung) auf jeder einzelnen tufe des Binomialbaumes mitbetrachten. Daher gilt die vereinfachte Formel (81) für den Preis einer amerikanischen Verkaufsoption nicht. Das Verfahren zur Bewertung von Optionen anhand des eben vorgestellten Binomialmodells kann leicht programmiert werden. iehe die Kapitel 14.5 und 14.6 in Benninga. Noch eine kurze Erläuterung zur richtigen Implementierung von u und d Es stellt sich nun die Frage, welche Werte von u bzw. d man bei der Bewertung einer Option heranziehen sollte. Hiefür gibt es im Grunde mehr Möglichkeiten. Da wir bereits bei der Messung der Rendite von Finanztiteln eine stetige Änderung des Aktienpreises angenommen haben, würde ich nun gerne bei dieser Ansicht bleiben. Außerdem scheint diese Annahme im Bezug auf die reale Welt besonders gut zuzutreffen. Entsprechend haben wir bei der Messung der Performance von Finanztiteln die durchschnittliche stetige Rendite sowie ihre Volatilität ermittelt. Nun kann man diese beiden Werte nutzen, um u und d möglichst plausibel zu wählen. Meiner Meinung nach ist wohl die am meisten geeignete Variante die Folgende: u d = e = e ( μ σ / ) Δt+ σ Δt ( μ σ / ) Δt σ Δt 1 1 () Dabei entspricht Δt der Länge einer Periode (entsprechend dem Binomialmodell), d.h. falls die gesamte Dauer von t = (heute) bis t = (Zeitpunkt der Optionsausübung) in n gleiche Perioden geteilt wird dann Δt = /n. μ und σ repräsentieren hier die erwartete stetige Rendite der Aktie und die Volatilität der Rendite pro eine Zeiteinheit (üblicherweise 1 Jahr) entsprechend. Diese Werte werden also gemäß der eigentlichen Periodenlänge Δt angepasst. Die genaue Herleitung der Ausdrücke in (8) unterliegt der Annahme, dass der Aktienpreis einem geometrischen Wiener Prozess folgt. Dies scheint der Realität besonders nah zu entsprechen (diese Eigenschaft wird in der Folge vor allem im Zusammenhang mit der 16

17 Lognormalverteilung von Aktienpreisen sowie dem darauf beruhenden Black-choles-Modell näher diskutiert). Black-choles-Modell Lognormalverteilung von Aktienpreisen Die Entwicklung des Aktienpreises ist unsicher und daher auch jeder künftige Wert, den der Aktienpreis annimmt. Eine wichtige Frage in diesem Zusammenhang ist nun die folgende: Wie ist der künftige Aktienpreis verteilt? In der Praxis wird meistens angenommen, dass der Aktienpreis einer Lognormalverteilung gehorcht. Diese Eigenschaft stammt im Grunde automatisch aus einer anderen ganz elementaren Annahme, welche im Grunde die Realität besonders gut widerspiegelt und zwar, dass der Aktienpreis einen geometrischen Wiener Prozess verfolgt, d.h. d = μ dt + σdz (3) Dabei ist z eine normalverteilte Variable mit Erwartungswert und Varianz dt. Die stochastische Differentialgleichung impliziert, dass die erwartete Rendite (einfach gemessen und nicht stetig!) von in dem Zeitintervall dt einen Erwartungswert μdt und die Varianz σ dt hat, d.h. die μ und σ repräsentieren den Erwartungswert der einfachen Rendite pro eine Zeiteinheit (üblicherweise 1 Jahr) und ihre tandardabweichung, entsprechend. Dies wird ganz offensichtlich, falls man die Gleichung (83) in folgender Form schreibt d = μ dt + σdz (4) Unter der Annahme, dass der Aktienpreis einen geometrischen Wiener Prozess verfolgt, kann nun gezeigt werden, dass der künftige Aktienpreis im Grunde lognormalverteilt ist bzw., dass der natürliche Logarithmus des künftigen Aktienpreises normalverteilt ist. Diesen Beweis kann leicht über einen kleinen rick durchführen. Führen wir erstens eine Variable ein, welche im Grunde eine deterministische Funktion des Aktienpreises ist, konkret ihr natürlicher Logarithmus, also G = ln. Nach der Anwendung Ito s Lemma können wir nach einigen Umformungen über den Prozess der Variable G folgende Aussage treffen 17

18 dg σ = μ dt + σdz (5) Aus der Gleichung (85) folgt dann automatisch d ln ln ln t = ln + dt = t+ dt t t σ = μ dt + σdz (6) Dies ist eine wichtige Feststellung, denn es besagt genau die Verteilung des künftigen Aktienpreises t+dt σ ln ~ N ln + + dt, σ dt t dt t μ (7) Oder etwa, anders geschrieben, über die Verteilung der stetigen Rendite des Aktienpreises σ t+ dt ln ~ N dt, σ dt t μ (8) Aus (87) ist ersichtlich, dass der künftige Aktienpreis lognormalverteilt ist, denn die Definition einer lognormalverteilten Variable besagt, dass der natürliche Logarithmus der Variable normalverteilt ist. Gemäß (88) ist die stetige Rendite der Aktie normalverteilt. Um nun wirklich zu einem Ausdruck für den künftigen Aktienpreis (und nicht nur für seinen Logarithmus) zu kommen, kann man (86) leicht umformen, so dass σ = exp μ dt + σdz t+ dt t (9) Oder etwa in der Form = e Y σ Y = μ dt + εσ ε ~ N(,1) wobei und (3) + t dt t dt 18

19 Dies ist die Grundlage für die imulation der Entwicklung der Aktienpreise! Es bleibt nur noch μ und σ für eine konkrete Aktie zu ermitteln (dies wird grundsätzlich anhand der historischen Entwicklung des entsprechenden Aktienpreises gemacht), um die möglichen rajektorien des Aktienpreises simulieren zu können. Wie bereits erwähnt repräsentiert μ den Erwartungswert der einfachen Rendite des Aktienpreises, daher sei der Wert auch entsprechend von den historischen Daten zu ermitteln. Oder man kann direkt den Wert μ σ / bestimmen, indem man den Mittelwert der stetigen Rendite des Aktienpreises berechnet. 3 Die Volatilität σ ist gemäß (84) und (88) gleich sowohl bei einfacher als auch bei stetiger Rendite. Meine Empfehlung ist, zur Vereinfachung immer die stetige Rendite für die einzelnen historischen Beobachtungen zu ermitteln, und anschließend einfach deren Mittelwert und tandardabweichung. elbstverständlich müssen die Werte schließlich an die gewählte Periodenlänge Δt angepasst werden. Die zwei daraus resultierenden Variablen repräsentieren dann den Erwartungswert und tandardabweichung der Zufallsvariable Y in (9), welche dann zur imulation der Entwicklung von genutzt wird. Bevor wir nun tatsächlich eine imulation der Aktienpreise durchführen, schauen wir uns eine empirische Entwicklung eines Aktienpreises an und die Verteilung seiner Rendite. Obwohl in dem File aktienkurse.xls nur 36 Beobachtungen für jede Aktie zur Verfügung stehen, was eigentlich sehr wenig ist, um die Verteilung in der gesamten Grundgesamtheit zu erahnen, scheint die empirische Verteilung der stetigen Rendite für einige der Aktientitel besonders stark auf die Normalverteilung hinzuweisen. Die Grafik 13 enthält z.b. den Histogramm der stetigen Rendite von der Microsoft Aktie. 3 Dies ist konsistent mit Benninga, Kapitel 15.7! Der Vergleich zu Hull, eite 4, mag etwas verwirrend scheinen, denn in Hull wird von der Rendite noch der erm σ / subtrahiert, aber dies ist eigentlich das Gleiche, denn die Rendite dort ist tatsächlich nur μ (also im Grunde die einfache Rendite). Bestimmt man jedoch direkt den Mittelwert der stetigen Rendite, so ist dieser Wert automatisch μ - σ /, also der Erwartungswert von Y in (9) und kann daher direkt zur imulation verwendet werden, ohne zuerst wie im Falle des Mittelwertes der einfachen Rendite μ. 19

20 15 Microsoft - Emp. Verteilung der stetigen Rendite 1 5 -, -,5,1,5 Grafik 13: Histogramm der stetigen Rendite von Microsoft Versuchen wir nun die Entwicklung des Aktienpreises von Microsoft zu simulieren. Dabei verwenden wir für die Ermittlung des Erwartungswertes der Zufallsvariable Y den Mittelwert der stetigen Rendite (,18% p.a.) und deren tandardabweichung ( 4,81% p.a.) zur Bestimmung der entsprechenden tandardabweichung von Y. Es ist nun jedenfalls die Länge der zur imulation verwendeten Zeitperiode zu wählen, auf die anschließend beide Werte angepasst werden müssen. Angenommen, es sei eine Periode der Länge von einem ag gewählt, d.h. 1/5 des Jahres (denn es gibt ca. 5 Börsentage im Jahr). Der Erwartungswert der Zufallsvariable Y beträgt in so einem Fall,87% und die ihre tandardabweichung 1,57%. Angenommen, man möchte nun die Preisentwicklung für die Dauer eines Jahres beginnend mit dem 8. August 8, an dem der Preis 8,13 UD beträgt. Mit Hilfe der Funktionen rnd() bzw. zufallszahl() sowie normsdist(), normsinv() kann man die zufälligen Werte für eine standardnormalverteilte Variable preadsheet-basiert produzieren. Dabei kann man die Werte in die Gleichung (9) implementieren und somit die ganze zufällige Preisentwicklung der Microsoft Aktie simulieren. Alternativ kann ein VBA- Makro schreiben, welches die zufälligen Werte produziert und gleichzeitig die entsprechenden simulierten Aktienpreise berechnet. Den Ausgang der imulation kann man dann leicht in Form eines Diagramms darstellen. Black-choles Modell Das Black-choles Modell wurde entwickelt zum dem Zweck der Bewertung von Optionen. Dabei beruht das Modell an der Eigenschaft der Lognormalverteilung von Aktienpreisen.

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Mag. Tomáš Sedliačik Lehrstuhl für Finanzdienstleistungen Universität Wien 1 Themenübersicht 1. Portfoliotheorie und Portfoliomodelle i. Grundbegriffe: Rendite,

Mehr

Derivatebewertung im Binomialmodell

Derivatebewertung im Binomialmodell Derivatebewertung im Binomialmodell Roland Stamm 27. Juni 2013 Roland Stamm 1 / 24 Agenda 1 Einleitung 2 Binomialmodell mit einer Periode 3 Binomialmodell mit mehreren Perioden 4 Kritische Würdigung und

Mehr

DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZUR BESTIMMUNG DES PREISES VON WäHRUNGSOPTIONEN

DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZUR BESTIMMUNG DES PREISES VON WäHRUNGSOPTIONEN DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZUR BESTIMMUNG DES PREISES VON WäHRUNGSOPTIONEN von HANS-JüRG BüTTLER In der vorliegenden Notiz werden zuerst Kennziffern des Wechselkurses, die für die lognormale Verteilung

Mehr

Aufgaben Brealey/Myers [2003], Kapitel 21

Aufgaben Brealey/Myers [2003], Kapitel 21 Quiz: 1, 2, 4, 6, 7, 10 Practice Questions: 1, 3, 5, 6, 7, 10, 12, 13 Folie 0 Lösung Quiz 7: a. Das Optionsdelta ergibt sich wie folgt: Spanne der möglichen Optionspreise Spanne der möglichen Aktienkurs

Mehr

Optionen. Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg

Optionen. Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg Optionen Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg 1 Übersicht Der Optionsvertrag Pay Offs / Financial Engineering Wertgrenzen Put-Call-Paritätsbedingung Bewertung von Optionen

Mehr

Optionsbewertung. Christof Heuer und Fabian Lenz. 2. Februar 2009

Optionsbewertung. Christof Heuer und Fabian Lenz. 2. Februar 2009 nach Black-Scholes mit sprüngen 2. Februar 2009 nach Black-Scholes mit sprüngen Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Optionsarten Modellannahmen 2 Aktienmodell Beispiele für e ohne Sprung 3 nach Black-Scholes

Mehr

Einführung in die Optionspreisbewertung

Einführung in die Optionspreisbewertung Einführung in die Optionspreisbewertung Bonn, Juni 2011 MAF BN SS 2011 Huong Nguyen Gliederung Einführung Definition der Parameter Zwei Komponente zur Ermittlung der Optionsprämie Callwert-Kurve Wirkungen

Mehr

Musterlösung Übung 2

Musterlösung Übung 2 Musterlösung Übung 2 http://www.hoadley.net/options/ http://www.eeh.ee.ethz.ch/en/power/power-systems-laboratory/services 1. Optionsbewertung nach Black / Scholes a) Bewerten Sie eine Call-Option mit den

Mehr

Musterlösung Übung 3

Musterlösung Übung 3 Musterlösung Übung 3 http://www.hoadley.net/options/ http://www.eeh.ee.ethz.ch/en/power/power-systems-laboratory/services 1. Optionsbewertung nach Black / Scholes a) Bewerten Sie eine Call-Option mit den

Mehr

Optionspreistheorie von Black & Scholes

Optionspreistheorie von Black & Scholes Optionspreistheorie von Black & Scholes Vortrag zum Seminar Econophysics Maximilian Eichberger 20. November 2007 Zusammenfassung Nach einer kurzen Erläuterung zu den Grundbegriffen und -prinzipien des

Mehr

Aufgabe 1: Bewertung von Optionen (48 Punkte)

Aufgabe 1: Bewertung von Optionen (48 Punkte) Aufgabe 1: Bewertung von Optionen (48 Punkte) Am arbitragefreien Kapitalmarkt werden europäische und amerikanische nicht dividendengeschützte Verkaufsoptionen auf eine Aktie mit einer Restlaufzeit von

Mehr

Seminar Finanzmathematik

Seminar Finanzmathematik Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel Seite 1 von 24 Zufallszahlen am Computer 3 Gleichverteilte Zufallszahlen 3 Weitere Verteilungen 3 Quadratische Verteilung 4 Normalverteilung

Mehr

Die Black-Scholes-Gleichung

Die Black-Scholes-Gleichung Die Black-Scholes-Gleichung Franziska Merk 22.06.2012 Outline Optionen 1 Optionen 2 3 Optionen Eine Kaufoption ist ein Recht, eine Aktie zu einem heute (t=0) festgelegten Preis E an einem zukünftigen Zeitpunkt

Mehr

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/ Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08 http://code.google.com/p/mitgetexed/ Stand: 4. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und erste Begriffe 2 2 Endliche Finanzmärkte 4 3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell

Mehr

Seminar Finanzmathematik

Seminar Finanzmathematik Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel von Christian Schmitz Übersicht Zufallszahlen am Computer Optionspreis als Erwartungswert Aktienkurse simulieren Black-Scholes Formel Theorie

Mehr

Einleitung. Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste. von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären.

Einleitung. Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste. von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären. Einleitung Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste Modell, um die Idee der Preisgebung von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären. naive Idee der Optionspreisbestimmung: Erwartungswertprinzip

Mehr

Notationen. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2

Notationen. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2 Optionspreismodelle Notationen S t : X: T: t: S T : r: C: P: c: p: s: aktueller Aktienkurs Ausübungspreis (Rest-)laufzeit der Option Bewertungszeitpunkt Aktienkurs bei Verfall risikofreier Zinssatz Preis

Mehr

Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein

Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Michael Beer 8. Mai 000 Inhaltsverzeichnis Einführung und Problembeschreibung. Was sind Optionen?.............................. Modellspezifikation..............................3

Mehr

Bewertung von Forwards, Futures und Optionen

Bewertung von Forwards, Futures und Optionen Bewertung von Forwards, Futures und Optionen Olaf Leidinger 24. Juni 2009 Olaf Leidinger Futures und Optionen 2 24. Juni 2009 1 / 19 Überblick 1 Kurze Wiederholung Anleihen, Terminkontrakte 2 Ein einfaches

Mehr

Internationale Finanzierung 7. Optionen

Internationale Finanzierung 7. Optionen Übersicht Kapitel 7: 7.1. Einführung 7.2. Der Wert einer Option 7.3. Regeln für Optionspreise auf einem arbitragefreien Markt 7.3.1. Regeln für Calls 7.3.2. Regeln für Puts 7.3.3. Die Put Call Parität

Mehr

Quantitative Finance

Quantitative Finance Kapitel 11 Quantitative Finance Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden XI Quantitative Finance 1 / 30 Lernziele für den Teil Quantitative Finance Die Welt der stetigen Zinsen (Renditen) Wichtige Finanzprodukte:

Mehr

Finanzmanagement 5. Optionen

Finanzmanagement 5. Optionen Übersicht Kapitel 5: 5.1. Einführung 5.2. Der Wert einer Option 5.3. Regeln für Optionspreise auf einem arbitragefreien Markt 5.3.1. Regeln für Calls 5.3.2. Regeln für Puts 5.3.3. Die Put Call Parität

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement

Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement B. rke FH Gelsenkirchen, Abteilung Bocholt February 4, 006 Aufgabenblatt: "Bewertung von Optionen" 1 Lösungshinweise 1 uropean Put Option Zeichnen Sie den einer

Mehr

Computational Finance

Computational Finance Computational Finance : Simulationsbasierte Optionsbewertung Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4 / WiWi-Gebäude

Mehr

Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 1 von 35 Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen

Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 1 von 35 Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Finanz- und Risikomanagement... 3 Aufgabe... 3 Aufgabe... 3 Aufgabe 3... 3 Aufgabe 4... 3 Aufgabe 5... 4 Aufgabe 6... 4 Aufgabe 7... 4 Aufgabe 8... 4 Aufgabe 9...

Mehr

Flonia Lengu. Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf

Flonia Lengu. Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf Flonia Lengu Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf Gliederung 1. Einführung in derivative Finanzinstrumente 2. Futures und Optionen 3. Terminkauf und verkauf von

Mehr

Finanz- und Risikomanagement II

Finanz- und Risikomanagement II Finanz- und Risikomanagement II Fakultät Grundlagen März 2009 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Einperiodenmodell Marktmodell Bewertung von Derivaten Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

34 5. FINANZMATHEMATIK

34 5. FINANZMATHEMATIK 34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.

Mehr

Generalthema: Zinsrisikomanagement und der Jahresabschluß von Kreditinstituten Thema 5: Ansätze zur Bewertung von Zinsoptionen

Generalthema: Zinsrisikomanagement und der Jahresabschluß von Kreditinstituten Thema 5: Ansätze zur Bewertung von Zinsoptionen Institut für Geld- und Kapitalverkehr der Universität Hamburg Prof. Dr. Hartmut Schmidt Seminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2003/2004 Zuständiger Mitarbeiter: Dipl.-Kfm. Christian Wolff Generalthema:

Mehr

Kurzbeschreibung. Eingaben zur Berechnung. Das Optionspreismodell. Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie

Kurzbeschreibung. Eingaben zur Berechnung. Das Optionspreismodell. Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie Kurzbeschreibung Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie - theoretische Optionspreise - Optionskennzahlen ( Griechen ) und - implizite Volatilitäten von Optionen berechnen und die errechneten Preise bei

Mehr

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2014

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2014 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2014 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 8 1 / 40 Erweiterungen des Binomialmodells Dividendenzahlungen Sei S der Wert einer Aktie

Mehr

Das Black-Scholes Marktmodell

Das Black-Scholes Marktmodell Das Black-Scholes Marktmodell Andreas Eichler Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 8. April 2011 1 / 14 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt

Mehr

Optionen. Univ.- Ass. Dr. Helmut Elsinger Institut für BWL an der Universität Wien. Optionen

Optionen. Univ.- Ass. Dr. Helmut Elsinger Institut für BWL an der Universität Wien. Optionen Univ.- Ass. Dr. Helmut Institut für BWL an der Universität Wien Der Käufer einer Option (long position) hat das Recht, einen bestimmten Basiswert (Aktie, Anleihe, Waren, etc.) an (bis) zu einem bestimmten

Mehr

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 3 1 / 46 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Betrachtet wird nun ein Wertpapiermarkt mit

Mehr

Option Analysis of Plattform Decisions. Raeed Mayrhofer

Option Analysis of Plattform Decisions. Raeed Mayrhofer Option Analysis of Plattform Decisions Raeed Mayrhofer Softwareplattform ist ein Bündel von Funktionen, das das Ausführen von Applikationen ermöglicht bildet gemeinsam mit Hardware und Know-how die IT-Infrastruktur

Mehr

Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen

Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen Bewertung von europäischen und amerikanischen en 1. Vortrag - Einführung Technische Universität Berlin Institut für Mathematik 8. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen amerikanische / europäische

Mehr

Irrfahrten. Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik

Irrfahrten. Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik Irrfahrten Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik Alexander Hahn, 04.11.2008 Überblick Ziele der Finanzmathematik Grundsätzliches zu Finanzmarkt, Aktien, Optionen Problemstellung in der Praxis Der

Mehr

Einfache Derivate. Stefan Raminger. 4. Dezember 2007. 2 Arten von Derivaten 3 2.1 Forward... 3 2.2 Future... 4 2.3 Optionen... 5

Einfache Derivate. Stefan Raminger. 4. Dezember 2007. 2 Arten von Derivaten 3 2.1 Forward... 3 2.2 Future... 4 2.3 Optionen... 5 Einfache Derivate Stefan Raminger 4. Dezember 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Begriffsbestimmungen 1 2 Arten von Derivaten 3 2.1 Forward..................................... 3 2.2 Future......................................

Mehr

DIPLOM. Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II:

DIPLOM. Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Seite 1 von 9 Name: Matrikelnummer: DIPLOM Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Bankmanagement und Theory of Banking Seite 2 von 9 DIPLOM Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Bankmanagement

Mehr

Amerikanischen Optionen

Amerikanischen Optionen Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof.

Mehr

Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015

Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015 Vorlesung Hochschule Rhein-Main Sommersemester 2015 Dr. Roland Stamm 22. Juni 2015 Erinnerung Eine Option ist das Recht (aber nicht die Verpflichtung) ein Produkt S in der Zukunft zu einem heute festgelegten

Mehr

Optionskennzahlen. 1 Man beachte, daß die mittels dieser Verhältnisse berechneten Veränderungen nur für kleine Veränderungen rich-

Optionskennzahlen. 1 Man beachte, daß die mittels dieser Verhältnisse berechneten Veränderungen nur für kleine Veränderungen rich- Optionskennzahlen 1 Einführung Die Abhängigkeit des Optionspreises von den verschiedenen Parametern wird analysiert, indem diese marginal 1 verändert und ins Verhältnis zu der daraus resultierenden Veränderung

Mehr

Aktien, D Derivate, A Arbitrage Kursverläufe des DAX: Tagesgang 5.1.2011-1a -

Aktien, D Derivate, A Arbitrage Kursverläufe des DAX: Tagesgang 5.1.2011-1a - : Eine Einführung in die moderne Finanzmathematik Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik chwerpunkt Versicherungs- und Finanzmathematik Kursverläufe des DA: agesgang 5.1.2011-1a - Kursverläufe

Mehr

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung Vorbeerkungen zur Optionsscheinbewertung Matthias Groncki 24. Septeber 2009 Einleitung Wir wollen uns it den Grundlagen der Optionsscheinbewertung beschäftigen. Dazu stellen wir als erstes einige Vorraussetzungen

Mehr

Inhaltsverzeichnis XVII. Abkürzungsverzeichnis... XXIII. Symbolverzeichnis...XXVII. Abbildungsverzeichnis...XXXI. Tabellenverzeichnis...

Inhaltsverzeichnis XVII. Abkürzungsverzeichnis... XXIII. Symbolverzeichnis...XXVII. Abbildungsverzeichnis...XXXI. Tabellenverzeichnis... XVII Abkürzungsverzeichnis... XXIII Symbolverzeichnis...XXVII Abbildungsverzeichnis...XXXI Tabellenverzeichnis... XXXV 1 Einführung...1 1.1 Entwicklung und Bedeutung der Optionsbewertung...1 1.2 Problemstellung...4

Mehr

Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung

Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastische Dynamische Optimierung vom 18.01.2008 Datum : 18.01.2008 Verfasser: Martin Schymalla

Mehr

Zusammenfassung Finanzmarkttheorie 2

Zusammenfassung Finanzmarkttheorie 2 UNI BERN BWL Zusammenfassung Finanzmarkttheorie 2 FS 2014 bei Prof. Dr. Heinz Zimmermann Zusammenfassung zusammengestellt aus den Folien zur Vorlesung. Zusammenfassung enthält wahrscheinlich noch Typos.

Mehr

Angewandte Stochastik

Angewandte Stochastik Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 16 Crash Course Optionen: Pricing & Hedging in diskreter Zeit Literatur Kapitel 16 * Uszczapowski: Kapitel 2, 3, 6 * Pliska: Kapitel 1.4 * Lamberton & Lapeyre:

Mehr

Test 1 (zu den Kapiteln 1 bis 6)

Test 1 (zu den Kapiteln 1 bis 6) Test 1 1 Test 1 (zu den Kapiteln 1 bis 6) Bearbeitungszeit: 90 Minuten Aufgabe T1.1: Bekanntmachung EUR 1.000.000.000,- Anleihe mit variablem Zinssatz der Fix AG von 2003/2013, Serie 111 Zinsperiode: 12.10.2006

Mehr

Die zufällige Irrfahrt einer Aktie

Die zufällige Irrfahrt einer Aktie Die zufällige Irrfahrt einer Aktie Teilnehmer: Daniela Garske (Herder-Oberschule) Joseph Jung (Pamina-Schulzentrum Herxheim) Martin Laudien (Herder-Oberschule) Kaina Schäfer (Herder-Oberschule) Anja Seegert

Mehr

Derivate. Risikomanagement mit Optionen. Falk Everding

Derivate. Risikomanagement mit Optionen. Falk Everding Derivate Risikomanagement mit Optionen Falk Everding Inhalt Einführung Kassa- und Termingeschäfte Basisgüter bei Optionen Handelsplätze von Optionen Optionsarten Funktionsweisen von Optionen Ausstattungsmerkmale

Mehr

Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik

Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik Forward: Kontrakt, ein Finanzgut zu einem fest vereinbarten Zeitpunkt bzw. innerhalb eines Zeitraums zu einem vereinbarten Erfüllungspreis zu kaufen bzw. verkaufen.

Mehr

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Francesca Biagini Mathematisches Institut, LMU biagini@math.lmu.de Münchner Wissenschaftstage im Jahr der Mathematik 21. Oktober 28

Mehr

VALUATION Übung 5 Terminverträge und Optionen. Adrian Michel Universität Bern

VALUATION Übung 5 Terminverträge und Optionen. Adrian Michel Universität Bern VALUATION Übung 5 Terminverträge und Optionen Adrian Michel Universität Bern Aufgabe Tom & Jerry Aufgabe > Terminpreis Tom F Tom ( + R) = 955'000 ( + 0.06) = 99'87. 84 T = S CHF > Monatliche Miete Jerry

Mehr

Optionen, Futures und andere Derivate

Optionen, Futures und andere Derivate John C. Hull Optionen, Futures und andere Derivate Das Übungsbuch 8., aktualisierte Auflage Fachliche Betreuung der deutschen Übersetzung durch Dr. Wolfgang Mader und Dr. Marc Wagner Higher Education München

Mehr

Vertical-Spreads Iron Condor Erfolgsaussichten

Vertical-Spreads Iron Condor Erfolgsaussichten www.mumorex.ch 08.03.2015 1 Eigenschaften Erwartung Preis Long Calls Long Puts Kombination mit Aktien Vertical-Spreads Iron Condor Erfolgsaussichten www.mumorex.ch 08.03.2015 2 www.mumorex.ch 08.03.2015

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen)

Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen) Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen) Peter Albrecht (Mannheim) Die Prüfung des Jahres 2004 im Bereich Finanzmathematik (Grundwissen) wurde am 09. Oktober 2004 mit diesmal

Mehr

Termingeschäfte. Bedingte Termingeschäfte. Unbedingte Termingeschäfte, bedingte Ansprüche (contingent claims) unbedingte Ansprüche

Termingeschäfte. Bedingte Termingeschäfte. Unbedingte Termingeschäfte, bedingte Ansprüche (contingent claims) unbedingte Ansprüche Optionen Termingeschäfte Bedingte Termingeschäfte bedingte Ansprüche (contingent claims) Optionen Kreditderivate Unbedingte Termingeschäfte, unbedingte Ansprüche Forwards und Futures Swaps 2 Optionen Der

Mehr

Finanzmathematik. Absichern und Bewerten von Optionen. Arnold Janssen / Klaus Janßen

Finanzmathematik. Absichern und Bewerten von Optionen. Arnold Janssen / Klaus Janßen Finanzmathematik Absichern und Bewerten von Optionen Arnold Janssen / Klaus Janßen Universität Düsseldorf 27.09.2012 Rohstoffe, Devisen, Aktien, Kredite,... haben Preise, die im Laufe der Zeit zufällig

Mehr

Zeit- und Dividendeneinfluss. auf einen amerikanischen Aktien-Call-Optionsschein.

Zeit- und Dividendeneinfluss. auf einen amerikanischen Aktien-Call-Optionsschein. HSBC Zertifikate-Akademie Zeit- und Dividendeneinfluss auf einen amerikanischen Aktien-Call-Optionsschein Liebe Leserinnen und Leser der HSBC Zertifikate-Akademie In den vergangenen Ausgaben wurden verschiedene

Mehr

Aufgabensammlung. Bank II

Aufgabensammlung. Bank II BankII Seite 1 Aufgabensammlung Bank II Inhaltsverzeichnis Optionspreistheorie...2 Unternehmensbewertung...45 Verständnisfragen...62 BankII Seite 2 Klausur WS 1992/93 Aufgabe 1 Optionspreistheorie Teil

Mehr

Monte Carlo Simulation (Grundlagen)

Monte Carlo Simulation (Grundlagen) Der Titel des vorliegenden Beitrages wird bei den meisten Lesern vermutlich Assoziationen mit Roulette oder Black Jack hervorrufen. Allerdings haben das heutige Thema und die Spieltische nur den Namen

Mehr

Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II:

Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Seite 1 von 23 Name: Matrikelnummer: Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Bankmanagement und Theory of Banking Hinweise: o Bitte schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf die Klausur

Mehr

B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte

B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte B. Nyarko S. Opitz Lehrstuhl für Derivate Sommersemester 2014 B. Nyarko S. Opitz (UHH) B.A. Seminar Derivate: Märkte & Produkte Sommersemester 2014 1 / 23 Organisatorisches

Mehr

Futures und Optionen. Einführung

Futures und Optionen. Einführung Futures und Optionen Einführung Plan Märkte Kassamarkt Terminmarkt Unterscheidung Funktionsweise Die statische Sichtweise Futures und Forwards Verpflichtungen Optionen Rechte und Verpflichtungen Grundpositionen

Mehr

Einfache Derivate. von Christian Laubichler im Rahmen des Proseminars Bakkalaureat TM (Datensicherheit und Versicherungsmathematik) WS 2008/09

Einfache Derivate. von Christian Laubichler im Rahmen des Proseminars Bakkalaureat TM (Datensicherheit und Versicherungsmathematik) WS 2008/09 Einfache Derivate von Christian Laubichler im Rahmen des Proseminars Bakkalaureat TM (Datensicherheit und Versicherungsmathematik) WS 2008/09 14 Jänner 2009 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Begriffsbestimmung

Mehr

Martingal-Pricing-Theorie

Martingal-Pricing-Theorie Seminararbeit Martingal-Pricing-Theorie von: Christina Riedel I Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis... III Abkürzungsverzeichnis... IV 1. Einleitung... 1 2. Martingale... 1 2.1. Stochastische Grundlagen...

Mehr

Optionen - Verbuchung

Optionen - Verbuchung Optionen - Verbuchung Dieses Dokument begleitet Sie durch die "state-of-the-art" Buchung von Call- und Put- Optionen. Zuerst wird Die Definition von einfachen Calls und Puts (plain vanilla options) wiederholt.

Mehr

Derivate und Bewertung

Derivate und Bewertung . Dr. Daniel Sommer Marie-Curie-Str. 30 60439 Franfurt am Main Klausur Derivate und Bewertung.......... Wintersemester 2008/09 Klausur Derivate und Bewertung Wintersemester 2008/09 Aufgabe 1: Zinsurven,

Mehr

Investition und Finanzierung

Investition und Finanzierung Tutorium Investition und Finanzierung Sommersemester 2014 Investition und Finanzierung Tutorium Folie 1 Inhaltliche Gliederung des 3. Tutorium Investition und Finanzierung Tutorium Folie 2 Aufgabe 1: Zwischenform

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

III Stochastische Analysis und Finanzmathematik

III Stochastische Analysis und Finanzmathematik III Stochastische Analysis und Finanzmathematik Ziel dieses Kapitels ist es, eine Einführung in die stochastischen Grundlagen von Finanzmärkten zu geben. Es werden zunächst Modelle in diskreter Zeit behandelt,

Mehr

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Mehr

Homework II. November 2010. Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum WWZ. P.Weber@unibas.ch

Homework II. November 2010. Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum WWZ. P.Weber@unibas.ch Homework II November 2010 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum WWZ P.Weber@unibas.ch Exercise 1 Explain the no-arbitrage and the risk-neutral valuation approaches to valuing a European

Mehr

DIPLOMARBEIT. Vergleich numerischer Berechnungsmethoden für Optionswerte und Handelsstrategien

DIPLOMARBEIT. Vergleich numerischer Berechnungsmethoden für Optionswerte und Handelsstrategien UNIVERSITÄT BAYREUTH FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK Lehrstuhl für Mathematik V DIPLOMARBEIT Vergleich numerischer Berechnungsmethoden für Optionswerte und Handelsstrategien eingereicht von: Martin

Mehr

Kapitalerhöhung - Verbuchung

Kapitalerhöhung - Verbuchung Kapitalerhöhung - Verbuchung Beschreibung Eine Kapitalerhöhung ist eine Erhöhung des Aktienkapitals einer Aktiengesellschaft durch Emission von en Aktien. Es gibt unterschiedliche Formen von Kapitalerhöhung.

Mehr

Risiko und Symmetrie. Prof. Dr. Andrea Wirth

Risiko und Symmetrie. Prof. Dr. Andrea Wirth Risiko und Symmetrie Prof. Dr. Andrea Wirth Gliederung 1. Einleitung Was ist eigentlich Risiko? 2. Risiko Mathematische Grundlagen 3. Anwendungsbeispiele Wo genau liegt der Schmerz des Risikos? 4. Sie

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Francesca BIAGINI, München, Daniel ROST, München Money out of nothing? - Prinziien und Grundlagen der Finanzmathematik Die Finanzmathematik hat als jüngste mathematische Diszilin in den letzten 15 Jahren

Mehr

Investition & Finanzierung. 2. Investitionsrechnung unter Sicherheit

Investition & Finanzierung. 2. Investitionsrechnung unter Sicherheit Investition & Finanzierung 2. Investitionsrechnung unter Univ.-Prof. Dr. Dr. Andreas Löffler (AL@wacc.de) 1 Unter Cashflows verstehen wir Ein- sowie Auszahlungen. Wir konzentrieren uns vollkommen auf diese

Mehr

Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre

Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, SS 2008 1 Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Lösungshinweise zur Einsendearbeit

Mehr

Numerische Methoden der Finanzmathematik

Numerische Methoden der Finanzmathematik Numerische Methoden der Finanzmathematik Lars Grüne Mathematisches Institut Fakultät für Mathematik und Physik Universität Bayreuth 95440 Bayreuth lars.gruene@uni-bayreuth.de www.math.uni-bayreuth.de/

Mehr

Kapitalversicherungen

Kapitalversicherungen Kapitalversicherungen Sanela Omerovic Proseminar Versicherungsmathematik TU Graz 11. Dezember 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Einfache Versicherungsformen 3 2.1 Todesfallversicherungen (Life Insurance)....................

Mehr

SoSe 2004 Mareen Hofmann, Sonja Lange

SoSe 2004 Mareen Hofmann, Sonja Lange Einführung in die Finanzmathematik Grundlagen SoSe 2004 Mareen Hofmann, Sonja Lange Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Finanzmärkte und Instrumente 2 2.1 Finanzmärkte............................. 2 2.2

Mehr

Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken

Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken Seminararbeit von Marleen Laakmann 2. Mai 2010 Einleitung Zur Messung und Steuerung von Kreditrisiken gibt es eine Reihe von Methoden und

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Anlage in Finanzderivaten / Strukturierten Wertpapieren

Anlage in Finanzderivaten / Strukturierten Wertpapieren Anlage in Finanzderivaten / Strukturierten Wertpapieren Prof. Dr. Martin Schmidt Friedberg, 24.10.2012 UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES Seite 1 Übersicht 1. Wovon reden wir eigentlich? 2. Wie bekommt man

Mehr

ZERTIFIKATE spielend beherrschen

ZERTIFIKATE spielend beherrschen UDI ZAGST / MICHAEL HUBER RUDI ZAGST / MICHAEL HUBER ZERTIFIKATE ZERTIFIKATE spielend beherrschen spielend beherrschen Der Performance-Kick Der Performance-Kick für Ihr für Portfolio Ihr Portfolio inanzbuch

Mehr

Bewertung von Optionen in der Lebensversicherung

Bewertung von Optionen in der Lebensversicherung Kriener, Yvonne Bewertung von Optionen in der Lebensversicherung Diplomarbeit Hochschule Mittweida University of Applied Sciences Fachbereich: Mathematik, Physik, Informatik Studiengang: Angewandte Mathematik

Mehr

Errata. Grundlagen der Finanzierung. verstehen berechnen entscheiden. Geyer/Hanke/Littich/Nettekoven 1. Auflage, Linde Verlag, Wien, 2003

Errata. Grundlagen der Finanzierung. verstehen berechnen entscheiden. Geyer/Hanke/Littich/Nettekoven 1. Auflage, Linde Verlag, Wien, 2003 Errata in Grundlagen der Finanzierung verstehen berechnen entscheiden Geyer/Hanke/Littich/Nettekoven 1. Auflage, Linde Verlag, Wien, 2003 Stand 10. April 2006 Änderungen sind jeweils fett hervorgehoben.

Mehr

Optionen am Beispiel erklärt

Optionen am Beispiel erklärt Optionen am Beispiel erklärt Long Call Short Call Long Put Short Put von Jens Kürschner Grundlagen 2 Definition einer Option Eine Option bezeichnet in der Wirtschaft ein Recht, eine bestimmte Sache zu

Mehr

Dr. Boris Nöll Bewertung von Aktien- und Zinsderivaten

Dr. Boris Nöll Bewertung von Aktien- und Zinsderivaten Dr. Boris Nöll Bewertung von Aktien- und Zinsderivaten Wintersemester 20/202 Universität Siegen Dr. Boris Nöll / BEW II Literatur Cox, John C./Ross, Stephen A./Rubinstein, Mark (978): Option pricing: a

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung

Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung Dr. Volkert Paulsen 17. September 2009 Im wesentlichen unternimmt man auf Finanzmärkten eine Zweiteilung in Basis- und derivative Finanzgüter. Ein Anteil an

Mehr

Risikomanagement mit Option, Futures und Swaps.

Risikomanagement mit Option, Futures und Swaps. Risikomanagement mit Option, Futures und Swaps. Warum existieren Derivate? Ilya Barbashin Das Grundprinzip eines jeden Derivats ist, dass Leistung und Gegenleistung nicht wie bei Kassageschäft Zug-um-

Mehr

Überprüfung der Zielgrösse der Wertschwankungsreserve

Überprüfung der Zielgrösse der Wertschwankungsreserve Aon Hewitt Investment Consulting Urheberrechtlich geschützt und vertraulich Überprüfung der Zielgrösse der Wertschwankungsreserve Pensionskasse XY, Januar 2015 Risk. Reinsurance. Human Resources. Inhaltsverzeichnis

Mehr

Devisenoptionsgeschäfte

Devisenoptionsgeschäfte Devisenoptionsgeschäfte Die kaufende Partei einer Option erwirbt durch Zahlung der Prämie von der verkaufenden Partei das Recht, jedoch keine Verpflichtung, einen bestimmten Währungsbetrag zu einem vorher

Mehr

Klassische Risikomodelle

Klassische Risikomodelle Klassische Risikomodelle Kathrin Sachernegg 15. Jänner 2008 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 1.1 Begriffserklärung.................................. 3 2 Individuelles Risikomodell 3 2.1 Geschlossenes

Mehr