Materialien für die Zentralen Lernstandserhebungen in der Jahrgangsstufe 9

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1 Materialien für die Zentralen Lernstandserhebungen in der Jahrgangsstufe 9 Sehr geehrte Lehrerinnen und Lehrer, die neuen Verfahren der Standardsetzung und Standardüberprüfung werden dieses Jahr erstmals eingesetzt und entsprechend gespannt sind die Kollegien, ebenso wie Schülerinnen und Schüler. Die Lernstandserhebungen werden an Gymnasien, Realschulen und Gesamtschulen mit dem gleichen Material durchgeführt. Daher sind die hier vorliegenden Materialien weitestgehend an dieser Schnittmengenvorgabe ausgerichtet. Mit den Kopiervorlagen möchten wir Sie bei der Vorbereitung auf die Lernstandserhebungen entlasten. inerseits geschieht dies durch die Möglichkeit, die Materialien zur Stoffwiederholung einzusetzen und andererseits durch das gewählte Format, das dem der Lernstandserhebungen gleicht (Multiple-Choice- Fragen, Antwortkästen, Begründungen). Anders als in den Lernstandserhebungen sind die Aufgabenseiten kompakt mit Aufgaben belegt, um Ihnen ein breites Angebot an Übungen anzubieten. Das bedeutet, dass die Schülerinnen und Schüler die Aufgaben im Heft und nicht wie in der rhebung auf den Arbeitsblättern lösen werden. In diesem Heft finden Sie: º Themenblätter zur Stoffwiederholung (Selbstkontrolle) º Aufgabenblätter (Format der Lernstandserhebungen) º Lösungen der Aufgaben Die Materialien sind auf fünf Themenbereiche konzentriert, die die zentralen Inhalte und Kompetenzen der Klassen 5 bis 8 abdecken. Zusätzlich werden zwei Seiten zum Modellieren angeboten. Dieser prozessbezogene Kompetenzbereich wurde für dieses Jahr zu einem Schwerpunkt der Lernstandserhebungen gemacht. Die Arbeitsblätter können unabhängig voneinander genutzt werden; es besteht die Möglichkeit, durch eine entsprechende Aufgabenauswahl einen Lernzirkel zu gestalten. Der Schwierigkeitsgrad wurde auf den Aufgabenblättern stark variiert, so dass hier eine Binnendifferenzierung möglich ist. Wir hoffen, dass die Materialien für Sie ein Gewinn sein werden und wünschen Ihnen und Ihren Schülerinnen und Schülern viel rfolg bei den anstehenden Lernstandserhebungen. Mit freundlichen Grüßen Ihre Redaktion Mathematik Sie können die Materialien auch im Internet unter herunterladen. Informationen zum Thema und kommentierte Aufgabenbeispiele finden sie unter: Inhalt Seite Zuordnungen Basiswissen 2 Aufgabenblatt 3 Stochastik Basiswissen 4 Aufgabenblatt 5 Prozente und Zinsen Basiswissen 6 Aufgabenblatt 7 Geometrie Basiswissen 8 Aufgabenblatt 9 Terme und Gleichungen Basiswissen 0 Aufgabenblatt Probleme lösen Basiswissen 2 Aufgabenblatt 3 Lösungen der Aufgaben 4 Vorwort

2 Zuordnungen Zusammenhänge erkennen und beschreiben Obstpreis und Obstgewicht, Waldbestand und Sauerstofferzeugung oder der Wechselkurs von Dollar und uro lassen sich durch Zuordnungen beschreiben sie hängen jeweils voneinander ab. Hat man einen Zusammenhang erkannt und kann diesen beschreiben, kann man viele weit reichende Fragestellungen in den Griff bekommen. Basiswissen Vervollständige den Text mit den nebenstehenden Begriffen (Lösungswort). Ordne den Texten dann die Beispielnummern zu und schreibe sie in die Kästen. Zuordnungen Bei einer Zuordnung gehört zu jeder aus einem ersten Bereich eine Größe aus einem zweiten Bereich. Zuordnungen können dargestellt werden mithilfe von, durch Rechenvorschriften (Zuordnungsvorschriften) oder ganz anschaulich mit. Proportionale Zuordnungen Wird dem 2fachen (3fachen, 4fachen, ) der ersten Größe das 2fache (3fache, 4fache, ) der zweiten Größe, spricht man von einer Zuordnung. Bei ihr sind die zugeordneter Werte gleich. Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine, die im Punkt (0 0) beginnt. Antiproportionale Zuordnungen Bei einer antiproportionalen Zuordnung gehört zu dem 2fachen (3fachen, 4fachen, ) der ersten Größe die (der 3. Teil, der 4. Teil, ) der zweiten Größe. Die einander zugeordneter Werte sind gleich. Der Graph ist eine. Man spricht oft auch von einer proportionalen Zuordnung. Dreisatz Der Dreisatz ist ein, das bei vielen Aufgabenstellungen verwendet wird. Dabei muss unterschieden werden, ob ein oder ein antiproportionaler zugeordnet T Zusammenhang vorliegt. Die Grundidee beim Dreisatzrechnen ist, zuerst auf die inheit zu schließen und dann auf das dieser inheit. Proportionaler Zusammenhang: Beispiele Antiproportionaler Zusammenhang: Graphen Größe Hälfte Halbgerade Hyperbel Produkte proportionaler proportionalen Quotienten Rechenschema Tabellen umgekehrt Vielfache L W S G N U M U L G in Schwimmbad wird von drei Pumpen in 5 Stunden leer gepumpt. Wie lange benötigen fünf Pumpen? 3 Pumpen benötigen zum ntleeren 5 h Pumpe benötigt zum ntleeren 5 h 3 = 45 h 2 Mark bezahlt für 4 kg Äpfel 6 uro. Wie viel muss Marlene für 7 kg Äpfel bezahlen? 4 kg Äpfel kosten 6 uro kg Äpfel kostet 6 uro : 4 =,50 uro 7 kg Äpfel kosten 7,50 uro = 0,50 uro 3 Nach einem Hochwasser nimmt der Wasserstand eines Flusses kontinuierlich ab. Zeit (in h) Höhe (in m) 5,4 4,9 4,7 4,2 3,9 4 Beim Portionieren von 6 kg Nüssen ist die Zuordnung Gewicht einer Portion Anzahl der Portionen antiproportional. Anzahl Gewicht = = = 6000 (Produktgleichheit) 5 Beim Tanken ist die Zuordnung Benzin in ø Kosten in uro proportional ø uro 0,2 2,24 3,36 4,48 :,2 = 2 : 2,24 = = 0,89 (Quotientengleichheit) Lösungswort: 2 Zuordnungen Basiswissen Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004

3 Aufgaben Zuordnungen in Auto fährt auf der in der Grafik abgebildeten Straße von A nach B. Welcher der drei abgebildeten Graphen gehört zur Zuordnung Zeit t Geschwindigkeit v. A B C 5 in Wasserbecken wird von drei gleich großen Wasserrohren in 20 Minuten gefüllt. a) Beim insatz von fünf Rohren dauert es Minuten. b) Um das Wasserbecken in 90 Minuten zu füllen, benötigt man Rohre. 6 rgänze die Tabelle und überlege dir für die folgenden proportionalen Zuordnungen jeweils ein passendes Beispiel. a) Anzahl Preis ( ) 2,30 b) Zeit (s) Weg (m) 50 Graph 2 In den Tabellen sind entweder proportionale oder antiproportionale Zuordnungen dargestellt. a) Länge Preis b) Anzahl Zeit 2 m h 8 m h 24 m 27 h c) Anzahl Gewicht d) Zeit Gewicht 88 kg 4 min 00 t 64 8 kg 5 min 80 t 36 2,5 min Ordne jeder Tabellenlücke eine der folgenden Zahlen passend zu: a) b) c) d) 7 Der Schall breitet sich im Wasser schneller aus als in der Luft. Im Meereswasser legt der Schall in einer Sekunde eine Strecke von 500 m zurück. in Taucher gibt Klopfsignale. Das Signal kommt nach 0,03 Sekunden oben am Boot an. Der Taucher befindet sich in einer Tiefe von m. 8 in Langläufer will die 2 km lange Strecke in höchstens 60 Minuten laufen. Nach 5 km schaut er auf seine Uhr. s sind 24 Minuten seit dem Start vergangen. Schafft er die Strecke in der vorgesehenen Zeit, wenn er mit gleicher Geschwindigkeit weiterläuft? 9 Beim Taxiunternehmen Hauser kostet jeder gefahrene Kilometer,90 uro, bei Blitz-Taxi gibt es eine Grundgebühr von 2,20 uro und jeder gefahrene Kilometer kostet,70 uro. Welches Taxi sollten Jana und Leon für die km lange Fahrt nach Hause nehmen? 0 Beschreibe eine Situation, die zu dem folgenden Graphen passt. 3 Auf einem Berg wurden zu verschiedenen Zeiten die Schneehöhen gemessen und in eine Tabelle eingetragen. Uhrzeit Schneehöhe (in cm) a) Zeichne den Graphen der Zuordnung Zeit Schneehöhe in ein Koordinatensystem. b) Um 2.30 Uhr betrug die Schneehöhe vermutlich cm. 4 Acht Kiwis kosten 2,24 uro. Fünfzehn Kiwis kosten uro. Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004 Zuordnungen Aufgaben 3

4 Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten Manches passiert immer wieder, mit unvorhersagbarem Ausgang. Z. B. fällt ein Frühstücksbrot auf die Marmeladenseite oder Solche Missgeschicke können als Zufallsexperimente beschrieben werden, damit man Fragen dazu beantworten kann: Wenn man viele Brote fallen lässt, wie viele fallen auf die Marmeladenseite? Was kann man aus den erhobenen Daten schließen? Basiswissen Vervollständige den Text mit den nebenstehenden Begriffen (Lösungswort). Ordne den Texten dann die Beispielnummern zu und schreibe sie in die Kästen. Daten Daten werden in gesammelt. Wird die Urliste der Größe nach geordnet, erhält man eine. Oft verwendet man auch Häufigkeitslisten, in denen angegeben sind. Die ist der Anteil, den eine absolute Häufigkeit an der Gesamtzahl (am Umfang der rhebung) hat. Der Median ( ) liegt in der der Rangliste. werden oft in dargestellt. Die Gesamtzahl wird durch den Vollkreis mit 360 dargestellt. Die Größe der Kreisausschnitte ist proportional zu den zugehörigen relativen Häufigkeiten. Das : m = Summe aller rgebniswerte Umfang der rhebung absolute Häufigkeiten arithmetische Mittel Kreisdiagramme Laplace- Versuch Mitte Rangliste relative Häufigkeit relative Häufigkeiten Schätzung Urlisten Zentralwert L A F L Z L U L A S Zufall in Zufallsversuch, bei dem alle rgebnisse gleich wahrscheinlich sind, wird genannt. Die Wahrscheinlichkeit für eines dieser rgebnisse ist Anzahl der möglichen rgebnisse Liegt kein Laplace-Versuch vor, so benutzt man die relative Häufigkeit eines rgebnisses als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. Die ist umso besser, je öfter man den Versuch durchgeführt hat. Beispiele Farben der Gummibärchen in einer Packung; Umfang der rhebung: 36; absolute Häufigkeit der Farbe rot: 0 Relative Häufigkeit der Farbe rot: 4 Farbe rot: relative Häufigkeit 0 36 = Der entsprechende Kreisausschnitt hat einen Winkel von 360 = absolute Häufigkeit = 0 Gesamtzahl 36 = 0,278 = 27,8 %. 2 Beim Münzwurf sind die beiden möglichen rgebnisse Wappen und Zahl gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit für das rgebnis Zahl ist 2 = 0,5 = 50 %. 3 Farben der Luftballons in einer Packung; Häufigkeitstabelle: Farbe rot blau grün gelb pink Anzahl Rangliste einer rhebung: 0; ; ; 3; 3; 3; 4; 4; 6 arithmetisches Mittel: m = ( ) : 9 = 2,78 6 Rangliste einer rhebung: 0; ; ; 3; 3; 3; 4; 4; 6 Median: 3 7 Rangliste eines Wurfspieles, Treffer pro Person: 0; ; ; 3; 3; 3; 4; 4; 6 Lösungswort: 4 Stochastik Basiswissen Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004

5 Aufgaben Stochastik Bestimme für die beiden Listen den Mittelwert und den Median.. Liste: 3; 5; 7; 0; ; 7; 24 rgebnisse m: 2. Liste 0; 6; ; 3; 3; 5; 9 Median: 6 Bei einem Würfelspiel darf man noch einmal würfeln, wenn man eine 6 gewürfelt hat. a) Welchen Spielwürfel wählst du? b) Begründe deine ntscheidung? ) rgebnisse m: Median: 2 In einer neunten Klasse wird nach der Anzahl der Bücher gefragt, die jeder im letzten halben Jahr gelesen hat. Anzahl der gelesenen Bücher Anzahl der Nennungen a) Wie viele Bücher wurden in der Klasse im Durchschnitt (arithmetisches Mittel) gelesen? 2,52 Bücher 3,7 Bücher 5,86 Bücher b) Der Anteil der Leseratten (5 und mehr Bücher) in der Klasse beträgt %. 2) 7 Für die drei abgebildeten Würfel werden die Wahrscheinlichkeiten geschätzt. ) 3) 2) 3 rgebnis einer Fahrradprüfung: Schule geprüfte Räder beanstandete Räder Carl-Diem-GS 56 4 Max-Planck-GS 75 5 dith-stein-gs 54 2 ichendorff-gs 68 7 An welcher Schule ist der Anteil der mangelhaften Fahrräder am höchsten? 4 Weltmeere und ihre Flächen: Ozean Fläche Pazifischer Ozean (Pazifik) 80 Mio. km 2 Atlantischer Ozean (Atlantik) 05 Mio. km 2 Indischer Ozean (Indik) 75 Mio. km 2 a) Bestimme die Anteile der Ozeane an der gesamten Fläche der Weltmeere. b) Zeichne ein Kreisdiagramm. 5 Gib zwei mögliche rgebnisse einer statistischen rhebung an (Umfang 4 oder größer), deren Mittelwert (arithmetisches Mittel) 7,5 ist. Schätzung A Schätzung B Schätzung C a) Welche Schätzung gehört zu welchem Würfel? A B C b) Der Würfel 3) wird 450-mal geworfen. Mit welcher absoluten Häufigkeit sind die Augenzahlen bis 6 jeweils zu erwarten? 8 lke würfelt mit einer Sechskantmutter Zahlen zwischen und 8. Gib ohne zu experimentieren zwei Schätzungen für die Wahrscheinlichkeiten der acht möglichen Zahlen an. Worauf achtest du beim Schätzen? unten: 8 Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004 Stochastik Aufgaben 5

6 Prozente und Zinsen Relativ wenig kann viel sein Der Urlaub war wunderschön, nur jetzt ist das Konto überzogen. Der anfallende Zins ist hoch und es dauert noch einige Tage, bis das neue Gehalt überwiesen wird. Basiswissen Vervollständige den Text mit den nebenstehenden Begriffen. Du erhältst ein Lösungswort. Ordne den Texten die Beispiele zu. Prozente und Darstellung von Prozenten p bedeuten p p = (Prozentschreibweise) Alle Prozentangaben lassen sich als schreiben. Man kann Prozente auf unterschiedliche Weise grafisch darstellen: Prozentstreifen,,. Vergleiche mit Prozenten Teilmengen kann man auf zwei Arten vergleichen. Beim absoluten werden die Zahlen- oder Größenangaben direkt miteinander verglichen. Beim werden die Anteile miteinander verglichen. Rechnen mit Prozenten Prozentsatz p % Prozentwert W Grundwert G p 00 = W G G = W 00 p W = p G 00 Durch Äquivalenzumformungen kann man aus einer Formel die anderen erhalten. Statt den obigen Gleichungen kann man auch den zur Lösung von Prozentaufgaben benutzen. Zinsrechnung Zinsrechnung ist Prozentrechnung im Bankwesen mit eigenen. Hier spielt die Zeitdauer eine wichtige Rolle. Prozentrechnung: Grundwert G Prozentwert W Prozentsatz p % Zinsrechnung: K Z Zinssatz % N Dezimalbrüche Dreisatz Kapital p % p Prozent Prozentkreis relativen Vergleich Säulendiagramm Vergleich Zins Fachbegriffen A Z R H K I H D T Ä I Für eine Zeitspanne unter einem Jahr muss man den Zins für ein Jahr mit dem entsprechenden Zeitfaktor multiplizieren. Üblicherweise geht man von 30 Tagen pro Monat und damit Tagen pro Jahr aus. Zeitfaktor t = m / (m Anzahl Monate) oder t = d/360 (d Anzahl Tage) Zinsen = Jahreszins Zeitfaktor = Beispiele Umfrage an der Schule: 6 Ja 28 Nein egal % % 6 Lösungswort: Ja Nein egal 6 6 % 28 % 28 % 28 Kapital Zinssatz Monate: t= 4 2 = 3 85 Tage: t= = 0,2 3 8 % = 8 00 = 0,8 7,5 % = 7,5 00 = = 0,075 Zeitfaktor kurz: Z = K p 00 t 4 in Konto wurde um 640 überzogen, der Jahreszins beträgt 2,5 %. Der Kredit wird nach 23 Tagen bezahlt. Wie teuer ist er? Z = 640 2,5 23 = 5, s sind 5, Zinsen zu zahlen. 7 23,56 sind 3 % eines Guthabens. Wie hoch ist es?. Lösung mit Formel 2. Lösung mit Dreisatz W = 23,56, p % = 3 % 3 % sind 23,56 G =? G = W 00 p % sind G= 8 5 % Anzahlung für ein Auto betrugen 800. Was kostet es? G = P 00 p = = Das Auto kostet , Von 800 Schuhen in einem Schuhladen sind 52 Sandalen. Wie groß ist deren Anteil? p 00 = P G = = 9 00 = 9 % 23,56 3 = % sind 23, Das Guthaben beträgt Klasse 8 a: 4 J und 8 M; Klasse 8 b: 3 J und 3 M s gibt absolut gesehen mehr Jungen in der 8a (4 > 3), der relative Anteil ist in der 8 b höher. 8 a: 4 32 = 0, %; 8 b: 3 26 = 2 = 50 % 9 7 % aller 200 Pakete gingen verloren. W = = 34. Das sind 34 Pakete Verlust Prozente und Zinsen Basiswissen Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004

7 Aufgaben Prozente und Zinsen 7 Frikadellen müssen laut Fleischverordnung mindestens 70 % Fleisch enthalten. Wie viel Gramm Frikadellen erhält man aus 525 g Fleisch mindestens? 750 g 960 g 680 g 890 g 8 Korrigiere den Artikel. 2 a) Wie groß ist der Mittelpunktswinkel für den Kakaoanteil? b) Was könnte das Diagramm darstellen? 3 Welche Aufteilung einer Warenlieferung wird durch das Streifendiagramm abgebildet? 9 Nach einer Preiserhöhung um 0 % bietet ein Kaufhaus auf alle Waren 0 % Preisnachlass. Annedore sagt: Da hätten sie ja gleich die alten Preise lassen können. Hat Annedore recht? Prüfe diese Aussage an einem Beispiel. 60, 72, 65 50, 70, , 40, 88 28, 40, 90 4 Verwandle in Prozent mit einer Dezimalen und ordne der Größe nach. 5 6 ; 7 9 ; 3 5 ; 2 3 Lösung: 5 Berechne den Grundwert. a) P = 68 t; p %= 33 3 % rgebnis: b) P = 84 ; p %= 75 % rgebnis: c) P = 35 cm; p %= 2,5 % rgebnis: 6 iner Umfrage zufolge mögen 3,2 % von 750 befragten Männern und 6,8 % von 750 befragten Frauen Fast Food-Produkte als Zwischenmahlzeiten. Wie vielen Personen entspricht dies jeweils? Männer: Frauen: 0 Berechne die Zinsen von a) 820 zu 5 % für 9 Monate rgebnis: b) 7900 zu 2 % für 258 Tage rgebnis: a) Welches Kapital bringt in 8 Monaten bei 6 % 24 Zinsen? rgebnis: b) Berechne den Zinssatz ; 3 Monate; 90 Zinsen rgebnis: c) In wie vielen Tagen ergeben 6000 bei 8 % 48 Zinsen? rgebnis: 2 Zwei Banken bieten einen Kredit von für ein Jahr zu unterschiedlichen Bedingungen an. Bank A: 8,5 % Zinsen und eine Bearbeitungsgebühr von 400. Bank B: 9 % Zinsen und eine Bearbeitungsgebühr von,5 %. a) Welches Angebot ist günstiger? b) Welche Änderung ergibt sich für einen Kredit von ? Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004 Prozente und Zinsen Aufgaben 7

8 Geometrie über Raum und Form nachdenken An Gebäuden, auf Plätzen oder im Haushalt kann man Figuren und Formen erkennen. Ganz einfache wie Dreiecke, Vierecke oder Quader und komplizierte, die schwer zu erfassen sind. Wer aber die einfachen Figuren und Formen und ihre igenschaften gut kennt, der wird sie auch in komplizierten Figuren und komplexeren Situationen wieder erkennen und kann dann solche Fälle beschreiben und lösen. Basiswissen Vervollständige den Text mit den nebenstehenden Begriffen (Lösungswort). Ordne den Texten dann die Beispielnummern zu und schreibe sie in die Kästen. Dreiecke Die Übersicht zeigt verschiedene Dreiecke. Dreieck Dreieck Dreieck Dreieck Der lässt sich mithilfe von Grundseite und zugehöriger Höhe berechnen. Dreiecke konstruieren kongruente Dreiecke Zwei Dreiecke sind oder deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in drei Seiten (sss) einer Seite und den zwei anliegenden (sww) zwei Seiten und dem Winkel (sws) zwei Seiten und dem Winkel, der der Seite gegenüberliegt (Ssw) Solche Dreiecke können durch die jeweiligen Vorgaben eindeutig konstruiert werden. Besondere Linien Auf der Winkelhalbierenden liegen die Punkte, die von den des Winkels den gleichen Abstand haben. in Punkt auf der einer Strecke hat den gleichen Abstand zu den beiden ndpunkten der Strecke. Vierecke und ihre Symmetrien Die Übersicht zeigt einige spezielle Vierecke und ihre Symmetrieachsen. allgemeines Flächeninhalt Flächeninhalt gleichseitiges kongruent längeren eingeschlossenen gleichschenkliges Mittelsenkrechten Parallelogramm Quadrat Raute rechtwinkliges Schenkeln Trapez Volumen Winkeln Zerlegen T S O P L A N C K R Ö P H R R I Rechteck Der eines Parallelogramms ist das Produkt einer Seite und der zugehörigen Höhe. Der Flächeninhalt von komplizierten Vielecken wird durch in einfache Teilfiguren bestimmt. Prismen Das eines Prismas ist das Produkt aus Grundfläche G und Körperhöhe h: V = G h. Der Oberflächeninhalt ist die Summe der Außenflächeninhalte. Beispiele 2 S w A 2 A 3 A A = A + A 2 + A 3 Lösungswort: 8 Geometrie Basiswissen Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004

9 Aufgaben Geometrie Ordne den Dreiecken ihren Flächeninhalt zu. a) c = 4,0 cm b) a = 7,2 cm c) b = 4,8 dm h c = 5,0 cm h a = 8,6 cm h b = 0,5 m () 30,96 cm² (2),5 dm² (3) 35 cm² (4) 2 dm² (5) 33 cm² 2 In einem Dreieck ist a = 5,0 cm, b = 4,0 cm und h a = 3,6 cm. Die Höhe h b hat die Länge m. 3 Welche der verkleinerten Konstruktionen passt zu den Angaben? a) b) c) 6 Die Kosten für den Anstrich eines Treppenhauses werden mit 32 /m² incl. Mehrwertsteuer kalkuliert. Pro Treppenhaus müssen jeweils zwei der dargestellten Flächen gestrichen werden. Berechne die Kosten für die sechs Treppenhäuser eines Mietshauses. 3,80 m 3,80 m a) a = 7 cm; b = 6 cm; c = 5 cm b) a = b = c = 8 cm c) a = 4 cm; c = 0 cm; b = 60 d) a = 7 cm; b = 9 cm; a = 45 2,75 m 6,55 m 3,65 m 7 Noch kein Standort für den Sendemast Die Vertreter der drei Gemeinden Rasthausen, Seedorf und Waldbronn sind noch immer nicht einig über den Standort eines Senders, der den Handy-Betrieb in der Region ermöglichen soll. Die drei Gemeinderäte fordern, dass jede Ortschaft die gleiche Qualität haben soll. Badener Tagblatt, 25. Juli Zerlege das Vieleck in Teilflächen und berechne den Flächeninhalt. rgebnis cm 8 D ,6 cm 0 A C B g feinste Schokolade 3 cm cm 5 Die Sarone-Schokolade wird in einem besonderen Karton verpackt. SARON 7 cm a) Bestimme, wie viel cm³ Schokolade verpackt werden können, wenn man 25 % des Volumens der Verpackung für Luft zwischen Verpackung und Schokolade einplant. b) Wie viel cm² Karton benötigt man für die Verpackung? 3 cm Wo würdest du den Platz für den Sender festlegen? Denke an besondere Linien. Der Sender muss an die Stromleitung angeschlossen werden. Wie lang ist hierbei das Kabel? 8 a) Wie viele Liter Regenwasser hatten sich auf dem Dach angesammelt? b) Wie viel wog diese Wassermenge? c) Wie viele Menschen wiegen etwa so viel wie das aufgestaute Regenwasser? Wie viel Personen pro m² sind das? (Zum Vergleich: In Bussen und Straßenbahnen sind maximal 4 Personen pro m² vorgesehen.) Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004 Geometrie Aufgaben 9

10 Terme und Gleichungen Mit dem Unbekannten rechnen Alles Zauberei? Notiere eine beliebige natürliche Zahl auf einem Zettel und setze dich auf diesen. Addiere diese und die beiden folgenden Zahlen. Sage mir dein rgebnis und ich sage dir, auf welcher Zahl du sitzt. Um solche Tricks zu verstehen und Probleme des Alltags zu lösen, stellt man Terme und Gleichungen auf. Basiswissen Vervollständige den Text mit den nebenstehenden Begriffen (Lösungswort). Ordne den Texten dann die Beispielnummern zu und schreibe sie in die Kästen. Terme Terme sind, in denen Zahlen, Variablen und Rechenzeichen vorkommen können. rsetzt man die durch Zahlen, lassen sich berechnen. Terme umformen Durch Anwenden von Rechengesetzen kann man einen Term in einen gleichwertigen Term umformen. z.b. Distributivgesetz: a (b + c) = a b + a c und a (b c) = a b a c Im Distributivgesetz werden Klammern aufgelöst. Die umgekehrte Richtung, d. h. Klammern zu setzen und einen Faktor herauszuziehen, nennt man. Zwei Summen werden ausmultipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe. (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd Terme wie 5x, 6x oder 9x lassen sich beim Addieren oder Subtrahieren zusammenfassen. dagegen nicht. Treten in einem Produkt oder Quotienten Zahlen und Variablen auf, so werden Zahlen und Variablen getrennt multipliziert bzw. dividiert. Die dienen zum Vereinfachen von Termen und werden als Rechenstrategie genutzt. s gibt drei : (a+b)² = a² + b² (a b)² = a² + b² (a+b) (a b) = Gleichungen lösen infache Gleichungen kann man durch systematisches lösen Meist löst man Gleichungen aber mithilfe von. Äquivalenzumformungen ine Umformung einer Gleichung, bei der alle erhalten bleiben und keine neuen Lösungen hinzukommen, heißt Äquivalenzumformung. Beim Lösen einer Gleichung verwendet man folgende Äquivalenzumformungen: Vereinfachen der Terme auf beiden Seiten durch Termumformungen (s.o.) Beidseitige Addition oder Subtraktion einer Zahl oder eines Terms Beidseitige Multiplikation oder Division mit einer Zahl. Dabei bringt man alle Terme auf eine Seite und alle ohne auf die andere Seite. a 2 b 2 Zur Kontrolle des rgebnisses kann man eine machen. Dazu ersetzt man die Variable mit dem berechneten rgebnis und überprüft, ob man eine erhält. G 2ab N +2ab binomische Formel binomischen Formeln Faktorisieren gleichartige Lösungen mit Variable multipliziert Probe Probieren Termwerte ungleich Null Variablen Äquivalenzumformumgen Rechenausdrücke Verschiedenartige wahre Aussage U H C R A F R K S Ü F B S T Beispiele 5 7x 3y = 2xy 0xy : 2 = 5xy 56a² : ( 7) = 8a² 8x 5 + 3x = 27 + x 2 x 5 = 25 + x x 0x 5 = x = 30 : 0 0 x = 3 3 5x + 6x = x 7a² + 8a² 0a² = 5a² 8x + 5y 3x + 2y = 5x + 7y a² + 2 a kann nicht vereinfacht werden 6 8x 5 + 3x = 27 + x 2; x = 3 einsetzen ergibt: = = 28 ist eine wahre Aussage, also ist das rgebnis richtig! 2 (3a + b) (3a b) = 9a² b² (4x 3y)² = 6x² 24 xy + 9y² 4 7 a + 7 c = 7 (a + c) 27 ab b 2 c 2 = 9 b 2 (3 a+2 c 2 ) 7 3 (x 2) für x = 5 3 (5 3) = 3 2 = 6 8 (7 + x) (y + 4) = 7 y x y + x 4 = 4x + 7y + xy + 28 Lösungswort: 0 Terme und Gleichungen Basiswissen Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004

11 Aufgaben Terme und Gleichungen a) Berechne den Termwert für x = 2 und y = 4: 6x + 7y rgebnis: b) Wähle x und y nun so, dass der Termwert 4 ergibt. Lösung: 8 a) Um ein rechteckiges Beet mit der Länge l und der Breite b wird ein Weg mit der Breite y angelegt. Gib einen Term für die Wegfläche an. l b y 2 Für welche insetzung(en) wird der Wert des Terms 9 x 4 y + 3 eine Quadratzahl? x = 2 und y = 5 x = 2 und y = x = 7 und y = 0 x = und y = 0 3 Vereinfache die Terme. a) 64 a 75 a 34 b 59 b b) 43 v 67 w 55 v w c) (35 x 2 y) : 7 d) ( 78 x 02 y 2 ) : ( 6) e) 2 3 x 3 5 y 5 6 z 4 Klammere einen möglichst großen Faktor aus. a) 6 ab + 40 c b) 9 ab a 2 b c) 5 ax 2 x 2 b) Welcher Anteil des Weges kann mit 80 Platten ausgelegt werden (0,5 m 0,5 m), wenn y = 2 m, b = 20 m und l = 65 m sind? y 50,6 % 33,3 % 2,6 % 66,6 % 9 Frau Kraus zahlt für einen Mietwagen 40 Leihgebühr und für jeden gefahrenen Kilometer 0,20. Als sie den Wagen zurück gibt, muss sie 02 zahlen. a) Wie viele Kilometer ist sie gefahren? b) Welche Benzinkosten hat sie bei einem Verbrauch von 6,5 ø pro 00 km gehabt? 0 Löse die Gleichungen a) 2 x 5 = 33 b) 0,2(x 3) = 0,5(x+3) 8,4 2 c) 3 x 3 = 2 ( 4 6 x) d) (3 x)2 + 4 x 27 = 23,5 + (x 2) 2 Wie heißt die Zahl? a) Addiert man zum 5fachen einer Zahl 5, so erhält man 70. b) Subtrahiert man von 00 das Vierfache einer Zahl, so erhält man 32. c) Multipliziert man eine Zahl mit 8, so erhält man dasselbe wie bei der Addition von dieser Zahl mit Löse die Klammern auf. a) (3 r + s)(2 r s) b) (4 a 5)(4 a + 5) c) (0 q 2 p) 2 d) (7 z 5)(5 + 7 z) 6 Gib die Gesamtlänge der Kanten mit einem einfachen Term an. x x + 2 x Der Umfang der skizzierten Figuren ist gleich. Wie groß ist die Seitenlänge s? 2 in Weg, der um eine Dreieckspyramide herumführt, soll mit Platten der Form eines gleichseitigen Dreiecks gepflastert werden. Zur Berechnung der Anzahl der benötigten Platten werden mehrere Terme vorgeschlagen. Die Variable n gibt dabei die Anzahl der Dreiecksgrundlinien entlang einer Seite an. (In der Figur ist n = 6.) 3 (2 n 3) 3 (2 n ) (n + 2) (n ) + 3 n 3 n + (2 n ) (n ) 3 a) Mit welchen der angegebenen Terme kann man die Anzahl der Platten zum Bau des Weges bestimmen? Begründe mit einer Skizze, welche die Termzusammensetzung jeweils erklärt. b) Bestätige die Äquivalenz der in a) ausgewählten Terme rechnerisch. c) Die Grundseite der Pyramide beträgt 50 m. Wie viele Platten werden für den Weg benötigt, wenn die Kantenlänge der Dreiecksplatten 2 m beträgt? Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004 Terme und Gleichungen Aufgaben

12 Probleme lösen mathematische Modelle helfen Viele Probleme des Alltags können gelöst werden, indem man sie in die Sprache der Mathematik übersetzt und die dabei erhaltenen Terme, Gleichungen, Grafiken, mit mathematischen Werkzeugen bearbeitet und löst. Das Resultat dieser Übersetzung nennt man auch Modell, da das Problem in der Mathematik formuliert bzw. nachgebaut wurde. Wie bei einer Übersetzung vom nglischen ins Deutsche darf sich der Inhalt dabei nicht verändern. Vier deckungsgleiche Teilstücke? Wenn man Problemstellungen in die Sprache der Mathematik übersetzen will, kann das Schema des Vier-Stufen- Kreislaufes hilfreich sein. Betrachte ein Beispiel: Tobias geht um 7 Uhr zu seiner Schule, die 2 km entfernt ist. Neun Minuten später fährt sein Vater mit dem Fahrrad hinterher, um Tobias seinen Taschenrechner zu geben, den dieser vergessen hat und für die Mathearbeit benötigt. Tobias geht durchschnittlich 00 Meter pro Minute (entspricht ca. 6 km/h) und sein Vater fährt durchschnittlich 250 Meter pro Minute (ca. 5 km/h). Wie lange braucht sein Vater, um Tobias einzuholen? Verstehen der Aufgabe. Was ist gegeben und wesentlich? 2. Was ist unbekannt?. die Schule ist 2 km entfernt Tobias geht 00 m pro min Tobias geht schon seit 9 min, erst dann fährt sein Vater los Tobias Vater fährt 250 m pro min 2. die Zeit, die der Vater zum inholen von Tobias benötigt 4 Rückschau. Formuliere einen Antwortsatz. 2. Zurück zur Aufgabe: Ist das rgebnis sinnvoll? 3. Man kann eine Probe durchführen. übersetzen Modell suchen. Nach 6 min hat der Vater Tobias eingeholt. 2. Das rgebnis ist realistisch. (Da,500 km < 2 km, weiß man nun auch, dass der Vater Tobias noch vor der Schule einholt.) 3. t = 6 in beide Seiten der Gleichung einsetzen: = 500 und = 500 stimmt! * Manchmal sind andere Modelle geeigneter: geometrische, z. B. Konstruktion Skizzen, z. B. Flächen, Formen, Körper Zuordnungen und Graphen Tabellen 2 Ausdenken eines Plans. Führe für die gesuchten Größen Variablen ein.* 2. Stelle aus den Textinformationen Terme und daraus eine Gleichung/Ungleichung auf.. Die Zeit, die der Vater zum inholen von Tobias benötigt, wird mit t Minuten bezeichnet. 2. Beide haben bis zum Treffpunkt die gleiche Strecke zurückgelegt. Deshalb kann man Terme für diese Strecken aufstellen und gleichsetzen. 00 (9 + t) = 250 t Weg, den Tobias nach Weg, den Tobias Vater 9 Minuten und t Minuten nach t Minuten zuzurückgelegt hat. rückgelegt hat. 3 Durchführen des Plans Löse die Gleichung bzw. Ungleichung. Lösen durch Äquivalenzumformungen 00 (9 + t) = 250 t t = 250 t t = 250 t 00 t 900 = 50 t : 50 6 = t Übersetzungshilfen: Versuche die obige Grundstücksteilung zu lösen. Tipp: Probiere es mit einer geometrischen Lösung, d. h. unterteile die Figur zuerst in Quadrate und gehe von dort aus weiter. 2 Probleme lösen Basiswissen Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004

13 Aufgaben Probleme lösen Ordne passend zu. Problem: Uwe hat zum Verschnüren eines würfelförmigen Pakets genau 3,5 m grünes Band verwendet. Wie lange sind die Seiten des Würfels, wenn er für die Knoten und Schlaufe 30 cm benötigt hat? Aufgabe verstehen 2 Ausdenken eines Plans 3 Durchführen des Plans 4 Rückschau A a) Seitenlänge des würfelförmigen Pakets beträgt 40 cm. b) Das rgebnis ist realistisch. c) Probe: = 350; stimmt! C würfelförmiges Paket, d.h. alle Seiten gleich lang. Bandlänge gesamt 3,5 m davon 30 cm für Knoten und Schleife gesucht: Seitenlänge des Pakets B 8 s+30 = s = 320 : 8 s = 40 D Seitenlänge nennt man s (in cm) benötigte Länge entlang aller Würfelseiten ist dann 8 s Schlaufen und Knoten sind 30 cm Gesamtverbrauch 3,5 m=350cm also: 8 s + 30 = Kreuze jede richtige Übersetzung an. Problem Vier Kilogramm Spezialkleber kosten 280. Paul benötigt 350 g. Wie viel muss er zahlen? Karl möchte mit Lena in Urlaub fliegen und ein Auto für drei Wochen mieten. Was muss er gleich bezahlen? Susis Oma ist genau mal so alt wie Susi. In drei Jahren ist Oma 8mal so alt wie Susi dann ist. Übersetzung 280 : Flugkosten + Automiete 22 Tage x = y x + 3 = 8 y Nun bist du mit der Übersetzung dran. Schreibe zu den Angaben eine passende Frage auf und versuche einen mathematischen Ausdruck zu formulieren, der für die Lösung dieser Frage hilfreich ist. a) Die intrittspreise für ein Kino liegen bei 7, durchschnittlich besuchen 250 Besucher jeden Tag die Vorstellungen. 20 % der Besucher sind Kinder, die nur die Hälfte zahlen. Am Wochenende steigt die Besucherzahl um b) in Aktienhändler kauft Aktien zu 34. in Achtel der Aktien kann er nach wenigen Stunden für 45 verkaufen, die anderen gibt er zur Hälfte an einen Kollegen weiter, der ihm für diese 0000 Aktien eines anderen Unternehmens zum Tausch angeboten hat. Den Rest verkauft er zu 33 einige Monate später. 5 Aus den Zinsen der Nobelstiftung werden jährlich fünf Nobelpreise verliehen. Im letzten Jahr erhielt jeder Preisträger Schätze wie hoch das Stiftungsvermögen ist. 6 a) Von einem isberg ist nur 0 über der Wasseroberfläche zu sehen. Was bedeutet dies für das Gewicht von dm 3 is, wenn man annimmt, dass dm 3 Wasser kg wiegt (Tipp: Überlege dir dies anhand eines dm 3 iswürfels). b) Welches Volumen hat der unten angesprochene isberg etwa? Wie hoch ist der Anteil, der aus dem Wasser ragt? c) Angenommen er würde schmelzen und das Wasser würde gleichmäßig über Nordrhein-Westfalen verteilt werden. Wie hoch stünde das Wasser dann? (Nordrhein-Westfalen hat eine Fläche von km 2.) d) in 4-Personen-Haushalt verbraucht etwa 560 Liter Wasser am Tag. Wie viele Haushalte könnten ein Jahr lang mit dem Schmelzwasser versorgt werden? 4 Durch ein Waldstück (,5 km 2,5 km) sollen zwei geteerte Wege geführt werden, die sich nur einmal kreuzen. Drei Parkplätze liegen an drei verschiedenen Seiten des Waldgebiets. Sie sollen durch die Wege miteinander verbunden werden. Die Finanzierung von m 2 Teerweg ist gesichert. Zeichne das Waldstück in einem geeigneten Maßstab. Plane eine Wegführung und zeichne diese ein. Gib ihre Abmessungen dabei an. Begründe in einem kurzen Text deine Planung. Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004 Probleme lösen Aufgaben 3

14 Lösungen Zuordnungen Lösungswort: Weltumsegelung Reihenfolge der Beispiele: Graph C 2 a) 96 b) 5 c) 7 d) 32 Stochastik Lösungswort: Alles Zufall Reihenfolge der Beispiele: Liste Mittelwert: Median: 0 2. Liste Mittelwert: Median: 3 3 /# a) '$ &$ %$ !"35!04 #.26837, %$ %% %& %' %( %) %* + % 2 a) 3, 6 3,7 Bücher b) 8 30 = 4 5 = 0,2 6 = 26, 6 % (oder gerundete Werte) 3 Der Anteil der beanstandeten Räder ist an der Carl-Diem-GS und an der ichendorff-gs mit 25 % am höchsten. b) 4,5 cm 4 4,20 uro 4 a) Pazifik 50 % = 05 2 ; Atlantik 360 = %; Indik = % b) Kreisdiagramm Pazifik 80 ; Atlantik 05 ; Indik 75 5 a) 72 Minuten b) 4 Rohre 6 a) Anzahl Preis ( ) 2,30 4,60 6,90 3,80 23,00 27,60 #$,'&'(! +)$*+'( "*%'( Der intritt in einem Freibad kostet für eine Person 2,30 uro und es gibt keine Gruppentarife. b) Zeit (s) Weg (m) in Fahrzeug fährt mit gleichmäßiger Geschwindigkeit und legt in der Sekunde 25 Meter zurück Meter 8 Ja. Sein bisheriges Tempo beträgt 2,5 km/h. Der Läufer benötigt knapp 58 Minuten für die Strecke. 9 Beide Taxiunternehmen haben bei einer km langen Strecke denselben Preis von 20,90. Jana und Leon können frei wählen. 0 individuelle Lösung, die erklärt:. Anstieg des Graphen; 2. Abfall des Graphen; 3. gleiches Niveau zu Beginn und nde. Z. B. in Supermarkt liegt in einem Feriengebiet, das vor allem im Sommer besucht wird. Der Graph könnte den Umsatzverlauf eines Kalenderjahres beschreiben. 5 verschiedene Lösungen möglich; z.b. 6; 7; 8; 9 und 7,5; 7,5; 7,5; 7,5 6 a) Würfel 2) b) Beide Körper sind regelmäßig. Die Wahrscheinlichkeit, auf eine der vier bzw. sechs Seiten zu fallen ist jeweils gleich (Laplace- Würfel ). Beim Tetraeder ) ist die Wahrscheinlichkeit für 6 würfeln 4, beim Würfel 2) 2 6 = 3. Da 3 > 4, wählt man 2). 7 a) A 2); B ); C 3) b) absolute Häufigkeit für : = 45; ebenso für 6 absolute Häufigkeit für 2 : = 90; ebenso für 3 ; 4 ; 5 8 verschiedene Lösungen möglich; die Zahlen 2 bis 7 haben (wegen gleich großer Flächen und Symmetrie des Körpers) etwa die gleiche Wahrscheinlichkeit; ebenso die beiden Zahlen und 8. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss ergeben. Schätzung A: Schätzung B: Lösungen Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004

15 Prozente und Zinsen Lösungswort: Kredithaizähne Reihenfolge der Beispiele: a) 25 % b) 75 % c) 62,5 % d) 33, 3 % e) 57,5 % f) 40 % 2 a) 72 b) verschiedene Lösungen möglich, z. B. Mischung Kakaogetränk, Aufteilung einer Schiffsladung 3 32, 40, ,7 % < 77,8 % < 83,3 % < 86,7 % 5 a) 204 t b) 2 c) 280 cm 6 Männer: 234 Frauen: g 8 Jeder neunte Deutsche (, %) ist oder Über 9 von 0 Befragten (90,2 %) sind Wegen der hohen Zufriedenheit ist die zweite Korrektur richtig. 9 Nein. Beispiel: Hose zu 60. Nach Preiserhöhung kostet diese 66. Zieht man davon 0 % ab, kostet die Hose nun 59,40. 0 a) Z = 30,75 b) Z = 679,40 a) K = 600 b) p % = 5 % c) 36 Tage 2 a) s gibt kein günstigstes Angebot. Kosten für beide Banken 200. b) Nun ist Bank A mit 2950 Kosten günstiger als Bank B mit Kosten von 350. Geometrie Lösungswort: Platonischer Körper Reihenfolge der Beispiele: a) 3) b) ) c) 4) 2 4,5 cm 3 a) 2) b) ) c) 4) d) 3) 4 Teilflächen: Dreieck CD: A = 2 3 cm 2 cm = 3 cm² Dreieck AB : A 2 = 2 3 cm cm =,5 cm² Rechteck zwischen den Dreiecken A 3 = 6 cm² Gesamtfläche: A = A + A 2 + A 3 = 0,5 cm² 5 a) Volumen der Packung: V = G h = 2 3 cm 2,6 cm 7 cm = 66,3 cm³ Volumen der Schokolade: 75 % 66,3 cm³ = 49,725 cm³ b) Oberfläche der Packung (benötigter Karton): O = cm 2,6 cm cm 3 cm = 60,8 cm² 6 ine Fläche: A = 2,75 m 3,80 m + 6,55 m 3,80 m + 3,6 5 m 3,80 m = 49,2 m ² Gesamtfläche: A ges = ,2 m 2 = 590,52 m² Gesamtkosten: 8 896,64 7 Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Dreieck hat von allen drei ckpunkten dieselbe ntfernung. iner maßstabsgerechten Zeichnung kann man entnehmen: Länge für das Kabel ca., km. 8 a) angenommen, das Wasser stand auf 50 cm² überall 40 cm hoch V = G h = 50 m² 0,40 m = 60 m³ = ø b) ø Wasser wiegt kg, also wiegen ø 60 Tonnen. c) in Mensch wiegt etwa 60 Kilo (Annahme), 000 Menschen wiegen dann 60 t. Verteilt auf 400 m² sind das 2,5 Personen pro m². Terme und Gleichungen Lösungswort: Überraschungseffekt Beispiele: a) 29 b) x = 0; y = ; Probe = 4 oder x = ; y = 7 ; Probe = 4 oder 2 Die insetzungen der 3. und 4. Zeile ergeben eine Quadratzahl (36 und 4). 3 a) a 93 b b) 55 v² + 43 v 34 w bzw. v( 55 v + 43) 34 w c) 5 x 3 y d) 3 x + 7 y² e) x y z 3 = 3 xyz 4 a) 8 (2 ab + 5 c) b) ab (9 b + 6 a) c) 3 x (5 a 7 x) 5 a) 6 r² rs s² b) 6 a² 25 c) 00 q² 40 pq + 4 p² d) 49 z² (2 x + 2) + 4 (x + 2) + 4 (x + 5) = 6 x Aus s (s + 4) = (s + 4) + s + s + s folgt s = 3. 8 a) (l + 2 y) (b + 2 y) lb = 2 by + 2 ly + 4 y² b) 2,6 % 9 a) 30 km b) Verbrauch 20,5 ø. Bei einem Benzinpreis von,20 uro hatte sie Kosten in Höhe von 24,8 uro. 0 a) x = 4 b) x = 5 c) x = 6 a) x = 3 b) x = 7 c) x = 7 d) x 3,79 Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004 Lösungen 5

16 2 a) Weg in drei Stücke unterteilt. Betrachte zuerst eines davon. Beachte: n ist Grundlinienzahl außen. b) alle sind äquivalent zu 6n 9 c) Die Grundseite ist die Innenseite des Weges. Für Platten der Kantenlänge 2 m ist n = 50 : = 28 Benötigte Platten: 6 n 9 = 59. Probleme lösen Zur Grundstücksteilung: 2 m-raster ergibt 2 Quadrate, je Teilstück also 3. Ordnet man diese L-förmig an, kann die Fläche aufgeteilt werden. C 2 D 3 B 4 A 2 Die erste Übersetzung ist richtig. Die beiden anderen sind falsch. Korrekt müsste es heißen: 2 Flugkosten + Automiete 2 Tage und x = y x + 3 = 8 (y + 3) 3 s ist nicht (!) nach den Lösungen gefragt worden, die Aufgabe ist vollständig bearbeitet, wenn Frage und Term korrekt formuliert wurden. Hier sind mehrere sinnvolle Fragen möglich. a) Z. B. Wie hoch sind die Tageseinnahmen? ( ,50). Wie viele Besucher kommen am Wochenende? ( ) b) Z. B. Wie sieht seine Bilanz nach wenigen Stunden aus? ( ) Wie viel Geld erhält er in der letzten Transaktion? ( ) 4 Individuelle Lösungen. s ist zu beachten, dass die drei Bedingungen erfüllt werden: nur eine Kreuzung drei Parkplätze Wege verbinden die drei Parkplätze. Für die Wege müssen Länge und Breite angegeben werden, um die Fläche zu erhalten, die unter m² liegen muss. s ist nicht verlangt, genau m² zu verbauen. Die Wegbreiten können unterschiedlich, müssen aber realistisch sein (0,5 m ist nicht sinnvoll, 20 m ist eine Autobahnseite ). Die Begründung sollte sich auf Gegebenheiten in der Realität beziehen (z. B. Schutz des Wildbestands; ein langer und ein kurzer Weg; rollstuhlgerechte Wege; breite Wege für Rollerblader usw.) 5 Da der Zinssatz nicht angegeben ist, muss hier eine Annahme gesetzt werden (mehrere Möglichkeiten!). p = 7 % p 2 = 2 % Z = = K = Z/p = /7 % = K 2 = Z/p 2 = /2 % = Nimmt man die erhaltenen Werte als ckwerte, so liegt das Vermögen der Stiftung zwischen 3 Mio. und 22 Mio.. s ist zu sehen, dass die Information des Prozentsatzes wichtig ist und ohne eine genaue Information kein Schätzwert zu bekommen ist, der mit Sicherheit nahe am tatsächlichen Wert liegt. 6 (" %#%$ '#%$ %! )* & b) Hier muss eine Annahme über die Höhe des isberges gesetzt werden. Z. B. h = 00 m; V = 0, km km 2 = 088 km 3 0 m ragen dann aus dem Wasser. c) Wasser-Volumen = 088 km³ 0,9 = 979,2 km³ Verteilung auf NRW: 979,2 km³/ km² 0,029 km Das Wasser stünde 29 m hoch. d) Jahresverbrauch Haushalt: 560 ø 365 = ø ø = dm³ ø š 204,4 m³ 979,2 km³ : 0, km³ = s könnten 4,8 Mrd. Haushalte versorgt werden (mehr als das Dreifache der derzeitigen Weltbevölkerung!). 6 Lösungen Als Kopiervorlage freigegeben. rnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2004