0.4 Prozent- und Promillerechnung (Deskriptor.)

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1 Wiederholung von Grundlagen (Basisissen) Übung Ein Gehsteig von einer Siedlung ins Dorfzentrum ist 7,75 km lang. Letzte Woche urden davon 2 _^km asphaltiert. Diese Woche sollen laut Plan 3500 m asphaltiert erden. 1 Berechnen Sie, ie viele km nach dieser Woche noch zur Asphaltierung anstehen. (B) Übung In einem internationalen Konzern arbeiten insgesamt Personen. In einer Erhebung urde festgestellt, dass ein Viertel der Personen aus Österreich kommt, ein Sechstel aus Deutschland, ein Drittel aus Großbritannien und zei Achtel aus der Scheiz. 1 Ordnen Sie die Anteile an den verschiedenen Ländern der Größe nach, beginnen Sie mit dem geringsten Anteil. (A) 2 Berechnen Sie, ie viele Personen aus Deutschland kommen. (B) Übung In einem Sägeerk erden aus Baumstämmen Bretter geschnitten. Es können aber nur ` _ eines Baumstammes für die Produktion von Brettern genutzt erden und der Rest kommt in die Hackschnitzelanlage. Ein Lastkraftagen transportiert 12 Baumstämme zu je 5 m³ ins Sägeerk. 1 Berechnen Sie, ie viele Kubikmeter (m³) Holz zu Brettern verarbeitet erden können. (B) 2 Berechnen Sie, ie viele Kubikmeter für die Herstellung von Hackschnitzel anfallen. (B) 0.4 Prozent- und Promillerechnung (Deskriptor.) Beispiel: 7 %' '0,07 l %' l 100 Der Grundert G legt dabei das Ganze, also 100 % fest. Der Prozentsatz p gibt den Anteil in Bezug auf das Ganze in Prozent an. Der Prozentanteil A ist jener Teil des Grundertes, der dem Prozentsatz entspricht. n ' p b ccc n Promille Übung Übertragen Sie die Prozentzahlen in einen Bruch, bz. in eine Dezimalzahl. (A) 5% ' 25 % ' 75 % ' 100 % ' 150 % ' 2 Übertragen Sie die Bruchzahlen in die Angaben mit Prozent. (A) b _ ' f bc ' a ^' a b ' b a ' 15

2 Berufsreifeprüfung Mathematik Übung Beschreiben Sie in den folgenden Beispielen den Grundert q, den Prozentsatz l und den Prozentanteil r. (C) a) 258 Kursteilnehmerinnen und Kursteilnehmer von insgesamt 645 sind Männer, das sind 40 %. b)275 Sportlerinnen sind 55 % von insgesamt 500 Sportlern. c) Eine Teilstrecke von3 km sind 2 % der 150 km langen Gesamtstrecke. d) Von800 Jugendlichen haben 89 % ein Handy, das sind 712 Jugendliche. Übung a) Nach einer Lohnerhöhung um1,5 % beträgt der Bruttolohn 1.423,60. 1 Berechnen Sie den ursprünglichen Bruttolohn. (B) b) Beim Kauf eines Fahrrades ird eine Anzahlung von 350,00 geleistet. Das sind 30 % vom Kaufpreis. 1 Berechnen Sie den Preis des Fahrrades. (B) c) Ein kreisförmiger Tisch ird auf beiden Seiten furniert. Inklusive 20 % Verschnitt erden insgesamt 3,8 m² Furnier benötigt. 1 Berechnen Sie die Größe der Tischfläche. (B) d) Ein junges Paar ill einen Kasten kaufen. Der Nettoverkaufspreis beträgt 450. Die Mehrertsteuer macht 20 % aus. Das junge Paar hat nur 520 zur Verfügung. 1 Überprüfen Sie, ob das vorhandene Geld für den Kauf des Kastens ausreicht. (D) Übung Aus einem quaderförmigen Rohling mit den Maßen 130 mm x 75 mm x 48 mm ird in mehreren Arbeitsgängen ein Werkstück gefräst. Beim ersten Arbeitsgang erden 23 % vom Volumen des Rohlings eggefräst und beim 2. Arbeitsgang vom verbleibenden Rest17 %. Beim letzten Arbeitsgang erden nochmals 40 % eggefräst. 1 Berechnen Sie das Volumen des unbearbeiteten Rohlings. (B) 2 Berechnen Sie das Volumen des nach dem 1. Arbeitsgang bearbeiteten Rohlings. (B) 3 Berechnen Sie das Volumen des fertigen Werkstücks in cm³. (A) (B) 4 Berechnen Sie die Größe des Abfalls in Prozent. (B) Übung Familie Berger schließt nach dem Wohnungskauf eine Versicherung in der Höhe von 2,5 des Kaufpreises in der Höhe von ab. Dieser Betrag muss jährlich am 1. April bezahlt erden. 1 Berechnen Sie die Höhe des jährlich zu entrichtenden Versicherungsbeitrages. (B) 16

3 Wiederholung von Grundlagen (Basisissen) Übung Eine Hose kostete ursprünglich 100,00. Dieser Preis urde aus Gründen der Umsatzsteigerung eine Woche lang um 20 % gesenkt. Danach urde der Preis ieder um 20 % erhöht. 1 Berechnen Sie, ie viele Euro nun die Hose kostet. (B) 0.5 Rechnen mit Variablen, binomische Formeln, Gleichungen Mathematische Ausdrücke, auch Terme bezeichnet, dürfen nur dann addiert, bz. subtrahiert erden, enn sie gleich sind. Beispiel: 3 ]W2 sx5 ] 'X2 ]W2 s Multiplikation von einfachen Ausdrücken: 5 t 2 u 7 v '5 2 7 u v t '70 u v t Division einfacher Ausdrücke: `e x ' g _ x ' g _ y x _ x z,{ 0 Ausmultiplizieren von Termen: t F}W~'t }Wt ~ 3 v F2 ]X5 s'6 ] vx15 s v FtW} F~W 't ~Wt W} ~W} Herausheben von gemeinsamen Faktoren (Faktorisieren): 3 zx6 { '3 FzX2 { Übung Führen Sie die Rechenoperationen aus und geben Sie das Ergebnis in vereinfachter Form an. (B) a)20 zw12 {XF32 zw56 X3 {X23 ' b)x{x[x{xfx{\' e) ` d twjb } W` tkw^ } ' d g)fx5 ] F7 s FX9 u ' c) ib a X hb ` ' d)3 ]a W2 ]X2 ] a X] ' f)jb^ z ^ f {k:j e ab k' h) b ƒ ` ƒ e ' Übung Multiplizieren Sie die folgenden Ausdrücke aus. (B) a)} F W = b)f X~ ' c)f2 zw5 {X6 3 zx5' d)fzw{ FˆW ' e)fšxˆ FvWŠ' f)f2 W3 F5 ]X6 s' 2 Heben Sie die gemeinsamen Faktoren heraus. (B) g)4 zw2 z {W18 z a ' h)3 X27 a W99 a ' 17

4 Berufsreifeprüfung Mathematik Binomische Formeln: F]Ws a '] a W2 ] sws a F]Xs a '] a X2 ] sws a F]Ws F]Xs'] a Xs a Übung Berechnen Sie die folgenden binomischen Formeln. (B) a)f W a ' b)fœxv a ' c)f2 ˆX3 } a ' d)f5 ]X3 a ' e)f7 W9 z F7 X9 z' Lösen von Gleichungen: 3 zx5'4 W5 3 z '9 :3 z '3 Übung Lösen Sie die folgenden Gleichungen auf. (B) a)zw41'76 b)128xz '67 c)2 ]X5'7 d)18x3 } '0 e)2 F2 {X3 '3 F4X2 {W2 f)f5 ]W8 3'54W10 ] 3 18

5 Aussagenlogik Die optimale Ergänzung zum Buch auf Ihrem Smartphone digi.study/ bm-esquirrel1 1 Aussagenlogik Bei der Beschäftigung mit mathematischen Sachverhalten ist es notendig, einheitliche und international verständliche Formulierungen (Definitionen) zu verenden. 1.1 Aussage, Aussageform Definition: Aussage, Aussageform Eine Aussage ist ein Satz, der ahr oder falsch sein kann. Enthält ein Satz mindestens eine Variable (Platzhalter), so spricht man von einer Aussageform. Beispiel für Aussagen: Der Elefant ist ein Säugetier. Jahn ist ein Mädchenname. Beispiel für eine Aussageform: 3 zw4 '16 ahr () falsch (f) Gleichung Ersetzt man in dieser Gleichung die Variable z durch eine Zahl, so entsteht eine Aussage. Für z '4 ird es eine ahre Aussage, für alle anderen Werte eine falsche Aussage. Zum Verknüpfen von mathematischen Objekten verendet man Operatoren, ie z.b. Arithmetische Operatoren: Zeichen Name W Additionsoperator, plus X Subtraktionsoperator, minus Multiplikationsoperator, mal : Divisionsoperator, dividiert durch Vergleichsoperatoren (zum Vergleichen von zei Zahlen, bz. Ausdrücken): Zeichen Name Beispiel ' Ist-gleich-Zeichen 7' 7 7 ist gleich 7 Ist-ungleich-Zeichen ist ungleich 9 Ž Kleiner-als-Zeichen 2Ž3 2 ist kleiner als 3 Kleiner-gleich-Zeichen ist kleiner oder gleich 5 Größer-als-Zeichen ist größer als 4 Größer-gleich-Zeichen ist größer oder gleich 3 Mit diesen Operatoren lassen sich neue Aussagen bilden: 3Ž4 oder 32'7 f 19

6 Berufsreifeprüfung Mathematik Weitere Operatoren: Allquantor Existenzquantor für alle es gibt (mindestens) ein b es gibt (genau) ein es gilt, für die gilt steht normal auf ] s ] ist ein Teiler von s Beispiel : z,{ Fz Ž{ Fz '{ Fz { ahre Aussage Sprachliche Übersetzung: Für alle z und { aus der Menge der reellen Zahlen gilt: z ist kleiner als { oder z istgleich groß ie { oder z istgrößer als {. 1.2 Verknüpfung von Aussagen Konjunktion (Und-Verknüpfung) Eine Aussage, die durch Verbindung zeier Aussagen M und K mittels Und gebildet ird, ist nur dann ahr, enn beide Aussagen ahr sind. mathematisches Symbol: M K Beispiel : Der Inn ist ein Fluss Krems liegt an der Donau. F2 2'4 F3 7 F2 Ž5 F2 3 '6 f Disjunktion (Oder-Verknüpfung) Zei Aussagen M und K, die mit Oder verbunden erden, sind genau dann ahr, enn mindestens eine von ihnen ahr ist, oder auch beide ahr sind. mathematisches Symbol: M K Beispiel : F2W2'4 F6X2'4 F2 4'7 F6 4 F4 5 F3W4 '6 f Negation (Verneinung) Eine Aussage œr heißt dann Verneinung einer Aussage R, enn sie das Gegenteil angibt. Ist die Aussage R falsch, dann muss œr ahr sein und umgekehrt. Beispiel : R: Heute scheint die Sonne œr: Heute scheint die Sonne nicht. f S: Das Wasserglas ist voll. f œs: Das Wasserglas ist nicht voll. 20

7 Aussagenlogik Implikation und Äquivalenz Wird eine Aussage M vorausgesetzt und folgt daraus die Aussage K, so spricht man von einer Implikation. mathematisches Symbol: M K Gilt zudem auch die Umkehrung, d.h. aus der vorausgesetzten Aussage K folgt die Aussage M, so spricht man von der Äquivalenz der beiden Aussagen. mathematisches Symbol: M K Die Aussage M K ist gleich bedeutend mit FM K FK M. Beispiel : z :F 4 z F 2 z F5 2 F2 Ž5 Wenn 4 ein Teiler F der Zahl z ist, dann ist auch 2 ein Teiler von z Wahrheitstabellen für die Verknüpfungen von Aussagen Es sind M und K Aussagen. Für die Wahrheitserte der Verknüpfungen gilt: Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz Q Q Q Q Q f f f f f f f f f f f Übung 1.01 a) Heute ist es eisig. b) Gib mir das Buch! c) Bist du morgen anesend? d) Wien ist die Hauptstadt von Belgien. e) Blau ist die schönste Farbe. f) 5 ist größer als 7. g) Mein Würfel hat7 gleich große Flächen. 1 Überprüfen Sie, ob es sich bei den angegebenen Sätzen um Aussagen handelt. (D) 2 Schreiben Sie bei den Aussagen den Wahrheitsert an. (C) Übung 1.02 Es gelte. A: 3 7 F: '0 2 3 B: '1 4 G: Ž5 6 C: a '4 0 H: 2 7 D: '5 '6 I: '0 '1 E: 2 a '100 J: \ 2 1 Ordnen Sie den Aussagen jeeils die korrekte Verneinung zu. (A) 21