Inhaltsverzeichnis. Symbolverzeichnis

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Symbolverzeichnis ii v Einführung. Einteilung im Hinblick auf die Körpergeometrie Zweidimensional umströmte Körper: Profiltheorie Dreidimensional umströmte Körper Einteilung im Hinblick auf die Fluggeschwindigkeit bzw. die Machzahl Inkompressible Strömung Reine Unterschallströmung/Subsonische Strömung Schallnahe/Transsonische Strömung Reine Überschallströmung Hyperschallströmung Umströmung eines Tragflügelprofils bei Variation von Ma Inkompressible Profilumströmung 7 2. Grundlegende Anmerkungen zur inkompressiblen Umströmung von Profilen Potentialtheoretische Geschwindigkeits- und Druckverteilung Ausbilden einer Grenzschicht Darstellung von Profilbeiwerten in Polardiagrammen Einfluß von Profilwölbung und -Dicke sowie der Re-Zahl auf die Polaren Skelett-Theorie Übersicht Grundgleichungen Entwurfs und Nachrechenproblem Ansatz für die Zirkulationsverteilung Die Birnbaum Ackermann schen Normalverteilungen Anmerkungen zur Skelett-Theorie Anwendungsbeispiel der Birnbaum schen Normalverteilungen Druck- bzw. Neutralpunkt Nullmoment M A=0 und auftriebsabhängiger Momentenanteil M A Definition von Druck- bzw. Neutralpunkt Bedeutung des Neutralpunktes für die Flugstabilität Druckpunktfeste Profile und Lage des Neutralpunktes nach der Skelett- Theorie Linearisierte Potentialgleichung Übersicht Linearisierung der Potentialgleichung Die kinematische Randbedingung bei linearisierter Behandlung Der Druckbeiwert in linearisierter Form ii

2 Inhaltsverzeichnis iii 4 Ähnlichkeitsregeln 6 4. Übersicht Die Göthert Regel Die Prandtl Glauert Regeln Ähnlichkeitsregeln für supersonische Strömungen Beispiele zur Anwendung der Ähnlichkeitsregeln Die kritische Machzahl bei der Umströmung von Profilen Umströmung von Tragflügelprofilen bei Ma > 78 6 Inkompressible Tragflügelumströmung Einleitung Einfache Traglinientheorie (Prandtl sche Traglinientheorie) Zirkulationsverteilung und Auftriebsbeiwert Integralgleichung für die Zirkulationsverteilung Hauptaufgaben der Tragflügeltheorie Die elliptische Zirkulationsverteilung Die allgemeine Zirkulationsverteilung Das Quadraturverfahren von Multhopp Einige Ergebnisse der Traglinientheorie Erweiterte Traglinientheorie Vorbemerkung Das Pistolesi-Prinzip Modellierung der Tragflügelumströmung und Integralgleichung Das Verfahren von Weissinger Einige Ergebnisse der erweiterten Traglinientheorie Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) Vereinfachte Modellierung unter Verwendung einer tragenden Linie Das allgemeine Wirbelleiterverfahren Biot-Savart-Gesetz für geradlinige Wirbelfäden und Hufeisenwirbel Nichtlineare Aerodynamik Nichtlineare Tragflügelaerodynamik Nichtlineare Aerodynamik angestellter stumpfer Körper Der gepfeilte Flügel unendlicher Streckung Einleitung Prinzip der Unabhängigkeit Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung Anströmverhältnisse am gepfeilten Flügel Vorgehen bei der Berechnung des Pfeilflügels und Umrechnung der Beiwerte Auftrieb der schiebenden Platte Einfluß der Pfeilung auf die kritische Machzahl Einfluß der Pfeilung auf den transsonischen Widerstandsanstieg Einfluß der Pfeilung auf den Wellenwiderstand und die aerodynamische Güte bei supersonischer Umströmung Der Pfeilflügel endlicher Streckung Tragflügel bei reiner Überschallumströmung Einleitung

3 Inhaltsverzeichnis iv 9.. Störungsausbreitung Machkegel, Einfluß- und Abhängigkeitsbereich Unterschall- und Überschallkanten Kegelsymmetrische Strömungen Definition kegelsymmetrischer Strömungen Einteilung eines Tragflügels in unterschiedliche Strömungsbereiche Die Transformation der Grundgleichung Prinzipielles Vorgehen zur Gewinnung von Lösungen der transformierten Laplace-Gleichungen Planarer Trapezflügel mit ÜVK Planarer Rechteckflügel mit Plattenprofil Planarer Deltaflügel mit ÜVK Planarer Deltaflügel mit UVK Das Singularitätenverfahren zur Berechnung reiner Überschallströmungen Grundgleichung und Elementarlösungen Allgemeine Anmerkungen zur Anwendung der Singularitätenmethode Störpotential einer linienförmigen Quellverteilung entlang der x-achse Störpotential einer flächigen Quellverteilung in der xy-ebene Grundlagen der Singularitätenmethode zur Berechnung von Tragflügeln bei Ma > Der Tragflügel endlicher Dicke ohne Auftrieb (Problem A.) Der auftriebserzeugende Tragflügel vernachlässigbarer Dicke (Problem A.2) Flügel mit Überschallvorder-, Seiten- und Hinterkanten Flügel mit Überschallvorderkante und außen anschließender Unterschallkante sowie Überschallhinterkante Flügel mit Unterschallvorderkante und Überschallhinterkante Planarer Flügel Panelverfahren zur Berechnung inkompressibler Strömungen 27. Einleitung Potentialfelder Einzelne Gebiete Single Domain Mehrere Gebiete Multi Domain Herleitung verschiedener Formulierungen für Panelverfahren Eindeutigkeit der Lösung in Abhängigkeit von der Randbedingung Source-Only Verfahren in Geschwindigkeitsformulierung Source-Only Verfahren in Potentialformulierung Doublet-Only Verfahren in Geschwindigkeitsformulierung Doublet-Only Verfahren in Potentialformulierung Die Greensche Identitätsmethode Induktionsformeln verschiedener Singularitäten D Quell-Singularität mit konstanter Stärke D Dipol-Singularität mit konstanter Stärke D Quell-Singularität mit konstanter Stärke D Dipol-Singularität mit konstanter Stärke Anwendungsbeispiele Literaturverzeichnis 3

4 6.3 Erweiterte Traglinientheorie Erweiterte Traglinientheorie 6.3. Vorbemerkung y y A y 2 y π A β 2 dy γ (y ) π + β 2 ε dγ Band U β ε dy γ (y 2 ) dγ Band 2 Γ(y) Abb. 6.2: Erläuterung zum Versagen der einfachen Traglinientheorie beim gepfeilten Flügel Zur Aufstellung der Integralgleichung für die Zirkulationsstärke wurde bei der einfachen Traglinientheorie der induzierte Anstellwinkel α i am Ort des gebundenen Wirbels betrachtet. Der Winkel α i ergibt sich aus der vom gesamten Nachlauf auf den gebundenen Wirbel induzierten Abwindgeschwindigkeit w i. Wie nachfolgend gezeigt wird, ist der induzierte Abwind allerdings nur dann endlich, wenn der Anströmvektor und der tragende Wirbel senkrecht aufeinander stehen. Ist dies nicht der Fall resultieren singuläre Werte für w i und die Traglinientheorie liefert unphysikalische, unendlich große aerodynamische Kräfte. Diese Theorie ist daher für schiebende oder gepfeilte Flügel nicht anwendbar. Zur Veranschaulichung der angesprochenen Singularität werde ein Flügel mit dem Pfeilwinkel β in einer Modellierung entsprechend der einfachen Traglinientheorie betrachtet. Der Vektor der Zirkulationsstärke γ im Nachlauf ist dabei in Richtung der Anströmung U orientiert. Ein Ausschnitt ist in Abb. 6.2 dargestellt. Es soll für einen Aufpunkt A auf dem tragenden Wirbel untersucht werden welche Abwindgeschwindigkeit w i (y A ) von zwei infinitesimalen Wirbelbändern im spannweitigen Abstand ±ε induziert wird. Wie in Abschnitt diskutiert, berechnet sich die differentielle Zirkulationsstärke dieser Wirbelbänder aus dem Gradienten der gebundenen Zirkulation Γ(y): dγ Band (y ) = dγ Band (y A ε) = dγ(y A ε) dy dy dγ Band 2 (y 2 ) = dγ Band 2 (y A +ε) = dγ(y A +ε) dy dy (6.30) Nach dem Gesetz von Biot-Savart ergibt sich für die Induktionswirkung der halbunendlichen Wirbelbänder im Aufpunkt A (siehe Gl. (6.2) und (6.3)): dw i Band (y A ) = dγ Band (y ) [ ( π )] cos 4π(y A y ) 2 +β = dγ Band (y ) (+sinβ) 4πε dw i Band 2 (y A ) = dγ Band 2(y 2 ) [ ( π )] cos 4π(y A y 2 ) 2 β = dγ Band 2(y 2 ) ( sinβ) 4πε (6.3)

5 6.3 Erweiterte Traglinientheorie 28 Für die Gesamtinduktion beider Bänder resultiert dann: dw i (y A ) = dw i Band +dw i Band 2 = [ ] (+sinβ)dγ Band (y ) ( sinβ)dγ Band 2 (y 2 ) 4πε = [dγ Band (y ) dγ Band 2 (y 2 )+sinβ ( dγ Band (y )+dγ Band 2 (y 2 ) )] 4πε = dγ Band (y ) dγ Band 2 (y 2 ) 4πε = dγ Band (y A ε) dγ Band 2 (y A +ε) 4πε +sinβ dγ Band (y )+dγ Band 2 (y 2 ) 4πε +sinβ dγ Band (y A ε)+dγ Band 2 (y A +ε) 4πε (6.32) Gl. (6.32) zeigt, daß der induzierte Abwind für alle Abstände ε > 0, auch bei β 0, endlich bleibt und somit keine Probleme bereitet. Anders sieht es bei den differentiellen Wirbelbändern in unmittelbarer Nachbarschaft zum Aufpunkt A aus. Die zugehörige induzierte Geschwindigkeit läßt sich durch eine Grenzwertbetrachtung ε 0 aus Gl. (6.32) ermitteln: ( ) lim (dw dγband (y A ε) dγ Band 2 (y A +ε) i(y A )) = lim ε 0 ε 0 4πε ( ) dγband (y A ε)+dγ Band 2 (y A +ε) +sinβ lim ε 0 4πε = 2π lim ε 0 +sinβ lim ε 0 ( ) dγband (y A ε) dγ Band 2 (y A +ε) (y A ε) (y A +ε) ( ) dγband (y A ε)+dγ Band 2 (y A +ε) 4πε (6.33) Der erste Grenzwert beschreibt nichts anderes als den Gradienten von dγ an der Stelle y A. Wird eine zweimal stetig differenzierbare gebundene Zirkulationsverteilung Γ(y) vorausgesetzt bleibt dieser Grenzwert endlich. Anders sieht es mit dem zweiten Term in Gl. (6.33) aus. Liegt ein Gradient der gebundenen Zirkulation vor, so ist der Zähler im zweiten Grenzwert endlich und der Nenner geht gegen Null. Der zweite Term liefert somit für alle β 0 einen singulären Wert. Die am Ort des gebundenen Wirbels induzierte Geschwindigkeit ist in diesem Fall somit unendlich groß und die einfache Traglinientheorie ist nicht mehr anwendbar Das Pistolesi-Prinzip Aufgrund der oben beschriebenen Problematik kann die Prandtl sche Integralgleichung beim schiebenden oder gepfeilten Flügel nicht zur Bestimmung der Zirkulationsverteilung und somit auch nicht zur Berechnung der aerodynamischen Kräfte und Momente herangezogen werden. Alternativ läßt sich die Zirkulationsverteilung aus der Bedingung bestimmen, daß die kinematische Randbedingung an repräsentativen Kontrollpunkten zu erfüllen ist. Diese Idee liegt der erweiterten Traglinientheorie zugrunde. Nachfolgend soll eine sinnvolle Lage dieser Kontrollpunkte abgeleitet werden. Dazu betrachten wir vereinfachend die zweidimensionale Strömung um einen Schnitt des Tragflügels und nehmen zunächst an, daß das Profil einer ebenen Platte entspricht. Die Umströmung der angestellten Platte läßt sich mit Hilfe der Skelett-Theorie berechnen,

6 6.3 Erweiterte Traglinientheorie 29 bei der eine kontinuierliche Zirkulationsverteilung verwendet wird, siehe Abb Analog zur Traglinientheorie soll die Plattenumströmung nun vereinfacht durch einen diskreten Einzelwirbel modelliert werden. Dieser Ersatzwirbel der Stärke Γ E wird im t/4-punkt angeordnet, um die korrekte Lage des Kraftangriffspunktes sicherzustellen, siehe Abb z 0 z γ 0 / U U 0 α 0 t x U 0 Γ E t / 4 x p t x w 0 w E 0 t x 0 t / 4 x p t x α 0 Abb. 6.22: Modellierung der Plattenumströmung nach der Skelett-Theorie (. Normalverteilung) Abb. 6.23: Modellierung der Plattenumströmung durch einen diskreten Einzelwirbel ( Ersatzwirbel ) Die Zirkulationsstärke Γ E des Ersatzwirbels wird aus der Bedingung ermittelt, daß die Auftriebsbeiwerte für beide Modellierungen übereinstimmen sollen. Nach der Skelett-Theorie gilt für den vorliegenden Fall mit α = 0 (Gl. (2.43)): c a0 = 2πα 0 = 2πα (6.34) Für den Beiwert der auf den Ersatzwirbel wirkenden Kraft (senkrecht zur Anströmrichtung U ) folgt aus der Definitionsgleichung des Auftriebsbeiwertes und der Kutta-Joukowsky Formel: c ae = ργ EU ρ 2 U2 t Gleichsetzen von Gl. (6.34) und (6.35) liefert: (l) (l) = 2Γ E U t (6.35) Γ E = παu t (6.36)

7 6.3 Erweiterte Traglinientheorie 30 Bei der Skelett-Theorie wird die kinematische Randbedingung (in linearisierter Näherung) an jedem Punkt des Profils erfüllt. Es gilt stets: w 0 U = dz 0 dx = tanα 0 α 0 = α (6.37) Bei der Modellierung durch einen Einzel wirbel kann die kinematische Randbedingung hingegen nur an einem Ort x P in Tiefenrichtung erfüllt werden. Dies wird bei Betrachtung der induzierten Störgeschwindigkeit w E in Abb sofort klar. Lediglich für eine einzige x-position entspricht das Niveau der induzierten Geschwindigkeit dem korrekten Wert α 0 gemäß Abb Zur rechnerischen Bestimmung der Lage von x P wird die Störgeschwindigkeit w E mit Hilfe des Biot-Savart Gesetzes ermittelt: Γ E w E (x) = 2π(x t/4) (6.38) Zur Erfüllung der kinematischen Randbedingung muß gelten: Gl. (6.38) und (6.36) in (6.39) liefert schließlich für x P : w E = dz = tanα α (6.39) U dx Γ E U 2π(x P t/4) = παu t U 2π(x P t/4) = α x P t 4 = t 2 (6.40) x P = 3 4 t Es wurde also gezeigt, daß der betrachtete Ersatzwirbel bei identischem Auftriebsbeiwert im 3 4t-Punkt dieselbe Abwärtsgeschwindigkeit induziert wie eine korrekte kontinuierliche γ- Verteilung. Die kinematische Randbedingung ist bei der vereinfachten Modellierung in diesem Punkt erfüllt. Umgekehrt bedeutet dies, daß sich der Auftrieb einer inkompressibel umströmten angestellten ebenen Platte mit Hilfe eines Ersatzwirbels zutreffend berechnen läßt, wenn man die kinematische Randbedingung im 3 4t-Punkt ansetzt. Diese Überlegung wurde erstmals von E. Pistolesi angegeben, weshalb der 3 4t-Punkt auch Pistolesi-Punkt genannt wird. Eine analoge Betrachtung zeigt, daß dieses Prinzip ebenso auf ein angestelltes Parabelskelett (Überlagerung von. und 2. Normalverteilung) übertragbar ist. Dies läßt sich so deuten, daß der Auftrieb eines Profils im Wesentlichen von der Neigung der Skelettlinie bei 75% der Profiltiefe bestimmt wird. Dies lässt sich auch in der Praxis nachvollziehen. Wird bei einem Profil eine Vorderkantenklappe (Slat) ausgefahren oder die Vorderkante nach unten gezogen (droop nose)bleibtdiesteigungderskelettlinieim 3 4t-Punktunverändert. NachdemPistolesi-Prinzip sollte sich daher bei unverändertem Anströmwinkel der Auftriebsbeiwert nicht ändern. Dies ist tatsächlich der Fall. Bei ausgefahrenem Slat wird die c a α-kurve lediglich zu höheren c amax - Werten hin verlängert, aber praktisch nicht in c a -Richtung verschoben. Anders sieht dies beim Ausschlag einer Hinterkantenklappe aus. In diesem Fall wird die Steigung der Skelettlinie im 3 4 t-punkt verändert und die c a α-kurve verschiebt sich in c a -Richtung. Beim Ansetzen der kinematischen Randbedingung im 3 4t-Punkt resultiert also der korrekte Auftriebsgradient von dca dα = 2π. Wenn der Punkt, an dem die kinematische Randbedingung

8 6.3 Erweiterte Traglinientheorie 3 angesetzt wird (Kontrollpunkt) gegenüber dem 3 4t-Punkt stromab verschoben wird, muß die ZirkulationsstärkeΓ E aufgrund desgrösserenabstandeserhöhtwerden, damitimkontrollpunkt die korrekte Vertikalgeschwindigkeit w E = α 0 induziert wird. Der Auftrieb steigt bei gleichem Anstellwinkel an. Eine Stromab-Verschiebung des Kontrollpunktes hat also eine Vergrösserung des simulierten Auftriebsgradienten zur Folge. Eine Stromauf-Verschiebung hat den gegenteiligen Effekt. Mit der Lage des Kontrollpunktes lassen sich also spezifische Profileigenschaften (wie Vergrösserung des Auftriebsgradienten infolge Dickeneffekt oder Reduktion infolge Verdrängungswirklung der Grenzschicht) abbilden. Während das Auftriebsverhalten (c a, dca dα ) eines gewölbten Profils also durch einen Einzelwirbel modelliert werden kann, ist dies zur Bestimmung der Druckverteilung, des Momentes sowie des Druckpunktes nicht hinreichend. Bei der vereinfachten Modellierung wird der Druckpunkt stets mit dem Aufpunkt des Wirbels zusammenfallen, und bei einem gewölbten Profil nicht physikalisch korrekt mit dem Anstellwinkel wandern Modellierung der Tragflügelumströmung und Integralgleichung Γ(y) U γ(y) x gebundener Wirbel Kontrollpunktlinie Abb. 6.24: Modellierung der Flügelumströmung nach der erweiterten Traglinientheorie unter Anwendung des Pistolesi-Prinzips t / 4 3 t 4 y y Die Modellierung der Flügelumströmung erfolgt wie bei der einfachen Traglinientheorie durch einen diskreten gebundenen Wirbel variabler Stärke Γ(y) in Spannweitenrichtung. Dieser Wirbel wird auf der t/4-linie des Flügelgrundrisses angeordnet, siehe Abb Stromab schließt die planare Wirbelfläche an, die den Nachlauf repräsentiert und parallel zu U orientiert ist. Die lokale Stärke γ(y) ergibt sich wiederum aus dem Gradienten der gebundenen Zirkulation (siehe Gl. (6.4)). Zur Bestimmung der gebundenen Zirkulationsverteilung wird die kinematische Randbedingung auf einer speziellen Kontrollpunktlinie angesetzt. Basierend auf den in Kap beschriebenen Überlegungen wird die 3 4 t-linie gewählt. Dies stellt eine recht pragmatische Übertragung des für die angestellte ebene Platte sowie für Parabelskelette abgeleiteten Pistolesi-Prinzips auf die Umströmung dreidimensionaler Tragflügel mit beliebiger Profilierung dar. Wie in Kap bereits angemerkt, kann durch eine Verschiebung der Kontrollpunktlinie der Auftriebsgradient

9 6.3 Erweiterte Traglinientheorie 32 gesteuert werden. Ähnlich wie durch die Vorgabe von (dc a /dα) 2d bei der Prandtl schen Traglinientheorie lassen sich somit spezielle Profilcharakteristika in das Berechnungsverfahren einbringen. Es ist zu beachten, daß der gebundene Wirbel und die Kontrollpunktlinie nicht auf der Skelettfläche selbst, sondern auf der Projektionsebene (xy-ebene) angeordnet sind (vgl. Skelett- Theorie). Der gebundene Wirbel, die Nachlaufwirbelschicht, die Kontrollpunktlinie und der Anströmvektor spannen somit eine gemeinsame Ebene auf, siehe Abb Für die nachfolgenden Überlegungen sollen die Indizes g für den gebundenen Wirbel und P für die Kontrollpunktlinie (Pistolesi-Linie) verwendet werden. Somit gilt: x g,y g,z g = 0 : Koordinaten des gebundenen Wirbels (t/4-linie des Flügelgrundrisses) ( 3 ) x P,y P,z P = 0 : Koordinaten der Kontrollpunktlinie 4 t-linie = Pistolesi-Linie U z Γ 0 xg =t/4 x P =3/4t t Abb. 6.25: Profilschnitt bei der Modellierung der Flügelumströmung nach der erweiterten Traglinientheorie x Zur Aufstellung der Integralgleichung für die Verteilung der Zirkulationsstärke Γ(y) der gebundenen Wirbel muß die Geschwindigkeit betrachtet werden, die das gesamte Wirbelsystem also Nachlauf + gebundener Wirbel auf die Kontrollpunktlinie induziert. Bei der Prandtl schen Traglinientheorie war hingegen der induzierte Abwindwinkel am Ort des gebundenen Wirbels relevant. Der Winkel α i ergab sich allein aus der Induktionswirkung des Nachlaufs. Die teilweise Auswertung der vom gesamten Wirbelsystem induzierten Abwindgeschwindigkeit führt auf die Integralgleichung für die Zirkulationsverteilung Γ(y) nach der erweiterten Traglinientheorie (siehe [42]): α g (y) = lim 4Γ(y) 4πU ε 0 ε y ε b/2 G(x P,y;y ) (y y ) 2 dy b/2 y+ε G(x P,y;y ) (y y ) 2 dy mit der Einflußfunktion G(x P,y;y ) = Γ(y ) + (xp x g x P x g ) 2 +(y y ) 2 (6.4) Der Apostroph wird wiederum verwendet, um die bei der Integration variierenden Koordinaten von den übrigen Koordinaten zu unterscheiden.

10 6.3 Erweiterte Traglinientheorie Das Verfahren von Weissinger Weissinger [49] hat eine für praktische Berechnungen brauchbare Form der Integralgleichung (6.4) abgeleitet und numerische Lösungswege vorgeschlagen. Analog zu den Gl. (6.7) und (6.9) werden für die nachfolgenden Betrachtungen zunächst wieder normierte Größen eingeführt: ξ = x b/2 η = y b/2 (6.42) (6.43) γ(η) = Γ(η) bu (6.44) In dimensionslosen Koordinaten erhält man analog zu Gl. (6.23) die im Folgenden betrachtete Form der Integralgleichung: α g (η) = 2π K(η,η ) γ(η )dη + C dγ(η ) dη π dη η η (6.45) Hierbei stellt K(η,η ) eine rein geometrieabhängige Einflußfunktion dar, die eine Wirkung der Singularitäten im Schnitt η auf einen Flügelschnitt η beschreibt. Diese Einflußfunktion ist in normierten Koordinaten mit der oben eingeführten Indizierung definiert als: K(η,η ) = (η η ) 2 (ξp ξ g ξ P ξ g ) (6.46) 2 +(η η ) 2 Die Einflußfunktion wurde so gewählt, daß sie bei η = η regulär ist. Eine Grenzwertbetrachtung liefert für η η speziell: K(η,η) = 2(ξ P ξ g ) 2 (6.47) Der zweite Term in Gl. (6.45) enthält dasselbe Cauchy-Integral das bei der einfachen Traglinientheorie den induzierten Abwindwinkel α i am Ort des gebundenen Wirbels liefert (siehe Gl. (6.22)). Wird die Abkürzung α i auch hier verwendet, so läßt sich Gl. (6.45) bei Einführung einer weiteren Abkürzung τ(η) in einer vereinfachten Form anschreiben: α g (η) = 2[τ(η)+α i (η)] (6.48) Hierbeiistjedochzubeachten,daßindieserGleichungα i nicht demvomgesamtenwirbelsystem auf die Kontrollpunktlinie induzierten Abwindwinkel entspricht! Durch die Umformungen wurde lediglich eine formale Ähnlichkeit zur Prandtl schen Integralgleichung hergestellt um bereits bekannte Berechnungsansätze nutzen zu können. Die Lösung der Integralgleichung (6.48) erfolgt analog zum Multhopp-Verfahren (Kap ) mittels numerischer Quadratur. Dabei wird die Spannweitenkoordinate y bzw. η gemäß Gl. (6.24) zunächst in die Winkelkoordinate ϑ transformiert (vgl. Abb. 6.7). Anschließend erfolgt eineäquiangulare Unterteilung, um M Stützstellen ϑ µ (µ = M) zu erhalten, an denen die Zirkulationsstärken γ µ = γ(ϑ µ ) bestimmt wird (vgl. Abb. 6. sowie Gl. (6.92)): ϑ = arccosη und ϑ µ = µπ M + µ = M (6.49)

11 6.3 Erweiterte Traglinientheorie 34 Entsprechend dem in Kap ausführlich beschriebenen Vorgehen läßt sich ein Verfahren aufbauen, wobei die bei der einfachen Traglinientheorie eingeführte Quadraturformel für α i (η) nach Gl. (6.03) übernommen werden kann. Zur Auswertung des Integrals τ(η) verwendet Weissinger ebenso einen Quadraturansatz. Das Einsetzen der Quadraturformeln in die Integralgleichung (6.48) liefert schließlich ein lineares Gleichungssystem der Dimension M zur Bestimmung der unbekannten Zirkulationsstärken γ µ : d ν γ ν = α gν + M µ= d νµ γ µ (ν,µ =,2,,M) (6.50) Das Gleichungssystem ist formal gleich aufgebaut wie beim Multhopp-Verfahren (siehe Gl. (6.08)). Der Apostroph bedeutet wiederum, daß bei der Summenbildung das Glied µ = ν ausgelassen ist. Die Indizes µ bzw. ν stellen Laufvariablen dar, welche die spannweitige Position der betrachteten Stützstellen kennzeichnen, α gν beschreibt den geometrischen Anstellwinkel an der Stützstelle ν. Die Koeffizienten in Gl. (6.50) sind wie folgt zu berechnen: d ν = 2(b νν +h νν ) (6.5) d νµ = 2(b νµ h νµ ) (6.52) Die hierin enthaltenen Koeffizienten b νν bzw. b νµ sind identisch zu den in Kap abgeleiteten Größen und lassen sich für eine Aufpunktzahl von M = 7 der Tabelle 6. entnehmen oder analog zu Gl. (6.09) berechnen: b νν = M + 4sinϑ ν b νµ = sinϑ µ (M +)(cosϑ µ cosϑ ν ) 2 für ν µ =,3,5, (6.53) b νµ = 0 für ν µ = 2,4,6, Die Koeffizienten h νµ sind nach Weissinger definiert als: mit σ µµ = h νµ = σ µµ K νµ (6.54) µπ sin 4(M +) M + und K νµ = K(η ν,η µ ) = bzw. K νν = K(η ν,η ν ) = (η ν η µ ) 2 (6.55) ξ Pν ξ gµ ) (6.56) 2 (ξpν ξ gµ +(ην η µ ) 2 2(ξ Pν ξ gν ) 2 (6.57) Ebenso wie beim Multhopp-Verfahren läßt sich die Anzahl der Unbekannten reduzieren, sofern bei symmetrischem Flügelgrundriß eine symmetrische oder eine antimetrische Verteilung des geometrischen Anstellwinkels α g vorliegt. Die zugehörigen Gleichungssysteme sowie tabellierte Koeffizienten finden sich in [42] und sollen hier nicht näher diskutiert werden.

12 6.3 Erweiterte Traglinientheorie 35 Berechnung der Zirkulationsverteilung und des Auftriebes Das beschriebene Quadraturverfahren zur Nachrechnung von Tragflügeln nach der erweiterten Traglinientheorie erfordert eine hohe Stützstellenzahl M. Im Gegensatz zum Multhopp- Verfahren(Kap.6.2.6)kommtmanmitM = 7oderM = 5nichtaus,soferneinegenaueLösung der Integralgleichung (6.45) gefragt ist. Bei der Anwendung des diskutierten Weissinger- Verfahrens sollte daher stets ein Computerprogramm eingesetzt werden, das sich mit wenig Aufwand programmieren läßt. Das zu lösende LGS zur Bestimmung der unbekannten Zirkulationsstärken γ µ (µ = M) lautet in ausgeschriebener Form (vgl. Gl. (6.6)): d γ = α g +d 2 γ 2 +d 3 γ 3 +d 4 γ 4 + +d M γ M d 2 γ 2 = α g2 +d 2 γ +d 23 γ 3 +d 24 γ 4 + +d 2M γ M d 3 γ 3 = α g3 +d 3 γ +d 32 γ 2 +d 34 γ 4 + +d 3M γ M. (6.58) d M γ M = α gm +d M γ +d M2 γ 2 +d M3 γ 3 + +d MM γ M In Matrizenschreibweise läßt sich das LGS folgendermaßen zusammenfassen: d d 2 d 3 d 4 d M γ d 2 d 2 d 23 d 24 d 2M γ 2 d 3 d 32 d 3 d 34 d 3M γ 3 =... d M d M2 d M3 d M4 d M γ M α g α g2 α g3 α gm (6.59) bzw. [d] γ = α g (6.60) Hierbei beschreibt die Matrix [d] die rein von der Flügelgeometrie und der gewählten Diskretisierung abhängigen Einflußkoeffizienten und ist im Gegensatz zur korrespondierenden Matrix [b] beim Multhopp-Verfahren voll besetzt. Die rechte Seite des LGS α g beinhaltet die Verteilung des geometrischen Anstellwinkels und γ stellt den Vektor der unbekannten Wirbelstärken an den Stützstellen dar. Die Lösung ist in folgenden Schritten vorzunehmen: Festlegen der Stützstellenzahl M und Bestimmung der geometrischen Größen in den M spannweitigen Schnitten Berechnung der geometrieabhängigen Koeffizienten b νν bzw. b νµ gem. Gl. (6.53) Berechnung der geometrieabhängigen Koeffizienten h νµ unter Verwendung der Einflußfunktion K νµ (Gln. (6.54) - (6.57)) Aufstellen der Matrix [d] nach Gl. (6.59) mit den Koeffizienten d ν und d νµ gem. Gln. (6.5) und (6.52) Vorgabe der rechten Seite des LGS (spannweitige Verteilung des geometrischen Anstellwinkels α g ) Lösen des LGS liefert die dimensionslose Zirkulationsstärke γ µ an den M diskreten Stützstellen

13 6.3 Erweiterte Traglinientheorie 36 Sind die dimensionslosen Zirkulationsstärken γ µ = γ(ϑ µ ) bekannt, so läßt sich direkt die spannweitige Verteilung des Auftriebsbeiwertes ermitteln. Nach Gl. (6.26) gilt: c a (ϑ µ ) = 2b γ(ϑ µ) t(ϑ µ ) (6.6) DermittlereAuftriebsbeiwertc A desgesamtenflügelsergibtsichdurchintegrationderauftriebsbeiwertverteilung. In Kap wurde die entsprechende Gleichung bereits hergeleitet (siehe Gl. (6.27)): c A = Λπ M + M γ µ sinϑ µ (6.62) µ= Abb. 6.26: Analyse eines gepfeilten Flügels mit dem Programm Aero Wie bei der einfachen Traglinientheorie kann durch die Modellierung mit einem lediglich einem tragenden Wirbel nicht die tatsächliche Verteilung der Auftriebskraft in Tiefenrichtung berechnet werden mit der Konsequenz, daß sich Nickmoment und Druckpuntlage nicht korrekt bestimmen lassen. Die erweiterte Traglinientheorie wurde in das grafisch interaktive Programm Aero implementiert, das auf der Website des IAG zum donwload bereit steht. Das Programm ermöglicht die Nachrechnung gepfeilter und geschränkter Mehrfach-Trapezflügel (vgl. Abb. 6.26). Als Ergebnis werden neben den Beiwerten für Auftrieb und induziertem Widerstand die Verteilungen des Aufriebsbeiwertes und der Zirkulation ausgeben Einige Ergebnisse der erweiterten Traglinientheorie Auftriebsverteilung und Auftriebsgradient Die Erweiterung der Traglinientheorie war erforderlich um gepfeilte oder schiebende Flügel einer Berechnung zugänglich zu machen. Vergleiche mit höherwertigen Methoden (Tragflächentheorie) und Experimenten haben darüberhinaus gezeigt, daß die erweiterte gegenüber der einfachen Traglinientheorie auch beim ungepfeilten Flügel bessere Resultate liefert. Es sollen daher zunächst die Berechnungsergebnisse der beiden Methoden am Beispiel des ungeschränkten Rechteckflügels gegenübergestellt werden. Abb und 6.28 zeigen die Resultate des Multhopp- und des Weissinger-Verfahrens für einen Flügel der Streckung Λ = 5 und einen Anstellwinkel von α g = konst. = 0. Die erweiterte Traglinientheorielieferteinenetwasweniger völligen VerlaufdesbezogenenAuftriebsbeiwertes c a /c A. Wie in [42] diskutiert ist dies ein typisches Ergebnis für die erweiterte Traglinientheorie. Es wird also tendenziell ein etwas gutmütigeres Abreißverhalten vorausgesagt.

14 6.3 Erweiterte Traglinientheorie c a / c A = γ / γ Erweiterte Traglinientheorie Einfache Traglinientheorie c a Erweiterte Traglinientheorie Einfache Traglinientheorie η Abb. 6.27: Verteilung des bezogenen Auftriebsbeiwertes für einen unverwundenen Rechteckflügel mit Λ = η Abb. 6.28: Verteilung des Auftriebsbeiwertes für einen unverwundenen Rechteckflügel mit Λ = 5, α g = 0 d c A / d α Erweiterte Traglinientheorie Einfache Traglinientheorie Λ Abb. 6.29: Auftriebsgradient dc A/dα für einen ungeschränkten Rechteckflügel in Abhängigkeit der Streckung Λ Der Verlauf des Auftriebsbeiwertes in Abb zeigt, daß die erweiterte Traglinientheorie für gleichen Anstellwinkel einen kleineren mittleren Auftrieb liefert. Dies wird ebenso in Abb deutlich, wo der berechnete Auftriebsgradient dc A /dα in Abhängigkeit der Flügelstreckung Λ für beide Methoden gegenübergestellt ist. Bei kleinen und mittleren Streckungen zeigen sich merkliche Unterschiede. Das Resultat der erweiterten Traglinientheorie stimmt dabei sehr gut mit der exakteren Tragflächentheorie sowie mit Windkanalexperimenten überein (siehe [42]). Insbesondere liefert sie für Λ 0 einen mit der Tragflächentheorie übereinstimmenden Grenzwert. Nach der erweiterten Traglinientheorie ergibt sich: ( ) dca lim = π Λ 0 dα 2 Λ (6.63) während nach der einfachen Traglinientheorie der doppelte Wert resultiert: ( ) dca lim = πλ (6.64) Λ 0 dα Aus diesen Vergleichen ergibt sich auch die Empfehlung, die einfache Traglinientheorie erst für größere Streckungen Λ 3 zu verwenden (vgl.. 6.2). Für sehr kleine Flügelstreckungen (Λ ) ist jedoch zu beachten, daß infolge von Seitenkantenablösungen nichtlineare Effekte auftreten können, die sich weder mit der einfachen noch mit der erweiterten Traglinientheorie erfassen lassen (vgl. Kap. 7.). Analog zur Prandtl schen Traglinientheorie läßt sich auch für die erweiterte Traglinientheorie eine analytische Bestimmungsgleichung für den Auftriebsgradienten eines ungeschränkten und ungepfeilten Ellipsenflügels angeben. Bei der Ableitung ist zu beachten, daß bei Vorgabe einer elliptischen Form der gebundenen Zirkulationsverteilung lediglich ein Freiheitsgrad, nämlich

15 6.3 Erweiterte Traglinientheorie 38 die maximale Zirkulationsstärke, verbleibt und somit die kinematische Randbedingung auch nur in einem einzelnen Punkt angesetzt werden kann. Wird hierbei der 3/4-Punkt im Flügelmittelschnitt herangezogen, so resultiert schließlich folgende Berechnungsformel für den Auftriebsgradienten [40]: dc A dα = 2πΛ [( ) ] 2 2πΛ (dc a/dα) 2d (6.65) Diese Gleichung liefert im Gegensatz zu Gl. (6.5) auch für kleine Flügelstreckungen (Λ 3) gute Ergebnisse, sofern noch keine nichtlinearen Effekte vorliegen (siehe Kap. 7.). Setzt man für den Auftriebsgradienten wiederum den Wert der ebenen Platte (dc a /dα) 2d = 2π ein, so resultiert (vgl. Gl. (6.52)): dc A dα = 2πΛ (Λ 2 +4) +2 (6.66) Für große Streckungen nähern sich die Lösungen von einfacher und erweiterter Traglinientheorie einander an, vgl. Abb Einfluß der Flügelpfeilung auf Auftrieb, Auftriebsverteilung und Abreißeigenschaften U Λ = 5, β = 0 ο Λ = 5, β = 45 ο Λ = 5, β = +45 ο Nachfolgend sollen Berechnungsergebnisse der erweiterten Traglinientheorie herangezogen werden, um den Einfluß einer Flügelpfeilung bei inkompressibler Strömung zu diskutieren. Zunächst wird ein nicht zugespitzter Flügel der Streckung Λ = 5 für die Pfeilwinkel β = 45 ( Vorpfeilung ), β = 0 und β = +45 ( Rückpfeilung ) betrachtet, siehe Abb In Abb. 6.3 sind die mit dem Weissinger-Verfahren berechneten Verteilungen des Auftriebsbeiwertes für einen Anstellwinkel von α g = 0 aufgetragen. Dabei fallen folgende Pfeilungseffekte auf:. eine Pfeilung β 0 reduziert den mittleren Auftriebsbeiwert c A 2. eine Vorpfeilung (β < 0) führt zu einer relativen c a - Überhöhung im Bereich der Flügelwurzel und zu einer Reduktion im Außenbereich 3. eine Rückpfeilung (β > 0) führt zu einem c a -Einbruch im Bereich der Flügelwurzel und zu einer Überhöhung im Außenbereich Bei einer Rückpfeilung verlagert sich somit das Maximum des lokalen Auftriebsbeiwertes zu den Flügelspitzen hin. Bei Erhöhung des Anstellwinkels werden daher die ersten Abb. 6.30: Grundrißformen Strömungsablösungen bei einem rückwärtsgepfeilten Tragflügel der untersuchten zuerst im Bereich der Flügelspitzen auftreten, was - je nach Profileigenschaften Pfeilflügel - einen mehr oder weniger starken lokalen Auftriebseinbruch zur Folge hat. Bei weiterer Steigerung von α wird sich das Ablösegebiet nach innen ausdehnen. Erfolgt die Ablösung aufgrund ungleichförmiger Zuströmung oder infolge von Bauungenauigkeiten zunächst nur auf einer Flügelhälfte, so resultiert aufgrund des großen Hebelarmes des Auftriebseinbruches ein Moment um die Längsachse - der Flügel kippt einseitig ab. Eine derartige Eigenschaft haben wir bislang als schlechtes Abreißverhalten charakterisiert. Wie bereits in Kap für den zugespitzten Trapezflügel diskutiert, kann die c a -Überhöhung im Außenbereich durch eine geeignete

16 6.3 Erweiterte Traglinientheorie 39 Schränkung abgebaut und damit das Abkippverhalten gesteuert werden. Bei einem vorgepfeilten Tragflügel treten die ersten Ablösungen demgegenüber im Bereich der Flügelwurzel auf, so daß aufgrund des kleinen Hebelarmes keine Gefahr des seitlichen Abkippens besteht. Im Hinblick auf die Stabilität um die Querachse ist die Situation etwas anders. Bei einem rückgepfeilten Flügel (ohne Leitwerk) bricht der Auftrieb am Außenflügel in einem Bereich ein, der stromab des Flügel-Druckpunktes bzw. -Schwerpunktes liegt. Es resultiert ein aufnickendes Moment und somit ein unerwünschtes instabiles Verhalten um die Querachse. Beim vorgepfeilten reinen Flügel liegt der Auftriebseinbruch im Wurzelbereich ebenso hinter dem - beim vorgepfeilten Flügel weiter vorne liegenden - Druckpunkt, so daß sich auch in diesem Fall ein instabiles Aufnicken ergibt Λ = 20 5 c a d c A / d α g 4 3 Λ = 5 Λ = ungepfeilter Flügel, β = 0 o rückgepfeilter Flügel, β = +45 o vorgepfeilter Flügel, β = -45 o 2 d c a / d α g β d c a / d α g β=0 cos β η Abb. 6.3: Einfluß der Pfeilung auf die Verteilung des Auftriebsbeiwertes (planarer Flügel konstanter Tiefe, Λ = 5, α g = 0 ) β [ ο ] Abb. 6.32: Einfluß der Pfeilung auf den Auftriebsgradient von planaren Flügeln konstanter Tiefe: Vergleich erweiterte Traglinientheorie mit dem cos β-gesetz Neben dem Einfluß auf das Abreißverhalten wirkt sich die durch Pfeilung hervorgerufene Deformation der Auftriebsverteilung negativ auf den induzierten Widerstand aus. Da hier ein Flügel konstanter Tiefe betrachtet wird, ist die c a -Verteilung proportional zur Zirkulationsverteilung. Nach Abb. 6.3 wird deutlich, daß die Zirkulationsverteilung sowohl für den vor- als auch für den rückgepfeilten Flügel stärker von der Ellipsenform abweicht als beim ungepfeilten Flügel. Der k-faktor wird entsprechend größer als beim Rechteckflügel sein. Es ist anzumerken, daß die exaktere Tragflächentheorie insbesondere im Bereich der Flügelwurzel eine stärkere Deformation der Auftriebsverteilung liefert als die hier besprochene erweiterte Traglinientheorie (siehe [42]). Die unter. angesprochene Reduktion des Gesamtauftriebes ist eine wichtige Eigenschaft gepfeilter Tragflügel im Unterschallbereich. Wie in Kap. 8 näher erläutert wird, ist für den Auftrieb eines gepfeilten oder schiebenden Flügels die Geschwindigkeitskomponente normal zur Vorderkante U cosβ relevant. Für den schiebenden Flügel mit unendlicher Streckung Λ gilt für die Abminderung des Auftiebes bzw. des Auftriebsgradienten bei inkompressibler Strömung folgende Beziehung: dc A dα g = cosβ dc A β dα g (6.67) β=0 Wichtig ist hierbei, daß der geometrische Anstellwinkel α g in der xz-ebene (zwischen Nullauftriebsrichtung und der Anströmrichtung) gerechnet wird. In Abb ist der nach der erweiterten Traglinientheorie berechnete Verlauf des Auftriebsgradienten über dem Pfeilwinkel für drei verschiedene Flügelstreckungen aufgetragen. Es wurden wiederum planare Flügel konstanter Tiefe betrachtet. Für die größte Streckung von Λ = 20

17 6.3 Erweiterte Traglinientheorie 40 liefert das cos β-gesetz (6.67) eine sehr gute Annäherung an den berechneten Verlauf. Für kleine Streckungen sind die zugrundeliegenden Annahmen eines unendlichen schiebenden Flügels nicht mehr erfüllt und die Auftriebsminderung ist weniger stark ausgeprägt als nach Gl. (6.67) vorausgesagt. Dies ist so zu erklären, daß in der Symmetrieebene an der Flügelwurzel eine zweidimensionale Strömung ohne Querströmung vorliegt. Der Pfeilungseffekt greift hier nicht und wird erst mit zunehmendem Abstand zur Flügelwurzel wirksam.

18 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) Nachfolgend soll eine Methode zur Berechnung inkompressibler Tragflügelumströmungen besprochen werden, die im Hinblick auf die Modellierungsgüte zunächst als Rückschritt gegenüber den bislang besprochenen Traglinientheorien erscheint: Wir wollen den Flügelnachlauf, der bisher als flächige Wirbelschicht erfaßt wurde, durch diskrete Einzelwirbel modellieren. Der gebundene Wirbel wird darüberhinaus nicht mit einer stetigen Zirkulationsverteilung belegt, sondern es wird eine abschnittsweise konstante Zirkulationsstärke eingeführt. Diese vereinfachte Modellierung ermöglicht eine sehr einfache numerische Erfassung und ist prädestiniert zur Umsetzung in einem Computerprogramm. Es lassen sich prinzipiell beliebig gepfeilte, geschränkte und schiebende Flügel oder Flügelsysteme berechnen, die auch im Gegensatz zu den bislang besprochenen Verfahren eine V-Form oder Winglets aufweisen dürfen. Darüberhinaus kann der Einfluß der Profilwölbung durch die Einführung mehrerer tragender Wirbel in Tiefenrichtung berücksichtigt werden, wodurch sich die axiale Kraftverteilung und damit das Nickmoment ermitteln lässt. Derartige Wirbelleiterverfahren sind zur Flügelberechnung weit verbreitet. Die durch die vereinfachte Modellierung mit diskreten Wirbeln resultierende Ungenauigkeit läßt sich teilweise durch eine verfeinerte Diskretisierung ausgleichen. Wie in Kap. 7. diskutiert wird, können mit Wirbelleiterverfahren auch nichtlineare Effekte, wie sie beispielsweise durch die Aufrollung des Nachlaufes hervorgerufen werden, erfaßt werden Vereinfachte Modellierung unter Verwendung einer tragenden Linie Wir wollen zunächst den einfachen Fall betrachten, bei dem lediglich eine tragende Wirbellinie in Tiefenrichtung eingeführt wird (siehe Abb. 6.33), um einen Vergleich zur erweiterten Traglinientheorie zu ermöglichen. Analog zur erweiterten Traglinientheorie wird der tragende (=gebundene) Wirbel auf die t 4-Linie des Flügelgrundrisses gelegt. Der tragende Wirbel soll nun durch eine endliche Anzahl von n Wirbelsegmenten jeweils konstanter Zirkulationsstärke Γ Γ n ersetzt werden. Anstelle einer stetigen gebundenen Zirkulationsverteilung Γ(y) resultiert eine treppenförmige Verteilung, siehe Abb Dabei ist es nicht notwendig, und auch nicht sinnvoll, eine äquidistante Diskretisierung einzuführen. Vielmehr sollte in Bereichen großer Änderungen der gebundenen Zirkulationsstärke, wie an den Flügelspitzen oder im Bereich von Klappenenden, eine feinere Diskretisierung gewählt werden. Zur Erfüllung der Wirbelerhaltungssätze muß jeder dieser Wirbelabschnitte Γ j eine Fortsetzung in jeweils zwei freien Wirbeln gleicher Stärke Γ j finden. Die freien Wirbel reichen bis ins Unendliche und repräsentieren den Nachlauf. Ein System aus gebundenem Wirbelsegment und den beiden zugehörigen freien Wirbeln bildet einen sogenannten Hufeisenwirbel. Die Eckpunkte der Hufeisenwirbel wollen wir mit A j bzw. B j bezeichnen. Zwei Schenkel (=freie Wirbel) benachbarter Hufeisenwirbel fallen aufeinander und lassen sich auch durcheineneinzelnenwirbelder StärkeΓ j+ Γ j ersetzen. DieseDifferenzstärkeentspricht gerade der Stufenhöhe in der gebundenen Zirkulationsverteilung an der Spannweitenposition des freien Wirbels, siehe Abb Analog zur erweiterten Traglinientheorie werden beim Wirbelleiterverfahren die unbekannten Zirkulationsstärken Γ j durch Ansetzen der kinematischen Randbedingung bestimmt. Es wird wiederum das Pistolesi-Prinzip herangezogen und eine Kontrollpunktlinie auf der 3 4 t-linie des Flügels eingeführt. Dabei ist zu beachten, daß sich die kinematische Randbedingung bei n unbekannten Zirkulationsstärken auch nur an n diskreten Kontrollpunkten erfüllen läßt. Diese

19 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 42 Kontrollpunkte P i werden auf der 3 4t-Linie mittig zwischen zwei Schenkeln eines Hufeisenwirbels angeordnet, siehe Abb Γ(y) Γ 3 Γ 2 Γ y A y B =y A2 y U gebundene Wirbel y Γ 2 B 2 Γ j Γ B =A 2 Pi t a 4 A P P 2 3/4 t a y 2 y 2 Kontroll punkte Γ Γ 2 Γ Γ 3 Γ 2 x freie Wirbel Abb. 6.33: Modellierung der Flügelumströmung beim vereinfachten Wirbelleiterverfahren mit einer tragenden Linie Um die kinematische Randbedingung ansetzen zu können werden die von allen Hufeisenwirbeln auf die Kontrollpunkte induzierten Geschwindigkeiten benötigt, die sich nach dem Gesetz von Biot-Savart berechnen lassen. Zur Vereinfachung der Berechnung wollen wir zunächst wie bei der erweiterten Traglinientheorie das gesamte Wirbelsystem sowie die Kontrollpunkte in die xy-ebene legen, siehe Abb Diese Einschränkung hat zur Konsequenz, daß mit dem in

20 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 43 diesem Abschnitt beschriebenen vereinfachten Verfahren nur schwach gewölbte und geschränkte Tragflügel ohne V-Form berechenbar sind. z Γ j P i dz dx P i Liegen alle Wirbel sowie die Kontrollpunkte in der xy-ebene, so weisen die in den Kontrollpunkten induzierten Geschwindigkeiten lediglich eine w-komponente auf. Setzen wir die kinematische Randbedingung in linearisierter Form an, so muß in jedem Kontrollpunkt P i somit gelten (siehe auch Gl. (2.4)): α* 0 U t/4 3/4t t x ( U α dz ) Abb. 6.34: Profilschnitt beim vereinfachten dx +w(x Pi,y Pi,z Pi = 0) = 0 Pi Wirbelleiterverfahren (6.68) Hierbei ist vorausgesetzt, daß kein Schiebewinkel vorliegt ( U in der xz Ebene) und daß α den Winkel zwischen Anströmrichtung und der x-achse bezeichnet, siehe Abb In obiger Gleichung ist w(x Pi,y Pi,z Pi = 0) die Gesamtinduktion aller n Hufeisenwirbel auf den Kontrollpunkt P i. Wird nun die Indizierung w ij : Induktion des Hufeisenwirbels j auf den Kontrollpunkt P i eingeführt, so gilt: w(x Pi,y Pi,z Pi = 0) = n w ij (6.69) DieInduktionw ij deshufeisenwirbelsderstärkeγ j aufdenkontrollpunktp i lässtsichebenso als Produkt der Wirbelstärke Γ j und eines Einflußkoeffizienten a ij darstellen, der die Induktion des Hufeisenwirbels der Einheitsstärke Γ = (Einheit [-]) beschreibt. Somit lässt sich Gl. (6.69) auch folgendermaßen darstellen: w(x Pi,y Pi,z Pi = 0) = j= n a ij Γ j (6.70) a ij : Einflußkoeffizient = Induktion des Hufeisenwirbels j mit Einheitsstärke Γ j = auf den Kontrollpunkt P i Es lassen sich nun die kinematischen Randbedingungen für alle Kontrollpunkte in folgender Form anschreiben: ( RB in P : a Γ +a 2 Γ 2 +a 3 Γ 3 + +a n Γ n = U α dz ) dx P ( RB in P 2 : a 2 Γ +a 22 Γ 2 +a 23 Γ 3 + +a 2n Γ n = U α dz ) dx P2 (6.7). ( RB in P n : a n Γ +a n2 Γ 2 +a n3 Γ 3 + +a nn Γ n = U α dz dx j= Pn )

21 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 44 Dies stellt ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Zirkulationsstärken Γ j dar und läßt sich in Matrizenschreibweise zusammenfassen: a a 2 a 3 a n Γ α dz dx a 2 a 22 a 23 a 2n Γ 2 P.. = U α dz dx P2 (6.72). a n a n2 a n3 a nn Γ n α dz oder dx Pn [a] Γ = RHS (6.73) Dieses LGS enthält die rein von der Flügelgeometrie abhängige Matrix [a] der Einflußkoeffizienten, den gesuchten Lösungsvektor Γ sowie die rechte Seite RHS ( right hand side ), welche die Antrömbedingung und Kontursteigung in den Kontrollpunkten beschreibt. Die rechte Seite RHS nimmt für einen planaren Flügel in der xy-ebene eine besonders einfache Form an, da in dz diesem Fall Pi = 0 ist. dx Die Lösung ist beim hier beschriebenen vereinfachten Verfahren in folgenden Schritten vorzunehmen: Festlegen der Anzahl n der Hufeisenwirbel und Bestimmung der geometrischen Größen (Eckpunkte der Hufeisenwirbel sowie Lage der Kontrollpunkte: x Aj, y Aj, x Bj, y Bj, x Pi, y Pi ). In Spannweitenrichtung ist dabei keine äquidistante Diskretisierung erforderlich, sondern kann frei gewählt werden. Beispielsweise ist eine Verdichtung im Bereich von Klappenübergängen oder an den Flügelspitzen möglich. BerechnungdergeometrieabhängigenEinflußkoeffizientena ij.füreinenflügelmitgepfeilter t 4-Linie sind die Induktionsformeln (6.99) bis (6.20), für einen ungepfeilten Flügel ist Gl. (6.202) zu verwenden. Dabei ist jeweils Γ j = zu setzen und es gilt: a ij = w(x Aj, y Aj, x Bj, y Bj, x Pi, y Pi ) Vorgabe der rechten Seite des LGS Lösen des LGS liefert die Zirkulationsstärken Γ j der betrachteten Hufeisenwirbel Berechnung des Auftriebes gemäß Gl. (6.75) Der Auftrieb läßt sich durch Anwendung der Kutta-Joukowsky-Formel auf die gebundenen Wirbelsegmente berechnen. Für die Kraft auf das Segment j gilt (vgl. Abb. 6.33): A j = ρu Γ j y j = ρu Γ j ( ybj y Aj ) (6.74) Der Gesamtauftrieb bzw. der Auftriebsbeiwert ergibt sich durch Summation: n ( ) A = ρu Γ j ybj y Aj j= c A = A ρ 2 U2 F = 2 U F n ( ) Γ j ybj y Aj j= (6.75)

22 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 45 y A y P y B Γ(y) Abb. 6.35: Zur Darstellung der spannweitigen Zirkulationsverteilung beim Wirbelleiterverfahren y Interessiert die spannweitige Zirkulationsverteilung, so ordnet man die Zirkulationsstärken Γ j üblicherweise der mittleren Spannweitenkoordinate des jeweiligen Hufeisenwirbels zu, siehe Abb Diese Position fällt mit der y-koordinate des zugehörigen Pistolesi- Punktes zusammen. Analog verfährt man mit der Verteilung der dimensionslosen Zirkulationsstärke und des Auftriebsbeiwertes. Der lokale Auftriebsbeiwert läßt sich dann nach Gl. (6.7) bestimmen: c a (y Pj ) = 2Γ j U t(y Pj ) (6.76) Vergleich des vereinfachten Wirbelleiterverfahrens mit Ergebnissen der Traglinientheorie Zur Beurteilung der Genauigkeit des vereinfachten Wirbelleiterverfahrens sollen einige Berechnungsergebnisse den bereits diskutierten Resultaten der erweiterten Traglinientheorie gegenübergestellt werden. Das erweiterte Traglinienverfahren kann als die genauere Methode angesehen werden, da der Nachlauf korrekterweise durch eine flächige Zirkulationsverteilung und nicht durch diskrete Einzelwirbel repräsentiert wird. Ansonsten sind die Modellierungsansätze vergleichbar (tragender Wirbel in t 4, Ansetzen der kinematischen Randbedingung im Pistolesi-Punkt), so daß das Wirbelleiterverfahren bei hinreichend feiner Diskretisierung vergleichbare Resultate liefern sollte. d c A / d α Einfache Traglinientheorie Erweiterte Traglinientheorie Vereinfachtes Wirbelleiterverfahren Stützstellenzahl n Abb. 6.36: Berechneter Auftriebsgradient für einen ungeschränkten Rechteckflügel der Streckung Λ = 5 bei Variation der Stützstellenzahl Dies ist in Abb am Beispiel des berechneten Auftriebsgradienten für einen ungeschränkten Rechteckflügel der Streckung Λ = 5 gezeigt. Mit zunehmender Stützstellenzahl n bzw. M nähern sich die Ergebnisse von vereinfachtem Wirbelleiterverfahren und erweiterter Traglinientheorie an. Wie in Kap diskutiert, merklich unterhalb des Resultates nach der Prandtl schen Traglinientheorie. Weiter ist deutlich erkennbar, daß bei der Anwendung der erweiterten Traglinientheorie bzw. des vereinfachten Wirbelleiterverfahrens im Vergleich zur einfachen Traglinientheorie erheblich mehr Stützstellen bis zur Erreichung des asymmetrischen Wertes für dc A dα notwendig sind. In Abb ist für einen planaren Rechteckflügel der berechnete Auftriebsbeiwert über der Streckung aufgetragen. Bei der gewählten Diskretisierung (n = M = 0) resultiert eine sehr gute Übereinstimmung zur erweiterten Traglinientheorie. Abb zeigt einen Vergleich der spannweitigen c a -Verteilung für einen planaren Flügel mit unterschiedlichen Pfeilwinkeln. Auch hier liefert das vereinfachte Wirbelleiterverfahren hinreichend genaue Ergebnisse.

23 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) d c A / d α 3 2 Erweiterte Traglinientheorie Einfache Traglinientheorie Vereinfachtes Wirbelleiterverfahren Λ c a ungepfeilter Flügel, β = 0 o rückgepfeilter Flügel, β = +45 o vorgepfeilter Flügel, β = -45 o Vereinfachtes Wirbelleiterverfahren η Abb. 6.37: Auftriebsgradient für einen ungeschränkten Rechteckflügel in Abhängigkeit der Streckung: Vergleich vereinfachtes Wirbelleiterverfahren mit der erweiterten Traglinientheorie Abb. 6.38: Verteilung des Auftriebsbeiwertes: Vergleich vereinfachtes Wirbelleiterverfahren mit der erweiterten Traglinientheorie (planarer Flügel konstanter Tiefe, Λ = 5, α g = 0 ) Das allgemeine Wirbelleiterverfahren Modellierung des Tragflügels Beim allgemeinen Wirbelleiterverfahren werden m tragende Linien in Tiefenrichtung verwendet. Durch die Einführung mehrerer gebundener Wirbel läßt sich der Einfluß der Profilwölbung und die damit verknüpfte Kraftverteilung in Tiefenrichtung erfassen. Damit ist eine Berechnung des Momentes um die Querachse (y-achse) sowie eine Bestimmung der Lage des Druckpunktes möglich. Dies war bei allen Verfahren mit nur einem tragenden Wirbel nicht der Fall. Bei hinreichend feiner Diskretisierung läßt sich ferner die Lastverteilung c p approximieren. Zur Modellierung wird der Flügelgrundriß zunächst in m n sogenannte Elementarflügel unterteilt, siehe Abb Analog zum bisherigen Modellierungsansatz wird auf die t 4 -Linie eines jeden Elementarflügels der gebundene Wirbel mit der Zirkulationsstärke Γ j gelegt. Jeder gebundene Wirbel wird wiederum durch zwei halbunendliche Wirbelfäden, die in x-richtung orientiert sind, ergänzt. Die Kontrollpunkte P i, an denen die kinematische Randbedingung angesetzt wird, liegen auf der 3 4t-Linie eines jeden Elementarflügels mittig zwischen den Schenkeln der Hufeisenwirbel. Die Schenkel der einzelnen Hufeisenwirbel werden noch in verbindende und in freie Wirbel aufgeteilt. Die verbindenden Wirbel repräsentieren den Wirbelabschnitt im Bereich des Flügelgrundrisses. Sie verbinden die einzelnen gebundenen Wirbelsegmente. Die freien Wirbel liegen stromab der Hinterkante und modellieren den Flügelnachlauf. Die in Tiefenrichtung hintereinander liegenden Hufeisenwirbel bilden anschaulich eine Wirbelleiter, wobei die Sprossen jeweils die gebundenen Wirbel und die Holme die verbindenden Wirbel darstellen. Zwei hintereinanderliegende Sprossen bilden zusammen mit den verbindenden Wirbeln ein Wirbelviereck. Das Wirbelsystem auf dem Flügel läßt sich ebenso als eine Anordnung von geschlossenen Wirbelvierecken mit jeweils konstanter Zirkulationsstärke entlang der Berandung auffassen, vgl. Abb Dies wird klar, wenn man die Schenkel der Hufeisenwirbel auf Höhe der nächsten Sprosse abknickt und miteinander verbindet. Die Kontrollpunkte liegen jeweils in der Mitte der Wirbelvierecke. Es läßt sich zeigen, daß ein solches(ebenes) Wirbelviereck äquivalent zu einem Panel mit konstanter Dipolstärke über der Fläche ist [23]. Derartige Singularitäten werden bei den in Kap. besprochenen Panelverfahren zur Berechnung auftriebsbehafteter Körperumströmungen häufig verwendet. Ein Wirbelleiterverfahren entspricht im Hinblick auf die Auftriebsberechnung einem Panelverfahren 0ter Ordnung.

24 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 47 U y Elementarflügel Wirbelviereck gebundene Wirbel verbindende Wirbel freie Wirbel x Elementarflügel t E / 4 Γ j P i gebundener Wirbel 3 te 4 Γ verbindender Wirbel Wirbelviereck = Dipolpanel Γ P Γ Γ Abb. 6.39: Modellierung der Flügelumströmung beim allgemeinen Wirbelleiterverfahren

25 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 48 U 2 z z t x Bei der Anordnung der Wirbelsysteme und der Kontrollpunkte im Profilschnitt sind im Prinzip verschiedene Varianten möglich. Die gebundenen und die verbindenden Wirbel können zunächst wieder zusammen mit den Kontrollpunkten in die xy-ebene gelegt werden, siehe Abb Durch die Anordnung entlang der x-achse geht dabei die Modellierung des Wölbungseffektes nicht verloren, da an den Kontrollpunkten die tatsächliche Steigung der Skelettlinie an der entsprechenden x-position eingeht (vgl. Abb. 6.34). Eine Verbesserung kann dabei erzielt werden wenn nicht die tatsächliche lokale Steigung eingesetzt wird, sondern die Steigung die sich für ein nach der Skelett-Theorie approximiertes Skelett ergibt. Eine vermeintlich genauere Modellierung besteht in der Anordnung auf einem Polygonzug x der die Skelettfläche approximiert(abb ). t U Bei diesem Vorgehen können die vereinfachten Induktionsformeln für Hufeisenwirbel (6.99) Abb. 6.40: Modellierung im Profilschnitt (6.202) nicht mehr verwendet werden und die Induktion der Wirbelsegmente muß abschnittsweise mit Hilfe der allgemeinen Induktionsgleichungen (6.88) und (6.90) berechnet werden. Diskretisierung des Nachlaufs und Bedingung der Kräftefreiheit a z t x U b z t x U c z x t U Abb. 6.4: Varianten der Nachlaufmodellierung Der Nachlauf läßt sich ebenso auf unterschiedliche Weise modellieren. Im einfachsten Fall werden die freien Wirbel in die xy-ebene gelegt, siehe Abb. 6.4-a. Unschön ist daran, daß der Nachlauf im Unendlichen eigentlich parallel zur Anströmung orientiert sein sollte. Schließt der Anströmvektor einen Winkel mit der x- Achse ein, so ist dies bei der vereinfachten Modellierungsvariante a nicht der Fall. Vorteilhaft ist daher die Ausrichtung der freien Wirbel in Richtung U (Abb. 6.4-b). Sofern für den Flügel die Modellierungsvariante gewählt wird hat dieses Vorgehen jedoch zur Konsequenz, daß die Einflußkoeffizienten des Nachlaufs für jeden zu untersuchenden Anstellwinkel neu berechnet werden müssen, da sich die Lage der freien Wirbel relativ zu den Kontrollpunkten mit dem Anstellwinkel ändert. Eine physikalisch korrekte Modellierung muß

26 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 49 die Bedingung der Kräftefreiheit des Nachlaufs erfüllen. Nach dem Gesetz von Kutta-Joukowsky wirkt genau dann keine Kraft auf einen Wirbel, wenn dieser in Richtung des lokalen Anströmvektors orientiert ist. Der lokale Strömungsvektor setzt sich dabei aus der ungestörten Anströmung U und der vom gesamten Wirbelsystem einschließlich Nachlauf induzierten Geschwindigkeit zusammen. Die den Nachlauf repräsentierenden freien Wirbelfäden müssen also überall parallel zum lokalen Geschwindigkeitsvektor ausgerichtet werden, um kräftefrei zu sein. Das Strömungsfeld um den Tragflügel kennt man vor Durchführung der Berechnung allerdings nicht und die Nachlaufgeometrie kann demnach nicht a priori festgelegt werden. Dies macht deutlich, daß eine korrekte physikalische Nachlaufmodellierung ein schrittweises oder iteratives Vorgehen erfordert. Zunächst sind hierzu die einzelnen freien Wirbel in Segmente zu unterteilen, um eine Anpassung an die gekrümmten Stromlinien zu ermöglichen, siehe Abb. 6.4-c. Durch die polygonzugartige Anordnung der Nachlaufwirbel ist bei hinreichend feiner Diskretisierung die Bedingung der Kräftefreiheit zwar nicht exakt, aber in guter Näherung erfüllt. Dabei ist insbesondere in der Nähe der Hinterkante, wo die Stromlinien stark gekrümmt sind, auf eine feine Diskretisierung zu achten. Die Ausrichtung der einzelnen Segmente an das Strömungsfeld kann dabei prinzipiell auf zwei verschiedene Arten erfolgen: Relaxationsverfahren: Ausgehend von einer vorgegebenen Startgeometrie für den Nachlauf (z.b. ein ebener Nachlauf entsprechend der Modellierung 6.4-a oder b) werden die lokalen Geschwindigkeitsvektoren am Ort der Segmente bestimmt und diese anschließend parallel dazu ausgerichtet. Nach jeder Anpassung der Nachlaufgeometrie ändert sich natürlich auch das induzierte Geschwindigkeitsfeld, so daß eine erneute Nachlaufausrichtung erforderlich wird. Es ist somit ein iteratives Vorgehen bis zur Konvergenz notwendig. Bei jeder Iteration ist dabei aufgrund der angepassten Nachlaufgeometrie eine Neuberechnung der betroffenen Einflußkoeffizienten mit anschließendem Lösen des LGS und entsprechender Anpassung aller Wirbelstärken notwendig. Durch die Anpassung der Wirbelstärke der gebundenen Wirbel ändern sich auch die aerodynamischen Beiwerte des Flügels. Erfahrungsgemäß wird bei konventionellen Flügelgeometrien mit dem Relaxationsverfahren nach etwa 5-0 Iterationen eine gute Konvergenz der berechneten Beiwerte erreicht. Zeitschrittverfahren: Hierbei wird die Umströmung des Flügels ausgehend vom Startvorgang betrachtet. Der Flügel wird aus der Ruhe heraus in Bewegung gesetzt. Zu diesem Zeitpunkt existiert noch kein Nachlauf. In einem ersten Zeitschritt wird eine Segmentreihe inklusive des Anfahrwirbels zur Erfüllung der Wirbelerhaltung stromab der Hinterkante in den Nachlauf geschoben (siehe Abb. 6.42). Beim nächsten Zeitschritt wird die Induktion dieser ersten Reihe bereits berücksichtigt und es wird eine zweite Reihe von Wirbelvierecken erzeugt. Die zuerst erzeugte Reihe wandert stromab und zwar jeweils in Richtung des lokalen Gesamtgeschwindigkeitsvektors unter Berücksichtigung der Induktionswirkung aller bis dahin vorliegenden Wirbelsegmente. Es ist offensichtlich, daß sich die Induktionswirkung des sich entwickelnden Nachlaufs von Zeitschritt zu Zeitschritt ändert. Entsprechend ändern sich die Stärken der gebundenen Wirbel und damit die Kräfte auf den Flügel. Da die Entwicklung ab dem Startvorgang betrachtet wird lässt sich mit dem Zeitschrittverfahren auch der Anfahrvorgang eines Tragflügels simulieren. Mit der Änderung der gebundenen Zirkulation ändert sich auch die Stärke der bei jedem Zeitschritt in den Nachlauf geschobenen Wirbelvierecke. Damit tragen auch die Sprossen im Nachlauf (im Gegensatz zur Relaxationsmethode) eine Wirbelstärke. Es werden nun soviele Zeitschritte simuliert bis sich die Wirbelstärken und damit die Kräfte am Flügel nicht mehr ändern und ein stationärer Zustand vorliegt. Es sind hierzu sehr viel mehr

27 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 50 a) b) c) d) e) Ω Ω Ω Ω Ω Zeitschritte notwendig als Iterationen bei der Relaxationsmethode, was das Zeitschrittverfahren i.a. sehr viel rechenaufwändiger macht. Mit dem Zeitschrittverfahren lassen sich im Gegensatz zur Relaxationsmethode jedoch auch Bewegungen des Flügels, z.b. Nicken oder auch eine Drehung wie beim Blatt eines Hubschrauberrotors in Abb. 6.42, und damit instationäre Strömungen simulieren. t = 0 t = t t = 2 t t = 3 t t = 4 t Abb. 6.42: Berechnung der Nachlaufentwicklung nach dem Zeitschrittverfahren am Beispiel eines Hubschrauberrotors [39] Beide Vorgehensweisen liefern Nachlaufgeometrien, die typische Charakteristika eines realen Flügelnachlaufs aufweisen, wie das Aufrollen zu zwei konzentrierten Randwirbeln sowie das Absenken des Nachlaufs im Bereich des Flügelmittelschnittes, siehe Abb und Bei beiden Verfahren muss sichergestellt sein, daß ein hinreichend langer Nachlauf modelliert wird, um die volle Nachlaufinduktion und den korrekten Abwindwinkel zu erfassen. Dies ist für eine genaue Auftriebs- und Widerstandsberechnung notwendig. Die Nachlauflänge sollte mindestens die zwei- bis fünffache Spannweite betragen. Wie im nächsten Kapitel erläutert, können bei der Relaxationsmethode als letzte Segmente halbunendlich lange Wirbelfäden eingeführt werden, um die Berücksichtigung der vollen Nachlaufinduktion sicherzustellen. Abb zeigt die unter Anwendung der Relaxationsmethode berechnete Nachlaufgeometrie für einen planaren Rechteckflügel während in Abb das Ergebnis eines Zeitschrittverfahrens dargestellt ist. Grundsätzlich kann vom Zeitschrittverfahren eine korrektere Berechnung der Nachlaufentwicklung erwartet werden. Faktisch ist nicht klar, ob die Relaxationsmethode, unabhängig von der gewählten Startgeometrie, stets auf die zutreffende Nachlaufgeometrie konvergiert. Praktische Erfahrungen zeigen jedoch eine gute Übereinstimmung mit den Resultaten eines Zeitschrittverfahrens. Abweichungen im Hinblick auf den berechneten Aufrollvorgang sind eher auf unterschiedliche Diskretisierungen sowie auf die Wahl der zusätzlichen Berechnungsparameter (wie Dämpfungsradius, s.u.) zurückzuführen. Es sei angemerkt, daß beide Ansätze zur Instabilität neigen, sofern nicht besondere Maßnahmen ergriffen werden. Die Instabilität resultiert aus dem Umstand, daß die nach dem Biot- Savart-Gesetz induzierten Geschwindigkeiten singuläres Verhalten bei verschwindendem Abstand zwischen Wirbel und Aufpunkt aufweisen. Dies kann eine chaotische Nachlaufgeometrie zur Folge haben, wenn sich im Laufe der Relaxation einzelne freie Wirbel zu stark annähern, siehe Abb Die Singularität wird üblicherweise durch Einführen eines Dämpfungsgesetzes unterdrückt: Bei Unterschreiten eines vom Anwender vorgegebenen Abstandes d wird die induzierte Geschwindigkeit abweichend vom Biot-Savart-Gesetz reduziert, wobei für d 0

28 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 5 Abb. 6.43: Berechnete Nachlaufgeometrie eines planaren Rechteckflügels (Λ = 5, α = 5 ) unter Anwendung der Relaxationsmethode Abb. 6.44: Berechnete Nachlaufgeometrie eines planaren Rechteckflügels (Λ = 5, α = 5 ) unter Anwendung des Zeitschrittverfahrens verschwindende Geschwindigkeit angesetzt wird, siehe Abb Vom Anwender muss der sogenannte Dämpfungsradius D vorgegeben werden, das ist derjenige Abstand vom Wirbelkern ab dem die induzierte Geschwindigkeit abgedämpft wird. Die Einführung eines Dämpfungsgesetzes hat auch eine gewisse Abschwächung des Aufrollens zur Folge. Der Dämpfungsradius muss vom Anwender daher gerade so vorgegeben werden, dass ein chaotischer Nachlauf vermieden, das Aufrollen des Nachlaufes jedoch nicht merklich gedämpft wird. Sinnvolle Werte für den Dämpfungsradius sind abhängig von Flügelgeometrie, Diskretisierung und Anströmbedingung (Anstellwinkel) und liegen erfahrungsgemäß in der Größenordnung der Diagonalenlänge der größten Panels (Wirbelvierecke) auf dem Flügel. Abb. 6.45: Chaotischer Nachlauf bei Wahl eines zu kleinen Dämpfungsradius [24] Abb. 6.46: Qualitative Wirkung eines Dämpfungsgesetzes auf die induzierte Geschwindigkeit [35] Berechnung der Zirkulationsstärken und Ermittlung der Kräfte Zur Berechnung der Flügelumströmung nach dem allgemeinen Wirbelleiterverfahren ist ein Computerprogramm erforderlich. Es soll hier das prinzipielle Vorgehen diskutiert werden, welches auch für den genauesten Modellierungsansatz 2c (siehe Abb und 6.4) anwendbar ist. Im allgemeinen Fall stellt die vom Wirbelsystem auf einen Kontrollpunkt induzierte Geschwindigkeit einen voll besetzten Vektor dar. Auch kann die Tangentialebene an einen Kon-

29 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 52 trollpunkt beliebig im Raum liegen. Die kinematische Randbedingung besagt, daß die Skelettfläche nicht durchströmt werden darf. Die Komponente der Gesamtgeschwindigkeit normal zur Skelettfläche muß in den Kontrollpunkten also verschwinden. Anders ausgedrückt muß die vom Wirbelsystem induzierte Normalgeschwindigkeitskomponente v n gerade die Normalkomponente der ungestörten Anströmung U n kompensieren. Um diese Normalkomponenten berechnen zu können werden die Normaleneinheitsvektoren n i in den Kontrollpunkten benötigt. Die Normalgeschwindigkeiten ergeben sich als Skalarprodukt mit dem Normaleneinheitsvektor und es resultiert für die kinematische Randbedingung im Kontrollpunkt P i : v n Pi = U n Pi bzw. v i n i = U n i (6.77) Hierbei repräsentiert m die Anzahl der Hufeisenwirbel in Tiefenrichtung und n die Anzahl in Spannweitenrichtung. Der Geschwindigkeitsvektor v i repräsentiert dabei die von allen m n Hufeisenwirbeln auf den Kontrollpunkt P i induzierten Geschwindigkeiten und es lassen sich analog zu Gl. (6.70) die induzierten Geschwindigkeiten als Produkt von Einflußkoeffizientem a ij und den Zirkulationsstärken Γ j darstellen: v i = m n j= v ij = bzw. v n Pi = v i n i = m n j= m n j= a ij Γ j v ij n i = m n j= ( a ij n i ) Γ j (6.78) Das Ansetzen der kinematischen Randbedingungen in allen m n Kontrollpunkten führt wiederum auf ein lineares Gleichungssystem: RB in P : ( a n )Γ +( a 2 n )Γ 2 + +( a m n n )Γ m n = U n RB in P 2 : ( a 2 n 2 )Γ +( a 22 n 2 )Γ 2 + +( a 2m n n 2 )Γ m n = U n 2. (6.79) RB in P m n : ( a m n n m n )Γ + +( a m nm n n m n )Γ m n = U n m n Um formale Ähnlichkeit zum LGS beim vereinfachten Wirbelleiterverfahren herzustellen führen wir als Einflußkoeffizient ein: a ij = a ij n i : vom Hufeisenwirbel j mit der Einheitsstärke Γ j = im Kontrollpunkt P i induzierte Geschwindigkeit normal zur Skelettfläche Das LGS läßt sich dann analog zu Gl. (6.72) in Matrizenschreibweise formulieren: a a 2 a m n a 2 a 22 a 2m n. a m n a m n2 a m nm n Γ Γ 2. Γ m n U n = U n 2. U n m n (6.80)

30 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 53 oder [a] Γ = RHS (6.8) Die Matrix [a] enthält wiederum die rein geometrieabhängigen Einflußkoeffizienten, Γ ist der gesuchte Lösungsvektor mit den Zirkulationsstärken der einzelnen Hufeisenwirbel und die rechte Seite RHS repräsentiert schließlich die Anströmbedingungen und Steigungen der Skelettfläche in den Kontrollpunkten. Die Bestimmung der unbekannten Zirkulationsstärken Γ j erfolgt analog zu der in Kap beschriebenen Vorgehensweise. Bei der praktischen Programmimplementierung wird man sinnvollerweise die übereinanderliegenden verbindenden bzw. freien Wirbelsegmente zusammenfassen (vgl. Abb. 6.39), um die Anzahl der Induktionsberechnungen zu minimieren. Bei Betrachtung eines planaren Nachlaufes können die freien Wirbel dabei als halbunendlich lange Wirbelfäden stromab der Hinterkante modelliert werden. Bei Simulation der Nachlaufaufrollung unter Anwendung der Relaxationsmethode können halbunendliche Wirbelfäden als letzte Segmente verwendet werden, da weit hinter dem Flügel die Stromlinienkrümmung klein ist und sich leichte Ungenauigkeiten der Nachlaufgeometrie auf den Flügel nicht auswirken. Alternativ ist eine Formulierung für geschlossene Wirbelvierecke möglich (vgl. Abb. 6.39). Es sei angemerkt, daß bei einer Nachlaufmodellierung gemäß Abb. 6.4-c die geometrieabhängigen Einflußkoeffizienten des Nachlaufs auf den Flügel im Prinzip bei jedem Relaxations- bzw. Zeitschritt neu berechnet werden müssen. Entsprechend ist auch das LGS zur Bestimmung der Zirkulationsstärken wiederholt zu lösen. Alternativ läßt sich der Einfluß des Nachlaufs anstatt über Einflußkoeffizienten auch über eine lokale Korrektur des Anströmvektors an den Kontrollpunkten berücksichtigen. Auf der rechten Seite des LGS (6.80) ist dann der Anströmvektor U einzutragen, der um den von den freien Wirbeln am Punkt P i induzierten Geschwindigkeitsvektor korrigiert ist. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, daß die Einflußkoeffizientenmatrix [a] lediglich Einträge enthält, die von der fixen Flügelgeometrie und nicht vom sich ändernden Nachlauf bestimmt sind. Die Matrix kann zu Beginn der Rechnung ein für allemal invertiert werden und liefert nach Multiplikation mit der bei jedem Zeit- bzw. Relaxationsschritt variierenden rechten Seite die gesuchten Zirkulationsstärken Γ j. Sind die Zirkulationsstärken der Γ j bekannt, lassen sich die Kräfte und Momente ermitteln. Dabei können unterschiedliche Ansätze verwendet werden. Wir wollen hier lediglich die bereits eingeführte Art zur Ermittlung des Auftriebes betrachten. In Anlehnung an die Traglinientheorie resultiert unter Anwendung der Kutta-Joukowsky-Formel analog zu Gl. (6.75): 6 m n A = ρu j= c A = A ρ 2 U2 F = 2 U F Γ j ( ybj y Aj ) m n j= Γ j ( ybj y Aj ) (6.82) Hierbei ist über die gebundenen Wirbelsegmente aller m n Hufeisenwirbel aufzusummieren. 6 Als alternativer Berechnungsansatz wird der resultierende Kraftvektor beispielsweise auch unter Anwendung der vektoriellen Kutta-Joukowsky-Formel auf alle gebundenen und verbindenden Wirbel ermittelt. Dabei berücksichtigt man teilweise den Gesamtgeschwindigkeitsvektor am Ort der Wirbel bzw. an den Kontrollpunkten.

31 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 54 Abb. 6.47: Analyse eines gepfeilten Flügels mit dem Programm Aero Soll die spannweitige Zirkulationsverteilung ermittelt werden, so muß bei Verwendung mehrerer tragender Linien über sämtliche gebundenen Wirbelsegmente einer Wirbelleiter aufsummiert werden, um die Gesamtzirkulation für den betrachteten Schnitt zu erhalten. Das Wirbelleiterverfahren wurde wiederum in das grafisch interaktive Programm Aero implementiert, das auf der Website des IAG zum donwload bereit steht. Das Prgramm ermöglicht die Nachrechnung gepfeilter und geschränkter Mehrfach-Trapezflügel inklusive V-Form (vgl. Abb. 6.47). Neben einem starren Nachlauf kann die Nachlaufaufrollung bei diesem Programm nach der Relaxationsmethode ermittelt werden. Anwendungsbeispiele zum allgemeinen Wirbelleiterverfahren In den Abbildungen 6.48 und 6.49 sind zwei Anwendungsbeispiele des allgemeinen Wirbelleiterverfahrens dargestellt. Abb zeigt das Berechnungsergebnis für eine Entenkonfiguration. Das obere Bild zeigt die Grundrisse von Canard und Hauptflügel sowie den Nachlauf des Hauptflügels. Der Canard-Nachlauf ist der besseren Übersicht wegen nicht abgebildet, in der Berechnung aber berücksichtigt. Die Randwirbel des Canard-Nachlaufes induzieren am Hauptflügel im inneren Bereich einen Abwind. Außerhalb der Canard-Randwirbel resultiert demgegenüber ein Aufwind. Dies hat am Hauptflügel eine starke lokale Änderung der spannweitigen Auftriebsverteilung zur Folge, was am Sprung der im unteren Bild dargestellten c a Verteilung bei y/s 0.4 erkennbar ist. Beim hier betrachteten Flugzustand resultiert im inneren Flügelbereich sogar Abtrieb. Es ist offensichtlich, daß die zugehörige Zirkulationsverteilung am Hauptflügel weit von der elliptischen Verteilung abweicht, woraus wir für einen isolierten Flügel bislang auf einen hohen k-faktor bzw. hohen induzierten Widerstand geschlossen haben. Es ist jedoch anzumerken, daß (nach dem Munk schen Verschiebungssatz [42]) für den induzierten Widerstand der gesamten Konfiguration die Summe der Zirkulationsverteilungen von Canard und Hauptflügel relevant ist. Die Zirkulation des Canards füllt die Zirkulationsverteilung des Flügels im inneren Bereich auf, wodurch die Erhöhung des k-faktors begrenzt wird. Abb zeigt Berechnungsergebnisse für das Solar-Segelflugzeug icaré 2. Im oberen Bild sind Grundrisse und Nachläufe der Flügel-Höhenleitwerks-Konfiguration dargestellt, wobei die gegenseitige Beeinflussung der beiden Nachläufe berücksichtigt ist. Bei der im unteren Bild dargestellten Berechnung wurde zusätzlich der zeitlich gemittelte Einfluß des Heckpropellers erfasst. Die Propellerscheibe sowie der Propellernachlauf wurden analog zur Modellierung beim Wirbelleiterverfahren durch geradlinige Wirbelsegmente approximiert, deren Stärke und Orientierung sich aus der vorgegebenen radialen Schubverteilung, der Drehzahl sowie der Induktion sämtlicher Wirbelsegmente im Strömungsfeld ergibt [29]. Im zeitlichen Mittel ruft der Propeller stromauf im Wesentlichen eine vom Abstand abhängige Beschleunigung der Strömung hervor, während im Propellernachlauf ein Drall resultiert, der auch in der Abbildung erkennbar ist.

32 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 55 a Abb. 6.48: Berechnete Verteilung des Auftriebsbeiwertes für eine Entenkonfiguration [32] Abb. 6.49: Berechnete Nachlaufgeometrie für das Solar- Segelflugzeug icaré 2 ohne sowie mit Propellereinfluß

33 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) Biot-Savart-Gesetz für geradlinige Wirbelfäden und Hufeisenwirbel Induktion eines geradlinigen Wirbelsegments auf einen beliebigen Aufpunkt A α ds r +Γ α r r 0 r P r 2 Abb. 6.50: Induktion eines geradlinigen Wirbelsegmentes nach dem Biot-Savart-Gesetz P B α 2 Ausgangspunkt ist die in der Grundlagenvorlesung besprochene Gleichung für die Induktion eines Wirbelsegmentes der differentiellen Länge d s auf einen Aufpunkt P, siehe Abb. 6.50: d v = Γ 4π d s r r 3 (6.83) Hierbei stellt r den Ortsvektor vom differentiellen Wirbelsegment zum Aufpunkt P dar. Eine positive Zirkulation ist dabei, wie gezeichnet, in mathematisch positivem Sinn um den Vektor d s definiert ( Rechte-Hand-Regel ). Die Induktion eines geradlinigen Wirbels, der sich zwischen den Punkten A und B erstreckt, läßt sich durch Integration über den Winkel α ermitteln. Für den Betrag der induzierten Geschwindigkeit wurde in der Grundlagenvorlesung folgende Beziehung abgeleitet: v AB = Γ 4πr P (cosα cosα 2 ) (6.84) Hierin stellt r P den Abstand zwischen der Wirbellinie und dem Aufpunkt P dar. Der induzierte Geschwindigkeitsvektor ist orthogonal zur Ebene gerichtet, die durch die Wirbellinie und den Aufpunkt P aufgespannt wird. Unter Verwendung der Ortsvektoren r 0 = AB : Verbindungsvektor vom Wirbelanfang A zum Wirbelende B r = AP : Verbindungsvektor vom Wirbelanfang A zum betrachteten Aufpunkt P r 2 = BP : Verbindungsvektor vom Wirbelende B zum betrachteten Aufpunkt P ergibt sich aus dieser Bedingung für die Richtung der induzierten Geschwindigkeit: Der Abstand berechnet sich zu und für die Winkel folgt: v AB v AB = r r 2 r r 2 r P = r r 2 r 0 (6.85) (6.86) cosα = r 0 r r 0 r cosα 2 = r 0 r 2 r 0 r 2 (6.87) Setzt man die Gleichungen (6.84), (6.86) und (6.87) in (6.85) ein, so ergibt sich für den Vektor der induzierten Geschwindigkeit: v AB = Γ [ ] r r 2 r 4π r r 2 2 r 0 r r r 2 0 (6.88) r 2

34 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 57 Im allgemeinen Fall besitzt der Wirbelanfang A die Koordinaten (x A,y A,z A ), das Wirbelende B die Koordinaten (x B,y B,z B ) und der Aufpunkt P die Koordinaten (x P,y P,z P ). Die Ortsvektoren lauten dann: r 0 = x B x A AB = y B y A z B z A r = x P x A AP = y P y A (6.89) z P z A r 2 = BP = x P x B y P y B z P z B Die einzelnen Terme in der allgemeinen Induktionsgleichung (6.88) lassen sich damit gemäß folgender Berechnungsvorschriften in kartesischen Koordinaten auswerten: (y P y A )(z P z B ) (y P y B )(z P z A ) r r 2 = (x P x A )(z P z B )+(x P x B )(z P z A ) (x P x A )(y P y B ) (x P x B )(y P y A ) r r 2 2 = ( r r 2 ) ( r r 2 ) = [(y P y A )(z P z B ) (y P y B )(z P z A )] 2 +[ (x P x A )(z P z B )+(x P x B )(z P z A )] 2 +[(x P x A )(y P y B ) (x P x B )(y P y A )] 2 (6.90) r 0 r 0 r r = (x B x A )(x P x A )+(y B y A )(y P y A )+(z B z A )(z P z A ) (xp x A ) 2 +(y P y A ) 2 +(z P z A ) 2 r 2 r 2 = (x B x A )(x P x B )+(y B y A )(y P y B )+(z B z A )(z P z B ) (xp x B ) 2 +(y P y B ) 2 +(z P z B ) 2

35 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 58 Induktion eines schiefwinkligen Hufeisenwirbels auf einen beliebigen Aufpunkt x A r 0 C α 2 Γ α r Γ r 2 y P Abb. 6.5: Induktion eines Hufeisenwirbels, dessen Schenkel parallel zur x-achse liegen B Γ Es soll nun die Induktion eines Hufeisenwirbels auf einen beliebig im Raum gelegenen Aufpunkt P berechnet werden, siehe Abb Der tragende Wirbelabschnitt liegt zwischen den Punkten A und B und die beiden Schenkel seien parallel zur x-achse (d. h. y,z = konst.) orientiert. Sie reichen von den Punkten A bzw. B jeweils bis ins Unendliche. Die Gesamtinduktion des Hufeisenwirbels läßt sich durch vektorielle Addition der vom tragenden Wirbelabschnitt und den beiden halbunendlichen Schenkeln induzierten Geschwindigkeiten ermitteln: v = v AB + v A + v B (6.9) Der Geschwindigkeitsvektor v AB ist mit Hilfe der Gleichungen (6.88) und (6.90) berechenbar. Nun soll die vom linken Schenkel induzierte Geschwindigkeit v A ermittelt werden. Dazu wird zunächst die Geschwindigkeit v AC betrachtet, die ein endlicher Abschnitt des Schenkels induziert. Anschließend wird ein Grenzübergang C durchgeführt. Unter der getroffenen Annahme, daß der Schenkel parallel zur x-achse liegt folgt nach Abb. 6.5 für die Ortsvektoren: r 0 = CA = r = CP = r 2 = AP = x A x C x A x C y A y C = z A z C 0 0 x P x C x P x C y P y C = y P y A z P z C z P z A x P x A y P y A z P z A (6.92) Für die einzelnen Terme in der allgemeinen Induktionsgleichung (6.88) folgt damit: (y P y A )(z P z A ) (y P y A )(z P z A ) 0 r r 2 = (x P x A )(z P z A ) (x P x C )(z P z A ) = (x C x A ) z P z A (6.93) (x P x C )(y P y A ) (x P x A )(y P y A ) y A y P

36 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 59 r r 2 2 = (x C x A ) 2[ (z P z A ) 2 +(y A y P ) 2] r r 0 r = (x x C x P C x A ) (xp x C ) 2 +(y P y A ) 2 +(z P z A ) 2 (6.94) r 2 r 0 r 2 = (x x A x P C x A ) (xp x A ) 2 +(y P y A ) 2 +(z P z A ) 2 Setzt man diese Terme in die Induktionsformel (6.88) ein, so erhält man für die vom Schenkelabschnitt AC induzierte Geschwindigkeit: v AC = Γ 0 4π T AC z P z A y A y P [ [ (zp z A ) 2 +(y A y P ) 2] mit: T AC = x C x P (xp x C ) 2 +(y P y A ) 2 +(z P z A ) 2 ] x A x P (xp x A ) 2 +(y P y A ) 2 +(z P z A ) 2 (6.95) Wird nun der Grenzübergang x C durchgeführt, so geht der erste Term in der eckigen Klammer von T AC gegen und es resultiert für die Induktion des halbunendlichen Wirbelfadens: v A = Γ 0 4π T A z P z A y A y P mit: T A = [ (zp z A ) 2 +(y A y P ) 2] [ ] x A x P (xp x A ) 2 +(y P y A ) 2 +(z P z A ) 2 (6.96) Der vom rechten Schenkel induzierte Geschwindigkeitsvektor läßt sich einfach durch einen Austausch des Index A gegen die Indizierung B ermitteln. Dabei ist zu beachten, daß sich der Drehsinn des Wirbels gemäß Abb. 6.5 ändert und daher ein negatives Vorzeichen einzuführen ist: v B = Γ 0 4π T B z P z B y B y P mit: T B = ] x [ B x P [ (zp z B ) 2 +(y B y P ) 2] (xp x B ) 2 +(y P y B ) 2 +(z P z B ) 2 (6.97)

37 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 60 Induktion eines schiefwinkligen Hufeisenwirbels in der xy-ebene Nun soll speziell die Induktionswirkung eines in der xy-ebene liegenden Hufeisenwirbels auf einen Aufpunkt betrachtet werden, der ebenso in dieser Ebene liegt. In den bislang abgeleiteten Induktionsgleichungen sind dann sämtliche z-koordinaten in den Ortsvektoren identisch Null. Rein formal oder anschaulich anhand der Rechte-Hand-Regel folgt, daß der induzierte Geschwindigkeitsvektor lediglich eine w-komponente aufweist: 0 v = 0 (6.98) w Für die vom Wirbelsegment AB induzierte Geschwindigkeit vereinfachen sich die Induktionsgleichungen (6.88) und (6.90) zu: w AB = Γ 4π [ (xp x A )(y P y B ) (x P x B )(y P y A ) ] [ (x B x A )(x P x A )+(y B y A )(y P y A ) (xp x A ) 2 +(y P y A ) 2 ] (x B x A )(x P x B )+(y B y A )(y P y B ) (xp x B ) 2 +(y P y B ) 2 (6.99) Für die beiden Schenkel des Hufeisenwirbels resultiert aus den Gleichungen (6.96) bzw. (6.97): [ ] w A = Γ x A x P (6.200) 4π (y A y P ) (xp x A ) 2 +(y P y A ) 2 w B = Γ 4π [ ] x B x P (y B y P ) (xp x B ) 2 +(y P y B ) 2 (6.20)

38 6.4 Das Wirbelleiterverfahren (Vortex Lattice Method) 6 Induktion eines rechtwinkligen Hufeisenwirbels in der xy-ebene x y A y B y Γ x A =x A B B Abb. 6.52: Induktion eines rechtwinkligen Hufeisenwirbels P Abschließend wird die Berechnungsformel bereitgestellt, nach der sich die Induktion eines rechtwinkligen Hufeisenwirbels (vgl. Abb. 6.52) auf einen Aufpunkt P berechnen läßt. Das Wirbelsystem und der Aufpunkt sollen wiederum in der xy-ebene liegen. Für die induzierte Geschwindigkeit resultiert dann lediglich eine w- Komponente. Gemäß Voraussetzung gilt x A = x B und die Gleichung (6.99) vereinfacht sich zu folgender Induktionsformel: w = w AB +w A +w B (6.202) = Γ 4π { [ (x A x P ) [ + (y A y P ) [ (y B y P ) y P y A (xp x B ) 2 +(y P y A ) 2 ] y P y B (xp x A ) 2 +(y P y B ) 2 ] x A x P (xp x A ) 2 +(y P y A ) 2 ]} x B x P (xp x B ) 2 +(y P y B ) 2

39 7 Nichtlineare Aerodynamik 7. Nichtlineare Tragflügelaerodynamik Bei den in den Abschnitten 6.2 und 6.3 diskutierten Traglinientheorien sowie beim vereinfachten Wirbelleiterverfahren nach Kap wurde ein planarer Nachlauf in der xy-ebene vorgegeben. Die vorgegebene Nachlaufgeometrie ist bei diesen linearen Methoden also unabhängig vom Anstellwinkel. In diesem Fall resultiert zwangsläufig eine lineare Abhängigkeit des Auftriebsbeiwertes vom Anstellwinkel. In der Realität verformt sich der Nachlauf aufgrund seiner Eigeninduktion und rollt sich zu konzentrierten Randwirbeln auf, vgl. Abb. 6., 6.43 bzw Die resultierende Nachlaufgeometrie ist dabei von Anstellwinkel zu Anstellwinkel verschieden, was im Prinzip eine Nichtlinearität der c A α-kurve zur Folge hat. Diese Nichtlinearität kann beispielsweise mit einem Wirbelleiterverfahren in der Nachlaufmodellierung c (siehe Abb. 6.4) berechnet werden. Entsprechende Rechnungen sowie experimentelle Untersuchungen zeigen, daß dienichtlinearitätinfolgenachlaufaufrollungbeiflügelstreckungenλ 5vernachlässigbarklein ist. Eine weitaus stärkere Nichtlinearität resultiert beim Auftreten der nachfolgend diskutierten Vorder- bzw. Seitenkantenablösungen, die bei sehr kleinen Streckungen relevant werden. Rechteckflügel kleiner Streckung Abb. 7.: Visualisierung der Seitenkantenablösung bei einem Flügel kleiner Streckung (entnommen aus [46]) Abb. 7.2: Schematische Darstellung der Seitenkantenablösung bei einem Flügel kleiner Streckung Bislang haben wir lediglich davon gesprochen, daß sich eine Wirbelschicht stromab der Hinterkante ausbildet. Es können sich jedoch insbesondere bei Flügeln kleiner Streckung Wirbelschichten im Bereich der Flügelspitze ablösen, die sich zusammen mit dem Nachlauf aufrollen, siehe Abb. 7. und 7.2. Die Ursache für diese Ablösung ist auf die Umströmung der Flügelspitzen zurückzuführen. Bei kleiner Flügelstreckung ist der spannweitige Zirkulationsabfall und damit der Druckgradient im Bereich der Flügelspitze besonders groß, was eine stärkere Umströmung der Seitenkante (von der Unter- zur Oberseite) zur Folge hat. Der zu überwindende Druckanstieg ist dann u.u. so groß, daß die Strömung entlang der Seitenkante ablöst. Scharfkantig ausgeführte Seitenkanten forcieren die Ablösegefahr noch und fixieren die Ablösestelle. Das Aufrollen der abgelösten Scherschicht zu konzentrierten Wirbeln findet bereits auf Höhe des Flügelgrundrisses statt. Die Wirbel induzieren dabei auf der Saugseite (= Oberseite beim positiv angestellten Flügel) des Außenflügels eine zusätzliche Übergeschwindigkeit, was nach der Bernoulli-Gleichung einen Unterdruck zur Folge hat. 62

40 7. Nichtlineare Tragflügelaerodynamik 63 Abb. 7.3: Gemessener und berechneter Auftriebsanstieg für Rechteckflügel unterschiedlicher Streckung (entnommen aus [42]) Symbole: experimentelle Ergebnisse Kurve : lin. Tragflächentheorie Scholz Kurve 2: nichtlin. Theorie Gersten Dieser Unterdruck erhöht den Auftrieb des Flügels gegenüber einem Szenario ohne Seitenkantenablösung bzw. gegenüber dem mit der linaren Theorie berechneten Auftrieb. Je kleiner die Flügelstreckung, desto größer ist der beeinflusste Bereich im Verhältnis zur Flügelfläche. Der auftriebserhöhende Effekt nimmt daher mit abnehmender Streckung zu. Ebenso steigt der Zusatzauftrieb mit zunehmendem Anstellwinkel an, da die Zirkulationsstärke der abgelösten Wirbelschicht, und damit der induzierte Unterdruck auf der Flügeloberseite, mit dem Flügelauftrieb zunimmt. Insgesamt resultiert damit ein nichtlinearer Auftriebsanstieg. Diese Sachverhalte sind in Abb. 7.3 veranschaulicht. Für einen Rechteckflügel mittlerer Streckung (Λ = 5) fällt der mit einem linearen Tragflächenverfahren berechnete Auftriebsanstieg praktisch mit dem gemessenen Verlauf zusammen. Bei einer Streckung von Λ = liefert die lineare Theorie dagegen zu niedrige Auftriebsbeiwerte. Bei dieser Streckung zeigt sich im Experiment bereits eine deutliche nichtlineare Auftriebserhöhung als Folge von Seitenkantenablösungen. Werden die von den Seitenkanten ablösenden Wirbelschichten modelliert (z. B. mittels des nichtlinearen Ansatzes nach Gersten, vgl. Abb. 7.3), so liegt eine erheblich bessere Übereinstimmung mit dem Experiment vor. Der Auftriebsunterschied zwischen linearer und nichtlinearer Berechnung kann somit als nichtlinearer Auftriebsanteil infolge Seitenkantenablösung interpretiert werden. Bei einer weiteren Reduktion der Streckung dominiert die nichtlineare Auftriebserhöhung infolge Seitenkantenablösung zunehmend und die lineare Theorie liefert keine brauchbaren Ergebnisse mehr. Es sei angemerkt, daß die beschriebenen Phänomene nicht nur den Verlauf der c A α Kurve, sondern ebenso den maximalen Auftriebsbeiwert c Amax beeinflussen: Bei ungepfeilten Flügeln großer Streckung liegt in den Profilschnitten eine nahezu zweidimensionale Strömung vor und der Maximalauftrieb des Flügels c Amax hängt von der spannweitigen c a -Verteilung und den Reynoldszahl-abhängigen Profileigenschaften ab. Bei abnehmender

41 7. Nichtlineare Tragflügelaerodynamik 64 Streckung wird die Strömung dreidimensionaler und der Maximalauftrieb wird zunehmend von 3D-Ablösephänomenen sowie von der Grundrißform und weniger von den Profilcharakteristika beeinflußt. Die Wirbel infolge Seitenkantenablösung stabilisieren vereinfacht ausgedrückt die Strömung um den Flügel und können zu einer Erhöhung des c Amax bei sehr kleinen Streckungen (Λ 2) führen, vgl. auch Abb Weiter lässt sich anmerken, daß der von den Wirbelschichten induzierte Zusatzauftrieb über die gesamte Tiefe des Außenflügels wirksam ist, d.h. der Kraftangrifsspunkt wird gegenüber dem linearen Fall (bei symmetrischen Profilen ist x D /t 0.25) tendenziell stromab verlagert, was eine Erhöhung des kopflastigen (negativen) Nickmomentes zur Folge hat, vgl. auch Abb Der schlanke Deltaflügel Abb. 7.4: Schematische Darstellung der Umströmung eines angestellten schlanken Deltaflügels mit scharfer Vorderkante (entnommen aus [8]) Abb. 7.5: Verlauf der Wandstromlinien auf der Saugseite eines angestellten Deltaflügels (Λ =, α = 26,4, Re = 0,9 0 6, entnommen aus [8]) Zieht man die Vorderkante eines Rechteckflügels kleiner Streckung sukzessive zu einem Punkt zusammen, so werden die ursprünglichen Seitenkanten zu Vorderkanten eines Deltaflügels. Die

42 7. Nichtlineare Tragflügelaerodynamik 65 oben diskutierten Ablösephänomene lassen sich sinngemäß übertragen. An scharfen Vorderkanten eines Deltaflügels lösen sich bereits bei kleinen Anstellwinkeln Wirbelschichten ab, die sich zu Tütenwirbeln aufrollen und die Druckverteilung auf der Saugseite des Flügels massiv beeinflussen. Im Bereich dieser Primärwirbel resultiert ein starker Unterdruck, der wiederum zu einer nichtlinearen Auftriebserhöhung führt, vgl. Abb Die von den Wirbeln induzierten Zusatzgeschwindigkeiten sind von der Symmetrielinie jeweils nach außen gerichtet, siehe Abb Unterhalb der Wirbelachsen liegt ein Geschwindigkeitsmaximum bzw. ein Druckminimum vor. Ab diesem Punkt steigt der Druck in Strömungsrichtung (nach außen zur Vorderkante hin) sehr rasch an, was eine Ablösung der Grenzschicht zur Folge hat. Die Ablöselinie ist Ursprung einer weiteren Wirbelschicht, die sich zu einem Sekundärwirbel aufrollt. Der Drehsinn des (kleineren) Sekundärwirbels ist dem des Primärwirbels entgegengerichtet. Auch der Sekundärwirbel ruft ein lokales Unterdruckgebiet hervor, was in Abb. 7.4 durch die schraffierten Bereiche veranschaulicht ist. Abb. 7.6 zeigt gemessene Druckverteilungen an einem angestellten Deltaflügel, die ebenso deutlich die Einflüsse des Primär- und des Sekundärwirbels erkennen lassen. Abb. 7.6: Gemessene Druckverteilungen an einem Deltaflügel, entnommen aus [23] Es ist wichtig festzuhalten, daß die Grenzschicht bis auf den unmittelbaren Bereich der dreidimensionalen Ablöselinien selbst, auf der Flügeloberfläche anliegt. Dies zeigt sich auch an einem im Windkanalversuch gewonnenen Bild der Wandstromlinien für einen angestellten Deltaflügel, siehe Abb Die feinen Linien veranschaulichen die Richtungsvektoren der lokalen Wandschubspannung. Diese Linien bilden sich nur bei endlicher Wandschubspannung, also bei anliegender Grenzschicht, aus. Klar erkennbar ist, daß die Strömung in Wandnähe nach außen orientiert ist. Die Wandstromlinien konvergieren auf die Ablöselinie des Sekundärwirbels. Die Ablöselinien sind durch die auf die Flügelspitze fluchtenden Linien markiert. Es sei angemerkt, daß die Ablösung des Primärwirbels durch eine scharfe Vorderkante örtlich fixiert ist während der Verlauf der sekundären Ablöselinie von der Reynoldszahl und vom Zustand der Grenzschicht laminar oder turbulent abhängt. Die Druckverteilung und

43 7. Nichtlineare Tragflügelaerodynamik 66 entsprechend die resultierenden Kräfte werden wesentlich vom Primärwirbel beeinflußt. Das Aufrollen dieses Wirbels wird kaum durch Reibungseffekte beeinflußt und läßt sich, wie im nächsten Abschnitt diskutiert, mit Hilfe potentialtheoretischer Ansätze modellieren. Liegt eine runde Profilvorderkante vor, wird die Umströmung komplexer. Die Ablösung des Primärwirbels ist nicht mehr an die Vorderkante fixiert, sondern findet abhängig von der Re-Zahl, dem Anstellwinkel und dem Strömungszustand stromab davon statt. Generell führt die verzögerte Ablösung des Primärwirbels zu einer Minderung des auftriebserhöhenden Effektes. Eine Abrundung hat beim schlanken Deltaflügel daher eine Reduktion des maximalen Auftriebsbeiwertes zur Folge. Abb. 7.7: Aufplatzen des Primärwirbels über einem stark angestellten Deltaflügel, entnommen aus [46] Abb. 7.8: Gemessener Auftriebsanstieg für Deltaflügel mit unterschiedlicher Streckung (Zuspitzung λ = /8, relative Dicke δ = 0,2, Re = 7 0 5, entnommen aus [4]) Bei sehr großen Anstellwinkeln platzen die Primärwirbel an einer bestimmten Stelle auf ( vortex breakdown ). Dies hat eine grundlegende Änderung der Wirbelstruktur mit einer stark reduzierten Geschwindigkeit im Wirbelzentrum und einer Reduktion der Induktionswirkung zur Folge, vgl. Abb Das Aufplatzen ist weitgehend unabhängig von der Reynoldszahl. Bei einer weiteren Steigerung des Anstellwinkels wandert der Aufplatzpunkt stromauf. Das Aufplatzen erfolgt schließlich über dem Flügelgrundriß. Stromab des Aufplatzpunktes sind die auf den Flügel induzierten Übergeschwindigkeiten reduziert, was einen Auftriebsabfall zur Folge hat. Dieser Vorgang limitiert den maximalen Auftriebsbeiwert des Flügels. Die aerodynamischen Effekte unterscheiden sich damit bei stark gepfeilten Flügeln oder Flügeln sehr kleiner Streckung grundlegend von den für Profile oder Tragflügel großer Streckung diskutierten Phänomenen. Während bei Flügeln großer Streckung Ablösungen zu einer Auftriebsreduktion und zur Limitierung des c amax führen, wirken sich beim Flügel kleiner Streckung Wirbelschichtablösungen positiv aus, bis es zum Aufplatzen der Wirbel kommt. Die aerodynamischen Eigen-

44 7. Nichtlineare Tragflügelaerodynamik 67 schaften des subsonisch umströmten Deltaflügels lassen sich im Hinblick auf das Auftriebsverhalten anhand der in Abb. 7.8 dargestellten Windkanalergebnisse zusammenfassen. Messungen zeigen, daß mit abnehmender Streckung generell der Auftriebsgradient dc A dα abnimmt (wie qualitativ auch aus der linearen Theorie bekannt) die Nichtlinearität des Auftriebsanstieges zunimmt der Anstellwinkel, für den der maximale Auftriebsbeiwert erreicht wird, zunimmt der maximal erzielbare Auftriebsbeiwert c Amax unterhalb von Λ 2 zunächst zu- und für sehr kleine Streckungen wieder abnimmt Die beschriebene Auftriebserhöhung infolge Vorderkantenablösung kann man bei einer entsprechenden Gestaltung des Flügelgrundrisses nutzen. Beispielsweise lassen sich mit Hilfe eines stark gepfeilten deltaförmigen Strakes gezielt Wirbel generieren, die zu einer Auftriebserhöhung am stromab liegenden Hauptflügel führen, siehe Abb Entsprechende Maßnahmen sind insbesondere bei Überschallflugzeugen (vgl. Abb..2) zur Auftriebsmaximierung im subsonischen Flugbereich (Start, Landung, Manöver) sinnvoll. Derartige Fragestellungen werden in der Vorlesung Aerodynamische Auslegungsaspekte von Profilen und Tragflügeln vertieft behandelt. Abb. 7.9: Auftriebserhöhung durch einen Strake, entnommen aus [23] Modellierungsansätze und Berechnungsbeispiele Bei den in den letzten Abschnitten beschriebenen Ablösephänomenen lösen sich viskose Scherschichten entlang ausgezeichneter Linien von der Flügeloberfläche ab. Werden extreme Anstellwinkel oberhalb von c Amax ausgeschlossen, so liegt mit Ausnahme dieser Ablöselinien eine anliegende Strömung auf dem Flügel vor. Die Flügelumströmung läßt sich daher prinzipiell mit Hilfe potentialtheoretischer Ansätze berechnen, sofern der Einfluß der abgelösten Scherschichten korrekt berücksichtigt wird. Experimentelle Untersuchungen bzw. aufwendigere numerische Es ist wichtig die in diesem Kapitel beschriebenen Ablösephänomene von einer Ablösung zu unterscheiden, wie sie an Profilen oder schwach gepfeilten Flügeln großer Streckung auftreten kann. Bei nahezu zweidimensionaler Umströmung liegt die Grenzschicht stromab einer turbulenten Ablöselinie nicht an. Die rechnerische Erfassung derartiger kompletter Strömungsablösungen ist erheblich schwieriger als die Modellierung der hier diskutierten Seitenkanten- und Vorderkantenablösungen.

45 7. Nichtlineare Tragflügelaerodynamik 68 Berechnungen zeigen, daß die sich ablösenden und aufrollenden Scherschichten ein nahezu potentialtheoretisches Geschwindigkeitsfeld hervorrufen. Sie lassen sich daher wie ein Flügelnachlauf mit Hilfe von Potentialwirbeln (flächige Wirbelverteilung oder diskrete Wirbelfäden) modellieren. x U Abb. 7.0: Erweiterung des Wirbelleiterverfahrens zur Modellierung von Seitenkantenablösungen (Wirbelanordnung zu Beginn des Iterationsprozesses) y Um die Modellierung zu ermöglichen muß zunächst die Lage der Ablöselinien bekannt sein. Wie bereits diskutiert ist die Ablöselinie bei scharfen Vorder- bzw. Seitenkanten fixiert. Die dokumentierten potentialtheoretischen Modellierungsansätze konzentrieren sich weitgehend auf diesen Fall. Die Sekundärwirbel beim Deltaflügel werden üblicherweise nicht berücksichtigt, da sie einerseits wenig zu den Gesamtkräften beitragen und andererseits eine 3D-Grenzschichtrechnung zur Bestimmung der Ablöselinie erfordern würden. Seit der Verfügbarkeit von Computern wurden meist Ansätze verfolgt, bei denen die ablösenden Wirbelschichten analog zur Nachlaufmodellierung c beim allgemeinen Wirbelleiterverfahren (siehe Abb. 6.40) mit Hilfe von diskreten, relaxierenden Wirbelfäden repräsentiert werden. Die Zirkulationsstärke der einzelnen Wirbelfäden richtet sich nach der Stärke der gebundenen Zirkulation an den zugehörigen Vorder- bzw. Seitenkantenpanels. Der Flügel selbst läßt sich entweder nach der Wirbelleitermethode (Kap ) oder mit einem Panelverfahren (Kap. ) modellieren. Abb. 7.: Berechnete Nachlaufgeometrie für einen Rechteckflügel mit Seitenkantenablösung (Λ = 0.5, α = 5, entnommen aus [44]) Die zur Simulation von Seitenkantenablösungen üblicherweise verwendete Modellierung (siehe z. B. [44]) ist schematisch in Abb. 7.0 dargestellt. Die an der Seitenkante liegenden verbindenden Wirbel werden auf Höhe des nachfolgenden gebundenen Wirbels abgeknickt und gehen als freie Wirbel in die Außenströmung. Bei Verwendung der Relaxationsmethode (siehe Kap ) können die Wirbelfäden zu Beginn der Iteration beispielsweise in die xz- Ebene unter einem Winkel von α/2 gelegt werden. Die von der Seitenkante austretenden freien Wirbelfäden werden dann zusammen mit den freien Wirbeln des Nachlaufs iterativ kräftefrei ausgerichtet.

46 7. Nichtlineare Tragflügelaerodynamik 69 Abb. 7.2: Auftriebsanstieg und Momentenpolare sowie spannweitige Verteilung des Normalkraftbeiwertes für einen Rechteckflügel der Streckung Λ = 0.5 nach Schröder [44] Die Abbildungen 7. und 7.2 zeigen Ergebnisse, die von Schröder [44] mit Hilfe eines derart erweiterten nichtlinearen Wirbelleiterverfahrens berechnet wurden. In Abb. 7. ist die mittels Relaxation ermittelte Geometrie der freien Wirbelfäden veranschaulicht. Deutlich erkennbar ist, daß der Aufrollvorgang der von den Seitenkanten ablösenden Wirbelschichten bereits über dem Flügelgrundriß voll ausgebildet ist. Der für diesen Flügel berechnete Auftriebsanstieg ist als durchgezogene Linie in Abb. 7.2 Experimenten sowie weiteren Berechnungsergebnissen gegenübergestellt. Das mittlere Diagramm zeigt die resultierende Momentenpolare. Der Vergleich mit dem nach der linearen Theorie berechneten Verlauf zeigt, daß die Seitenkantenablösung, wie bereits angemerkt, ein ganz erhebliches kopflastiges Moment hervorruft. Das untere Diagramm veranschaulicht schließlich die spannweitige Verteilung des Normalkraftbeiwertes (Kraft senkrecht zur Plattenoberfläche normiert mit dem Staudruck und der Flügelfläche). Deutlich sichtbar ist der Anstieg des Kraftbeiwertes im Flügelspitzenbereich. Dies ist eine direkte Folge des von den Seitenkantenwirbeln induzierten lokalen Unterdruckes auf der Saugseite. Es sei darauf hingewiesen, daß aus dieser Überhöhung nicht auf ein schlechtes Abreißverhalten geschlossen werden kann, da im vorliegenden Fall eine stark dreidimensionale Strömung vorliegt und das Überziehverhalten von der Stabilisiierungswirkung der Seitenkantenwirbel und weniger von den Profileigenschaften determiniert ist. Die potentialtheoretische Modellierung der Vorderkantenablösung beim Deltaflügel ist problematischer und erfordert ein ingenieurmäßiges Vorgehen, um ein numerisch stabiles und zutreffendes Verfahren zu erhalten. Um die Problematik plausibel zu machen, muß man sich vergegenwärtigen, daß die resultierenden nichtlinearen aerodynamischen Kräfte von der Wirbelstärke und von der Geometrie der abgehenden freien Wirbel bestimmt werden. Die Wirbelstärke wird wesentlich durch die am zugehörigen Kontrollpunkt induzierte Geschwindigkeit festgelegt. Geht nun ein freier Wirbelfaden von einer ungünstigen Position an der Vorderkante ab, so kann er im Laufe der Relaxation insbesondere dem nächstgelegenen Kontrollpunkt sehr nahe kommen. Dies hat, aufgrund des singulären Verhaltens des Biot-Savart-Gesetzes, u. U. unrealistisch große induzierte Geschwindigkeiten an diesem Punkt zur Folge. Dies muß zur Erfüllung der kinematischen Randbedingung durch eine entsprechende Erhöhung der Induktionswirkung und damit der Zirkulationsstärke der benachbarten gebundenen Wirbel kompensiert werden. Dies wiederum erhöht die Zirkulationsstärke der freien Wirbel, was die Induktion auf die betroffenen Kontrollpunkte weiter vergrössert. Der Iterationsprozeß kann instabil werden. Ist der Abstand

47 7. Nichtlineare Tragflügelaerodynamik 70 der freien Wirbel von den Kontrollpunkten demgegenüber unrealistisch groß, oder wird zur Stabilisierung der Berechnung ein zu großer Dämpfungsradius (vgl. Kap ) eingeführt, werden die Zirkulationsstärken und entsprechend die nichtlinearen aerodynamischen Kräfte möglicherweise zu niedrig berechnet. Abb. 7.3: Modellierungsvarianten zur Simulation der Vorderkantenablösung am Deltaflügel (entnommen aus [38]) Abb. 7.4: Berechnete Wirbelgeometrie für einen angestellten Deltaflügel nach Behr [4] (Λ =.0, α = 20 ) Die Qualität des Verfahrens wird also wesentlich von der Anordnung der Wirbelsegmente und von der Lage der Kontrollpunkte sowie auch vom Dämpfungsradius abhängen. In dieser Hinsicht ist die Modellierung der Vorderkantenablösung an stark gepfeilten Flügeln sehr viel kritischer als die Simulation einer Seitenkantenablösung am schwach gepfeilten Flügel. Dies resultiert zum einen daher, daß die Panels an der Vorderkante eines Deltaflügels zu Dreiecken degenerieren und zum anderen die abgehenden freien Wirbel direkt über die Flügeloberfläche streichen. Zur Berechnung von Deltaflügeln wurden zahlreiche Modellierungsvarianten untersucht. Zur Auswahl geeigneter Modellierungsansätze bleibt nur, Vergleichsrechnungen durchzuführen und Experimenten gegenüberzustellen. In Abb. 7.3 sind verschiedene Modellierungsvarianten veranschaulicht, die von Rom [38] näher diskutiert werden. Bei der links oben abgebildeten Modellierung wird der Flügel in rechteckige Elementarflügel unterteilt und durch dreieckige Elemente an der Vorderkante ergänzt. Die (gestrichelt gezeichneten) gebundenen Wirbel der Dreieckselemente verlassen am Ende des entsprechenden Elementarflügels die Vorderkante als freie Wirbel. Beim rechten oberen Ansatz werden die gebundenen Wirbel der äußeren Elementarflügel soweit normal zur Vorderkante herausgezogen, bis das Wirbelsystem parallele Schenkel aufweist. Der äußere Schenkel wird jedoch nicht zum Flügel zurückgeführt sondern geht als freier Wirbel ab. In einer weiteren Variante werden auch entlang der Vorderkante rechteckige Elemente eingeführt, wobei die äußeren verbindenden Wirbel wiederum als freie Wirbelfäden abgehen.

48 7. Nichtlineare Tragflügelaerodynamik 7 Durch das Herausziehen der Elementarflügel über den eigentlichen Flügelgrundriß hinaus wird die Gefahr einer instabilen Interaktion zwischen ablösender Wirbelschicht und Flügel reduziert. Bei der vierten Modellierungsvariante erfolgt eine Diskretisierung des Flügelgrundrisses mittels trapezförmiger Wirbelvierecke (vgl. Abb. 6.39). Auch bei dieser Modellierung ist ein Herausziehen der Elemente erforderlich (hier nicht gezeichnet). Der Mindestabstand der Abgangspunkte der freien Wirbel zur Vorderkante sollte den Abstand zwischen Kontrollpunkt und gebundenem Wirbel nicht wesentlich unterschreiten [4]. Abb. 7.4 zeigt exemplarisch die nach dem letzten Modellierungsansatz berechnete Umströmung eines angestellten Deltaflügels. Abb. 7.5: Berechnung eines Deltaflügels durch schrittweises Zusammenziehen der Vorderkante nach Rehbach [37] (entnommen aus [22]) Abb. 7.6: Berechneter Normalkraftbeiwert für einen Deltaflügel mit Vorderkantenablösung nach Rehbach (Λ =,078, entnommen aus [44]) Eine Möglichkeit zur Umgehung der oben geschilderten Problematik wurde von Rehbach [37] vorgeschlagen. Er berechnet zunächst einen Rechteckflügel kleiner Streckung mit Seitenkantenablösung, siehe Abb Anschließend wird die Vorderkante schrittweise zur Spitze eines Deltaflügels zusammengezogen. Bei jedem Schritt werden die Zirkulationsstärken sowie die verzerrte Geometrie der freien Wirbelfäden aus dem vorhergehenden Schritt übernommen. Durch das schrittweise Vorgehen wird die Gefahr einer numerischen Instabilität reduziert und ein Deltaflügel ohne besondere Modellierungsmaßnahmen berechenbar. Als Anwendungsbeispiel ist in Abb. 7.6 der Verlauf des Normalkraftbeiwertes für den in Abb. 7.5 generierten Deltaflügel im Vergleich zu Experimenten dargestellt.

49 7.2 Nichtlineare Aerodynamik angestellter stumpfer Körper Nichtlineare Aerodynamik angestellter stumpfer Körper Die Ablösung freier Wirbelschichten spielt auch bei der Aerodynamik stumpfer, angestellter Körper, wie Rümpfen von Flugzeugen, Luftschiffen oder Flugkörpern eine entscheidende Rolle. Die auftretenden Phänomene und die resultierenden aerodynamischen Eigenschaften sollen nachfolgend exemplarisch am Beispiel eines angestellten Luftschiffrumpfes erläutert werden. Dazu werden numerische und experimentelle Ergebnisse für das an der Universität Stuttgart entwickelte und betriebene Solar-Luftschiff Lotte [26] herangezogen. Die Aerodynamik dieses Luftschiffes wurde am IAG detailliert untersucht [28]. Ein Zusammenfassung der wichtigsten aerodynamischen Ergebnisse findet sich auch in Ref. [5], der die nachfolgenden Ausführungen teilweise entnommen wurden. Grundsätzlich ist zunächst anzumerken, daß angestellte, stumpfe Körper potentialtheoretisch zwar ein freies aerodynamisches Moment jedoch keinen Auftrieb oder Widerstand erzeugen. Dies liegt am Fehlen einer scharfen Ablußkante, die bei der reibungsfreien Berechnung von Profilen oder Tragflügeln über das Ansetzen der Kutta-Bedingung Zirkulation und damit Auftrieb hervorgerufen hat. Bei einer realen, reibungsbehafteten Umströmung erzeugt ein angestellter, stumpfer Körper demgegenüber einen aerodynamischen Auftrieb und damit verknüpft Abb. 7.7: Das Solar-Luftschiff Lotte einen induzierten Widerstand. Diese Kräfte resultieren im Wesentlichen aus der Induktionswirkung von Wirbelschichten, die von den seitlichen Flanken des Körpers ablösen und einen Unterdruck hervorrufen. Dies soll nachfolgend etwas detaillierter diskutiert werden. Abb. 7.8: Wandanstrichbilder am angestellten Lotte-Rumpf, Turbulator bei x/l = 0,05 [20] Weist die Längsachse eines Luftschiffrumpfes einen Anstellwinkel gegenüber der Anströmung auf, so bildet sich an der Oberfläche eine dreidimensionale Grenzschichtströmung aus. Innerhalb einer 3D-Grenzschicht variiert die Strömungsrichtung mit dem Abstand zur Oberfläche. Insbesondere weisen die Wandstromlinien einen merklich anderen Verlauf als am Außenrand der Grenzschicht auf. Die Variation der Strömungsrichtung innerhalb der Grenzschicht nimmt dabei mit dem Anstellwinkel zu. Die im Windkanal mit Hilfe der Farb- Anstrichmethode sichtbar gemachten Wandstromlinien am Lotte-Rumpf sind zur Veranschaulichung für verschiedene Anstellwinkel in Abb. 7.8 dargestellt. Bei allen Anstellwinkeln ist ein heller Streifen erkennbar, der zwei Strömungsbereiche voneinander abtrennt. Die Wandstromlinien konvergieren dabei sowohl von der Ober- als auch von der Unterseite gegen diese markante Linie. Die oberhalb der Ober-

50 7.2 Nichtlineare Aerodynamik angestellter stumpfer Körper 73 fläche liegenden Stromlinien heben in Richtung der Außenströmung ab, es löst sich eine Wirbelschicht vom Körper ab. Unmittelbar oberhalb und unterhalb dieser offenen Ablöselinie liegt eine anliegende Grenzschicht vor. z/l α=20 x/l= U y/l c p Abb. 7.9: Gemessene Quergeschwindigkeiten hinter dem angestellten Lotte-Rumpf in einer Schnittebene normal zur Anströmrichtung (x/l =, 0) [], α = 20, Re V = 3,9 0 5, vollturbulente Umströmung) Von den 3D-Ablöselinien lösen auf beiden Seiten des Rumpfes Wirbelschichten ab, die sich, ähnlich wie beim Deltaflügel, rasch zu zwei tütenförmigen Wirbeln aufrollen. Dies lässt sich gut anhand des im Windkanal gemessenen Geschwindigkeitsfeldes in einer Schnittebene quer zur Anströmung veranschaulichen, siehe Abb Das Bild zeigt die Geschwindikeitsvektoren auf einer Seite des Rumpfes am Heck. Der Wirbelkern ist gut erkennbar. Die ablösenden Wirbelschichten induzieren oberhalb der Ablöselinie eine Übergeschwindigkeit und damit einen Unterdruck auf der Rumpfoberfläche, während das Druckniveau unterhalb der Ablöselinie erhöht wird. Dies ist gut anhand der in Abb dargestellten Druckverteilung in Umfangsrichtung erkennbar. Das Bild zeigt einen Vergleich zwischen potentialtheoretischem, gemessenem und unter Anwendung eines RANS-Verfahrens berechneten Verlauf für einen Schnitt bei 80% der Rumpflänge und einem Anstellwinkel von α = 20. Der Umfangswinkel ϕ = 0 entspricht dabei der unteren Symmetrielinie des Rumpfes. Für ϕ 20 (oberhalb der Ablöselinie) ist der tatsächliche Druckbeiwert niedriger als für den reibungsfreien Fall, während unterhalb der Ablöselinie (ϕ 20 ) ein höherer Druck resultiert. Der geschilderte Einfluß auf die Druckverteilung hat insgesamt eine Auftriebskraft sowie einen Druckwiderstand zur Folge. Dieser Druckwiderstand ist näherungsweise quadratisch vom Auftrieb abhängig und entspricht dem beim Tragflügel diskutierten induzierten Widerstand. Insgesamt lässt sich also sagen, daß beim angestellten, stumpfen Körper Auftrieb und induzierter Widerstand eine Folge von Reibungseffekten sind, die zur Ausbildung von Wirbelschichtablösungen führen. Die im Windkanal gemessenen Verläufe des volumenbezogenen Auftriebs- bzw. Widerstandsbeiwertes 2 sowie des Nickmomentes sind in Abb. 7.2 über dem Anstellwinkel aufgetragen. Es ist erkennbar, daß der Auftriebsanstieg erwartungsgemäß eine Nichtlinearität aufweist, vergleichbar mit einem Tragflügel sehr kleiner Streckung. Der Druckwiderstand ist, wie oben bereits erwähnt, in etwa proportional zum Quadrat des Auftriebes. Da sich der Reibungswiderstand nur geringfügig mit dem Anstellwinkel ändert resultiert für die Widerstandspolare insgesamt ein annähernd parabelförmiger Verlauf. Es sei angemerkt, daß der in Abb. 7.2 dargestellte Momentenbeiwert auf den Volumenschwerpunkt bezogen ist, dessen axiale Lage bei Luftschiffen mit der des Schwerpunktes zusam- 2 Die volumenbezogenen Beiwerte ergeben sich durch Verwendung des Körpervolumens V 2/3 als Bezugsfläche bei der Normierung. Der volumenbezogene Auftriebsbeiwert ist beispielsweise definier als: c A,V = A ρ 2 U 2 V 2/3

51 7.2 Nichtlineare Aerodynamik angestellter stumpfer Körper 74 c A,V, c W,V reiner Rumpf c M,V c A,V, Messung IAG c W,V, Messung IAG c M,V, Messung IAG α [ ] Abb. 7.20: Umfangsdruckverteilung am angestellten Lotte-Rumpf, x/l = 0,8, α = 20, Re V = 3,9 0 5, vollturbulente Umströmung Abb. 7.2: Gemessene Kraftbeiwerte und Nickmoment für den reinen Lotte-Rumpf [5], Re V = 3,9 0 5, vollturbulente Umströmung menfällt. Damit lassen sich aus dem Verlauf des Momentenbeiwertes direkte Rückschlüsse auf die in Kap diskutierte statische Längsstabilität ziehen. Ein positiver Gradient, wie im vorliegenden Fall, bedeutet daß das hecklastige Moment bei Anstellwinkelvergrösserung zunimmt, d.h. den Anstellwinkel weiter vergrössert. Der reine Rumpf ist somit statisch instabil. 3 Die Verläufe von Auftriebs- bzw. Widerstandsbeiwert von Rümpfen lassen sich auf einfache Art mit potentialtheoretischen Verfahren nicht berechnen. Eine reibungsfreie Rechnung liefert für den reinen Rumpf, wie oben erwähnt, verschwindende Kräfte. Das Moment hingegen kann in guter Näherung mit Hilfe von potentialtheoretischen Methoden (z.b. Panelverfahren, siehe Kap. ) abgeschätzt werden. Bei Vernachlässigung von Reibungseffekten resultiert dabei ein betragsmäßig zu großes Moment. 3 Beim Luftschiff wird diese Instabilität durch Anbringen von Leitwerken reduziert. Zudem liegt der Massenschwerpunkt üblicherweise unterhalb des Volumenschwerpunktes, also dem Angriffspunkt des vom Traggas hervorgerufenen statischen Auftriebes. Diese Tieflage des Schwerpunktes hat ein stabilisierendes Moment zur Folge, wodurch die Instabilität des Rumpfes weiter abgemindert wird. Dennoch ist ein Luftschiff i.a. für kleine bis mittlere Anstellwinkel statisch instabil. Vom Piloten kann die verbleibende statische Instabilität allerdings ausgesteuert werden, da die resultierenden Nickraten aufgrund der großen Trägheit sowie instationärer aerodynamischer Dämpfungseffekte sehr klein sind.

52 8 Der gepfeilte Flügel unendlicher Streckung 8. Einleitung Wesentliche aerodynamische Effekte beim Pfeilflügel Die Umströmung eines gepfeilten Tragflügels weist einige aerodynamische Besonderheiten auf, die für den Entwurf von Flugzeugen eine wichtige Bedeutung haben. Wie in Kap. 6.3 durch Anwenden der erweiterten Traglinientheorie bereits gezeigt wurde, bewirkt eine Pfeilung bei subsonischen Geschwindigkeiten eine Reduktion des Auftriebsgradienten, die bei inkompressibler Umströmung proportional zum Kosinus des Pfeilwinkels β bzw. ϕ ist. Bei kompressibler Umströmung treten weitere Effekte auf, die sich im schallnahen Geschwindigkeitsbereich sowie im Überschall zur Leistungsverbesserung nutzen lassen. So postulierte Busemann auf der Volta-Konferenz 935, daß sich die aerodynamische Güte A/W bei Überschallströmung durch Einführen einer Pfeilung vergrössern lässt. Dies ist plausibel wenn man sich vor Augen führt, daß die im Überschall dominanten Druckkräfte stets senkrecht zur Oberfläche wirken. Bei einem zylindrischen Flügel ist der Auftrieb voll wirksam, während beim Druckwiderstand lediglich die Druckkraftkomponente in Richtung der ungestörten Anströmung U eingeht. Ohne weiteren Beweis ging er davon aus, daß für die Umströmung des Tragflügels die Bedingungen senkrecht zur Vorderkante relevant sind (vgl. Kap. 8.2). Unter dieser Annahme folgt, daß der Auftriebsbeiwert proportional cos 2 β und der Druckwiderstand proportional cos 3 β ist. Die aerodynamische Güte steigt danach mit /cosβ an. Da der nach Überschreiten der kritischen Machzahl auftretende Wellenwiderstand ein Druckwiderstand ist, bedeutet dies auch, daß sich sowohl im Transschall als auch im Überschall die aerodynamische Güte durch Einführen einer Flügelpfeilung erhöhen läßt. Diese, außerhalb Deutschlands zunächst wenig beachtete Erkenntnis, wurde 939 von Ludwieg experimentell überprüft und floß schließlich in die Auslegung von Militärflugzeugen gegen Ende des zweiten Weltkrieges ein. Auch heutzutage weisen Überschallflugzeuge entweder eine starke Pfeilung oder aber extrem dünne Profile auf, um den Wellenwiderstand zu minimieren. Betz wies auf die Vorteile bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten hin und zeigte, daß sich die kritische Machzahl durch Pfeilung erhöhen läßt. Dies führt zu einem späteren Auftreten von Verdichtungsstößen und damit zu einer Verschiebung des transsonischen Widerstandsanstieges zu höheren Anström-Machzahlen hin. Dieser Effekt wird bei sämtlichen Verkehrsflugzeugen genutzt um die maximale Reiseflug-Machzahl zu erhöhen. Wie von Jones [2] beschrieben, kann beim Pfeilflügel die Umströmung eines Profilschnittes subsonischen Charakter (Umströmung der Vorderkante, glattes Abfließen) aufweisen, auch wenn die Anström-Machzahl größer als Eins ist. Dies bedeutet, daß bei entsprechender Pfeilung der Wellenwiderstand selbst bei Ma > verschwinden kann. Im vorliegenden Kapitel werden diese wesentlichen Strömungsphänomene bei gepfeilten Tragflügeln detaillierter diskutiert, Berechnungsansätze für den unendlich gestreckten Pfeilflügel besprochen und schließlich die aerodynamischen Effekte quantifiziert. Der Pfeilungseffekt und dessen erste Nutzung im Flugzeugbau wird sehr eingehend in Ref. [30] diskutiert. 75

53 8. Einleitung 76 Gescherter und schiebender Flügel = t o / cos β Für die nachfolgenden Betrachtungen ist wichtig zu definieren wie der gepfeilte Flügel erzeugt wurde und wie die Profilgeometrie sowie die Anströmverhältnisse in einem Schnitt senkrecht zur Vorderkante aussehen. Den Schnitt senkrecht zur Vorderkante bezeichnen wir als Normalschnitt während für einen Schnitt der den Anströmvektor enthält der Begriff Profilschnitt verwendet werden soll. Man unterscheidet grundsätzlich zwischen einem gescherten und einem schiebenden Flügel. Der gescherte Flügel entsteht aus dem ungepfeilten Ausgangsflügel, indem die Profilschnitte in Anströmrichtung verschoben werden bis der gewünschte Pfeilwinkel erreicht ist, siehe Abb. 8.. Das Profil in der Ebene der Anströmrichtung bleibt somit erhalten. Die Tiefe des Profilschnittes senkrecht zur Vorderkante nimmt mit dem Pfeilwinkel ab, was zu einer Erhöhung der relativen Profildicke im Normalschnitt führt. U U d d to to β β = t o tβ d t β n = t o cos β d t β n = t o d d tβ d Abb. 8.: Erzeugung eines gescherten Flügels aus einem ungepfeilten Ausgangsflügel Abb. 8.2: Erzeugung eines schiebenden Flügels aus einem ungepfeilten Ausgangsflügel Der schiebende Flügel entsteht dadurch, daß der Ausgangsflügel um die Hochachse geschwenkt wird, siehe Abb Damit bleibt das Profil im Normalschnitt unverändert. Man kann sich ebenso vorstellen, daß der Flügel nicht geschwenkt wird, sondern zusätzlich zur Vorwärts- auch eine Seitenbewegung ausführt. Diese Bewegung wird in der Aerodynamik üblicherweise mit Schieben bezeichnet. Die Tiefe des Flügels in der Ebene der Anströmrichtung nimmt mit dem Pfeilwinkel zu, was zu einer Reduktion der relativen Profildicke in diesem Schnitt führt. Es ist bereits ohne Berechnung plausibel, daß der schiebende Flügel aufgrund der reduzierten relativen Profildicke gegenüber dem gescherten Flügel bei gleichem ungepfeilten Ausgangsflügel einen niedrigeren Wellenwiderstand im schallnahen und im supersonischen Geschwindigkeitsbereich aufweist. Im vorliegenden Kapitel soll bei den Winkeldefinitionen nicht zwischen einem schiebenden und einem gescherten Flügel unterschieden werden, siehe Abb. 8. bzw Zur Charakterisierung

54 8. Einleitung 77 der Pfeilung soll durchweg der Winkel β verwendet werden. Bei den übrigen geometrischen Parametern wie Dicke, Tiefe, Wölbung oder Anstellung ist allerdings eine sorgfältige Betrachtung notwendig. Diese geometrischen Parameter sind zunächst grundsätzlich in der Profilebene (i.a. xz-ebene) definiert. In dieser Ebene werden zur Bezeichnung dieser Parameter die Größen d, t, f bzw. α verwendet. Die korrespondierenden Parameter im Normalschnitt werden mit n indiziert. Je nachdem ob der Pfeilflügel durch Schwenken oder durch Scherung erzeugt wurde hängen diese Größen d n, t n bzw. f n in anderer Weise von den geometrischen Parametern des Ausgangsflügels ab. Beim Anstellwinkel eines schiebenden Flügels ist zudem die Orientierung der Drehachse von Bedeutung, siehe Abschnitt 8.3..

55 8.2 Prinzip der Unabhängigkeit Prinzip der Unabhängigkeit beim unendlich gestreckten Pfeilflügel und physikalische Konsequenzen Es soll ein ungeschränkter Flügel unendlicher Streckung mit konstanter Profilierung in Spannweitenrichtung betrachtet werden. Die Längsachse dieses zylindrischen Körpers nehme gegenüber der Anströmrichtung den Winkel β ein, siehe Abb Das Prinzip der Unabhängigkeit besagt nun, daß sich die Grundgleichungen zur Berechnung der Strömung im Normalschnitt und in Spannweitenrichtung entkoppeln lassen, d.h. die Umströmung im Normalschnitt kann unabhängig von den Verhältnissen in Spannweitenrichtung berechnet werden. Dies hat wichtige strömungsphysikalische Konsequenzen und eröffnet Möglichkeiten zur vereinfachten Berechnung, was in den nachfolgenden Kapiteln näher diskutiert werden soll. U n β U t U β Normalschnitt Abb. 8.3: Aufspalten des Anströmvektors beim gepfeilten Flügel Wird die lineare oder die linearisierte Potentialgleichung betrachtet ist die Gültigkeit dieses Prinzips direkt plausibel. Aufgrund der Linearität der Grundgleichung kann das Strömungsfeld aus der Überlagerung mehrerer einzelner Strömungsfelder zusammengesetzt werden. Insbesondere lässt sich der Anströmvektor in eine Komponente U t tangential zur Vorderkante undineinenormalkomponenteu n aufspalten, siehe Abb Die zugehörigen Strömungsfelder können separat berechnet und anschliessend superponiert werden. Beim unendlich gestreckten, zylindrischen Körper gleitet dabei das Fluid in Spannweitenrichtung über den Körper hinweg ohne Umlenkungen zu erfahren. Der Körper ruft also bei einer Anströmung in Spannweitenrichtung keinerlei Störungen hervor, das resultierende Geschwindigkeitsfeld ist eine reine Translationsströmung mit U t = konst.. Wenn die Umströmung des Körpers in Spannweitenrichtung keine Störungen hervorruft, dann hat sie auch keinen Einfluß auf die Druckverteilung. Entscheidend für die Verteilung des Druckes p ist also allein die Umströmung des Normalschnittes mit U n bzw. Ma n und α n! Das Prinzip der Unabhängigkeit ist jedoch nicht auf Potentialströmungen mit linearer Grundgleichung beschränkt! So konnte Prandtl zeigen, daß sich beim zylindrischen Körper auch die Grenzschichtgleichungen im Normalschnitt vom Geschwindigkeitsfeld in Spannweitenrichtung entkoppeln. Dies bedeutet, dass man die reibungsbehaftete Umströmung im Normalschnitt unabhängig von den Verhältnissen in Spannweitenrichtung berechnen kann. D.h. die (reibungsbehaftete) Strömung in Spannweitenrichtung wirkt sich nicht auf Umströmung des Normalschnittes aus. Die Strömung in Spannweitenrichtung lässt sich anschliessend berechnen, wobei die Lösung im Normalschnitt als Randbedingung dient. Es ergibt sich eine superponierbare Reibungskraft in Spannweitenrichtung, die entsprechend dem Pfeilwinkel eine Komponente in Anströmrichtung U besitzt. Hetsch [7] konnte zeigen, daß das Prinzip der Unabhängigkeit auch für die inkompressiblen, vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen gilt. Konkret ist dieses Prinzip genau dann exakt gültig, wenn die Stoffgrößen Zähigkeit µ, Dichte ρ und spezifische Wärmekapazität c p keine

56 8.2 Prinzip der Unabhängigkeit 79 Temperaturabhängigkeit aufweisen [34]. Bei laminaren kompressiblen Strömungen ist dies nicht mehr der Fall und das Prinzip der Unabhängigkeit ist daher zunächst nicht gültig. Ebenso prinzipiell bei turbulenten Strömungen, da die turbulenten Reynolds-Spannungen auch von den Geschwindigkeitsgradienten in Spannweitenrichtung abhängen und eine Entkopplung der Komponente in Spennweitenrichtung daher nicht möglich ist. Bei turbulenten, kompressiblen Strömungen schränken beide Effekte die Gültigkeit des Unabhängigkeitsprinzips ein. Experimentelle und numerische Untersuchungen haben allerdings gezeigt, daß das Unabhängigkeitsprinzip auch für diese Fälle näherungsweise gültig ist und die nachfolgend diskutierten Konsequenzen bis hin zu mittleren Pfeilwinkeln in guter Näherung erfüllt sind. Beispiele werden am Ende des Kapitels diskutiert. Druckverteilung im Normalschnitt cpn = Abb. 8.4: Verteilungen des Druckbeiwertes c pn im Normalschnitt eines schiebenden Flügels bei konstanter Normal-Machzahl Ma n = Ma cosβ = 0.65, α n = 2, Experimente Busemann (943), entnommen aus [2] Wie oben diskutiert, wird die Umströmung im Normalschnitt nur durch die Verhältnisse in diesem Schnitt bestimmt. Bei einer Variation des Pfeilwinkels durch Drehung um die Hochachse bleibt die Profilgeometrie im Normalschnitt erhalten ( schiebender Flügel ). Wenn nun die Anströmbedingungen (Mach-Zahl und Anstellwinkel) bei Variation von β so angepasst werden, daß die Komponente normal zur Vorderkante konstant bleibt, dann darf sich die resultierende Verteilung des Druckes p nicht ändern. Dies wurde von Busemann 943 experimentell untersucht, vgl. Abb Hier wurden im Windkanal die Druckverteilungen im Normalschnitt für verschiedene Schiebewinkel, aber identische Werte der Normal- Machzahl Ma n = Ma cosβ gemessen. Die Druckbeiwerte c pn wurden dabei auf den mit der Normalgeschwindigkeit gebildetenstaudruckq n bezogen,derbeimvorliegendenexperimentkonstantgehaltenwurde. Es sei angemerkt, daß in der Aerodynamik die Beiwerte üblicherweise auf den mit der ungestörten Anströmgeschwindigkeit U gebildeten Staudruck q bezogen werden. Dieser ändert sich beim vorliegenden Experiment von Schiebewinkel zu Schiebewinkel. Die Verteilung des Druckbeiwertes c p variiert entsprechend dem Verhältnis der beiden Staudrücke q n und q, vgl. Abschnitt 8.3.

57 8.2 Prinzip der Unabhängigkeit 80 Die Druckverteilungen zeigen trotz stark unterschiedlicher Anström-Machzahlen Ma und Schiebewinkel eine sehr gute Übereinstimmung, was die obigen Überlegungen zum Prinzip der Unabhängigkeit bestätigt und zeigt, daß die Verteilung des Druckes auch bei reibungsbehafteter, kompressibler Strömung in sehr guter Näherung nur von den Verhältnissen im Normalschnitt abhängt. Es wird weiter deutlich, daß beim größten untersuchten Pfeilwinkel β = 40 trotz hoher Anström-Mach-Zahl Ma = 0.86 noch keinerlei Anzeichen von Verdichtungsstössen erkennbar sind, die im nicht-schiebenden Fall bei dieser Mach-Zahl auftreten würden. Dies belegt den Vorteil des Pfeilflügels im transsonischen Geschwindigkeitsbereich, vgl. Kap Stromlinienverlauf Zur Ermittlung der resultierenden Stromlinien ist das zweidimensionale Strömungsfeld des Normalschnittes (bei reibungsfreier Umströmung) vektoriell mit der konstanten Tangentialgeschwindigkeit U t zu überlagern. Für eine Umströmung mit subsonischem Charakter (Ma n < ) ergibt sich qualitativ der in den Abbildungen 8.5 und 8.6 dargestellte Verlauf. Ma n β Ma rückgepfeiltes Flügelende Ma t Anlegelinie ( i.a. Vorderkante ) Stromlinien Abb. 8.5: Qualitativer Stromlinienverlauf im Bereich der Vorderkante eines gepfeilten Flügels bei Ma n < Abb. 8.6: Qualitativer Stromlinienverlauf am gepfeilten Flügel bei Ma n < Zunächst wird bei der reinen Umströmung des Normalschnittes im Bereich der Vorderkante ein Punkt mit verschwindender Normalgeschwindigkeit U n auftreten. Bei einer Profilumströmung ist dies der Staupunkt. Durch die Überlagerung mit der Tangentialgeschwindigkeit resultiert jedoch eine endliche Geschwindigkeit an der Vorderkante. Ein unendlich gestreckter Pfeilflügel weist daher keinen Staupunkt und auch keine Staulinie auf. Vielmehr resultiert eine sogenannte Anlegelinie (engl.: attachment line) entlang derer das Fluid mit U t in Spannweitenrichtung abströmt. 2 Bei einer reibungsbehafteten Umströmung hat die Existenz dieser Anlegelinie wichtige Konsequenzen. Entlang der Anlegelinie bildet sich eine Grenzschicht aus und es kann nach einer gewissen Laufstrecke zum laminar-turbulenten Strömungsumschlag kommen. Der turbulente Zustand wird, unabhängig von der Gestaltung der Flügelprofile, auch der Grenzschicht stromab der Vorderkante aufgeprägt, so daß eine Flügelpfeilung die Laminarhaltung erschwert. 2 Es sei angemerkt, daß beim Pfeilflügel endlicher Streckung bzw. bei einer Flügel-Rumpf-Kombination ein Staupunkt im Wurzelbereich vorliegt. Die Anlegelinie schließt in Richtung rückgepfeiltes Flügelende an diesen Staupunkt an.

58 8.2 Prinzip der Unabhängigkeit 8 Stromab der Vorderkante beschleunigt die Strömung im Normalschnitt, U n ist aber zunächst noch kleiner als U t. Die Stromlinien werden nach wie vor in Richtung des rückgepfeilten Flügelendes tendieren. Erst im Bereich der maximalen Übergeschwindigkeit der Umströmung des Normalschnittes wird U n gegenüber U t dominieren und die Strömung wird zum vorgepfeilten Flügelende abgelenkt, siehe Abb Im hinteren Profilteil wird die Strömung im Normalschnitt gegenüber U n verzögert, so daß wiederum eine Ablenkung nach außen erfolgt. An anderen spannweitigen Positionen ist der Stromlinienverlauf identisch. Wie anhand der gekrümmten Stromlinen sichtbar, weist das Geschwindigkeitsfeld drei Komponenten auf. Bei der Bestimmung der Stromlinien muß also, sowohl im reibungsfreien als auch im reibungsbehafteter Fall, die Tangentialströmung berücksichtigt werden, während sie die Druckverteilung nicht beeinflusst. Die Geschwindigkeitskomponenten hängen allerdings nur von zwei Koordinaten ab, dem Abstand zur Vorderkante sowie der z-koordinate. Die spannweitigen Gradienten der Strömungsgrößen verschwinden und die Isobaren verlaufen parallel zur Achse des zylindrischen Körpers. Eine derartige Strömung wird daher als quasi-zweidimensional bezeichnet. Charakter der Umströmung und Auswahl des Berechnungsverfahrens Wir betrachten einen unendlich gestreckten zylindrischen Körper und nehmen an, daß das Prinzip der Unabhängigkeit gültig ist. Dann ist die Strömung im Normalschnitt lediglich von den Verhältnissen im Normalschnitt (Geometrie, U n, Ma n, α n ) abhängig. Dies gilt für jede Spannweitenposition gleichermaßen und die Druckverteilung wird daher in jedem Schnitt identisch sein, d.h. es liegt eine zweidimensionale Strömung vor. Das zugehörige Strömungsfeld im Normalschnitt wird sich daher mit den in Kap. 2 bzw. 5 diskutierten Methoden zur Profilanalyse berechnen lassen. Dabei können subsonische Berechnungsmethoden zum Einsatz kommen, falls der Anteil der Anström-Mach-Zahl senkrecht zur Vorderkante Ma n < ist, während für Ma n > supersonische Verfahren anzuwenden sind. Somit ist die Normalkomponente Ma n und nicht die Anström-Machzahl Ma entscheidend für den Charakter der Umströmung (subsonisch oder supersonisch) sowie für die Auswahl der Berechnungsmethode! Für Ma n < liegt ein subsonischer Charakter mit einer Umströmung der Vorderkante sowie glattem Abfließen an der Hinterkante vor. Für Ma n > treten die bei der supersonischen Profilumströmung diskutierten Effekte auf: Die Vorderkante wird nicht umströmt und es treten Verdichtungsstöße auf. Da für β > 0 stets Ma n < Ma ist, wird aus dieser Überlegung plausibel, daß bei entsprechender Pfeilung selbst für Anström-Mach-Zahlen Ma > der Wellenwiderstand verschwinden kann. Kritische Machzahl Die Tangentialgeschwindigkeit muß ebenso bei der Ermittlung der kritischen Machzahl Ma nach der in dieser Vorlesung verwendeten Definition berücksichtigt werden. Wir haben Ma als Anström-Machzahl definiert, bei der auf der Oberfläche einer Konfiguration lokal erstmals Schallgeschwindigkeit erreicht wird. Die lokale Machzahl berechnet sich aus der lokalen Gesamtgeschwindigkeit, die wiederum aus der vektoriellen Überlagerung von U (= U n + U t ) mit den Störgeschwindigkeiten resultiert. Bei dieser Definition gilt stets Ma <, da ein Flügel mit endlicher Dicke oder Anstellung stets Übergeschwindigkeiten hervorruft. Es sei angemerkt, daß in einigen Lehrbüchern (z.b. in [42]) die kritische Machzahl beim schiebenden Flügel auf der Basis der resultierenden Normal geschwindigkeit definiert wird. Die kritische Mach-Zahl Ma wird dabei als Anström-Mach-Zahl definiert, bei der die maximale

59 8.2 Prinzip der Unabhängigkeit 82 Mach-Zahl im Normalschnitt Ma nmax Schallgeschwindigkeit erreicht. Hintergrund für diese alternative Definition ist, daß Ma nmax für das erste Auftreten von Verdichtungsstössen relevant ist, die für Ma nmax > zu erwarten sind. Diese alternative Definition führt zu kritischen Machzahlen die je nach Pfeilwinkel erheblich über Eins liegen können. Die beiden Definitionen lassen sich wie folgt zusammenfassen: Ma : Ma max =, Ma <, hier verwendete Definition Ma : Ma nmax =, Ma u.u. >, relevant für das Auftreten von Verdichtungsstössen Zusammenfassung und Gültigkeitsgrenzen des Prinzips der Unabhängigkeit Wie oben näher erläutert, besagt das Prinzip der Unabhängigkeit, daß sich unter bestimmten Voraussetzungen die Grundgleichungen zur Berechung der Strömung im Normalschnitt von der Umströmung in tangetialer Richtung entkoppeln, d.h. separat berechnen lassen. Die resultierende Druckverteilung ist dabei lediglich von den Verhältnissen im Normalschnitt abhängig. Es lässt sich damit sagen, dass die Umströmung des Normalschnittes eines unendlich gestreckten Pfeilflügels mit Ma n, α n relevant ist für... den Charakter der Umströmung (subsonischer, supersonischer Charakter) die Auswahl des Berechnungsverfahrens die vom Flügel hervorgerufenen Störgeschwindigkeiten die Druckverteilung das Auftreten von Verdichtungsstößen Die Tangentialgeschwindigkeit U t muß berücksichtigt werden... bei der Ermittlung der Stromlinien bei der Bestimmung der kritischen Machzahl nach der hier verwendeten Definition bei der Berechnung von Reibungseffekten Das Prinzip der Unabhängigkeit ist exakt gültig für: reibungsfreie Strömungen (Potentialgleichung, linearisierte Potentialgleichung, Euler- Gleichung) laminare, inkompressible Strömungen (inkompressible Navier-Stokes-Gleichung) die Ausbildung der Grenzschicht entsprechend den Prandtlschen Grenzschicht- Gleichungen Dies soll anhand von CFD Berechnungen [34] veranschaulicht werden. Abb. 8.7 zeigt die mit Hilfe des Strömungslösers FLOWer berechneten Verteilungen des Druckbeiwertes im Normalschnitt c pn eines transsonisch, aber reibungsfrei umströmten Profils bei verschiedenen Schiebewinkeln β. Es handelt sich also um numerische Lösungen der Euler-Gleichungen. Die Verhältnisse im Normalschnitt (Ma n, α n, Profilgeometrie) wurden jeweils konstant gehalten. Die Verteilungen für Schiebewinkel zwischen 0 und 45 sind deckungsgleich, was die Gültigkeit des Unabhängigkeitsprinzips belegt. Abb. 8.8 zeigt die mit demselben CFD-Löser berechneten Druckverteilungen für die inkompressible, laminare Umströmung eines nicht-angestellten NACA 002 Profils. Auch hier sind die Druckverteilungen bis hin zu Schiebewinkeln von β = 60 identisch, was zeigt, dass

60 8.2 Prinzip der Unabhängigkeit 83 das Prinzip der Unabhängigkeit auch für Lösungen der vollständigen laminaren Navier- Stokes-Gleichungen gültig ist. Neben den Druckverteilungen sind auch die Verteilungen des Wandschubspannungs-Koeffizienten im Normalschnitt c fn identisch [34]. Abb. 8.7: Druckverteilung im Normalschnitt eines schiebenden Profils bei transsonischer, reibungsfreier Umströmung, Schiebewinkel β = 0/5/30/45,Ma n = 0.7,α n = 2.5, entnommen aus [34] Abb. 8.8: Druckverteilung im Normalschnitt eines schiebenden Profils bei inkompressibler, laminarer Umströmung, Schiebewinkel β = 0/5/30/45/60, Ma n = 0, α n = 0, entnommen aus [34] Abb. 8.9: Druckverteilung im Normalschnitt eines schiebenden Profils bei inkompressibler, turbulenter Umströmung, Schiebewinkel β = 0/5/30/45/60, Ma n = 0, α n = 0, entnommen aus [34] Abb. 8.0: Druckverteilung im Normalschnitt eines schiebenden Profils bei transsonischer, turbulenter Umströmung, Schiebewinkel β = 0/5/30/45, Ma n = 0.7, α n = 2.5, entnommen aus [34] Bei turbulenten Strömungen ist das Unabhängigkeitsprinzip nicht mehr exakt gültig, da die Reynolds-Spannungen auch von den Geschwindigkeitsgradienten in Spannweitenrichtung

61 8.2 Prinzip der Unabhängigkeit 84 abhängen. Zumindest für Lösungen der Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (RANS-Gleichungen) wirkt sich dies jedoch kaum auf die resultierende Druckverteilung aus, wie Abb. 8.9 für einen inkompressiblen Fall zeigt. Bei höheren Anström-Mach-Zahlen schränkt zusätzlich die Temperatur-Abhängigkeit der Stoffgrößen die Gültigkeit des Unabhängigkeitsprinzips ein und der Schiebewinkel gewinnt zunehmend Einfluß auf die Druckverteilung im Normalschnitt, siehe Abb Für Schiebewinkel bis zu 30 ist der Einfluss jedoch mässig, so daß sich für typische Pfeilwinkel von Verkehrsflugzeugen mit Hilfe des Unabhängigkeitsprinzips gute Näherungslösungen gewinnen lassen. Abschließend sei betont, daß sämtliche in diesem Kapitel durchgeführten Überlegungen für einen vor gepfeilten Flügel in gleicher Weise wie für einen rück gepfeilten Flügel gelten, sofern der Flügel unendlich gestreckt ist.

62 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 8.3. Anströmverhältnisse am gepfeilten Flügel x β U = x U cos α 0 U sin α Abb. 8.: Zur Transformation des Anströmvektors beim gepfeilten Flügel β y β y Die geometrischen Verhältnisse am Tragflügel, wie Wölbung, Dicke, Profilkontur sowie Anstellwinkel werden in der Aerodynamik grundsätzlich in der xz-ebene des körperfesten Koordinatensystems definiert. Diese Ebene entspricht im vorliegenden Fall der Schnittebene, die den Anströmvektor U enthält. Zur Berechnung der Umströmung des schiebenden Flügels unter Anwendung von Profiltheorien werden die Verhältnisse in Schnittebenen senkrecht zur Vorderkante benötigt. Es sollen daher zunächst die geometrischen Verhältnisse in beiden Schnittebenen gegenübergestellt und exakte Umrechnungsformeln angegeben werden. Dabei spielt zunächst keine Rolle, ob der Pfeilflügel durch Scherung oder durch Drehung um die Hochachse generiert wurde. Wir betrachten einen gepfeilten Flügel, dessen Sehne in der xy-ebene liegt und der unter dem Anstellwinkel α (=α ) angeströmt wird, siehe Abb. 8.. Der Anströmvektor ist im xyz-system gegeben als: U cosα U = 0 U sinα (8.) Die Komponenten des Anströmvektors U β in einem um den Winkel β in mathematisch negativer Richtung um die z-achse gedrehten Koordinatensystem ergeben sich daraus durch folgende Koordinatentransformation: cos( β) sin( β) 0 U cosα U cosα cosβ U β = sin( β) cos( β) 0 0 = U cosα sinβ (8.2) 0 0 U sinα U sinα Die erste Komponente von U β stellt die Anströmgeschwindigkeit in x β -Richtung dar, die zweitekomponenterepräsentiertdiegeschwindigkeitiny β -RichtungunddiedritteKomponente gibt die Geschwindigkeit normal zur Flügelebene (in z β -Richtung) an. In Abb. 8.2 sind die Anströmverhältnisse am gepfeilten Flügel für die Draufsicht sowie für einen Schnitt A A in der xz-ebene und für einen Normalschnitt B B veranschaulicht. Für die Berechnung der Umströmung sind die Verhältnisse im Normalschnitt relevant. Nach

63 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 86 β U cosα cosβ β U cosα Profilschnitt A A t U cosα sinβ B A U α U cosα U sinα d t cosβ β t Normalschnitt B B B A t cosβ U n α n U sinα U cosα cosβ d Abb. 8.2: Exakte Anströmverhältnisse am gepfeilten Flügel Abb. 8.2 ergeben sich die entsprechenden mit n indizierten Größen zu: U n = (U sinα) 2 +(U cosαcosβ) 2 = U cos 2 α ( +sin 2 β ) U n = U cos 2 αsin 2 β (8.3) bzw. Ma n = Ma cos 2 αsin 2 β (8.4) α n = arctan U sinα U cosαcosβ δ n = d tcosβ = δ cosβ = arctan tanα cosβ (8.5) (8.6) Diese Formeln beschreiben die Anströmverhältnisse exakt und sind auch für große Anstellwinkel gültig. Setzen wir, wie im Rahmen der linearisierten Theorie üblich, kleine Anstellwinkel voraus, so gilt: cosα, tanα α, tanα n α n (8.7)

64 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 87 Damit folgt für die Anströmverhältnisse näherungsweise: U n U cosβ (8.8) bzw. Ma n Ma cosβ (8.9) α n α cosβ δ n = δ cosβ Diese Gleichungen sind für die nachfolgenden Berechnungen hinreichend genau. (8.0) (8.) Mit Hilfe der Gleichungen (8.3) bis (8.6) bzw. (8.8) bis (8.) können die geometrischen Parameter sowie die Anströmverhältnisse eines Pfeilflügels von der Ebene der Anströmung (Profilschnitt) in die Verhältnisse im Normalschnitt umgerechnet werden und umgekehrt. Es spielt dabei keine Rolle ob der Pfeilflügel durch Schwenken oder durch Scherung erzeugt wurde. Soll der gepfeilte Flügel allerdings mit einem ungepfeilten Ausgangsflügel verglichen werden, so ist zwischen einem schiebenden und einem gescherten Flügel zu unterscheiden. Bei einer Variation des Pfeilwinkels β bleibt beim schiebenden Flügel δ n konstant, während beim gescherten Flügel δ konstant ist, vgl. Kap. 8.. Hinsichtlich des Anstellwinkels eines schiebenden Flügels ist zudem die Orientierung der Drehachse, um die der Ausgangsflügel geschwenkt wird, von Bedeutung. Wird als Schwenkachse die z-achse gewählt, so hängt α(β) bzw. α n (β) von der Lage der Flügelsehne sowie des Anströmvektors relativ zum gewählten Koordinatensystem ab. Im Rahmen der Aerodynamik I Vorlesung haben wir zwei verschiedene Koordinatensysteme unterschieden. Im ersten Fall war die Flügelsehne parallel zur x-achse und die Anstellung wurde durch eine Drehung des Anströmvektors um α = α hervorgerufen. Im zweiten Fall war U parallel zur x-achse orientiert und die Sehne war relativ zur x-achse angestellt. Solange der Flügel in der xy-ebene liegt und die Anstellung durch eine z-komponente von U hervorgerufen wird ist sowohl beim schiebenden als auch beim gescherten Flügel α bei einer Variation von β konstant. Liegt demgegenüber U in der xy-ebene und die Anstellung wird über eine Anstellung des Flügels im xyz-system hervorgerufen, so ist beim schiebenden Flügel α n = konst. während beim gescherten Flügel α bei einer β-variation unverändert bleibt. Beim Vergleich eines gepfeilten Flügels mit einem ungepfeilten Ausgangsflügel sind daher vier Fälle zu unterscheiden: U parallel zur x-achse, gescherter Flügel: α(β) = konst., δ(β) = konst. U parallel zur x-achse, schiebender Flügel: α n (β) = konst., δ n (β)= konst. Sehne parallel zur x-achse, gescherter Flügel: α(β) = konst., δ(β) = konst. Sehne parallel zur x-achse, schiebender Flügel: α(β) = konst., δ n (β)= konst. Die Umrechnung zwischen α und α n bzw. δ und δ n kann mittels der Gleichungen (8.0) bzw. (8.) durchgeführt werden.

65 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung Vorgehen bei der Berechnung des Pfeilflügels und Umrechnung der Beiwerte Nach dem Prinzip der Unabhängigkeit sind unter den in Kap. 8.2 genannten Voraussetzungen lediglich die Verhältnisse im Normalschnitt für die Druckverteilung p relevant. Aus den vorgegebenen geometrischen Parametern des Flügels sind daher zunächst die Größen im Normalschnitt (Geometrie, Ma n, U n, α n ) zu ermitteln. Dazu sind gegebenenfalls die Umrechnungsformeln (8.8) bis (8.) zu verwenden. Da sich die Verhältnisse in Spannweitenrichtung nicht ändern liegt eine zweidimensionale Strömung vor und die Umströmung des Normalschnittes kann unter Verwendung zweidimensionaler Profiltheorien berechnet werden. Als Anströmbedingungen sind dabei Ma n, U n, α n zu verwenden. Je nachdem ob Ma n größer oder kleiner als Eins ist, sind supersonische bzw. subsonische Berechnungsverfahren heranzuziehen. Als Ergebnis erhält man die Verteilung der Störgeschwindigkeiten u n bzw. w n, die Verteilung des Druckes p bzw. des Druckbeiwertes c pn, den Auftriebsbeiwert c an oder den Beiwert des Wellenwiderstandes c wwn für die äquivalente zweidimensionale Strömung. Es stellt sich nun die Frage wie aus diesen, auf die Normalgeschwindigkeit U n sowie den zugehörigen Normalstaudruck q n = ρ 2 U2 n bezogenen Ergebnissen, die Beiwerte c p, c a und c ww fürdenschiebendenflügelzuermittelnsind.zunächstsolldiedruckverteilungc p betrachtet werden. Bestimmung der Verteilung des Druckbeiwertes c p aus der äquivalenten zweidimensionalen Umströmung des Normalschnittes Der lokale Druck p sowie p und ρ sind skalare Größen die sich beim Übergang vom Normalschnitt zum Profilschnitt im Gegensatz zu den Bezugsgeschwindigkeiten U n bzw. U nicht ändern. Die Berechnung der Umströmung des Normalschnittes liefert einen Druckbeiwert der auf U n bezogen ist: c pn = p p ρ 2 U 2 n (8.2) U n β U t U Bei der in der Aerodynamik üblicherweise betrachteten Beiwertverteilung c p wird dagegen U als Bezugsgröße verwendet: c p = p p ρ 2 U 2 (8.3) A β Aus Gl. (8.2) und (8.3) folgt unter Verwendung von Gl. (8.8) damit folgende Umrechnung: U n β c p = c pn U2 n U 2 = c pn cos 2 β (8.4) u n U Abb. 8.3: Beziehung der Störgeschwindigkeiten am gepfeilten Flügel u Diese Umrechnungsformel lässt sich unter Verwendung der linearisierten Theorie noch auf eine andere Weise ableiten. Der linearisierte Druckbeiwert berechnet sich zu (Gl. (3.44)): c p = 2u U (8.5)

66 t t 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 89 Hierin stellt u die Störgeschwindigkeit in Richtung der Anströmung U, hier also in Richtung der x-achse dar, vgl. Abb Wie bereits festgestellt wurde ruft die Umströmung des Flügels mit der Tangentialgeschwindigkeit U t keinerlei Störungen hervor. Die für den Druckbeiwert c p relevante Störgeschwindigkeit u resultiert daher ausschließlich aus der Störgeschwindigkeit im Normalschnitt u n und ergibt sich aus dieser als Komponente in Richtung U. Mit Abb. 8.3 folgt: u = u n cosβ (8.6) Für den Druckbeiwert ergibt sich damit unter Verwendung der Gleichungen (8.4), (8.5) und (8.8): c p = 2u U = 2u ncosβ U = 2u ncosβ U n cosβ = 2u n U n cos 2 β c p = c pn cos 2 β (8.7) Es sei nochmals betont, daß in dieser Gleichung c pn einen Druckbeiwert angibt, den die zweidimensionale Profiltheorie für die Verhältnisse im Normalschnitt bezogen auf den Normalstaudruck q n = ρ 2 U2 n liefert. Der Wert c pn ist nicht der Druckbeiwert im Normalschnitt des gepfeilten Flügels. Der für den Flügel relevante Druckbeiwert c p ist stets auf q = ρ 2 U2 bezogen und ergibt sich aus c pn durch Multiplikation mit cos 2 β. Der Druckbeiwert c p ist im Normalschnitt und im Profilschnitt der Anströmrichtung an korrespondierenden Punkten identisch. Ermittlung des Auftriebsbeiwertes und des Auftriebsgradienten β F U U t A A=A n Ww n Ww β t cosβ b/cosβ b n U t cosβ Abb. 8.4: Zur Ermittlung des Auftriebsbeiwertes sowie des Beiwertes des Druckwiderstandes am schiebenden Flügel A F n Der Auftriebsbeiwert c a sowie der Beiwert des Wellenwiderstandesc ww lassensichnunprinzipiell durch eine Integration der c p -Verteilung im Profilschnitt A A (xz-ebene) berechnen. Die Beiwerte können jedoch auch direkt aus den Ergebnissen c an bzw. c ww der Profilberechnung ermittelt werden. Der Auftriebsbeiwert c an ist definitionsgemäß bezogen auf die Geschwindigkeit U n bzw. die Fläche F n im Normalschnitt, vgl. Abb. 8.4: c an = = A n ρ 2 U 2 n F n = A n ρ 2 U 2 n t b A n ρ 2 U 2 n tcosβ b cosβ (8.8) Der Auftriebsbeiwert in einem Profilschnitt A A des Flügels wird demgegenüber auf die Anströmgeschwindigkeit U und die Fläche F bezogen: c a = A ρ 2 U 2 F = A ρ 2 U 2 t b (8.9) Wie oben gesehen, hat die Umströmung des Flügels mit der Tangentialgeschwindigkeit U t

67 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 90 keinen Einfluß auf die Druckverteilung des schiebenden Flügels und beeinflußt somit auch nicht die Druckkräfte. Der auf die Fläche F n wirkende dimensionsbehaftete Auftrieb A n, resultierend aus der Profilberechnung, muß daher dem Auftrieb A des Flügels auf die korrespondierende Fläche F entsprechen. Unter Verwendung der Näherungsbeziehung (8.8) folgt damit aus (8.9) und (8.8): c a = = A ρ 2 U 2 t b = A n ρ 2 U 2 n t b cos2 β A n ρ 2 U 2 t b c a = c an cos 2 β (8.20) Dieser Beiwert c a entspricht dem Auftriebsbeiwert des Flügels c A. Der Auftriebsgradient für den gepfeilten Flügel berechnet sich zu: dc a dα = dc a dc a n dc an dα = dc a dc a n dα n dc an dα n dα (8.2) Mit Gleichung (8.20) folgt und Gleichung (8.0) liefert dc a dc an = cos 2 β (8.22) dα n dα = cosβ so daß sich für den Auftriebsgradient schließlich ergibt: dc a dα = cos2 β dc a n dα n cosβ (8.23) dc a dα = dc a n dα n cosβ (8.24) Ermittlung des Beiwertes des Wellenwiderstandes Auf analoge Weise wie der Auftriebsbeiwert läßt sich der Beiwert des Druckwiderstandes c wwn auf die Bezugsgrößen U und F umrechnen. Hierbei ist jedoch zu beachten, daß Druckkräfte beim zylindrischen Körper in der Ebene des Normalschnittes wirken. Die Widerstandskraft W Wn ist daher senkrecht zur Vorderkante orientiert. Der Widerstand eines Körpers ist allerdings stets als Kraftkomponente in Anströmrichtung U definiert. Gemäß Abb. 8.4 gilt für diesen Anteil W W = W Wn cosβ und es folgt für den Beiwert des Wellenwiderstandes schließlich 3 : c ww = c wwn cos 3 β (8.27) 3 Anm.: Werden zur Umrechnung der Anströmgeschwindigkeiten U n U die exakten Beziehungen (8.3) bis (8.6) verwendet, so resultiert für die Beiwerte: ( ) 2 U n ( c a = c an = c an cos 2 αsin 2 β ) (8.25) U ( ) 2 U n c ww = c wwn cosβ = c cosβ( wwn cos 2 αsin 2 β ) (8.26) U

68 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 9 Vorgehen bei Nachrechnung und Entwurf Mit den Gleichungen (8.7), (8.20), (8.24) und (8.27) wurden Beziehungen bereitgestellt zur Ermittlung von c p, c a, dca dα bzw. c w W des gepfeilten Flügels basierend auf Berechnungsergebnissen für ein mit U n, α n angeströmtes Profil. Insgesamt beinhaltet die Berechnung eines unendlich gestreckten, zylindrischen Pfeilflügels damit folgende Schritte: Ermittlung der Verhältnisse im Normalschnitt (Geometrie, U n, Ma n, α n ) Auswahl des 2D Berechnungsverfahrens enstprechend Ma n 2D Berechnung der Beiwerte c pn, c an, dcan dα n, c wwn im Normalschnitt Umrechnung der Beiwerte auf c p, c a, dca dα, c w W Diese Vorgehensweise gilt für die Nachrechnung eines vorgegebenen Pfeilflügels. Für den Entwurfsprozess lassen sich die Überlegungen entsprechend übertragen. Soll beispielsweise ein Profil für einen Pfeilflügel entworfen werden, so muß die Auslegung korrekterweise auch im Normalschnitt erfolgen. D.h. die aus den Auslegungsanforderungen des Flügels bekannten Größen c a, Ma sowie eventuelle geometrische Vorgaben, wie relative Profildicke δ, müssen zunächst in den Normalschnitt umgerechnet werden. Der Profilentwurf erfolgt dann für die transformierten Größen c an, Ma n, δ n,... Im Hinblick auf die transsonischen Eigenschaften wirkt sich dabei die proportional cosβ kleinere effektive Anström-Mach-Zahl Ma n positiv aus, d.h. die Gefahr von widerstandserhöhenden Verdichtungsstössen ist reduziert. Auf der anderen Seite steigt der für die Auslegung im Normalschnitt relvante Auftriebsbeiwert c an proportional und die relative cos 2 β Profildicke proportional cosβ an. Dies erhöht die Übergeschwindigkeit und damit die maximale lokale Mach-Zahl und begünstigt daher das Auftreten von Verdichtungsstössen. Allerdings dominiert die Reduktion der effektiven Anström-Mach-Zahl, so daß der Pfeilflügel, wie später noch gezeigt wird, Vorteile im transsonischen Geschwindigkeitsbereich aufweist und eine höhere Flug-Mach-Zahl ermöglicht. In den nachfolgenden Abschnitten sollen basierend auf diesen Überlegungen die aerodynamischen Eigenschaften des Pfeilflügels diskutiert und dem ungepfeilten Flügel gegenübergestellt werden Auftrieb der schiebenden Platte Betrachtet wird eine schiebende Platte mit unendlicher Spannweite, die in der Ebene der Anströmrichtung mit dem Winkel α angestellt ist und mit Ma angeströmt wird. Es soll der Auftriebsgradient dca dα in Abhängigkeit von Ma ermittelt werden. Im Normalschnitt ergibt sich nach Gl. (8.0) bzw. (8.9): α n = α cosβ bzw. Ma n = Ma cosβ (8.28) Für Ma n < weist die Umströmung des Normalschnittes subsonischen Charakter auf und unter Anwendung der. Prandtl-Glauert-Transformation 4 ergibt sich für den Auftriebsbei- 4 In Kap. 4 wurde festgestellt, daß zur Berechnung der kompressiblen Umströmung dreidimensionaler Körper grundsätzlich die exakte Göthertsche Ähnlichkeitsregel zu verwenden ist. Beim zylindrischen Pfeilflügel mit unendlicher Streckung ist allerdings die vereinfachte Prandtl-Glauert-Regel hinreichend, da die Strömungsanalyse ohne weitere Vernachlässigung auf die Berechnung einer 2D Profilumströmung zurückgeführt werden kann. Im Hinblick auf die resultierenden Geschwindigkeiten (Gl. (8.44)) liefern beide Ähnlichkeitsregeln identische Ergebnisse.

69 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 92 wert (vgl. Gl. (4.47)): c an = 2πα n Ma 2 n (Ma n < ) (8.29) Ist Ma n > liegt ein supersonischer Charakter vor und es gilt (vgl. Gl. (4.49)): c an = 4α n Ma 2 n (Ma n > ) (8.30) Der zugehörige Auftriebsbeiwert der schiebenden Platte berechnet sich nach Gl. (8.20) zu: c a = c an cos 2 β (8.3) Einsetzen der Gleichungen (8.28), (8.29) und (8.30) liefert schließlich: c a = 2πα n Ma 2 n cos 2 β = 2παcosβ (Ma n < ) (8.32) (Ma cosβ) 2 bzw. c a = 4α n Ma n cos2 β = 4αcosβ (Ma cosβ) 2 (Ma n > ) (8.33) Für den Auftriebsgradienten bezogen auf den Anstellwinkel α folgt hieraus: dc a dα = 2πcosβ (Ma n < ) (8.34) (Ma cosβ) 2 bzw. dc a dα = 4cosβ (Ma cosβ) 2 (Ma n > ) (8.35) dc a / dα Der Auftriebsgradient nach Gl. (8.34) bzw. (8.35) ist für die beiden Schiebewinkel β = 0 und β = 60 in Abb. 8.5 über der Machzahl Ma aufgetragen. Das für die lineare Theorie typische singuläre Verhalten tritt bei Anström-Machzahlen auf, bei denen die Normal-Machzahl Ma n gerade Eins ist. Bei einem Pfeilwinkel von β = 60 ist dies bei Ma = 2 der Fall. Es ist deutlich zu erkennen, daß bei subsonischen Anströmgeschwindigkeiten Ma < 2 β = 0 o die Pfeilung den Auftriebsgradienten im- β = 60 o mer reduziert. Ist die Normal-Machzahl Ma n = Ma cosβ > (im vorl. Beispiel Ma Ma > 2) ) resultiert demgegenüber stets eine Auftriebserhöhung! Für den dazwischen liegenden Machzahlbereich liegt beim gepfeilten Abb. 8.5: Auftriebsgradient der schiebenden Platte in Abhängigkeit von der Anström- Machzahl und beim ungepfeilten Flügel unterschiedlicher Strömungscharakter vor und die Auswirkungen auf den Auftrieb hängen von Ma und β ab. Der auftriebsmindernde bzw. -erhöhende Einfluß

70 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung Ma =.5 Ma = 2 Ma = 4 Ma = 8 dc a /dα 6 dc a /dα Ma = 0 Ma = 0.2 Ma = 0.4 Ma = 0.6 Ma = β [ o ] Abb. 8.6: Auftriebsgradient der schiebenden Platte in Abhängigkeit vom Schiebewinkel mit der Machzahl als Parameter, Ma < β [ o ] Abb. 8.7: Auftriebsgradient der schiebenden Platte in Abhängigkeit vom Schiebewinkel mit der Machzahl als Parameter, Ma > der Pfeilung ist in den Abbildungen 8.6 und 8.7 verdeutlicht, in denen der Auftriebsgradient für verschiedene Anström-Machzahlen über dem Pfeilwinkel aufgetragen ist. Formelmäßig folgt aus(8.34) bzw.(8.35) für das Verhältnis der Auftriebsanstiege von schiebender und nicht schiebender Platte: dc a dα Ma, β 0 Ma 2 = cosβ < (Ma < ) (8.36) (Ma cosβ) 2 bzw. dc a dα dc a dα dc a dα Ma, β=0 Ma, β 0 Ma, β=0 Ma 2 = cosβ > (Ma n > ) (8.37) (Ma cosβ) 2 Gl. (8.36) zeigt, daß für den Grenzfall der inkompressiblen Umströmung Ma = 0 der Auftriebsgradient proportional zum Kosinus des Pfeilwinkels abnimmt: dc a dα Ma =0, β 0 = cos β (8.38) dc a dα Ma =0, β=0 Dieses Ergebnis wurde bereits bei der Berechnung der inkompressiblen Umströmung eines Pfeilflügels endlicher Streckung mit dem Weissinger-Verfahren diskutiert, siehe Kap Für sehr große Machzahlen nähern sich die Auftriebsgradienten, unabhängig vom Pfeilwinkel, aneinander an, siehe auch Abb. 8.7: dc a dα Ma, β 0 = (8.39) dc a dα Ma, β=0

71 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 94 d ca / d αn Ma Abb. 8.8: Gemessener und berechneter Auftriebsgradient eines schiebenden Profils in Abhängigkeit von der Anström- Machzahl, Experimente Busemann (943), entnommen aus [2] Abb. 8.8 zeigt die Variation des gemessenen Auftriebsgradienten über der Machzahl für das in Abb. 8.4 dargestellte Profil R 4009 (gestrichelte Linien) bei verschiedenen Schiebewinkeln im Vergleich zu den obigen Berechnungsergebnissen für die ebene Platte (durchgezogene Linien). Zu beachten ist, daß in dieser Auftragung der Auftriebsgradient im Gegensatz zu den vorigen Abbildungen auf den Anstellwinkel α n bezogen wurde. Für den Auftriebsgradienten des inkompressiblen Vergleichsfalles dc a dα Ma =0, β=0 Einsetzen transsonischer Effekte hin, vgl. Kap sowie 8.4. wurde allerdings nicht der Wert 2π vorgegeben. Vielmehr wurde ein kleinerer Wert angesetzt, so daß sich eine bessere Übereinstimmung mit dem Niveau der Meßwerte ergab. Durch diese Korrektur sollte nach Ref. [2] näherungsweise der Einfluß der Verdrängungswirkung der Grenzschicht sowie der Einfluß der Kanalwände auf die experimentellen Ergebnisse kompensiert werden. Die theoretischen Kurven zeigen tendenziell eine gute Übereinstimmung mit den Meßergebnissen. Das Abknicken der experimentell ermittelten Kurven bei hohen Machzahlen weist auf das Einfluß der Pfeilung auf die kritische Machzahl Nachfolgend soll der Einfluß des Pfeilwinkels β auf die kritische Machzahl Ma untersucht werden. Wie in Abschnitt 8. betont wollen wir Ma als Anström-Machzahl definieren, bei der die maximale Gesamtgeschwindigkeit auf der Körperoberfläche gerade der Schallgeschwindigkeit entspricht. Es wird für den betrachteten Körper somit zunächst die maximale lokale Geschwindigkeit in Abhängigkeit von Ma, β, zu ermitteln sein. Dazu werden die Verhältnisse im Normalschnitt betrachtet, die maximale Geschwindigkeit U nmax berechnet und anschließend mit der Tangentialgeschwindigkeit U t überlagert. Exemplarisch sei hier ein nicht angestellter Flügel mit Ellipsenprofil untersucht, da für dieses Profil einfache analytische Beziehungen zur Ermittlung der Geschwindigkeitsverteilung existieren. Nach Gl. (7.33) des SL I Skriptes resultiert für die maximale Störgeschwindigkeit des inkompressibel umströmten Ellipsenprofils: u nmax ik = U n δ nik (8.40) Unter Verwendung der. Prandtl-Glauertschen-Regel folgt daraus für die Störgeschwindigkeit bei kompressibler Umströmung: u nmax = U n Ma 2 n δ n (8.4) Die maximale Störgeschwindigkeit tritt im Dickenmaximum auf. An diesem Punkt ist die Tangente an die Ellipsenkontur horizontal. Somit ist u nmax in Richtung von U n orientiert. Für die

72 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 95 maximale Normalgeschwindigkeit ergibt sich daher: U nmax = U n +u nmax = U n (+ ) δ n Ma 2 n (8.42) Die vektorielle Überlagerung mit U t liefert schließlich den Betrag der Maximalgeschwindigkeit am gepfeilten Flügel: ( ) 2 U max = Un 2 max +U 2 t = δ U 2 n n + +U Ma 2 2 t (8.43) n Unter Anwendung der Gleichungen (8.8) und (8.) erhält man schließlich die Maximalgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Größen Ma bzw. δ: 2 U max δ = cosβ + +sin 2 β (8.44) U (Ma cosβ) 2 Wird ein gescherter Körper mit Ellipsenprofil bei variierendem Pfeilwinkel β betrachtet, so muß δ konstant gehalten werden und Gl. (8.44) liefert die normierte Maximalgeschwindigkeit. Soll demgegenüber ein schiebender Körper untersucht werden, so ist in Gl. (8.44) δ wieder durch δ n cosβ zu ersetzen und δ n = konst. zu halten. U max / U β=0 o β=30 o β=60 o δ = Ma Abb. 8.9: Maximalgeschwindigkeit am nicht angestellten gescherten Ellipsenprofil in Abhängigkeit von der Anström- Machzahl mit dem Pfeilwinkel als Parameter, δ = 0. = konst. In Abb. 8.9 ist die Maximalgeschwindigkeit eines gescherten Ellipsenprofils für verschiedene Pfeilwinkel über der Anström-Machzahl aufgetragen. Es wird deutlich, daß die Übergeschwindigkeit trotz konstant gehaltener relativer Profildicke δ in der Ebene der Anströmrichtung mit zunehmender Pfeilung abnimmt! Darüberhinaus verschiebt sich die Anström-Machzahl bei der nach der linearen Theorie singuläres Verhalten auftritt, zu höheren Werten hin (vgl. auch Abb. 8.5). Zur Bestimmung der kritischen Machzahl könnte man beispielsweise den minimalen Druckbeiwert c pmin in linearisierter Näherung aus der maximalen Störgeschwindigkeit u max ermitteln und mit dem kritischen Druckbeiwert c p(ma, κ) nach Gl. (4.56) vergleichen, siehe Kap Ohne Umweg über den Druckbeiwert läßt sich Ma unter Ansetzen der Isentropenbeziehungen für den Punkt maximaler Geschwindigkeit und den Anströmzus-

73 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 96 tand berechnen. Wie im Skript Strömungslehre I/II abgeleitet gilt: Ma = Ma max = κ p 0 U 2 ρ 0 κ 2 κ p 0 Umax 2 ρ 0 κ 2 (8.45) (8.46) Liegt der kritische Anströmzustand vor, so gilt Ma max = und es folgt aus Gl. (8.46): = κ p 0 ρ 0 = U 2 max κ p 0 Umax 2 ρ 0 κ 2 ( + κ 2 ) (8.47) Einsetzen der Gleichungen (8.47) und (8.44) in (8.45) liefert die Bestimmungsgleichung für die kritische Machzahl: Ma = Ma (Ma max = ) = U 2 max U 2 ( ) + κ 2 κ 2 Ma = ( [ δ cosβ + (Ma cosβ)2 ) ] 2 (+ +sin 2 ) κ β 2 κ 2 (8.48) Diese Gleichung kann für vorgegebene Werte von β und δ iterativ gelöst werden. Abb zeigtdenresultierendenverlaufvonma inabhängigkeitdespfeilwinkelsfürverschiedeneprofildicken δ = konst., also für den gescherten Körper. Generell nimmt Ma bei zunehmendem δ erwartungsgemäß ab, vgl. Kap Bei festgehaltenem δ nimmt Ma mit größer werdender Pfeilung β stets zu - und dies obwohl die relevante Dicke im Normalschnitt δ n = δ cosβ mit der u Pfeilung ansteigt! Die Erhöhung der relativen Übergeschwindigkeit n U n infolge größerer ProfildickewirdalsodurchdieAbnahmevonU n undma n überkompensiert.dieabbildungzeigt weiter, daß bei steigendem Pfeilwinkel der Einfluß der Profildicke auf die kritische Machzahl abnimmt. Wird ein schiebender Körper betrachtet, so vergrößert sich δ n mit zunehmendem Pfeilwinkel nicht, sondern bleibt definitionsgemäß konstant. Entsprechend ist der positive Einfluß der Pfeilung auf Ma stärker ausgeprägt als beim schiebenden Körper, siehe Abb Der diskutierte Pfeilungseffekt kann näherungsweise auf die auftriebsfreie Umströmung eines Tragflügels vergleichbarer Profildicke übertragen werden. Es sei darüberhinaus auf Abb. 8.8 hingewiesen, wo ein späteres Einsetzen transsonischer Effekte beim Auftriebsgradienten gepfeilter Flügel deutlich wird. Die Verschiebungen liegen in ähnlicher Größenordnung wie die Erhöhung der kritischen Machzahl nach Abb. 8.2.

74 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung Ma * Ma * 0.8 δ = 0.05 δ = 0.0 δ = 0.5 δ = δ n = 0.05 δ n = 0.0 δ n = 0.5 δ n = β [ o ] Abb. 8.20: Kritische Machzahl Ma des nicht angestellten gescherten Ellipsenprofils für verschiedene relative Profildicken δ = konst., κ = β [ o ] Abb. 8.2: Kritische Machzahl Ma des nicht angestellten schiebenden Ellipsenprofils für verschiedene relative Profildicken δ n = konst., κ = Einfluß der Pfeilung auf den transsonischen Widerstandsanstieg Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, daß Pfeilung die kritische Machzahl nach der hier verwendeten Definition Ma erhöht, aber den Wert Ma = nicht übersteigen kann. Die kritische Machzahl nach der in Kap. 8.2 diskutierten, alternativen Definition Ma steigt damit erst recht mit zunehmender Pfeilung an und kann Werte grösser als Eins annehmen. Wie in Kap. 8.2 diskutiert ist Ma für das erste Auftreten von Verdichtungsstößen relevant. Es ist daher plausibel, daß Pfeilung das Auftreten von Verdichtungsstößen zu höheren Anström-Machzahlen Ma verschiebt. Entsprechend wird der c w -Anstieg infolge Wellenwiderstand (transsonischer drag rise ) erst bei höheren Machzahlen erfolgen. c w NACA 002 α = 0 β=0 β=20 β= Ma Abb. 8.22: Einfluß der Pfeilung auf ein schiebendes NACA 002 Profil, α = 0, Euler-Lösung Bereich bei Pfeilung ab, vgl. auch Abb Dies ist in Abb anhand einer CFD-Rechnung für ein schiebendes NACA 002 Profil bei α = 0 veranschaulicht. Die Abbildung zeigt das Ergebnis für eine reibungsfreie Strömung (Lösung der Euler-Gleichungen). Der Widerstandsbeiwert c w ist hier für verschiedene Schiebewinkel über der Anström-Machzahl Ma aufgetragen. Es ist mit zunehmendem Schiebewinkel β eine merkliche Verschiebung des transsonischen Widerstandsanstieges zu höheren Machzahlen erkennbar. Zudem sinkt der maximale Widerstandsbeiwert im transsonischen

75 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung Einfluß der Pfeilung auf den Wellenwiderstand und die aerodynamische Güte bei supersonischer Umströmung Nun soll der Einfluß der Pfeilung auf die aerodynamische Güte c a /c w für den Fall einer reibungsfreien Überschallumströmung mit Ma n > untersucht werden. Für Ma n > resultiert bei einem Profil endlicher Dicke auch bei verschwindendem Auftrieb ein kompressibilitätsbedingter Wellenwiderstand, der für den Normalschnitt nach der in Kap. 6 behandelten linearisierten Theorie ermittelt werden kann. Exemplarisch sei ein gepfeilter Flügel mit einem Doppelkeilprofil betrachtet. Die Sehne liegt in der xy-ebene. Wie in Kap. 6 abgeleitet ist der Beiwert des Wellenwiderstandes c ww für ein symmetrisches Doppelkeilprofil der relativen Dicke δ n und dem Dickenmaximum bei t n /2: c wwn = 4 Ma 2 n ( α 2 n +δ 2 n) (8.49) Nach den Gleichungen (8.9), (8.0), (8.) und (8.27) gilt: Ma n = Ma cosβ, α n = α cosβ, δ n = δ cosβ, c w W = c wwn cos 3 β (8.50) c a / c ww 3 c a / c ww β = 0 o β = 30 o β = 45 o β = 0 o β = 30 o β = 60 o δ = 0., Ma = 2.0 δ = 0., Ma = c a c a Abb. 8.23: Aerodynamische Güte des gescherten Doppelkeilprofils bei reibungsfreier supersonischer Umströmung Ma n >.0, δ = 0. = konst., Ma = 2.0 Abb. 8.24: Aerodynamische Güte des gescherten Doppelkeilprofils bei reibungsfreier supersonischer Umströmung Ma n >.0, δ = 0. = konst., Ma = 4.0 Für den Wellenwiderstandsbeiwert des gepfeilten Flügels folgt damit aus (8.49): c ww = 4cosβ ( α 2 +δ 2) (8.5) (Ma cosβ) 2 Da bei supersonischer Umströmung der Auftriebsbeiwert nach der linearisierten Theorie lediglich vom Anstellwinkel abhängt kann die für die angestellte Platte abgeleitete Gl.(8.33) herangezogen werden: 4αcosβ c a = (8.52) (Ma cosβ) 2

76 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 99 Für die aerodynamische Güte bei reibungsfreier Umströmung ergibt sich damit: c a c ww = α α 2 +δ 2 (8.53) In den Abbildungen 8.23 und 8.24 ist der Verlauf von ca c ww über dem Auftriebsbeiwert für zwei verschiedene Machzahlen aufgetragen. Es zeigt sich, daß bei der reibungsfreien Umströmung eines gescherten Flügels (δ = konst.) die Pfeilung lediglich eine gewisse Verschiebung, jedoch c keine Erhöhung der maximalen aerodynamischen Güte a max c ww zur Folge hat. Durch die Verschiebung resultieren Vorteile bei höheren Auftriebsbeiwerten c a / c ww 6 c a / c ww β = 0 o β = 30 o β = 45 o 2 β = 0 o β = 30 o β = 60 o δ n = 0., Ma = 2.0 δ n = 0., Ma = c a c a Abb. 8.25: Aerodynamische Güte des schiebenden Doppelkeilprofils bei reibungsfreier supersonischer Umströmung Ma n >.0, δ n = 0. = konst., Ma = 2.0 Abb. 8.26: Aerodynamische Güte des schiebenden Doppelkeilprofils bei reibungsfreier supersonischer Umströmung Ma n >.0, δ n = 0. = konst., Ma = 4.0 Wird demgegenüber das schiebende Doppelkeilprofil betrachtet, so muß in Gl. (8.53) δ durch δ n cosβ mit δ n = konst. ersetzt werden. Die resultierenden Verläufe von ca c ww sind für δ n = 0. in den Abbildungen 8.25 und 8.26 wiedergegeben. Für den schiebenden Flügel zeigen sich deutliche aerodynamische Vorteile. Zunehmende Pfeilung führt zu... einer Erhöhung der maximalen aerodynamischen Güte ca c ww max einer Reduktion des Auftriebsbeiwertes bei dem ca c ww max auftritt Dies läßt sich durch eine Extremwertanalyse von Gl. (8.53) quantifizieren. Es resultiert für die maximale aerodynamische Güte: c a = (8.54) 2δ n cosβ max c ww für den Anstellwinkel bei dem ca c ww max auftritt: α ( c a c ww max ) = δ n cosβ (8.55)

77 8.3 Berechnung des zylindrischen Pfeilflügels unendlicher Streckung 200 sowie für den zugehörigen Auftriebsbeiwert: ( ) c a c a = c ww max 4δ n cos 2 β (Ma cosβ) 2 (8.56)

78 8.4 Der Pfeilflügel endlicher Streckung Der Pfeilflügel endlicher Streckung Abb. 8.27: Berechnete Isobaren an einem Pfeilflügel endlicher Streckung bei transsonischer Umströmung, Ma = 0.75, entnommen aus [8] Durch dreidimensionale Einflüsse, insbesondere nahe der Flügelwurzel und im Bereich der Seitenkanten wird der Pfeilungseinfluß beim Flügel endlicher Streckung weniger stark ausgeprägt sein als beim unendlich gestreckten Flügel. Dies läßt sich anhand von Abb erklären. Dargestellt sind die berechneten Isobaren für einen Pfeilflügel bei transsonischer Umströmung. Es wird deutlich, daß die Isobaren im Bereich der Flügelwurzel nicht mehr parallel zu Vorder- bzw. Hinterkante verlaufen. Grob vereinfacht kann man sich vorstellen, daß für die äquivalente zweidimensionale Strömung ein Schnitt normal zu den Isobaren relevant ist. Diese Profilschnitte weisen in der Nähe der Wurzel einen erheblich kleineren Pfeilwinkel als die Vorderkante auf. Die positiven Pfeilungseffekte werden nicht mehr voll zum Tragen kommen. Es ist zu erwarten, daß die Vorteile mit kleiner werdender Streckung abnehmen. 5 Dennoch zeigen sich auch beim Flügel endlicher Streckung merkliche Vorteile im schallnahen und supersonischen Bereich und bestätigen die in den Abschnitten 8. bis 8.3 diskutierten Phänomene. Nachfolgend sollen zunächst einige klassische Windkanalergebnisse für den schallnahen Bereich angegeben werden. Zur Berechnung von gepfeilten Flügeln endlicher Streckung bei supersonischer Umströmung werden in Kap. 9 zwei verschiedene Methoden bereitgestellt und Berechnungsergebnisse experimentellen Resultaten gegenübergestellt. Abb zeigt die Machzahl-Polare für einen ungepfeilten sowie für einen gepfeilten Flügel der Streckung Λ = 4. Es wird deutlich, daß der durch Verdichtungsstöße her- Abb. 8.28: Machzahl-Polare für einen ungepfeilten sowie einen gepfeilten Flügel der Streckung Λ = 4, δ n = 0.2, Experiment Polhamus, entnommen aus [42] zu merklich höheren Machzahlen hin vervorgerufene transsonische Widerstandsanstieg schoben ist. Dieser positive Effekt wird bei allen Flugzeugen genutzt, die bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten operieren und führt zu einer deutlichen Steigerung des maximalen Reichweitenparameters Ma ca cw. Als weiterer positiver Pfeilungseffekt wird der maximale Widerstandsbeiwert im Transschall erheblich reduziert. 5 Es sei angemerkt, daß sich die Minderung des Pfeilungseffektes durch eine Modifikation der Profilkontur und der Schränkung im Bereich der Flügelwurzel reduzieren läßt. Dieses Vorgehen wird im aerodynamischen Entwurf als Gerade-Isobaren-Konzept bezeichnet.

79 8.4 Der Pfeilflügel endlicher Streckung 202 Abb. 8.29: Einfluß der Pfeilung auf den Widerstand eines Flügels endlicherstreckung,δ n = 0.2,ExperimentLudwieg, entnommen aus [45] Versuchsergebnisse für eine ganz ähnliche Flügelgeometrie sind in Abb dargestellt. Diese Windkanalvermessungen wurden 939 von Ludwieg an der AVA Göttingen durchgeführt und stellen den ersten experimentellen Nachweis des 935 von Busemann postulierten Pfeilungseffektes dar. Die Pfeilung wurde durch Schwenken der Flügelhälften um die Hochachse bei t/2 erzeugt. Die relative Profildicke δ n blieb somit konstant. Die Widerstandspolaren für Ma = 0.8 zeigen, daß beim ungepfeilten Flügel im gesamten c a -Bereich bereits eine merkliche Widerstandserhöhung, hervorgerufen durch Verdichtungsstöße, vorliegt. Bei einem Pfeilwinkel von ϕ = β = 45 liegen die Widerstandsbeiwerte demgegenüber erheblich niedriger, was darauf hindeutet, daß noch keine stoßbedingten Verluste auftraten. In einer zweiten Abbildung ist der gemessene Widerstandsbeiwert für verschiedene Anström-Machzahlen über dem Pfeilwinkel aufgetragen. Für Ma 0.7, wo auch für den ungepfeilten Flügel noch eine subsonische Umströmung vorliegt, bringt der Pfeilflügel keine Vorteile. Bei höheren Machzahlen zeigt der Pfeilflügel erheblich bessere Leistungen als der ungepfeilte Flügel, was die Erhöhung der kritischen Machzahl sowie die Reduktion des Wellenwiderstandes bestätigt. Abb. 8.30: Kampfflugzeug Tornado mit Schwenkflügeln

80 8.4 Der Pfeilflügel endlicher Streckung 203 Abb. 8.3: Berechneter Reichweitenparameter für einen generischen Flügel der Streckung Λ = 2, entnommen aus [34] Wie gezeigt besitzt der Pfeilflügel im transsonischen Geschwindigkeitsbereich erhebliche Vorteile, weshalb alle Verkehrsflugzeuge gepfeilte Tragflügel aufweisen. Die Pfeilwinkel liegen dabei in der Größenordnung von β 30. Bei der Auslegung eines Verkehrsflugzeuges strebt man generell eine Maximierung der Reichweite sowie eine Minimierung des Schubbedarfs an. Die Reichweite ist proportional zum Reichweitenparameter Ma A c c W, der Schubbedarf ist proportional zu c W Ma 2. Diese beiden Parameter sind in Abb. 8.3 für einen generischen Flügel in Abhängigkeit von Ma aufgetragen, zum einen für einen ungepfeilten Flügel und zum anderen für einen Pfeilflügel mit β = 30. Der Widerstand (Reibungs- und Druckwiderstand) wurde dabei unter Nutzung des RANS-Lösers FLOWer zunächst für das reine Profil sowie für das schiebende Profil berechnet. Dabei wurde jeweils c a Ma (proportional zum Auftrieb A) konstant gehalten. Zur Abschätzung des induzierten Widerstandes wurde idealisiert die Lösung der Prandtlschen Traglinientheorie (Gl. (6.43)) verwendet. Die gewählten Werte für Auftrieb und Streckung entsprechen typischen Werten eines Verkehrsflugzeuges. Abb. 8.32: Aerodynamische Güte für ein Schwenkflügelflugzeug sowie für Flugzeuge mit fixer Pfeilung, entnommen aus [47] Die Verschiebung des transsonischen Widerstandsanstieges infolge Pfeilung wird anhand des verzögerten Anstiegs des Schubbedarfs sichtbar. Entsprechend verschiebt sich der Abfall des Reichweitenparameters zu höheren Machzahlen. Gleichzeitig vergrößert sich der Maximalwert des Reichweitenparameters. Es wird also eine größere maximale Reichweite bei gleichzeitig höherer Flug-Machzahl erreicht. Bei diesen vereinfachten Überlegungen blieb die Abhängigkeit des Triebwerksschubs und der Triebwerkseffizienz von der Machzahl unberücksichtigt. Es ist außerdem zu beachten, daß für den gleichen Gesamtauftrieb des Flügels im Normalschnitt des Pfeilflügels ein höherer Auftriebsbeiwert erzeugt werden muss als beim ungepfeilten Flügel. Der Pfeilflügel stellt daher höhere Anforderungen an die Hochauftriebssysteme zur Erzielung einer niedrigen Start- / Landegeschwindigkeit. Wie in diesem Kapitel diskutiert weist der gepfeilte Flügel im transsonischen und im supersonischen Geschwindigkeitsbereich erhebliche

81 8.4 Der Pfeilflügel endlicher Streckung 204 Vorteile hinsichtlich des Wellenwiderstandes auf. Überschallflugzeuge sollten daher eine große Pfeilung aufweisen. Dabei kann eine kleine Flügelstreckung gewählt werden, da in diesem Geschwindigkeitsbereich der induzierte Widerstand eine untergeordnete Rolle spielt. Eine geringe Streckung ermöglicht zudem die Realisierung von Profilen kleiner relativer Dicke zur Minimierung des dickenbedingten Wellenwiderstandes und reduziert darüberhinaus die Böenempfindlichkeit. Im Langsamflug, bei Start und Landung oder bei Manövern von militärischen Flugzeugen, ist demgegenüber ein wenig gepfeilter Flügel hoher Streckung vorteilhaft. Diese spezifischen Anforderungen sind beispielsweise beim Schwenkflügelflugzeug Panavia Tornado vereint. Bei diesem Flugzeug läßt sich der Pfeilwinkel im Flug stufenlos von 25 bis 67 variieren, siehe Abb Die Vorteile eines Schwenkflügels im Hinblick auf die maximale aerodynamische Güte in Abhängigkeit von Ma werden aus Abb ersichtlich.

82 9 Tragflügel bei reiner Überschallumströmung 9. Einleitung Grundgleichung Die in den nachfolgenden Kapiteln 9.2 und 0 beschriebenen Methoden zur Berechnung supersonischer Strömungen um Tragflügel endlicher Streckung basieren auf der Lösung der linearisierten Potentialgleichung (Gl. (3.3)), die für das Störpotential folgende Form annimmt: ( Ma 2 ) ϕ xx ϕ yy ϕ zz = 0 (Ma > ) (9.) Neben Reibungsfreiheit, Homentropie und Homenthalpie wurde bei der Ableitung dieser Grundgleichung angenommen, daß der umströmte Körper schwache Störungen hervorruft. Dies bedingt zunächst, daß der betrachtete Flügel kleine relative Dicke und Wölbung sowie geringe Schränkung und Anstellung aufweist. Wie in Kap. 3 diskutiert muß darüberhinaus der schallnahe sowie der hypersonische Geschwindigkeitsbereich ausgeschlossen werden. Als grober Anhaltswert kann festgehalten werden, daß Gl. (9.) unter den genannten Einschränkungen zwischen,2 Ma 5anwendbarist.AuszuschließensindinjedemFalllokaleUnterschallgebiete, wie sie bei einer abgehobenen Kopfwelle auftreten. Eine abgehobene Kopfwelle tritt stets bei der Überschallanströmung einer stumpfen Vorderkante, aber auch bei der Anströmung scharfer Kanten mit zu geringer Anström-Machzahl Ma auf, vgl. Abb..29. Überlagerungsprinzip und generelle Lösungsmethoden Aufgrund der Linearität der Grundgleichung läßt sich das Superpositionsprinzip nutzen, in dem beispielsweise die Störpotentiale infolge Wölbung, Anstellung und Dicke separat berechnet und anschließend zur Gesamtlösung addiert werden. Die separate Behandlung vereinfacht die Bereitstellung systematischer Berechnungsmethoden, vgl. Skelett- bzw. Tropfentheorie zur Berechnung inkompressibler Profilumströmungen. Weiter besteht die Möglichkeit, die Gesamtlösung durch geeignete Überlagerung von Elementarlösungen der Grundgleichung zu gewinnen. Hierauf baut die in Kap. 0 beschriebene Singularitätenmethode auf. Das Vorgehen ist dabei ganz analog zu den für inkompressible Strömungen besprochenen Ansätzen. Nach Wahl der Singularitätenart (z.b. Quell-, Dipol oder Wirbelsingularität) werden die Singularitätenstärken nach Ansetzen der (kinematischen) Randbedingung bestimmt. Es wird sich zeigen, daß die Berechnung supersonischer Flügelumströmungen meist einfacher als die Ermittlung von Lösungen für den inkompressibler Fall ist. Für bestimmte, einfache Flügelgeometrien lassen sich sogar analytische Lösungen angeben. Die Singularitätenmethode ermöglicht auch die Nachrechnung komplexer Konfigurationen, wozu allerdings eine numerische Berechnung, verbunden mit einer Diskretisierung des Körpers, erforderlich ist. Als weiteres Verfahren zur Berechnung supersonischer Flügelumströmungen wird in Kap. 9.2 die Methode der kegeligen Strömung behandelt. Um die Anwendung dieser Methode 205

83 9. Einleitung 206 zu ermöglichen, müssen an den Flügel bestimmte, einschränkende geometrische Forderungen gestellt werden. Unter Nutzung des Überlagerungsprinzips läßt sich eine Vielzahl verschiedener Flügelgrundrisse basierend auf tabellierten analytischen Teillösungen ermitteln. Die Teillösungen stellen dabei exakte Lösungen der Grundgleichung (9.) dar. Sie eignen sich daher auch gut zur Überprüfung numerischer Singularitätenverfahren. Wie sich herausstellen wird stimmen die Lösungen beider Verfahren überein, sofern bei der Singularitätenmethode eine analytische Lösung möglich ist. 9.. Störungsausbreitung Wie bereits in Kapitel 3 diskutiert wechselt der mathematische Charakter der linearisierten Potentialgleichung beim Übergang vom Unter- zum Überschall vom elliptischen zum hyperbolischen Typus. Damit verbunden sind fundamentale Änderungen des Strömungsfeldes. So breiten sich Störungen, die vom umströmten Körper hervorgerufen werden, bei subsonischen Strömungen im gesamten Feld aus, während sie bei supersonischen Strömungen nur stromab, innerhalb eines begrenzten Bereiches, wahrgenommen werden können. Dies läßt sich anhand von Abb. 9. erläutern. Es wird eine Störquelle betrachtet die sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit U in horizontaler Richtung bewegt. Bei dieser Störquelle kann es sich beispielsweise um einen Oberflächenpunkt eines Flugkörpers handeln der das Strömungsfeld stört, oder auch um eine bewegte Schallquelle, die Druckstörungen aussendet (Druckschwankungen = Schall). Sendet die Störquelle Druckstörungen aus, so stellen die Störfronten Flächen gleicher Phase dar. Sofern die Störungen klein gegenüber U sind breiten sie sich in radialer Richtung definitionsgemäß mit Schallgeschwindigkeit a aus. Dargestellt sind Fronten von Störungen die zu drei verschiedenen Zeitpunkten ausgesandt wurden. Im Dreidimensionalen resultieren kugelförmige, im ebenen Fall kreisförmige Störfronten. BewegtsichdieStörquellemitU < a,sobreitensichdiestörungenschnellerausalssichder Körper bewegt. Die Störfronten überholen die Störquelle. Nach hinreichend langer Wartezeit werden die Störungen daher prinzipiell an allen Punkten des Strömungsfeldes wahrgenommen. Dies hat weiter zur Folge, daß lokale Geometrieänderungen an einem umströmten Körper prinzipiell die gesamte Umströmung beeinflussen. So ändert im Unterschall das Ausschlagen eines Querruders die Druckverteilung im gesamten Profilschnitt eines Tragflügels. Abb. 9. (a) zeigt weiter, daß die Fronten stromauf der bewegten Störquelle kleinere und stromab größere Abstände aufweisen. Betrachtet man Druckstörungen, so ergeben sich durch die geänderten Abstände die für den Doppler-Effekt typischen Frequenzverschiebungen. Stromauf der bewegten Störquelle nimmt ein ruhender Beobachter eine höhere, stromab eine reduzierte Frequenz wahr. Bewegt sich die Störquelle mit U = a (siehe Abb. 9. (b)), so entspricht die Bewegungsgeschwindigkeit gerade der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Störungen. Die Störungen können die Störquelle nicht überholen und die Störfronten bilden im Laufe der Zeit eine Einhüllende. Diese Einhüllende ist eine Ebene die sich mit der Störquelle mitbewegt und normal zur Bewegungsrichtung orientiert ist. Die Einhüllende stellt den Grenzfall eines Mach-Kegels mit dem (halben) Öffnungswinkel µ = π dar. Stromauf der Störfront tritt keinerlei Störwirkung auf und ein Beobachter nimmt die bewegte Störquelle nicht wahr.

84 9. Einleitung 207 a U = a /2 U = a /2 b U = a Keine Störwirkung c U = a Störfront U = 2a U = 2a Keine Störwirkung Ort der Störquelle MACH Kegel zum Zeitpunkt t t t 3 t 4 t 3 t 7 t 3 Bewegt sich die Störquelle schließlich mit Überschallgeschwindigkeit U > a, so läßt sie ausgesandte Störungen stets hinter sich. Die Einhüllende der Störfronten bildet einen Kegel, wobei die Spitze mit der Störquelle zusammenfällt und die Kegelachse in Bewegungsrichtung U orientiert ist. Eine Störwirkung wird lediglich auf der Mantelfläche sowie innerhalb des Mach-Kegels wahrgenommen. Außerhalb herrscht Ruhe. Im vorliegenden Abschnitt wurde bislang nur von bewegten Störquellen gesprochen. Die Betrachtungen gelten freilich in gleicher Weise bei einer entsprechenden Anströmung einer ruhenden Störquelle. Darüberhinaus haben nicht nur singuläre Störquellen eine Störwirkung auf die Umgebung. Vielmehr beeinflußt jeder Punkt der Oberfläche eines umströmten Körpers das Strömungsfeld indem er das Fluid aus seiner ursprünglichen Bewegungsrichtung ablenkt. Die Dichte der Störfronten ist ein Maß für die Stärke der an einem bestimmten Ort wahrgenommenen Störungen. Im Unterschall weisen die Störfronten stets einen endlichen Abstand auf. Die ausgesandte Störenergie verteilt sich auf eine mit dem Abstand zur Störquelle stetig zunehmenden Fläche und ein weit entfernter Beobachter wird eine immer schwächere Störwirkung wahrnehmen. Die durch einen umströmten Körper hervorgerufenen Störungen klingen mit zunehmendem Abstand stetig ab und verschwinden im Unendlichen. Bewegt sich die Störquelle gerade mit Schallgeschwindigkeit so konzentrieren sich die Störfronten entlang der Abb. 9.: Störungsausbreitung einer bewegten Störquelle Einhüllenden. Die Störenergie kumuliert auf der Einhüllenden. Im Überschall findet entsprechend eine Kumulation auf der Mantelfläche des Mach-Kegels statt. Sendet ein mit Überschall bewegter Körper Druckstörungen aus, wird auf dem gesamten Mach-Kegel ein stark erhöhter Schallpegel auftreten. So vernimmt ein Beobachter am Boden beim Überflug eines Überschallflugzeuges einen lauten Knall,

85 9. Einleitung 208 auch wenn das Flugzeug in großer Höhe fliegt. Dieses landläufig als Überschallknall bezeichnete Geräusch ist kein kurzzeitiges Ereignis sondern tritt beim Überschallflug permanent auf und wird an allen Punkten wahrgenommen die gerade von der Mantelfläche des Mach-Kegels überstrichen werden. Völlig unsinnig ist daher die Aussage, daß ein Flugzeug beim Durchbrechen der Schallmauer einen Überschallknall verursacht Machkegel, Einfluß- und Abhängigkeitsbereich Der (halbe) Öffnungswinkel des Mach-Kegels, der als Mach scher Winkel µ bezeichnet wird, läßt sich sehr einfach aus den in Abb. 9.2 dargestellten geometrischen Verhältnissen ermitteln. Es folgt: oder tanµ = sinµ = a t U t = Ma (9.2) Ma 2 (9.3) Im Rahmen der linearisierten Theorie wird bei der Bestimmung des Mach schen Winkels stets die Anström-Mach-Zahl Ma und nicht die lokale Mach-Zahl zugrunde gelegt. MACH Kegel Ma > Vorkegel zum Aufpunkt A (VKA) Ma µ U t a t Abhängig keitsbereich A Nachkegel zum Aufpunkt A (NKA) µ Einfluß bereich Abb. 9.2: Bestimmung des Mach schen Winkels Abb. 9.3: Einfluß- und Abhängigkeitsbereich eines Aufpunktes bei Überschallanströmung Es bleibt festzuhalten, daß sich im Überschall Störungen lediglich innerhalb des stromab einer Störquelle A liegenden Mach-Kegels, der auch als Nachkegel zum Punkt A (N KA) bezeichnet wird, auswirken. Der Bereich innerhalb des Nachkegels wird als Einflußbereich des Punktes A bezeichnet. Umgekehrt kann ein Aufpunkt A nur von Störquellen beeinflußt werden die innerhalb des Vorkegels zu A (V KA) liegen, siehe Abb Der Vorkegel stellt den Abhängigkeitsbereich des Punktes A dar. Übertragen wir diese Tatsache auf einen Tragflügel bei Überschallumströmung bedeutet dies, daß der Strömungszustand in einem Aufpunkt A nicht von der gesamten Flügeloberfläche beeinflußt wird. Wie in Abb. 9.4 veranschaulicht wird der Punkt A lediglich vom grau markierten Bereich beeinflußt, der sich aus der Verschneidung des Vorkegels V KA mit der Flügeloberfläche

86 9. Einleitung 209 Ma > Ma > VKA VKA µ µ µ µ µ µ I II A III A Einflußbereich der Flügelseitenkante Einflußbereich der Flügelseitenkante Abb. 9.4: Abhängigkeitsbereich eines Aufpunktes auf einem Tragflügel bei Überschallumströmung Abb. 9.5: Abhängigkeitsbereich eines Aufpunktes auf einem Pfeilflügel bei Überschallumströmung ergibt. Wird der Tragflügel mit Hilfe der Singularitätenmethode berechnet müssen zur Bestimmung des Zustandes in A daher nur die Singularitäten berücksichtigt werden, die innerhalb des markierten Bereiches liegen. Wie später noch ausführlicher diskutiert wird sind darüberhinaus nur die Singularitäten der betrachteten Flügelseite (Oberseite oder Unterseite) relevant, sofern keine Umströmung der Kanten stattfindet. Wie aus Abb. 9.4 direkt erkennbar ist, liegt der ausgewählte Aufpunkt A nicht im Einflußbereich der Flügel-Seitenkanten. Zum Aufpunkt A gelangt daher keinerlei Information, daß die Flügelstreckung endlich ist. Bei konstanter Profilierung in Spannweitenrichtung und ungeschränktem Flügel wird im Punkt A derselbe Strömungszustand herrschen, der sich bei einer unendlichen Streckung, also für die ebene Profilumströmung, ergibt! Die Strömung ist zweidimensional und die Strömungsgrößen werden sich mit der in Kap. 5 behandelten Profiltheorie berechnen lassen. Dies trifft für alle Aufpunkte zu, die innerhalb des Bereiches (II) liegen. Ist der betrachtete Flügel gepfeilt (siehe Abb. 9.5) so gelten analoge Betrachtungen. Die Vorderkante ist nun jedoch nicht mehr normal zum Anströmvektor orientiert. Durch den Pfeilungseinfluß wird sich die Druckverteilung gegenüber dem ungepfeilten Flügel ändern. Ist die Flügelgeometrie innerhalb des Einflußbereiches zylindrisch, so läßt sich der Strömungszustand dennoch unter Anwendung von Profiltheorien nach dem in Kap. 8 diskutierten Vorgehen ermitteln. Ändert sich die Profilierung innerhalb des Einflußbereiches oder liegt eine Schränkung vor, so ist die Anwendung der dreidimensionalen Singularitätenmethode nach Kap. 0 erforderlich. Die Unterteilung eines Tragflügels bei Überschallanströmung wird in Kap ausführlich diskutiert Unterschall- und Überschallkanten Definitionen Wie in Kap. 8 ausführlich diskutiert ist der Charakter der Umströmung davon abhängig, ob die Komponente der Anströmgeschwindigkeit normal zur Vorderkante U n größer oder kleiner als die Schallgeschwindigkeit ist. Bei den in Kap. 8 betrachteten zylindrischen Körpern waren Vorder- und Hinterkante stets parallel und es war zur Beschreibung des Problems die Einführung des Pfeilwinkels β hinreichend. Wir wollen nun eine Verallgemeinerung dieser Überlegungen auf

87 9. Einleitung 20 beliebige Grundrißformen diskutieren. Dazu wird ein Winkel γ eingeführt, der den Winkel zwischen Anströmrichtung und lokaler Orientierung der betrachteten Flügelkante beschreibt, siehe Abb. 9.6 und 9.7. Man unterscheidet zwischen Unterschallkanten UK und Überschallkanten für die gilt: ÜK, Unterschallkante UK: γ < µ, U n = U sinγ < a, Ma n < (9.4) Überschallkante ÜK: γ > µ, U n = U sinγ > a, Ma n > (9.5) MACHsche Linie a µ U γ U n U t γ µ MACHsche Linie a γ U U n U t Abb. 9.6: Gepfeilter zylindrischer Flügel mit Überschallkanten Abb. 9.7: Gepfeilter zylindrischer Flügel mit Unterschallkanten Bei dem in Abb. 9.6 dargestellten Flügel liegen somit Überschallkanten vor, während der stärker gepfeilte Flügel in Abb. 9.7 bei der betrachteten Anström-Machzahl Unterschallkanten aufweist. Für den Grenzfall γ = 90 liegt bei allen Anström-Machzahlen Ma > eine Überschallkante vor, während für γ = 0 stets eine Unterschallkante resultiert. Zur genaueren Charakterisierung einer (Vorder-)kante wird die sogenannte aerodynamische Schlankheit m eingeführt: m = tanγ (9.6) tanµ Hiermit gilt: Unterschallkante U K: γ < µ m < (9.7) Überschallkante ÜK: γ > µ m > (9.8) Die Klassifizierung der Kanten läßt sich auf einen beliebigen Grundriß übertragen, siehe Abb In Bereichen in denen die lokale Normalkomponente U n größer/kleiner als a ist liegt eine Überschallkante/Unterschallkante vor: AB, CD : BC, AD : Überschallkante ÜK Unterschallkante U K

88 9. Einleitung 2 IndenÜbergangspunktenA,B,C undd stimmtdierichtungdertangenteandieflügelkante mit der Steigung der entsprechenden Machschen Linie gerade überein. Es ist ersichtlich, daß die Bereiche in denen eine Unterschall- bzw. eine Überschallkante vorliegt nebem dem Flügelgrundriß vom Machschen Winkel und damit von der Anström-Machzahl abhängen. Ma > Je nachdem ob der Bereich der Kante zur Vorder- oder zur Hinterkante gehört unterscheidet man weiter. Für den Flügel in Abb. 9.8 gilt die folgende Unterteilung: UVK UHK E A D UVK µ µ B C UVK F UHK AB : BF, AE : CF, DE : CD : Überschallvorderkante ÜVK Unterschallvorderkante U V K Unterschallhinterkante U HK Überschallhinterkante ÜVK UHK µ µ Abb. 9.8: Klassifizierung der Kanten bei einem Tragflügel mit Überschallanströmung Darüberhinaus spricht man bei entsprechenden Flügelgrundrissen von Überschallseitenkanten ÜSK bzw. Unterschallseitenkanten USK. Qualitative Umströmung von Unter- bzw. Überschallkanten Die für den zylindrischen Pfeilflügel in Kap. 8 durchgeführten Überlegungen zum Strömungscharakter bei UVK bzw. ÜVK gelten qualitativ auch für einen Flügel mit beliebigem Grundriß bei dem Vorder- und Hinterkante nicht parallel sind. In unmittelbarer Nähe der Flügelvorderkante verhält sich die Strömung näherungsweise wie eine zweidimensionale Strömung des mit U n angeströmten Normalschnittes überlagert mit U t, siehe Abb Ma > A µ γ BMACHsche Linie µ γ Abb. 9.9: Zur Erläuterung der Stromaufwirkung von Unterschallvorderkanten A B BeieinerUVK wirddasstromlinienbildeines umströmten Normalschnittes qualitativ demjenigen eines subsonisch umströmten Profils entsprechen. Es resultiert ein Staupunkt (vor der Überlagerung mit U t!), eine Umströmung der Vorderkante und damit verbunden eine Saugkraft. Ferner wird die Strömung stromauf der Vorderkante beeinflußt. Die Strömung wird also trotz Überschallanströmung vorgewarnt. Dies scheint den im letzten Abschnitt getroffenen Aussagen zum Abhängigkeitsbereich bei Ma > zu widersprechen, siehe Abb Tatsächlich wird der Bereich stromauf eines Punktes der Vorderkante nicht vom zugehörigen Profilschnitt selbst, sondern von benachbarten Profilschnitten beeinflußt, siehe Abb Bei einer UVK ist die Vorderkante stärker gepfeilt als die Orientierung der Machschen Linien. Ein gewisser Bereich stromauf des Schnittes B B liegtdaherinnerhalbdeseinflußbereiches weiter innen liegender Profilschnitte, beispielsweise

89 Verdünnungsfächer 9. Einleitung 22 des Schnittes A A. EineÜVK wirdimgegensatzzuruvk nichtumströmt.esfindeteineumlenkungübereinen Verdichtungsstoß bzw. einen Verdünnungsfächer statt, siehe Abb Für die praktische Auslegung eines Überschall-Tragflügels folgt aus diesen Überlegungen, daß die Profilnase im Falle einer UVK abgerundetseinsollteumablösungenzuvermeiden.eineüvk solltedemgegenüberspitz ausgeführt werden, um eine stark verlustbehaftete, abgehobene Kopfwelle zu vermeiden. Eine scharfe Vorderkante ist allerdings ungünstig bei niedrigeren Fluggeschwindigkeiten, insbesondere bei Start und Landung. UVK UVK Verdichtungsstoß Verdünnungsfächer Stromaufwirkung Umströmung der Vorderkante Saugkraft keine Stromaufwirkung keine Umströmung der Vorderkante keine Saugkraft UHK UHK Verdichtungsstoß KUTTA Bedingung erfüllt: glattes Abströmen KUTTA Bedingung nicht erfüllt Abb. 9.0: Qualitativer Verlauf der Stromlinien in unmittelbarer Nähe einer UV K, ÜV K, UHK bzw. ÜHK für einen Flügel mit Plattenprofil Bei einer U HK zeigt das Stromlinienbild wie bei der subsonischen Profilumströmung ein glattes Abströmen. Bei einer ÜHK findet demgegenüber eine abrupte Änderung der Strömungsrichtung über den Verdichtungsstoß verbunden mit einer unstetigen Änderung der Strömungsgrößen statt. Dieser qualitative Unterschied hat Konsequenzen für die Berechnung der Flügelumströmung. Im Falle einer U HK muß explizit eine Kutta-Bedingung angesetzt werden während

90 9. Einleitung 23 dies im Falle einer ÜHK nicht erforderlich ist. Aus den diskutierten Sachverhalten wird verständlich, daß die fundamental unterschiedlichen Strömungsphänomene bei Unter- bzw. Überschallkanten bei der theoretischen Behandlung sorgfältig unterschieden werden müssen. Qualitative Druckverteilung eines zugespitzten Pfeilflügels bei Überschallanströmung Basierend auf den Erkenntnissen des letzten Abschnittes soll nun die zu erwartende Umströmung eines angestellten Pfeilflügels mit Plattenprofil bei unterschiedlichen Anström-Machzahlen diskutiert werden, siehe Abb. 9.. Bei niedriger Überschallgeschwindigkeit Ma liegen zunächst ausschließlich Unterschallkanten vor und die Druck- bzw. Lastverteilung im betrachteten Profilschnitt muß die qualitativen Merkmale einer subsonisch umströmten Platte aufweisen. Die Umströmung der scharfen Vorderkante äußert sich in einer Saugspitze mit potentialtheoretisch singulärem Differenzdruck. Das glatte Abströmen hat eine verschwindende Druckdifferenz c p an der Hinterkante zur Folge. Insgesamt liegt im betrachteten Schnitt eine sogenannte kegelsymmetrische Strömung vor, die sich mit den in den Abschnitten 9.2 und 0 behandelten Methoden berechnen läßt. Die Lastverteilung weist nahe der Hinterkante einen charakteristischen Knick auf. In diesem Bereich wird die Strömung des betrachteten Schnittes von Störungen der weiter innen liegenden Teile der U HK beeinflußt. Der Bereich wird von der Machschen Linie, die ihren Ursprung im Knick an der Flügelwurzel hat, eingegrenzt. Solche charakteristischen Punkte werden wir später als Störzentren bezeichnen. Bei einer Steigerung von Ma ergibt sich für den betrachteten Grundriß eine ÜHK während die Vorderkante nach wie vor eine Unterschallkante ist. Dies läßt sich leicht daran erkennen, daß die Hinterkante vor und die Vorderkante hinter den zugehörigen Machschen Linien liegen. Die Lastverteilung weist nach wie vor eine Saugspitze auf. Der Differenzdruck bleibt an der Überschallhinterkante, unmittelbar vor Stoß bzw. Fächer, endlich, d.h. die Kutta-Bedingung ist nicht erfüllt. Bei der größten betrachteten Machzahl sind schließlich sowohl Vorder- als auch Hinterkante Überschallkanten, was endliche Werte c p an den Kanten zur Folge hat. Wie noch diskutiert wird ist die Strömung in der Nähe der Vorderkante stromauf der Machschen Linie zweidimensional und entspricht derjenigen eines unendlichen schiebenden Flügels mit Plattenprofil. Die Druckdifferenz c p ist wie bei der angestellten Platte im Überschall konstant. Stromab der einfallenden Machschen Linie liegt wieder eine kegelsymmetrische Strömung vor, vgl. Kap. 9.2.

91 9. Einleitung 24 UVK + UHK Ma =.05 MACHsche Linien µ c p γ VK UVK Profilschnitt USK UHK µ γ HK VK HK x UVK + UHK Ma =. µ MACHsche Linien c p γ VK UVK Profilschnitt USK UHK µ γ HK VK HK x UVK + UHK Ma =.6 µ c p UVK γ VK Profilschnitt MACHsche Linien USK UHK µ γ HK VK HK x Abb. 9.: Schematische Darstellung der Lastverteilung c p für einen Schnitt eines angestellten Pfeilflügels mit Plattenprofil bei verschiedenen Anström-Mach-Zahlen

92 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen Kegelsymmetrische Strömungen Die nachfolgend diskutierte Theorie der kegelsymmetrischen bzw. kegeligen Strömungen, die ursprünglich von Busemann [7] entwickelt wurde, basiert auf der Lösung der linearisierten Potentialgleichung für reine Überschallströmungen. Erfüllt die Oberfläche des umströmten Körpers bestimmte geometrische Voraussetzungen, so kann die Analyse der räumlichen Strömung auf eine zweidimensionale Berechnung in Schnittebenen x = konst. zurückgeführt werden. Durch eine Reihe von Transformationen läßt sich die Grundgleichung gar auf eine Laplace-Gleichung transformieren. Dazu ist allerdings die Einführung komplexer Variablen erforderlich. Die gesamten theoretischen Ableitungen in diesem Kapitel werden für eine Anström-Machzahl von Ma = 2 durchgeführt. Lösungen für andere Machzahlen lassen sich durch Anwenden der Göthert- Regel für den Überschall gewinnen, siehe Kap Definition kegelsymmetrischer Strömungen Kegelsymmetrische Strömungen treten auf, wenn sogenannte kegelige Randbedingungen vorliegen. Kegelige Randbedingungen liegen dann vor, wenn sich die Oberfläche des umströmten Körpers ganz oder teilweise aus Strahlen durch ein gemeinsames Zentrum darstellen läßt. Definitionsgemäß Ma > Ma > Ma > erfüllen kegelförmige Körper, die im Rahmen der linearisierten Theorie Abb. 9.2: Schlanke kegelförmige Körper schlank sein müssen, diese Bedingung, siehe Abb Wie nachfolgend gezeigt wird sind die Strömungsgrößen ( w, p) bei kegelsymmetrischen Strömungen entlang eines Strahls durch das Kegelzentrum konstant! Von Strahl zu Strahl variieren sie im Allgemeinen. Nachweis konstanter Strömungsgrößen entlang einzelner Strahlen durch das Kegelzentrum Es werden zwei Kegel K und K 2 betrachtet, die geometrisch ähnlich sind, siehe Abb Auf einem ausgewählten Strahl liegen auf Höhe der jeweiligen Kegelbasen die beiden Punkte A bzw. B. Setzen wir eine reibungsfreie Umströmung der beiden Kegel voraus, so ist die Anström-Machzahl die einzig relevante Ähnlichkeitszahl. Bei identischem Ma müssen daher die mit U normierten z Kegel K A y x z Kegel K2 Abb. 9.3: Zum Nachweis konstanter Strömungsgrößen bei kegeliger Strömung Geschwindigkeitsverteilungen an beiden Kegeln übereinstimmen. Speziell werden die normierten Geschwindigkeiten an den Kegelbasen A bzw. B übereinstim- A B y x

93 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 26 men: w A = w B (9.9) K K2 U U Jetzt wird der große Kegel K 2 ausgehend von der Basis sukzessive verkürzt. Bei Überschallumströmung wirkt sich diese Geometrieänderung nicht auf den Strömungszustand stromauf liegender Punkte aus. Speziell auf Höhe des Punktes A bleibt der Zustand während der Verkürzung unverändert: w A = konst. (9.0) K2 U Der Kegel wird nun soweit verkürzt bis gerade der kleinere Kegel K übrig bleibt. Im Punkt A muß nun derselbe Zustand herrschen wie an der Basis des kleinen Kegels K und es folgt: w A = w A (9.) K2 K U Einsetzen von Gl. (9.) in (9.9) liefert schließlich: w A = w B (9.2) K2 K2 U Diese Betrachtung kann nicht nur für Punkt A sondern für jeden Punkt des Strahls auf K2 durchgeführt werden. Dies bedeutet, daß an jedem Punkt des Strahls die Strömungsgrößen dem Zustand im Punkt B entsprechen. Mit anderen Worten: Der Strömungszustand ist konstant entlang einzelner Strahlen durch das Kegelzentrum! Da der Zustand nicht mehr von der Längskoordinate x abhängt ist die Beschreibung des Problems in Abhängigkeit von lediglich zwei Variablen (Kegelkoordinaten) möglich. Wir definieren eine derartige Strömung daher als zweidimensional, auch wenn das Strömungsfeld und auch der Strömungsvektor drei Dimensionen aufweist, vgl. Kap U U Weitere Beispiele für kegelsymmetrische Strömungen Die Theorie der kegelsymmetrischen Strömungen ist nicht auf die in Abb. 9.2 dargestellten schlanken Kegelformen beschränkt. Vielmehr erfüllen auch planare Tragflügel mit Plattenprofil ganz oder teilweise die notwendigen geometrischen Voraussetzungen. Die Anwendung der Theorie auf Tragflügel wird im Rahmen der Aerodynamik-Vorlesung im Vordergrund stehen. Ma > Ma > kegelige Strömung c p c p 2 c p c p 2 Beim planaren Deltaflügel (siehe Planarer Deltaflügel mit ÜVK Planarer Deltaflügel mit UVK Abb. 9.4) liegen beispielsweise Abb. 9.4: Kegelsymmetrische Strömungsbereiche am planaren kegelige Randbedingungen vor, da Deltaflügel mit Plattenprofil sich die Oberfläche aus Strahlen durch die Spitze darstellen läßt. Entlang einzelner Strahlen durch die Spitze werden die Strömungsgrößen wiederum konstant sein.

94 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 27 Beim Deltaflügel mit ÜVK ist zu beachten, daß eine kegelsymmetrische Strömung lediglich innerhalb des gezeichneten Machkegels vorliegt. Wie im nächsten Abschnitt ausführlicher diskutiert wird, ist die Strömung zwischen Flügelvorderkante und Nachkegel (quasi-) zweidimensional und entspricht derjenigen des entsprechenden unendlich gestreckten schiebenden Flügels. Ma > Ma > Ma > kegelige Strömung ebene 2D Strömung Theorie kegeliger Strömungen anwenbar einfach überlappender Bereich mehrfach überlappender Bereich Abb. 9.5: Kegelsymmetrische Strömungsbereiche sowie überlappende Bereiche am planaren Rechteckflügel mit Plattenprofil Ebenso liegen an den Flügelspitzen eines planaren Rechteckflügels kegelige Randbedingungen vor, siehe Abb Wird die Machzahl oder die Streckung Λ des Rechteckflügels reduziert kann es vorkommen, daß sich die kegelsymmetrischen Strömungsbereiche überlappen. Liegt eine einfache Überlappung vor, so läßt sich die Strömung im betroffenen Bereich nach wie vor aus den Lösungen der kegelsymmetrischen Strömung unter Verwendung des Superpositionsprinzips berechnen. Wird Ma oder Λ weiter reduziert können die Machschen Linien des Nachkegels auf die gegenüberliegenden Unterschall- Seitenkanten treffen. An den U SK werden die Machschen Linien reflektiert und stromab der Reflektion liegt ein zweifach überlappender Bereich vor. In mehrfach überlappenden Bereichen läßt sich der Zustand nicht mehr unter Anwendung der Theorie kegelsymmetrischer Strömungen Ma > Ma > Abb. 9.6: Weitere Beispiele für planare Flügel bei denen die Theorie kegelsymmetrischer Strömungen anwendbar ist berechnen. Es muß die Singularitätenmethode herangezogen werden. In Abb. 9.6 sind exemplarisch weitere Flügelgrundrisse dargestellt für die Teilbereiche mit der in diesem Kapitel abgeleiteten Theorie berechenbar sind Einteilung eines Tragflügels in unterschiedliche Strömungsbereiche Wie im letzten Kapitel gesehen, ist die Überschallumströmung eines Tragflügels endlicher Streckung nicht notwendigerweise überall dreidimensional. Vielmehr kann in Teilbereichen eine kegelige

95 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 28 Strömung, eine quasi-zweidimensionale Strömung wie beim unendlich gestreckten Pfeilflügel oder eine ebene Profilströmung vorliegen. Darüberhinaus ist zwischen subsonischem und supersonischem Strömungscharakter zu unterscheiden. Die Strömungszustände in den Teilbereichen lassen sich mit jeweils geeigneten Theorien separat voneinander berechnen. Die resultierenden Druckverteilungen können zusammengesetzt werden, ohne daß an den Bereichsgrenzen Drucksprünge auftreten. Durch einfache Überlegungen lassen sich die verschiedenen Strömungsbereiche einteilen, Aussagen zum Strömungscharakter treffen und damit adäquate Berechnungsverfahren auswählen. Am Beispiel eines planaren Flügels mit Plattenprofil (Abb. 9.7) der geradlinige Flügelkanten aufweist soll das formale Vorgehen bei der Gebietseinteilung erläutert werden. Es wurde bereits diskutiert, daß der Strömungszustand an einem Aufpunkt davon abhängt, ob er innerhalb des Einflußbereiches einer Unterschall- oder einer Überschallkante liegt. Darüberhinaus ist der Pfeilwinkel der entsprechenden Kante für das Druckniveau relevant. Zunächst sind daher die Einflußbereiche sämtlicher Kanten zu bestimmen. Der Einflußbereich der Kante (siehe Abb. 9.7) ist nach links durch den Nachkegel zum Punkt S und nach rechts durch den Nachkegel zu S 2 eingegrenzt. Der gesamte Einflußbereich der Kante ist durch eine Schraffur \\\ gekennzeichnet. Der Einflußbereich der Kante2 ist durch eine Schraffur /// markiert. Die Einflußbereiche der übrigen Kanten sind lediglich durch die Machschen Linien, welche die Projektion der Nachkegel in der Flügelebene darstellen, veranschaulicht. S 2 S S 3 µ µ ΙΙΙ ΙΙ Ι S 5 S 6 S 4 UK Kante 6 ÜK Kante Einflußbereich Kante ÜK Kante 5 Ma > ÜK Kante 2 Einflußbereich Kante 2 ÜK Kante 4 Es wird zunächst deutlich, daß der Abb. 9.7: Veranschaulichung der Gebietseinteilung am Beispiel hellgrau unterlegte Bereich II ausschließlich von der Kante beeinflußt eines planaren Tragflügels mit Plattenprofil bei Überschallanströmung wird. Beim vorliegenden Flügel mit Plattenprofil sowie ÜVK und ÜHK ist der Strömungszustand im Bereich II quasi-zweidimensional und läßt sich nach der in Kap diskutierten Theorie des schiebenden Flügels berechnen. Da die ÜHK keine Stromaufwirkung hat, ist der Winkel der Vorderkante relevant für den Pfeilungseffekt und die damit verbundene Verschiebung des Druckniveaus gegenüber der ebenen Profilumströmung. Im vorliegenden Fall ist der Druckbeiwert im gesamten Bereich II konstant. Im Bereich I überlappen sich die Einflußbereiche der Kanten und 6, im Bereich III die Einflußbereiche der Kanten und 2. Würde der Tragflügel ein Profil endlicher Dicke oder ein verwölbtes Profil aufweisen, so läge in diesen beiden Bereichen eine echt dreidimensionale Strömung vor, die mit der in Kap. 0 behandelten Singularitätenmethode berechnet werden müßte. Im vorliegenden Fall einer angestellten Platte läßt sich jedoch die Oberfläche im Bereich I UK Kante 3 Im Falle von Unterschallkanten ist die Strömung im Bereich II dreidimensional sofern Vorder- und Hinterkante nicht parallel sind. Eine 3D-Strömung liegt ebenso vor, wenn der zugespitzte Flügel ein verwölbtes Profil oder ein Profil endlicher Dicke aufweist, und zwar sowohl bei Unterschall- als auch bei Überschallkanten im Bereich II.

96 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 29 aus Strahlen durch das Zentrum S und im Bereich III aus Strahlen durch S2 darstellen. In den Bereichen I und III liegt daher eine (zweidimensionale) kegelsymmetrische Strömung vor. Die Strömungszustände sind auf Strahlen durch S bzw. S 2 konstant. Nach obigen Überlegungen wird deutlich, daß sich die unterschiedlichen Strömungsbereiche einfach bestimmen lassen, wenn man die Nachkegel zu sämtlichen Flügelecken zeichnet. Die Schnittlinien der Nachkegel mit dem Flügel trennen die verschiedenen Strömungsbereiche voneinander ab. Im Rahmen der bei der linearisierten Theorie getroffenen Annahmen (dünne Profile, kleine Anstellwinkel) sind die Schnittlinien näherungsweise geradlinig und entsprechen den Machschen Linien durch die Kegelzentren. Die Nachkegel zu den Zentren S4 bis S6 sind bei der vorliegenden ÜHK lediglich für den Strömungszustand im Nachlauf von Bedeutung. Wir wollen die charakteristischen Zentren als Störzentren bezeichnen. Die Störzentren entsprechen beim Flügel mit geradlinigen Kanten den Flügelecken. Damit soll jedoch keinesfalls zum Ausdruck gebracht werden, daß lediglich die Flügelecken eine Störwirkung ausüben. Vielmehr beeinflußt die gesamte Flügeloberfläche den Strömungszustand. Das formale Vorgehen bei der Gebietseinteilung ergibt sich damit wie folgt: Detektion aller Störzentren. Bei den von uns betrachteten Flügeln mit geradlinigen Kanten und Profilen ohne Knicke sind dies die Flügelecken. Zeichnen der zugehörigen Machschen Linien. Gebietseinteilung und Bestimmung des Strömungscharakters unter Beachtung der beeinflussenden Kanten sowie der Kontur der Profilschnitte. Bei den Strömungsbereichen wird unterschieden: I) Dreidimensionale Strömung (Strömungszustand variiert in alle Raumrichtungen und hängt damit von drei Koordinaten ab) II) Zweidimensionale Strömung (Strömungszustand hängt nur von zwei Variablen ab, der umströmte Körper kann dabei jedoch dreidimensional sein.) Beim Flügel differenziert man zwischen folgenden zweidimensionalen Strömungen: a) Kegelsymmetrische Strömung Strömungszustand konstant entlang einzelner Strahlen durch das Kegelzentrum. b) Quasi-zweidimensionale Strömung Strömungszustand variiert in Spannweitenrichtung nicht. Die Isobaren sind parallel zur Flügelvorderkante, die Stromlinien können jedoch eine Krümmung in Spannweitenrichtung aufweisen, vgl. unendlich gestreckter Pfeilflügel. c) Ebene Strömung Die Druckverteilung entspricht derjenigen der reinen Profilumströmung. Die Stromlinien liegen dabei in der Ebene die den Anströmvektor enthält (i.a. xz-ebene). Dies ist der Fall, wenn die Vorderkante in einem zweidimensionalen Strömungsbereich nicht gepfeilt ist. Auswahl der geeigneten Berechnungsmethoden für die jeweiligen Strömungsbereiche. Dabei ist zu beachten ob ein subsonischer oder ein supersonischer Strömungscharakter vorliegt. Für den in Abb. 9.7 dargestellten planaren Flügel mit Plattenprofil gilt zusammengefaßt:

97 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 220 Bereich I: (zweidimensionale) kegelsymmetrische Strömung II a) Strömungszustand konstant entlang Strahlen durch S bzw. S 3. Bereich II: quasi-zweidimensionale Strömung II b) Da Überschallkanten vorliegen ist der Strömungszustand im gesamten Bereich II konstant. Bereich III: (zweidimensionale) kegelsymmetrische Strömung II a) Strömungszustand konstant entlang Strahlen durch S Die Transformation der Grundgleichung Nachfolgend sollen Lösungen für kegelsymmetrische Strömungen abgeleitet werden. Dabei wird zunächst die linearisierte Potentialgleichung, wie ursprünglich von Busemann [7] vorgeschlagen, auf sogenannte Kegelkoordinaten transformiert. Für Überschallströmungen lautet die Ausgangsgleichung: ( Ma 2 ) ϕ xx ϕ yy ϕ zz = 0 (Ma > ) (9.3) Es wird lediglich die Anström-Machzahl Ma = 2 betrachtet. Die Strömungsberechnung für andere Machzahlen kann unter Anwendung der Göthert-Ackeretsche Regel für Überschallströmungen auf Lösungen für Ma = 2 zurückgeführt werden. Für diese Vergleichsströmung gilt: ϕ xx ϕ yy ϕ zz = 0 (9.4) Nun wird ein Koordinatensystem eingeführt, dessen Ursprung im Kegelzentrum liegt, vgl. Abb Entlang eines beliebigen Strahls durch das Kegelzentrum ist dann das Verhältnis y x bzw. z x konstant. Für diese beiden Verhältnisse werden die Kegelkoordinaten η bzw. ζ eingeführt: Kegelkoordinaten: η = y x ζ = z x (9.5) Jeder Strahl der Oberfläche eines Körpers mit kegeligen Randbedingungen ist durch ein Wertepaar η, ζ eindeutig bestimmt. Da der Strömungszustand entlang einzelner Strahlen konstant ist, sind die beiden Kegelkoordinaten η und ζ hinreichend zur Beschreibung des Problems. Ansatz für das Störpotential Zur Beschreibung kegelsymmetrischer Strömungen muß ein Ansatz für das Störpotential gewählt werden, bei dem gewährleistet ist, daß die Strömungsgrößen u, v, w, c p entlang eines Strahles η, ζ konstant sind. Wie nachfolgend gezeigt wird, erfüllt folgender Ansatz diese Bedingung: ϕ = x f(η, ζ) (9.6) Zum Nachweis werden zunächst die Störgeschwindigkeiten als partielle Ableitungen des Ansatzes (9.6) bestimmt. Unter Anwendung der Produktregel und der Kettenregel folgt für die Störgeschwindigkeit in x-richtung: u = ϕ f = f(η,ζ)+x x x [ f = f +x η η x + f ζ ζ ] (9.7) x

98 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 22 Mit den partiellen Ableitungen von Gl. (9.5) η x = y x 2 und ζ x = z x 2 (9.8) folgt: u = f +x ( ) ( ) y z x 2 f η +x x 2 f ζ u = f η f η ζ f ζ = u(η,ζ) (9.9) Hierbei bezeichnen tiefgestellte Indizes die jeweiligen partiellen Ableitungen: f η = f η f ζ = f ζ Gl.(9.9) zeigt, daß die Störgeschwindigkeit u keine Abhängigkeit von der x-koordinate aufweist, sondern, wie gefordert, lediglich von den Kegelkoordinaten η, ζ abhängt. Eine analoge Ableitung liefert für die Störgeschwindigkeiten v und w: v = ϕ y = x [ f y f +x η η y + f ζ ζ ] [ = 0 f +x f η ] y x +f ζ 0 = f η = v(η,ζ) (9.20) w = ϕ z = x [ f z f +x η η z + f ζ ζ ] [ = 0 f +x f η 0+f ζ ] = f ζ = w(η,ζ) (9.2) z x Für den Druckbeiwert in linearisierter Näherung ergibt sich mit Gl. (9.9): c p = 2u U = 2 U (f η f η ζ f ζ ) = c p (η,ζ) (9.22) Sämtliche Störgeschwindigkeiten sowie der Druckbeiwert sind für den gewählten Ansatz (9.6) nur abhängig von η und ζ und damit konstant entlang einzelner Strahlen. Jeder Ansatz der Form (9.6) beschreibt also eine kegelsymmetrische Strömung. Transformation der linearisierten Potentialgleichung auf Kegelkoordinaten Die Grundgleichung (9.4) soll nun unter Verwendung des Ansatzes (9.6) in Abhängigkeit der Kegelkoordinaten η und ζ dargestellt werden. Gl.(9.4) enthält die zweiten Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten x, y und z, die den ersten Ableitungen der Störgeschwindigkeiten u, v bzw. w entsprechen. Unter Verwendung von Produkt- bzw. Kettenregel sowie den Ableitungen von Gl. (9.5) folgt aus Gl. (9.9): ϕ xx = u x = x (f ηf η ζf ζ ) = f η η x + f ζ ζ x η x f η η f η x ζ x f ζ ζ f ζ x = ] [ ζf x ζ +η 2 f ηη +ηζf ηζ +ζf ζ +ζ 2 f ζζ +ηζf ηζ ϕ xx = ] [η x 2 f ηη +2ηζf ηζ +ζ 2 f ζζ (9.23)

99 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 222 Für die Ableitungen nach y bzw. z folgt auf analoge Weise: ϕ yy = v y = f η ηη y +f ζ ηζ y = x f ηη (9.24) ϕ zz = w z = f ζ ζζ z +f η ζη z = x f ζζ (9.25) Einsetzen von (9.23) bis (9.25) in die Ausgangsgleichung (9.4) liefert schließlich die transformierte linearisierte Potentialgleichung: ] [η x 2 f ηη +2ηζf ηζ +ζ 2 f ζζ f ηη f ζζ = 0 ( η 2 ) f ηη 2ηζf ηζ + ( ζ 2) f ζζ = 0 ( Ma = ) 2 (9.26) Dies ist eine quasi-lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Funktion f(η, ζ), die gemäß Gl. (9.6) das Störpotential definiert. Gl. (9.26) enthält lediglich die beiden Kegelkoordinaten η und ζ. Sie repräsentiert das zweidimensionale Strömungsfeld in Schnittebenen x = konst.. Die Strömung in der Querebene x = konst. bezeichnet man als quasi-ebene Strömung. Wie sich leicht zeigen läßt ist der Typus der DGL innerhalb des Machkegels ( η 2 +ζ 2 < ) elliptisch. Zur Lösung dieser elliptischen DGL lassen sich prinzipiell Methoden heranziehen, die zur Berechnung zweidimensionaler Unterschallströmungen abgeleitet wurden. Dazu werden zunächst komplexe Variablen eingeführt. Durch anschließende zweimalige Transformation ist die Überführung der quasi-linearen DGL (9.26) in eine lineare Laplace-Gleichung möglich. Die Laplace-Gleichung läßt sich dann unter Vorgabe von Randbedingungen auf der Körperoberfläche sowie auf dem Machkegel lösen. Einführen komplexer Variablen und Transformation der Kegelkoordinaten Nachfolgend soll speziell der Schnitt x = betrachtet werden. Für diesen Schnitt entspricht die Funktion f(η, ζ) gerade dem Störpotential (Gl. (9.6)). Die für den Schnitt x = berechneten Strömungsgrößen u, v, w, c p sind in allen anderen Schnitten x = konst. für gleiche Werte von η und ζ identisch. Nun wird die komplexe Variable ξ eingeführt mit der Kegelkoordinate η als Real- und ζ als Imaginärteil. In algebraischer bzw. exponentieller Schreibweise gilt: ξ = η +i ζ = r e iω (9.27) Die geometrischen Verhältnisse sind für einen planaren Deltaflügel mit U V K für die Draufsicht und die Schnittebene x = in Abb. 9.8 dargestellt. Für die betrachtete Machzahl Ma = 2 ist der (halbe) Öffnungswinkel des Machkegels: µ = arcsin Ma = π 4 = 45 Der Schnitt durch den Machkegel ist in der Ebene x = ein Kreis, der für Ma = 2 den Radius r = aufweist. Wir wollen diesen Kreis der Einfachkeit halber als Machkreis bezeichnen.

100 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 223 Die Lage der Flügelvorderkante V K in der komplexen ξ-ebene ist: η VK = y VK (x VK ) x VK = ±tanγ Da für die aerodynamische Schlankheit nach Gl. (9.6) bei Ma = 2 bzw. µ = 45 gilt, folgt (unabhängig von x): m = tanγ tanµ = tanγ η VK = ±m Ma = 2 y γ µ = 45 o Schnitt x= x Schnittebene bei x= i ζ P r ω m m η Schnitt durch MACHkegel Abb. 9.8: Einführung komplexer Variablen in der Schnittebene x = am Beispiel eines planaren Deltaflügels mit UVK Als nächster Schritt wird die Variable ξ unter Anwendung der Tschaplygin-Transformation auf eine neue komplexe Variable ε mit dem Realteil ε R und dem Imaginärteil ε I überführt: ε = ε R +i ε I = ρ e iω (9.28)

101 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 224 Die Variable ε geht aus der Variablen ξ durch eine Streckung des Radius r auf den neuen Radius ρ hervor. Diese Tschaplygin-Transformation lautet: ρ = r 2 r bzw. r = 2ρ +ρ 2 (9.29) Mit Hilfe dieser Transformation läßt sich Gl. (9.26) in eine Laplace-Gleichung für die Funktion f (ε R, ε I ) überführen. Ohne Nachweis gilt: f εr ε R +f εi ε I = f = 0 (9.30) Diese Laplace-Gleichung läßt sich unter Vorgabe der Randbedingungen in den transformierten Koordinaten ε R bzw. ε I prinzipiell lösen und liefert das Störpotential ϕ(ε R, ε I ). Normalerweise interessieren die Geschwindigkeiten im kartesischen Koordinatensystem u, v, w. Zur Bestimmung dieser Störgeschwindigkeiten ist das Störpotential ϕ nach den kartesischen Koordinaten x, y bzw. z unter Beachtung der Transformation x, y, z ε R, ε I abzuleiten. Die Bestimmung dieser Ableitungen ist recht aufwendig, weshalb dieses Vorgehen üblicherweise nicht gewählt wird. Eine Vereinfachung ergibt sich durch eine zweite Transformation mit deren Hilfe sich direkt Laplace-Gleichungen für die kartesischen Störgeschwindigkeiten u, v, w finden lassen. Die neue komplexe Variable τ geht aus der Variablen ε durch folgende konforme Abbildung hervor: τ = τ R +i τ I = R e iϕ = 2ε +ε 2 = 2ρeiω +ρ 2 e 2iω (9.3) Für die Störgeschwindigkeit u in x-richtung gilt in Abhängigkeit der transformierten Koordinaten τ R, τ I : u τr τ R +u τi τ I = u = 0 (9.32) Die Störgeschwindigkeiten v (in y-richtung) und w (in z-richtung) berechnen sich analog durch Lösen folgender Laplace-Gleichungen: v τr τ R +v τi τ I = v = 0 (9.33) w τr τ R +w τi τ I = w = 0 (9.34) Es sei bereits hier angemerkt, daß die Laplace-Gleichungen(9.32) bis(9.34) nicht unabhängig voneinander gelöst werden dürfen. Vielmehr sind sie über die sogenannten Kompatibilitätsbedingungen miteinander verknüpft. Bevor das Vorgehen zur Gewinnung von Lösungen obiger Gleichungen diskutiert wird, sollen die beiden Transformationen ξ ε sowie ε τ veranschaulicht werden.

102 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 225 Veranschaulichung der Koordinatentransformationen i ζ ξ Ebene m m η ε Ebene i ε I m 2 i τ I τ Ebene Machkreis m ε R m m τ R Das oberste Bild in Abb. 9.9 zeigt nochmals den Schnitt x = durch den planaren Deltaflügel und den Machschen Kegel in der physikalischen ξ-ebene. Für die Berechnung der kegelsymmetrischen Strömung interessiert das Geschwindigkeitsfeld innerhalb des Machkegels und speziell auf der Flügeloberfläche. Wie sich leicht zeigen läßt wird das Innere des Machkreises bei der. Transformation auf das Innere eines Kreises mit demselben Radius ρ Machkreis = r Machkreis = abgebildet. Innerhalb des Machkreises erfolgt eine Verzerrung des Radius. Speziell wird die Halbspannweite von m auf m 2 m gestaucht. Es sei angemerkt, daß die erste Koordinatentransformation ξ ε nicht konform und somit nicht winkeltreu ist. Bei der zweiten Transformation wird das Innere des Machkreises auf die komplette τ-ebene abgebildet. Die Transformation von der ε- in die τ- Ebene ist eine konforme Abbildung. Die Berandung des Machkreises fällt auf die reelle Achse in den Bereich τ R. Der Schnitt durch den Flügelgrundriß wird wiederum auf die reelle Achse in den Bereich m τ R mabgebildet.esgiltdiewichtige Aussage: Auf der Flügeloberfläche des planaren Flügels entspricht der Realteil τ R gerade der physikalischen Kegelkoordinate η = y x! Abb. 9.9: Veranschaulichung der Transformationen von der physikalischen ξ-ebene in die komplexe τ-ebene

103 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen Prinzipielles Vorgehen zur Gewinnung von Lösungen der transformierten Laplace-Gleichungen Einführung komplexer Störgeschwindigkeitskomponenten Um Lösungen für die Laplace-Gleichungen (9.32) bis (9.34) zu gewinnen, werden zunächst komplexe Störgeschwindigkeiten eingeführt: U(τ) = u+i u V(τ) = v +i v (9.35) W(τ) = w +i w Wir wollen die Realteile der komplexwertigen Funktionen U, V, W als physikalische Störgeschwindigkeiten auffassen 2 : u = Re(U(τ)) v = Re(V(τ)) w = Re(W(τ)) (9.36) Die Einführung komplexer Geschwindigkeiten bietet eine Reihe von Vorteilen, die bereits bei der Berechnung inkompressibler Profilumströmungen nach der Methode der konformen Abbildung ausgenutzt wurden (vgl. Grundlagenvorlesung SL I). Ist beispielsweise U(τ) eine analytische, d.h. komplex differenzierbare Funktion, so sind u(τ) und u (τ) sogenannte harmonische Funktionen, welche beide automatisch die Laplace-Gleichung erfüllen. Dies bedeutet, daß jede komplex differenzierbare Funktion eine mögliche kegelsymmetrische Strömung in der τ-ebene repräsentiert. Die Aufgabe wird sein, komplexe Funktionen zu finden, die gerade die Randbedingungen auf dem zu berechnenden Tragflügel erfüllen. Ein weiterer Vorteil der komplexen Betrachtung ist, daß die konforme Abbildung einer analytischen Funktion wieder eine analytische Funktion liefert. Auf diese Weise können aus einer Lösung weitere kegelsymmetrische Strömungen gewonnen werden (vgl. Joukowsky- Abbildung). Darüberhinaus lassen sich Partikulärlösungen superponieren. Der Realteil u und der Imaginärteil u der komplexen Geschwindigkeit U(τ) sind über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen miteinander verknüpft. Diese stellen die Differenzierbarkeitsbedingung für U(τ) dar und lauten: u τ R = u τ I u τ I = u τ R (9.37) Die durchgeführten Betrachtungen gelten in gleicher Weise für die Störgeschwindigkeiten V(τ) bzw. W(τ). Vorgabe der Randbedingungen Zur Lösung der Laplace-Gleichungen müssen auf der Flügeloberfläche, entlang der Flügelkanten sowie auf dem Machkreis Randbedingungen vorgegeben werden. Dabei ist zu beachten, daß geometrische Randbedingungen (wie z.b. Kontursteigung) aus der physikalischen ξ-ebene in die komplexe τ-ebene transformiert werden müssen. Die verschiedenen Randbedingungen sollen für 2 Es wäre ebenso möglich die Imaginärteile u, v, w als physikalische Geschwindigkeiten festzulegen. In diesem Fall müßten später zur Lösung der Grundgleichung die Randbedingungen für u, v, w angesetzt werden.

104 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 227 einen angestellten planaren Flügel mit Plattenprofil nachfolgend diskutiert werden. Der Flügelgrundriß soll in der xy-ebene liegen, so daß der Schnitt bei x = nach der Transformation auf die reelle τ R -Achse fällt. ) Auf der Flügeloberfläche - kinematische Randbedingung in linearisierter Näherung: dz dx = tanα = w U +u w α U - u antimetrisch zur reellen Achse, d.h. Vorzeichenwechsel zwischen Flügelober- und Unterseite - u, v, w endlich und stetig auf dem Flügelteil innerhalb des Machkreises 2) In der Flügelebene, aber außerhalb des Flügelgrundrisses - u = 0, damit c p = 0 gilt - v antimetrisch zur reellen Achse zur Modellierung der Nachlauf-Wirbelschicht 3) An den Flügelkanten - U V K: Die Umströmung einer U V K entspricht qualitativ derjenigen einer Unterschallströmung. Die Störgeschwindigkeit u muß an der U V K eine Singularität aufweisen. In Anlehnung an die Skelett-Theorie muß gelten: u Abstand zur Vorderkante - Ü V K: Eine schlagartige Umlenkung der Strömung führt zu einer abrupten Änderung von u und w an der Vorderkante. Die Störgeschwindigkeiten u bzw. w müssen daher an der Vorderkante eine stufenförmige Diskontinuität aufweisen. - U HK: Es liegt ein glattes Abströmen vor. Die Störgeschwindigkeit u muß daher zur Hinterkante stetig bis auf den Wert u = 0 des Nachlaufs abfallen. Da die Hinterkante nicht umströmt wird, muß w an der Hinterkante endlich bleiben. - ÜHK: Wie bei der ÜVK ändern sich die Strömungsgrößen abrupt und u bzw. w müssen eine stufenförmige Diskontinuität aufweisen. 4) Außerhalb des Machkreises - u, v, w = 0 falls der Flügel komplett innerhalb des Machkegels liegt, vgl. Abb Falls Teile des Flügels außerhalb des Machkreises liegen richten sich die Randbedingungen nach den von diesen Flügelteilen hervorgerufenen Störgeschwindigkeiten, vgl. Abb Deltaflügel mit UVK u,v,w=0 u,v,w 0 Kegelige Strömung Rechteckflügel u,v,w=0 Abb. 9.20: Zur Vorgabe der Randbedingungen außerhalb des Machkegels 5) Auf dem Machkreis - u, v, w-verteilung ist stetig und identisch zu den Störgeschwindigkeiten außerhalb des Machkreises

105 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen u, v, w-verteilung ist an eventuellen Schnittpunkten des Machkreises mit dem Flügel bzw. an Berührpunkten mit Flügelkanten unstetig. Konstruktion der Lösung Gesucht werden zunächst analytische Funktionen G(τ) welche qualitativ bestimmte der oben diskutierten Randbedingungen erfüllen. Zum Beispiel wird eine Funktion benötigt, die eine Wurzelsingularität liefert, um die geforderte Randbedingung für u im Falle einer UVK zu erfüllen. Zur Erfassung einer ÜVK wird demgegenüber eine Funktion benötigt, die einen Sprung aufweist. Diese elementaren Funktionen werden anschließend so skaliert, daß die jeweilige Störgeschwindigkeit das benötigte Niveau zur Erfüllung der Randbedingung aufweist und die Sprünge bzw. Singularitäten an der gewünschten Stelle liegen. In der betrachteten τ-ebene können die Randbedingungen dabei besonders einfach vorgegeben werden, da Flügel und Machkreis auf der reellen Achse liegen und darüberhinaus auf der Flügeloberfläche τ R der physikalischen Kegelkoordinate η entspricht. Die Gesamtlösung wird gewonnen, indem alle zur Erfüllung der geforderten Randbedingungen benötigten Einzelfunktionen überlagert werden. Die resultierende Lösung liefert das Geschwindigkeitsfeld innerhalb des gesamten Machkreises. Dieses Vorgehen zur Lösung der Laplace-Gleichungen (9.32) bis (9.34) darf nur vermeintlicherweise für jede Geschwindigkeitskomponente separat durchgeführt werden. Es ist zu beachten, daß die Bedingung der Drehungsfreiheit (rot v = 0) erfüllt sein muß damit die Gültigkeit der zugrundeliegenden linearisierten Potentialgleichung gewährleistet ist. Diese Bedingung verknüpft die Geschwindigkeitskomponenten miteinander und wird Kompatibilitätsbedingung genannt. Beispiele für geeignete analytische Funktionen Es sei g(τ) eine komplexe innere Funktion, die auf der τ R -Achse reelle Werte annehmen soll. G(g(τ)) sei eine äußere analytische Funktion, die einen qualitativen Verlauf aufweisen soll, wie er zur Erfüllung bestimmter Randbedingungen erforderlich ist. Die nachfolgend diskutierten Funktionen G(g(τ)) werden später bei den Gesamtlösungen für verschiedene kegelsymmetrische Strömungen auftauchen. Die Funktionen g(τ) sind dabei jeweils so angepaßt, daß Singularitäten bzw. Sprünge in den Störgeschwindigkeiten an den gewünschten Stellen auftreten. Logarithmus-Funktion Komplexe logarithmische Funktionen haben sich als besonders geeignet zur Konstruktion kegelsymmetrischer Strömungen erwiesen. Der Realteil Re(i ln g(τ)) stellt eine Sprungfunktion beim Nulldurchgang von g(τ) dar. Die ln-funktion kann daher beispielsweise zur Vorgabe der kinematischen Randbedingung beim angestellten planaren Flügel mit ÜVK oder ÜSK dienen, siehe Abb Die Störgeschwindigkeit w nimmt dabei auf der Flügeloberfläche einen konstanten, anstellwinkelabhängigen Wert an und fällt außerhalb des Grundrisses abrupt auf w = 0 ab. Definition des natürlichen Logarithmus: lng(τ) = ln g(τ) +ϕ 0 i i π lng(τ) = i π ln g(τ) ϕ 0 π

106 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 229 Auf der reellen Achse ist der Polarwinkel ϕ 0 = 0 oder ϕ 0 = π und es folgt: ( ) { i Re π lng(τ) = ϕ 0 ϕ0 = π für g(τ) < 0 Re(τ) = π ϕ 0 = 0 für g(τ) > 0 Re(τ) = 0 Inverse trigonometrische Funktionen Mit der in Abb veranschaulichten trigonometrischen Funktion läßt sich beispielsweise der qualitativeverlaufderstörgeschwindigkeituimflügelspitzenbereicheinestragflügelsmitüvk modellieren. Innerhalb des zweidimensionalen Strömungsbereiches ist die Störgeschwindigkeit konstant, um im kegelsymmetrischen Bereich stetig auf den Wert u = 0 abzufallen, der außerhalb des Flügelgrundrisses vorliegt. G(g(τ R )) π G(g(τ R )) Re{arccos g(τ)}= 2Re{arctan g(τ) /( g(τ))} 0 Re{i/π ln g(τ)} g(τ R ) g(τ R ) Ma = 2 ÜVK ÜVK 45 2D Strömungsbereich µ w=konst w=0 kegelige Strömung USK u=konst. u variiert u=0 betrachteter Schnitt Abb. 9.2: Komplexe Logarithmus-Funktion zur Vorgabe der kinematischen Randbedingung bei einem planaren Flügel mit Plattenprofil Abb. 9.22: Komplexe inverse trigonometrische Funktion zur Vorgabe der axialen Störgeschwindigkeit u Weitere Funktionen Zur Darstellung der Störgeschwindigkeit im Bereich einer U V K werden analytische Funktionen benötigt, die eine Singularität aufweisen. Dieses Verhalten zeigt beispielsweise eine Wurzelfunktion oder das später näher diskutierte sogenannte elliptische Integral E(k, g(τ)): G(τ) = g(τ) G(τ) = E(k, g(τ))

107 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 230 Ma = 2 γ ÜVK y 2D Strömung Kegelige Strömung µ=45 x Schnitt bei x=t ζ MACHkreis η=y/x Abb. 9.23: Kegeliger Strömungsbereich an der Flügelspitze eines planaren Trapezflügels mit ÜVK Planarer Trapezflügel mit ÜVK Für den Bereich der Flügelspitze eines angestellten planaren (unverwölbt, unverwunden) Trapezflügels mit Plattenprofil wurde von Lagerstrom folgende Lösung angegeben (siehe [2]): { } 2mαU u = Re π m 2 arctan (+m)τ m(+τ) w = Re { 2αU π ( m( τ) τ(m ) arctan m( τ) τ(m ) )} ( Ma = ) 2 ( Ma = ) 2 (9.38) (9.39) mit: m = tanγ tanµ und τ = τ R +iτ I (9.40) Die Gleichungen(9.39) und(9.40) liefern das Geschwindigkeitsfeld u, w innerhalb des kompletten Machkegels in Abhängigkeit der transformierten τ-koordinate. Interessieren die Strömungsgrößen auf der Flügeloberfläche, so ist τ = τ R = η = y x und es gilt: u = +Re{G(η)} Oberseite (9.4) u = Re{G(η)} Unterseite (9.42) w = Re{G(η)} Ober- und Unterseite (9.43)

108 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 23 Es sei angemerkt, daß sich mit obigen Formeln der Flügelspitzenbereich eines Rechteckflügels berechnen läßt, wenn in Gl. (9.40) für den Vorderkantenwinkel γ = 90 gesetzt wird. Die Strömung im mittleren Bereich des Trapezflügels entspricht derjenigen eines Deltaflügels mit ÜVK und kann mit den in Abschnitt angegebenen Gleichungen berechnet werden. Dies läßt sich mit Hilfe von Abb begründen. Der dargestellte Trapezflügel kann fiktiv zu einem Deltaflügel mit ÜVK ergänzt werden. Zu den Strömungbereichen I und II gelangt keine Information über diese Geometrieänderung. Der Strömungszustand in diesen Bereichen des Trapezflügels muß daher mit demjenigen des Deltaflügels mit ÜVK übereinstimmen. Ma = 2 kegelig 2D I II III kegelig fiktive Ergänzung Abb. 9.24: Äquivalenz der Strömung im Wurzelbereich eines Trapezflügels und eines Deltaflügels mit ÜVK Planarer Rechteckflügel mit Plattenprofil Ma = 2 S S 2 y t µ=45 II S 4 I γ=90 II µ=45 S 3 t b x Schnitt bei x=t ζ MACHkreis Abb. 9.25: Planarer Rechteckflügel mit Plattenprofil η=y/x=τ R Die in Kap angegebene Lösung für den Flügelspitzenbereich eines Trapezflügels soll nun zur Bestimmung der aerodynamischen Eigenschaften eines Rechteckflügels herangezogen werden. Man geht bei der Berechnung wie in Abschnitt beschrieben vor: Detektion der Störzentren (alle Ecken des Flügels) Zeichnen der zugehörigen Machkegel Einteilen in Bereiche mit unterschiedlichem Strömungscharakter (3D, 2D: kegelig/quasizweidimensional/eben) separate Berechnung der Strömungsbereiche mit den entsprechenden Theorien

109 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 232 Gebietseinteilung und Störgeschwindigkeiten Die Gebietseinteilung liefert zwei verschiedene Strömungsbereiche: Bereich I: Der Bereich I wird von den Flügelspitzen nicht beeinflußt. Die Umströmung entspricht daher derjenigen eines unendlich langen, ungepfeilten Flügels, d.h. einer angestellten ebenen Platte. Es liegt also eine zweidimensionale, ebene Strömung vor. Für Ma = 2 gilt gemäß Kap. 5: c pi = c peben = 2α (- für Oberseite, + für Unterseite) (9.44) Der Druckbeiwert ist im gesamten Bereich I konstant. Wir werden den Druckbeiwert c peben künftig als Bezugsgröße bei der Berechnung supersonischer Flügelumströmungen verwenden. Bereich II: Es liegt eine kegelsymmetrische Strömung bezüglich der Störzentren S bzw. S2 vor. Die Strömungsgrößen u, v, w und c p sind entlang der Strahlen durch S bzw. S2 konstant. Die Störgeschwindigkeiten u und w lassen sich durch Anwendung der Gleichungen von Lagerstrom (9.38) bzw. (9.39) berechnen. Mit γ = π/2 ergibt für die aerodynamische Schlankheit des Rechteckflügels: m = tanγ tanµ = tan π 2 tan π 4 = (9.45) Hiermit folgt für die Terme in Gl. (9.38)und (9.39), welche die aerodynamische Schlankheit enthalten: lim m m m 2 = lim m +m lim m m = lim m lim m m m = lim m = (9.46) m 2 m 2 m 2 m + m = (9.47) m m m m = (9.48) Einsetzen der Gleichungen (9.46) bis (9.48) in (9.39) bzw. (9.40) liefert für die Störgeschwindigkeiten innerhalb des Machkegels: { } 2αU τ u = Re arctan (9.49) π +τ w = Re { 2αU π ( τ τ arctan )} τ τ (9.50)

110 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 233 Überprüfen der kinematischen Randbedingung Zunächst soll geprüft werden, ob bei obiger Lösung die kinematische Randbedingung auf der Flügeloberfläche tatsächlich erfüllt ist. Dazu wird die Störgeschwindigkeit w ausgewertet. Auf der Flügeloberfläche gilt im Bereich II: < τ = τ R = η < 0 rein reell τ rein imaginär τ { } τ Re = 0 τ { ( )} 2αU τ w = Re arctan π τ (9.5) Gemäß Bronstein [6] gilt arctan z = arccos +z 2 und es folgt: arctan τ τ = arccos + τ τ = arccos τ = arccos(i τ) (9.52) Mit Hilfe der Definition des natürlichen Logarithmus einer komplexen Zahl (siehe Bronstein) läßt sich Gl. (9.52) weiter umformen: ( arccosix = iln ix+ ) (ix) 2 [ = i ln ix+ ] (ix) 2 +iarg(...) [ ( = i ln i x+ ) ] +iarg(...) x 2 + [ ( = i ln x+ ) x 2 + +i π ] 2 arccos(ix) = π 2 iln(x+ x 2 +) (9.53) Durch Einsetzen von (9.53) in (9.52) folgt (Rücksubstitution x = τ): arctan τ τ = arccos ( i τ ) = π 2 iln( τ + τ + ) (9.54) Einsetzen von (9.54) in (9.5) liefert schließlich: : { 2αU [ w = Re π π 2 +iln( τ + τ + )]} w = 2αU π π 2 = α U (9.55) Die kinematische Randbedingung in linearisierter Näherung ist somit erfüllt!

111 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 234 Ermittlung der Druckverteilung im Bereich II Zur Berechnung des Druckbeiwertes c p in linearisierter Näherung muß die Störgeschwindigkeit u nach Gl. (9.49) ausgewertet werden. Mit folgt arctan arctanz = z2 arccos 2 +z 2 (9.56) ( ) τ +τ = + τ 2 arccos +τ τ = ( ) +τ +τ +τ 2 arccos +τ τ arctan τ +τ = arccos(+2τ) (9.57) 2 Nachweis von (9.56): Gl. (9.57) in (9.49) liefert: cos2α = tan2 α +tan 2 α (Bronstein) (9.58) cos(2arctanx) = [ tan(arctanx)] 2 +[tan(arctanx) ] 2 = x2 +x 2 ( ) x 2 2arctanx = arccos +x 2 arctanx = ( ) x 2 2 arccos +x 2 ˆ= Gl. (9.56) q.e.d. { } αu u = Re π arccos(+2τ) Speziell auf der Flügeloberfläche ist τ rein reell mit < τ = τ R = η < 0. Somit gilt < +2τ <. Für diesen Wertebereich ist der Arkuskosinus definiert und liefert rein reelle Werte. Für die Störgeschwindigkeit u und den Druckbeiwert folgt damit aus Gl. (9.2.6): u = αu π c p = 2u U = 2α π arccos(+2τ) (9.59) arccos(+2τ) (9.60) Die Gleichungen (9.59) und (9.60) gelten für die Flügeloberseite (OS). Für die Unterseite (US) gilt: u US (α) = u OS (α) (9.6) Somit ergibt sich: c pii = 2α π arccos(+2τ) OS +US (9.62) Gemäß Gl. (9.44) gilt c peben = 2α und es folgt für den bezogenen Druckbeiwert im Bereich II schließlich: c pii c peben = π arccos(+2τ) mit τ = τ R = η auf der Flügeloberfläche (9.63)

112 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 235 Der Verlauf des bezogenen Druckbeiwertes ist für beide Strömungsbereiche in Abb und in Abb anhand einer perspektivischen Darstellung veranschaulicht. Die Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterseite fällt an den Flügelspitzen auf Null ab. Dieser Abfall repräsentiert den auftriebsmindernden Effekt eines dreidimensional umströmten Flügels endlicher Streckung. Es ist plausibel, daß diese Auftriebsminderung gegenüber der ebenen Strömung umso geringer ausgeprägt ist, je höher die Anström-Machzahl ist, da mit zunehmendem Ma der Machsche Winkel und damit der kegelige Bereich immer kleiner wird. c P /c P eben I 0 II ebener Bereich kegeliger Bereich 0,5 η=τ R Abb. 9.26: Spannweitiger Verlauf des bezogenen Druckbeiwertes für einen planaren Rechteckflügel mit Plattenprofil Ma = 2 c P /c P eben Abb. 9.27: Perspektivische Darstellung des bezogenen Druckbeiwertes beim planaren Rechteckflügel mit Plattenprofil Bestimmung des mittleren bezogenen Druckbeiwertes im Bereich II Zur einfacheren Berechnung der Druckkräfte soll zunächst der mittlere bezogene Druckbeiwert im Bereich II bestimmt werden. Grundsätzlich ist der mittlere Druckbeiwert durch Integration über den gesamten kegeligen Bereich und anschließende Division mit der Fläche F II des Bereiches II zu ermitteln: c pii c peben = x 2 =t y 2 =0 F II x =0y (x) c pii c peben (x,y)dxdy (9.64) Die Integration in Tiefenrichtung erfolgt dabei von der Vorderkante x = 0 bis zur Hinterkante x 2 = t, vgl. Abb. 9.25, während in Spannweitenrichtung von der Grenze zwischen Bereich I und II y = f(x) bis zur Seitenkante y 2 (x) = 0 zu integrieren ist. Für den vorliegenden Fall einer kegeligen Strömung läßt sich das Vorgehen vereinfachen, da die c spannweitigen Verläufe von p c peben in verschiedenen Schnitten x = konst. affin zueinander sind. Die Verläufe sind lediglich in Spannweitenrichtung verzerrt und in jedem Schnitt x = konst. liegt derselbe Mittelwert vor. Zur Bestimmung des mittleren Druckbeiwertes ist somit die Auswertung des folgenden Linienintegrals hinreichend: c pii = c peben y y 2 =0 y (x) c pii c peben (x,y)dy (9.65)

113 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 236 Wird ein Schnitt x = betrachtet, so ist auf dem Flügel τ = τ R = η = y x= = y und die obige Integration über y ist äquivalent zur Integration über τ = τ R. Die untere Integrationsgrenze (Übergang Bereich I auf II) liegt gemäß Abb bei τ =, so daß folgt: c pii = c peben τ Einsetzen von Gl. (9.63) liefert mit τ = : c pii = c peben π τ 2 =0 τ = Zur Lösung des Integrals ist eine Substitution erforderlich: 0 c pii c peben (τ)dτ (9.66) arccos(+2τ)dτ (9.67) x = +2τ dx dτ = 2 dτ = dx (9.68) 2 Nach der Transformation der Integrationsgrenzen ergibt sich mit dieser Substitution schließlich: c pii = c peben 2π arccosxdx = [xarccosx ] + x 2π 2 = [ ] 0 0 ( π) ( 0) 2π c p II c peben = 2 (9.69) Dieser Mittelwert wird bei Betrachtung von Abb plausibel. Die schraffierten Bereiche sind flächengleich. Bestimmung von Auftrieb und Druckwiderstand Es wird zunächst die gesamte Druckkraft P bestimmt. Da ein planarer Flügel mit Plattenprofil betrachtet wird ergibt sich die Druckkraft aus der Integration der Druckdifferenzen zwischen Ober- und Unterseite: P = (p US p OS )df F = q F ( ) p US p p OS p df q q P = q (c pus c pos )df (9.70) F

114 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 237 Beim Plattenprofil gilt c pus = c pos und es folgt: P = q F P = q F 2c pos df 2 c p c peben c pebenos df (9.7) Für Ma = 2 ist nach Gl. (9.44) c pebenos = 2α und es resultiert: P = q F P = 4αq [ 4α c p c peben df F I c pi df +2 c peben F II c pii c peben df ] (9.72) Die beiden Teilintegrale entsprechen den mittleren bezogenen Druckbeiwerten multipliziert mit den Flächen der jeweiligen Strömungsbereiche. Damit erhält man schließlich: [ P = 4αq F I +2 c ] p II F II c peben [ P = 4αq b t t 2 +2 t 2 ] 2 2 [ ] P = 4αq b t t2 (9.73) 2 Die resultierende Druckkraft wirkt normal zur Plattenoberfläche. Die Aufspaltung in eine Komponente in Anströmrichtung und in eine Komponente normal zur Anströmrichtung liefert den Druckwiderstand W und den Auftrieb A. Für kleine Anstellwinkel folgt: [ ] A = P cosα P = 4αq b t t2 (9.74) 2 [ ] W = P sinα P α = 4α 2 q b t t2 (9.75) 2 Für die dimensionslosen Beiwerte sowie für den Auftriebsgradienten ergibt sich daraus in Abhängigkeit von der Flügelstreckung Λ = b2 c A = A q F = P dc A dα = 4 ( 2Λ F : q F = 4α ) c W = W q F = P α q F = 4α2 ( t ) ( = 4α ) 2b 2Λ ( ) 2Λ (9.76) (9.77) (9.78) Es sei nochmals betont, daß die Ergebnisse für Ma = 2 gültig sind. Darüberhinaus dürfen die beiden kegeligen Bereiche nicht überlappen.

115 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 238 Nun sollen noch einige Anmerkungen zum resultierenden Widerstand gemacht werden. Zunächst ist festzuhalten, daß bei der vorliegenden ÜVK keine Saugkraft zu berücksichtigen ist. Gl. (9.75) repräsentiert daher direkt den tatsächlichen Druckwiderstand. Dieser Druckwiderstand enthält zwei Anteile, zum einen den kompressibilitätsbedingten Wellenwiderstand und zum anderen den bei der dreidimensionalen Umströmung von Flügeln endlicher Streckung resultierenden induzierten Widerstand bzw. Wirbelwiderstand. Der Begriff induzierter Widerstand wird üblicherweise bei subsonischen Flügelumströmungen verwendet, da er sich über die von der Nachlaufinduktion hervorgerufenen Drehung des Druckkraftvektors begründen läßt. Bei der Überschallumströmung eines Flügels mit ÜHK kann der Nachlauf jedoch keine Störwirkung auf den Flügel ausüben. Allerdings entsteht auch bei Überschallumströmung eine Wirbelschicht im Nachlauf wenn sich die gebundene Zirkulation in Spannweitenrichtung ändert. Wie in Kap. 6 beschrieben muß zur Erzeugung dieses Nachlaufs ständig Energie aufgewendet werden, was sich als zusätzlicher Widerstand äußert. Aus den geschilderten Gründen ist es treffender diesen WiderstandsanteilimÜberschallals Wirbelwiderstand undnichtals induziertenwiderstand zu bezeichnen. Methoden zur Quantifizierung des Wirbelwiderstandes werden im Rahmen dieser Vorlesung nicht behandelt. Es ist jedoch plausibel, daß der Beiwert des Wirbelwiderstandes vom Auftriebsbeiwert c A und der Streckung Λ abhängt. Für eine grobe Abschätzung der Widerstandsanteile soll die Gl. (6.43) zur Berechnung des induzierten Widerstandes eines Flügels mit elliptischer Zirkulationsverteilung bei inkompressibler Umströmung angesetzt werden: c Wi Ma =0 = c2 A πλ Mit den Gleichungen (9.76) und (9.78) folgt damit für den bezogenen Widerstandsbeiwert: c W c Ma =0 = c W = 4α2( ) 2Λ πλ = c 2 Wi A 6α 2 ( 2Λ) 2 4 ( ) (9.79) πλ 2Λ mehrfache Überlappung einfache Überlappung keine Überlappung dc A /dα c W /(c A 2 /πλ) πλ Λ Es ist zu erwarten, daß der Wellenwiderstand einen umso größeren Anteil gegenüber dem Wirbelwiderstand hat, je größer das Verhältnis W c ist. Der Verlauf dieses c 2 A /πλ Verhältnisses ist in Abb über der Flügelstreckung aufgetragen. Λ c W c 2 A /πλ dc A dα (.57 2) Abb. 9.28: Verlauf des Auftriebsgradienten sowie des bezogenen Druckwiderstandsbeiwertes für einen planaren Erwartungsgemäß nimmt der Anteil des Wellenwiderstandes am Rechteckflügel in Abhängigkeit der Streckung (Ma = 2) Gesamtwiderstand mit der Streckung zu. Für < Λ < 2 liegen einfach bzw. für Λ < mehrfach überlappende kegelige Bereiche vor, die nach Gl. (9.79) nicht berechnet werden können. Weiter ist in Abb. (9.28) der Verlauf des Auftriebsgradienten eingezeichnet. Es wird deutlich, daß dc A dα für Λ gegen den Wert der ebenen Platte dc A dα Ma = 2 = 4 strebt.

116 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen Planarer Deltaflügel mit ÜVK Ma = 2 t γ I II y b x ζ m m τ R Abb. 9.29: Planarer Deltaflügel mit ÜVK Für den planaren Deltaflügel mit Plattenprofil gilt im Falle einer ÜVK für Ma = 2 nach Lagerstrom [2]: { } 2mαU τ u = Re π m 2 arccos 2 ( m 2 τ 2 Ma = ) 2 (9.80) w = Re { αu ( τ +m ) } ( π i ln Ma = ) 2 τ m (9.8) Diese Gleichungen sind nicht nur innerhalb des Machkegels anwendbar, sondern können zur Berechnung der Strömungszustände auf der kompletten Flügeloberfläche herangezogen werden. Eine ÜVK liegt vor, falls gilt: m = tanγ tanµ Bei Ma = 2 ist tanµ = und für den Deltaflügel folgt: m = tanγ = b/2 t

117 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 240 Mit Λ = b2 F = b2 b t/2 = 2b t b t = Λ 2 resultiert als geometrische Voraussetzung, daß eine ÜVK vorliegt und damit Gl. (9.80) und (9.8) gültig sind: ( Λ 4 Ma = ) 2 (9.82) Gebietseinteilung und Ermittlung der Druckverteilung Die Gebietseinteilung liefert nach Abb zwei Bereiche: Bereich I ( τ ): Es liegt eine kegelsymmetrische Strömung bezüglich der Spitze des Deltaflügels vor. Die Strömungsgrößen sind entlang der Strahlen durch das Kegelzentrum konstant. Für den bezogenen Druckbeiwert in linearisierter Näherung folgt mit Gl. (9.44) und (9.80): ui { } c pi 2U = 2 c peben 2α = Re m τ π m 2 arccos 2 m 2 τ 2 (9.83) Auf der Flügeloberfläche gilt im Bereich I: < τ = τ R = η < 0 < τ 2 < und m 2 τ 2 τ 2 0 τ 2 0 m 2 τ 2 (rein reell) Für diesen Wertebereich des Argumentes ist der Arkuskosinus definiert und liefert reelle Werte. Darüberhinaus ist m 2 rein reell und es folgt für den bezogenen Druckbeiwert: Bereich II ( τ m): c pi = 2 m τ c peben π m 2 arccos 2 m 2 τ 2 (9.84) Die Bereiche II liegen ausschließlich im Einflußbereich einer einzelnen, geradlinigen Flügelkante. Da ein planarer Flügel mit Plattenprofil vorliegt ist die Strömung quasi-zweidimensional und entspricht derjenigen eines unendlich gestreckten gepfeilten Flügels mit identischem Vorderkantenwinkelγ undüvk.fürdiesenfallwerdendieströmungsgrößenindenbereicheniikonstant sein. Dies soll nachfolgend durch eine Auswertung der Gl. (9.80) überprüft werden. Auf der Flügeloberfläche gilt im Bereich II: τ = τ R = η m τ 2 m 2 τ 2 rein imaginär

118 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 24 Mit Gl. (9.53): [ ( arccosix = i ln x+ ) x 2 + +i π ] 2 folgt: τ 2 τ arccos m 2 τ 2 = arccosi 2 m 2 τ 2 τ 2 arccos m 2 τ 2 = π 2 iln ( τ 2 m 2 τ 2 + τ 2 ) m 2 τ 2 + (9.85) Da τ2 > 0, ist das Argument des Logarithmus rein reell. Hiermit folgt aus (9.80) für die m 2 τ 2 Störgeschwindigkeit u sowie für den bezogenen Druckbeiwert: u II = Re { 2mαU π m 2 [ ( π reelle 2 i ln Größe ) ]} = αu m m 2 (9.86) c p II = 2uII U c peben 2α = m = konst. (9.87) m 2 Wie erwartet ist der bezogene Druckbeiwert im Bereich II somit konstant. Der Zahlenwert von c pii c peben hängt von der aerodynamischen Schlankheit bzw. dem Vorderkantenwinkel γ ab und läßt sich alternativ nach der in Kap. 8.3 diskutierten Methode aus der Überschallumströmung einer ebenen Platte ermitteln. Für das vorliegende Problem ist dabei ein gescherter Flügel mit Sehne parallel zur x-achse zu betrachten. 2 c p / c peben.5 γ = 45 o γ = 50 o γ = 60 o γ = 70 o γ = 80 o γ = 90 o m / m 2 c p / c p, eben 2D II kegelig I m Abb. 9.30: Verlauf des bezogenen Druckbeiwertes für einen planaren Deltaflügel mit ÜVK (Ma = 2) m τ τ / m Abb. 9.3: Verlauf des bezogenen Druckbeiwertes über τ für einen planaren Deltaflügel mit m ÜVK mit unterschiedlichem Vorderkantenwinkel γ (Ma = 2) c Für den Grenzfall eines Rechteckflügels geht m und nach Gl. (9.87) nimmt pii c peben erwartungsgemäß den Wert an. Der andere Grenzfall, der mit den vorliegenden Gleichungen berechnet werden kann, liegt für γ µ = 45 vor. Die Vorderkante des Deltaflügels fällt dabei gerade mit der Machschen Linie zusammen. In diesem Fall ist m = und cp II c peben strebt gegen Unendlich. Dieser Grenzfall repräsentiert den Übergang zu einer umströmten U V K (siehe Kap ). Zwischen γ = 90 und γ = 45 wächst der bezogene Druckbeiwert stetig an. Physikalisch ist dieser Anstieg damit zu begründen, daß mit abnehmendem Vorderkantenwinkel

119 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 242 (= zunehmende Pfeilung) die Normal-Machzahl Ma n abnimmt, was im Überschall nach den Ähnlichkeitsregeln zu einer betragsmäßigen Erhöhung des Druckniveaus führt. Dieses Verhalten wird anhand der Auftragung der bezogenen Druckverläufe nach (9.84) bzw. (9.87) für verschiedene Vorderkantenwinkel deutlich, siehe Abb Es ist zu beachten, daß in Abb. 9.3 die bezogenen Druckbeiwerte über τ m aufgetragen sind, während Abb den Verlauf für einen ausgewählten Grundriß über der Kegelkoordinate η = y x zeigt. Es fällt auf, daß am Übergang von Bereich I nach II physikalisch korrekt kein Drucksprung resultiert. Dies läßt sich durch Einsetzen der Bereichsgrenze τ = ± in Gl. (9.84) bzw. (9.87) zeigen: c pi c peben (τ = ) = 2 π m m 2 arccos 2 m 2 2 = m m 2 = c p II c peben Mittlerer Druckbeiwert und Kraftbeiwerte Vor der Ermittlung der Kraftbeiwerte soll zunächst wieder der mittlere bezogene Druckbeiwert berechnet werden. Wie in Abschnitt begründet kann der Mittelwert im kegeligen Strömungsbereich durch Auswerten eines Linienintegrals in Spannweitenrichtung bestimmt werden. Dies gilt ebenso für ebenso für den vorliegenden Bereich II mit konstantem Druck. Unter Ausnutzung der Flügelsymmetrie läßt sich daher schreiben: c p = m c p dτ = c peben m c peben m c p c peben = 0 = 2 m π 0 c m pi dτ + c peben c pii m τ 2 arccos m 2 m 2 τ 2 dτ τ 2 arccos m 2 π m 2 τ 0 Eine aufwendige Rechnung zeigt, daß für das Integral gilt: dτ c peben m m 2 (m ) dτ +m (9.88) 2 0 arccos τ 2 m 2 τ 2 dτ = π 2 [ m 2 (m )] (9.89) Hiermit folgt: c p c peben = [ 2 m 2 π π ( ] m (m )) 2 2 +m = (9.90) Dies bedeutet, daß beim Deltaflügel mit ÜVK der mittlere Druckbeiwert unabhängig vom Vorderkantenwinkel dem Druckbeiwert einer angestellten, ebenen Platte entspricht! Deutlich c wird dies daran, daß sich die Flächen ober- und unterhalb der Linie p c peben = für alle Pfeilwinkel gerade aufheben, siehe Abb Als Konsequenz ergibt sich daraus, daß der Beiwert der resultierenden Druckkraft demjenigen der angestellten ebenen Platte bei Überschallumströmung entsprechen muß. Gleiches gilt für die Anteile in sowie normal zur Anströmrichtung, also für die Beiwerte des Druckwiderstandes und

120 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 243 des Auftriebs. Nach Kap. 5 folgt damit ohne weitere Rechnung für den Deltaflügel mit ÜVK bei Ma = 2: c A = c aeben = 4α (9.9) dc A dα = 4 (9.92) c W = 4α 2 (9.93) Gl. (9.93) repräsentiert wiederum den gesamten Druckwiderstand, bestehend aus WellenwiderstandundWirbelwiderstand.DaeineÜVK vorliegt,mußkeinesaugkraftberücksichtigtwerden. Für den bezogenen Widerstandsbeiwert resultiert: c W c 2 A /πλ = π 4 Λ (9.94) 6 Deltaflügel mit UVK Deltaflügel mit ÜVK c W /(c A 2 /πλ) Abb zeigt den Verlauf des bezogenen Widerstandsbeiwertes sowie des Auftriebsgradienten in Abhängigkeit von der Flügelstreckung Λ. 4 2 c WoS dc A /dα Λ c W c 2 A /πλ dc A dα Saugkraft c W Die im nächsten Abschnitt abgeleiteten Ergebnisse für den Deltaflügel Λ mit UVK sind bereits ergänzt. Ein Abb. 9.32: Verlauf des Auftriebsgradienten sowie des bezogenen Vergleich mit den Ergebnissen für Widerstandsbeiwertes für einen planaren Deltaflügel (Ma = den Rechteckflügel(Abb. 9.28) zeigt, 2) daß beim Deltaflügel der bezogene Widerstandsbeiwert niedriger und somit die aerodynamische Güte c A cw höher ist. Dies bestätigt die in Abschnitt diskutierten Vorteile des Pfeilflügels im Überschall.

121 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen Planarer Deltaflügel mit UVK Ma = 2 y t µ γ x b ζ η m m η=τ R =y/x Abb. 9.33: Kegelige Strömung beim planaren Deltaflügel mit UV K Für den planaren Deltaflügel mit Plattenprofil gilt im Falle einer U V K nach Lagerstrom [2] für Ma = 2: { m 2 } αu u = Re (Ma = ) 2 (9.95) E(k) m 2 τ 2 w = Re { αu E(k) [ τ ]} τ 2 τ 2 m 2 E(k,ϑ) ( Ma = ) 2 (9.96) mit: k = m 2 (9.97) und: ϑ = arcsin τ 2 k = arcsin τ 2 m 2 (9.98)

122 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 245 Die Funktionen E(k) bzw. E(k, ϑ) stellen sogenannte elliptische Integrale dar, die nicht analytisch lösbar sind. Allerdings finden sich z.b. in [6] tabellierte Lösungen. Konkret enthalten obige Gleichungen elliptische Integrale zweiter Gattung. Man unterscheidet: Vollständiges elliptisches Integral zweiter Gattung: E(k) = π/2 0 k 2 sin 2 ϕ dϕ (9.99) Unvollständiges elliptisches Integral zweiter Gattung: E(k, ϑ) = ϑ 0 k 2 sinϕ dϕ (9.00) Gebietseinteilung und Ermittlung der Druckverteilung Auf dem Flügel liegt lediglich ein Bereich vor, in dem die Strömung kegelsymmetrisch bezüglich der Spitze des Deltaflügels ist. Da auf dem Flügel m 2 τ 2 0 und E(k) reell ist folgt aus Gl. (9.95) für den bezogenen Druckbeiwert in linearisierter Näherung: c p = 2 u U c peben 2α = m2 E(k) m 2 τ = m 2 E(k) (9.0) τ2 m 2 c p / c p eben m / E(k) π/2 m m η=τ R Abb. 9.34: Verlauf des bezogenen Druckbeiwertes für einen planaren Deltaflügel mit UV K Da k gemäß Gl. (9.97) lediglich eine Funktion von m ist, hängt m E(k) nur von der aerodynamischen Schlankheit ab. Für einen gegebenen Zahlenwert von m läßt sich der konstante Vorfaktor mit Hilfe tabellierter Werte [6] von E(k) ermitteln. Der qualitative Verlauf der Druckverteilung wird durch die Wurzelfunktion in Gl. (9.0) bestimmt. τ m ( ) cp cp ( eben ) m E(k) Dieser Verlauf ist in Abb aufgetragen. Die Druckverteilung weist erwartungsgemäß an der umströmten U V K eine Singularität auf.

123 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 246 Mittlerer Druckbeiwert und Kraftbeiwerte Der mittlere bezogene Druckbeiwert ergibt sich bei der vorliegenden kegelsymmetrischen Strömung wiederum durch Auswerten eines Linienintegrals in Spannweitenrichtung: c p = m c p dτ = m c peben m c peben E(k) ( cp ) c peben ( m E(k) 0 m 0 m 2 τ dτ 2 = m ( τ ) m E(k) arcsin = m ( π ) m E(k) 2 0 = π m 2 E(k) 0 ) = π 2 (9.02) Die resultierende Druckkraft P berechnet sich analog zu(9.73) aus dem bezogenen Druckbeiwert: P = 4αq c p c peben F (9.03) Bei der Anwendung dieser Gleichung ist zu beachten, daß bei der Bestimmung des Druckbeiwertes c p die linearisierte Näherung verwendet wurde. Dabei ist vorausgesetzt, daß die Störgeschwindigkeit u klein gegenüber U ist, was im Bereich einer umströmten UVK sicher nicht mehr gewährleistet ist. Im Bereich der Vorderkante können von Gl. (9.03) und (9.02) somit keine zuverlässigen Werte mehr erwartet werden. Es hat sich jedoch gezeigt, daß obige Näherung zur Berechnung der integralen Druckkraft hinreichend ist. Unter der Annahme kleiner Anstellwinkel folgt aus (9.03) für den Auftriebsbeiwert: c A = A q F = P cosα q F P q F = 4α c p c peben = 2πα m E(k) (9.04) Um, wie bei den anderen betrachteten Flügelgrundrissen, die Abhängigkeit des Auftriebsgradienten von der Streckung zu erhalten, muß in dieser Gleichung m durch Λ ausgedrückt werden. Für den Deltaflügel ist bei Ma = 2: Λ = 4m Damit folgt: Um den Verlauf von dc A dα bzw. Λ = 4 ausreichend. Grenzfall (Λ 0): m = Λ 4 c A = π 2 αλ E(k) dc A dα = π 2 Λ E(k) (9.05) (9.06) (9.07) über Λ zu skizzieren ist die Berechnung der beiden Grenzfälle Λ = 0 Λ 0 m 0 k = m 2

124 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 247 Gemäß [6] gilt für das vollständige elliptische Integral: so daß für den Auftriebsgradient folgt: E(k = ) = dc A dα (Λ 0) = π 2 Λ (9.08) Die Ableitung von (9.08) nach Λ liefert die Steigung der Kurve dc A dα d dλ ( ) dca = π dα 2 für Λ 0 über Λ im Ursprung: Grenzfall 2 (Λ = 4) Λ = 4 m = k = m 2 = 0 Mit E(k = 0) = π 2 folgt: dc A (Λ = 4) = Λ = 4 (9.09) dα Mit Hilfe dieser beiden Grenzwerte läßt sich der Verlauf in Abb ergänzen. Bei der Ermittlung des Druckwiderstandes ist zu beachten, daß durch die Umströmung der U V K eine Saugkraft resultiert. Die Komponente der Druckkraft (9.03) in Anströmrichtung liefert zunächst lediglich den Druckwiderstand ohne Erfassung der Saugkraft (Index os ): c WoS = c A α = π 2 α2 Λ E(k) Mit Gl. (9.06) folgt für den Anstellwinkel in Abhängigkeit des Auftriebsbeiwertes: (9.0) α = c A π 2 Λ E(k) α 2 = c2 A πλ E2 (k) πλ 4 Damit resultiert: c WoS = c2 A 2E(k) (9.) πλ Die Saugkraft ist mit Hilfe der vorliegenden Theorie nicht zu berechnen. Die Lösung für den Beiwert der Saugkraft c S sei daher ohne Nachweis angegeben: c S = c2 A m 2 (9.2) πλ Diese Saugkraft ist entgegen der Anströmrichtung orientiert und reduziert daher den Druckwiderstand nach Gl. (9.). Für den Beiwert des tatsächlichen Druckwiderstandes, welcher die beiden Anteile Wellen- und Wirbelwiderstand enthält, folgt damit schließlich: c W = c WoS c S = c2 A [2E(k) πλ ] m 2 (9.3)

125 9.2 Kegelsymmetrische Strömungen 248 Für den bezogenen Widerstandsbeiwert resultiert: c W c 2 A /πλ = 2E(k) m 2 (9.4) Für die beiden Grenzfälle Λ 0 bzw. Λ = 4 ergeben sich folgende Zahlenwerte: Λ 0 m 0 k E(k = ) = c W c 2 = (9.5) A /πλ Λ = 4 m = k = 0 E(k = 0) = π 2 c W c 2 = π (9.6) A /πλ Die beiden Verläufe des Druckwiderstandes mit und ohne Berücksichtigung der Saugkraft sind in Abb eingezeichnet. Die Abbildungen 9.35 und 9.36 zeigen einen Vergleich der berechneten Verläufe von Auftriebsgradient und bezogenem Druckbeiwert mit experimentellen Ergebnissen. Auch wenn beim Experiment ein Deltaflügel mit endlicher Profildicke vermessen wurde ist die Übereinstimmung mit den reibungsfreien Berechnungsergebnissen insgesamt zufriedenstellend. Abb. 9.35: Verlauf des Auftriebsgradienten für einen planaren Deltaflügel: Vergleich lineare Theorie mit Experimenten, entnommen aus [42] Abb. 9.36: Verlauf des bezogenen Druckwiderstandsbeiwertes für einen planaren Deltaflügel: Vergleich lineare Theorie mit Experimenten, entnommen aus [42]

126 0 Das Singularitätenverfahren zur Berechnung reiner Überschallströmungen Mit der Theorie der kegeligen Strömungen hatten wir eine Methode zur exakten, analytischen Lösung der linearisierten Potentialgleichung für reine Überschallströmungen kennengelernt. Die Theorie liefert Aussagen zu Auftrieb, Wellen- und Wirbelwiderstand. Allerdings mussten an die Geometrie der betrachteten Körper bestimmte, einschränkende Bedingungen geknüpft werden. Die Körper mussten zumindest partiell kegelige Randbedingungen aufweisen um eine Berechnung für diese Bereiche zu ermöglichen. Mit der in diesem Kapitel diskutierten Singularitätenmethode soll ein Verfahren bereit gestellt werden, mit dem sich prinzipiell beliebig geformte Körper bei einer reinen Überschallströmung berechnen lassen. Singularitäten stellen zunächst Partikulärlösungen (=Elementarlösungen) der zu lösenden Grundgleichung dar. In der Strömungslehre-Vorlesung sowie in Aerodynamik I wurden bereits Quellen, Senken, Potentialwirbel, Parallelströmungen sowie Dipole als Partikulärlösungen der linearen Potentialgleichung (Laplace-Gleichung) vorgestellt. Zur Modellierung der inkompressiblen Umströmung von Körpern (z.b. Profilskelette) wurden problemspezifisch ausgewählte Singularitäten auf der Körperoberfläche bzw. der Körperachse angeordnet und deren Stärke so ermittelt, daß bestimmte Randbedingungen (z.b. kinematische Randbedingung) erfüllt waren. Analog lassen sich Partikulärlösungen der linearisierten Potentialgleichung finden und zum Aufbau von Berechnungsmethoden für kompressible Unter- oder Überschallströmungen nutzen. 0. Grundgleichung und Elementarlösungen Das Singularitätenverfahren basiert, ebenso wie the Methode der kegeligen Strömung, auf der Lösung der linearisierten Potentialgleichung für reine Überschallströmungen, die in Störpotentialformulierung folgende Form annimmt (identisch zu Gl. (9.)): ( Ma 2 ) ϕ xx ϕ yy ϕ zz = 0 (Ma > ) (0.) Es gelten die in Kap. 9. diskutierten Annahmen und Einschränkungen. Analog zur Quelle als Partikulärlösung der Laplace-Gleichung lässt sich eine Überschallquelle als Elementarlösung von Gl. (0.) finden. Das Störpotential einer diskreten, d.h. punktförmigen, Überschallquelle in einem Aufpunkt A im Raum ergibt sich dabei zu: ϕ A = Q 2πr h (0.2) Q repräsentiert die Singularitätenstärke, wobei positive Werte Q > 0 einem positiven Volumenstrom (Quelle) und Q < 0 einem negativen Volumenstrom (Senke) entsprechen. Hierbei stellt r h den hyperbolischen Abstand dar in Anlehnung an den hyperbolischen Charakter der 249

127 0. Grundgleichung und Elementarlösungen 250 Grundgleichung (0.). Er ist folgendermaßen definiert: r h = (x A x S ) 2 B 2 (y A y S ) 2 B 2 (z A z S ) 2 (0.3) mit dem Prandtl-Faktor: B = Ma 2 (0.4) In Gl. (0.3) repräsentieren x A, y A und z A die Koordinaten des betrachteten Aufpunktes während x S, y S und z S den Singularitätenaufpunkt kennzeichnen. Wie sich leicht zeigen lässt, nimmt der hyperbolische Abstand innerhalb des Vor- bzw. des Nachkegels zum Aufpunkt der Überschallquelle reelle Werte an, außerhalb ist er imaginär und auf den Mantelflächen der Kegel gilt r h = 0. Die Achse der Kegel ist dabei parallel zur Anströmrichtung orientiert. Nach Gl. (0.2) folgt, daß das Störpotential auf der gesamten Mantelfläche von Vor- und Nachkegel sowie speziell am Ort der Quelle singulär ist. Innerhalb von Vor- bzw. Nachkegel nimmt ϕ reelle Werte an. Es ist bekannt, daß sich bei einer realen Überschallströmung Störungen lediglich innerhalb des Nachkegels ausbreiten können. Außerhalb des Nachkegels verschwindet die Störwirkung. Um diesem Umstand Rechnung zu tragen wird bei der praktischen Anwendung der Singularitätenmethode das Störpotential(sowie die Störgeschwindigkeiten) einer Überschallquelle außerhalb ihres Nachkegels zu Null gesetzt. Die Äquipotentialflächen (ϕ A = konst.) einer diskreten Überschallquelle sind Hyperboloide. Die Stromflächen stehen senkrecht darauf. Abb. 0. zeigt einen Schnitt durch verschiedene Äquipotentialflächen einer Überschallquelle (Q > 0) für Ma = 2, wobei der Anströmvektor in horizontaler Richtung orientiert ist. Die Achse des Nachkegels ist parallel dazu. Der Nachkegel zur Quelle Q stellt dabei die Äquipotentialfläche für ϕ A dar. Es ist zu beachten, daß in Abb. 0. lediglich die Äquipotentialflächen des Stör potentials der Quelle dargestellt sind, das Potential der parallelen Anströmung ist nicht berücksichtigt. Die Anströmbedingungen müssen allerdings definiert werden, um den Öffnungswinkel des Machkegels sowie die Orientierung der Kegelachse festzulegen. Die (nicht eingezeichneten) Stromflächen der Störgeschwindigkeiten (vor Überlagerung mit U ) beginnen am Nachkegel und sind dort orthogonal zur Mantelfläche orientiert. Sie schwenken stromab in Richtung der positiven x-achse ein, wobei an jeder Schnittlinie zu den Äquipotentialflächen ein rechter Winkel auftritt. Das abrupte Einsetzen einer Störgeschwindigkeit (hier an der Mantelfläche des Nachkegels) ist nichts Ungewöhnliches für Überschallströmungen, sondern eine Konsequenz des im Verhältnis zur Anströmgeschwindigkeit kleineren Ausbreitungsgeschwindigkeit von Störungen, vgl. Kap Das resultierende Gesamt- Abb. 0.: Äquipotentiallinien einer Überschallquelle bei Ma = 2 Überlagerung des Störgeschwindigkeitsfeldes Geschwindigkeitsfeld erhält man durch mit der Anströmgeschwindigkeit U. Es sei angemerkt, daß das resultierdende Geschwindigkeitsfeld, im Gegensatz zur inkompressiblen

128 0.2 Allgemeine Anmerkungen zur Anwendung der Singularitätenmethode 25 Quelle, nicht anschaulich das Strömungsfeld einer punktförmigen Quelle beschreibt, die Fluid in einer Überschallanströmung aussprudelt Ėine stellt lediglich eine generische Lösung der Grundgleichung dar, die aufgrund der formalen Ähnlichkeit von Gl. (0.2) Überschallquelle zum Störpotential einer inkompressiblen Quelle analog benannt wird. Es lassen sich Elementarlösungen für die linearisierte Potentialgleichung bei beliebigen Unterschall- bzw. Überschall Machzahlen finden. Die Äquipotential- und Stromflächen dieser kompressiblen Quellen sind schematisch in Abb. 0.2 für verschiedene Machzahlen dargestellt. Hierbei ist wiederum nur die reine Störwirkung der Quelle betrachtet. Ma Ψ=konst. ϕ=konst. µ µ Ma = 0 0< Ma < Ma = Ma > Abb. 0.2: Äquipotential- und Stromflächen der Störwirkung kompressiblen Quellen für verschiedene Anström-Machzahlen (schematisch) Neben der Überschallquelle existieren auch Überschall-Dipole und-wirbel als Elementarlösungen der linearisierten Potentialgleichung. Diese Singularitäten sollen im Rahmen dieser Vorlesung jedoch nicht weiter vertieft werden, da sich im Überschall unter bestimmten Voraussetzungen auch die Umströmung auftrieberzeugender Flügel unter Verwendung reiner Quellsingularitäten berechnen lässt. 0.2 Allgemeine Anmerkungen zur Anwendung der Singularitätenmethode Prinzipiell lassen sich zur Lösung der linearisierten Potentialgleichung für reine Überschallströmungen (Gl. (0.)) die aus der Unterschallaerodynamik bekannten Methoden (wie Tropfenoder Skelett-Theorie, Wirbelleitermethode oder Panelverfahren) übertragen. Dabei wird die Körperoberfläche bzw. die Skelettfläche mit einer geeigneten Singularitätenverteilung belegt, wobei freilich die für die linearisierte Potentialgleichung bei reiner Überschallströmung abgeleiteten Elementarlösungen verwendet werden müssen. Die Singularitätenstärken werden so festgelegt, daß die vorgegebenen Randbedingungen (z.b. kinematische Randbedingung) erfüllt sind. Bei der Berechnung des Störeinflusses der Singularitäten ist zu beachten, daß die Singularitäten nur Aufpunkte innerhalb ihres Nachkegels beeinflussen, die Störwirkung außerhalb des jeweiligen Nachkegels wird zu Null gesetzt! Je nach Problemstellung ist die Lösung einer Integralgleichung notwendig oder aber es ist eine direkte Intergration hinreichend. Zur Erfassung des Machzahl- Einflusses lassen sich die in Kap. 4.4 diskutierten Ähnlichkeitsregeln anwenden.

129 0.2 Allgemeine Anmerkungen zur Anwendung der Singularitätenmethode 252 Anwendungsbeispiele Abb. 0.3: Druckverteilung im Profilschnitt eines Pfeilflügels bei Überschallumströmung (entnommen aus [38]) Abb. 0.3 zeigt exemplarisch die Anwendung eines supersonischen Wirbelleiter-Verfahrens zur Berechnung der Umströmung eines Pfeilflügels mit Unterschallkanten (vgl. Kap. 9..3). Dargestellt ist die Lastverteilung c p, normiert mit dem Anstellwinkel, in einem ausgewählten Profilschnitt. Die Ergebnisse des Wirbelleiter-Verfahrens sind durch die Symbole gekennzeichnet, während die durchgezogene Linie die mittels der Methode der kegeligen Strömungen berechneten Resultate wiedergibt. Die Methode der kegeligen Strömungen liefert eine exakte Lösung der Grundgleichung (linearisierte Potentialgleichung) und kann daher als Referenzlösung zur Kontrolle des numerischen Wirbelleiter-Verfahrens angesehen werden. Das Wirbelleiter-Verfahren zeigt, je nach Feinheit der Diskretisierung, ein gewisses Verschmieren der Druckverteilung. Die Anwendung eines Panelverfahrens höherer Ordnung (HISSS) zur Lösung der linearisierten Potentialgleichung bei reiner Unterschall bzw. reiner Überschallströmung zeigt Abb Dargestellt sind die Druckverteilungen für einen Schnitt durch den Tragflügel des Eurofighter bei ausgeschlagener Wölbklappe (η = 5 ) und einer Anström-Machzahl von Ma = 0.4 bzw. Ma =.2. Die Umströmung bei Unterschall zeigt die in der Aerodynamik diskutierten Charakteristika. Der Druckbeiwert c p ist im Bereich der Anlegelinie maximal weist aber auf Grund des Pfeilungseffektes nicht das Niveau eines Staupunktes auf. Auf der Oberseite ist eine leichte Saugspitze mit anschließendem Druckanstieg erkennbar. Auf der gesamten Unterseite herrscht ein höheres Druckniveau, insgesamt resultiert ein positiver Auftrieb. Weiter ist der in der Vorlesung Profilentwurf diskutierte Einfluß des Klappenausschlages erkennbar. Bei einem positiven Klappenausschlag (nach unten ) resultiert auf der Oberseite im Bereich des Klappendrehpunktes eine lokale Übergeschwindigkeit während sich auf der Unterseite eine lokale Verzögerung ergibt. Bei einer Steigerung der Anström-Machzahl auf Ma =.2 ist hinsichtlich des Strömungscharakters der Vorder- vom Hinterkantenbereich zu unterscheiden. Auf Grund des hohen Pfeilwinkels liegt bei dieser Anström-Machzahl eine Unterschallvorderkante vor. Entsprechend ändert sich der Strömungscharakter gegenüber der Unterschallumströmung bei Ma = 0.4 nicht grundlegend. Der hohe Druckbeiwert im Bereich der Anlegelinie sowie der lokale Unterdruck auf der Oberseite sind auch bei Überschallumströmung deutlich erkennbar. Die nahezu ungepfeilte Hinterkante stellt demgegenüber eine Überschallkante dar. Die Druckbeiwerte im Bereich der Klappe hängen von der lokalen Kontursteigung im Vergleich zum Anströmvektor ab. Auf der Oberseite resultiert ein hoher Unterdruck, während auf der Unterseite eine deutliche Verzögerung erkennbar ist. Die Fläche zwischen den Kurven ist im Klappenbereich groß, so daß der Ausschlag ein großes (Klappen-)Moment zur Folge hat. An der Hinterkante ist, im Gegensatz zur Unterschallumströmung, ein Drucksprung zwischen Ober- und Unterseite erkennbar.

130 0.2 Allgemeine Anmerkungen zur Anwendung der Singularitätenmethode 253 Abb. 0.4: Anwendung eines supersonischen Panelverfahrens zur Berechnung der Umströmung einer Flugzeugkonfiguration bei ausgeschlagener Klappe (entnommen aus [5]) 0.2. Störpotential einer linienförmigen Quellverteilung entlang der x-achse Ma > r r A µ 0 µ VKA A r A x 0 x A q (x S ) x Bei der Formulierung der linearisierten Potentialgleichung wurde angenommen, daß der Anströmvektor in Richtung der x-achse orientiert ist. Wird nun die x-achse mit einer linienhaft verteilten Überschall-Quellsingularität belegt, so resultiert ein rotationssymmetrisches Geschwindigkeitsfeld. Bei entsprechender Verteilung der Singularitätenstärke entlang der x-achse lässt sich die Umströmung eines axial angeströmten Rotationskörpers modellieren. Abb. 0.5 zeigt eine derartige linienhafte Quellverteilung q(x S ), die im Ursprung x = 0 beginnt. Um den Einfluß einer solchen Quellverteilung zu ermitteln gehen wir zunächst vom Störpotential einer punktförmigen Einzelquelle Abb. 0.5: Einflußbereich einer linienförmigen Quellverteilung entlang der x-achse

131 0.2 Allgemeine Anmerkungen zur Anwendung der Singularitätenmethode 254 aus (Gl. (0.2)) ϕ A = Q 2πr h Das Störpotential einer infinitesimalen Überschallquelle ergibt sich daraus zu: dϕ A = dq 2πr h (0.5) Diese infinitesimale Quellstärke wird nun auf eine infinitesimale Strecke der x-achse verteilt. Die resultierende linienhafte Quellstärke q(x S ) ist damit wie folgt definiert: q(x S ) = dq dx S (0.6) Der Index S kennzeichnet hierbei den Singularitätenaufpunkt. Einsetzen von Gl. (0.6) in (0.5) liefert das Störpotential eines inifinitesimalen Abschnittes einer linienförmig verteilten Überschallquelle: dϕ A = q(x S) dx S (0.7) 2πr h Die Störwirkung einer linienförmigen Quellverteilung q(x S ) auf einen im Raum liegenden Aufpunkt A ergibt sich nun prinzipiell durch Aufintegration von Gl. (0.7). Hierbei ist zu beachten, daß nur derjenige Teil der Quellverteilung zum Stöpotential in A beiträgt, der im Abhängigkeitsbereich des Aufpunktes liegt. Dieser Abhängigkeitsbereich ist in Abb. 0.5 eingezeichnet und mit VKA (Vorkegel zum Aufpunkt A) gekennzeichnet. Weiter ist der Einflußbereich der in x = 0 beginnenden linienförmigen Quellverteilung eingezeichnet (Machkegel ab x = 0). Der Abhängigkeitsbereich VKA schneidet die Quellverteilung im Punkt x 0. Im vorliegenden Fall muss die Störwirkung der Quellverteilung somit ab dem Ursprung bis zum Schnittpunkt x 0 aufintegriert werden: ϕ A = mit: r h = x 0 0 q(x S ) 2πr h dx S (0.8) (x A x S ) 2 B 2 (y A y S ) 2 B 2 (z A z S ) 2 Da die linienförmige Quellverteilung entlang der x-achse angeordnet wurde (y S = z S = 0) sowie der Rotationssymmetrie des Strömungsfeldes lässt sich der hyperbolische Abstand r h mit der angegebenen vereinfachten Gleichung in Abhängigkeit des Radius des Aufpunktes r A ermitteln. Mit ya 2 +z2 A = r2 A folgt: r h = (x A x S ) 2 B 2 ra 2 und B = Ma 2 (0.9) Mittels Gl. (0.8) lässt sich das Störpotential für beliebige Aufpunkte berechnen. Es ist dabei der individuelle Abhängigkeitsbereich des betrachteten Aufpunktes zu beachten und vor der Integration der Schnittpunkt x 0 zu ermitteln. Ist das Störpotential bekannt, so lässt sich das Geschwindigkeitsfeld, wie in der Potentialtheorie üblich, als Gradientenfeld berechnen. Für das vorliegende rotationssymmetrische Feld ergeben sich die Axial- bzw. die Radialgeschwindigkeit durch partielle Ableitung: Axialgeschwindigkeit: Radialgeschwindigkeit: u A = ϕ A x A (0.0) w A = ϕ A r A (0.)

132 0.2 Allgemeine Anmerkungen zur Anwendung der Singularitätenmethode 255 Zu beachten ist, daß die Integration in Gl. (0.8) über der Koordinate des Singularitätenaufpunktes x S auszuführen ist, während zur Bestimmung der Störgeschwindigkeiten nach den Koordinaten des Aufpunktes x A bzw. r A abzuleiten ist! Integration und Ableitung dürfen also keinesfalls vermischt werden. Mit den bereit gestellten Gleichungen lässt sich nun prinzipiell der Entwurf sowie die Nachrechnung eines Rotationskörpers bei axialer Überschallanströmung durchführen. Generell ist dabei anzumerken, daß sich nur Rotationskörper mit konischem Bug simulieren lassen. Der Körper ist am Bug also spitz, weist aber einen endlichen Öffnungswinkel auf (vgl. Abb. 0.6). Hintergrund ist, daß die Quellverteilung im Überschall keinerlei Stromaufwirkung besitzt und die Störwirkung schlagartig am Beginn der Quellverteilung (in Abb. 0.5 also bei x = 0) einsetzt. Die radiale Störgeschwindigkeit ist also für x < 0 Null und nimmt ab x = 0 schlagartig endliche Werte an. Entsprechend der kinematischen Randbedingung Gl. (0.2) ruft dies ab x = 0 eine Radiusänderunghervor,derKörper öffnet sichambeginnderquellverteilung.aufderanderen Seite ist bekannt, daß die Quellverteilung lediglich innerhalb ihres Nachkegels (vgl. Abb. 0.5) eine Störwirkung hervorrufen kann, außerhalb verschwinden die Störgeschwindigkeiten u A bzw. w A. Es ist daher nicht möglich, dass der simulierte Rotationskörper den Nachkegel schneidet, die Kontur wird stets innerhalb des Nachkegels verlaufen. Somit ist der Öffnungswinkel am Bug endlich aber kleiner als der Machsche Winkel. Bei der Nachrechnung einer vorgegebenen Kontur muss zur Bestimmung der zugehörigen Quellverteilung die kinematische Randbedingung angesetzt werden. Die Randbedingung ist dabei an der Körperoberfläche anzusetzen, da der Einfluß der Quellverteilung entlang der Körperachse singulär ist. Die kinematische Randbedingung in linearisierter Form lautet damit: dr(x) dx ( w = U +u) r=r(x) w(r = R(x)) U (0.2) Nach Bestimmung der Quellverteilung lassen sich Geschwindigkeits- bzw. Druckverteilung mit Hilfe der Gleichungen (0.8) bis (0.) berechnen. Abb. 0.6: Sears-Haack Körper und von Kármán Ogive für minimalen Wellenwiderstand bei Überschallströmung (entnommen aus [3]) widerstandsminimaler Verdrängungskörper im Überschall genutzt werden. Die angegebenen Gleichungen lassen sich auch zum Entwurf von Rotationskörpern heranziehen. Hierzu wird eine Quellverteilung vorgegeben. Die zugehörige Kontur wird aus dem mit Hilfe der Gleichungen (0.0) bzw. (0.) berechneten Geschwindigkeitsfeld durch Integration der Stromlinie durch den Ursprung ermittelt. Aus der Geschwindigkeitsverteilung lässt sich die Druckverteilung berechnen und daraus der Druckwiderstand (Wellenwiderstand) integrieren. Diese Vorgehensweise kann auch zur Optimierung Zwei klassische Lösungen dieses Optimierungsproblemes sind in Abb. 0.6 dargestellt. Die durchgezogene Linie zeigt die Radiusverteilung einer sogenannten von Kármán Ogive, die nach

133 0.2 Allgemeine Anmerkungen zur Anwendung der Singularitätenmethode 256 der linearisierten Theorie den geringsten Wellenwiderstand bei gegebener Querschnittsfläche bzw. gegebenem maximalen Radius R max liefert. Die Abbildung zeigt, daß der maximale Radius am Körperende auftritt und der Körper somit eine endliche Basisfläche aufweist. Hierbei ist anzumerken, daß bei einer realen Umströmung ein Basiswiderstand resultiert, der bei einer Berechnung nach der linearisierten Theorie nicht berücksichtigt ist. Der Basiswiderstand kommt dadurch zustande, daß am Heck eines abgeschnittenen Körpers ein leichter Unterdruck vorliegt, der eine Kraft in Widerstandsrichtung zur Folge hat. Von Sears und Haack wurden daher widerstandsoptimale Konturen abgeleitet, die ein spitzes Heck aufweisen. Optimierungsziel war hierbei die Minimierung des Wellenwiderstandes bei gegebenem Körpervolumen. Die resultierende Optimalkontur ist in Abb. 0.6 als gestrichelte Linie dargestellt, wobei zu beachten ist, daß lediglich die vordere Hälfte bis zur maximalen Dicke gezeigt ist. Die hintere Hälfte ergibt sich durch Spiegelung Störpotential einer flächigen Quellverteilung in der xy-ebene Ma > z y A σ (x,y) VKA Σ h x A µ A y z A Abb. 0.7: Flächige Quellverteilung in der xy-ebene und Abhängigkeitsbereich eines Aufpunktes A mit: r h = bzw. wegen z S = 0: r h = ϕ A = h x Wie später noch detailliert diskutiert wird, lässt sich mit Hilfe einer flächigen Verteilung von Überschallquellen σ die Umströmung eines Tragflügels modellieren. Wir werden dabei die Quellverteilung in der xy-ebene anordnen, wobei die belegte Fläche der projizierten Grundrissfläche entspricht. In Abb. 0.7 ist eine derartige Quellverteilung σ(x S, y S ) in der xy- Ebene dargestellt ebenso wie der Abhängigkeitsbereich (VKA) eines oberhalb der Quellverteilung angeordneten Aufpunktes A. Der Schnitt des Vorkegels mit der Quellverteilung in der xy-ebene liefert die hyperbelförmige, schraffierte Schnittfläche. Über diesen Bereich der h Quellverteilung muss integriert werden, um die Störwirkung im Aufpunkt A zu berechnen. Das Störpotential ergibt sich analog zu Gl. (0.8): σ(x S, y S ) 2πr h dx S dy S (0.3) (x A x S ) 2 B 2 (y A y S ) 2 B 2 (z A z S ) 2 (x A x S ) 2 B 2 (y A y S ) 2 B 2 z 2 A und B = Ma 2 Nach Integration von Gl. (0.3) ergeben sich die von der Quellverteilung hervorgerufenen Störgeschwindigkeiten analog zu Gl. (0.0) und (0.) durch partielle Ableitung: u A = ϕ A x A, v A = ϕ A y A, w A = ϕ A z A (0.4)

134 0.3 Grundlagen der Singularitätenmethode zur Berechnung von Tragflügeln bei Ma > Grundlagen der Singularitätenmethode zur Berechnung von Tragflügeln bei Ma > Modellierung und Randbedingung Nachfolgend soll die Anwendung der Singularitätenmethode zur Berechnung der Überschallumströmung von Tragflügeln diskutiert werden. Die Methode ist grundsätzlich zur Berechnung von angestellten und geschränkten Flügeln mit gewölbten Profilen endlicher Dicke geeignet. Die Berechnung wird dabei traditionell wie bei der Skelett- bzw. Tropfentheorie für das Auftriebsund das Dickenproblem separat durchgeführt. Auf Grund der Linearität der Grundgleichung (0.) können die Teillösungen anschließend superponiert werden. M a z Σ α Abb. 0.8: Modellierung eines angestellten Tragflügels mit der Singularitätenmethode y N x Entsprechend dem Gültigkeitsbereich der linearisierten Potentialgleichung (0.) bleibt die Betrachtung dabei auf kleine Profildicken und -Wölbungen sowie kleine Schränkungen und Anstellwinkel des Flügels beschränkt. Die Anströmung erfolgt grundsätzlich in x-richtung, so daß Anstellwinkeleffekte durch eine entsprechende Drehung des Flügels simuliert werden müssen. Die Singularitäten werden in der xy-ebene angeordnet, siehe Abb Dabei wird die gesamte projizierte Skelettfläche belegt, wobei im allgemeinen Fall Überschallquellen / -Senken σ sowie Dipole bzw. Wirbelsingularitäten γ benötigt werden. Der als planar und in Richtung U orientiert angenommene Nachlauf N ist ebenso grundsätzlich mit einer Dipol- oder Wirbelverteilung γ zu belegen. Dabei ist allerdings anzumerken, daß der Nachlauf bei Überschallströmung keinerlei Störwirkung auf den Tragflügel selbst ausüben kann, sofern eine Überschallhinterkante ÜHK vorliegt. Falls lediglich die Strömungsverhältnisse auf dem Flügel von Interesse sind kann unter dieser Voraussetzung daher auf eine Modellierung des Nachlaufes komplett verzichtet werden! Ebenso wird sich zeigen, daß unter bestimmten Voraussetzungen zur Modellierung der Flügelströmung eine reine Quellverteilung in hinreichend ist. Wir werden uns im Rahmen der Aerodynamik- Vorlesung auf derartige Fälle mit reiner Quellbelegung und ohne Nachlaufmodellierung beschränken. Zur Bestimmung der Singularitätenverteilung wird die kinematische Randbedingung in linearisierter Form angesetzt, wobei die Oberseite (Index o) und die Flügelunterseite (Index u)

135 0.3 Grundlagen der Singularitätenmethode zur Berechnung von Tragflügeln bei Ma > 258 unterschieden wird: Flügeloberseite: Flügelunterseite: w o U +u w o w(x, y, z = +0) = = dz o U U dx w u U +u w u w(x, y, z = 0) = = dz u U U dx (0.5) (0.6) Die Kuttasche Abflußbedingung, die im Unterschall zur Bestimmung der Singularitätenstärke angesetzt werden musste, ist bei der Behandlung von Überschallströmungen nicht erforderlich sofern eine Unterschallhinterkante vorliegt. Aufspalten des Strömungsfeldes in einen symmetrischen und einen antimetrischen Anteil WieobenangemerktwirddieBerechnungderFlügelumströmungineinensymmetrischen( Dickenproblem ) und in einen antimetrischen ( Auftriebsproblem ) Anteil aufgespalten und anschließend superponiert. Nachfolgend sollen die Eigenschaften von Störpotential und -Geschwindigkeit dieser Teillösungen diskutiert werden. z z dzo / dx z o U αo W o dzo = dzu dx dx U W o = W u Ma > z u αu W u U dzu / dx Abb. 0.9: Symmetrischer Anteil x Ma Abb. 0.0: Antimetrischer Anteil α x Der symmetrische Anteil entspricht der Umströmung eines nicht angestellten, ungeschränkten Flügels mit symmetrischem Profil, siehe Darstellung eines Profilschnittes Abb Die Koordinaten der Oberseite sind durch z o beschrieben, die der Unterseite durch z u wobei z u (x, y) = z o (x, y) gilt. Aus Symmetriegründen müssen die Störgeschwindigkeiten w antimetrisch zur xy-ebene sein, d.h.: w(x, y, z) = w(x, y, +z) (0.7) Zum Ansetzen der kinematischen Randbedingung werden die vertikalen Störgeschwindigkeiten im Rahmen der Linearisierung nicht an der Körperoberfläche sondern in der xy-ebene berechnet, wobei die Geschwindigkeit unmittelbar oberhalb der xy-ebene (z +0) der Oberseite und die Geschwindigkeit direkt unterhalb der xy-ebene (z 0) )der Unterseitenkontur zugewiesen wird. Für diese Grenzwerte w o bzw. w u gilt analog zu Gl. (0.7): w(x, y, z = 0) = w(x, y, z = +0) bzw. w u (x, y) = w o (x, y) (0.8) Definitionsgemäß berechnet sich die vertikale Störgeschwindigkeit w als partielle Ableitung der Störpotentials ϕ nach der Koordinate z. Daraus folgt, dass die vertikalen Störgeschwindigkeiten genau dann antimetrisch sind, wenn das Störpotential symmetrisch zur xy-ebene ist: ϕ(x, y, z) = ϕ(x, y, +z) (0.9)

136 0.3 Grundlagen der Singularitätenmethode zur Berechnung von Tragflügeln bei Ma > 259 Für den Strömungszustand auf dem Flügel ist der Winkel zwischen dem lokalen Geschwindigkeitsvektor, der tangential zur Kontur orientiert ist, und dem Anströmvektor eine relevante Größe. Bei zweidimensionaler Strömung konnten wir aus diesem Umlenkwinkel der Strömung (unter Beachtung der Umlenkrichtung) direkt auf den lokalen Druckbeiwert am Profil schliessen (siehe Kap. 5). Bei dreidimensionalen Strömungen ist diese direkte Verknüpfung aufgrund spannweitiger Störeinflüsse zwar nicht möglich, dennoch spielt die lokale Kontursteigung eine wichtige Rolle bei der Berechnung. Die später diskutierten Berechnungsformeln enthalten die Verteilung des Neigungswinkels, der im Rahmen der liniearisierten Näherung wie folgt definiert ist: α o (x, y) dzo(x,y) dx α(x, y) = (0.20) α u (x, y) + dzu(x,y) dx Mit dz u dx = dz o dx (0.2) folgt α u (x, y) = α o (x, y) (0.22) Der antimetrische Anteil der Umströmung eines allgemeinen Flügels entspricht der Strömung um eine angestellte, geschränkte und gewölbte Skelettfläche, vgl. Abb Da die Kontursteigungen der Skelettlinie auf Ober- und Unterseite identisch sind müssen zur Erfüllung der kinematischen Randbedingung die vertikalen Störgeschwindigkeiten ebenso identisch sein. Im Rahmen der Linearisierung werden die Störgeschwindigkeiten w u bzw. w o wiederum unmittelbar ober- bzw. unterhalb der xy-ebene ermittelt, auf der die Singularitäten angeordnet sind. Es muß also gelten: w(x, y, z = 0) = w(x, y, z = +0) bzw. w u (x, y) = w o (x, y) (0.23) Diese Symmetrie gilt für alle korrespondierenden Punkte: w(x, y, z) = w(x, y, +z) (0.24) Bei einer Symmetrie der Störgeschwindigkeit w muß das Störpotential antimetrisch zur xy-ebene sein: ϕ(x, y, z) = ϕ(x, y, +z) (0.25) Die Neigungsverteilung ist identisch zum symmetrischen Fall definiert (Gl. (0.20)): α o (x, y) dzo(x,y) dx α(x, y) = α u (x, y) + dzu(x,y) dx (0.26) Im antimetrischen Fall gilt: dz u dx = dz o dx (0.27) Hieraus folgt: α u (x, y) = α o (x, y) (0.28)

137 0.3 Grundlagen der Singularitätenmethode zur Berechnung von Tragflügeln bei Ma > 260 Klassifizierung der Problemstellungen Die Anwendung der Singularitätenmethode für Tragflügelberechnungen im Überschall erfordert je nach Aufgabenstellung unterschiedliche Vorgehensweisen. Die verschiedenen Problemstellungen werden nachfolgend klassifiziert. In der Aerodynamik unterscheidet man, je nach Art der Vorgabe, grundsätzlich zwei verschiedene Aufgaben die nachfolgend mit Problem A bzw. B gekennzeichnet werden: A. Direktes Problem oder Nachrechenproblem Beim direkten Problem ist die Geometrie vorgegeben und die aerodynamischen Eigenschaften sind gesucht. Bei der Analyse eines Tragflügels nach der hier diskutierten Überschall-Singularitätenmethode lässt sich die Problemstellung wie folgt konkretisieren. Geg.: Geometrie des Tragflügels (Grundriß + Kontur z o (x, y), z u (x, y) und damit die Neigungsverteilung α o (x, y), α u (x, y)) Ges.: Geschwindigkeits- bzw. Druckverteilung mit c p = 2u U Durch Intergration der Druckverteilung erhält man die Kräfte (A, W) U = 2 ϕ/ x B. Inverses Problem oder Entwurfsproblem Beim Entwurfsproblem werden Vorgaben für die Aerodynamik gemacht und die zugehörige Geometrie ist zu ermitteln. Beim vorliegenden Verfahren bedeutet dies: Geg.: Druckverteilung c po (x, y), c pu (x, y) auf einem vorgegebenen Grundriß Ges.: Neigungsverteilung α o (x, y), α u (x, y). Aus der Neigungsverteilung läßt sich die Kontur z o (x, y), z u (x, y) durch Integration ermitteln. Das direkte bzw. das inverse Problem läßt sich jeweils in einen symmetrischen und in einen antimetrischen Anteil aufspalten, so daß folgende Klassifizierung resultiert: A. Direktes, symmetrisches Problem (Nachrechnung eines dicken, auftriebsfreien Flügels) A.2 Direktes, antimetrisches Problem (Nachrechnung eines auftriebsbehafteten Skeletts) B. Inverses, symmetrisches Problem (Entwurf eines ungeschränkten, nicht angestellten Flügels mit symmetrischem Profil) B.2 Inverses, antimetrisches Problem (Entwurf eines Skelettfläche) Es läßt sich zeigen, daß die Probleme A. und B.2 durch direkte Intergation lösbar sind. Bei den Problemen A.2 und B. ist im allgemeinen Fall eine Integralgleichung zu lösen. Es sei angemerkt, daß unter Anwendung des Theorems von Evvard eine direkte Lösung des Problems A.2 möglich ist, sofern eine ÜHK vorliegt. Im Rahmen dieser Vorlesung werden lediglich die beiden Nachrechenprobleme A. und A.2 behandelt, wobei je nach Art der Flügelkanten (Unterschalloder Überschallkanten) verschiedene Fallunterscheidungen zu treffen sein werden.

138 0.4 Der Tragflügel endlicher Dicke ohne Auftrieb (Problem A.) 26 Prinzipielles Vorgehen bei der Nachrechnung eines Flügels Grundsätzlich sind zur Nachrechnung eines vorgegebenen Tragflügels folgende Schritte erforderlich: Bestimmung der Neigungsverteilung α(x S, y S ) aus der gegebenen Kontur gemäß Gl. (0.20) bzw. (0.26) mittels Differentiation Berechnung des Störpotentials ϕ A (siehe Kap. 0.4 bzw. 0.5) im interessierenden Aufpunkt auf dem Flügel oder im Raum Bestimmung der axialen Störgeschwindigkeit u A = ϕ A x A durch partielle Ableitung Ermittlung der Druckverteilung in linearisierter Näherung c p = 2u A U Integration der (Druck)kräfte und der Momente. Die Druckkraft liefert den Auftrieb und den Druckwiderstand. Letzterer beinhaltet den kompressibilitätsbedingten Wellenwiderstand sowie den auftriebsbedingten Wirbelwiderstand. Wie sich später zeigen wird ist für die angestellte Fläche eine vereinfachte Vorgehensweise möglich. 0.4 Der Tragflügel endlicher Dicke ohne Auftrieb (Problem A.) Die Umströmung des nicht- angestellten, ungeschränkten Flügels mit symmetrischem Profil läßt sich mit Hilfe einer Überschall-Quellverteilung auf der projizierten Skelettfläche Σ (siehe Abb. 0.8 in Kap. 0.3) modellieren. Für einen beliebigen Aufpunkt A ergibt sich das Störpotential ϕ A aus Gl. (0.3) allgemein zu: ϕ A (x A, y A, z A ) = 2π = 2π Σ h Σ h σ(x S, y S, z S = 0) [ ] (x dx S dy S A x S ) 2 B 2 (y A y S ) 2 +za 2 σ(x S, y S ) r h dx S dy S (0.29) Hierbei ist zu beachten, daß nur über den Bereich Σ h der Quellverteilung zu integrieren ist, der innerhalb des Vorkegels zum Aufpunkt A liegt. Zur Bestimmung des Strömungszustandes auf der Flügelkontur wird das Störpotential vereinfacht in der xy-ebene berechnet. In Gl. (0.29) ist dazu z A = 0 einzusetzen. Der Aufpunkt A fällt auf die Quellverteilung und der Integrationsbereich nimmt eine keilförmige Gestalt an, vgl. Abb. 0.. Wie von Puckett(946) gezeigt wurde liefert die Auswertung von Gl.(0.29) für eine allgemein angesetzte Quellverteilung σ(x S, y S ) und die anschließende partielle Differentiation nach z für die Störgeschwindigkeit w in der xy-ebene folgende einfache Beziehung: { w(x A, y A, z A = 0) = ± 2 σ(x +fürz = +0 S = x A, y S = y A, z S = 0) (0.30) fürz = 0 Gl.(0.30) zeigt, daß die Störgeschwindigkeit w nur von der lokalen Quellstärke abhängig ist(wie bei inkompressibler Strömung). Es sei angemerkt, daß die Störgeschwindigkeiten u und v demgegenüber von der gesamten Quellverteilung abhängen und durch Auswertung von Gl. (0.29) und anschließende partielle Differentiation zu ermitteln sind.

139 0.4 Der Tragflügel endlicher Dicke ohne Auftrieb (Problem A.) 262 z z y W ya µ Σ A σ z 0 x dx W Ma x A x Abb. 0.: Integrationsbereich zur Bestimmung des Störpotentials für einen Punkt der Flügeloberfläche Abb. 0.2: Kontrollvolumen um ein differentielles Element der Quellverteilung σ Bei der Diskussion der Elementarlösungen der linearisierten Potentialgleichung wurde der Vorfaktor beim Quellpotential so festgelegt, daß die Quellstärke Q bzw. bei einer flächigen Verteilung die Stärke σ gerade dem Störvolumenstrom entspricht. Dieser Umstand kann genutzt werden um obiges Ergebnis (0.30) plausibel zu machen. Legt man um eine differentielles Element der Quellverteilung σ eine Kontrollfläche mit verschwindender Höhe z = 0 (siehe Abb. 0.2), so resultiert nach der Kontinuitätsgleichung: σdxdy = wdxdy +wdxdy +udy z +... w = ± σ 2 Gemäß Gl. (0.30) ist die Störgeschwindigkeit w direkt mit abhängig von der lokalen Quellstärke. Die Störgeschwindigkeit w ist andererseits über die kinematische Randbedingung mit der lokalen Kontursteigung verknüpft. Es ist damit möglich die Quellstärke als Funktion der lokalen Kontursteigung darzustellen. Aus der kinematischen Randbedingung in linearisierter Form für die Oberseite des Flügels folgt mit Gl. (0.20) (für die Unterseite erfolgt die Ableitung analog): Andererseits gilt gemäß Gl. (0.30): Gleichsetzen der obigen Gleichungen liefert: w o w(x, y, z = +0) = = dz o U U dx = α o (0.3) w o = σ U 2U σ = 2α o U Im symmetrischen Fall ist α o = α u = α(x S, y S ) und es folgt: σ = 2α(x S, y S )U (0.32)

140 0.5 Der auftriebserzeugende Tragflügel vernachlässigbarer Dicke (Problem A.2) 263 Einsetzen von Gl. (0.32) in (0.29) liefert schließlich: ϕ A = U α(x S, y S ) dx S dy S (0.33) π r h mit α(x S, y S ) gemäß Gl. (0.20). Σ h Als Alternative zu Gl. (0.33) soll noch die von Puckett ursprünglich abgeleitete Form der Bestimmungsgleichung für das Störpotential angegeben werden. Hierzu wird die Größe δϕ z eingeführt, die den Sprung der Störgeschwindigkeitskomponente w zwischen Oberseite und Unterseite der Singularitätenfläche bzw. des Flügels repräsentiert: δϕ z = ϕ z (z = +0) ϕ z (z = 0) = ϕ ϕ (+0) z z ( 0) = w o w u = 2w o = 2α o U α(x S, y S ) = δϕ z 2U (0.34) Das Einsetzen von Gl. (0.34) in (0.33) liefert schließlich die Gleichung von Puckett zur Bestimmung des Störpotentials in einem beliebigen Aufpunkt A: δϕ z 2πϕ A = dx S dy S (0.35) r h Σ h 0.5 Der auftriebserzeugende Tragflügel vernachlässigbarer Dicke (Problem A.2) Zur Berechnung des antimetrischen Problems ist im allgemeinen Fall wie bei der Unterschallumströmung eine Wirbel- bzw. Dipolbelegung auf der projizierten Skelettfläche Σ sowie auf dem Nachlauf N erforderlich. Sofern allerdings eine ÜHK vorliegt ist die Berechnung mit Hilfe einer reinen Quellbelegung möglich! Hierbei sind Fallunterscheidungen zu treffen, je nachdem ob die übrigen Kanten Über- oder Unterschallkanten sind. Die verschiedenen Fälle werden in den nachfolgenden Abschnitten separat diskutiert Flügel mit Überschallvorder-, Seiten- und Hinterkanten Ein Flügel der nur Überschallkanten aufweist läßt sich auch für den auftriebsbehafteten Fall mit einer reinen Quellverteilung modellieren. Dies soll durch nachfolgende Diskussion plausibel gemacht werden. BeieinerÜberschallkantegiltdefinitionsgemäßMa n >.DadievomFlügelhervorgerufenen Störgeschwindigkeiten kleiner als die Schallgeschwindigkeit sind, kommen die Störungen nicht gegen Ma n an. Die Flügelkante kann daher nicht umströmt werden, wie dies bereits in den einleitenden Abschnitten zur Überschallaerodynamik erläutert wurde. Störungen, die von der Flügelunterseite hervorgerufen werden, können somit weder über die Flügelkanten noch durch den Flügel selbst auf die Oberseite gelangen. Die Flügelunterseite beeinflußt die Oberseite somit nicht. Entsprechendes gilt für die Störwirkung der Oberseite. Dies bedeutet, daß der Strömungszustand auf der Oberseite ausschließlich durch die Randbedingungen auf der Oberseite determiniert ist, bzw. die Zustände auf der Unterseite nur durch

141 0.5 Der auftriebserzeugende Tragflügel vernachlässigbarer Dicke (Problem A.2) 264 die Randbedingungen der Unterseite. Das Strömungsfeld oberhalb des Flügels muß sich somit unabhängig vom Strömungsfeld unterhalb des Flügels berechnen lassen, siehe Abb Ma > Abb. 0.3: Zum Informationsaustausch bei einem Flügel mit Überschallkanten Im Bereich 2 der angestellten Skelettfläche herrschen dabei dieselben Strömungszustände wie im symmetrischen Fall mit gleicher Oberseitenkontur z o. Es läßt sich zur Berechnung somit die für den symmetrischen Fall abgeleitete Gleichung (0.33) heranziehen: ϕ A = U π mit α(x S, y S ) gemäß Gl. (0.26). 2 Σ h 3 Lax ausgedrückt weiß die Oberseite nicht, ob sie die Oberseite eines nicht-angestellten dicken Flügels oder die Oberseite einer angestellten Skelettfläche ist. Die Umströmung der Oberseite muß daher in beiden Fällen auf die gleiche Art modellierbar sein. Die in der Abbildung dargestellten Bereiche bzw. 2 eines auftriebsbehafteten Flügels lassen sich somit wie im auftriebsfreien Fall mit Hilfe einer reinen Quellbelegung berechnen! Dies gilt jedoch zunächst nur solange Überschallkanten vorliegen. α(x S, y S ) r h dx S dy S (0.36) Bei der Auswertung von Gl. (0.36) ist im Bereich der Neigungswinkel α o, für Punkte im Bereich 2 entsprechend α u einzusetzen. Zur Berechnung der Strömung im Bereich 3 ist der Einfluß von Ober- und Unterseite sowie der Wirbelschicht des Nachlaufs zu berücksichtigen. Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß zur Ableitung der oben diskutierten Bestimmungsgleichungen die Kutta-Bedingung nicht explizit angesetzt werden mußte. Die Auftriebskraft ergibt sich bei separater Berechnung der Druckverteilungen für Ober- bzw. Unterseite automatisch ohne zusätzliche Bedingung. Abschließend sei noch die Bestimmungsgleichung für das Störpotential in der von Puckett angegebenen Form angeschrieben. Mit ϕ z als Störgeschwindigkeitskomponente w = w o = w u auf der Singularitätenfläche folgt: α o = dz o dx = w o = ϕ z U U α u = dz u dx = w u = + ϕ (0.37) z U U Einsetzen von Gl. (0.37) in (0.36) liefert die von Puckett angegebene Form: ϕ z πϕ A = dx S dy S ( Bereich, +Bereich 2) (0.38) r h Σ h

142 0.5 Der auftriebserzeugende Tragflügel vernachlässigbarer Dicke (Problem A.2) Flügel mit Überschallvorderkante und außen anschließender Unterschallkante sowie Überschallhinterkante Auch für diesen Fall lässt sich zeigen, daß die Strömung mit Hilfe einer reinen Quellverteilung dargestellt werden kann, obwohl ein Auftriebsproblem vorliegt. Die Situation ist in Abb. 0.4 veranschaulicht. Die Tangente an den Grundriß ist am Übergang von ÜVK zu UVK parallel zur Machschen Linie. Im Bereich der UVK wird die Vorderkante umströmt und es resultieren potentialtheoretisch eine singuläre Geschwindigkeit, die eine nach vorne gerichtete Saugkraft hervorruft, welche den Druckwiderstand am Flügel reduziert (vgl. rechtes Bild in Abb. 0.4). Abb. 0.4: Flügel mit ÜVK und anschließender UVK Die Vorkegel von Aufpunkten A, die innerhalb des Bereiches liegen schneiden ausschließlich Bereiche der ÜVK, d.h. Aufpunkte aus diesem Bereich werden nur von Überschallvorderkanten beeinflusst. Die Berechnung des Strömungszustandes für Punkte im Bereich kann wie im letzten Kapitel beschrieben durch Auswertung von Gl. (0.36) erfolgen. Die Vorkegel von Aufpunkten, die im Bereich 2 liegen schneiden auch Bereiche der Unterschallvorderkante. Im Bereich der U V K liegt ein Störeinfluss von der Unterseite vor und die Störgeschwindigkeiten sowie das Störpotential können zunächst nicht berechnet werden. Eine Lösung dieses Problems lieferte Evvards [2]. Um die Methode von Evvard nachzuvollziehen wird zunächst der Flügelgrundriß ab dem Übergang von ÜVK zu UVK (Punkt B in Abb. 0.5) fiktiv ergänzt, und zwar so, daß der Vorderkantenwinkel gerade dem Machschen Winkel entspricht. Es liegt dann gerade eine ÜVK vor. Der ergänzte Bereich des Grundrisses ist in Abb. 0.5 als Fläche F 3 gekennzeichnet. Der fiktiv ergänzte Flügel kann nun, wie bislang, mit einer Quellbelegung modelliert werden, da aufgrund der ÜVK kein Informationsaustausch von der Unter- zur Oberseite erfolgt. Man kann sich nun vorstellen, daß die Neigungsverteilung im Bereich F 3 so festgelegt wird, daß die zug. Verteilung der Vertikalgeschwindigkeit w gerade der

143 0.5 Der auftriebserzeugende Tragflügel vernachlässigbarer Dicke (Problem A.2) 266 Abb. 0.5: Zur Erläuterung des Theormems von Evvard unbekannten Störgeschwindigkeitsverteilung bei einer Umströmung der U V K des tatsächlichen Flügelgrundrisses entspricht. Das Störpotential im Aufpunkt A kann in diesem Fall, wie bisher beschrieben, durch Integration einer reinen Quellbelegung ermittelt werden. Evvard hat nun nachgewiesen, daß der Störeinfluß des ergänzten Grundrißbereiches F 3 gerade vom Störeinfluß des Bereiches F 2a (siehe Abb. 0.5) kompensiert wird, d.h. es gilt nach dem Theorem von Evvard: F 2a ϕ z df = r h F 3 ϕ z r h df (0.39) Die vordere Begrenzung P E der Fläche F 2b ergibt sich durch Reflexion der oberen Machschen Linie zum Aufpunkt A an der UVK. Das gesuchte Störpotential im Aufpunkt A ergibt sich demnach aus einer Integration über die Fläche F 2b innerhalb derer die Neigungsverteilung bzw. ϕ z bekannt ist: ϕ z πϕ A = df (- Oberseite, + Unterseite) (0.40) r h F 2b Flügel mit Unterschallvorderkante und Überschallhinterkante Für diesen Fall wurde die Methode von Evvard durch Hancock erweitert. Hancock hat gezeigt, daß sich das Störpotential in einem Aufpunkt A wieder durch eine einfache Integration über die Neigungsverteilung ermitteln lässt. Die Integration muss dabei über die in Abb. 0.6

144 0.5 Der auftriebserzeugende Tragflügel vernachlässigbarer Dicke (Problem A.2) 267 Abb. 0.6: Definition des Integrationsbereiches bei der derweiterten Methode nach Hancock schraffierten Flächen F, F 2, F 3,... ausgeführt werden, die Beiträge der fiktiv ergänzten bzw. der realen Flügelbereiche,,,,... kompensieren sich wiederum. Es verbleibt: ϕ(x A, y A ) = i= ( ) i U π F i α(x, y) dxdy (0.4) (xa x) 2 B 2 (y A y) 2 Die Teilflächen ergeben sich durch Reflexion der Machschen Linien an den Schnittpunkten mit der UVK. Theoretisch ergeben sich so unendlich viele Teilflächen, die von Reflexion zu Reflexion immer kleiner werden. Die Störwirkung auf den Aufpunkt A nimmt dabei stark ab, so daß eine ausreichende Genauigkeit üblicherweise bereits bei Berücksichtigung der ersten zwei bis drei Teilflächen erreicht ist. Bei der Integration muss das alternierende Vorzeichen beachtet werden. Für die erste Teilfläche F ergibt sich für die Oberseite ein positives, für die Fläche F 2 ein negatives Vorzeichen, usw Planarer Flügel Für den Spezialfall eines planaren Flügels (keine Wölbung, keine Schränkung) ergeben sich erhebliche Vereinfachungen bei der Berechnung. Während bei den in Kap bis diskutierten allgemeinen Skelettflächen zunächst das Störpotential im betrachteten Aufpunkt durch die Auswertung eines Flächenintegrals zu ermitteln war und zur Bestimmung der