Deutsche Telekom - FH Leipzig. Vorbereitungslehrgang Informatik

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1 Deutsche Telekom - FH Leipzig Vorbereitungslehrgang Informatik ( Kurshandbuch ) Informatik - 1 -

2 Vorbereitungslehrgang Informatik ( Kurshandbuch ) InhaItsverzeichnis / Themenübersicht 1 Zahlendarstellung und Konvertierung 1.1 Stellenwertsysteme (dezimal, dual, oktal, hexadezimal) 1.2 Übung zur Konvertierung gebrochener Dezimalzahlen 1.3 Übungen zur Konvertierung in andere Zahlensysteme 1.4 Beispiele zur Dual- und Hexadezimalarithmetik 1.5 Übungen zur Konvertierung mittels Horner-Schema 1.6 Abschliessende Übungen zum Selbststudium 2 Boolesche Grundfunktionen 2.1 Axiome der Booleschen Logik, Boolesche Ausdrücke 2.2 Wahrheitsmatrix, Beispiele Halb- und Volladdierer 2.3 Abschliessende Übungen zum Selbststudium 3 Algorithmen 3.1 Algorithmenbausteine 3.2 Darstellungsarten ( PAP, Pseudo-Code, Struktogramm) 3.3 Darstellungselemente ( Elementarblock, Sequenz, Alternative, Schleife, Selektion ) 3.4 Aufbau eines Strukturblocks ( Komplexbeispiele ) 3.5 Abschliessende Übungen zum Selbststudium Informatik - 2 -

3 1 Zahlendarstellung und Konvertierung 1.1 Stellenwertsysteme Dezimalsystem Basis: 10 Elemente: 0,...,9 Eigenschaft: Stellenwertsystem (Positionssystem), d. h. jede Zahl ist eine Summe vom Vielfachen von Potenzen der Basis Beispiel: 1023 = Dualsystem /Binärsystem Basis: 2 Elemente: 0, 1 Beispiel: 73 = (Hilfsmittel: Horner Schema) = Oktalsystem Basis: 8 Elemente: 0,, 7 Zweck: Informationsdarstellung in einer Triade (3 Bit) Beispiel: 76 = = Oktal Informatik - 3 -

4 Hexadezimalsystem Basis: 16 Zweck: Elemente: 0,..., 9, A,..., F Zum Lesen von Bitmustern, also Binärzahlen Beispiel 940 = A C 16 0 = 3 A C hex Begriffe Bit : einzelne Stelle einer Folge von Binärzeichen (binary digit) Byte : 8 Bit Halbbyte : 4 Bit KByte : 2 10 Byte MByte : 2 10 KByte GByte : 2 10 MByte 1.2 Übung zur Konvertierung gebrochener Dezimalzahlen Beispiel: 0,8 = 0, ,8 2 = 1, 6 0,6 2 = 1, 2 0,2 2 = 0, 4 0,4 2 = 0, 8 0,8 2 = 1, 6 0,6 2 = 1, 2 0,2 2 = 0, 4 0,4 2 = 0, 8 0,8 2 = 1, 6 Informatik - 4 -

5 Bitmuster in einem Halbbyte (4 Bit) dezimal dual hexadezimal A B C D E F Informatik - 5 -

6 1.3 Übungen zur Konvertierung in andere Zahlensysteme (natürliche Zahlen) - Vorgegeben sind die natürlichen Dezimalzahlen: dezimal hexadezimal Dualcode/Bitmuster 27 1B hex hex Bemerkung: Bei der Konvertierung von natürlichen Dezimalzahlen berechnet man eine andere Darstellung, die zweite ist ablesbar (tetradenweise). - Vorgegeben sind die gebrochenen Dezimalzahlen: dezimal 0,2 0,6 0,34 dual Informatik - 6 -

7 1.4 Beispiele zur Dual- und Hexadezimalarithmetik Dualsystem: = = = = 0 Übertrag 1 Addition von Dualzahlen bzw. Hexadezimalzahlen erfolgt analog Dezimalzahlen (Stellenwertsysteme). Bei Dualzahlen erfolgt der Übertrag nach der 1, bei Hexadezimalzahlen nach F. Hilfsmittel ist der Ziffernkreis 0 0 F 1 0 E 9 1 D 2 8 C 3 B 7 A a) dezimal b) dual c) hexadezimal Beispiel zur Addition und Multiplikation mit Dual- und Hexadezimalzahlen Beispiel 1: Multiplikation Dual: Dezimalkontrolle: Informatik - 7 -

8 1.5 Übungen zur Konvertierung mittels Horner-Schema Beispiel 2: Hexadezimal Addition mit Hexadezimalzahlen Dezimalkontrolle 4 A 2 1 B hex A B = C 4 hex C = A 3 D F hex = (siehe Ziffernkreis c) Horner-Schema (Kontrolle) 4 A 3 D F Abschliessende Übungen zum Selbststudium Übungen zur Addition und Multiplikation 1.6.1) Multiplikation (Dezimalkontrolle) a) b) ) Addition mit Hexadezimalzahlen (Kontrolle Horner-Schema ) a) A 7 8 F A C 1 D b) B 9 A C A F 1.6.3) Addition mit Dualzahlen (Kontrolle) a) b) Informatik - 8 -

9 2 Boolesche Grundfunktionen 2.1 Axiome der Booleschen Logik, Boolesche Ausdrücke x 1, x 2 = Aussagenvariable (stehen für eine Aussage) Wahrheitswerte: wahr =ˆ true =ˆ 1 (allg. 0) falsch =ˆ false =ˆ 0 Definition der logischen Grundfunktionen (mittels Wahrheitsmatrix) x 1 x 2 NOT x 1 x 1 AND x 2 x 1 OR x NOT : Verneinung AND : logisch UND OR : logisch ODER Beachte C++ -Syntax NOT x ->! x x 1 AND x 2 -> x 1 && x 2 x 1 OR x 2 -> x 1 x 2 Bemerkung: In der zweiwertigen Logik existieren insgesamt 16 logische Funktionen. Diese sind alle durch eine Kombination der 3 Grundfunktionen NOT, AND und OR darstellbar. Mit Hilfe der Wahrheitsmatrix lässt sich der Wahrheitswert von logischen Aussageverbindungen ermitteln. Informatik - 9 -

10 2.2 Wahrheitsmatrix, Beispiele Halb- und Volladdierer Beispiel Gegeben sei folgende Aussagenverbindung: Fritz kommt oder Hans kommt, aber nicht beide zugleich. Formalisieren Sie diese Aussagenverbindung und prüfen Sie deren Wahrheitswert! Analyse: Fritz kommt = x 1 Hans kommt = x 2 y = (x 1 OR x 2 ) AND NOT (x 1 AND x 2 ) Verbindung = y a b x 1 x 2 x 1 OR x 2 x 1 AND x 2 NOT b a AND NOT b Interpretation: 1. Zeile Fritz (x 1 ) kommt nicht (0), Hans (x 2 ) kommt nicht (0) false (0) 2. Zeile Fritz kommt nicht (0), aber Hans kommt (1) true (1) 3. Zeile Fritz kommt (1), aber Hans kommt nicht (0) true (1) 4. Zeile Fritz (1) kommt und Hans (1) kommt ebenfalls false (0) Die Aussagenverbindung stimmt somit. (d. h. es soll nur einer kommen) Anwendung in der Schaltungstechnik NOT x : x x 1 OR x 2 : x 1 x 2 x 1 AND x 2 : x 1 x 2 = x 1 x 2 (Operator kann weggelassen werden) x 1 x 2 = x 1 x 2 ( verneintes OR) x 1 x 2 = x 1 x 2 (verneintes AND) Informatik

11 Halbaddiator unvollständige Binäraddition: addiert 2 Binärziffern in einer Stelle, indem die Summe und der Übertrag für die nächste Stelle gebildet werden Ü n-1 x 1 x 2 Ü n S Ü n S Volladdiator vollständige Binäraddition: summiert in einer Stelle 2 Binärziffern und den Übertrag aus der vorhergehenden Stelle, indem er deren Summe und den Übertrag bildet. x 1 x 2 Ü n Ü n+1 S Anforderungen an den Volladdiator x 1 x 2 Ü Summe Übertrag Ansatz: Summe S = x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n Informatik

12 Ansatz: Summe S = x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n x 1 x 2 Ü n S (Schaltungssynthese) Ansatz: Übertrag = x 1 x 2 Ü x 1 x 2 Ü x 1 x 2 Ü x 1 x 2 Ü Beweis: x 1 x 2 Ü x 1 x 1 x 2 Ü x 2 x 1 x 2 Ü Ü x 1 x 2 Ü x 1 x 2 Ü Übertrag Ü n = markierte Spalten müssen übereinstimmen! Informatik

13 2.3 Abschliessende Übungen zum Selbststudium 2.3.1) Bestimmen Sie den Wahrheitswerteverlauf des logischen Ausdruckes: y = x 1 AND ( x 1 OR x 3 ) AND NOT ( x 2 OR x 3 ) 2.3.2) Formulieren Sie den logischen Ausdruck und bestimmen Sie den Wahrheitswerteverlauf folgender Aussageverbindungen: Eine Jahreszahl ist ein Schaltjahr, wenn sie durch 4 ohne Rest teilbar ist und zugleich nicht durch 100. Eine Jahreszahl ist ein Schaltjahr, wenn sie durch 400 teilbar ist. Informatik

14 4 Algorithmen 4.1 Algorithmenbausteine <Algorithmenbaustein>::= <Elementarbaustein> <Sequenz> <Elementarbaustein>::= <Wertezuweisung> <Eingabe> <Ausgabe> <Alternative> <Fallauswahl> <Zyklus> <Sequenz>::= <unverzweigte Folge von Bausteinen> 4.2 Darstellungsarten - PAP - Pseudocode - Struktogramme 4.3 Darstellungselemente Elementarblock (Aktion) - ist eine Struktureinheit, die in der betrachteten Ebene nicht weiter aufgelöst werden soll Darstellung: Aktion Bemerkung: Die Einführung einer Struktureinheit, die an anderer Stelle spezifiziert ist, kann wie folgt angegeben werden: Name logische Einfügung (Modul) Informatik

15 SEQUENZ (Folge) - Sequentielle Ausführung von Aktionen Darstellung: Aktion 1 Aktion 2 M Aktion n Alternative (Einfachverzweigung) - Alternative Ausführung genau einer von zwei möglichen Aktionen in Abhängigkeit von einer Bedingung Darstellung: ja Bedingung nein ja-aktion [nein-aktion] SCHLEIFE (Wiederholung, Iteration) - Wiederholte Ausführung einer Aktion bis zum Eintritt einer bestimmten Bedingung Abweisende Schleifen Darstellung 1: while <Wiederholbedingung> Aktion Bedingung muss in der Schleife verändert werden Informatik

16 Darstellung 2: for <Indexliste> Aktion Anzahl der Wiederholungen ist bekannt Wiederholende Schleifen (do...while-schleife) Darstellung: Aktion while <Wiederholbedingung> Bedingung muss in der Schleife verändert werden. SELEKTION (Mehrfachverzweigung) - Auswahl aus mehr als zwei Möglichkeiten in Abhängigkeit vom Wert einer Auswahlvariablen - Nicht angegebene Fälle werden dabei wahlweise zu einer gemeinsamen Aktion (Aktion 0) zusammengefasst. Darstellung: AW1 AW2... BEDINGUNG (Auswahl Variable) AWn OTHER... AKTION 1 AKTION 2 AKTION n AKTION 0 AW i: Auswahlwert i Informatik

17 4.4 Aufbau eines Strukturblocks, Komplexbeispiele STRUKTURBLOCK Ein Strukturblock ist ein Standardbaustein zur Struktogrammdarstellung, er ist gekennzeichnet durch: - nur einen Eingang oder einen Ausgang - der Steuerfluss durch den Strukturblock erfolgt von oben nach unten - ein anderer Strukturblock kann in ihm enthalten sein - er korrespondiert ausschließlich mit den direkt angrenzenden Strukturblöcken (davor oder danach) - er stellt eine abgeschlossene funktionelle Einheit dar Darstellung eines Strukturblockes ( formales Beispiel ) Beginn Strukturblock NAME [Variablendefinition] for (Indexliste) AKTION 1 UP AKTION 2 AKTION 3 Ende Strukturblock BEMERKUNG: Bei den Übungen zur Algorithmierung realisieren wir die logische Lösung des Problems. Informatik

18 Aufgaben - Algorithmen abarbeiten (Trockentest, Speicherverwaltung) - Entwurf von Algorithmen Beispiel 1: Formulieren Sie ein Struktogramm für die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung der Form Ax 2 + Bx + C = 0. Lösung: Wir analysieren zunächst die Aufgabenstellung, d.h. wir formulieren den Sachverhalt mathematisch und stellen unsere Anforderungen. A * x 2 + B * x + C = 0 x 2 + B/A * x + C /A = 0 ( Normalform ) Lösungsformel: x 1,2 = - B/(2*A) ± SQR (D) D = B*B/(4*A*A) - C/A Fälle: 1) D > 0 : x 1 <> x 2 reell 2) D = 0 : x 1 = x 2 reell 3) D < 0 : keine reelle Lösung Eingabedaten: A, B, C Name des Struktogramms: QGL ( das ist später der Name des Programms ) Nach dieser Vorbereitung können wir das Struktogramm darstellen ( siehe nächste Seite ). Informatik

19 Bei der Erstellung des Struktogramms ist eine bestimmte Form einzuhalten, die Sie an diesem Beispiel sofort erkennen. QGL EINGABE: A, B, C D = B*B/(4*A*A)-C/A j D > A n x 1 = - B/(2*A)+SQR (D) j D = 0 n x 2 = - B/(2*A)-SQR (D) x 1 = -B/(2*A) AUSGABE: x 1 =... x 2 =... AUSGABE: x 1 = x 2 =... Beispiel 2: Formulieren Sie ein Struktogramm für die Berechnung des Skalarproduktes zweier n-dimensionaler Vektoren. gegeben: Vektor a = (a 1 a 2... a n ) Lösung: Vektor b = (b 1 b 2... b n ) Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist definiert durch a * b = a 1 * b 1 + a 2 * b 2 + K + a n * bn Bevor wir das Struktogramm formulieren, analysieren wir zunächst die Aufgabenstellung. Die Berechnung dieser Summe erfolgt nach einer sogenannten rekursiven Rechenvorschrift, d. h. die Summe berechnet sich schrittweise, indem man auf einem Summenspeicherplatz (bezeichnet durch die Variable S) den Summenwert laufend durch Addition des nachfolgenden Summanden aktualisiert. Die formalisierte Rechenvorschrift wird als lösender Algorithmus bezeichnet. Informatik

20 Außerdem ist der Summenspeicher vor der Rechnung zu löschen (S = 0). Die wiederholte Abarbeitung des lösenden Algorithmus wird durch eine FOR-Schleife organisiert. Wir schreiben für: a 1 = A(I), b i = B(I), n = N. Für die Formulierung des Struktogramms stellen wir also bereit: Lösender Algorithmus: S = S+A(I)*B(I) ( gelesen: S ergibt sich aus S+ ) Anfangswert: S = 0 Schleife: FOR I = 1 TO N Eingabedaten: A (I), B(I), N Struktogrammname SKAL SKAL S = 0 Eingabe: N FOR I = 1 TO N Eingabe: A(I), B(I) S = S + A(I) * B(I) Ausgabe: S Informatik

21 3.5 Abschliessende Übungen zum Selbststudium 3.5.1) Gegeben ist ein Struktogramm. Es soll mit folgenden Daten abgearbeitet werden: M = 4, P = 3, X = 0.5. BEISPIEL Eingabe: M, P, X B = (P + 1) * X T = 1 ; A = 1 ; D = 1 C = M + 1 FOR N = 1 TO M A = A * B * (C-N)/N T = T + A S = D * T D = D * P Ausgabe : S Erstellen Sie den hierzu gehörigen Speicherbelegungsplan! M P X Informatik

22 3.5.2) Gegeben sind die Einzelwiderstände R, i =1(1) n und ein Vergleichswiderstand R i v. Gesucht ist ein Struktogramm für die Berechnung des Gesamtwiderstandes R ges bei parallel geschalteten Einzelwiderständen R i. Es sollen nur die Einzelwiderstände in die Berechnung von R ges eingehen, die kleiner als R v sind. Informatik

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