Aufgabenkatalog ET2 - v12.4

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1 3 Magnetostatik 3.1 Lorentzkraft n einer Reihe von Experimenten mit elektrisch geladenen und (oder) magnetischen Körpern beobachtete man die Wirkung von Kräften zwischen bzw. auf diese Körper. Um diese Kräfte (mathematisch) beschreiben zu können wurden zunächst die egriffe der elektrischen und magnetischen Felder eingeführt. Siehe auch: (klassische) Feldtheorie. Unter Verwendung der folgenden Größen in S-Einheiten(!) elektrische Ladung Q [Q] = C = A s Magn. Flussdichte [ ] = T = V s m 2 Geschwindigkeit v [ v] = m El. Feldstärke s E [ E] = V = kg m m A s 3 kann die Kraft, die ein elektromagnetisches Feld auf eine elektrische Ladung ausübt wie folgt beschrieben werden: efindet sich eine Ladung Q (ruhend oder bewegt) im Einfluss eines elektrischen Feldes E, wirkt auf sie eine Kraft F, die in Richtung dieses E-Feldes zeigt und gleich dem Produkt der Ladung und dem E-Feld ist. Wird eine Ladung Q in einem magnetischem Feld mit der Geschwindigkeit v bewegt(!), so wirkt auf sie eine Kraft, die sowohl normal auf das -Feld als auch auf die Geschwindigkeit steht, wobei F = Q v sin α. α ist der Winkel zwischen v und. a) Geben Sie die allgemeine Definitionsgleichung der Lorentzkraft an. b) Zeichnen Sie die Richtung der Kräfte auf die Ladung für folgende Fälle ein: 1. Ladung im elektrostatischem Feld E + E + v ruhend bewegt 2. Ladung im magnetostatischem Feld + + v ruhend bewegt 3. Ladung im elektro- und magnetostatischem Feld v E + E + ruhend bewegt nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 22

2 3.2 Maxwellgleichungen für den elektro- und magnetostatischen Fall Die Skizzen der Feldlinienbilder eines unendlich langen, stromdurchflossenen Leiters und einer Punkt (bzw. Kugelladung) sollen hnen helfen die Maxwellgleichungen für den elektrostatischen und magnetostatischen Fall anzugeben. (Anm.: Elektrostatik: ruhende Ladungen. Magnetostatik: mit konsanter Geschwindigkeit bewegte Ladungen d.h. konstanter Strom.) a) Zeichen Sie die zwei erwähnten Feldlinienbilder (eginnen Sie mit dem Feldlinienbild des stromdurchflossenen Leiters) b) Was sagt hnen die Form der Feldlinien? 1. und 2. Maxwellgleichung in differentieller Form. c) Was können Sie aus den Feldlinienbildern über das Quellverhalten beider Fälle aussagen? 3. und 4. Maxwellgleichung in differentieller Form. d) Geben Sie die Maxwellgleichungen für den elektro- und magnetostatischen Fall in differenzieller und in ntegralform an. 3.3 Unendlich ausgedehnter stromführender Draht Gegeben sei ein unendlich langer Leiter mit dem Radius r 0, der von dem Gleichstrom durchflossen wird. Gesucht ist der radiale magnetische Feldstärkeverlauf innerhalb und außerhalb des Leiters unter der Annahme, dass sich der Strom gleichmäßig über den Leiterquerschnitt verteilt. Da es sich um einen stabförmigen Leiter handelt, werden zweckmäßig Zylinderkoordinaten verwendet. Der Leiter sei entlang der z-achse des Koordinatensystems positioniert, sodass der Stromdichtevektor nur eine z-komponente aufweist (siehe ild). z z P(r,φ,z) φ r y x a) Überlegen Sie sich wie das Feld aus Symmetriegründen aussehen muss. b) erechnen Sie nun die magnetische Feldstärke mithilfe der Maxwellgleichungen in ntegralform, H i im Leiter H a außerhalb des Leiters und stellen Sie die Verläufe qualitativ grafisch dar. nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 23

3 c) Transformieren Sie nun hr Ergebnis für die magnetische Feldstärke von Zylinder- in kartesische Koordinaten, H r H x H(r, φ, z) = H φ H(x, y, z) = H y H z H z und überprüfen Sie hre Ergebnisse durch erechnung von div H und rot H. 3.4 Rechte Hand Regeln n der Elektrotechnik verwenden wir zwei Rechte Hand Regeln. Anm.: lt. Wikipedia auch: Drei Finger Regel und Korkenzieherregel (Rechte Faust Regel). Wo finden diese Regeln Anwendung und was beschreiben Sie? 3.5 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern a) Wie groß ist die Kraft, die zwischen zwei unendlich dünnen parallelen Leitern im Abstand d = 25 cm auftritt, die gegensinnig von einem Kurzschlussstrom = 25 ka durchflossen werden? b) Wie groß muss der Strom sein, der durch zwei parallele Leiter mit Abstand d = 1m fließt, sodass sich diese mit einer Kraft von N/m abstoßen? Müssen die Leiter gleich- oder gegensinnig durchflossen werden? 3.6 Gesetz von iot-savart Magnetisches Feld eines kreisförmigen Stromfadens mit dem Radius R: eweisen Sie anhand der Abbildungen folgende Aussagen: a) H = i 2R im Mittelpunkt des Kreisstromes; b) H = R 2 i 2(R 2 +z 2 ) 3/2 auf der Achse des Kreisstromes. ds H i dφ R r dh 1 γ γ 0 z z dh dh 2 nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 24

4 3.7 Gesetz von iot-savart und Ampèresches Gesetz [P] = µ 0 4 π ds (r r ) r r 3 a) eschreiben Sie die im Gesetz von iot-savart vorkommenden Größen (rechts vom ntegral). b) Zeigen Sie, dass das iot-savartsche und das Ampèresche Gesetz für einen unendlich langen Leiter die gleiche Lösung liefern. H(r) r Hinweise: dx (a 2 + x 2 ) = x 3 a 2 a 2 + x 2 lim x ± x a2 + x 2 = ±1 c) erechnen Sie die magnetische Flussdichte im Zentrum einer Rechteckspule mit den Seitenlängen a und b, die vom Strom durchflossen wird (mit dem iot-savartschem Gesetz). a b d) etrachten Sie nun die einzelnen Teile der Rechteckspule als (unendlich) lange Leiter und berechnen Sie so die magnetische Flussdichte im Zentrum der Rechteckspule (mit dem Ampèreschen Gesetz). e) Wie unterscheiden sich die Lösungen aus den Punkten c) und d) wenn a = b gilt? Welche Lösung ist die richtigere, warum? nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 25

5 3.8 iot-savart, Kraft auf einen Leiter [P] (a) (b) (c) L L L y R L y R L R R L P x x Gegeben sei ein Stück einer Leiterschleife, wie in obiger Grafik (a) gezeigt, welches von einem Strom durchflossen wird. Das Leiterstück besteht aus 2 sehr langen, geraden Stücken mit Längen L und einem viertelkreisförmigen Stück mit Radius R. Hinweis: Der Rest der Leiterschleife, also die Zuleitungen zur zugehörigen Stromquelle, wurde aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht eingezeichnet und kann für sämtliche erechnungen in diesem eispiel vernachlässigt werden. a) erechnen Sie Richtung und Amplitude der durch den stromführenden Leiter hervorgerufenen magnetischen Flussdichte im Punkt P = (0, 0, 0) (siehe Abb. (a)). Hinweis: Zur Lösung dieser Aufgabe kann das Gesetz von iot-savart verwendet werden. b) Welche Kraft wirkt auf ein Elektron (Ladung q = C) das sich im Punkt P in Ruhe befindet? c) Der Leiter befinde sich nun in einem homogenen, konstanten Magnetfeld = (0, 0, ) (siehe Abb. (b)). Welche Kraft F wirkt auf den Leiter? Geben Sie Amplitude und Richtung an. Hinweis: Für diesen Teil der Aufgabe ist es möglicherweise von Vorteil kartesische Koordinaten zu verwenden. d) Gegeben sei nun der in Abb. (c) gezeigte Leiter. Das viertelkreisförmige Stück wurde durch ein rechtwinkeliges ersetzt. erechnen Sie für diese Anordnung die Kraft F welche auf den Leiter wirkt. Was fällt hnen auf? 3.9 Magnetische Felder an Grenzflächen a) Leiten Sie aus der ersten und der vierten Maxwellgleichung das Verhalten von H- und - Feld an der Grenzfläche zweier Medien mit verschiedenen Permeabilitäten her. Zeigen Sie dabei: Die Tangentialkomponenten des H-Feldes bleiben konstant, d.h.: H t1 = H t2. Die Normalkomponenten des -Feldes bleiben konstant, d.h.: n1 = n2. b) etrachten Sie zwei Medien mit sehr hoher und sehr niedriger (relativer) Permeabilität (z.. Eisen und Luft). Wie verlaufen - und H- Feld in (unmittelbarer) Nähe der Grenzfläche im Eisen? in der Luft? nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 26

6 3.10 Magnetischer Fluss und (magnetische) Durchflutung a) Wie hängen die magnetische Flussdichte und der magnetische Fluss Φ zusammen? b) Geben Sie die Durchflutung einer Spule mit N Windungen an, durch die der Strom fließt. c) Ein Elektromagnet (N = 1000, = 0.1 A) erzeugt eine magnetische Flussdichte = 1 T. estimmen Sie den magnetischen Fluss Φ, der auf einer Querschnittsfläche von A = 100 cm 2 erzeugt wird, wenn die Fläche senkrecht durchdringt. d) erechnung des magnetischen Fluss in einem inhomogenen Magnetfeld: erechnen Sie den von einem langen, geraden mit dem Strom durchflossenen Leiter in einer rechteckigen Drahtschleife erzeugten magnetischen Fluss unter der Voraussetzung, dass die Drahtschleife in der gleichen Ebene wie der Leiter und parallel zu ihm liegt. Lösungshinweis: Veranschaulichen Sie zunächst das Problem! 3.11 Eisenkreis a) erechnen Sie den magnetischen Fluss Φ für einen allgemeinen Eisenkreis mit Luftspalt und leiten Sie daraus die eziehungen für eine netzwerktheoretische eschreibung her. (Annahme: Das -Feld ist im Eisen konzentriert.) b) Vergleichen Sie die magnetischen Widerstände für Eisen und Luft. (Annahme: Gleiche Flächen und Homogenität des Magnetfeldes.) c) erechnen Sie den magnetischen Widerstand (Reluktanz) für einen Hohlzylinder, der vertikal von einem Magnetfeld durchflutet wird. d) erechnen Sie den magnetischen Widerstand (Reluktanz) für einen Hohlzylinder, der radial von einem Magnetfeld durchflutet wird Eisenkreis Drehstromtransformator 1. Für den magnetischen Kreis im nachfolgenden ild (Drehstromtransformator) gilt: R m,1 = R m,2 = H 1 w 1 = 700 i 1 = i 2 = 0.1 A R m,3 = H 1 w 2 = w 3 = 500 i 3 = 0.2 A Ermitteln Sie die magnetischen Flüsse mit Hilfe der Netzwerkbeschreibung oder der Feldmethode. nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 27

7 3.13 Spannungsinduktion ewegte Leiter im (homogenen) Magnetfeld a) Spannungsinduktion in einem bewegten Leiter Gegeben ist ein elektrisch leitfähiger Stab der Länge l, der sich mit der Geschwindigkeit v im homogenen Magnetfeld bewegt. erechnen Sie die im Stab induzierte Spannung. (Annahme: Rechter Winkel zwischen v und ) b) Spannungsinduktion in einem rotierender Stab und in einer rotierenden Scheibe im Magnetfeld Die nachstehende Abbildung zeigt Stromkreise mit einem rotierenden, metallischen Stab (a) sowie mit einer rotierenden, metallischen, arlowschen Scheibe (b) im ruhenden Magnetfeld. Der Achsenradius ist vernachlässigbar und eine ständige Kontaktgabe der rotierenden Teile wird garantiert. erechnen Sie die induzierten Spannungen in beiden Anordnungen in Abhägngigkeit von der Winkelgeschwindigkeit ω Spannungsinduktion Spannungsinduktion in einer starren Leiterschleife a) Eine starre Leiterschleife befindet sich in einem (zeitlich) veränderlichen Magnetfeld. Wie groß ist die induzierte Spannung in der in der Leiterschleife? b) Wie groß ist die Spannung an einer Spule mit N Windungen, die sich in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld befindet? c) Gegeben ist ein unbelasteter Trafo bestehend aus zwei Spulen mit den Windungszahlen N 1 und N 2, die durch ein Eisen (µ Fe, l Fe, A Fe ) ideal gekoppelt sind. (Vernachlässigung der Streuflüsse.) erechnen Sie die Spannung in Abhängigkeit des Spulenstromes 1, die in Spule 2 (unbelastet) induziert wird. nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 28

8 3.15 nduktion in einer bewegten Leiterschleife Die in der Abbildung gezeigte Drahtschleife wird mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Ein konstanter Strom fließt wie eingezeichnet durch den (als unendlich lang) angenommenen Draht. R a b v erechnen Sie den etrag der induzierten Spannung in der Drahtschleife auf zwei verschiedene Arten: a) Verwenden Sie das Faraday sche nduktionsgesetz (Maxwell ). b) Summieren Sie für alle ereiche des Drahtes die jeweiligen eiträge der Lorentzkraft, welche aufgrund der ewegung der Drahtschleife resultiert, zur induzierten Spannung auf. 2. estimmen Sie die Richtung des induzierten Stromes in der Drahtschleife a) durch Verwendung der Lenzschen Regel. b) durch etrachtung der magnetischen Kräfte auf die Ladungen in der Schleife. 3. Kontrollieren Sie anhand von Spezialfällen, ob hr Ergebnis aus 1 Sinn ergibt. etrachten Sie die Fälle: Die Drahtschleife bewegt sich nicht. Die Schleife ist sehr dünn, also a 0. Die Schleife ist sehr weit vom stromführenden Draht entfernt Eisenkern mit 3 Schenkeln und 2 Spulen Zu berechnen sind die nduktivitäten L 1 und L 2 sowie die Gegeninduktivität M für die gegebene Anordnung. nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 29

9 3.17 Spulen, nduktion, Koppelfaktoren 1. Magnetisch verkoppelte Spulen. Für zwei Spulen werden die nduktivitäten L 1 = 10 mh und L 2 = 20 mh sowie ein Koppelfaktor k = 0.9 angegeben. Zu berechnen sind die induzierten Spannungen u i1, u i2 für i 1 = 1 + î sin ωt mit 1 = 10 A, î = 5A, ω = 2π 50 Hz und i 2 = 0 (leerlaufende Spule). 2. Zwei koaxiale magnetisch verkoppelte Zylinderspulen. erechnen Sie für zwei Zylinderspulen in Luft mit den Radien r 1 und r 2 (r 2 < r 1 ), den Längen l 1 = l 2 = l und den Windungszahlen w 1 und w 2 für den Fall, daß sich Spule 2 koaxial in Spule 1 befindet, die nduktivitäten L 1 und L 2, die Koppelfaktoren k 1 und k 2 sowie die Gegeninduktivität M 12 = M 12 = M. 3. Reihenschaltung magnetisch verkoppelter Spulen - bifilare Wicklung: erechnen Sie für die abgebildeten Anordnungen die Ersatzschaltung für das i, u-verhalten und diskutieren Sie das Ergebnis Magnetische Energie und nduktivität eines Koaxialkabels erechnen Sie die magnetische Energie und nduktivität eines Koaxialkabels. Die inneren nduktivitäten der Leiter müssen nicht explizit berechnet werden. Hinweis: Die magnetische Energie W setzt sich aus der des nnenleiters, des isolierenden Zwischenraumes und des Außenleiters zusammen. nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 30

10 3.19 Railgun Das Konzept der Railgun besteht darin, Projektile mittels eines stromführenden Schlittens entlang zweier parallel laufenden Schienen zu beschleunigen. Neben militärischen Applikationen wurde auch überlegt, Nutzlasten damit ins Weltall zu befördern/schießen, und somit teure Raketenstarts zu vermeiden. m Folgenden wird ein vereinfachtes Modell einer Railgun diskutiert. F F l Ein leitender Stab mit Masse m und Länge l gleitet entlang zweier Schienen welche mit einer Stromquelle verbunden sind. Der ereich zwischen den Schienen wird von einem konstanten Magnetfeld ausgefüllt. Zur Vereinfachung der Rechnung werden störende Einflüsse wie Reibung oder elektrischer Widerstand vernachlässigt, genauso wie das durch die stromführenden Schienen erzeugte (zusätzliche) Magnetfeld. a) erechnen Sie die Kraft F welche auf den Stab wirkt. b) Falls sich der Stab anfänglich in Ruhe befindet, welche Strecke s muss er nach Einschalten des Stroms zurücklegen bis er eine Geschwindigkeit v erreicht? c) Anwendung: Wie lange müssen die Schienen sein, um eine Last von m = 25 kg ins Weltall zu schießen? Die Last muss die Fluchtgeschwindigkeit der Erde erreichen, v = 11.2 km/s. Verwenden Sie die Werte = 0.5 T, = A, und l = 50 cm. nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 31

11 3.20 Geschwindigkeits- bzw. Energiefilter mit gekreuztem elektrischen und magnetischen Feld a) Überlegen Sie sich, wie man aus einem Strahl von positiven (negativen) Ladungsträgern unterschiedlicher Geschwindigkeit und gleicher Masse die Ladungsträger einer vorgegebenen Geschwindigkeit mit Hilfe eines jeweils darauf senkrecht stehenden magnetischen und elektrischen Feldes (jeweils homogen und zeitkonstant) herausfiltern kann. v -q E v = v soll b) Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der Ladung der Ladungsträger in obiger Anordnung? c) Wie ist die Spannung U am Ablenkkondensator (Plattenabstand d = 10 mm) für = 0.1 T zu wählen, falls Protonen mit v = 0.1c herausgefiltert werden sollten? 3.21 Ableitung der magnetischen Grenzflächenkraft Mit dem Energiesatz sowie einer virtuellen Verrückung des Ankers wie im ild gezeigt ist die Gleichung für die Kraft an der Grenzfläche zwischen Ferromagnetikum und Luft bei homogenem Feld in der Fläche A abzuleiten. nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 32

12 3.22 Magnetkreis, Spannungsinduktion, Virtuelle Verschiebung [P] Gegeben ist die in Abb. und dargestellte Anordnung, die zur Dickenmessung (nicht magnetisch leitfähiger Materialien) verwendet wird. Über die in der Spule 2 induzierten Spannung kann auf die Dicke des zu vermessenden Objekts geschlossen werden. Annahmen: 1 = Î 1 cos(ωt) wird konstant gehalten (gilt für Pkt. a bis c). Querschnitt des Eisens: A = konst. Die Länge des Eisens l F e kann (trotz der Verschiebung) als konstant angenommen werden. Der Strom in Spule 2 ist vernachlässigbar. eachten Sie: µ F e ist endlich! (Kann nicht als unendlich angenommen werden.) a) Zeichnen Sie das magnetische Ersatzschaltbild der Anordnung in Abb. und berechnen Sie die magnetische Flussdichte im Luftspalt. b) erechnen Sie zunächst die induzierten Spannungen U(l O ) (siehe Abb. ) sowie U(0) (siehe Abb. ) und geben Sie anschließend U(l O ) = f(u(0), l F e, l O, µ r,f e ) an. c) Geben Sie die magnetischen Energien an, die im Luftspalt sowie im Eisen gespeichert sind (Abb. ). Wo ist der Hauptanteil der magnetischen Energie gespeichert? d) erechnen Sie die Kraft mit der das Messobjekt eingeklemmt wird (Abb. ). Annahme: Φ ist konstant. nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 33

13 3.23 Gleichstrommaschine [P] N S μ Fe Polschuh μ Fe Anker R r r r φ s r z β L r α Stator n der obigen Abbildung ist der prinzipielle Aufbau einer Gleichstrommaschine dargestellt. Der äußere Teil heißt Stator. Er trägt die Erregerwicklung (repräsentiert durch N S ), die zur Erzeugung des Magnetfeldes dient. (N S berücksichtigt die obere und die untere Wicklung). Der innere Teil heißt Anker. Er trägt die Ankerwicklung (repräsentiert durch R ), die dazu benötigt wird um ein Drehmoment in den Anker einzuprägen. Der Anker ist drehbar gelagert. Länge der Maschine in axialer (z) Richtung: L µ F e a) Zeichnen Sie in die Abbildung unten den Verlauf der Feldlinien der magn. Flussdichte. b) erechnen Sie die Magnetische Flussdichte (r L ) im Luftspalt. c) Leiten Sie aus der Definition der Lorentzkraft die Kraft auf einen geraden, stromdurchflossenen Leiter her, der sich in einem homogenen Magnetfeld befindet. d) erechnen Sie das Moment auf den Anker, wenn sich die Ankerwicklung unter den Polschuhen befindet (d.h. β ϕ α + β) e) Zeichnen Sie den Drehmomentenverlauf für eine ganze Umdrehung des Ankers. μ Fe μ Fe nstitut für Mikroelektronik und Mikrosensorik, JKU 34