Übungsblatt 1 Finanzmathematik

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1 Übungsblatt 1 Finanzmathematik 1. Können bei einfacher Verzinsung von 6% und einer Anlagedauer von einem halben Jahr aus e mehr als e werden? 2. Ein fester Anlagebetrag wird bei der Privatbank Mooshamm im ersten Jahr mit 3,0% verzinst. In jedem weiteren Jahr erhöht sich die Verzinsung um 0,2%. a) Wie hoch ist der Endwert nach n Jahren, wenn mit einfacher Verzinsung gerechnet wird? b) Bestimmen Sie für einen Anlagebetrag von e bei einer Laufzeit von 6 Jahren den unter a) beschriebenen Endwert. Wie hoch muss eine über 6 Jahre konstante Verzinsung mit Zinseszins sein, um zum gleichen Endwert zu gelangen? 3. Eine Bank bietet drei verschiedene Sparbriefe mit einer Laufzeit von 5 Jahren für einen Mindestanlagebetrag von 1000 e an: Sparbrief A einfache Verzinsung mit 5, 0% Sparbrief B Sparbrief C 4, 5% Verzinsung mit Zinseszins 3, 0% Verzinsung mit Zinseszins und am Ende der Laufzeit ein Bonus von 10% auf den Anlagebetrag a) Welcher Sparbrief liefert den höchsten Endwert? b) Mit welchem Zinssatz müsste Sparbrief B verzinst werden, damit er den gleichen Endwert wie Sparbrief C erzielt? 4. Eine Bank bietet einen Sparbrief für eine Laufzeit von n Jahren mit einem Mindestanlagebetrag von K Euro an. Der Sparbrief wird mit p % verzinst (Verzinsung mit Zinseszins) und am Ende der Laufzeit gibt es einen Bonus von b % auf den Anlagebetrag. Bezüglich der Daten wird n 2, K > 0, p > 0 und b n vorausgesetzt. a) Stellen Sie den Endwert der Anlage als Funktion in Abhängigkeit vom Zinsfuß p und dem Bonus b dar, wobei der tatsächliche Anlagebetrag K 0 K und die Laufzeit n gegebene Konstanten sind. b) Untersuchen Sie mit Hilfe des vollständigen Differentials, ob der Endwert der Anlage höher ausfällt, wenn der Zins nur um den Wert von 1 % erhöht aber gleichzeitig der Bonus beträchtlich um den Wert von n % gesenkt wird. 5. Herr Erwin Beckstein kann sei Kapital in Höhe von e für 9 Monate anlegen. Die Verzinsung erfolgt entweder zu 11% p.a. linear nachschüssig oder zu 10% p.a. linear vorschüssig. Welche Anlage soll Herr Beckstein wählen? 6. Berechnen Sie den Endwert einer Anlage in Höhe von e bei Verzinsung mit Zinseszins zum antizipativen Zinssatz von 4% und einer Laufzeit von 20 Jahren! Geben Sie den zugehörigen konformen dekursiven Zinssatz an!

2 7. Wann kann man bei vorschüssiger Verzinsung mit Zinseszins mit Zinssatz i a erstmals das doppelte des eingezahlten Betrages abheben? 8. Wann kann man bei gemischter Verzinsung erstmals das dreifache des eingezahlten Betrages bei 5% Verzinsung abheben? 9. Welche Alternative ist für eine Anlage von e für 10 Jahre die ertragreichste? a) 9% Zinseszins b) 8,9% halbjährliche Verzinsung c) 8,7% stetige Verzinsung 10. Mit welchem vorschüssigen Zinssatz erreicht man nach einem Jahr den gleichen Endwert wie bei einer stetigen Verzinsung mit 6%? 11. Das Anfangskapital K 0 unterliege ab dem Zeitpunkt t = 0 einer stetigen Verzinsung mit Zinssatz i. Das Kapital ist zum Zeitpunkt t = 1 auf e und zum Zeitpunkt t = 2 auf e angewachsen. Wie hoch ist das Anfangskapital K 0 und der Zinssatz i? 12. Zu welchem Zeitpunkt stimmen die Zinsintensitäten für die lineare Verzinsung und die nachschüssige exponentielle Verzinsung bei einem Zinssatz von 10% überein?

3 Übungsblatt 2 Finanzmathematik 1. Frau Ginsterbusch erhält eine Rechnung über e, die sie spätestens in 60 Tagen bezahlen muss. Begleicht sie den Rechnungsbetrag sofort, darf sie 3% Skonto vom Rechnungsbetrag abziehen. Da aber ihr Girokonto schon überzogen ist, beschliesst sie, die Rechnung erst in 60 Tagen zu begleichen. Hat Frau Ginsterbusch richtig gehandelt, wenn man beachtet, dass für das Überziehen des Girokontos 11,25% Zinsen zu zahlen sind? 2. Herr Rosenstolz hat eine Versicherung abgeschlossen, die er entweder in einer Jahresrate (vorschüssig) oder in zwei halbjährigen Raten halber Höhe mit 3% Aufschlag (ebenfalls vorschüssig) zahlen kann. Welche Zahlung ist günstiger, wenn man von einem Marktzins nicht über 5% ausgeht? 3. Bestimmen Sie den mittleren Zahlungstermin eines Zahlungsstroms bei nachschüssiger exponentieller Verzinsung bzw. bei linearer Verzinsung! 4. Karl Friedrich Zick muss in den nächsten fünf Jahren jeweils am Jahresende e zurückzahlen. Wann müsste die Zahlung bei nachschüssiger Verzinsung mit Zinseszins von 4% erfolgen, wenn die Gesamtsumme von e auf einmal gezahlt werden soll? 5. Ein Schuldner muss Anfang 2008 und Anfang 2012 je e zahlen. Er möchte statt dessen vier gleich hohe Raten am Anfang der Jahre 2009, 2010, 2013, 2014 zahlen. Wie hoch ist die Rate bei nachschüssiger Verzinsung mit Zinseszins bei einem Zinssatz von 7% zu wählen? 6. Eine Einmalanlage mit einem Mindestanlagebetrag von e wird im ersten Jahr mit 7%, im zweiten Jahr mit 4% und in den folgenden Jahren mit 3% verzinst. Die Zinsen werden automatisch wieder angelegt. Für jedes Jahr wird unabhängig vom Anlagebetrag ein Bonus von 100 e am Ende der Laufzeit gutgeschrieben. Die maximale Laufzeit beträgt sieben Jahre. Über das Guthaben kann frühestens nach zwei Jahren, aber jeweils nur am Ende eines Jahres verfügt werden. Stellen Sie den Endwert der Anlage und den Effektivzins in Abhängigkeit vom Anlagebetrag und der Laufzeit dar! Bei welchem Anlagebetrag erreicht man nach 7 Jahren den höchsten Effektivzins? 7. Nach Einzahlung von e auf ein Konto wurden nach einem Jahr 500 e abgehoben. Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz, wenn das Konto nach zwei Jahren ein Guthaben von 550 e aufweist? 8. Aus einer Anlage in Höhe von , e entsteht nach 15 Monaten ein Betrag von , e. Bestimmen Sie den Effektivzinssatz nach der PAngV (alt) und der exponentiellen Methode (ISMA)! 9. Welche Festgeldanlage besitzt den höchsten effektiven Jahreszinssatz? a) 30 Tage zu 5,28% b) 60 Tage zu 5,32% c) 90 Tage zu 5,35%

4 Übungsblatt 3 Finanzmathematik 1. Frau Griselda Wirrwa ging zur Bank um einen Sparplan beginnend am abzuschließen. Die Auszahlung soll am erfolgen. Die Bank machte die zwei folgenden Angebote: (A) 8 Einzahlungen á 2.000,00 e jeweils am der Jahre 2002 bis 2009, Verzinsung mit Zinseszins jeweils am mit einem Zinssatz von 3% (B) 8 Einzahlungen á 2.000,00 e jeweils am der Jahre 2002 bis 2009, Verzinsung mit Zinseszins jeweils am mit einem Zinssatz von 1%, am Laufzeitende ein Bonus von 10% auf den insgesamt eingezahlten Betrag Frau Griselda Wirrwa wählte die Anlage (B). Hat Sie damit die ertragreichere Anlage gewählt? 2. Es sei s n der nachschüssige und s n der vorschüssige Rentenendwertfaktor sowie a n der nachschüssige und a n der vorschüssige Rentenbarwertfaktor für eine n Jahre lang zu zahlende Rente. Zeigen Sie die Gültigkeit der Beziehungen s n = s n+1 1 und a n = a n 1 + 1! 3. Eine Rente der Höhe r wird jährlich nachschüssig n + l Jahre lang auf ein Konto eingezahlt. Der Zinssatz für die Verzinsung mit Zinseszins ist für die ersten n Jahre mit i 1 und für die letzten l Jahre mit i 2 festgelegt. Geben Sie eine Vorschrift zur Berechnung des Rentenendwertes an! 4. Eine Rente wird jährlich nachschüssig n +l Jahre lang auf ein Konto eingezahlt. Der Zinssatz i für die Verzinsung mit Zinseszins ändert sich während der Laufzeit nicht. In den ersten n Jahren wird eine Rente der Höhe r 1 und in den letzten l Jahren eine Rente der Höhe r 2 gezahlt. Geben Sie eine Vorschrift zur Berechnung des Rentenendwertes an! 5. Eine Rente in Höhe von , e soll ewig jeweils am Jahresanfang gezahlt werden. Wie hoch muss der Rentenbarwert bei einer als konstant angenommenenverzinsung von 6% sein? Um welchen Betrag verringert sich der Rentenbarwert, wenn nachschüssig gezahlt würde? 6. Wie oft kann man jährlich nachschüssig ,-e aus einem Kapital von ,-e bei einer Verzinsung von 5% abheben? Wie lange braucht man mindestens, um den Betrag von ,-e durch jährlich nachschüssige Einzahlungen in Höhe von 2.000,- e bei gleicher Verzinsung von 5% anzusparen? 7. Zu welchem Zeitpunkt t ist der Zeitwert einer nachschüssigen Rente gleich der nominellen Leistung G = nr? 8. Zu einem Startkapital K > 0 soll jährlich nachschüssig der Betrag ak, 0 < a < 1, gespart werden. Nach welcher Zeit hat sich bei Verzinsung mit Zinssatz i > 0 das Startkapital verdoppelt?

5 9. Bestimmen Sie den Barwert einer ewigen nachschüssigen arithmetisch fortschreitenden Rente! 10. Berechnen Sie den Endwert einer nachschüssigen geometrisch fortschreitenden Rente über 15 Jahre, wenn die erste Zahlung in Höhe von e erfolgt, jedes Jahr um 2% dynamisiert wird und die Verzinsung 3% beträgt. Welcher Barwert ist nötig, um diese geometrisch fortschreitende Rente ewig zahlen zu können? 11. Ein Sparvertrag hat eine Laufzeit von 7 Jahren. In den ersten 6 Jahren werden jeweils am Monatsanfang 100 e eingezahlt. Im 7. Jahr erfolgen keine weiteren Einzahlungen. Die Anlage wird mit 2% verzinst (unterjährige Einzahlungen werden einfach verzinst, die Kapitalisierung erfolgt am Jahresende). Am Ende der Laufzeit wird ein Bonus von 14% auf die eingezahlten Beträge gewährt. Berechnen Sie die zu erwartende Auszahlung am Ende der Laufzeit! 12. Die KFZ-Haftpflichtversicherung beträgt pro Monat 80 e. Der Betrag ist am Monatsanfang zu zahlen. Statt monatlich zu zahlen, bietet die Versicherungsgesellschaft eine jährliche Vorauszahlung an. Dafür gewährt sie einen Rabatt von 3%. Wie hoch wäre die jährliche Rate? Lohnt sich die jährliche Zahlungsweise, wenn man sein Geld mit 4% anlegen kann? Ab welchen Zinssatz lohnt sich die Umstellung auf jährliche Zahlung nicht? Hinweis: Innerhalb eines Jahres ist mit linearer Verzinsung zu rechnen.

6 Übungsblatt 4 Finanzmathematik 1. Ein Kapital K werde jährlich mit p % verzinst. Am Jahresende werden jeweils a % von dem verzinsten Kapital abgehoben. a) Bestimmen Sie den Kontostand K n am Ende des Jahres n, den dann abzuhebenden Betrag A n und die Summe S n der bis dahin insgesamt abgehobenen Beträge! b) Unter welchen Bedingungen für p und a nimmt das Kapital ab, bleibt es unverändert, wächst es an? c) Nach wievielen Jahren übersteigt die Summe S n erstmals einen vorgegebenen Wert M? d) Rechnen Sie Zahlenbeispiele für K = , n = 20, a {3; 50 ; 5}, p = 4 und M {5.000 ; }! Herr Zackenbarth eröffnete zu Beginn des Jahres 2002 ein Konto mit einem Startkapital von e. Es wird Verzinsung mit Zinseszins und ein Zinssatz von 4% vereinbart. Herr Zackenbarth wird in den Jahren 2005 bis 2014 jeweils am Jahresende e einzahlen. Am Ende des Jahres 2020 soll das Konto ein Guthaben von e ausweisen. a) Welchen Betrag muss Herr Zackenbarth noch einmalig am Ende des Jahres 2020 einzahlen, um das gewünschte Guthaben zu erreichen? b) Nach dem Jahr 2020 leistet Herr Zackenbarth keine weiteren Einzahlungen. In welchem Jahr weist das Konto erstmalig mehr als e aus? 3. Frau Zackenbarth legt zu Beginn des Jahres 2005 einen Betrag von e auf ein Konto an, wobei Verzinsung mit Zinseszins und ein konstanter Zinssatz von 4,0% vereinbart wurden. Künftig wird Frau Zackenbarth jeweils am Jahresende e abheben. Welcher Betrag befindet sich am Ende des Jahres 2020 nach der Abhebung auf dem Konto? 4. Frau Rosenstolz legt zu Beginn des Jahres 2008 einen Betrag von e auf ein Konto an, wobei Verzinsung mit Zinseszins und ein konstanter Zinssatz von 4,0% vereinbart wurden. Ab 2011 wird Frau Rosenstolz jeweils am Jahresende e abheben. Welcher Betrag befindet sich am Ende des Jahres 2025 nach der Abhebung auf dem Konto? 5. Bürokrat Knausewitz kauft zu Beginn eines jeden Jahres seinen Jahresbedarf von Blatt Kopierpapier. Die Bezahlung erfolgt von einem Konto, auf dem immer genügend Geld vorhanden ist und das mit 3% jährlich verzinst wird. Ab Blatt Kopierpapier würde Knausewitz einen Rabatt von 4%, ab Blatt Kopierpapier einen Rabatt von 6% erhalten. Wäre es besser, wenn Knausewitz einen 2-Jahresbedarf oder gleich einen 4-Jahresbedarf einkauft?

7 6. Frau Ginsterbusch liegen drei Angebote für Sparanlagen mit einer Laufzeit von 20 Jahren vor, bei denen jeweils insgesamt e eingezahlt werden und die Verzinsung mit Zinseszins erfolgt. Angebot X 20 Jahre werden zu Beginn eines jeden Jahres e bei 3% Verzinsung angelegt. Am Ende der Laufzeit gibt es einen Bonus von 20% auf den insgesamt eingezahlten Betrag. Angebot Y Zu Beginn der 20-jährigen Laufzeit erfolgt eine Einmalzahlung in Höhe von e. Danach werden jeweils am Jahresende 900 e eingezahlt. Die Verzinsung beträgt 4%. Angebot Z Zu Beginn der ersten 10 Jahre werden jeweils e eingezahlt. Danach erfolgen bis zum Ende des 20. Jahres keine weiteren Einzahlungen. Der Zinssatz für die ersten 10 Jahre beträgt 3% und für die letzten 10 Jahre 3,2%. a) Berechnen Sie die Auszahlungswerte der drei Sparanlagen am Ende des 20. Jahres! Frau Ginsterbusch favorisiert die Anlage X. Hat Frau Ginsterbusch damit die ertragreichste Anlage gewählt? b) Welcher Betrag muss bei Anlage X jeweils zu Beginn eines jeden Jahres bei 3% Verzinsung angelegt werden, wenn am Ende der Laufzeit von 20 Jahren kein Bonus gezahlt wird und dergleiche Auszahlungsbetrag wie bei der vorgeschlagenen Anlage entstehen soll? c) Welcher Betrag muss bei Anlage Y jeweils am Ende eines jeden Jahres bei 4% Verzinsung angelegt werden, wenn die Einmalzahlung zu Beginn der Laufzeit entfällt und am Ende der Laufzeit von 20 Jahren der gleiche Auszahlungsbetrag wie bei der vorgeschlagenen Anlage entstehen soll? d) Um welchen Betrag ändert sich der Auszahlungsbetrag bei Anlage Z, wenn der Zinssatz für die ersten 10 Jahre 3,2% und für die letzten 10 Jahre 3% beträgt?

8 Übungsblatt 5 Finanzmathematik 1. Stellen Sie einen Tilgungsplan für die Ratentilgung als auch für die Annuitätentilgung für einen Kredit in Höhe von e mit einer Laufzeit von 4 Jahren und einer Verzinsung von 12 % auf! 2. Eine Schuld von e soll in 10 Jahren bei einem Zinssatz von 9% durch gleichhohe Annuitäten verzinst und getilgt werden. Ermitteln Sie a) die Annuität, b) die Tilgung am Ende des letzten Jahres, c) die Zinszahlung am Ende des zweiten Jahres, d) die Restschuld nach 5 Jahren! 3. Eine Hypothek über e wird mit 5,5 % verzinst. Es soll pro Jahr 4,5 % plus ersparter Zinsen nachschüssig getilgt werden. Wie hoch sind die jährlichen Belastungen? Wann ist die Schuld abgetragen? 4. Eine Hypothek wird mit 5,5 % verzinst. Wie hoch muss die anfängliche Tilgungsquote sein, damit die Schuld nach 20 Jahren abgetragen ist? 5. Für ein Hypothekendarlehen wird die anfängliche Tilgungsquote auf 1% festgelegt. Wie hoch ist der Zinssatz, wenn die Schuld nach genau 30 Jahren abgetragen ist? Wie hoch ist dann die prozentuale Restschuld nach 10 Jahren? 6. Eine Sparkasse bietet ein Anschaffungsdarlehen an, das jeweils am Monatsende durch konstante Raten zurückzuzahlen ist. Für ein Beispiel werden folgende Angaben gemacht: Kredit: , e Laufzeit: 60 Monate Monatszins: 0,4 % Bearbeitungsgebühr: 2 % Wie hoch sind die zu zahlenden monatlichen Raten? Begründen Sie, weshalb der Effektivzinssatz größer als 5,2 % ist! 7. Ein Kreditvermittler legt folgendes Angebot für einen Kredit in Höhe von 5.000,-e vor: Zinssatz pro Monat: 0,60% Restschuldversicherung: 45,00e Laufzeit des Vertrages: 36 Monate effektiver Jahreszins: 16,60% Fälligkeit der Raten: 30.1./28.2/30.3/... monatliche Rate: 176,01e Gebühren: 4% vom Finanzierungsbetrag Prüfen Sie, ob die Angaben korrekt sind!

9 Übungsblatt 6 Finanzmathematik 1. Jemand soll eine Schuld von e nach 5 Jahren zuzüglich Zinseszinsen von 8 % in einem Betrag zurückzahlen. Nach einem Jahr zweifelt der Gläubiger an der Bonität des Schuldners. Deshalb möchte er seine Forderungen an eine Bank abtreten. Diese verlangt einen Zinssatz von 12 %. Zu welchem Kurs übernimmt die Bank die Forderung? 2. Eine mit dem nominellen Jahreszins von 5,25 % ausgestatte Zinsanleihe werde nach einer Laufzeit von 5 Jahren zurückgezahlt. Bestimmen Sie näherungsweise die Realverzinsung, wenn der Kurs bei 96 % liegt! 3. Ein festverzinsliches Wertpapier wird mit dem Kurs C 0 = 96, 50% emittiert und nach 8 Jahren zu einem Kurs von 102% zurückgenommen. Die nominelle Verzinsung beträgt 7% p.a. Unmittelbar nach Zahlung der dritten Zinsrate wird das Papier erstmalig verkauft, und zwar zu einem Kurs von 87,40%. Gesucht sind a) die Emissionsrendite, b) die realisierte Rendite des Verkäufers, c) die Umlaufrendite, d.h. die Rendite des Käufers! 4. Eine ewige Rente, die einen jährlichen Kupon von 6% aufweist, kann günstig zum Kurs von C = 92, 55 erworben werden. Welche Ralverzinsung wird erzielt? 5. Eine Nullkupon-Anleihe mit einer Laufzeit von 20 Jahren habe einen Ausgabekurs von 28,38 %. Wie hoch ist die angenommene Realverzinsung? Wie hoch ist der Kurs für die Restlaufzeit, wenn nach 12 Jahren der Realzins bei 5,5% liegt? 6. Welchen Ausgabekurs hat eine Nullkupon-Anleihe mit einer Laufzeit von 25 Jahren bei einer angenommenen Realverzinsung von 6%? Angenommen, nach 10 Jahren sei der Realzins auf 4,5% gefallen. Welche Rendite erzielt man, wenn die Anleihe zu diesem Zeitpunkt verkauft wird? 7. Ein Bauherr kann zwischen zwei Annuitätendarlehen wählen: (D1) Auszahlungskurs 96% nominelle Verzinsung 8% anfängliche Tilgungsquote 1% (D2) Auszahlungskurs 92% nominelle Verzinsung 7% anfängliche Tilgungsquote 2% Für welches Darlehen entscheidet sich der Bauherr, wenn er die Effektivverzinsung als Auswahlkriterium heranzieht? 8. Für eine Ratenschuld, rückzahlbar in 5 Jahren bei jährlichen Zins - und Tilgungsleistungen und bei einer Nominalverzinsung von 7 % soll eine Mindestverzinsung von 8 % erreicht werden. Wie hoch darf der Ausgabekurs höchstens sein?

10 Übungsblatt 7 Finanzmathematik 1. Frau Zackenbarth hat kürzlich Finanzierungsschätze des Bundes zum Nennwert von e mit einer Laufzeit von genau zwei Jahren erworben. Der vorschüssige Verkaufszinssatz betrug 3,86%. Wie hoch war der Kaufpreis? Welche Rendite hat sie damit realisiert? 2. Herr Zackenbarth hat den Bundesschatzbrief Typ B mit Zinslaufbeginn zum Nennwert von e erworben, welcher mit den nominellen Zinssätzen 2,75% - 3,00% - 3,50% - 4,00% - 4,75% - 5,50% - 5,75% ausgestattet ist. Nach genau vier Jahren gibt er ihn vorzeitig zurück und legt den Rückzahlwert für drei Jahre bei einer Verzinsung mit Zinseszins mit 5% an. Welchen Endwert hat Herr Zackenbarth mit seiner Strategie realisiert? Wie hoch ist der zugehörige Effektivzinssatz? Welchen Effektivzinssatz hätte er realisiert, wenn er den Bundesschatzbrief nicht vorzeitig zurückgegeben hätte? Wie hoch ist die Restlaufzeitrendite des Bundesschatzbriefes für die letzten drei Jahre? 3. Ein Spielzeughersteller erwirbt eine 10-jährige Konzession für die Produktion eines Stofftieres. Für die notwendige Erweiterungsinvestition wurden folgende Daten ermittelt: Anschaffungsausgaben: ,-e Preis pro Tier: 130,-e variable Kosten pro Tier: 45,-e Fixkosten pro Jahr: ,-e Kalkulationszinssatz: 12% Nutzungsdauer: 10 Jahre Wie hoch ist die kritische Absatzmenge, die erreicht werden muss, damit sich das Vorhaben lohnt? 4. Eine Solaranlage mit einer Nutzungsdauer von 12 Jahren kostet 8,4 Millionen e. Sie erwirtschaftet in jedem Jahr eine Gewinn von 1,2 Millionen e und besitzt keinen nenneswerten Wiederverkaufswert. Wann hat sich die Investiton bei einem Kalkulationszinssatz von 5% amortisiert? 5. Eine Maschine mit Anschaffungswert e soll in 10 Jahren zuerst mit einem Abschreibungsprozentsatz von 20 % geometrisch-degressiv und dann zum frühesten Zeitpunkt linear voll abgeschrieben werden. Stellen Sie einen Plan auf, aus dem die jährlichen Abschreibungen und die Buchwerte hervorgehen! 6. Wie hoch ist der Abschreibungsprozentsatz bei geometrisch degressiver Abschreibung, wenn der Buchwert am Ende des vorletzten Nutzungsjahres der gleiche ist, wie bei vollständiger linearer Abschreibung? Stellen Sie dazu eine allgemeine Formel für den Abschreibungsprozentsatz in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer n auf und geben Sie den Wert konkret für n = 12 an!