Bifurkationen auf zweifarbigen Gittern

Transkript

1 Bifurkationen auf zweifarbigen Gittern In Anlehnung an den Vortrag gleichen Namens gehalten von Finn Kasulke am Nach der Arbeit Two-Color Patterns of Synchrony in Lattice Dynamical Systems von Yunjiao Wang und Martin Golubitsky (Houston, )

2 Vorwort Da diese Schrift nur Teile eines größeren Werkes wiedergibt, werden nicht alle verwendeten Begriffe hier definiert. Der Vortrag der eine Einführung in die Begrifflichkeiten gegeben hat, wurde am von Fabian Gnegel gehalten. Der Inhalt dieser Schrift setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Im ersten Teil wird der zentrale Satz aus der ursprünglichen Arbeit betrachtet, der Aussagen über das Auftreten von Bifurkationen auf homogenen zweifarbigen Netzwerken macht, im zweiten Teil werden einige der auf hexagonalen Netzwerken auftretenden Muster untersucht. Die Auswahl der untersuchten Muster ist hierbei so getroffen worden, dass die Komplexität der Überlegungen, die zum Auffinden der Muster nötig sind, langsam ansteigt, während die Muster, die sich hauptsächlich durch eine Reihe von Fallunterscheidungen finden lassen, hier nicht aufgeführt sind. Inhalt Hauptsatz über Bifurkationen auf zweifarbigen Gittern Seite 3 Hexagonale Gitter: Klasse 66, 65,64 Seite 5 Klasse 63 Seite 5 Klasse 61 Seite 6 Klasse 41 Seite 7 Klasse 43 Seite 7 Unendliche Klassen Seite 9 Klasse 44 Seite 10 Nächst-naheste Kopplung Seite 12 2

3 Hauptsatz über Bifurkationen Satz: Für jede ausgeglichene Zweifärbung eines homogenen Systems, existiert eine Bifurkation mit Kodimension eins von einem homogenen Gleichgewicht aus, die zu einem Ast von Gleichgewichten entsprechend der gegebenen Zweifärbung führt. Beweis: Der Beweis wird nur für Netzwerke mit einem Typ von Kopplung vorgenommen. Sei also ein zweifarbiges homogenes Netzwerk gegeben. Dass wir eine Zweifärbung haben bedeutet, dass die Inputmengen von Zellen einer Farbe isomorph zueinander sind. Wir können das gesamte Netzwerk also auf ein System aus zwei Zellen reduzieren, nämlich das Quotientensystem des Netzwerks nach seinem durch die Färbung gegebenen Synchronieunterraum. Hierbei sind die Zellen 1 und 2 den verschiedenen Farben zugeordnet, bezeichne die Anzahl der Zellen von Typ i aus der Inputmenge von Zelle i, bezeichne die Anzahl der Zellen vom Typ j aus der Inputmenge von Zelle i mit. Beachte dass aufgrund der Homogenität des Netzwerkes gilt, dass Weil es sich um ein echtes gekoppeltes System handelt, gilt dass, also auch und. Das Quotientennetzwerk ist nun von der Form Hierbei tritt unter dem Balken der ersten Funktion genau mal, genau mal, unter dem Balken der zweiten Funktion genau mal und genau mal auf und die Funktion ist invariant unter Permutation der Einträge unter dem Balken. Gebe es nun einen Zweig trivialer Ruhelagen in, ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir diese in den Punkt verschieben. Sei weiterhin die Ableitung von nach der ersten Komponente, also die linearisierte Matrix der inneren Dynamik des Systems, die Ableitung von nach einer der Komponenten unter dem Balken, also die linearisierte Matrix der Kopplungsdynamik. Damit erhält man für das Zweizellensystem in Punkt die Jacobimatrix, die über abhängig von λ ist 3

4 Zur Untersuchung auftretender Bifurkationen, betrachtet man die Eigenwerte von. Sei hierzu zuerst ein Eigenwert von mit Eigenvektor. Dann gilt: Sei nun ein Eigenwert von mit Eigenvektor. Dann gilt: Damit sind die Eigenwerte von also die von und, wobei gilt, da wegen auch. Diese Matrizen sind von ausreichend allgemeiner Gestalt um keine Abhängigkeit der Eigenwerte voneinander aufzuweisen. Damit kann einen reellen Eigenwert haben, der die imaginäre Achse überquert, ohne dass es ein anderer Eigenwert von auch tut. Nach Crandall und Rabinowitz existiert damit ein nichttrivialer Lösungszweig von Gleichgewichten des Systems, der außerdem, da der Eigenvektor nicht im Synchronieunterraum liegt, die Synchronität des Systems bricht. Dieses neue Gleichgewicht mit des Quotientensystems erzeugt dann eine dem Muster entsprechende Färbung. 4

5 Hexagonale Gitter Sei ein Gitter gegeben, das von den Vektoren und aufgespannt wird. Ein Punkt in diesem Gitter hat 6 nächste Nachbarn, wir charakterisieren unser Muster also über das Tupel mit, wobei die Anzahl weißer Eingänge einer schwarzen Zelle und die Anzahl schwarzer Eingänge einer weißen Zelle ist. Wir müssen nur betrachten, da wir die anderen Fälle durch Tauschen der Farben bereits abgedeckt haben. Die 1 als untere Grenze ist damit begründet, dass eine 0 bedeuten würde, dass es keine Kopplung zwischen Zellen verschiedener Farbe gibt, unsere Zweifärbung wäre also eine Einfärbung. Im Folgenden schauen wir uns einige dieser Fälle an, die exemplarisch die nötigen Beweistechniken und Denkweisen zum Auffinden aller möglichen Muster demonstrieren. Klasse 66/65/64: Wir beginnen mit dem Betrachten einer schwarzen Zelle. Die vorne stehende sechs legt nahe, dass sie sechs weiße Nachbarn haben muss. Deswegen legt eine einzige schwarze Zelle an einem beliebigen Punkt im Gitter das lokale Muster fest, das im nebenstehenden Bild zu sehen ist. Die Existenz einer schwarzen Zelle ist gesichert, da wir nur echte Zweifärbungen betrachten wollen. Sofort kann man erkennen, dass die Klassen 66 und 65 keine Vertreter haben können, da jede weiße Zelle bereits zwei weiße Nachbarn hat, also unmöglich 6 bzw. 5 schwarze Nachbarn haben kann. Für den Fall 64 kann man eine beliebige der weißen Zellen im lokalen Muster betrachten, malt man ihre nötigen weiteren drei schwarzen Nachbarn ein, so sieht man, dass wir nun schwarze Zellen mit schwarzem Input haben, damit existiert also auch im Fall 64 kein zulässiges Muster. Klasse 63: Betrachten wir wieder das lokale Muster, die mit einem c markierte Zelle braucht nun noch zwei schwarze Nachbarn und einen weißen Nachbarn. Diese lassen sich auf drei verschiedene Weisen anordnen, bei der zweiten und dritten Variante liegen allerdings zwei schwarze Zellen nebeneinander, weswegen nur das erste Muster zulässig ist. Man kann erkennen, dass sich das markierte Dreieckt fortsetzt. Damit steht fest, dass ein Streifen entsteht, der sich unendlich weit fortsetzt, da das ursprüngliche Muster symmetrisch war, in beide Richtungen. 5

6 Ähnlich wird eine zweite Ausbreitungsrichtung determiniert, damit ist also das gesamte planare Muster festgelegt. Klasse 61: Wir beginnen wieder mit dem lokalen Muster, die weißen Zellen liegen alle bereits neben einer schwarzen, weswegen jede weitere Nachbarzelle weiß sein muss. Hier reicht es, wenn man die rechte Zelle und die Zelle unten rechts betrachtet. Die eingekreiste Zelle hat nun vier weiße Inputs, benötigt also noch einen weißen und einen schwarzen. Die beiden folgenden Bilder zeigen die möglichen Anordnungen, diese sind jedoch spiegelsymmetrisch entlang der mit einem L markierten Achse, weswegen es genügt, im weiteren Verlauf nur die Erste der beiden Möglichkeiten zu betrachten. Die markierte schwarze Zelle benötigt nun wieder nur weiße Inputs, dadurch erhalten wir erneut das lokale Muster, mit dem wir begonnen haben. Dies legt wegen der vorher getroffenen Symmetrieentscheidung jedoch noch keinen Streifen fest, aber das Auftreten des markierten Musters aus zwei Sechsecken ist gesichert, weswegen wir jetzt dieses genauer betrachten. Dort kann man nun einfach sehen, dass ein Streifen festgelegt wird. Genauso lässt sich durch einfache Fortsetzung erkennen, dass aus dem Streifen ein planares Muster folgt. 6

7 Klasse 41 In den Klassen 4j, sind die Muster rechts alle möglichen lokalen Muster um eine schwarze Zelle bis auf Symmetrie. Man kann sofort erkennen, dass es kein Muster im Fall 41 gibt, da immer eine weiße Zelle mit mindestens zwei schwarzen Nachbarn existiert. Klasse 43 Beginnend mit dem ersten lokalen Muster, kann man einfach das untere Muster folgern. Im letzten Bild kann man aufgrund der Symmetrie entlang der gestrichelten Linie annehmen, dass die erste Zelle schwarz ist und die zweite weiß. Wir erhalten dadurch wieder ein Muster aus zwei Sechsecken, das aber auch hier wegen der vorherigen Symmetrieüberlegung noch keinen Streifen festlegt. Betrachtet man nun die beiden Sechsecke, so geht aus ihnen direkt das planare Muster hervor. 7

8 Beginnt man hingegen mit dem zweiten lokalen Muster so gibt es drei Möglichkeiten das Muster von der markierten Zelle aus fortzusetzen. Die ersten beiden sind hierbei symmetrisch und enthalten das erste lokale Muster. Wir wissen bereits, welches planare Muster entsteht, wenn irgendwo das erste lokale Muster enthalten ist, also sind wir nur an dem dritten Fall interessiert. Dort stehen wir wieder vor dem gleichen Problem, wir erhalten also schon einen Streifen. Betrachtet man nun eine weiße Diagonale, so benötigt jede Zelle noch einen weißen und einen schwarzen Input, sobald eine Zelle festgelegt, ist auch die gesamte Diagonale festgelegt und wo die erste Zelle eingefärbt wird, ist wegen der Symmetrie egal. Dann folgt sofort die mit L2 markierte Diagonale, da jede schwarze Zelle auf L1 noch zwei schwarze Inputs benötigt, was jedoch für einen Widerspruch an den weißen Zellen sorgt. Damit erzeugt das zweite lokale Muster kein neues Muster. Betrachten wir nun das dritte lokale Muster. Eine einzelne Symmetrieüberlegung führt wieder direkt zu einem größeren lokalen Muster, dem gepunkteten unregelmäßigen Hexagon, das dann ohne weitere aufwändige Überlegungen ein planares Muster erzeugt, das von dem ersten gefundenen abweicht. Im Fall 43 existieren also zwei verschiedene ausgeglichene Muster. 8

9 Unendliche Klassen: In den Fällen 62, 53 und 44 lassen sich unendlich viele verschiedene ausgeglichene Muster finden, für die sich jedoch einfache Generierungsschemata angeben lassen. Exemplarisch werden wir die Klasse 44 untersuchen, vorher werden wir jedoch ein Lemma zeigen, das uns erst ermöglicht, die unendlich vielen Vertreter in einfacheren Schemata anzugeben. Außerdem geben wir zwei einfache Definitionen an. Definition: Eine Diagonale ist eine Gerade mit Steigung 0 oder eine Diagonale, entlang der sich weiße und schwarze Zellen abwechseln.. Eine alternierende Diagonale ist Lemma: Wenn die Anzahl schwarzer Inputs jeder weißen Zelle gleich der Anzahl weißer Inputs jeder schwarzen Zelle plus zwei ist, dann erhält man ein neues ausgeglichenes Muster, wenn man die Farben entlang einer alternierenden Diagonalen vertauscht. Beweis: Sei die Anzahl weißer Inputs jeder schwarzen Zelle,. Dann folgt aus der Vorraussetzung für die Inputmengen, dass jede schwarze Zelle schwarze Inputs hat, jede weiße Zelle schwarze Inputs und jede weiße Zelle weiße Inputs hat. Betrachtet man nun eine alternierende Diagonale, so ist sofort klar, dass jede an die alternierende Diagonale angrenzende Zelle von der alternierenden Diagonale einen weißen und einen schwarzen Input bekommt. Daran ändert sich nichts, wenn man die Farben vertauscht. Wir müssen also nur noch prüfen, ob die Inputmengen der Zellen auf der Diagonale selber erhalten bleiben. Dies geht jedoch sofort aus der folgenden Tabelle hervor, die sich leicht über die die am Anfang des Beweises aufgestellten Behauptungen über die Inputmengen ergibt. Damit ist alles gezeigt. Inputs Zelle auf L Von L Von L1 und L2 Weiß 2 Schwarze 0 Weiße m - 2 Schwarze 6 - m Weiße Schwarz 0 Schwarze 2 Weiße m - 2 Schwarze 6 - m Weiße 9

10 Klasse 44: Beginnen wir mit dem dritten lokalen Muster von Seite 7. Der unten gezeigte Prozess lässt sich beliebig weit fortführen, damit ist ein globales Muster festgelegt. Damit haben wir alle planaren Muster gefunden, die das dritte lokale Muster enthalten, wegen der Symmetrie der Klasse 44, gilt das ein ähnliches Muster aus drei derart nebeneinandern liegenden weißen Zellen hervorgeht, dass sich von dem gefundenen durch ein Vertauschen aller Farben ergibt. Für die weiteren Muster im Fall 44, benötigen wir folgende Hilfsaussage: Sind zwei nebeneinander liegende Diagonalen alternierend, so sind alle parallelen Diagonalen alternierend. Die Aussage erschließt sich leicht, wenn man das folgende Bild betrachtet. Jede Zelle braucht noch einen weißen und einen schwarzen Input, legt man nun eine Zelle fest, so ergibt sich direkt eine alternierende Diagonale. Iterativ erhält man dann das globale Muster. Das Muster aus alternierenden Diagonalen ist wie man sieht ein Vertreter der Klasse 44. Wie wir bereits wissen, können wir nun unendlich viele verschiedene Muster erzeugen, indem wir beginnen, alternierende Diagonalen zu vertauschen. Es ist noch zu zeigen, dass es keine weiteren Muster gibt, die wir nicht so erzeugen können. Beginnen wir hierzu mit dem lokalen Muster 1. Aus den folgenden Bildern und der Bemerkung über das Nichtauftreten des lokalen Musters 3, gehen die Muster aus alternierenden Diagonalen hervor. 10

11 Beginnen wir nun mit dem lokalen Muster Nummer zwei. Da wir schon wissen, welche planaren Muster aus dem Auftreten der lokalen Muster eins oder drei hervorgehen, können wir analog zum bereits betrachteten Fall 43, die erste und dritte Möglichkeit ausschließen, da sie das erste lokale Muster enthalten. Das Muster, dass sich aus dem oben festgelegten Streifen ergibt, enthält wie im unteren Bild zu sehen ist, parallele alternierende Diagonalen, die daraus zu erzeugenden planaren Muster sind also im vorherigen Fall schon abgedeckt worden. Damit haben wir erzeugende Muster für alle möglichen planaren Muster gefunden. Zum Schluss betrachten wir noch Muster mit nicht nur nahester sondern auch nächst-nahester Kopplung. In allen endlichen Klassen ist dies nun eine triviale Aufgabe, da wir nur die Zellen der erzeugenden Muster überprüfen müssen. Für die unendlichen Klassen ist dies nicht so einfach möglich. 11

12 Nächst-naheste Kopplung Betrachten wir nun die Muster mit nahester und nächstnahester Kopplung. Wie bereits erwähnt, genügt es bei den endlichen Klassen, die erzeugenden Muster zu betrachten. Das Muster aus Klasse 63 ist zum Beispiel auch nächst-nahest ausgeglichen, wie sich im nebenstehenden Bild leicht sehen lässt. Eine Charakterisierung des Musters lässt sich in Analogie zur Charakterisierung der nahesten Kopplung mit 6300 angeben. Analog kann man das aus dem dritten lokalen Muster hervorgegangene Muster aus Klasse 44 betrachten, um zu sehen, dass es unter nächst-nahester Kopplung nicht ausgeglichen ist. Betrachtet man die Inputmengen der schwarzen Zellen in den Mitten der Sechsecke, so sieht man sofort, dass sie nicht isomorph sind. Betrachtet man hingegen den rechts stehenden Vertreter von Klasse 44, so ist dieser offensichtlich ausgeglichen unter der Charakterisierung Würde man nun beginnen, alternierende Diagonalen zu vertauschen, so lässt sich leicht einsehen, dass die Charakterisierung nur aufrechterhalten werden kann, wenn man alle Zellen vertauscht. In dem Sinne gibt es nur einen einzigen Vertreter der Klasse Es lassen sich einfach noch jeweils ein Vertreter der Klassen 4433 und 4422 finden, indem man ein Gitter betrachtet, in dem von einer Zelle ausgehend nur die zweitnahesten Nachbarn jeder Zelle eingezeichnet sind. Dort reduziert sich das Problem wieder auf eines mit nahester Kopplung. Das Muster rechts ist das entsprechende Bild des Vertreters der Klasse