Biometrisches Tutorial II

Transkript

1 Biometrisches Tutorial II Datenaufbereitung / beschreibende Statistik Statistisches Testen Auswertungsverfahren

2 Statistische Analyse Qualitative/Quantitative Merkmale Die Wahl des gewählten statistischen Auswertungsverfahrens hängt von der Skala des Merkmals ab. Qualitative Variable - nominal: Kategorien ohne Anordnung (z.b. Blutgruppe) - ordinal: Kategorien mit Anordnung (z.b. Tumor-Stadien) Quantitative Variable - diskret: ganze Zahlen (z.b. Zellzahl) - stetig: reelle Zahlen (z.b. Blutdruck)

3 Binomialverteilung Bin(n,π) Modell: n unabhängige Wiederholungen eines Experiments mit binärem Ausgang ("Erfolg", "Misserfolg") und konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit π bei jeder Wiederholung X: Anzahl der Erfolge f(k) = P(X = k) = n k π k (1 π) n k n k = n k (n k) = n! k!(n k)! "Binomialkoeffizient"

4 Binomialverteilung Bin(n,π) Die Wahrscheinlichkeit für eine unerwünschte Impfreaktion beträgt 5%, 10 Personen werden geimpft. Fragen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es keine unerwünschte Impfreaktionen gibt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau zwei unerwünschte Impfreaktionen? Modell Binomialmodell Bin(n, π) mit n = 10 und π=0.05

5 Binomialverteilung Bin(10,0.05) Anzahl Erfolge

6 Binomialverteilung Bin(10,0.5) Anzahl Erfolge

7 Parameterschätzung Binomialverteilung Bin(n,π) Parameter θ π π Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Beobachtungen x 1,...,x n 0,0,1,1,0,1,... 0,0,1,1,0,1,... Schätzer θ ) x,...,x ) ( 1 n ˆ π ˆ π = = k k /n /n Anteil Anteil

8 Konfidenzintervall Um Anhaltspunkte bezüglich der Genauigkeit der Schätzung zu gewinnen, konstruiert man aus den Daten der Stichprobe ein so genanntes Konfidenzintervall (oder Vertrauensbereich). Das Konfidenzintervall überdeckt den unbekannten Parameter mit einer Wahrscheinlichkeit von z.b. 95%. Je größer der Stichprobenumfang ist, desto schmaler ist das Konfidenzintervall.

9 Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen Quartal Geschlecht Jan.-Mär. Apr.-Jun. Jul.-Sep. Okt.-Dez. weiblich männlich total πˆ ( ) ( ) ( ) ( ) Geschlecht Jan.-Dez. weiblich 769 männlich 862 total 1631 πˆ ( ) Ist die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen πˆ > 0.5? Viele Fragen können auch mit Hilfe eines KI beantwortet werden!

10 Nullhypothese Die Nullhypothese impliziert üblicherweise das, wovon der Wissenschaftler erwartet (oder wünscht), dass es falsch ist. Sie repräsentiert meistens Konservativismus bzw. die allgemeine Meinung. Die Nullhypothese nicht zu verwerfen, bedeutet nicht, dass sie wahr ist. H 0 : Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen beträgt 50%.

11 Alternativhypothese Die Alternativhypothese impliziert üblicherweise das, wovon der Wissenschaftler erwartet (oder wünscht), dass es wahr ist. Die Alternativhypothese gilt als etabliert, wenn die Nullhypothese verworfen wurde. H A : Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen ist größer als 50%.

12 Statistisches Testen Einseitig versus zweiseitig H A H 0 ungleich ( ) größer (>) kleiner (<) gleich (=) höchstens ( ) mindestens ( ) zweiseitig (ungerichtet) einseitig (gerichtet) H A : Die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen ist ungleich 50%. H A : Die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen ist größer/kleiner 50%.

13 Binomialtest Ist die W keit für die Geburt eines Jungen größer als 50%? Zufallsvariable X Bin(n, π) H 0 H A : π > 0. 5 Hypothesen : π 0. 5 Beobachtung Teststatistik Entscheidung 10 Geburten, davon 8 Jungen Binomialverteilung H 0 wird abgelehnt, wenn x >? ist.

14 Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen Binomialverteilung unter H 0 P(X = 8) + P(X = 9) + P(X =10) = Annahmebereich kritischer Wert Ablehnungsbereich Anzahl der Jungen

15 Statistische Analyse Teststatistik Unter H 0 wird eine zum Test gehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnet. Mit dieser Teststatistik kann jedes Ergebnis durch eine Wahrscheinlichkeit unter H 0 bewertet werden. Folgt aus der Teststatistik, dass das Ergebnis unter H 0 sehr unwahrscheinlich ist (z.b. < 5%), wird H 0 abgelehnt.

16 Statistische Analyse kritischer Wert Die kritischen Werte werden so gewählt, dass das Signifikanzniveau α des zugehörigen Tests höchstens einen fest vorgegebenen Wert annimmt (z.b. 5 %). Die Wahl der kritischen Werte hängt nur von der Nullhypothese H 0 ab, aber nicht von H A. Sind die kritischen Werte einmal gewählt, hängt die Power des Tests nur von H A ab.

17 Statistische Analyse p-wert Der p-wert ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Teststatistik T den beobachteten oder einen noch unwahrscheinlicheren Wert als t obs annimmt, wenn die Nullhypothese wahr ist. Er entspricht dem Signifikanzniveau, bei dem H 0 gerade eben verworfen würde. H 0 t obs p T

18 Statistische Analyse mögliche Fehler Ein Typ-I-Fehler wird begangen, wenn die Nullhypothese H 0 verworfen wird, obwohl sie wahr ist. Ein Typ-II-Fehler wird begangen, wenn die Nullhypothese H 0 beibehalten wird, obwohl sie falsch ist. Wahrheit Entscheidung H 0 beibehalten H 0 verworfen H 0 richtig Typ-I- Fehler H A Typ-II- Fehler richtig

19 Statistische Analyse mögliche Fehler Das Signifikanzniveau (α) eines Tests ist die Wahrscheinlichkeit, einen Typ-I-Fehler zu begehen. Die Power (1-β) eines Tests ist die Wahrscheinlichkeit, einen Typ-II-Fehler zu vermeiden. Entscheidung H 0 Wahrheit H A H 0 beibehalten H 0 verworfen 1-α β α 1-β

20 Statistische Analyse Entscheidung H 0 wird getestet verwerfe H 0 H 0 verwerfe H 0 nicht H A H 0 H A wird angenommen?

21 Statistische Analyse negative Ergebnisse Negative Ergebnisse sind genauso wichtig wie positive Ergebnisse, da sie das Unwissen verringern und auf neue interessante Hypothesen oder Forschungsziele verweisen. Sie sind auch notwendig, um zukünftiger Forschung in einem bestimmten Gebiet die richtige Richtung zu weisen (Publikationsbias).

22 Statistische Analyse zwei qualitative Merkmale Typischerweise wird in Fall-Kontroll-Studien der Zusammenhang zwischen Exposition und Erkrankung untersucht Dazu wird retrospektiv an Individuen mit bekanntem Erkrankungsstatus (Fall/Kontrolle) der Expositionsstatus erhoben (Exposition ja/nein).

23 Herzinfarkt und Geschlecht 40 Infarktpatienten werden mit 40 Kontrollen verglichen Zielgröße: Infarkt ja/nein Einflussgröße: Geschlecht Fragestellung: Ist die Wahrscheinlichkeit einen Infarkt zu erleiden bei Männern und Frauen gleich? Nullhypothese: Infarkt und Geschlecht sind unabhängig

24 Herzinfarkt und Geschlecht Zielgröße Infarkt (ja/nein) Einflussgröße Geschlecht (m/w)

25 Herzinfarkt und Geschlecht

26 Herzinfarkt und Geschlecht Infarkt n=40 Kein Infarkt n=40 p männlich 25 (62.2%) [45.8%-77.7%] 28 (70.0%) [53.5%-83.43%]?

27 Herzinfarkt und Geschlecht Nullhypothese Geschlecht und Infarkt sind unabhängig Y m X Σ 53 Unter der Nullhypothese erwartete Werte: e ij = o i+ o o j w Σ Teststatistik kritische Werte χ 2 = n m (o ij i = 1 j = 1 e ij Chi-Quadrat-Verteilung c 1-α,ν e ij ) 2

28 Herzinfarkt und Geschlecht Nullhypothese Geschlecht und Infarkt sind unabhängig Y m w X Σ Unter der Nullhypothese erwartete Werte: e ij = = o i+ o o j = 26.5 Σ ( ) 2 Teststatistik χ = = kritische Werte c 0.95,1 =3.841 > => H 0 nicht ablehnen 2

29 χ 2 -Test Y 1... n Σ X 1... m o o 1m o n1 o nm o o +m Σ o 1+ o n+ o ++ Unter der Annahme, dass die Zeilen und Spalten unabhängig sind, beträgt die erwartete Zellhäufigkeit e ij = o i+ o o j Nullhypothese Teststatistik H 0 : X und Y sind unabhängig χ 2 = n m (o ij i = 1 j = 1 e ij e ij ) 2 kritische Werte c 1-α,ν "Anzahl Freiheitsgrade" ν=(n-1) (m-1)

30 Statistische Tests nominale Daten Studiendesign zwischen Individuen innerhalb von Individuen zwei Gruppen mehr als zwei Gruppen zwei Messungen mehr als zwei Messungen χ 2 -Test (Fishers exakter Test) χ 2 -Test (Fishers exakter Test) McNemar- Test Symmetrie- Test

31 Risikofaktoren für Herzinfarkt HBDH Zielgröße Infarkt (ja/nein) Zigaretten Blutzucker Diabetes GOT Alter Cholesterin???

32 Risikofaktoren für Herzinfarkt 40 Infarktpatienten werden mit 40 Kontrollen verglichen Zielgröße: Infarkt ja/nein Einflussgrößen: Geschlecht, Alter, Blutdruck, Diabetiker, Cholesterin, Triglyzerid, HBDH, GOT, Zigaretten pro Tag Fragestellung: Welche Faktoren beeinflussen die Wahrscheinlichkeit für einen Herzinfarkt?

33 Risikofaktoren für Herzinfarkt männlich KI Infarkt n=40 25 (62.2%) [ ] Diabetes 3 (7.5%) [ ] Rauchen 23(57.5%) [ ] Kein Infarkt n=40 28 (70.0%) [ ] 5 (12.5%) [ ] 31 (77.5%) [ ] diast. BD? 93.63±9.1? p Alter 54.0 ± ± 10.4? BMI???

34 Statistische Analyse ein stetiges, normalverteiltes Merkmal Normalverteilung N(µ,σ2) mit µ=e(x) und σ2 = Var(x) f (x) = 1 σ 2π e ( x µ )2 2 σ2

35 Normalverteilung N(µ,σ 2 ) N(0,1) N(1,1) N(0,4) N(0,0.25)

36 Parameterschätzung Normalverteilung N(µ,σ 2 ) Parameter θ µ Erwartungswert Beobachtungen x 1,...,x n 1.23,4.81,7.55,... Schätzer θ ) x,...,x ) ( 1 n µ ˆ = x Stichprobenmittel

37 Wie repräsentativ ist die Kontrollgruppe? Es soll geprüft werden, ob sich der erwartete diastolische Blutdruck µ von den Kontrollpersonen vom erwarteten Blutdruck µ 0 = 80 mmhg bei Normalpersonen unterscheidet. H 0 : µ=µ 0 H A : µ µ 0

38 Wie repräsentativ ist die Kontrollgruppe? 95%-KI: [ ]

39 Statistische Analyse Ein-Stichproben-t-Test Zufallsvariable X N(µ,σ 2 ) beide Parameter unbekannt Hypothesen 0 H 0 : µ = µ A : µ µ 0 H (zweiseitig) Teststatistik T = X µ S 0 n kritische Werte t 1-α/2,n-1 (zweiseitig) H0 wird abgelehnt, falls t t 1 α/2,n 1

40 Statistische Analyse Ein-Stichproben-t-Test

41 Ablehnungsbereich Statistische Analyse kritische Werte Annahmebereich Ablehnungsbereich H 0 α/2 α/2 c α/2 =-2.23 c 1-α/2 =2.23 t = 9.5 T

42 Der p-wert Der p-wert ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Teststatistik T den beobachteten oder einen noch unwahrscheinlicheren Wert als t obs annimmt, wenn die Nullhypothese wahr ist. Er entspricht dem Signifikanzniveau, bei dem H 0 gerade eben verworfen würde. H 0 t obs p T

43 Statistische Analyse Verteilungsformen symmetrisch linkssteil rechtssteil bimodal

44 Ist der diast. Blutruck normalverteilt?

45 Statistische Analyse zwei stetige, nicht normalverteilte Merkmale

46 Statistische Analyse Box-Plot möglicher Ausreißer kleinster Wert im inneren Zaun größter Wert im inneren Zaun Ausreißer o * innerer Zaun 1.5 IQR ~ x 0.25 ~ x 0.50 IQR ~ x IQR innerer Zaun äußerer Zaun 3 IQR 3 IQR

47 Statistische Analyse zwei stetige, nicht normalverteilte Merkmale

48 Behandlung von Depressionen Zur Wirksamkeitsprüfung eines neuen Antidepressivums werden 10 klinisch depressive Patienten zufällig einer von zwei Gruppen zugeordnet. Gruppe A (5 Patienten) bekommt für 6 Monate das neue Medikament. Gruppe B bekommt ein Placebo. Am Ende der Studie wird der Zustand jedes Teilnehmers von einem verblindeten Psychiater auf einer Skala von 0-20 mit einem Score bewertet. Patient Score A 1 11 A 2 15 A 3 7 A 4 8 A 5 12 B 1 3 B 2 4 B 3 9 B 4 2 B 5 5 H 0 : Die Verteilung des Depressionsscores ist unter Verum die gleiche wie unter Placebo. H A : Die Verteilung des Depressionsscores ist unter Verum eine andere als unter Placebo.

49 Behandlung von Depressionen Wilcoxon-Rangsummentest Patient Score Rang Patient Rang A B 4 1 A B 1 2 A B 2 3 A B 5 4 A A 3 5 B A 4 6 B R(A i ) = = B R(B i ) = = 17 Teststatistik (maximale Rangsumme) W=38 kritischer Wert (zweiseitig) W 0.975,5,5 =37 B A 1 8 B A 5 9 B A 2 10 H 0 kann zum 5% Signifikanzniveau verworfen werden.

50 Risikofaktoren für Herzinfarkt M KI Infarkt n=40 25 (62.2%) [ ] Diabetes 3 (7.5%) [ ] Rauchen 23(57.5%) [ ] Kein Infarkt n=40 28 (70.0%) [ ] 5 (12.5%) [ ] 31 (77.5%) [ ] diast. BD 98(95-105)* 93.63±9.1 [ ] p Alter 54.0 ± ± 10.4 <0.001?? BMI 26 ( )* 25 ( )* 0.32 * Erstes und drittes Quartil

51 Statistische Analyse zwei normalverteilte Merkmale Zufallsvariable X a N(µ a,σ 2 ) und X b N(µ b,σ 2 ) Hypothesen H : µ 0 H : µ µ µ a = b A a b (zweiseitig) Teststatistik T = X S a X pooled b n n a a + n n b b Ablehnungsbereich T t oder T t α/2,n + n 2 α / a b 2,n + n 2 1 a b (zweiseitig)

52 Statistische Analyse zwei normalverteilte Merkmale

53 Risikofaktoren für Herzinfarkt männlich KI Infarkt n=40 25 (62.2%) [ ] Diabetes 3 (7.5%) [ ] Rauchen 23(57.5%) [ ] Kein Infarkt n=40 28 (70.0%) [ ] 5 (12.5%) [ ] 31 (77.5%) [ ] diast. BD 98(95-105)* 93.63±9.1 [ ] p Alter 54.0 ± ± 10.4 <0.001 BMI 26 ( )* 25 ( )* 0.32 Blutzucker 96.9± ± * Erstes und drittes Quartil

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55 Statistische Analyse parametrische versus nicht-parametrisch Viele statistische Tests machen implizite Annahmen über die den Daten zu Grunde liegende Verteilung. Solche Tests heißen "parametrisch". Statistische Tests, die keine oder nur schwache Annahmen über die den Daten zu Grunde liegende Verteilung machen, heißen "nicht-parametrisch".

56 Statistische Analyse parametrische versus nicht-parametrisch Die meisten parametrischen Tests setzen voraus, dass die Stichprobendaten normalverteilt sind. Wird diese Annahme verletzt, so ist der Test möglicherweise nicht "valide" (d.h. das Signifikanzniveau ist falsch). Viele parametrische Tests, insbesondere die für den Vergleich von zwei oder mehr Gruppen, setzen die Gleichheit der gruppenspezifischen Varianzen voraus ("Homogenität der Varianzen").

57 Statistische Analyse parametrische versus nicht-parametrisch Parametrische Tests gewinnen mehr Information aus Daten und haben daher für normalverteilte Daten mehr Power als nicht-parametrische. Im Fall der Normalität haben nicht-parametrische Tests etwa 95% der Power des entsprechenden parametrischen Tests.

58 Nichtparametrische Tests nicht normalverteilte Daten Studiendesign zwischen Individuen innerhalb von Individuen zwei Gruppen mehr als zwei Gruppen zwei Messungen mehr als zwei Messungen Wilcoxon- Rangsummen- Test Kruskal- Wallis-Test Wilcoxon- Vorzeichen- Rangtest Friedman-Test

59 Parametrische Tests normalverteilte Daten Studiendesign zwischen Individuen innerhalb von Individuen zwei Gruppen mehr als zwei Gruppen zwei Messungen mehr als zwei Messungen Zwei- Stichproben t-test Varianzanalyse (ANOVA) ANOVA mit Messwiederholungen Ein- Stichproben t-test

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