Die Umwandlung einer Dualzahl in eine Dezimalzahl ist ein sehr einfacher Vorgang.

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1 2. Zahlensysteme und Codes 2.1 Dualzahlen Bereits in den Anfängen der Datenverarbeitung hat es sich gezeigt, daß das im Alltagsleben verwendete Zahlensystem auf der Basis der Zahl 10 (Dezimalsystem) für die Verwendung in elektronischen Rechenanlegen wenig taugt. Dies liegt im wesentlichen daran, daß die verfügbaren eindeutigen Zustände von Relais, Transistoren etc. sich in der Regel auf 2 beschränken, also z. B. "leitend / nichtleitend" oder "an / aus". Daraus ergibt sich die Notwendigkeit, mit einem Zahlensystem auszukommen, das im wesentlichen nur 2 Zustände kennt. Dies ist dann ein "binäres" oder "duales" Zahlensystem, das als grundlegende Ziffern nur die "0" und die "1" kennt. Man kann prinzipiell mit einem auf 2 statt 10 Ziffern beruhenden Zahlensystem ebenso gut und genau wie mit dem dezimalen System rechnen, für den Alltagsbetrieb ist es aber wegen der Länge der entstehenden Zahlen unhandlich. Für interne Darstellungen in Digitalrechnern werden aber neben dem Binärsystem auch solche auf der Basis der Zahl 8 ("oktal") und der Zahl 16 "hexa-dezimal" verwendet. Dezimal Dual Oktal Hexadezimal A B C D E F In digitalen Rechenanlagen ist die Umrechnung dieser Darstellungen ineinander eine sehr häufig auftretende Aufgabe. Insbesondere für die Datenübertragung kann eine weitere Codierung notwendig sein, etwa um leicht prüfbare und korrigierende Darstellungen zu erhalten. Beliebt sind z. B. Codes, bei denen sich zwischen aufeinanderfolgenden Zahlenwerten (also z. B. zwischen 7 und 6 bzw. 8) stets nur der Wert einer Binärstelle ändert. 2.2 Umwandlungen zwischen Dezimalzahlen und anderen Zahlensystemen Die Umwandlung einer Dualzahl in eine Dezimalzahl ist ein sehr einfacher Vorgang. 1

2 Beispiel: ( )dual = 1*2**3 + 0*2**2+1*2**1+0*2**0+0*2**(-1)+1*2**(-2)+1*2**(-3) = /4 + 1/8 = ,25 + 0, 125 = 10,375 Entsprechend einfach, wenn auch vielleicht ungewohnter, ist die Umwandlung einer Oktalzahl in eine Dezimalzahl. Beispiel: (630.4)oktal = 6*8**2 + 3*8**1 + 0*8**0 + 4*8**(-1) = 6*64 + 3*8 + 4*1/8 = *0,125 = 408,5 Die Konvertierung einer Dezimalzahl in eine Dual- Oktal- oder Hexadezimalzahl ist einfacher, wenn man die Dezimalzahl zunächst in eine Integer-Zahl und einen Dezimalbruch aufteilt und dann die Konvertierungen separat vornimmt. Beispiel: Die Dezimalzahl 41 soll in eine Binärzahl konvertiert werden. Integer-Quotient Rest Koeffizient 41/ /2 a0 = 1 20/ a1 = 0 10/ a2 = 0 5/ /2 a3 = 1 2/ a4 = 0 1/ /2 a5 = 1 Damit ergibt sich die Dualzahl: Es läßt sich ein allgemeines Schema angeben: Integer Rest Ergebnis: (101001)dual 2

3 Beispiel: Die Dezimalzahl 153 soll in eine Oktalzahl konvertiert werden. In diesem Fall wird jeweils eine Division durch 8 vorgenommen! Integer Rest Ergebnis: (231)oktal Die Konvertierung eines Dezimalbruchs in eine Dualzahl ist wird in ähnlicher Form wie die Konvertierung einer Integer-Zahl durchgeführt. Es wird jedoch eine Multiplikation statt einer Division durchgeführt, und Integer-Zahlen statt Reste werden akkumuliert. Beispiel: Der Dezimalbruch soll ein eine binäre Darstellung umgewandelt werden. Integer Bruch Koeffizient * 2 = a-1 = * 2 = a-2 = * 2 = a-3 = * 2 = a-4 = 1 Ergebnis: (0,6875)dezimal = (0,1011)dual Entsprechend wird bei der Umwandlung von Dezimalbrüchen in Oktal- oder Hexadezimalbrüche verfahren. Ist r die Basis des Zahlensystems, so wird r statt mit 2 multipliziert, und die Koeffizienten bewegen sich zwischen 0 und r - 1 statt zwischen 0 und 1 bei Binärzahlen. Beispiel: Die Dezimalzahl soll in eine Oktalzahl umgewandelt werden. Integer Bruch Koeffizient * 8 = 4 + 0,104 a-1 = 4 0,104 * 8 = 0 + 0,832 a-2 = 0 0,832 * 8 = 6 + 0,656 a-3 = 6 0,656 * 8 = 5 + 0,248 a-4 = 5 0,248 * 8 = 1 + 0,984 a-5 = 1 0,984 * 8 = 7 + 0,872 a-6 = 7 usw. Ergebnis: (0,513)dezimal = (0, )oktal 3

4 Bei Dezimalzahlen, die Dezimalbrüche beinhalten, werden stets die Integer-Zahl und der Dezimalbruch nacheinander konvertiert. 2.3 Oktale und Hexadezimale Zahlen Zwischen dualen, oktalen und hexadezimalen Zahlen bestehen spezielle Beziehungen, weil die Beziehungen: 2 **3 = 8 und 2 **4 = 16 gelten. Damit entspricht jede oktale Ziffer drei binären Ziffern und jede hexadezimale Ziffer 4 binären Ziffern. Die Konvertierung vom Binärsystem ins Oktalsystem ist damit möglich, wenn man die Binärzahl in Gruppen von je drei Ziffern partitioniert. Die Partitionierung wird beim Komma begonnen und von dort nach links bzw. rechts durchgeführt. Beispiel: Die in eine Oktalzahl zu konvertierende Dualzahl sei: ( , )dual Die Partitionierung erfolgt wie nachfolgend beschrieben: ( , ) dual ( , ) oktal Bei Wandlung in eine Hexadezimalzahl wird entsprechend eine Partitionierung in Gruppen von 4 binären Ziffern vorgenommen: ( , ) dual ( 2 C 6 B, F 2 ) hexadezimal Entsprehend kann man oktale und hexadezimale Zahlen in Binärzahlen übersetzen, wenn man die einzelnen Ziffern übersetzt: (673,124)oktal = ( , ) dual (306,D)hexadezimal = ( , 1101 ) dual D Duale Zahlen eignen sich wegen ihrer Länge kaum zur Kommunikation zwischen Mensch und Maschine. Sowohl oktale als auch hexadezimale Zahlen sind dazu wesentlich besser geeignet und lassen sich außerdem (im Gegensatz zu Dezimalzahlen) sehr einfach konvertieren. 4

5 2.4 Komplementbildung Grundlagen Komplementbildung ist eine einfache, in Rechnern laufend benötigte Operation. Dabei werden 2 Arten von Komplementbildung unterschieden. Sei wieder r die Basis des Zahlensystems (also z. B, 2, 8, 10, 16), dann unterscheidet man das Komplement bezüglich (r-1) und das Komplement bezüglich r. Bei Dualzahlen gibt es also ein 1er- und ein 2er-Komplement Das r- Komplement Gegeben sei eine positive Zahl N zur Basis r mit einem Integer-Teil von n Stellen. Dann ist das r-komplement definiert als r**n - N für N ungleich 0 und als 0 für N = 0. Das 10er-Komplement von (52520)dezimal ist 10** = Die Anzahl der Stellen in der Zahl ist 5. Das 10er-Komplement von (0,3267)dezimal ist 1-0,3267 = 0,6733. Es gibt keinen Integer-Anteil, deshalb ist 10**n = 10**0 = 1 Das 10er-Komplement von (25,639)dezimal ist 10**2-25,639 = 74,361 Das 2er-Komplement von ( )dual ist : (2**6)dezimal - ( )dual = ( )dual = Das 2er - Komplement von (0,0110)dual ist (1-0,0110)dual = (0,1010) Die 10er-Komplementbildung bei Dezimalzahlen kann wie folgt instrumentalisiert werden: Man beginnt bei der niedristen Stelle, der Einer-Stelle. Ist dort eine Null, so bleibt diese. Man fährt entsprechend bei der 10er-Stelle usw. fort, bis die erste Ziffer erscheint, die verschieden von Null ist. Alle Nullen unterhalb dieser Stelle werden als "least significant" bezeichnet. Die erste von Null verschieden Ziffer wird von 10 abgezogen und das Ergebnis ins Komplement eingetragen. Danach werden alle höheren Ziffern von 9 abgezogen. Bei der Bildung des Komplements für Dualzahlen läßt man alle "least significant" Nullen. Auch die erste Stelle, die nicht Null ist, bleibt unverändert. Danach werden alle höherwertigen Stellen invertiert. Das r-komplement existiert für alle Basen r > 1. 5

6 2.4.3 Das (r-1)-komplement Gegeben sei eine Zahl N in einem Zahlensystem mit der Basis r. Der Integer-Teil habe n Stellen, der gebrochene Anteil (nach dem Komma) habe m Stellen. Dann ist das (r-1)-komplement definiert als: r**n - r**(-m) - N. Nachfolgend werden einige Beispiele gegeben: Das 9er-Komplement von (52520)dezimal ist: (10** ) = = Da kein gebrochener Anteil existiert, ist 10 **(-m) = 10 ** 0 = 1 Das 9er-Komplement von (0,3267)dezimal ist (1-10 **(-4) - 0,3267) = 0,9999-0,3267 = 0,6732 Es existiert kein Integer-Teil, deshalb ist 10 ** N = 10 **0 = 1 Das 9er-Komplement von (25,639)dezimal ist : (10**2-10 **(-3) - 25,639) = 99,999-25,639 = 74,360 Das Einer-Komplement von (101100)dual ist (2**6-1)- (101100) = ( ) = Das Einer - Komplement von (0,0110)dual ist (1-2 **(-4))dezimal - (0,0110)dual = (0,1111-0,0110)dual = 0,1001 Aus den Beispielen ist ablesbar, daß das 9er-Komplement einer Dezimalzahl stets durch das Abziehen jeder einzelnen Stelle von 9 gebildet wird. Das 1er-Komplement einer Dualzahl wird noch einfacher gebildet: Alle 0-Stellen werden in 1-Stellen und alle 1-Stellen in 0-Stellen konvertiert. Da das (r-1)-komplement noch einfacher als dar r-komplement gebildet werden kann, ist es manchmal günstig, das (r-1)-komplement zur Bildung der r-komplements auzunutzen. Generell kann man das r-komplement aus dem (r-1)-komplement gewinnen, wenn man r **(-m) zur "least significant" Bit-Stelle addiert. Beispiel: Das 2er-Komplement von wird benötigt. Dann wird das 1er-Komplement Die Addition einer 1 zur letzten Bit-Stelle ergibt: Generell ergibt das Komplement eines Komplements wieder den Ausgangswert Subtraktion mit r-komplementen 6

7 Das herkömmliche Verfahren der "schriftlichen" Subtraktion eignet sich kaum für digitale Rechenanlagen. Stattdessen wird das einfach zu erzeugende Komplement ausgenutzt. Die Subtraktion zweier positiver Zahlen (M - N), beide zur Basis r, wird wie folgt durchgeführt: 1. Addiere M zum r-komplement von N 2. Das Ergebnis ist wie folgt zu überprüfen: Wenn bei der höchsten Bitstelle ein Übertrag auftritt, so wird dieser einfach weggelassen. Wenn bei der höchsten Stelle kein Übertrag (carry) auftritt, so nehme man das r-kompelement des Ergebnisses vom Schritt 1 und füge ein negatives Vorzeichen hinzu. Beispiele: a. Auszuführen ist die Subtraktion Mit M = und N = ist zunächst das 10er-Komplement von N zu bilden. Das 10er-Komplement von N ist: Nk = = M + Nk = = mit einer 1 an der höchsten Bitstelle als Übertrag. Nach der Bildungsregel ist das Ergebnis: b. Auszuführen ist die Subtraktion: ( )dezimal M = N = Das 10er-Komplement von ist: Nk = = Die Addition M + Nk ergibt: = ohne Übertrag an der höchsten Stelle. Demnach ist nun zunächst das Komplement des Ergebnisses zu bilden: Damit ergibt sich als Endergebnis: c. M = N = er-Komplement: Nk = M + Nk = = (1) (wobei die erste 1 ein Übertrag ist). Also ist das Endergebnis: M - N = d. M = N = er-Komplement: Nk = M + Nk = (kein Übertrag) 2er-Komplement des Ergebnisses mit negativem Vorzeichen:

8 2.4.5 Subtraktion mit (r-1)-komplementen Die Prozedur für die Subtraktion mit (r-1) - Komplementen ist der mit r-komplementen gleich bis auf einen zusätzlichen Schritt, den sogenannten "end-around-carry". Die Szubtraktion M - N, wobei M und N beide positive Zahlen zur selben Basis r sind, wird wie folgt durchgeführt. 1. Man addiere den Minuenden M zum (r-1)-komplement des Subtrahenden N. 2. Danach ist das Resultat aus dem ersten Schritt auf einen Übertrag hin zu untersuchen: Wenn ein Übertrag (carry) auftritt, zu ist zur geringstwertigen Stelle 1 zu addieren. Wenn kein Übertrag auftritt, so ist das (r-1)-komplement des im ersten Schritt ermittelten Zahlenwertes zu ermitteln und mit einem negativen Vorzeichen zu versehen. Übungshalber werden die für die Subtraktion mit dem r- Komplement vorgestelleten Beispiel entsprechend gerechnet: a. M = N = Das 9er-Komplement von N = ist : Nk = Addition: M + Nk = Der Carry-Übertrag wird vergessen und zum Ergebnis 1 hinzuaddiert. Damit ist das Endergebnis: N - M = b. M = N = Das 9er-Komplement von N ist Nk = Damit wird: M + Nk = (kein Übertrag). Das Ergebnis ergibt sich aus der Ermittlung des negativen Neuner-Komplements: M - N = c. M = N = er Komplement von N ist: Nk = Die Summe ergibt: M + Nk = Ein Übertrag tritt auf. Das Ergebnis ist dann =

9 d. M = N = Das 1er-Komplement von N ist: Nk = Die Summe ist: M + Nk = ohne Übertrag. Das Ergebnis ist dann das negative 1er-Komplement der Summe: M + N = Vergleich zwischen 1er- und 2er-Komplement In der Praxis hat sowohl die Verwendung des 1er-Komplements als auch des 2er-Komplements spezifische Vorteile. Das 1er-Komplement ist durch digitale Bausteine einfacher zu realisieren, denn es wird nur eine bitweise Invertierung 0 nach 1 und 1 nach 0 benötigt. Die Bildung des 2er-Komplements läßt sich auf 2 Wegen einfach bewerkstelligen: Addition einer 1 zum niederwertigsten Bit des 1er-Komplements In den niederwertigsten Bits werden alle Nullen und die erste 1 belassen, bei höherwertigen Bits erfolgt eine Invertierung. Für die praktische Subtraktion hat das 2er-Komplement den Vorteil, daß nur eine Operation notwendig ist (M > N). Dagegen benötigt das 1er-Komplement zwei Operationen, wenn eine "endaround-carry" auftritt. Noch ein signifikanter Unterschied tritt auf: Beim 1er-Komplement treten zwei unterschiedliche Null-Kombinationen auf, die unterschieden werden müssen. Beispiel: Zu rechnen ist : = 0 Mit dem 1er-Komplement erhält man: = 1111 Da kein Übertrag auftritt: Mit dem 2er-Komplement wird: = (1) 0000 (Übertrag wird ausgelassen) Während das 2er-Komplement nur eine arthmetische Null hat, besitzt das 1er-Komplement eine positive oder negative Null, was die Rechenoperationen komplizieren kann. Das 1er-Komplement wird auch für logische Operationen benutzt und ist deshalb im Zweifelsfall "das" Komplement. Ist in der Literatur nur von "Komplement" die Rede, so wird generell das 1er- Komplement gemeint. 9

10 2.5 Fixkomma- und Gleitkomma-Zahlen Im Rechner stehen für die Abspeicherung von Zahlen stets nur begrenzte Register-Längen zur Verfügung. Damit kann man entweder nur Zahlen aus einem bestimmten Bereich abspeichern oder nur mit endlichen genauigkeit rechnen. Nehmen wir an, wir hätten im Rechner genau 8 Bit zur Verfügung. Dann könnte man genau Zahlen zwischen 0 und 2**9-1 = = 511 abspeichern. 2 = 10 4 = = = = = = 2 **8 = Das ist natürlich eine erhebliche Einschränkung bezüglich der Genauigkeit, aber auch bezüglich des verfügbaren Zahlenbereichs. Das Komma steht hier fix rechts von der niederwertigsten Bit-Stelle, man hat also eine Fixkomma- oder Festkomma-Zahl. Natürlich könnte man das Komma auch fest an irgendeine andere Stelle, also z. B. hinter die 4. Stelle setzen. Wesentlich variabler bezüglich der möglichen Zahlen-Darstellungen ist man mit Gleitkomma-Zahlen. Man kann ja z. B. die Zahl 10,3 darstellen als 103 * 10 **(-1). Die Zahl wird in zwei Teile aufgespalten, die Mantisse und den Exponenten. Benötigt werden jetzt allerdings 2mal 8 Bits für die Darstellung, nämlich je ein Byte für Exponenten und Mantisse. Genau genommen braucht man jeweils noch ein zusätzliches Bit für das Vorzeichen der Mantisse und des Exponenten. Also z. B.: 3,2 = 32 * 10**-1 = Die Null steht im Vorzeichenbit für ein positives Vorzeichen, die Eins für ein negatives Vorzeichen. Zunächst brauchen also Fließkomma-Zahlen wesentlich mehr Speicherplatz als Festkomma-Zahlen. Das ist im zeitalter der Pentiums aber nicht das Problem. Um Additionen und Subtraktionen auszuführen, muß man aber zwei Fließkomma-Zahlen so umformen, daß die das Komma an derselben Stelle haben. Das kostet Zeit bei Rechnungen. Es hat aber einen noch wesentlicheren Nachteil: Wenn man z. B. zu (dezimal) 1 addieren würde, so könnte es bei kleinen Bit-Breiten im Rechner passieren, dass die 1 nicht mehr in die Mantisse passt. Sie würde glatt vergessen! In diesem Sinne haben Rechner systematisch eine endliche arithmetische Genauigkeit. Aus der Praxis sei bemerkt, daß Rechner für Fließkomma-Operationen typischerweise so viel mehr Zeit brauchen als für Festkomma-Operationen, daß es sich lohnt, wo immer möglich mit Festkomma-Zahlen zu rechnen, wozu vorab Normierungen notwendig sein können. 2.6 Binäre Codes In elektronischen Rechenanlagen werden fast ausschließlich Bauelemente verwendet, welche genau 2 verschiedene logische Werte ("0" und "1" oder "high" und "low" einnehmen können. Man spricht von binärer Logik, die natürlich gut zum binären Zahlensystem paßt. 10

11 Rechner, die auf mehrwertiger Logik aufgebaut sind, lassen sich natürlich auch definieren und bauen. Die praktischen Vorteile überwiegen aber die größere arithmetische und logische Komplexität nicht, so daß mehrwerige Logiken praktische nur in Spezialfällen eine Rolle spielen: Für spezielle Algorithmen, z. B. für die Verfahren zur Prüfmustergenerierung für digitale Schaltungen, wird mindestens eine 5-wertige, oft sogar eine 10-wertige Logik definiert. Ein Bit ist eine Binär-Stelle. Im Zusammenhang mit binären Codes ist aber die Zuordnung zwischen Bit-Werten und Zahlenwerten nicht eindeutig: Eine spezielle Bitfolge kann, je nach gewählter Codierung, unterschiedlichen Zahlenwerten entsprechen. Um eine Gruppe von 2**n Elementen, z. B. die Zeichen eines Codes, darzustellen, werden binär n Bits benötigt. Codes können z. B. Zahlen oder Buchstaben sein. Für eine Gruppe von 8 Zeichen, die zu codieren sind, stehen beispielsweise die Bit-Kombinationen: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 zur Verfügung. Für das Alphabet würden z. B. mindestens 26 Zeichen (plus 3 Umlaute und ß in der deutschen Sprache) zu codieren sein. Mit 2**5 = 32 würden also mindestens 5 Bits benötigt. Um auch die Ziffern, sonderzeichen etc. unterbringen zu können, wird tatsächlich mindestens ein 7-Bit-Code verwendet. Es kann dabei durchaus "freie" Bit-Kombinationen geben, die keinem Zeichen zugeordnet sind. 2.7 Dezimale Codes Binäre Codes benötigen zur Darstellung der dezimalen Ziffern mindestens 4 Bits (2**4 = 16). Da man nicht alle Bit-Kombinationen benötigt (10 von 16), können für die Codierung unterschiedliche Bit-Kombinationen gewählt werden. Nachstehend sind einige Beispiele für dezimale Codes angegeben. Von einiger Bedeutung sind "Wichtungen", welche den einzelnen Bit-Stellen zugeordnet werden. Dezimal- BCD Code Excess Ziffer 8421 (Biquinary) Der "binary counted digital" (BCD)-Code ist eine der gebräuchlisten Kodierungen. Er beinhaltet eine direkte Zuordnung der binären Äquivalenten für die Dezimalzahlen. Die Wichtungen der Ziffern im BCD-Code sind 8, 4, 2, 1. 11

12 Damit bedeutet z. B = 0*8 + 1*4 + 1*2 + 0*1 = 6 Man kann aber einzelnen Ziffern auch negative Gewichte geben. Im Code bedeutet die Kombination 0110 dann: 0*8 + 1*4 + (-2)*1 + (-1)*1 = 4-2 = 2 Auch der 2421-Code und der Code sind gewichtete Codes. Der Excess-3-Code ist kein gewichteter Code. Sein Wert wird aus dem BCD-Code nach Addition von 3 erhalten. Im Rechner werden Zahlenwerte durch einen Code dargestellt, entweder als Binärzahl oder als Dezimalzahl. Typisch ist eine Eingabe von Dezimalzahlen in Computer, da diese dem menschlichen Benutzer am vertrautesten sind. Dezimalzahlen werden dann, z. B. unter Benutzung des BCD-Codes, ziffernweise abgespeichert. Beispiel: entspricht: Dies ist viel länger als die direkte binäre Darstellung der Zahl: 395 = ( )binär Mit 12 Bit ist die BCD-Kodierung also deutlich länger als die binäre Darstellung. Sollen mit der Dezimalzahl Rechenoperationen ausgeführt werden, so wird die in der Regel vorher in eine Binärzahl konvertiert. Wegen der großen praktischen Bedeutung sei hier nochmals der Unterschied zwischen der Kodierung einer Dezimalzahl und der Umwandlung in eine Binärzahl betont!! Eine Bitfolge im Rechner kann also sowohl einen digitalen Zahlenwert als auch ein kodiertes Zeichen bedeuten. Der BCD-Code ist in dem Sinne "natürlich", daß die Kodierung der Ziffern von 0 bis 9 dem binären Wert entspricht. Man kann deshalb auch mit dem BCD-Code für diese Ziffern direkt rechnen. Für Zahlenwerte größer als 9 gilt diese Äquivalenz natürlich nicht mehr. So ist z. B. die Binärdarstellung der Dezimalzahl 13 (1101)binär. Dagegen ist der BCD-Code: Von den vorstehend aufgeführten Codes ist der BCD-Code der anscheinend einfachste und tatsächlich auch der vergleichsweise gebräuchlichste. Die anderen Codes haben aber eine Eigenschaft gemeinsam, die der BCD-Code nicht besitzt: Sie sind quasi selbst-komplementierend. Bei diesen Codes erhält man das 9er-Komplement einfach dadurch, daß man 1en in 0en und umgekehrt wandelt. 12

13 Damit sind diese Codes für arithmetische Operationen günstiger als der BCD-Code. Der Binquinary Code besitzt eine spezielle Eigenschaft, welche die Fehlererkennung und -Korrektur in Rechnern wesentlich erleichtert: Jeder Wert besteht aus 5 0en und 2 1en. Wenn also bei der Übertragung oder Verarbeitung digitaler Information ein Ergebnis entsteht, das diesem Gesetz nicht mehr gehorcht, so muß ein Fehler aufgetreten sein. 2.8 Codes zur Fehlerentdeckung Bei fast allen Übertragungsvorgängen der Nachrichtentechnik ist mit dem Einfluß von Störgrößen zu rechnen, welche das Ergebnis verfälschen können. Dies können Störsignale von außen, Spannungsspitzen aus dem Rauschen aktiver Bauelemente oder auch statische oder dynmische Fehler in digitalen Speichern sein. Die Zuverlässigkeit einer digitalen Übertragungsstrecke läßt sich ganz wesentlich verbessern, wenn ein Code verwendet wird, der die Erkennung und möglichst auch die direkte Korrektur fehlerhafter Information erlaubt. Codes, die dies ermöglichen, nennt man fehlererkennende Codes. Die einfachste und am weitesten verbreitete Methode ist die Erweiterung des "normalen" Codes um ein weiteres Bit, das sogenannte Paritätsbit. Essorgt dafür, daß die Anzahl der 1en in einem Codewort entweder immer eine gerade oder immer eine ungerade Zahl ist. Nachstehend ist als Beispiel eine Liste von Binärzahlen (von 0 bis 15) mit den Paritätsbits für gerade (even) und ungerade (odd) Parität aufgeführt. Binärcode Par.-Bit ungerade Par.-Bit gerade Ein System zur Fehlerentdeckung nach der Methode der Paritäts-Bits ist in der Lage, Fehler zu erkennen, wenn 1, 3, 5 usw. Bits gekippt sind. Eine enfache Erweiterung führt auch zur Erkennung "gerader" Mehrfachfehler: Oft wird digitale Information in Blöcken aus mehreren Worten nacheinander im "Block" übertragen. Dann kann man die einzelnen Binärwörter als Zeilen, und die Bit-Stellen als Spalten auffassen. 13

14 Bildet man nun ein Paritätsbit bezüglich der Spalten und eines bezüglich der Spalten, so kann man: 2 gleichzeitige Fehler erkennen bei einem Fehler dessen Lage in der Matrix ausmachen und ihn reparieren. Das ist für viele Block-orientierte digitale Übertragungssysteme ein vertretbarer Aufwand, der implementiert wird. Natürlich kann man den Aufwand in der Codierung noch weiter treiben und auch Mehrfachfehler erkennen und reparieren. 2.9 Reflected Code Für den Einsatz in Schaltungen und Systemen, welche die Wandlung von digitaler in analoge Signale und umgekehrt benötigen, ist es günstig, einen Code zu verwenden, bei dem sich zwischen benachbarten Werten nur eine Bit-Stelle ändert. Dies hängt mit den Eigenschaften von analogdigitalen Wandler-Bausteinen zusammen. Sie müssen kontinuierliche Information, in der Regel Spannungswerte, in diskrete Bit-Information umsetzen. Dabei treten an den "Umschaltstellen" unter Umständen Unsicherheiten und Instabilitäten auf. Wenn zwischen benachbarten Werten nur eine Bit-Stelle Unterschied besteht, ist die Unsicherheit auf diese Bit-Stelle beschränkt, also nicht sehr hoch. Würden aber z. B. zwischen benachbarten Werten 5 Bit-Stellen zu modifizieren sein (z. B. von zu 10000), so wären alle 5 Bit-Stellen unsicher. Die nachstehende Tabelle gibt einen entsprechenden Code an, es existieren aber natürlich noch viele andere Möglichkeiten: Refl. Code Dezimalcode Dieser "reflected" Code wird auch oft als "Gray Code" bezeichnet Alphanumerische Codes In fast allen Anwendungen digitaler Rechenanlagen werden heute nicht nur numerische, sondern vor allem alphanumerische Zeichen verarbeitet. 14

15 Das minimale Alphabet umfaßt 26 Buchstaben. Zu deren Codierung wären dann ein Bitlänge von mindestens 2**5 = 32 Bit notwendig. Damit sind aber dann weder die Ziffern von 0 bis 9 noch ausreichen viele Sonderzeichen (von denen es in Programmiersprachen nur so wimmelt!!) erfaßbar. Das realistische Minimum ist daher 2**6 = 64 Bits. Die meisten Rechner verwenden tatsächlich einen 6-Bit langen internen Code zur Zeichendarstellung. Nimmt man alle gebräuchlichen Sonderzeichen (&,%,,$,@ usw.) dazu, so wird auch ein Umfang von 6 Bit breits eng. Der für externe Kommunikation heute weitgehend verwendete ASCII -Code (American Standard Code for Information Interchange) verwendet 7 Bits plus ein achtes Bit für die Paritätskontrolle bei der Übertragung. Hauptsächlich in Computer-Mainframes der IBM-Familien und kompatiblem Linien (z. B. BS 2000 von Siemens) wird der 8-Bit lange EBCDIC-Code verwendet (Extended BCD Interchange Code). Dies ist ein Grund dafür, daß bei Datenaustausch zwischen den Rechnern der traditionellen IBM- Welt und anderen Geräten (z. B. DEC-VAX, VAX-compatible ASCII-Terminals etc.) stets aufwendige Prozeduren zur Protokollkonvertierung notwendig sind. Nachstehend sind die wichtigsten Zeichen und Ziffern in den gebräuchlichsten alphanumerischen Codes angegeben: Zeichen 6-Bit 7-Bit 8-Bit internal code ASCII-Code EBCDIC-Code A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

16 blank ( $ * ) / ' = Die unterste Ebene, auf der man sinnvollerweise alphanumerische Information zwischen inkompatiblen Text-Systemen austauschen kann, ist der ASCII-Code. Typischerweise kann man ASCII-Information immer noch lesen, binär codierte kaum noch. 16