Zinssätze. Georg Wehowar. 4. Dezember Forward Rate Agreement 7. 5 Forward Zinsen 8. Literatur 9

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1 Zinssätze Georg Wehowar 4. Dezember 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Zinsrechnung Allgemeines Zinsintensität Tageberechnungskonventionen Verschiedene Zinssätze Schatzzinsen LIBOR Nullkuponzinsen Anleihen Allgemeines Nullkuponanleihe Coupon Bond Optionen Forward Rate Agreement 7 5 Forward Zinsen 8 Literatur 9 1 Grundlagen der Zinsrechnung 1.1 Allgemeines Zinsen bezeichnen das Entgelt für ein über einen bestimmten Zeitraum zur Nutzung überlassenes Kapital, das der Schuldner dem Gläubiger bezahlt. Dabei gibt es Zinsen auf Geld- und Sachkapital. Der Geldmarktzins beschreibt den Zinssatz für Bargeldaufnahme auf dem Geldmarkt. Beim Verkehr zwischen Kreditinstituten und Zentralbanken wird er 1

2 1 GRUNDLAGEN DER ZINSRECHNUNG 2 Leitzins genannt. Unter Kapitalmarktzins versteht man den Zinssatz für langfristige Buchgeldkredite auf dem Kapitalmarkt. Für Zinsen auf Sachkapital lässt sich der Mietzins als Beispiel anführen. Die Zinsen Z t hängen vom Kapital K, der Laufzeit t und dem Zinssatz bzw. Zinsfuß p ab. Als Zinsrate i bezeichnet man i = p/100. Es gilt die Formel für die sogenannte einfache Verzinsung: p Z t := K 100 t Wenn man mit K 0 das Anfangskapital und mit K t das Kapital zum Zeitpunkt t bezeichnet, ergibt sich aus K t = K 0 + Z t die Endwertformel der einfachen Zinsrechnung: K t := K p ) 100 t Daraus ergibt sich sofort die Barwertformel der einfachen Zinsrechnung: K 0 := K t 1 + p 100 t Angemerkt sei, dass eine Verzinsung jährlich mit p.a. abgekürzt), halbjärlich, etc. sein kann. Sind die Zinsperioden kleiner als ein Jahr, so spricht man von unterjähriger Verzinsung. Die Konversionsperiode bezeichnet den Zeitabschnitt, nachdem der Zins zum Kapital gutgeschrieben wird. Wenn Konversionsperiode und Zeiteinheit nicht übereinstimmen, existieren effektive und nominelle Zinsrate. Wir betrachten nun einen jährlichen Zinssatz p, ein Kapital K 0 und eine Anzahl von Jahren k mit k = 1,...n). Am Ende eines jeden Jahres k wird ein Betrag r k hinzugerechnet. Es stellt sich nun die Frage, auf welchen Wert K 0 nach n Jahren angewachsen ist. Klarerweise gilt für ein K k, welches das Kapital nach k Jahren beschreibt: K k = K k 1 + p 100 K k 1 K k = K k p ) 100 Nun wird K k durch eine Rekursion beschrieben, die sich zur Leibnizschen Zinseszinsformel auflösen läßt: K n = K p ) n 100 Die Berechnung der Barwerts K 0 aus dem Endwert K t nennt man Abzinsen bzw. Diskontieren; die Berechnung von K t aus K n heißt Aufzinsen. Erwähnenswert ist noch der Fall der stetigen Verzinsung. Wenn man 1/m als die Länge der Zinsperioden bezeichnet, ergibt sich folgendes [8]: K n = K 0 lim m 1 + p ) m n 100 = K 0 e p 100 n m Hier wollen wir auch den Effektivzinssatz i eff definieren: i eff := 1 + m) i m 1

3 1 GRUNDLAGEN DER ZINSRECHNUNG Zinsintensität Zuerst wollen wir eine Gegenüberstellung der Zinsen betrachten, die das selbe Kapital Kt) im Durchschnitt je Kapitaleinheit und je Zinseinheit in einem bestimmten Zeitintervall t, t + t) produziert. [15] Hierbei kommt es auf die Art der Verzinsung an. Im Fall der einfachen Verzinsung sind die durchschnittlichen Zinsen unabhängig vom Zeitintervall t. Im Allgemeinen muss das aber nicht zutreffen. Mit der Zinsintesität ρt) bezeichnet man einen Maßstab für die Intesität, mit der das Kapital im Zeitpunkt t Zinsen abwirft. Für die einfache Verzinsung gilt klarerweise [1] : ρt) = i 1 + i t Für folgende Formel muss man die Differenzierbarkeit der Funktion Kt) vorraussetzen, was aber ohnedies sinnvoll ist. Durch den Grenzübergang der Länge t des Intervalls gegen 0 bekommt man eben diese Zinsintesität in einem Punkt. [3] ρt) := Kt + t) Kt) lim t 0 t Kt) = 1 Kt) lim Kt + t) Kt) t 0 t = 1 Kt) Kt) und weiter gilt wegen der Kettenregel: t = lnkt))) t durch Integrieren über ρt) ergibt sich dann folgendes: t 0 ρτ)dτ = = t 0 t und mit der Substituion Kτ) := ξ erhält man dτ = 0 τ lnkτ)))dτ K τ) Kτ) dτ dξ K τ) und durch einsetzen: Kt) K0) K τ) ξ dξ K τ) = Kt) K0) dξ ξ = lnkt)) lnk0)) ) Kt) = ln K0) daraus folgt, dass man Kt) aus vorgegebener Zinsintensität berechnen kann: Kt) = K0) e t 0 ρτ)dτ

4 2 VERSCHIEDENE ZINSSÄTZE Tageberechnungskonventionen Für die Berechnung der Differenz t 0 t 1 =: t zwischen den beiden Zeitpunkten t 0 und t 1 existieren verschiedene Konventionen. Folgende gängige Berechnungsmethoden der Zeitdifferenz existieren es gibt noch mehr): [7] Bezeichnungen Verwendungen Act. entspricht klarerweise der tatsächlichen Anzahl der Tage Act. Act. in den meisten EU-Staaten und den USA üblich 360 Act. in Großbritannien und Hongkong üblich 365 Act. steht hierbei für actual, d.h. die tatsächliche Anzahl der Tage in diesem Zeitintervall. Dies ergibt sich daraus, dass das Bankenjahr in manchen Ländern 360 Tage und in einigen 365 Tage hat. Nun wollen wir die Umrechnung von einem Zinssatz i s aus stetiger Verzinsung in einen Zinssatz i j in jährlicher Verzinsung betrachten. Bei einfacher, jährlicher Verzinsung gilt: K t = K i j t) und bei stetiger Verzinsung: K 0 = K t 1 + i j t) durch Gleichsetzen von K 0 folgt: K t = K 0 e is t K 0 = K t e is t K t 1 + i j t) = K t e is t 1 + i j t) = e is t Daher kann man stetigen Zinssatz und jährlichen Zinssatz so umrechnen: und der jährliche Effektivzinssatz ist: i j = e is 1 2 Verschiedene Zinssätze 2.1 Schatzzinsen i s = ln 1 + i j ) i eff = e is 1 Man unterscheidet zwischen Bundesanleihen mehr dazu im Kapitel Anleihen) und Bundesschätzen. Der Emittent dieser Wertpapiere ist in beiden Fällen die Republik Österreich.

5 2 VERSCHIEDENE ZINSSÄTZE 5 Der wichtigste Unterschied besteht jedoch darin, dass Bundesschätze nicht über Börse, Banken oder Broker, sondern ausschließlich über das Internet gehandelt werden. Dadurch entfallen Provisonen und Depotgebühren. Außerdem werden Bundesschätze nur an Privatpersonen mit Wohnsitz in der Europäischen Union verkauft. Die Zinsberechnung erfolgt auf Basis der Anzahl der tatsächlichen Tage eines Monats Act./360). Bundesschätze gibt es mit Laufzeiten von 1, 3, 6, 12 Monaten bzw. 2, 5 oder 10 Jahren. Auszahlungen vor dem Ende der Laufzeit sind zwar möglich, jedoch werden 0, 05% pro Monat der noch offenen Laufzeit vom Zinssatz der ursprünglich gewählten Laufzeit abgezogen. Die Zinssätze Schatzzinsen oder treasury rates) werden täglich um 11:30 Uhr CET online bekanntgegeben. Die Höhe der Zinsen hängt von der Länge der Laufzeit ab. [13] 2.2 LIBOR London Interbank Offered Rate kurz LIBOR) ist der seit 1984 bestehende Referenzzinssatz der British Bankers Association BBA). Der BBA gehören unter anderem die Deutsche Bank AG, die Credit Suisse und die Bank of China an. Aufgrund eben dieser Beteiligung zahlreicher international bedeutender Banken hat sich der LIBOR zu einem wichtigen Referenzzinssatz entwickelt. Er wird täglich um 11:00 Uhr GMT bekanntgegeben. Der BBA LIBOR wird für Euro EUR) wie folgt berechnet: Z = K L 100 actual 360 was auf der Formel für die einfache Verzinsung beruht. Hierbei sind: Z... Habenzinsen L... LIBOR-Zinssatz K... Kapital actual... tatsächliche Anzahl der Tage im Veranlagungszeitraum Beachten muss man aber, dass in Großbritannien das Bankenjahr üblicherweise 365 Tage hat und nicht wie in den meisten europäischen Ländern nur 360. Da der LIBOR jedoch oft in Pfund Sterling GBP) angegeben wird, muss man, wenn dies der Fall ist, klarerweise in der Formel 360 durch 365 ersetzen. Es ist auch die exakte Anzahl der Tage actual) wichtig, da in der Zeit der Veranlagung z.b. drei Monate nicht immer 90 Tage haben, sondern manchmal auch 89 oder 91. [2] Ähnlich dem LIBOR ist der EURIBOR Euro Interbank Offered Rate). Er ist ein für Termingelder in EUR ermittelter Zwischenbanken-Zinssatz. Dabei wird von den EURIBOR Panel-Banken zur Berechnung des EURIBOR die arithmetische Durchschnittszinsrate der Sätze, zu denen jede dieser Banken Kredite anbietet, gebildet. Diese wird täglich um 11:00 Uhr CET bekannt gegeben. [10]

6 3 ANLEIHEN Nullkuponzinsen Nullkuponzinssätze auch: Zero Rates) berücksichtigen den Zinseszinseffekt bei mehrjährigen Geldaufnahmen oder -anlagen. Sie schließen Zinszahlungen innerhalb eines Zeitintevalls generell aus, sodass es nur noch zwei Zahlungszeitpunkte gibt, am Beginn und am Ende der Laufzeit. 3 Anleihen 3.1 Allgemeines Eine Anleihe auch: Bond) ist ein Wertpapier, das der langfristigen Kreditfinanzierung dient. Die Anleihengläubiger haben das Recht auf Rückzahlung des Anleihebetrages sowie auf eine festgelegte Verzinsung. Im Gegensatz zur Aktie erhält der Käufer keinen Anteil am Eigenbesitz des Verkäufers. Es gibt fix verzinste und variabel verzinste Anleihen. Bei letzteren besteht der Vorteil für den Käufer hauptsächlich darin, dass der Kurs über den Nennwert steigen kann. Im Börsenhandel stellt sich die Frage nach dem Verhältnis zwischen dem Nennwert K und dem durch Angebot und Nachfrage bestimmten tatsächlichen Preis K eines Wertpapiers. Dieses, in Prozent des Nennwerts ausgedrückt, ist der Kurs C [14]: C = K 100 K Mit Emissionsvolumen bezeichnet man den Gesamtbetrag der zur Zeichnung aufliegenden Anleihe. Der Emittent ist der Herausgeber einer Anleihe. Dieser kann sein: ein Staat z.b. österreichische Bundesanleihe) andere öffentliche Stellen z.b. Gemeinden, Bundesländer) Kreditinstitute Unternehmen wobei in Österreich Anleihen meist von öffentlicher Hand oder von Banken herausgegeben werden. Anleihen können, aber müssen nicht, pari d.h. Nennwert und Kurs identisch) herausgegeben werden. In Österreich sind Anleihen kapitalertragssteuerpflichtig; diese beträgt 25% der Zinsen. [5] 3.2 Nullkuponanleihe Die Nullkuponanleihe bzw. Zero-Coupon Bond hat keine jährlichen Zinszahlungen. Der Anleger erhält die Zinsen erst am Ende der Laufzeit zusammen mit seinem Kapital zurück. Nullkuponanleihen können vom Anleger jederzeit außerbörslich oder an der Börse verkauft werden. Die Zinsen und Zinseszinsen sind im Kurs dieses Wertpapieres enthalten und müssen nicht zusätzlich abgegolten werden. [5]

7 4 FORWARD RATE AGREEMENT Coupon Bond Ein Coupon Bond auch: Kupon Bond oder Inhaberschuldverschreibung) ist eine Anleihe mit halbjährlichen manchmal auch jährlichen) Kuponzahlungen. Der Unterschied zur Nullkuponanleihe sind eben gerade diese Kuponzahlungen vor dem Fälligkeitsdatum. Ein Kupon Bond wird durch Zinstermine T 1 < T 2 <... < T n mit T n als Fälligkeit der Anleihe, eine Folge aus festegesetzten bei fix verzinster Anleihe) oder vom aktuellen Marktzins abhängigen Zinssätzen Coupons) c 1 < c 2 <... < c n und einen Nennwert N charakterisiert. Der Besitzer der Anleihe erhält c i zu jedem Zeitpunkt T i mit i = 1,..., n. Daraus ergibt sich, wenn man Bt, T ) als den Preis eines Bonds bezeichnet: B c t, T ) = Bt, T n ) + n c i Bt, T i ) i=1 wobei T i und c i wie oben definiert und B c t, T ) den Preis des Coupon Bonds beschreibt. [3] [6] 3.4 Optionen Allgemein unterscheidet man zwei Arten von Optionen: Eine Call-Option ist eine vertragliche Vereinbarung zwischen Käufer und Verkäufer, ein Produkt oder eine Leistung zu einem vorher bestimmten Preis zu kaufen; eine Put-Option zu verkaufen. Solche Optionen können auf verschiedene Basiswerte lauten: Aktien, Devisen, Zinsvereinbarungen, Rohstoffe, Anleihen, etc.. Hierbei trägt der Verkäufer gegen eine Prämie die Verpflichtung, diese Vereinbarung zu erfüllen, wenn der Käufer die Option ausnutzt. [11] 4 Forward Rate Agreement Ein Termingeschäft, auch genannt forward contract für ein außerbörsliches) oder future contract für ein börsengehandeltes), ist ein Geschäft zu einem in der Zukunft liegenden Zeitpunkt und zu voher festgesetzten Konditionen. Das Terminsatzgeschäft bzw. Forward Rate Agreement FRA) ist ein solches nicht standardisiertes, nicht börsengängiges Termingeschäft über zukünftige Ausleihungen zu einem voher festgesetzten Referenzzinssatz. Einfach ausgedrückt, handelt es sich um eine fix verzinste Anleihe, die auf einen bestimmten Termin verkauft wird. Zurhilfe genommen werden hierbei Referenzzinssätze wie z.b. LIBOR oder EURIBOR. Beim internationalen FRA-Handel werden meist die Bedingungen der British Bankers Association for Forward Rate Agreements verwendet. Bei einem FRA werden Kapitalbetrag, Laufzeit, Ausgleichszahltag und der risikolose FRA- Zinssatz vorher vertraglich festgelegt. Der Ausgleichszahltag ist ein in der Zukunft liegender

8 5 FORWARD ZINSEN 8 Zeitpunkt, an dem der dann aktuelle Referenzzinssatz zur Berechnung hergenommen wird. Weiters wird eine Ausgleichszahlung A vereinbart, die man wie folgt berechnet: A = N i ref i f ) t 1 + i ref t N... Nominalbetrag i ref... die am Ausgleichszahltag aktuelle Referenzzinsrate i f... Forward Rate die im FRA vereinbarte Zinsrate) t... Absicherungszeitraum d.h. Laufzeit) Für diese Ausgleichszahlung hat der Verkäufer des FRA aufzukommen. Nota bene: Diese kann auch negativ sein, wobei dann der Käufer zahlen muss. Ein FRA zur Kreditaufnahme auf Termin ist also eine Absicherung gegen steigende Zinsen. [9] [4] 5 Forward Zinsen Als Forward Zinsen auch: Terminzinsen, forward rate) bezeichnet man den zu einem Zeitpunkt gehandelten Zinssatz für eine Zeitspanne [T, S] in der Zukunft. In diesem Abschnitt wollen wir mit Bt, T ) den Preis eines Bonds zum Nennwert N bezeichnen, also gilt BT, T ) = N. Es gelte klarerweise t < T, das heißt der Zeitpunkt T liege in der Zukunft. Als diskrete) Forward Rate für den Zeitraum [T, S] zur Zeit t definieren wir: F t, T, S) := 1 S T Bt, T ) Bt, S) 1) und als stetige) Forward Rate für den Zeitraum [T, S] zur Zeit t bezeichnen wir: Rt, T, S) := daraus folgt für die momentane Forward Rate: ft, T ) := lim S T Rt, T, S) = lnbt, S)) lnbt, T )) S T lnbt, T ))) T Letztendlich gilt also Herleitung fast analog zur Zinsintensität mit Bt, T ) anstelle von Kt)): T ) Bt, T ) = BT, T ) exp ft, τ)dτ t Dadurch haben wir einen Zusammenhang zwischen Forward Rate und Preis einer Anleihe erhalten. [12] [3]

9 LITERATUR 9 Literatur [1] Hansjörg Albrecher. Finanz- und Versicherungsmathematik 1. Skriptum, TU Graz, [2] British Bankers Association. Glossary [3] Damir Filipović. Interest Rate Models. Skriptum, Universität München, [4] Markus Fulmek. Finanzmathematik. Skriptum, Universität Wien, [5] Adolf Hernus. Forderungswertpapiere. Steiermärkische Sparkasse, Graz, [6] Jan Kallsen. Einführung in die zeitdiskrete Finanzmathematik. Skriptum, TU München, [7] Jörg Lemm. Vorlesung Finanzmathematik. Skriptum, Universität Münster, [8] Bernd Luderer. Starthilfe Finanzmathematik. Teubner, Stuttgart Leipzig Wiesbaden, 2.Auflage, [9] Bernd Luderer. Mathematik des Investmentbankings. Skriptum, TU Chemnitz, [10] Oesterreichische Nationalbank. Euribor [11] Alois Obermair. Wolfgang Sachsenhofer. Instrumente der Kurs- und Zinssicherung im Außenhandelsgeschäft. Skriptum, Universität Linz, [12] Thorsten Schmidt. Zinsstrukturmodelle. Skriptum, Universität Leipzig, [13] Österreichische Bundesfinanzierungsagentur [14] Anton Timpe. Einführung in die Finanz- und Wirtschaftssmathematik. Springer, Berlin, [15] Karl-Heinz Wolff. Versicherungsmathematik. Springer, Wien, 1970.