Aufgaben Vektorrechnung

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1 ufgaben Vektorrechnung Haus-ufgabe Prisma Turm Pramide ntennenmast Segeltuch Walmdach lugbahn

2 Vektorrechnung Haus-ufgabe H Der irst des Walmdaches hat die Endpunkte (9 9) und H( 9) (in m). a) estimmen Sie das Volumen des Hauses, einschließlich des Dachraumes. b) Ermitteln Sie die Größe des Winkels, den eine kleine Dachfläche mit einer großen einschließt. c) Ein m langes bluftrohr (vom oden aus gemessen) durchstößt das Dach im Punkt und endet in. erechnen Sie die Koordinaten von, sowie den bstand von ur Dachfläche, in der liegt.

3 Haus-ufgabe Ergebnisse a) V = 9m b) große Dachfläche: + =, kleine Dachfläche: + =, α =, c) (,), d = m

4 Prisma-ufgabe Gegebensindeindreiseitiges PrismaCDE durchdieeckpunkte( 0 0),( 0),C(0 0), D(0 0 0), E( 0 ), (0 0 ) sowie die Gerade g durch die Punkte G( ) und H( ). a) Stellen Sie das Prisma CDE in einem kartesischen Koordinatensstem dar. b) erechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel der Geraden g mit der Ebene CE. c) erechnen Sie den bstand des Punktes G von der Geraden E. d) Gegeben ist eine EbenenscharE k durch diegleichung +k =, k R. Zeigen Sie, dass alle Ebenen dieser Schar durch und E gehen. Genau eine Ebene dieser Schar verläuft durch den Mittelpunkt der Strecke CD. estimmen Sie den Wert von k für diese Ebene. e) ufderstrecke C liegt einpunktp(a 0), sodassdasvolumenderdreiseitigen PramidePD genau 9 Volumeneinheiten beträgt. erechnen Sie a.

5 Prisma-ufgabe Ergebnisse a) E 9 0 D C b) S( ), α =, c) d =, LE d) k = e) a = 9 c Roolfs

6 Turm-ufgabe S H G E D C n einem Hang wird ein Turm errichtet. Dieser Turm kann als ein von einer Ebene geschnittener Quader mit aufgesetter gerader Pramide aufgefasst werden. Die Höhe der aufgesetten Pramide beträgt m. olgende Punkte sind bekannt: ( 0 0), ( 0), D(0 0 ), ( 0) und H(0 0 0) (in m). a) estimmen Sie die Koordinaten der Punkte C, E, G und S. b) Der Steilhang liegt in der Ebene, die durch die Punkte,, C und D geht. Stellen Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform auf. c) Ein Sonnenstrahl, dessen Richtung durch den Vektor a = beschrieben werden kann, ereugt auf dem Hang im Punkt S einen Schatten der Turmspite S. estimmen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes S und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Sonnenstrahl auf den Hang trifft. d) ndenpunkten undh wirdeinmlanges Seilbefestigt. GenauindieMitte T desdurchhängenden Seiles wird eine schwere Lampe gehängt. estimmen Sie die Koordinaten des tiefsten Punktes des Seiles. e) Zur besseren Stabilisierung soll der Turm am Eckpunkt H durch ein möglichst kures Stahlseil mit dem erghang verbunden werden. estimmen Sie die minimale Länge des Stahlseils. c Roolfs

7 Turm-ufgabe S H G E D C n einem Hang wird ein Turm errichtet. Dieser Turm kann als ein von einer Ebene geschnittener Quader mit aufgesetter gerader Pramide aufgefasst werden. Die Höhe der aufgesetten Pramide beträgt m. olgende Punkte sind bekannt: ( 0 0), ( 0), D(0 0 ), ( 0) und H(0 0 0) (in m). a) estimmen Sie die Koordinaten der Punkte C, E, G und S. C(0 ), E( 0 0), G(0 0), S( ) b) Der Steilhang liegt in der Ebene, die durch die Punkte,, C und D geht. Stellen Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform auf. + = c) Ein Sonnenstrahl, dessen Richtung durch den Vektor a = beschrieben werden kann, ereugt auf dem Hang im Punkt S einen Schatten der Turmspite S. estimmen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes S und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Sonnenstrahl auf den Hang trifft. S ( 9), α =, d) ndenpunkten undh wirdeinmlanges Seilbefestigt. GenauindieMitte T desdurchhängenden Seiles wird eine schwere Lampe gehängt. estimmen Sie die Koordinaten des tiefsten Punktes des Seiles. T( 9) (Pthagoras) e) Zur besseren Stabilisierung soll der Turm am Eckpunkt H durch ein möglichst kures Stahlseil mit dem erghang verbunden werden. estimmen Sie die minimale Länge des Stahlseils., m c Roolfs

8 Pramide S P D C Gegeben ist eine quadratische Pramide mit der Spite S( ). Die Pramide wird von Ebenen E P geschnitten, die durch, D und P verlaufen, P liegt auf der Kante S. ür welchen Punkt P ist der Winkel PD maimal? Gibt es mehrere Punkte P, für die der Winkel PD 90 beträgt? c Roolfs

9 Pramide S P D C Gegeben ist eine quadratische Pramide mit der Spite S( ). Die Pramide wird von Ebenen E P geschnitten, die durch, D und P verlaufen, P liegt auf der Kante S. ür welchen Punkt P ist der Winkel PD maimal? P λ (λ λ λ) cosα = λ λ λ λ+ α ma = 0, für λ = Gibt es mehrere Punkte P, für die der Winkel PD 90 beträgt? cosα = 0 λ = 0, λ = c Roolfs

10 ntennenmast H Der irst des Walmdaches hat die Endpunkte (9 9) und H( 9) (in m). In endet ein ntennenmast in m Höhe. Wieviel ist vom ntennenmast vom Punkt C(0 9 ) aus u sehen? c Roolfs 9

11 ntennenmast H Der irst des Walmdaches hat die Endpunkte (9 9) und H( 9) (in m). In endet ein ntennenmast in m Höhe. Wieviel ist vom ntennenmast vom Punkt C(0 9 ) aus u sehen? Die -Koordinate von C hat keinen Einfluss auf das Ergebnis. Die ufgabe kann mit einer Strahlensatfigur gelöst werden. lternativ wird die Ebene, auf der die Punkte C, P( ) und Q(0 ) liegen, mit der Geraden, die durch und parallel ur -chse verläuft, geschnitten. Die Ebenengleichung lautet + =, der Schnittpunkt ist S( 0). Es ist daher Meter vom Mast u sehen. c Roolfs 0

12 Segeltuch H G M In einem würfelförmigen usstellungsraum mit der Kantenlänge Meter ist ein dreieckiges Segeltuch aufgespannt. Es ist im Punkt sowie in den Kantenmitten M und M befestigt (siehe bbildung). Es wird angenommen, dass das Segeltuch nicht durchhängt. In einem Koordinatensstem stellen die Punkte ( 0 0), C(0 0) und H(0 0 ) die entsprechenden Ecken des Raumes dar. M E D C a) estimmen Sie eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene S, in der das Segeltuch liegt. [mögliches Ergebnis: S: + = ] Zeigen Sie, dass das Segeltuch die orm eines gleichschenkligen Dreiecks hat. erechnen Sie den lächeninhalt des Segeltuchs. Ermitteln Sie den bstand des Segeltuchs von der Ecke E. estimmen Sie den nteil des Volumens oberhalb des Segeltuches um Gesamtvolumen des Raumes. Ermitteln Sie den Winkel, den die Ebene S mit dem oden des usstellungsraums einschließt. b) uf der Diagonale C steht eine Meter hohe Stange senkrecht auf dem oden. Der obere Teil der Stange berührt das Segeltuch. Ermitteln Sie die Stelle auf dem oden, wo sich das untere Ende der Stange befindet. c) Die Markierung (s.bbildung) auf dem oden ist Meter von der hinteren Wand DCGH und Meter von der Wand CG entfernt. Dort ist in einer Höhe von Meter ein Laserpointer in Richtung angebracht. Untersuchen Sie, ob der Laserstrahl das Segeltuch trifft., d) Wir nehmen nun an, dass der usstellungsraum mit dem Segeltuch nur aus Kanten besteht, ohne Wände. Der Raum befindet sich im reien und die Richtung der Sonnenstrahlen ist v =. Weisen Sie nach: Der Schatten des Segeltuchs ist nur eine Strecke. erechnen Sie die Länge dieser Strecke. e) erechnen Sie den Winkel, den das Segeltuch im Punkt M bildet. Stellen Sie sich nun die Spite des Segeltuches in M auf der Kante E beweglich vor. Das Segeltuch ist elastisch, so dass es straff gespannt bleibt. Ermitteln Sie den minimalen Winkel in M. egründen Sie ohne weitere Rechnung, dass für einen Punkt M der Winkel 0 beträgt.

13 Segeltuch H G M In einem würfelförmigen usstellungsraum mit der Kantenlänge Meter ist ein dreieckiges Segeltuch aufgespannt. Es ist im Punkt sowie in den Kantenmitten M und M befestigt (siehe bbildung). Es wird angenommen, dass das Segeltuch nicht durchhängt. In einem Koordinatensstem stellen die Punkte ( 0 0), C(0 0) und H(0 0 ) die entsprechenden Ecken des Raumes dar. M E D C a) estimmen Sie eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene S, in der das Segeltuch liegt. [mögliches Ergebnis: S: + = ] Zeigen Sie, dass das Segeltuch die orm eines gleichschenkligen Dreiecks hat. Smmetrie, Spite S erechnen Sie den lächeninhalt des Segeltuchs. E Ermitteln Sie den bstand des Segeltuchs von der Ecke E. d = estimmen Sie den nteil des Volumens oberhalb des Segeltuches um Gesamtvolumen des Raumes. Ermitteln Sie den Winkel, den die Ebene S mit dem oden des usstellungsraums einschließt. nteil α =, b) uf der Diagonale C steht eine Meter hohe Stange senkrecht auf dem oden. Der obere Teil der Stange berührt das Segeltuch. Ermitteln Sie die Stelle auf dem oden, wo sich das untere Ende der Stange befindet. E h, h: = 0 + λ, λ = (, Q 0 ) 0 0 c) Die Markierung (s.bbildung) auf dem oden ist Meter von der hinteren Wand DCGH und Meter von der Wand CG entfernt. Dort ist in einer Höhe von Meter ein Laserpointer in Richtung angebracht. Untersuchen Sie, ob der Laserstrahl das Segeltuch trifft. E g, mögliche Parameter λ =, µ =, t =, Laserstrahl trifft das Segeltuch, da 0 λ,µ gilt. d) Wir nehmen nun an, dass der usstellungsraum mit dem Segeltuch nur aus Kanten besteht, ohne Wände. Der Raum befindet sich im reien und die Richtung der Sonnenstrahlen ist v =. Weisen Sie nach: Der Schatten des Segeltuchs ist nur eine Strecke. erechnen Sie die Länge dieser Strecke. Richtungsvektor orthogonal um Normalenvektor, L = e) erechnen Sie den Winkel, den das Segeltuch im Punkt M bildet., Stellen Sie sich nun die Spite des Segeltuches in M auf der Kante E beweglich vor. Das Segeltuch ist elastisch, so dass es straff gespannt bleibt. Ermitteln Sie den minimalen Winkel in M. M =, β = 0, egründen Sie ohne weitere Rechnung, dass für einen Punkt M der Winkel 0 beträgt. 0, β 90

14 Walmdach 9 0 E D C Das Walmdach eines Hauses wird durch die Punkte (0 0 0), (0 0), C(0 0), D(0 0 0), E(9 ) und ( ) beschrieben (Koordinatenangaben in Meter). a) estimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche E liegt. erechnen Sie den lächeninhalt der Dachfläche E. Die Dachfläche CE liegt in der Ebene E: + = 0. erechnen Sie den Winkel wischen den beiden Dachflächen E und C E. b) Das Dachgeschoss des Hauses soll ausgebaut werden. ls vollwertige Wohnfläche gilt nur die läche des Dachgeschosses, über der die Raumhöhe mindestens m beträgt. Ermitteln Sie den lächeninhalt der vollwertigen Wohnfläche. c) Im Punkt P(, 0) steht senkrecht um Dachboden ein ntennenmast. Der Mast durchstößt das Dach im Punkt Q. Von Q aus soll ein möglichst kures ntennenkabel über das Dach um Punkt D geogen werden. estimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem das Kabel den Dachfirst E überquert. Wie lang ist dieses Kabel?

15 V 9 0 E D R C Q P Das Walmdach eines Hauses wird durch die Punkte (0 0 0), (0 0), C(0 0), D(0 0 0), E(9 ) und ( ) beschrieben (Koordinatenangaben in Meter). a) estimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche E liegt. erechnen Sie den lächeninhalt der Dachfläche E. D =, m Die Dachfläche CE liegt in der Ebene E: + = 0. erechnen Sie den Winkel wischen den beiden Dachflächen E und CE. β = 9, Der Schnittwinkel der Ebenen, in denen die Dachflächen enthalten sind, beträgt β =,. Die Dachflächen schließen den Winkel α = 0, = 9, ein (α > 90 ). b) Das Dachgeschoss des Hauses soll ausgebaut werden. ls vollwertige Wohnfläche gilt nur die läche des Dachgeschosses, über der die Raumhöhe mindestens m beträgt. Ermitteln Sie den lächeninhalt der vollwertigen Wohnfläche. Denke dir eine in m Höhe eingeogene Decke. Es genügt (Smmetrie), den Schnittpunkt R der Kante E mit der Ebene = u bestimmen. R(9,, ) a =, (,) =, b = 9, (0 9,) = 9, = a b =, [m ] c) Im Punkt P(, 0) steht senkrecht um Dachboden ein ntennenmast. Der Mast durchstößt das Dach im Punkt Q. Von Q aus soll ein möglichst kures ntennenkabel über das Dach um Punkt D geogen werden. estimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem das Kabel den Dachfirst E überquert. Wie lang ist dieses Kabel? Der Schnitt einer senkrechten Geraden durch P mit der Ebene E ergibt Q(,,). Ein Punkt V auf dem irst hat die Koordinaten V(+s ) mit 0 s. Länge des Kabels: d(s) = QV + DV = (+s) ++ ( s) +, Minimum für s = mit d min = 9, [m] V( ) lternativ: Eine Projektion in die -Ebene führt um Schnitt der Geraden =, und = mit =. lternativ: V liegt in der Ebene DPQ.

16 lugbahn Hessen LK 0 abgeändert Eine Radarstation überwacht die ewegung eines lugeugs. Die ewegung kann modellhaft in einem kartesischen Koordinatensstem dargestellt werden, dessen -Ebene die Horiontale beschreibt. Eine Längeneinheit entspricht einem Kilometer in der Realität. Der Standort der Radarstation wird durch den Punkt R( 0 ) beschrieben und die Position des lugeugs u eginn der eobachtung um :00 Uhr durch den Punkt (0 0 0). nschließend bewegt sich das lugeug entlang einer Geraden durch den Punkt ( ), der die Position um :0 Uhr darstellt. b : Uhr fliegt das lugeug in gleicher Himmelsrichtung horiontal weiter. Im Modell bleibt es dabei in der Ebene, die die Punkte und enthält und ur -Ebene senkrecht steht. Im olgenden soll davon ausgegangen werden, dass das lugeug von :00 Uhr bis : Uhr mit konstanter Geschwindigkeit fliegt.. a) erechnen Sie für die Zeit bis : Uhr den Steigungswinkel der lugbahn gegenüber der Horiontalen. Geben Sie die Koordinaten des Punktes an, der die Position des lugeugs um :0 Uhr darstellt. b) Die bbildung eigt schematisch die lugbahn des lugeugs sowie die Horiontale. Zeichnen Sie die Positionen des lugeugs u den Zeitpunkten :0 Uhr und :0 Uhr ein. c) Ermitteln Sie für die Zeit bis : Uhr die Geschwindigkeit des lugeugs in Kilometer pro Stunde. d) Geben Sie eine Gleichung der Strecke an, die die lugbahn von :00 Uhr bis : Uhr beschreibt.. Zu einem bestimmten Zeitpunkt wischen :00 Uhr und : Uhr ist die Entfernung des lugeugs von der Radarstation am geringsten. Die bis dahin seit eobachtungsbeginn vergangene Zeit soll in Minuten bestimmt werden. Dafür werden wei verschiedene Lösungsansäte I und II betrachtet: t I: d(t) = t = t t+ t d (t) = 0 a) Erläutern Sie die beiden Lösungsansäte im Sachusammenhang. II: t t = 0 t b) erechnen Sie die geringste Entfernung des lugeugs von der Radarstation, indem Sie einen der beiden nsäte bis ur Lösung fortseten.. Ist das lugeug mehr als 0 km von der Radarstation entfernt, so kann es von dieser nicht mehr erfasst werden. Die Position, an der das lugeug nach : Uhr den Erfassungsbereich der Radarstation verlässt, wird im Modell durch einen Punkt dargestellt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten.. Das lugeug überfliegt eine geneigte Hangfläche, die in der Ebene E mit E: + = 0 liegt. Durch das Sonnenlicht wirft das lugeug um :0 Uhr einen Schatten auf die Hangfläche. Die Richtung des Sonnenlicht wird durch v = beschrieben. erechnen Sie den Schattenpunkt des lugeuges um :0 Uhr.

17 lugbahn Hessen LK 0 abgeändert. a) Steigungswinkel α = arctan b) lugeugpositionen + =, :0 l :0 l : l c) Geschwindigkeit des lugeugs v = d) Gleichung der lugbahnstrecke = t, 0 t km/h = 0 km/h. Lösungsansäte I und II: t I: d(t) = t = t t+ t d (t) = 0 II: t t = 0 t a) I: Minimum von d(r,p), P laufender Punkt auf der Geraden g durch und II: P R ist orthogonal um Richtungsvektor der Geraden g. b) geringste Entfernung des lugeugs d =, km. Ist das lugeug mehr als 0 km von der Radarstation entfernt, so kann es von dieser nicht mehr erfasst werden. Die Position, an der das lugeug nach : Uhr den Erfassungsbereich der Radarstation verlässt, wird im Modell durch einen Punkt dargestellt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten. OQ= +r, d(r,q) = 0, r =,, D(,,09 ) 0. Das lugeug überfliegt eine geneigte Hangfläche, die in der Ebene E mit E: + = 0 liegt. Durch das Sonnenlicht wirft das lugeug um :0 Uhr einen Schatten auf die Hangfläche. Die Richtung des Sonnenlicht wird durch v = beschrieben. ( Schattenpunkt S )

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