Technische Universität München. Höhenlinien

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1 Höhenlinien Höhenlinien Die Figur Höhenlinien.ggb zeigt zunächst den Graphen einer rationalen Funktion f(x,y) zweier Veränderlicher mit ebenen Schnitten y=y 0 bzw. x=x 0 parallel zur xz- bzw. yz-ebene. Öffne in GeoGebra neben dem 2D-Grafik-Fenster ein 3D-Fenster. Das 2D-Fenster stellt die xy-ebene des xyz-koordinatensystems im 3D-Fensters dar, wobei man über Eigenschaften - > Erweitert festlegen kann, ob ein Objekt in einem oder beiden Fenstern ausgegeben wird. Gib in der Eingabezeile die Polynome p(x,y) und q(x,y) ein, blende die Graphen aus und definiere f(x,y) = p(x,y) / q(x,y). Der Graph von f wird im 3D-Fenster dargestellt mit Linien parallel zur xz- bzw. yz-ebene, vgl. Eigenschaften -> Darstellung -> Linienstärke und Raster auf x- und y-achsen. Setze im 2D-Fenster Eingabefelder für p und q und einen Text für f(x,y) Nr. Name Definition Wert 1 Funktion in mehreren Variablen p p(x, y) = x² + y² 2 Eingabefeld Textfeld1 Eingabefeld[p] Textfeld1 3 Funktion in mehreren Variablen q q(x, y) = 2x 4 Eingabefeld Textfeld2 Eingabefeld[q] Textfeld2 5 Funktion in mehreren Variablen f f(x, y) = p(x, y) / q(x, y) f(x, y) = (x² + y²) / (2x) 6 Text Text1 "f(x,y)=\frac{p(x,y)}{q(x,y)}=" + (FormelText[f]) + "" 7 Punkt X0 Punkt[xAchse] X0 = (3, 0) 8 Zahl x0 x(x0) x0 = 3 9 Gerade a0 x = x0 a0: x = 3 10 Ebene a x = x0 a: x = 3 1 / 2 f(x,y)=\frac{p(x,y)}{q(x,y)}= \frac{x^{2} + y^{2}}{2 \; x} 11 Parameterkurve cx Kurve[x0, t, f(x0, t), t, -5, 5] cx:(3, t, ((3² + t²) / (2 (3)))) Wähle dann im 2D-Fenster einen Punkt X 0 auf der x-achse und definiere x 0 = x(x 0). Je nachdem, welches Fenster aktiv ausgewählt ist, liefert die Eingabe von x = x_0 in der Eingabezeile dort die Gerade a 0 bzw. die Ebene a und deren Schnitt c x mit dem Graphen der Funktion f(x,y) als Parameterkurve mit dem Befehl: Kurve[x_0, t, f(x_0, t), t, -5, 5], allgem.: Kurve[ <Ausdruck>, <Ausdruck>, <Ausdruck>, <Parameter>, <Startwert>, <Endwert> ] Mit dem Befehl Schneide zwei Flächen bzw. SchneideBahnkurven erhält man diese Kurven als Implizite Kurven, vgl. später den horizontalen Schnitt mit einer Ebene z = const.

2 Höhenlinien Erzeuge analog den Schnitt mit den Ebenen y=y 0 und den Punkt P des Graphen von f zur Stelle P 0 = a 0 b 0, vgl. Konstruktionsprotokoll. Nr. Name Definition Wert 12 Punkt Y0 Punkt[yAchse] Y0 = (0, 2) 13 Zahl y0 y(y0) y0 = 2 14 Gerade b0 y = y0 b0: y = 2 15 Ebene b y = y0 b: y = 2 16 Parameterkurve cy Kurve[t, y0, f(t, y0), t, -5, 5] cy:(t, 2, ((t² + 2²) / (2t))) 17 Punkt P0 Schneide[a0, b0] P0 = (3, 2) 18 Punkt P (x0, y0, f(x0, y0)) P = (3, 2, 2.17) 19 Strecke c Strecke[P0, P] c = 2.17 Der Schnitt mit der Ebene z = z(p) bzw. f(x_0,y_0)) liefert in der xy-ebene (2D-Fenster) eine implizit gegebene Kurve d: f(x,y) = z(p)! p(x,y) z(p) q(x,y) = 0, die GeoGebra mit dem Befehl: ImpliziteKurve[p(x, y) z(p) q(x, y)] ausgibt mit z(p) = f(p) = f(x_0,y_0). Nr. Name Definition Wert 20 Ebene z0 z = z(p) z0: z = Wahrheitswert ww ww = true 22 Implizite Kurve d ImpliziteKurve[p(x, y) - f(x0, y0) q(x, y)] d: x² x + y² = 0 23 Implizite Kurve e SchneideBahnkurven[z0, f] e: (x² + y²) / (2x) = 0 24 Text Text2 25 Liste Liste1 "Die Höhenlinie f(x,y) = z(p) erhält man in der xy-ebene als Folge[SchneideBahnkurven[z = k, f], k, -5, 5, 1] Die Höhenlinie f(x,y) = z(p) erhält man in der xy-ebene als Liste1 = {(x² + y²) / (2x) + 5 = 0, (x² + y²) / (2x) + 4 = 0, } Die Höhenlinie durch den Punkt P in der Ebene z = z(p) erhält man im 3D-Fenster mit dem Befehl Schneide zwei Flächen in der Menüleiste bzw. SchneideBahnkurven in der Eingabezeile, die über das Kontrollkästchen (Wahrheitswert ww) ein- bzw. ausgeblendet werden. Achtung Dieser GeoGebra-Befehl wird im Moment 06/2016 weiterentwickelt. Er funktioniert unter der Version , im Moment leider nicht unter Mit dem Befehl Folge[SchneideBahnkurven[z = k, f], k, -5, 5, 1] erhält man eine Schar von Höhenlinien. Betrachte das File z.b. auch für die Funktionen p(x,y) = 3 sin(x) und q(x,y) = sin(y). 2 / 2

3 Stetigkeit Frage nach der Stetigkeit von Funktionen f(x,y) Die Figur Stetigkeit.ggb zeigt den Graphen der rationalen Funktion, und dessen Schnitte längs der Geraden y = m x und Parabeln y = a x 2 durch den Ursprung. Der Grenzwert von f für (x,y) (0,0) liefert längs der Geraden stets den Wert 0, längs der Parabeln (Höhenlinien von f) aber den Wert a/(1+a 2 ), vgl. z-wert von A 0 im Konstruktionsprotokoll. Damit ist f in (0,0) nicht (wie längs der Geraden vermutet durch 0) stetig fortsetzbar. 1 / 1

4 Kurven Ebene Kurven und Raumkurven Die Figur Kurve-2D.ggb zeigt das Bild einer parametrisierten Kurve c samt Punkt P zum Parameter t 0. Über ein Kontrollkästchen kann man die Tangente von c in P einblenden. Durch Variation von t 0 kann man die Kurve c auch als Spur des Punktes P erzeugen. Erzeuge die Kurve c mit dem Befehl Kurve[t cos(t), t sin(t), t, -5, 5] sowie mit dem Schieberegler t 0 den Punkt P = c(t_0) und über Ableitung[c] die Ableitung cʹ von c, die wieder eine parametrisierte Kurve darstellt. Die Tangente t von c wird daher mit Pʹ = P + cʹ(t_0) definiert. Da GeoGebra die Kurve c als geometrisches Objekt auffasst, kann man Punkte z.b. A auch direkt auf c setzen und erhält mit Tangente[A, c] die Tangente von c in A. Man kann c auch mit anderen Kurven schneiden, z.b. die Schnittpunkte auf der x-achse bestimmen. Analog zu ebenen Kurven erhält man im 3D-Fenster Raumkurven mit dem Befehl Kurve[ <Ausdruck>, <Ausdruck>, <Ausdruck>, <Parameter>, <Startwert>, <Endwert> ] z.b. mit Kurve[t cos(t), t sin(t), t, t, 0, 10] die Kurve in der Figur Kurve-3D.ggb. 1 / 1

5 Differentiation Partielle Ableitungen, Gradient und Richtungsableitung Die Figur Differentiation.ggb zeigt zunächst den Schnitt längs y = y 0, dessen Ableitung nach x die partielle Ableitung f x von f(x,y) nach x (bei konstantem y 0) ist. Dann analog den Schnitt längs x = x 0 mit der partiellen Ableitung f y von f(x,y) nach y (bei konstantem x 0). Diese beiden partiellen Ableitungen bilden den Gradienten von f, der in der xy-ebene dargestellt wird und die Richtungsableitung von f(x,y) in Richtung v mit v = 1 (d.h. die Ableitung des Schnittes längs der Geraden durch (x 0, y 0) in Richtung v) als: vf(x,y) = grad(f) v. Schließlich wird die Tangentialebene T mit dem Normalenvektor n = (f x, f y, -1) T ausgegeben. Nach Definition der Funktion f(x,y) = 2 x 2 y 2 werden die partiellen Ableitungen mit dem Befehl Ableitung[ <Funktion>, <Variable> ] bereitgestellt. Der Punkt P 0 wird in der xy- Ebene (2D-Fenster) gewählt. Durch Eingabe von P = (x(p 0), y(p 0), f(x(p 0),y(P 0) ) ) wird der zugehörige Punkt P auf dem Graphen von f im 3D-Fenster samt Ordinate z 0 bestimmt. Beachte: P 0 wird über die Eigenschaften -> Erweitert beiden Fenstern ausgegeben. in 1 / 4

6 Differentiation Mit dem Wahrheitswert w y (Kontrollkästchen Schnitt y=y 0 ) kann der Schnitt längs y = y 0 ausgegeben werden, der in den Zeilen 9 17 definiert wird. Die Eingabe von y=y(p_0) in der Eingabezeile liefert bei aktivem 2D-Fenster die Gerade y 0, bei aktivem 3D-Fenster die Ebene s x, deren Schnittkurve mit dem Graphen von f der Befehl Kurve[t, y(p_0), f(t, y(p_0)), t, -3, 3] als Parameterkurve mit dem Kurvenparameter t liefert. Das Steigungsdreieck dieses Schnittes im Punkt P wird mit den Punkten Tx und T x als Vieleck x definiert und mit Tʹx die Tangente in die andere Richtung verlängert, vgl. Zeilen Analog kann mit dem Wahrheitswert w x (Kontrollkästchen Schnitt x=x 0 ) der Schnitt längs x = x 0 mit dem Steigungsdreieck Vieleck y ausgegeben werden, vgl. Zeilen / 4

7 Differentiation Die Eingabe von grad_0 = Vektor[( f_x(p_0), f_y(p_0))] liefert den Vektor zunächst im Ursprung O. Er wird mit grad = Vektor[P_0, P_0 + grad_0] verschoben. Mit dem Wahrheitswert w v (Kontrollkästchen Richtungsableitung ) kann der Schnitt längs einer Geraden g v durch P 0 mit Richtung v mit v = 1 ausgegeben werden, vgl. Zeilen / 4

8 Differentiation Die Richtung v der Gerade g v wird dabei in der xy-ebene mit einem Punkt V auf dem Kreis k um P 0 mit Radius 1 festgelegt, vgl. Zeilen Die Schnittebene s v längs g v wird im 3D-Fenster durch Eingabe der Koordinatengleichung y(v) x - x(v) y + z(v) z - y(v) x(p_0) + x(v) y(p_0) = 0 mit dem Normalenvektor (y(v), -x(v), 0) T festgelegt. Beachte: Im CAS-Teil von GeoGebra reicht die Eingabe von n v (x,y,z)= n v P 0. Der Befehl Kurve[x(P_0) + t x(v), y(p_0) + t y(v), f(x(p_0) + t x(v), y(p_0) + t y(v)), t, -2, 2] liefert die zugehörige Schnittkurve von s v mit dem Graphen von f als Parameterkurve. Mit dem Wert der Richtungsableitung R_v = grad v wird das Steigungsdreieck Vieleck v dieses Schnittes analog zu obigen definiert, vgl. Zeilen Mit dem Wahrheitswert w T (Kontrollkästchen Tangentialebene ) kann die von den Strecken t x und t y aufgespannte Tangentialebene an den Graphen im Punkt P als Vieleck T und deren Normale n ausgegeben werden, vgl. Zeile Definiere f durch Doppelklick auf den Graphen nach eigener Wahl um, z.b. f(x,y) =x 2 y 2. Die Figur ImpliziteKurve.ggb zeigt, dass der Gradient einer Funktion f(x,y) stets in Richtung des steilsten Anstiegs (senkrecht zu den Höhenlinien, hier f(x,y) = 0) weist. Dass die Falllinien (Orthogonaltrajektorien der Höhenlinien) nicht notwendig die Kürzesten Verbindungen (Geo-dätische) auf dem Graphen von f(x,y) sind, zeigt das Beispiel SchieferKreiskegel.ggb. 4 / 4

9 TaylorFormel Taylor-Entwicklung von f(x,y) Die Figur TaylorFormel.ggb zeigt die Taylorpolynome T 1(x,y) vom Grad 1 (Tangentialebene) und T 2(x,y) vom Grad 2 der Funktion f(x,y) um den Entwicklungspunkt P 0 = (x 0, y 0) Laut Konstruktionsprotokoll wird zunächst die Funktion f (samt Eingabefeld) definiert. 1 / 2

10 TaylorFormel Dann wird der Entwicklungs-Punkt P 0 im xy-koordinatensystem (2D-Fenster) gewählt, die Werte x 0, y 0 und fp = f(x 0,y 0) definiert sowie der zugehörige Punkt P auf dem Graphen von f. Mit den Befehlen f_x = Ableitung[f(x,y), x] und f_y = Ableitung[f(x,y), y] erhält man die partiellen Ableitungen von f nach x bzw. y und damit die Koeffizienten f xp und f yp von T 1(x,y). Die Graphen von f x und f y blendet man wegen der Übersichtlichkeit aus. Die Eingabe T_1(x,y) = fp + f_xp (x - x_0) + f_yp (y - y_0) liefert die Tangenentialebene von f in P mit dem Normalenvektor n = Vektor[P, P + (f_xp, f_yp, -1) ]. Die zweiten partiellen Ableitungen erhält man analog, z.b. f_{yx}(x,y) = Ableitung[f_y(x,y), x] wobei man im Algebrafenster sieht, dass nach dem Satz von Schwarz, bei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f xy mit f yx übereinstimmt. Mit den Werten f xxp, f xyp ( =f yxp ) und f yyp erhält man das Taylorpolynom vom Grad 2 als T_2(x,y) = T_1(x, y) + 1/2 (f_{xx}p (x - x_0)² + 2f_{xy}p (x - x_0) (y - y_0) + f_{yy}p (y - y_0)²) Mit den Wahrheitswerten (Kontrollkästchen) ww1 und ww2 kann man die Taylorpolynome T 1 und T 2 ein und ausblenden (siehe Eigenschaften -> Erweitert). Bei P 0 = (0, 0) liegt T 1 schräg und T 2 ist ein Paraboloid. Bei P 0 = (-0.519, 0) bzw. (-1.032, 0) liegt T 1 annähernd horizontal. T 2 ist im Bild links ein nach oben geöffnetes Paraboloid, rechts ein hyperbolisches Paraboloid, d.h. in P 0 liegt ein Minimum bzw. ein Sattelpunkt von f vor. 2 / 2

11 Extrema Extrema eines Polynoms in x und y Um Extrema einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f(x,y) zu bestimmen, sucht man zunächst die stationären Stellen mit grad f = (f x, f y) = (0,0) (Tangentialebene T 1 horizontal) und untersucht an diesen Stellen die über die zweiten partiellen Ableitungen von f bestimmte Hessematrix H f. Ist diese positiv/negativ definit ( det H f > 0 f xx > 0 bzw. < 0), so liegt ein Minimum/Maximum vor, ist diese indefinit ( det H f < 0) so liegt ein Sattelpunkt vor. Die Figur Extrema.ggb zeigt im Grafik 2-Fenster dazu die durch f x(x,y) = 0 und f y(x,y) = 0 implizit gegebenen Kurven, deren Schnittpunkte [P 0 = (0,0) oder (1/3,1/3)] die stationären Stellen des Polynoms f(x,y) = x 3 + x y y 3 sind. Im 3D-Fenster ist neben dem Graphen von f das zweite Taylorpolynom T 2 an der gewählten stationären Stelle P 0 ausgegeben. 1 / 2

12 Extrema Nach Definition von f(x,y) wird mit der partiellen Ableitungen f_x(x,y) = Ableitung[f(x,y), x] und dem Befehl ImpliziteKurve[f_x(x,y)] die implizite Kurve f x(x,y) = 0 erzeugt, analog f y(x,y) = 0 und mit Schneide[fx, fy] deren Schnittpunkte A und B, vgl. Zeilen 1 6. Im Fall, dass f(x,y) kein Polynom in x und y ist, kann man im CAS-Teil von GeoGebra Lösungen des Gleichungssystems f x(x,y) = 0 f y(x,y) = 0 suchen. Mit dem Wahrheitswert w (Kontrollkästchen) kann man P 0 gleich A oder gleich B wählen und (zur Kontrolle) das Taylorpolynom T 1 von f an dieser Stelle bestimmen, vgl. Zeilen Die zweiten partiellen Ableitungen bestimmt man z.b. als f_{xy}(x,y) = Ableitung[f_x(x,y), y], und stellt fest, dass f yx = f xy ist, da f(x,y) zweimal stetig differenzierbar ist (Satz von Schwarz). Mit den Werten f xxp, f xyp und f xxp dieser Ableitungen an der Stelle P 0 erhält man: 1) das Taylorpolynom 2.Grades T 2 das für P 0 = B ein nach oben geöffnetes Paraboloid ist, womit an der Stelle B ein relatives Minimum vorliegt und für P 0 = A ein hyperbolisches Paraboloid, womit dort ein Sattelpunkt (mit horizontaler Tangentenebene) vorliegt. 2) Die (symmetrische) Hessematrix H_f = { { f_{xx}p, f_{xy}p }, { f_{xy}p, f_{yy}p } } als Liste von Listen, deren Determinante deth_f = Determinante[H_f] für P 0 = B positiv und für P 0 = A negativ ist. Wegen f xx(b) > 0 liegt damit an der Stelle B ein Minimum und an der Stelle A ein Sattelpunkt vor, was mit dem Text5 im Zeichenfenster angegeben wird: Wenn[ deth_f 0, "keine Aussage", Wenn[ deth_f < 0, "P_0 ist Sattelpunkt", Wenn[ f_{xx}p > 0, "P_0 ist Minimum", "P_0 ist Maximum"] ] ] Betrachte auch das Beispiel Extrema-Parabel.ggb, bei dem die Extrema der Funktion f(x,y) = x 2 + y 2 unter der Nebenbedingung p(x,y) = x 2 +2y 11 = 0 zum einen direkt durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Funktion f(x,y) zum anderen mit der Methode von Lagrange mit der Lagrangeschen Hilfsfunktion L(x,y, )=f(x,y)+ p(x,y) bestimmt werden. 2 / 2

13 Volumen Beispiel eines Volumenintegrals Die Figur Volumen.ggb zeigt die Berechnung des Volumens zwischen dem Rechteck B = {(x,y) x a, y c } und dem Graphen der Funktion,. Dabei soll zuerst über x von -a bis a und dann über y von -c bis c integriert werden. Das Konstruktionsprotokoll enthält zunächst die Festlegung des Rechtecks B über die freie Ecke E 1 im 1.Quatranten und deren Spiegelpunkte, vgl. Konstruktionsprotokoll. Nach Definition der Funktion f(x,y) wird zur Visualisierung der Integration ein Vieleck2 mit dem verschiebbaren Punkt y 0 auf der Strecke e = [c,d] (grün markiert) definiert, mit dem 1 / 2

14 Volumen die Strecke h = [Yl,Yr] (rot markiert) von unten nach oben über den Integrationsbereich B geschoben werden kann, siehe die Punkte a, b, c, d, y 0, Yl und Yr und die Strecken e und h. Mit Funktion[f(u,v), u, -a0, a0, v, -c0, y0] wird der Graph von f auf das Vieleck2 beschränkt, mit Kurve[t, y0, f(t,y0), t, -a0, a0] und H_1 = Oberfläche[u, y0, v f(u,y0), u, -a0, a0, v, 0, 1], allgem. Oberfläche[ x(u,v), y(u,v), z(u,v), u, u_start, u_end, v, v_start, v_end] der Schnitt längs y 0 dargestellt, was den ersten Integrationsschritt visualisiert. Diesen erhält man analytisch mit Fs(x,y) = Integral[f(x, y), x] als F(y) = Vereinfache[Fs(a0, y) - Fs(-a0, y)]. Mit V = Integral[F, -c0, y0] erhält man schließlich das Volumen von f über dem Vieleck2. Der Text3 gibt dann die analytische Berechnung als Text aus, siehe Volumen.ggb. 2 / 2