4. Mathematikschulaufgabe

Transkript

1 1. a) Bestimme den Scheitel und zeichne die Parabel y = - x 8x 3,5 b) Zeichne den Graphen der Funktion y = x 1 3 und gib die Wertemenge an. c) Bestimme rechnerisch die Scheitelform der Parabel, die den Scheitel S(1/) besitzt und durch den Punkt P(1- / 3 ) verläuft.. Bestimme die Lösungsmenge mit dem formalen Verfahren. (G = R) x + 1,5x 1< 0 3. Bestimme die Lösungsmenge. (G = R) - x + 6x Gegeben sind die Punkte P(1/4) und Q ( - 3/7). [PQ] ist die Diagonale eines Quadrates. Berechne PQ und die Seitenlänge a dieses Quadrates. 5. Berechne die Seitenlänge b des skizzierten Rechtecks. GM_A0047 **** Lösungen 3 Seiten

2 1. a) Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Normalparabel mit dem Scheitel ( )? b) Durch y = 3x + 1x + 18 wird eine Parabel beschrieben. Bringe die Gleichung auf Scheitelform und gib die Scheitelkoordinaten, die Wertemenge und die Symmetrieachse an! c) Gegeben ist die Funktionsgleichung y = x + bx + Bestimme b ε R + so, dass der Scheitel des zugehörigen Graphen auf der x-achse liegt!. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse um 18 cm länger als die kleinere Kathete und diese wiederum um 17 cm kürzer als die größere Kathete. Wie lang sind die Seiten? 3. Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC. a) Wie lauten die Kathetensätze? (Formeln gemäß Skizze!) b) Leite aus den Kathetensätzen den Satz des Pythagoras ab! c) Gegeben sind h = 1 cm und a = 13 cm. Berechne p, c und dann den Flächeninhalt des Dreiecks ABC! 4. Konstruiere unter Verwendung des Kathetensatzes, ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 16 cm, dessen eine Seite 7 cm misst. GM_A0070 **** Lösungen 3 Seiten

3 1. Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichung: x 4 8x 9 = 0. Bestimme den Scheitel und die Wertemenge der Parabel mit der Funktionsgleichung g(x) = x 5x + 10,5 3. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 5+ x x = 37 6x 4. Welche Terme müssen in die Lücken eingefügt werden, damit sich eine wahre Aussage ergibt (bezogen auf die nebenstehende Skizze)? a) g = b b) = a b c) a = c - b 5. Der nebenstehende Rundbogen stellt ein romanisches Motiv dar. Gib eine Gleichung an für den Radius r des kleinen Vollkreises in Abhängigkeit von der Breite d! Tip: Benutze das eingezeichnete Hilfsdreieck zur Berechnung! GM_A0079 **** Lösungen Seiten

4 1. Berechne den exakten Abstand der beiden Punkte A(-3/4) und B(-5/-). Gib den erforderlichen Lösungsansatz an.. Konstruiere (nicht nur zeichnen!) ein Dreieck, von dem eine Seite die Länge 1 hat. Der Lösungsweg soll deutlich erkennbar sein. 3. Gegeben sind die Parabel p 1 mit der Gleichung mit der Gleichung 1 y = x x y = x x und die Parabel p 3.1 Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von p 1 mit p. 3. Gegeben ist weiterhin die Gerade y = mx -. Bestimme die Werte für m bei denen die Gerade die Parabel p 1 berührt und gib die Koordinaten der Berührpunkte an. 4.1 Eine Parabel mit dem Scheitel S(/-7) verläuft durch den Punkt P( 0/1). Bestimme die Funktionsgleichung dieser Parabel in der Form y = ax + bx+ c. 4. Auf der Parabel y = ax + bx+ c liegen die Punkte A(0/1), B(1/-5) und C(-1/11). Bestimme die Funktionsgleichung dieser Parabel. GM_A0108 **** Lösungen 4 Seiten

5 1. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Länge des Hypotenusenabschnittes r = 6 cm und die Länge der Hypotenuse s = 15 cm gegeben. Berechne die Längen k, z, f!. Konstruiere zu dem vorgegebenen Rechteck mit Zirkel und Lineal und mit Hilfe des Kathetensatzes ein flächeninhaltsgleiches Quadrat. 3. Die Cheopspyramide hat eine quadratische Grundfläche. Ihre Grundkante a betrug ursprünglich 30 m, ihre Seitenkante s 0 m. Berechne die Höhe h und die Oberfläche (ohne Grundfläche) der Pyramide! 4. Gegeben: a = 3 cm b = 13 cm c = 1 cm Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Dreiecks PQR. GM_A0157 **** Lösungen 3 Seiten

6 1. Stelle fest, in welchen Fällen die Dreiecke ABC und A B C ähnlich sind. Begründe kurz deine Behauptung! a) b) a = 4 cm a' = 6 cm β = 87, β ' = 87, c =,8 cm c ' = 4, cm a = 4 cm a' = 8 cm α = 30 β ' = 30 c = 6 cm c ' = 1 cm c) a = 5 cm b' = 3,75 cm b = 7 cm γ ' = 71,5 β = 71,5 c ' = 5,5 cm. Ein Dreieck ABC hat einen Flächeninhalt von 36 cm² und einen Umfang von 30 cm. Ein zu diesem Dreieck ähnliches Dreieck A B C hat einen Flächeninhalt von 16 cm². Berechne den Umfang des Dreiecks A B C! 3. In der nebenstehenden Figur sind ein Parallelogramm ABCD und ein Dreieck ABE zu erkennen. Beweise: AF AB = AE DF 4. Bestimme die Definitionsmenge folgender Wurzelterme: 1 a) 5 x b) c) + x 1+ x x 5. a) Fasse zusammen: b) Multipliziere aus und fasse zusammen: ( 0,5 3 ) c) Berechne: x²a² x²b² : a + b d) Mache den Nenner rational und fasse zusammen: GM_A0158 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0158)

7 1. Bestimme den Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel! a) y x² 14x 53 b) y 3x² 1x 15. Bestimme die Lösungsmenge! a) x² 3x 10 0 b) x² 3x 0 c) x(3x )² 4x 0 3. Untersuche, für welche Werte des Parameters c \{0} die Gleichung cx² 8x c 0 a) genau eine b) zwei c) keine Lösung besitzt! 4. Die Basis c eines gleichschenkligen Dreiecks ist 14 cm lang, die Länge der Höhe h auf die Basis beträgt 4 cm. Die Basis wird auf beiden Seiten um x cm verkürzt, dafür die Höhe um x cm verlängert. a) Zeige, dass für den Term, der den Flächeninhalt des neuen Dreiecks in Abhängigkeit von x beschreibt, gilt: A(x) ( x² 3x 8) cm² b) Berechne, für welches x der Flächeninhalt A maximal wird. Wie groß ist A in diesem Fall? Welches besondere Dreieck ergibt sich in diesem Fall? 5. Eine Normalparabel wird um 4 Einheiten nach unten verschoben, an der Geraden x 3 gespiegelt und danach an der x-achse gespiegelt. Wie lautet die Gleichung der neuen Parabel? 6. Der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel liegt auf der Geraden y 4. Ferner geht die Parabel durch den Punkt P(3 / 0). Bestimme die Gleichung der Parabel ( Ergebnisse)! GM_A0159 **** Lösungen 3 Seiten

8 1. Berechne die Länge der Diagonalen d des nebenstehend abgebildeten Quaders!. Konstruiere mit Hilfe des Kathetensatzes ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 16 cm! 3. Von einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist die Kantenlänge a der Grundfläche und die Seitenkante s bekannt. Leite eine Formel für die Höhe h in Abhängigkeit von a und s her. Bestimme damit die Oberfläche und das Volumen der Pyramide. 4. Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: 4x + 13 = x + 5. Gegeben sei die Funktion f durch die Gleichung f(x) = x + für x. Gib die Wertemenge von f an! Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion f -1 von f und gib die Definitions- und Wertemenge von f -1 an! 6. Gegeben sei die Funktion g durch die Gleichung g(x) = x + x 3 für x 1. Bestimme zeichnerisch den Graphen der Umkehrfunktion g -1 von g! (Maßstab: 1 LE 1 cm) GM_A0160 **** Lösungen 3 Seiten

9 1. Ergänze die Tabelle! f(x) D f a) f(x) = x² + 1 x b) f(x) = (x 3)² x < 3 Umkehrfunktion W f(x) f D f' W f' c) f(x) = x x d) f(x) = 1 x y <. Gegeben sei die Funktion g durch die Gleichung g(x) = 0,5x x + 1 für x. Bestimme zeichnerisch den Graphen der Umkehrfunktion g von g! Maßstab: x-achse: 1 LE 1 cm; y-achse: 1 LE 1 cm 3. Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen. Gib die Definitionsmenge an wenn erforderlich. G = a) 4 x 13x² + 36 = 0 b) x + x+ 8 = c) = 1 x+ 1 x GM_A0161 **** Lösungen Seiten

10 1. Auf Blatt sind 6 Graphen dargestellt. Bestimme die Funktionsgleichungen (allgemeine Form) für die zugehörigen Funktionen.. a) Untersuche die Funktion y = f 1 ( x) = x + 4x 3 auf ihre Eigenschaften (Definitionsmenge, Wertemenge, Schnittpunkt mit der y-achse, Scheitel, Symmetrie, Monotonie, Graph). b) Berechne die Entfernung des Scheitels S vom Punkt P 3. ( ) c) Berechne die Nullstellen des Graphen der Funktion f. d) Löse mit Hilfe des unter a) gezeichneten Graphen die Ungleichung 1 11< x + 4x <. 3 e) Wie lautet die Funktionsgleichung der Funktion, die man aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der y - Achse erhält? 3. Prüfe, ob die Formeln stimmen. Korrigiere gegebenenfalls. a) b) x = pq p+ q= b + c d= a+ b h = d a 4. a) Eine Leiter ist genauso lang, wie eine Mauer hoch ist. Lehnt man die Leiter 0 cm unter dem oberen Mauerrand an, so steht sie unten 1,0 m von der Mauer entfernt. Berechne die Länge der Leiter. (Fertige zuerst eine Skizze an!) b) Aus einem kreisrunden Blech (Radius r = 100 mm) soll ein Quadrat geschnitten werden. Berechne die Seitenlänge a des Quadrates. (Skizze!) 5. Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 49 mm und b = 36 mm. Konstruiere mit Hilfe des Höhensatzes ein zu dem Rechteck flächengleiches Quadrat. Gib eine kurze Konstruktionsbeschreibung für dein Vorgehen. - siehe Blatt - GM_A034 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L034) 1 ()

11 zu Nr. 1: Nr. (1) ist eine mit Faktor 0,5 gestauchte Normalparabel Nr. (), (3) und (6) sind Normalparabeln GM_A034 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L034) ()

12 1. Gegeben ist die Funktion f:y= 8x 56x 3 a) Bestimme den Scheitel und die Wertemenge! b) Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen! c) Welche Funktionsgleichung erhält man, wenn man G f an der y-achse spiegelt? (Kurze Rechnung, Funktionsterm ohne Klammern angeben!) d) Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung 8x 56x 3 > 0. Betrachte jetzt die Parabelschar f:y 8x kx 3 ( k ) Bestimme die Menge aller k, a) für die f genau Nullstellen hat! b) für die f den Scheitel ( 3 40 ) besitzt! c) für die Q( 16) auf G f liegt! = Gegeben ist der Kreis um M( 18 7) mit dem Radius r = Prüfe durch Rechnung, ob der Punkt P13 ( 19) innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis liegt! 4. Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenusenhöhe x = 84cm und der Hypotenusenabschnitt y = 56 cm bekannt. Berechne den Umfang des Dreiecks! (Skizze!) 5. Konstruiere eine Strecke der Länge 38! (Kurze Konstruktionsbeschreibung! Konstruktionslinien!) GM_A0360 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0360)

13 / (G8) 1. Ein Wissenstest bei Geo Wissen besteht aus 5 Fragen. Dazu sind jeweils 3 Antworten zur Auswahl gegeben, von denen eine stets richtig ist. Eine völlig unwissende Testperson kreuzt jeweils eine Antwort rein zufällig an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) alle fünf Fragen richtig beantwortet sind? b) genau eine Frage richtig beantwortet ist? c) mindestens eine Frage richtig beantwortet ist?. In einer Urne liegen 8 gleiche Kugeln; vier blaue, drei rote und eine gelbe. Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: Mindestens eine blaue Kugel wird gezogen? Zeichne ein Baumdiagramm. 3. a) Leiterproblem Eine 10m lange Leiter lehnt an einer Hausmauer. Finde heraus, bis zu welcher Höhe h diese Leiter reicht und wie weit ihr unteres Ende s von der Hausmauer entfernt ist, wenn die Leiter mit 75 gegen die Horizontale geneigt ist. (Ergebnis auf Dezimalen!) b) Winkelberechnung Für den spitzen Winkel α gilt: sinα = 0,6. Bestimme tanα ohne Verwendung des Taschenrechners mit Angabe aller Rechenschritte und Überlegungen. 4. Von einem Dreieck ABC (siehe nebenstehende Skizze) sind die Seite c = 6,6 cm und die Höhen h a = 3,7cm und h c = 4,1 cm gegeben. Berechne: a) Winkel β b) Seite a c) Seite b Runde die Endergebnisse jeweils auf eine Dezimale! GM_A0793 **** Lösungen Seiten (GM_L0793) 1 (1)

14 Achtung! Bearbeitungszeit 60 min. Gymnasium / G8 1. Gegeben ist eine gleichseitige Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD, sowie AB a 8cm und h 9cm. a) Berechne den Neigungswinkel der Seitenkante [AS] gegen die Grundfläche. b) Berechne den Neigungswinkel der Seitenfläche BCS gegen die Grundfläche. c) Berechne die Länge der Seitenkante [CS] k. d) Unter welchem Winkel schneiden sich zwei benachbarte Seitenkanten? e) Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide. f) Berechne das Volumen der Pyramide. g) Der Pyramide wird nun ein Quader mit der Höhe H 5cm (wie in nebenstehender Skizze gezeigt) einbeschrieben. Berechne das Volumen des Quaders. Hinweis: Zeichne hierzu ein Schnittbild der beiden Körper, ähnlich einem Axialschnitt, und berechne zunächst die Länge einer Kante der ebenfalls quadratischen Grundfläche des Quaders.. Ein Trapez mit den parallelen Seiten der Länge R 6, r 4 und der Höhe h 8 rotiert um die Höhe h. Welchen Namen hat der dabei entstehende Rotationskörper? Berechne das Volumen dieses Körpers. 3. In einer Lostrommel befinden sich 50 Lose. Davon sind 5 Gewinnlose, die restlichen Lose sind Nieten. Emma zieht 5 Lose. Bestimme die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A = Emma zieht nur Nieten. B = Emma zieht mindestens ein Gewinnlos. C = Emma zieht genau drei Gewinnlose und zwei Nieten. 4. Max und Sabine nehmen aus einem Kartenspiel zwei Asse und vier Damen heraus. Die sechs Karten werden verdeckt gemischt und mit der Rückseite nach oben auf den Tisch gelegt. Abwechselnd decken nun Max und Sabine jeweils eine Karte auf. Gewonnen hat, wer zuerst ein Ass aufdeckt. Zeichne zur Lösung der Aufgaben ein Baumdiagramm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Sabine, wenn Max beginnt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Max, wenn Max beginnt? GM_A0794 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0794)

15 / G8 1. Berechne tan exakt (ohne zu berechnen), für sin Eine gerades Straßenstück hat eine Steigung von 1%, seine Länge ist: AC 150 m. Am oberen Ende der Straße steht ein Haus. Visiert man das Haus vom Punkt A aus an, so erscheint es unter einem Winkel von 10. a) Berechne den Winkel und AB jeweils auf DZ. b) Berechne die Höhe CD des Hauses. 3. Eine gleichseitige Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge a 4,0cm und eine Höhe h 8,0cm. In halber Pyramidenhöhe wird nun parallel zur Grundfläche geschnitten, sodass ein Pyramidenstumpf übrig bleibt. a) Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfes. b) Berechne die Oberfläche des Pyramidenstumpfes. 4. Ein Würfel der Kantenlänge a und ein gerader Zylinder sind gleich hoch und haben dasselbe Volumen. Zeige, dass für die Oberfläche des Zylinders gilt: O a 1. Welcher der beiden Körper besitzt den größeren Oberflächeninhalt? 5. Ein Stoffsäckchen enthält eine rote, zwei gelbe und vier blaue gleichartige Kugeln. Julia zieht zwei Kugeln nacheinander aus dem Stoffsäckchen, ohne die erste Kugel zurückzulegen. Zeichne ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm und ermittle die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: A: Eine Kugel ist rot B: Eine Kugel ist blau, die andere ist gelb. C: Beide Kugeln haben die gleiche Farbe. 6. Auf dem Tisch liegen neun gleichartige Spielchips, die auf einer Seite mit den Ziffern 1 bis 9 beschriftet sind (jeder Chip hat eine andere Ziffer). Die Chips werden gemischt und liegen so auf dem Tisch, dass die Ziffern nicht sichtbar sind. Lara zieht 4 Chips (ohne Zurücklegen) und notiert jeweils die Ziffer. a) Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen können auf diese Weise entstehen? b) Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen können entstehen, wenn Lara jeden Chip nach dem Notieren der Ziffer wieder zurücklegt? GM_A0795 **** Lösungen Seiten (GM_L0795)

16 / G8 1. Eine,50 m lange Leiter wird unter einem Winkel von 14 an eine Wand gestellt. Welchen Abstand zur Wand hat die Leiter am Boden?. Vereinfache die Terme soweit wie möglich. a) sin 90 tan b) 1 1 sin 3. Der Querschnitt eines Aluminiumbarrens der Länge L 5cm ist ein gleichschenkliges Trapez mit dem Umfang UTrapez 30cm. Beide Schenkel sowie die kurze Grundseite sind gleich lang (Länge a); vgl. Skizze. a) Berechne die Fläche des Trapezes. b) Berechne die Oberfläche des Aluminiumbarrens. 3 c) Wie groß ist die Masse des Barrens, wenn 1dm Aluminium die Masse,7 kg hat? 4. In der Landschaft seiner Modelleisenbahn baut Johannes vom Tal auf die Bergspitze C eine Seilbahn und eine Stromleitung. Die benötigten Zahlenwerte findest Du in nebenstehender Skizze. Berechne die Höhe h des Berges. 5. Bei einer gleichseitigen Pyramide mit der quadratischen Grundfläche AG 36 cm beträgt der Neigungswinkel zwischen den Seitenflächen und der Grundfläche 48. a) Berechne die Höhe der Pyramide. b) Berechne den Neigungswinkel zwischen einer Seitenkante s und der Grundfläche. c) Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide. 6. Bei der Härteprüfung nach Brinell (Johan August Brinell, geb. 1849, schwedischer Ingenieur) wird eine Kugel aus Hartmetall in ein Probestück, z.b. ein Aluminiumblech, gedrückt. Dabei wird eine kreisförmige Vertiefung (eine Kugelkalotte) im Blech hinterlassen. Bei einer Härteprüfung ergaben sich folgende Werte: Durchmesser D der Kugel: 10 mm, Durchmesser d des Abdrucks: 3mm. Wie tief ist der Abdruck? GM_A0796 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0796)

17 / G8 1. Berechne aus cos 6 15 Winkel zu bestimmen. sin 90, sin die Werte und tan ohne den. Vereinfache folgenden Term soweit wie möglich: tan 1 sin 1 sin 3. Von einem Turm der Höhe H aus werden der Fußpunkt und die Spitze eines Baumes der Höhe x (x < H) angepeilt. Gemessen zur Horizontalen ergeben sich wie aus der Skizze ersichtlich die Winkel und (0 < < < 90 ). a) Leite eine allgemeine Formel zur Berechnung von x aus den Größen H, und her. b) Berechne die Höhe x des Baumes und seine Entfernung s vom Turm, wenn H = 8 m, = 44 und = 35 gilt. 4. Durch ein dreiseitiges Prisma wird (senkrecht zur Grundfläche) ein zylindrisches Loch gebohrt. Die Grundfläche des Prismas ist ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge a 5cm, das Prisma hat die Höhe h 6cm, der Zylinderdurchmesser ist d cm. a) Berechne das Volumen und die Oberfläche des Körpers auf eine Dezimalstelle genau. b) Berechne, wie viel Prozent des Volumens des ursprünglichen Prismas herausgebohrt wurde. 5. Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a gemäß nebenstehender Skizze. a) Berechne die Höhe MQ x cm der gleichschenkligen Dreiecke ACQ in Abhängigkeit von a und. b) Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke ACQ in Abhängigkeit von a und. c) Das Dreieck ABC ist Grundfläche von Pyramiden ABCQ. Berechne das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von a und. GM_A0797 **** Lösungen Seiten (GM_L0797)

18 / G8 1. Vereinfache für soweit wie möglich: sin tan 1 sin cos.. Berechne aus sin 3 5 Winkel zu bestimmen. die Werte cos, tan und 3. Um die Höhe eines Turmes zu bestimmen, misst man von einem 8 m über der gemeinsamen Grundebene gelegenen Standpunkt aus, die Winkel und bezüglich der Horizontalen zum Fuß bzw. zur Spitze des Turmes. Wie hoch ist der Turm für 6 und 18? Wie weit ist er vom Haus entfernt? cos 90, ohne den 4. Unter welchem Winkel ist die Raumdiagonale D eines Würfels gegenüber der Grundfläche geneigt? 5. Ein gerader Kreiskegel hat den Grundkreisradius r 5 und die Höhe h 1. Diesem Kegel werden Zylinder einbeschrieben. Die einbeschriebenen Zylinder stehen auf der Grundfläche des Kegels und berühren den Kegelmantel. Die Höhe der einbeschriebenen Zylinder ist x, der Radius des Grundkreises ist y. a) Der Kegel mit dem einbeschriebenen Zylinder wird längs der Kegelachse geschnitten. Zeichne die Schnittfigur. b) Zeige, dass für die Mantelfläche der einbeschriebenen Zylinder in Abhängigkeit von x gilt: M(x) 10 x x 1. c) Es gibt einbeschriebene Zylinder mit der Mantelfläche 45. Ermittle rechnerisch die zugehörige Belegung für x. 6. In einer Urne befinden sich acht gleichartige, aber unterschiedlich gefärbte Kugeln; fünf Kugeln sind blau, die restlichen sind gelb. Diana zieht dreimal hintereinander je eine Kugel, ohne sie wieder in die Urne zurückzulegen. a) Zeichne ein beschriftetes Baumdiagramm. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht Diana A: nur gleichfarbige Kugeln? B: zwei blaue Kugeln und eine gelbe Kugel? C: abwechselnd verschiedenfarbige Kugeln? GM_A0798 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0798)

19 / G8 1. Vereinfache für 0 90 soweit wie möglich: tan 1 tan sin cos.. Gib für 30 jeweils die exakten Werte von sin, cos und tan an. 3. Ein Schiffsmast wurde vom Sturm geknickt. Seine Spitze berührt den Schiffsboden 8 m vom Mast entfernt. Der abgeknickte Teil des Mastes schließt mit dem noch verbliebenen Teil einen Winkel von 75 ein. Skizziere vereinfacht die Situation und berechne die ursprüngliche Höhe des Mastes. 4. Aus einem h 1cm hohen Prisma mit einem regelmäßigen Sechseck als Grundfläche wird ein Quader mit quadratischer Grundfläche und gleicher Höhe h herausgeschnitten. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt a 5cm, eine Sechseckseite ist s 8 cm lang. Berechne das Volumen des Hohlkörpers auf eine Dezimalstelle genau. 5. Aus einem Kegel (Radius R, Kegelhöhe H) wird ein konzentrischer Kegel (r, h) mit gleichem Öffnungswinkel so ausgebohrt, daß die Spitzen H/ voneinander entfernt sind und in die gleiche Richtung zeigen. Welches Volumen hat der Restkörper? 6. Das Hotel bei der EuroMedClinic in Fürth hat die Form einer regelmäßigen Pyramide mit quadratischer Grundfläche, Seitenlänge a 40m, und eine Höhe von h 3m. Zeichne ein Schrägbild im Maßstab 1:500 und q 0,5. Berechne die Mantelfläche und das Volumen der Pyramide. 7. Aus einer Truhe mit 8 schwarzen und 6 braunen Socken entnimmt ein Mann im Dunkeln (um seine noch schlafende Frau nicht zu wecken) nacheinander Socken. a) Zeichne ein zu diesem Zufallsexperiment entsprechendes Baumdiagramm. Beschrifte alle Verzweigungen mit den jeweiligen Einzelwahrscheinlichkeiten in vollständig gekürzter Bruchform. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der zwei gleichfarbige Socken entnommen werden. GM_A0799 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0799)

20 / G8 1. Vereinfache für 0 90 soweit wie möglich: sin tan sin 90.. Bestimme mithilfe einer Konstruktion möglichst exakt den Winkel für den gilt: cos Am Infostand eines Fernsehturms wird seine Höhe mit 10 m angegeben. In Blicknähe zum Turm steht ein Hochhaus. Peilt man vom Dach und vom Boden aus jeweils die Spitze des Fernsehturms an, so erhält man die Winkel 3 und 38 (vgl. Skizze). Berechne: a) den Abstand des Fernsehturms vom Hochhaus. b) die Höhe des Hochhauses. 4. Das Rechteck ABCD mit AB 6 cm und BC 4 cm ist Grundfläche einer 10 cm hohen Pyramide. Die Spitze liegt dabei senkrecht über dem Mittelpunkt M der Grundkante [AD]. a) Zeichne ein Schrägbild der Pyramide für q 0,75 und 45. Die Kante [CD] soll dabei auf der Schrägbildachse s liegen b) Berechne das Maß des Winkels, den die Seitenfläche ABS mit der Grundfläche einschließt. c) Berechne das Maß SCM. 5. Franz möchte mit 34 m Maschendraht einen rechteckigen Platz für seinen Hund einzäunen. Die eingezäunte Fläche grenzt an eine 6m lange Garage (siehe Skizze). Stelle einen Term für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit einer Seitenlänge (a oder b) auf, und bestimme die Maße des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt. 6. Welchen (spitzen) Winkel schließt der Graph der Funktion f: y,5x 1mit der x - Achse ein? Berechne den Wert auf 1 Dezimalstelle. 7. Beim Biathlon müssen die Athleten 5 Schüsse abgeben. Der norwegische Biathlet Emil Hegle Svendsen hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 9%, das heißt, bei jedem seiner Schüsse ist die Wahrscheinlichkeit zu treffen jeweils 9%. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit schießt er bei seinen 5 Schüssen mindestens einmal daneben? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er bei seinen 5 Schüssen genau dreimal? GM_A0800 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0800)