B. Schaltalgebra, Kombinatorische Logik

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1 B. Schaltalgebra, Kombinatorische Logik B.1. Einordnung Elektrische Grundgesetze & Signale. Zustandslose logische Funktionen. Entwurf & Optimierung. Signalausbreitung. Höhere Informatik Systemprogrammierung: - Betriebssystemkonzepte, Ein- & Ausgabe E Architektur: - Recherarchitektur, Instruktionssatz, Mikroarchitektur F G K H J I Digitaltechnik Rechnerarithmetik: - Zahlendarstellung, Operatoren, Konvertierung... Digitale Schaltungen: - Zustandsmaschinen, Zähler, ALU, PLA, Optimierung Digitale Logik: - Gatter, digitale Signale, Signalausbreitung... C D B Elektronik A-1 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

2 B.2. Digitale elektrische Schaltungen B.2.1 Einfache Lampenschaltung Strom kann nur bei geschlossenem Stromkreis fließen. Schalter mit zwei Zuständen: Schalter aus : Lampe bleibt dunkel Strom fließt nicht. Schalter ein : Lampe leuchtet Strom fließt A-2 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

3 B.2.2 Einfache Serieschaltung Zwei Schalter in Reihe, vier Zustände. Lampe leuchtet nur dann, wenn der erste und der zweite Schalter geschlossen sind. Nur dann A-3 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

4 B.2.3 Einfache Parallelschaltung Zwei parallele Schalter, vier Zustände. Lampe leuchtet, wenn der erste oder der zweite Schalter geschlossen sind. A-4 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

5 B.2.4 Komplexere Schaltung N Schalter, 2N Zustände. Wann leuchtet die Lampe? => (((A or B) und D) or (C und E) ) und ((( F or G or H) und K ) or (I or J )) A-5 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

6 B.2.5 Logische Interpretation physikalischer Grössen Bisher: Stromkreis, Schalter und Lampe Modellvorstellung: Zustand der Schalter Schaltung bzw. Anordnung der Schalter Ausgabe- Signale Zwei Zustände aus dem Blickwinkel der binären Logik: wahr oder falsch, true oder false, 0 oder 1. Schaltfunktion Argumentvariablen Funktionswerte A-6 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

7 B.2.6 Elektronisch/physikalische Realisierung der Zustände: Unterschiedlichste Technologien möglich: mechanisch, optoelektronisch, elektromechanisch => heute überwiegend elektronisch, Fluidics. Abbildung der binären Zustände: Kontakt hergestellt oder Kontakt offen, 0 Volt oder -5 Volt Spannung, Transistoren als Schalter => Elektrische Ladung, Magnetisierung => Perforation, Licht, Bio... A-7 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

8 B.3. Digitale logische Systeme B.3.1 Elementare logische Funktionen Logische Funktion tritt in den Vordergrund: Elektronik wird weniger wichtig, Konjunktion, Disjunktion, Negation, UND, ODER, NOT... Wahrheitstabellen ( Truth Tables ): UND ODER NOT A B Y A B Y A Y Komplexere Funktionen durch zusammengeschaltete Funktionen/Gatter A-8 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

9 B.3.2 Und-Gatter ( AND-Gate ) Das Resultat Y ist true, falls Eingabe A true ist und Eingabe B true ist. Implementieren die Konjunktion von zwei oder mehr Eingabevariablen: zwei Parameter: mehrere Parameter: A B Y A A 1 A 2 A 3... A N... B Y A B & Y Alternative Schreibweisen: Y = A & B Y = A B Y = A B Y = A B Y = A 1 & A 2 & A 3 &... & A N Y = A 1 A 2 A 3... A N Y = A 1 A 2 A 3... A N Y = A 1 A 2 A 3... A N Y A-9 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

10 B.3.3 Oder-Gatter ( OR-Gate ) Das Resultat Y ist true, falls Eingabe A true ist oder Eingabe B true ist. Implementieren die Disjunktion von zwei oder mehr Eingabevariablen: zwei Parameter: mehrere Parameter: A B Y A A 1 A 2 A 3... A N... B Y A B Y Y Alternative Schreibweisen: Y = A B Y = A B Y = A + B Y = A B Y = A 1 A 2 A 3... A N Y = A 1 A 2 A 3... A N A-10 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

11 B.3.4 Nicht-Gatter ( NOT-Gate ) Das Resultat Y ist true, genau wenn Eingabe A false ist. Implementieren die Negation/Komplement: Nur ein Parameter ist sinnvoll, NOT als unärer Operator. A Y A Y A Y A Y Alternative Schreibweisen: Y = A Y = A Y =! A Y = A A-11 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

12 B.3.5 Realisierung einer Gatterfunktion Aufbau eines Und-Gatters z.b. elektrische Implementierung mit Relais kein Stromfluss möglich => 0 Stromfluss möglich => 1 Y A B A-12 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

13 B.3.6 Logische Schaltungen Zusammenschalten mehrere elementarer Gatter zu einer Schaltung: Im allgemeinen mehrere Eingänge und mehrere Ausgänge, Y = (!B & C) (A & B) (!A & B & C) (A &!B &!C) X = (!B & C) (!A & B) A-13 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

14 B.3.7 Logische Schaltungen: Beispiel 2: A X B C Y Problemkreise: NOT ( A & B ) oft billiger als ( A & B ), Nachweis der Äquivalenz von Schaltungen, Synthese von Schaltungen aus Wahrheitstabelle, minimaler Aufbau von Schaltungen (Kostenersparnis), => Boole sche Algebra. A-14 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

15 B.4. Boolesche Algebra Von George Boole 1854 entwickelte Algebra drei Operationen: + und und (bzw. und & und! ) zwei Werte: 0 und 1 Vier Axiome (nach Huntington, 1904): 1. Neutrale Elemente 0 und 1: A + 0 = A A 1 = A 2. Komplementäres Element: A + A = 1 A A = 0 3. Kommutativität: A + B = B + A A B = B A 4. Distributivität: A ( B + C) = A B + A C A + ( B C) = ( A + B) ( A + C) A-15 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

16 B.4.1 Wichtige Sätze Aus den Axiomen beweisbar, evtl. mittels einer Wahrheitstafel... Doppeltes Komplement: ( A ) = Komplementäre Werte: 0 = 1 ; 1 = 0 Idempotenz: Absorption: Satz von De Morgan: A A A = A; A + A = A ( A + B) = A ; A + ( A B) = ( A B) = A + B ; ( A + B) = Assoziativität: A ( B C) = ( A B) C; A + ( B + C) = ( A + B) + Abgeschlossenheit: Boolesche Operationen liefern nur boolesche Werte als Ergebnis Dualität Für jede aus den Axiomen ableitbare Aussage gibt es eine duale Aussage, die durch Tausch der Operationen + und sowie durch Tausch der Werte 0 und 1 entsteht. C A A B A A-16 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

17 B.4.2 Schaltalgebra Boolesche Algebra für logische Schaltungen Zustand 0 bzw. false, Zustand 1 bzw. true, Operation NICHT bzw.,,! : = Operation ODER bzw. +,, : = Operation UND bzw.,, & : = Gesetze der Booleschen Algebra helfen bei Synthese von Schaltungen aus Wahrheitstabellen Nachweis der Äquivalenz von Schaltungen Minimisierung von Schaltungen A-17 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

18 B.5. Schaltfunktionen Zweiwertige Funktion über zweiwertige Variablen: a Schaltfunktion f( a ) ( 0, 1 ) Allgemein: eindeutige Zuordnungsvorschrift zwischen den Wertekombinationen der Eingabevariablen und dem jeweiligen Ergebniswert bei n Eingabevariablen 2n Kombinationsmöglichkeiten für mögliche Eingabewerte Darstellung der Funktion durch boolesche Ausdrücke: Variablen und Operationen aus der booleschen Algebra, z.b. : f ( a, b, c) = a b + c A-18 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

19 B.5.1 Wahrheitstafeln Tabellarische Darstellung der Zuordnung: f ( a, b, c) = a b + c a b c f(a,b,c) Anzahl der verschiedenen n-stelligen Schaltfunktionen: 256 dreistellige Schaltfunktionen, 16 zweistellige Schaltfunktionen, 4 einstellige.. A-19 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

20 B.5.2 Vier einstellige Schaltfunktionen Name: Argument Null Negation Identität Eins Wahr- a f(a) f(a) f(a) f(a) heits tafel: Ausdruck: B.5.3 Sechzehn zweistellige Schaltfunktionen f i (a, b) Name: a b f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 Wahr heits tafel: Ausdruck: 0 > a < b = b a 1 A-20 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

21 Funktionsnamen & -semantik: f0: Nullfunktion, f(a,b) = 0 f1: UND-Funktion, Konjunktion, logisches Produkt, f(a,b) = a & b = a b f2: Nur-Funktion, f(a,b) = a &!b f3: Links-Identität, f(a,b) = a f4: Nur-Funktion, f(a,b) =!a & b f5: Rechts-Identität, f(a,b) = b f6: XOR-Funktion, Exklusives Oder, Antivalenz,, f(a,b) =!(a=b) f7: ODER-Funktion, Disjunktion, logische Summe, f(a,b) = a b f8: NOR-Funktion, Peirce-Funktion, Negiertes ODER, f(a,b) =!(a b) f9: Äquivalenz-Funktion, f(a,b) = (a=b) f10: Rechts-Negation, f(a,b) =!b f11: Links Implikation, f(a,b) = a+!b = a b f12: Links-Negation, f(a,b) =!a f13: Rechts-Implikation, f(a,b) =!a+b = a b f14: NAND- bzw. Sheffer-Funktion, Negiertes UND, f(a,b) =!(a & b) f15: Einsfunktion, f(a,b) = 1 A-21 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

22 B.5.4 Sheffer-Funktion (NAND) Ist in der Lage alle anderen Schaltfunktionen zu realisieren NAND (und NOR) leicht in Hardware realisierbar. Die drei grundlegenden Funktionen und alle anderen sind darstellbar: NICHT: ODER: UND: Neben der Sheffer-Funktion bildet auch die Peirce-Funktion (NOR) alle anderen Funktionen nach. A-22 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

23 B.6. Darstellungsformen von Schaltfunktionen Wahrheitstabelle (NAND): A B Y Boolescher Ausdruck:!(A & B) bzw.!a!b Schaltung mit elementaren Gattern (UND, ODER, NICHT) oder mit anderen Gattern (XOR, NAND, NOR...): Problem der Mehrdeutigkeit: boolescher Ausdruck und Schaltung sind nicht eindeutig mehrere Ausdrücke (Schaltungen) repräsentieren die gleiche Schaltfunktion => Normalformen A-23 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

24 B.6.1 Normalformen: Normierte Ausdrücke zur Darstellung von Schaltfunktionen. Produktterm: einfache Variable (evtl. negiert) Konjunktion einfacher Variablen (jeweils evtl. negiert) z.b.: a, c, abc, b d z, a b c Summenterm: analog zu Produktterm, jedoch Disjunktion z.b.: a, c, b d z, a + b + c, a b c Minterm: Produktterm, in dem jede Variable einer Schaltfunktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert): Hat fast immer den Wert 0 ( meistenfalls ), z.b.: ab cd, a b c d falls f ( a, b, c, d) Maxterm: Summenterm, in dem jede Variable einer Schaltfunktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert): Hat fast immer den Wert 1, z.b.: u + v + w, u + v + w falls f ( u, v, w) A-24 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

25 disjunktive Normalform (DNF): Disjunktion von Produkttermen z.b.: ab abc cd kanonische disjunktive Normalform (KDNF): Disjunktion von Mintermen alle Variablen der Schaltfunktion kommen vor, z.b.: ab cd abcd abcd abcd falls f ( a, b, c, d) konjunktive Normalform (KNF): Konjunktion von Summentermen, z.b.: ( a + b) ( b + c + d) ( a + d) kanonische konjunktive Normalform (KKNF): Konjunktion von Maxtermen, alle Variablen der Schaltfunktion kommen vor, z.b.: ( a + b + c + d) ( a + b + c + d) ( a + b + c + d ) falls f ( a, b, c, d) A-25 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

26 B.6.2 Hauptsätze der Schaltalgebra KDNF & KKNF sind bis auf Vertauschungen eindeutig (Kommutativität) Jede Schaltfunktion lässt sich als genau eine KDNF darstellen Für jedes f(x)=1 aus der Wahrheitstafel bilde man einen Minterm für die KDNF. Eine Variable xi wird invertiert, wenn die Variable für diesen Eintrag in der Wahrheitstabelle 0 ist, ansonsten einfach verwendet. Jede Schaltfunktion lässt sich als genau eine KKNF darstellen Für jedes f(x)=0 aus der Wahrheitstafel bilde man einen Maxterm für die KKNF. Eine Variable x i wird invertiert, wenn die Variable für diesen Eintrag in der Wahrheitstabelle 1 ist, ansonsten einfach verwendet. A-26 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

27 Überführung der kanonischen Normalformen ineinander: Auf Grund der obigen Konstruktionregeln (Dualität...) gilt: und KDNF( f( x ) ) = KKNF( f( x ) ) KKNF( f( x ) ) = KDNF( f( x ) ) Erläuterung am konkreten Beispiel einer ODER-Funktion: Resultatsvektor und distributive NF aus Wahrheitstafel: KDNF( ODER(x) ) = KDNF( [0, 1, 1, 1] ) = x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 Resultatsvektor invertieren... KDNF( ODER(x) ) = KDNF( [0, 1, 1, 1] ) = KDNF( [1, 0, 0, 0] ) = x 1 x 2 KDNF( ODER(x) ) = x 1 x 2 = x 1 + x 2 = x 1 + x 2 (De Morgan) KKNF( ODER(x) ) = KKNF( [0, 1, 1, 1] ) = (x 1 + x 2 ) A-27 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

28 B.7. Synthese von Schaltungen B.7.1 Vorgehen (ODER als Beispiel): 1. Aufstellen der Wahrheitstafel, 2. Bilden der KDNF (oder KKNF), 3. Aufbau der dazugehörigen Schaltung, Beispiel: zweistellige ODER-Funktion (siehe oben): KKNF( ODER(x) ) = a + b KDNF( ODER(x) ) = a b + a b + a b a b bzw. a b Vorsicht: Schaltung wird in aller Regel nicht minimal sein. A-28 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

29 B.7.2 Beispiel 2: Eingabemelder Meldet, welche der 3 Eingabevariablen gesetzt ist. Zwei dreistellige Schaltfunktionen: Genau eine der Eingabevariablen kann 1 sein, Ergebnis ist Nummer der Eingabevariable, (als Ergebnis zweier Schaltfunktionen). Wahrheitstafel (d für do not care ): a b c f2(a, b, c) f1(a, b, c) # d d d d d d d d KDNF(f2) = abc + abc KDNF(f1) = abc + abc A-29 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

30 B.7.3 Beispiel: Siebensegmentanzeige Typische Anzeige für Ziffern. Eingabe-Parameter: binär codierte Zahl bzw. Ziffer. Gesucht: Schaltfunktionen zur Ansteuerung der Segmente. z.b. Schaltfunktion für die Ansteuerung des Segmentes d. A-30 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

31 B.7.4 Aufstellung der Wahrheitstafel für Segment d: x3 x2 x1 x0 f(x3, x2, x1, x0) # Minterm x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x d a d b d f A-31 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

32 B.7.5 Äquivalenz und Kanonische Normalformen Schaltfunktionen sind dann äquivalent, wenn sie sich auf dieselbe KDNF oder KKNF zurückführen lassen, wenn sie dieselbe Wahrheitstafel haben. KDNF bzw. KKNF eindeutig bis auf Vertauschungen (Kommutativität). KDNF für Anzeige-Segment d: (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) nur 1-Werte betrachten, Nullen und don t care -Werte ignorieren, Die vorliegende KDNF ist sicherlich nicht minimal, ungeeignet zur Übertragung in eine kostengünstige Schaltung. KKNF dazu: (x3 + x2 + x1 + x0) (x3 + x2 + x1 + x0) (x3 + x2 + x1 + x0) Weniger Terme, evtl. billiger als KDNF, Aber noch nicht günstig. A-32 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

33 B.8. Umformungen nach Gesetzen der Boole schen Algebra Das Verhalten der Schaltfunktion bleibt unverändert. Nutzen: Nach Umformung eventuell günstigere/minimalere SF. Regeln aus C.4.1. (wiederholt): Doppeltes Komplement, Komplementäre Werte, Satz von De Morgan, Abgeschlossenheit, Assoziativität, Idempotenz, Absorption, Dualität. Ergänzende Regel: a b + a b = a (b + b) = a 1 = a A-33 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

34 B.8.1 Minimisieren von Schaltfunktionen Suche nach einer minimalen Darstellung einer Schaltfunktion Was heisst minimal? - Größenbegriff notwendig: Verzögerung der logischen Signale durch die Schaltung? Anzahl der notwendigen Kontakte, Menge der notwendigen Gatter, Anzahl der notwendigen ICs, Anzahl der Variablen, Anzahl Euros, Kosten... Verzögerung? Minimisierung in der Technischen Informatik: (Darstellung der Verfahren üblich, weil diese sich so schön formalisieren lassen), Anzahl der erforderlicen booleschen Operationen als Kriterium, Flexiblere Kriterien in Optimierungsprogrammen. & + + & & + & A-34 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

35 B.8.2 Verfahren der Minimisierung Manuelles Minimisieren Umformen (z.b. der KDNF) nach den Regeln der Booleschen Algebra. Graphische Verfahren Händlersche Kreisgraphen Karnaugh-Veitch Diagramme geeignet für Schaltfunktionen mit wenigen Variablen. Algorithmisches Verfahren Verfahren nach Quine/McCluskey kann durch ein Programm angewandt werden geeignet für Schaltfunktionen mit vielen Variablen. Optimierende Programme: Kombinieren die simultane Erzeugung mehrerer Schaltfunktionen, Berücksichtigen die beabsichtigte Implementierungstechnologie, Evtl. Ermittlung zeitkritischer Pfade in der Schaltung, Komplexere aber realistische Kostenfunktion, PLA Programmierung. A-35 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

36 B.8.3 Manuelle Minimisierung einer ODER-Funktion Vergleiche C.7.1. KDNF( ODER(x) ) : = a b + a b + a b = a b + a ( b + b) = a b + a 1 = a b + a = a b + a + a b = ( a + a) b + a = b + a (Distributivität, Komplementarität, Absorption) a b bzw. a b A-36 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

37 B.9. Karnaugh-Veitch-Diagramme Ausgangspunkt KDNF (oder KKNF) Rechteckschema je ein Feld für jeden möglichen Minterm (Maxterm) Anordnung der Felder erleichtert zusammenfassen benachbarter Felder bzw. Minterme Diagramm für zweistellige Schaltfunktion Funktion: f(a, b ) Diagramm: Vier Minterme für vier Felder. a a b a b a b b a b a b A-37 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

38 B.9.1 Diagrammaufbau jede Variable halbiert das Diagramm in zwei zusammenhängende Teile, linker Teil für a rechter Teil für a: a a b a b a b b a b a b Variable a a a b a b a b b a b a b Variable b benachbarte Felder unterscheiden sich nur um das Vorzeichen einer Variablen in den beiden Mintermen. A-38 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

39 B.9.2 Beispiel: Oder-Funktion Aufstellen der KDNF. Eintragung in das Diagramm: Eintragung einer 1, wenn Minterm benötigt wird, Eintragung einer 0, wenn Minterm nicht benötigt wird, Eintragung auch direkt aus Wahrheitstafel möglich. a a b 0 1 b 1 1 Markierung: möglichst weniger und möglichst großer zusammenhängender Bereiche mit 1en nur zusammenhängende rechteckige Bereiche mit 2n Elementen erlaubt alle 1 Felder müssen schließlich markiert sein Markierte Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: F( a, b ) = a + b a a b 0 1 b 1 1 A-39 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

40 B.9.3 Dreistellige Schaltfunktion mit Karnaugh-Veitch Karnaugh-Veitch-Diagramm für die dreistellige Schaltfunktion: Die einzelnen Variablen definieren eine eigene Halbierung des Diagramms Vorstellung: Diagramm ist an den Rändern zusammengeklebt, die Bereiche für!b gehören zusammen!a a!c c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c!b b!b A-40 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

41 B.9.4 Beispiel: Eingabemelder Belegen des Diagramms aus der Wahrheitstafel für f2 aus C.7.2 Wahrheitstafel für Eingabemelder, Eintragung der don t care -Werte:!a a!c c 0 1 d 1 0 d d d!b b!b Markieren: Ziel: möglichst große Bereiche markieren don t care -Werte können mitmarkiert werden oder nicht, markierte don t care -Werte werden später zu 1, andere zu 0. markierte Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: => f2( a, b, c ) = a + b A-41 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

42 B.9.5 Karnaugh-Veitch-Diagramm für vierstellige Schaltfunktion Vier verschiedene Halbierungen durch die vier Variablen. 16 verschiedene Minterme.!a a!c c abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd!d d!d!b b!b A-42 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

43 B.9.6 Beispiel: 2x2-Multiplizierer Binärer Multiplizierer für 2 mal 2 Eingänge Linker Operand: zwei Eingänge a und b, Rechter Operand: zwei Eingänge c und d Binärdarstellung von Zahlen von 0 bis 3 bzw. 0 bis 15 vier Ausgänge y3, y2, y1 und y0, bzw. f3, f2, f1, f0. Mult a b c d y3 y2 y1 y0 0 x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = A-43 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

44 Markierungsregeln: rechteckige Bereiche mit 2n Elementen markieren Diagramm gilt als oben und unten zusammengenäht alle 1-Werte müssen markiert werden möglichst große Bereiche markieren möglichst wenig Bereiche markieren Karnaugh-Veitch-Diagramm für y0: a y0 = bd c d b Karnaugh-Veitch-Diagramm für y1: a y1 = bcd+abc+acd+abd c d b A-44 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

45 Karnaugh-Veitch-Diagramm für y2: a y1 = abc+acd c d Karnaugh-Veitch-Diagramm für y3: b a y1 = abcd c d b A-45 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

46 B.10. Schaltnetze B.10.1 Allgemein Erzeugen mehrere Schaltfunktionen simultan: Vgl. die Beispiele Eingabemelder, 2*2 Multiplizierer... Englisch: Combinational Networks, Eingangs- & Ausgangsvektor: f ( x ) = f 1 =( x 1, x 2,... x n ) f 2 =( x 1, x 2,... x n )... f m =( x 1, x 2,... x n ) Entspricht einer Schaltung mit mehreren Eingängen & Ausgängen: x 1 x 2 x 3... f 1 ( x ) f 2 ( x )... x n f m ( x ) A-46 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

47 B.10.2 Systematik digitaler Schaltungen Ungetaktet Getaktet nur eine Fkt. Mehrere Fkt. <= Anzahl der Schaltfunktionen kombinatorische Logikschaltung sequentielle Logikschaltung kombinatorisches Schaltnetz sequentielles Schaltnetz Taktfolge Sequentielle Logik erst im nächsten Kapitel D: Zustandswechsel jeweils zum Taktzeitpunkt, Relevante innere Zustände... A-47 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

48 B.10.3 Realisierung von Schaltnetzen über die Normalform Schaltnetz als gerichteter, azyklischer Graph: Gatter, bzw. deren Ein- und Ausgänge sind Knoten Verbindungsleitungen zw. Gattern sind Kanten, Richtung der Kanten von Ausgang zu Eingang. Gatterebenen: Einstufige mit nur einer Gatterebene: zweistufige mit zwei Gatterebenen: mehrstufige mit n Gatterebenen: Jedes Schaltnetz ist zweistufig realisierbar, und wenn Gatter mit genügend vielen Eingängen vorliegen, wenn alle Signale einfach & negiert vorliegen. A-48 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

49 Anzahl der notwendigen Gatter bei n Eingängen max. 2n Und-Gatter pro Schaltfunktion mit bis zu n Eingängen (KDNF) ein Oder-Gatter mit bis zu 2n Eingängen Begründung mit KDNF: auch bei einer nicht kanonischen Normalform, DNF / KNF implizieren 2-stufige Realisierung, Variablen werden einfach oder negiert benutzt, Und-Gatter pro Minterm (erste Stufe), Oder-Gatter für alle Minterme, Hier Eingabemelder. Minimisierung nun parallel: reduziert die Gatteranzahl, reduziert Anzahl Eingänge pro Gatter, für mehrere Schaltfunktionen des Schaltnetzes, Simultane Verwendung von Teilen der Gatterschaltung. z.b. Karnaugh-Veitch-Diagr. für mehrere Schaltfunktionen des Netzes. A-49 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

50 B.11. Typische Schaltnetze B aus-k-Multiplexer, Selektierer Steuerleitungen weisen Eingabeleitungen wahlweise einem Ausgang zu: Die Steuerleitungen werden binär interpretiert, i = Summe( 2 n s n s 1 + s 0 ) Als Ausgabe y wird x i selektiert. Eingänge x0... xk Ausgang y Steuerleitungen s n... s 0 A-50 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

51 Realisierung als DNF für 2 Binärstellen, ( n = ): Einsatzmöglichkeiten: insbesondere zur Selektierung von Eingangsoperanden für die ALU in MIPS-CPU, allgemein zur Anzeige und Auswahl verschiedener Datenquellen. A-51 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

52 B zu-k-Demultiplexer Steuerleitungen weisen ein Eingabesignal dem gewählten Ausgang zu: Die Steuerleitungen werden binär interpretiert, i = Summe( 2 n s n s 1 + s 0 ) Die Funktion bzw. Ausgabevariable y i erhält den Wert x, Alle anderen y j entweder 0 oder do not care. Eingang x Ausgänge y0... yk Steuerleitungen s n... s 0 A-52 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

53 Realisierung als DNF für zwei Binärstellen (n = 0..1): y 0 = s 1 s 0 x; y 1 = s 1 s 0 x; y 2 = s 1 s 0 x; y 3 = s 1 s 0 x; x y 0 y 1 y 2 s 0 s 1 y 3 A-53 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

54 Einsatzmöglichkeiten für Mux & Demux: Zuordnung und Auswahl verschiedener Datensenken (CPU Register, E/A-Geräte), Verteilung von Telephongesprächen (unrealistisch): z.b. 2 Mbit/sec Demux z.b. 256*64 kbit/sec (max. 32 aktive ISDN Telephone) 8 Steuerleitungen z.b. 2 Mbit/sec Mux z.b. 256*64 kbit/sec (max. 32 aktive ISDN Telephone) 8 Steuerleitungen Multiplexer heisst so ungefähr Vielfachschaltung : Multiplexen = Vielfachbetrieb einrichten, zusammenfächern, Demultiplexen = Vielfachbetrieb auflösen. auseinanderfächern. A-54 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

55 B.11.3 k-zu-n-kodierer, Encoder, Codierer Index i eines Eingangs x i wird ausgegeben: n ist die Anzahl der Binärstellen des Resultates (z.b. n=3), k ist der Indexbereich für die Eingänge, Eingänge (x 0, x 1,... x k-1 ) = x, k = 2 n genau eine Eingangsleitung auf 1 (x i ), Ausgänge (y 0,... y n-1 ) = y Ausgabe des Index i als Binärzahl: Index i = Summe( 2 n-1 y n y 1 + y 0 ) x 0 x 1 x 2 x 3... x k-1 Encoder y 0 y 1.. y n-1 z.b. 8 Interrupt-Requests werden als 3-Bit Wert codiert & weitergegeben. A-55 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

56 Einfache Einsatzmöglichkeit: Anzeige der Fensterkontakte einer Einbrechermeldeanlage, Zwei Lämpchen für 3 Kontakte/Stromkreise, Kontakt 0 unbenutzt... Realisierung als DNF für n = 2, k = 4 : A-56 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

57 B.11.4 n-zu-k-dekodierer, Decoder, Dekodierer n Eingänge selektieren genau einen von k Ausgängen: immer genau eine Ausgangsleitung auf 1, wenige Eingänge (x 0,... x n-1 ) = x viele Ausgänge (y 0, y 1,... x k-1 ) = y, k = 2 n Zahlendarstellung im Binärsystem: Index i = Summe( 2 n-1 x n x 1 + x 0 ) y o y 1 x o... x n-1 Decoder y 2 y 3... y k-1 A-57 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

58 Realisierung für n = 2, k = 4 als DNF: Einsatzmöglichkeit: Instruktionsdecodierung: 6 Bit Opcode kann 64 verschiedene Instruktionen codieren. A-58 Technische Informatik 2, Winter 2008/09, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm