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1 Analytical Methods in HR & Organization WS 2011/2012 Universität Wien Foliensammlung Prof. Dr. Heike Y. Schenk-Mathes Alle Rechte vorbehalten. Dieses Manuskript ist nur für den internen Gebrauch des Empfängers bestimmt. Nachdruck oder fotomechanische Wiedergabe nur mit schriftlicher Genehmigung g des Verfassers. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtes.

2 Gliederung (1) 1 Einführung 2 Grundbegriffe der Entscheidungstheorie 2.1 Arten von Entscheidungstheorien 2.2 Elemente eines Entscheidungsmodells 2.3 Basis-Axiome und Grundmodell der Entscheidungstheorie 2.4 Dominanz und Effizienz Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1

3 Gliederung (2) 3 Individualentscheidung bei Unsicherheit 3.1 Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne 3.2 Entscheidung bei Risiko Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten μ-regel und (μ, σ)-prinzip Bernoulli-Kriterium (Erwartungsnutzentheorie) Vorgehensweise Risikonutzenfunktion und Risikoeinstellung Axiome rationalen Verhaltens Kompatibilität einfacher Entscheidungskriterien mit dem Bernoulli-Prinzip Entscheidung bei variablem Informationsstand Das klassische Informationswertkonzept Erweiterungen 3.3 Entscheidung bei unvollständiger Information Unvollständige Information über die Wahrscheinlichkeiten Unvollständige Information über die Nutzenfunktion Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1

4 Gliederung (3) 3.4 Mehrstufige Entscheidungen Entscheidungsprinzipien Optimierung von Entscheidungsspielräumen 4 Experimente zum individuellen Entscheidungsverhalten bei Unsicherheit und deskriptive Entscheidungstheorie Ergebnisse zu Experimenten 4.2 Ansätze der deskriptiven Entscheidungstheorie Prospect-Theorie Rangabhängige Nutzentheorie Kumulative Prospect-Theorie Theorien mit kontextabhängiger Bewertung Vergleich der Ansätze mit der Erwartungsnutzentheorie t th Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1

5 Gliederung (4) 5 Entscheidungen in Gruppen Zur Bedeutung von Gruppenentscheidungen 5.2 Abstimmungsregeln in der Praxis 5.3 Strategisches Verhalten bei der Abstimmung 5.4 Zur Ermittlung einer fairen Abstimmungsregel 6 Spieltheoretische Grundlagen 6.1 Grundbegriffe 6.2 Gleichgewichtskonzepte Verhandlungslösungen 6.4 Experimente zum strategischen Verhalten Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1

6 Gliederung (5) 7 Ausgewählte Konzepte zur Steuerung mehrerer Entscheidungsträger in Organisationen 7.1 Explizite Verhaltensnormen:Teamtheorie 7.2 Anreizsysteme zur Allokation zentraler Ressourcen Weitzman-Schema Sh Beteiligung am Gesamterfolg Groves-Mechanismus Vickrey-Auktion 7.3 Relative Leistungsturniere Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1

7 Literaturverzeichnis Eisenführ, F., T. Langer und M. Weber (2001): Fallstudien zu rationalem Entscheiden. Berlin u.a. Eisenführ, F., M. Weber und T. Langer (2010): Rationales Entscheiden. Berlin u.a., 5. Aufl. Ewert, R. und A. Wagenhofer (2008): Interne Unternehmensrechnung. Berlin u.a., 7. Aufl. Frank, R. (2005): Microeconomics and Behavior. Boston u.a., 6. Aufl. Holler, M.J. und G. Illing (2000): Einführung in die Spieltheorie. Berlin u.a., 4. Aufl. Hwang, Ch.-L. und K. Yoon (1995): Multiple Attribute Decision Making. Thousand Oaks. Kräkel, M. (2010): Organisation und Management. Tübingen, 4. Aufl. Laux, H., R. Gillenkirch und H. Schenk-Mathes (2012): Entscheidungstheorie. Berlin u.a., 8. Aufl. Laux, H. und F. Liermann (2005): Grundlagen der Organisation. Berlin u.a., 6. Aufl. Milgrom, P. und J. Roberts (1992): Economics,Organization and Management. Englewood Cliffs, New Jersey. Raiffa, H. (1973): Einführung in die Entscheidungstheorie. München. Rapoport, A. (1998): Decision Theory and Decision Behavior. Houndmills u.a., 2. Aufl. Rasmusen, E. (2001): Games & Information. Malden, Massachusetts, 3. Aufl. Resnik, M. D. (1987): Choices. An Introduction to Decision Theory. Minneapolis, London. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1

8 Abschnitt 2 2 Grundbegriffe der Entscheidungstheorie 2.1 Arten von Entscheidungstheorien 2.2 Elemente eines Entscheidungsmodells 2.3 Basis-Axiome und Grundmodell der Entscheidungstheorie 2.4 Dominanz und Effizienz Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2

9 Arten von Entscheidungstheorien Arten von Entscheidungstheorien präskriptive Entscheidungstheorie Handlungsempfehlungen für reale Entscheidungssituationen deskriptive Entscheidungstheorie Beschreibung und Erklärung tatsächlichen Entscheidungsverhaltens Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.1

10 Entscheidungsmodell Modell: vereinfachtes Abbild der Realität Man unterscheidet nach der Art der Aussage in Beschreibungsmodelle, Erklärungsmodelle und Entscheidungsmodelle. Elemente eines Entscheidungsmodells d Zielfunktion Entscheidungsfeld Ergebnisse Handlungs- alternativen ti Umwelt- zustände Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.2

11 Messung und Skalierung nominale Messung ordinale Messung kardinale Messung nominale Skalierung (keine Ordnung über Objekte) ordinale Skalierung (Ordnung über Objekte, nicht über Bewertungsunterschiede, invariant gegenüber monotonen Transformationen) - Ranking - Rating kardinale Skalierung (Ordnung über Bewertungsunterschiede, Interpretation der Differenzen möglich) - Intervallskala (Nullpunkt und Skaleneinheit beliebig wählbar, invariant i gegenüber positiv linearen Transformationen) - Verhältnisskala (Skaleneinheit beliebig wählbar, invariant gegenüber proportionalen Transformationen) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.2

12 Erwartungsstrukturen Erwartungsstrukturen Sicherheit nur ein möglicher Zustand Unsicherheit Risiko Wahrscheinlichkeits- urteil liegt vor Unsicherheit i.e.s. Wahrscheinlichkeits- urteil nicht gegeben Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.2

13 Zielfunktion Eine Zielfunktion besteht aus einer Präferenzfunktion, die jeder Alternative eindeutig einen Präferenzwert zuordnet, und einem Zielkriterium: Maximierung, Minimierung, Satisfizierung oder Fixierung. Man kann die Präferenzfunktion stets so definieren, dass von der Maximierungsvorschrift ausgegangen werden kann. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.2

14 Basis-Axiome der Entscheidungstheorie Ordnungsaxiom Für zwei beliebige Ausprägungen einer Zielgröße z i und z j gilt: j z i z j oder z i z j oder z i z j. Transitivitätsaxiom Für drei beliebige Ausprägungen einer Zielgröße z i,z j und z k gilt: Aus z i z j und z j z k folgt z i z k, aus z i z j und z j z k folgt z i z k sowie aus z i z j und z j z k folgt z i z k. Existenz einer ordinalen Wertfunktion: Ist das Ordnungs- und Transitivitätsaxiom für eine endliche Menge von Ausprägungen g einer Zielgröße erfüllt, so existiert eine Funktion v(z), für die gilt v(z ) i v(z ) z j i z j. Die Funktion v(z) heißt ordinale Wertfunktion. Durch die Ermittlung der Wertfunktion erfolgt eine ordinale Skalierung. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.3

15 Festlegung einer Präferenzfunktion Entscheidung bei Sicherheit und einer Zielgröße: Mit der Existenz einer ordinalen Wertfunktion als Präferenzfunktion ist die Auswahl einer optimalen Alternative möglich. Probleme bei der Festlegung einer Präferenzfunktion (und damit Zielfunktion): mehrere Zustände mehrere Zielgrößen mehrere an der Entscheidungsfindung beteiligte Personen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.3

16 Grundmodell der Entscheidungstheorie A a : Alternative a, a = 1,..,A S s : Umweltzustand s, s = 1,..,S w(s s ): Wahrscheinlichkeit h hk it für den Umweltzustand t s, s = 1,..,S e as : Ergebnis bei Wahl der Alternative a im Zustand s, a = 1,..,A, s = 1,..,S Ergebnismatrix bei Risiko: S 1 S 2.. S s.. S S w(s 1 ) w(s 2 ).. w(s s ).. w(s S ) A 1 e 11 e 12.. e 1s.. e 1S A 2 e 21 e 22.. e 2s.. e 2S A a e a1 e a2.. e as.. e as A A e A1 e A2.. e As.. e AS Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.3

17 Dominanz und Effizienz Annahmen für Abschnitt 3: - Individualentscheidung bei Unsicherheit und einer Zielgröße - Existenz einer Wertfunktion für die Zielgröße, Verwendung des Ergebnisses als Wert für die Zielgrößenausprägung - Der Entscheider schätzt die Ausprägung der Zielgröße um so höher ein, je größer der Wert bzw. das Ergebnis ist. Definition: Dominanz bei Unsicherheit und einer Zielgröße Eine Alternative A 1 dominiert eine andere Alternative A 2, wenn das Ergebnis bei Wahl der Alternative A 1 in keinem Zustand schlechter und in mindestens einem Zustand besser ist als bei Wahl der Alternative A 2. Definition: Effizienz bei Unsicherheit und einer Zielgröße Eine Alternative heißt effizient, wenn sie von keiner anderen Alternative dominiert wird. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.4

18 Entscheidungsregel und Entscheidungsprinzip Entscheidungsregel: g Eine Entscheidungsregel gibt die Ermittlung einer optimalen Alternative exakt vor. Die Präferenzfunktion ist festgelegt. Eine andere Person kann für den Entscheider eine optimale Alternative ermitteln. Entscheidungsprinzip: Es werden Eigenschaften der Präferenzfunktion definiert. Der Entscheider muss einzelne Parameter der Präferenzfunktion jedoch noch festlegen. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.4

19 Literaturhinweise zu Abschnitt 2 Ausführungen zu den Grundbegriffe der Entscheidungstheorie finden sich in Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2012), Kapitel I und II, und Eisenführ/Weber/Langer (2010), Kapitel 1 und 2. Methoden zur Generierung von Alternativen sind in Eisenführ/Weber/Langer (2010) aufgeführt, für die in Eisenführ et al. (2001) Fallstudien (A und B) zu finden sind. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.4

20 Abschnitt 3 3 Individualentscheidung bei Unsicherheit 3.1 Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne 3.2 Entscheidung bei Risiko 3.3 Entscheidung bei unvollständiger Information 3.4 Mehrstufige Entscheidungen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3

21 Unsicherheit im engeren Sinne (1) Ausgangsentscheidungsmatrix: S 1 S 2 S 3 S 4 Min Max A A A (A( a ): Präferenzwert der Alternative a Maximin-Regel (Wald-Regel): (A a ) = Min e as Max! s a Maximax-Regel: (A )=Maxe Max! a as s Hurwicz-Prinzip: (A a ) = Max e as + (1-)Min e as Max! mit 0 1 s s a Niehans-Savage-Regel: (A a ) = Max ((Max e js ) - e as ) Min! s j a S Laplace-Regel: (A a ) = e as Max! s=1 a a Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.1

22 Unsicherheit im engeren Sinne (2) Beurteilung: Maximin-Regel (Wald-Regel): - extrem pessimistischer Entscheider - nur ein Ergebnis pro Alternative Maximax-Regel: - extrem optimistischer Entscheider - nur ein Ergebnis pro Alternative Hurwicz-Prinzip: - Festlegung des Optimismusparameters - nur zwei Ergebnisse pro Alternative Niehans-Savage-Regel: - sinnvoll bei Rechtfertigung im Nachhinein - irrationale Zielvorstellungen Laplace-Regel: - Abgrenzung der Zustände für die Bewertung nicht irrelevant - Beurteilung wie bei Erwartungswertkriterium Entscheidung bei Risiko Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.1

23 Abschnitt 3 3 Individualentscheidung bei Unsicherheit 3.1 Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne 3.2 Entscheidung bei Risiko Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten μ-regel und (μ, σ)-prinzip Bernoulli-Kriterium (Erwartungsnutzentheorie) Vorgehensweise Risikonutzenfunktion und Risikoeinstellung Axiome rationalen Verhalten Kompatibilität einfacher Entscheidungskriterien mit dem Bernoulli-Prinzip Entscheidung bei variablem Informationsstand Das klassische Informationswertkonzept Erweiterungen 3.3 Entscheidung bei unvollständiger Information 3.4 Mehrstufige Entscheidungen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3

24 Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten (1) 1. symmetrieabhängige Interpretation 2. frequentistische (oder statistische) Interpretation 3. subjektivistische Interpretation Bedingungen an die Wahrscheinlichkeit w(e) für das Ereignis EM (mit M als Menge der Elementarereignisse): 1. Nichtnegativitätsbedingungen: w(e) 0 für EM. 2. Normierungsbedingungen: 2a. Das sichere Ereignis i M hat die Wahrscheinlichkeit h hk it 1: w(m) = 1. 2b. Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0: w() = Additivitätsbedingungen: w(e i E j ) = w(e i ) + w(e j ) für alle E i M, E j M mit E i E j = Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.1

25 Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten (2) Multiplikations- und Additionsregeln: Seien E i und E j zwei stochastisch abhängige Ereignisse, so gilt für die Wahrscheinlichkeit w(e i E j ) des Ereignisses E i und E j : w(e i E j)= w(e i ) w(e j E i ) = w(e j ) w(e i E j ) Seien E i und E j zwei stochastisch unabhängige Ereignisse, so gilt für die Wahr- scheinlichkeit w(e i E j ) des Ereignisses E i und E j : w(e i E j )= w(e i ) w(e j ) Seien E i und E j zwei einander nicht ausschließende Ereignisse, so gilt für die Wahrscheinlichkeit w(e i E j ) des Ereignisses E i oder E j : w(e i E j )= w(e i ) + w(e j ) - w(e i E j ) Seien E i und E j zwei einander ausschließende Ereignisse, so gilt für die Wahrscheinlichkeit w(e i E j ) des Ereignisses E i oder E j : w(e i E j )= w(e i )+w(e) j ) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.1

26 Theorem von Bayes w(s s ): Wahrscheinlichkeit h hk it für den Zustand s, s=1,..,s w(i i ): Wahrscheinlichkeit für das Informationsergebnis i, i=1,..,i w(i i S s ): Wahrscheinlichkeit für das Informationsergebnis i unter der Bedingung, dass der Umweltzustand s eintritt Ermittlung der bedingten Wahrscheinlichkeiten w(s s I i ): w (S w (S s ) w (I i S s ) w (I ) S s Ii ) mit w (Ii ) w (S s ) w (Ii S s ) i s 1 für s=1,..,s und i=1,..,i. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.1

27 Methoden zur Festlegung von subjektiven Wahrscheinlichkeitsurteilen Was bedeutet es ist wahrscheinlich, es ist gut möglich, es ist damit zu rechnen? Von Person zu Person unterschiedlich Transformation von Glaubwürdigkeitsvorstellungen in Wahrscheinlichkeiten: Unterscheidung der Methoden nach der Befragungstechnik direkt indirekt nach Art der Abfrage Wahrscheinlichkeitsabfragen Wertabfragen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.1

28 Erwartungswertkriterium S (A a ) = a = w(s s ) e as Max! M! s=1 a Zustandsbaum für das Petersburger Spiel: 0,5 0,5 K 05 0,5 K 0,5 K K 0,5 0,5 Z 0,5 Z 05 0,5 Z 2 3 GE Z 2 2 GE 2GE ad infinitum Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.2

29 Beurteilung des Erwartungswertkriteriums Erwartungswert bei einmaliger Entscheidung: sinnvoll bei Risikoneutralität Erwartungswertkriterium tk i im Wiederholungsfall: ll Durchgang Gesamtergebnis 1 1/2 1/2-2 6 durchschnittliches Ergebnis 1/2 1/ /4 1/2 1/4 1/4 1/2 1/ /8 3/8 3/8 1/ /8 3/8 3/8 1/8-2 2/3 10/ /16 1/4 3/8 1/4 1/16 1/16 1/4 3/8 1/4 1/ Das Erwartungswertkriterium bei Anwendung auf das Gesamtergebnis ist bei Nichtrisikoneutralität nicht sinnvoll. Orientiert sich der Entscheider am durchschnittlichen Ergebnis, wird die Standardabweichung mit zunehmender Wiederholung immer kleiner. Daher wäre das Kriterium auch bei Nichtrisikoneutralität sinnvoll anwendbar. Orientierung an Durchschnittsgrößen sinnvoll? Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.2

30 Sicherheitsäquivalent und Risikoabschlag Definition: Sicherheitsäquivalent bei einer Zielgröße Das Sicherheitsäquivalent einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Zielgröße (Alternative) ist definiert als derjenige sichere Zielgrößenwert, der aus Sicht des Entscheiders der Verteilung äquivalent ist. Das Sicherheitsäquivalent ist also der sichere Wert, den man dem Entscheider bieten müsste, damit er gerade bereit ist, auf die unsichere Alternative zu verzichten. Definition: Risikoabschlag Der Risikoabschlag einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Zielgröße ist definiert i als der Erwartungswert t vermindert um das Sicherheitsäquivalent h it i t der Verteilung. Das Sicherheitsäquivalent und der Risikoabschlag sind subjektive Größen und damit abhängig von der Risikoeinstellung des Entscheiders. Das Sicherheitsäquivalent einesrisikoneutralen -Entscheiders ist gleich dem Erwartungswert, der Risikoabschlag beträgt Null. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.2

31 (Prinzip ( A a ) ( a, a S a w(ss ) e s1 ) as, mit S a w(ss ) (eas a ) s ( a, a ) 2a 2 S 1 S 2 a, 2 a, a ) 2a 3 ( a 2 a a 1 a, a ) 2 a, a ) w(s 1 )=0,5 w(s 2 )=0,5 A A A A ,5-9 a Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.2

32 (Prinzip: Indifferenzkurvensystem bei Risikoaversion Indifferenzkurvensystem für das (Prinzip: Eine Indifferenzkurve zu einem Präferenzwert ist der geometrische Ort jener (-Kombinationen, die zu diesem Präferenzwert führen. =0 =2 12 A 4 A 3 =3,5 =4 Für unsichere Alternativen gilt: SÄ a < a 2 A 1 A 2 SÄ SÄ = SÄ 2 = 2 Schenk-Mathes - WS 2011/ = 4 Risikoaversion: monoton steigende Indifferenzkurven Abschnitt 3.2.2

33 (Prinzip: Indifferenzkurvensystem bei Risikofreude und Risikoneutralität A A a A a a SÄa a =SÄ a Risikofreude: monoton fallende Indifferenzkurven SÄ a > a Risikoneutralität: Indifferenzkurven parallel zur Ordinate SÄ a = a Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.2

34 Bernoulli-Prinzip (Erwartungsnutzentheorie) S (A a ) = EU a = w(s s )u(e as ) Max! M! s =1 u( ): Risikonutzenfunktion Die Risikonutzenfunktion ordnet Ergebnissen, die als Vermögenspositionen anzugeben sind, Nutzen zu. a Ausgangsbeispiel: S 1 w(s 1 )=0,2 S 2 w(s 2 )=0,6 S 3 w(s 3 )=0,2 A A a a Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

35 Zur Ermittlung der Risikonutzenfunktion mit Hilfe der Basis-Referenz-Lotterie e : schlechtestes Ergebnis ē : bestes Ergebnis Basis-Referenz-Lotterie (BRL) w* ē Sicherheitsäquivalent 1 - w* e ~ SÄ* EU (BRL) = u(sä*) w* u(ē) + (1 w*) u(e) = u(sä*) Nutzenfunktion mit Intervallskala (Nullpunkt und Skaleneinheit beliebig wählbar): u(ē) = 1, u(e) = 0 u(sä*) = w* Bernoulli-Befragung: Für SÄ* werden die übrigen möglichen Ergebnisse eingesetzt und jeweils w* vom Entscheider angegeben. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

36 Mittelwert-Kettungs-Methode (1) 0,5 05 0,5 ē e u(e 0,5 ) = 0,5 ~ e 0,5 0,5 e 0,5 0,5 ē ~ e 0,25 ~ e 0,75 e 0,5 e 0,5 u(e 0,25 ) = 0,25 u(e 0,75 ) = 0, ,5 Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

37 Mittelwert-Kettungs-Methode (2) u(e) 1 0,75 tatsächliche Angaben Approximation 05 0,5 0,25 e e 0,25 e 0,5 e 0,75 ē e Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

38 Risikonutzenfunktion bei Risikoaversion u(e) u(e 2 ) 0,5u(e 1 ) +0,5u(e 2 ) =EU=u(SÄ) Beispiel: 0,5 e 1 u(e 1 ) 0,5 e 2 e 1 SÄ e 2 e Risikoaversion: (streng) konkave Risikonutzenfunktion Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

39 Risikonutzenfunktion bei Risikoneutralität u(e) u(e 2 ) 0,5u(e 1 ) +0,5u(e 2 ) =EU=u(SÄ) Beispiel: 0,5 0,5 e 1 e 2 u(e 1 ) =SÄ e 1 e 2 e Risikoneutralität: lineare Risikonutzenfunktion Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

40 Risikonutzenfunktion bei Risikofreude u(e) u(e 2 ) Beispiel: 0,5 e 1 0,5u(e 1 ) +0,5u(e 2 ) =EU=u(SÄ) 0,5 e 2 u(e 1 ) e 1 SÄ e 2 e Risikofreude: (streng) konvexe Risikonutzenfunktion Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

41 Stärke der Risikoaversion Annahme: u(e) zweifach differenzierbar, u (e) 0 Maß für die absolute Risikoaversion (Arrow/Pratt) : r (e) u''(e) u'(e) Vergleich von zwei mit Unsicherheit behafteten Alternativen A 1 und A 2 = A 1 + V (Alle Ergebnisse der Alternative A 1 werden um den Betrag V > 0 erhöht) r(e) konstant : SÄ 2 = SÄ 1 + V, d.h. konstante Risikoabschläge r(e) steigend : SÄ 2 < SÄ 1 + V, d.h. mit V steigende Risikoabschläge r(e) fallend : SÄ 2 > SÄ 1 + V, d.h. mit V sinkende Risikoabschläge Maß für die relative Risikoaversion: R(e) r(e) e Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

42 Zur Schreibweise Lotterien mit zwei möglichen Ergebnisse: Lotterie L: w 1-w e 1 e 2 oder L = [e 1,w,e 2 ] Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

43 Das Axiomensystem nach Luce/Raiffa (1) 1. Ordinales Axiom a. Ordnungsaxiom: Für zwei beliebige Ergebnisse e i und e j gilt: e i e j oder e i e j oder e i e j. b. Transitivitätsaxiom: Für drei beliebige Ergebnisse e i, e j und e k gilt: Aus e i e j und e j e k folgt e i e k, aus e i e j und e j e k folgt e i e k sowie aus e i e j und e j e k folgt e i e k. 2. Stetigkeitsaxiom Für jedes Ergebnis e mit eee kann eine Wahrscheinlichkeit 0<w<1 angegeben werden, so dass e[e,w,e] erfüllt ist. 3. Substitutionsaxiom Wird in einer Verteilung ein Ergebnis e durch eine Lotterie [e 1,w,e 2 ] ersetzt, wobei e[e 1,w,e 2 ] gilt, so ist die ursprüngliche Verteilung der neuen äquivalent. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

44 Das Axiomensystem nach Luce/Raiffa (2) 4. Reduktionsaxiom Eine zusammengesetzte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist einer einfachen äquivalent, sofern jedes Ergebnis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt. 5. Monotonieaxiom Für zwei Lotterien [e,w 1,e] und [e,w 2,e] mit den gleichen Ergebnissen (ee) gilt: [e,w 1,e][e,w 2,e] für w 1 w 2, [e,w 1,e][e,w 2,e] für w 1 w 2 und [e,w 1,e][e,w 2,e] für w 1 = w Transitivitätsaxiom bezüglich Handlungsalternativen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

45 Axiomensystem und Bernoulli-Prinzip A 1 A 1 0,2 0,6 02 0, , ,6 ~ ~ 0, A 2 A 2 0,2 06 0,6 0,2 Annahme: , ~ 0,6 ~ 0,2 0,2 u(25) + 0,6 u(25) < 0,2 + 0,6 u(15) + 0,2 u(15) A 1 ~A 1, A 2 A 1 A 2 A 1 A 1 A A 1 ~ A 1, A 2 ~ A 2, A 2 A 1 A 2 ~ A 2, A 2 A 1 A 2 A Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

46 Bedeutung der Axiome Bedeutung der Axiome für die Anwendbarkeit des Bernoulli-Prinzips: i i Ordinales Axiom und Stetigkeitsaxiom: Sind diese Axiome erfüllt, so kann nach dem Bernoulli-Prinzip entschieden werden. Substitutionsaxiom, Reduktionsaxiom, Monotonieaxiom und Transitivitätsaxiom bezüglich Handlungsalternativen: Sind diese Axiome erfüllt, ist es sinnvoll, nach dem Bernoulli-Prinzip zu entscheiden. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

47 Weitere Axiomensysteme Darstellung mit Hilfe des Unabhängigkeitsaxiom: Werden zwei Lotterien L 1 und L 2 jeweils in identischer Weise mit einer dritten Lotterie L über eine Zufallsauswahl kombiniert, bei der die Lotterie L jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1-p gespielt wird, so gilt: L1 L2 pl 1(1p) L pl 2 (1p) L Das Unabhängigkeitsaxiom gg kann - das Reduktionsaxiom - das Substitutionsaxiom und - das Monotonieaxiom ersetzen. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

48 Zusätzliches Axiom Dem Bernoulli-Prinzip liegen Anforderungen implizit zugrunde, die als selbstverständlich vorausgesetzt werden. Diese impliziten Voraussetzungen sollen im Folgenden explizit gemacht, indem als zusätzliches Axiom das sogenannte Invarianzaxiom eingeführt wird. Invarianzaxiom: Verschiedene Darstellungen derselben Wahlsituation führen zu identischen Präferenzen über die Alternativenmenge (Darstellungsinvarianz). Zudem hat die Art (bzw. die Prozedur) der Erhebung von Präferenzen keinen Einfluss auf die Präferenzen selbst (Prozedurinvarianz). Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

49 Einfache Entscheidungskriterien im Lichte des Bernoulli-Prinzips: Lineare Nutzenfunktion Die -Regel ist mit dem Bernoulli-Prinzip kompatibel, wenn die Risikonutzenfunktion linear verläuft, mithin der Entscheider sich im relevanten Bereich risikoneutral ik verhält. Lineare e Nutzenfunktion: u t u(e) α e β, α 0, β beliebig eb EU a S s1 w(s s ) u(e as ) S s1 w(s s ) (α e as β) α μ a β Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.4

50 Quadratische Nutzenfunktion Das (,)-Prinzip ist mit dem Bernoulli-Prinzip kompatibel, wenn von einer quadratischen Risikonutzenfunktion ausgegangen wird: u(e) e 2 e mit e 2 für <0 oder e 2 für >0. Herleitung der passenden (,)-Regel EU S S 2 a w(ss ) u(eas ) w(ss ) [ eas eas] s1 s1 Zwischenschritt: S S 2 w(ss ) eas w(ss ) eas s1 s1 S S a w(ss ) (eas a ) w(ss ) (eas 2easa a ) s 1 s 1 S s1 w(s s ) e 2 as 2 a 2 2 a S s1 w(s s ) e 2 as 2 a 2 a EU a ( 2 a 2 a ) a ( a, u '(e) 2e 0 e 2 0 u''(e) 2 0 a ) Risikoaversion Risikofreude Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.4

51 Exponentielle Nutzenfunktion Das (,)-Prinzip ist mit dem Bernoulli-Prinzip kompatibel, wenn das Ergebnis normalverteilt ist. Für die exponentielle Nutzenfunktion und Normalverteilung gilt: EU a u( a 2 2 a ) u(e) Verlauf einer exponentiellen Nutzenfunktion u(e) exp( e) mit >0 e -1 Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.4

52 Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem (1) Annahmen: 1. Der Entscheider ist risikoneutral und orientiert sich nur an der Zielgröße Gewinn. 2. Die Informationsbeschaffung bezieht sich nur auf das Wahrscheinlich- keitsurteil über die Umweltentwicklung, die Höhe der Gewinne in den einzelnen Zuständen vor Berücksichtigung von Informationskosten ändert sich nicht. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

53 Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem (2) Symbole: G as : Gewinn bei Wahl der Alternative a im Zustand s, a = 1,..,A, s = 1,..,S, E: Erwartungswert des Gewinns ohne zusätzliche Information, I i : E(I i ): EI: WI: w(s s ): Informationsergebnis i, i = 1,..,I, Erwartungswert des Gewinns bei Vorliegen des Informationsergebnisses i, i =1,..,I, Erwartungswert des Gewinns bei Informationsbeschaffung, Informationswert, a priori-wahrscheinlichkeit für den Umweltzustand s, s = 1,..,S, w(s s I i ): a posteriori-wahrscheinlichkeit für den Umweltzustand s unter der Bedingung, dass I i das Ergebnis der Informationsbeschaffung ist, s = 1,..,S, i = 1,..,I. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

54 Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem (3) Zur Ermittlung des Informationswertes: E Max a S s1 E(I ) Max i I a WI EI E. w(s S s1 s w(s EI w(ii ) E(Ii ), i1 ) G s as, I ) G i as, Die Informationsbeschaffung ist aus Sicht eines risikoneutralen Entscheiders von Vorteil, wenn der Wert der Information größer ist als die Kosten der Informationsbeschaffung. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

55 Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem (4) Behauptung: Der Informationswert kann nicht negativ sein. Beweisskizze: E WI Max a S s1 EI E w(s I s ) G as w(i ) Max S s1 S i a i1 s1 w(s s w(s ) G s âs, I ) G i as S s1 w(s s ) G âs. Wegen w(s I s ) w(ii ) w(ss Ii ) i1 kann man dafür auch schreiben WI I i1 w(ii ) Max a S s1 w(s s I ) G i as S s1 w(s s I ) G i âs 0. q.e.d. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

56 Beschaffung von Informationen und Risikoaversion des Entscheiders EU: Erwarteter Nutzen ohne zusätzliche Information EUI: Erwarteter Nutzen bei Informationsbeschaffung unter Berücksichtigung der Informationskosten K : Informationskosten Fall 1: K = 0 S EU(Ι ) Max w(s Ι ) u(g ) EUI w(i ) EU(I ) i a Es gilt stets EUI EU. Fall 2: K>0 EU(I ) Max i a s i as s 1 i 1 S w(s I ) u(g K) EUI s i as s 1 i 1 I I i w(i ) EU(I ) Der Wert der Information ist jener Betrag K, bei dem EUI = EU gilt, der Entscheider mithin indifferent ist zwischen der Entscheidung ohne und mit Information. i i i Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt

57 Abschnitt 3 3 Individualentscheidung bei Unsicherheit 3.1 Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne 3.2 Entscheidung bei Risiko 3.3 Entscheidung bei unvollständiger Information Unvollständige Information über die Wahrscheinlichkeiten Unvollständige Information über die Nutzenfunktion 3.4 Mehrstufige Entscheidungen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3

58 Entscheidung bei unvollständiger Information über die Wahrscheinlichkeiten (1) Unvollständige Information über die Wahrscheinlichkeiten: w: Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße W(I): Menge der möglichen Verteilungen bei Vorliegen der Informations- situation I. Eine Alternative A i wird einer Alternative A j vorgezogen, wenn gilt S w(s ) u(e is ) s1 S S ( w(s ) u(e ) für alle ww(i) und s s js ) s1 w(s ) u(eis ) S s w(ss ) u(e js ) s1 s1 für mindestens ein w. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.1

59 Entscheidung bei unvollständiger Information über die Wahrscheinlichkeiten (2) Die Menge der möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen lässt sich mit Hilfe von Restriktionen bezüglich des Wahrscheinlichkeitsurteils beschreiben. Denkbar sind die folgenden Restriktionstypen: Restriktionen des Typs 1: Der Entscheider kann zwar nicht die Höhe der Wahrscheinlichkeit für einen Zustand angeben, er ist jedoch in der Lage anzugeben, welcher Zustand bei einem Vergleich von zwei Zuständen eine höhere Wahrscheinlichkeit h hk it aufweist, z.b. w(s l ) w(s k ). Restriktionen des Typs 2: Der Entscheider ist in der Lage, für einen Zustand Unter- und/oder Obergrenzen für die Wahrscheinlichkeit anzugeben, d.h. w(s k ) w(s k ) w(s k ). Natürlich ist weiterhin zu beachten, dass Wahrscheinlichkeiten nicht negativ sein dürfen und dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten über die Zustände gleich Eins sein muss. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.1

60 Entscheidung bei unvollständiger Information über die Wahrscheinlichkeiten (3) LP-Ansatz zum Vergleich zweier Alternativen: Zielfunktion: Z S s1 w(ss ) (u(e is) u(e js)) Restriktionen des Typs 1: w(s l ) w(s k ) und/oder Restriktionen des Typs 2: w(s k ) w(s k ) w(s k ), S s1 w(s s ) 1 w(s s ) 0 für s = 1,..,S., A i A j Max Z 0 und Min Z 0 A i A A j Max Z 0 und Min Z 0 Gilt Max Z 0 und Min Z 0, so ist noch keine Aussage bezüglich der Präferenz möglich. Um zu einer eindeutigen Präferenz zu gelangen, müssen die Restriktionen weiter eingeschränkt werden. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.1

61 Entscheidung bei unvollständiger Information über die Nutzenfunktion (1) Unvollständige Information über die Nutzenfunktion (nur bei Nichtrisikoneutralität relevant): u: Nutzenfunktion U(I): Menge der möglichen Nutzenfunktionen bei Vorliegen der Informationssituation I. Eine Alternative A i wird einer Alternative A j vorgezogen, wenn gilt S w (S ) u(eis ) s1 S S s w(ss ) u(e js ) s1 w(ss ) u(eis) w(ss ) u(e js ) s1 s1 S für alle uu(i) und für mindestens ein u. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.2

62 Entscheidung bei unvollständiger Information über die Nutzenfunktion (2) Auf Grund der nichtlinearen Nutzenfunktionen ist die Beschreibung der Menge U mit linearen Restriktionen problematisch und damit der LP-Ansatz nicht anwendbar. Wenn die Nutzenfunktion nicht bekannt ist, kommt man gegebenenfalls mit Dominanzkonzepten weiter: Auch wenn keine weiteren Informationen über die monoton steigende Nutzenfunktion vorliegen, kann bei stochastischen Dominanz erster Ordnung eine optimale Alternative gewählt werden. Ist der Entscheider risikoavers, liegt mithin eine streng konkave Nutzenfunktion vor, kann man auf das Konzept der stochastischen Dominanz zweiter Ordnung zurückgreifen. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.2

63 Stochastische Dominanz erster Ordnung E: Menge der möglichen Ergebnisse (e) : F a Wahrscheinlichkeit, mit der das Ergebnis e bei Wahl der Alternative a überschritten wird Nutzenfunktionen verlaufen monoton steigend. A i dominiert A j gemäß der stochastischen Dominanz erster Ordnung, wenn gilt F(e) F (e) 0 i F(e) F (e) 0 i j j für für alle e E und mindestens ein e E. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.2

64 Stochastische Dominanz erster Ordnung: Beispiel Risikoprofile F a (e) Ergebnis Wahrscheinlichkeit kumuliert Differenz A 1 A 2 F 1 (e) F 2 (e) F 1 (e)-f 2 (e) e 5 0, e 4 0,2 0,2 0,1 0 0,1 e ,2 03 0,3 03 0,3 02 0,2 01 0,1 1 e 2 0,3 0,2 0,5 0,5 0 e 1 0,2 0,3 0,8 0,7 0,1 0,8 0,6 0,4 0,2 e 1 e 2 Alternative 1 Alternative 2 e 3 e 4 e 5 e Der Erwartungsnutzen der Alternative 1 ist stets größer als der der Alternative 2, und zwar unabhängig von der Nutzenfunktion bzw. Risikoeinstellung. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.2

65 Stochastische Dominanz zweiter Ordnung: Beispiel Risikoprofile F a (e) 1 Wahrscheinlichkeit kumuliert Differenz Kumulierte Ergebnis Differenzen A 1 A 2 F 1 (e) F 2 (e) F 1 (e)-f 2 (e) beginnend mit e 1 e 5 0 0, ,1 e 4 0,3 0,1 0 0,1-0,1 0,1 e 3 0,2 0,3 0,3 0,2 0,1 0,2 e 2 0,3 0,2 0,5 0,5 0 0,1 e 1 0,2 0,3 0,8 0,7 0,1 0,1 0,8 0,6 0,4 0,2 Alternative 1 Alternative 2 Annahmen: monoton steigende, streng konkave Nutzenfunktion und e i -e i-1 =konstant für i=2,..,5 i i 1 Der Erwartungsnutzen der Alternative 1 ist stets größer als der der Alternative 2, und zwar unabhängig von der Stärke der Risikoaversion. e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.2

66 Abschnitt 3 3 Individualentscheidung bei Unsicherheit 3.1 Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne 3.2 Entscheidung bei Risiko 3.3 Entscheidung bei unvollständiger Information 3.4 Mehrstufige Entscheidungen Entscheidungsprinzipien Optimierung von Entscheidungsspielräumen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3

67 Entscheidungsprinzipien bei Mehrstufigkeit (1) Ausgangspunkt: Eine Entscheidung kann in Teilentscheidungen zerlegt werden, die z.b. zeitlich nacheinander erfolgen. Zwischen den Teilentscheidungen bestehen Abhängigkeiten. Entscheidungsprinzipien: Starre Planung: Ermittlung einer Folge von Entscheidungen (die für alle Umweltentwicklungen gleich ist) Flexible Planung: Ermittlung einer Anfangsentscheidung und Eventualplänen für zukünftige Zeitpunkte Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.1

68 Entscheidungsprinzipien bei Mehrstufigkeit (2) Rollende Planung: 1.Jahr 2.Jahr 3.Jahr 4.Jahr 5.Jahr Detailplanung Grobplanung 2.Quartal 1.Jahr 3.Quartal 1.Jahr 4.Quartal 1.Jahr 1.Quartal 2.Jahr Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.1

69 Beispiel zur flexiblen Planung Planungszeitraum: 2 Wochen Auftragsangebote (Aufträge nicht teilbar): A: ME pro Woche zu 12 pro Stück, Entscheidung sofort B: ME pro Woche zu 13 pro Stück, Entscheidung sofort C: ME in der 2. Woche zu 10 pro Stück, Entscheidung spätestens zu Beginn der zweiten Woche Normalkapazität: ME pro Woche, Zusätzliche Kapazität in der zweiten Woche: ME Zielsetzung: Maximierung des erwarteten Deckungsbeitrags (risikoneutraler Entscheider) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.2

70 Beispiel zur flexiblen Planung (2) Zustandsbaum: 0,8 0,5 günstige Kostensituation 0,2 (gk) 0,5 0,2 gk uk gk Stückkosten (in ) gk uk Normalkapazität 4 6 zusätzlich 8 18 ungünstige Kostensituation (uk) 0,8 uk t=0 t=1 t=2 1. Woche 2. Woche Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.2

71 Beispiel zur flexiblen Planung (3) Entscheidungsbaum: A 117,6 0,5 0,5 gk uk ,2 C+E C+E ,8 96 0,8 0,2 0,8 0,2 0,2 0,8 0,2 gk uk gk uk gk uk gk = = = = = = =112 B 116 0,5 0,5 gk uk C C 99, ,8 0,8 0,2 0,2 uk gk uk gk 48+48= = = =120 0,8 uk =100 Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.2

72 Beispiel zur flexiblen Planung (4) Ergebnismatrix: S 1 S 2 S 3 S 4 0,4 0,1 0,1 0,4 A A A ,6 A ,4 A Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.2

73 Literaturhinweise zu Abschnitt 3 Eine Darstellung und Beurteilung der Entscheidungskriterien bei Unsicherheit h it im engeren Sinne finden sich in Laux/Gillenkirch/Schenk- h k Mathes (2011), Kapitel IV, und Resnik (1987), Chapter 2. Zur Entscheidung bei Risiko vgl. Eisenführ/Weber/Langer (2010), Kapitel 7 und 9, und Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2011), Kapitel V. In Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2012) findet sich das Axiomensystem rationalen Verhaltens von Luce und Raiffa, für das auch das Original herangezogen werden kann: Luce, R.D. und H. Raiffa (1957): Games and Decisions, New York, S und S Zum Informationswertkonzept vgl. Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2011), Kapitel X sowie die dort angegebene Literatur mit den Originalquellen bei Marschak. Konzepte zur Entscheidung bei unvollständiger Information werden in Eisenführ/Weber/Langer (2010), Abschnitte 10.1 und 10.2, beschrieben. Ausführungen zu mehrstufigen Entscheidungen finden sich in Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2011), Kapitel IX. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3

74 Abschnitt 4 4 Experimente zum Entscheidungsverhalten und deskriptive Entscheidungstheorie 4.1 Ergebnisse zu Experimenten 4.2 Ansätze der deskriptiven Entscheidungstheorie Prospect-Theorie Rangabhängige Nutzentheorie Kumulative Prospect-Theorie Theorien mit kontextabhängiger Bewertung 4.3 Vergleich der Ansätze mit der Erwartungsnutzentheorie Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4

75 Ausgewählte Beobachtungen des Entscheidungsverhaltens (1) Framing-Effekt: Durch die Formulierung der Entscheidungssituation werden Wahlhandlungen beeinflusst (siehe z.b. Experiment 1, 3 oder 5). => Widerspruch zum Invarianzaxiom Ursprungsabhängigkeit: Die Bewertung einer Konsequenz hängt davon ab, wie es zu dieser gekommen ist. So ist beispielsweise ein Gewinn von 1000 per Zufall für Menschen in der Regel weniger wert als der Gewinn von 1000 als Auszeichnung für besondere Leistungen. Ankerpunkt-Effekt: Der Entscheider passt seine Wahl ausgehend von einem Startpunkt schrittweise an. Referenzpunkt-Effekt: Die Bewertung von Alternativen vollzieht sich relativ zu einem individuellen Referenzpunkt (siehe z.b. Experiment 8 oder 10). Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.1

76 Ausgewählte Beobachtungen des Entscheidungsverhaltens (2) Besitztumseffekt: Was ich einmal besitze, gebe ich nicht wieder her (siehe z.b. Experiment 9). Verbuchung in mentalen Konten: Durch die Aufteilung (Segregation) oder Zusammenfassung (Integration) von Konsequenzen von Alternativen wird die Bewertung beeinflusst (siehe z.b. Experiment 4). Verlustaversion: Verluste werden stärker negativ empfunden als Gewinne in gleicher Höhe positiv aufgenommen werden. Sunk cost-effekt: Bereits getätigte Ausgaben werden als entscheidungsrelevant angesehen. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.1

77 Ausgewählte Beobachtungen des Entscheidungsverhaltens (3) Beobachtungen zum Wahrscheinlichkeitsurteil: Relevanz der Ambiguitätseinstellung: Die Glaubwürdigkeit von Wahrscheinlichkeiten spielt bei der Bewertung von Alternativen eine Rolle (siehe z.b. Experiment 7). Probleme bei der Ermittlung bedingter Wahrscheinlichkeiten (siehe z.b. Experiment 2) Sicherheitseffekt: Die Differenz zwischen zwei Wahrscheinlichkeiten wird bei dem Übergang auf Sicherheit stärker berücksichtigt als bei geringeren Wahrscheinlichkeiten (siehe z.b. Experiment 6A und 6B). Überschätzung kleiner Wahrscheinlichkeiten Verfügbarkeitseffekt: Häufige Ereignisse werden in ihrer Wahrscheinlichkeit überbewertet. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.1

78 Prospect-Theorie von Kahneman und Tversky Ansatz der deskriptiven Entscheidungstheorie Ausgangspunkt für die Entwicklung neuer Theorien ist das beobachtete Entscheidungsverhalten in der Realität. Phasen der Prospect-Theorie: (1) Editing: Bearbeitung der Alternativen (2) Bewertung: Verwendung einer kardinalen Wertfunktion unter Berücksichtigung eines Referenzpunktes und einer Wahrscheinlichkeitsgewichtung Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1

79 Prospect-Theorie: Editing-Phase zu Phase (1) Hauptoperationen des Editing: - Coding: Festlegung des Referenzpunktes und Bewertung der Ergebnisse als Gewinne bzw. Verluste - Combination: Addition von Wahrscheinlichkeiten gleicher Ergebnisse - Segregation: Abspaltung eines sicheren Betrages (der in allen Ergebnissen enthalten ist) - Cancellation: Eliminierung identischer Elemente bei Alternativen Zusätzliche Operationen: - Simplification: Auf- und Abrunden von Wahrscheinlichkeiten und Ergebnissen - Eliminierung dominierter Alternativen Problem: Einige Operationen können andere verhindern oder überhaupt erst möglich machen! Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1

80 Prospect-Theorie: Bewertungsphase (1) zu Phase (2) a) Wertfunktion: - Festlegung eines Referenzpunktes - streng konkaver Verlauf der Wertfunktion für Gewinne und konvexer Verlauf für Verluste - steilerer Verlauf für Verluste als für Gewinne (Verlustaversion) Wertfunktion v(e) Verlust Gewinn Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1

81 Prospect-Theorie: Bewertungsphase (2) b) Gewichtung der Werte der Ergebnisse ( decision weights ) Wahrscheinlichkeiten Verwendung einer Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion (w) 1 w 1 - Sprungstellen bei 0 und 1 - Überschätzung kleiner und Unterschätzung großer Wahrscheinlichkeiten Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1

82 Prospect-Theorie: Bewertungsphase (3) c) Ermittlung von Präferenzwerten für Alternativen Bt Betrachtet httwerden nur Alternativen ti mit ithöht höchstens zwei von Null verschiedenen Ergebnissen. Eine riskante Alternative heißt strikt positiv bzw. strikt negativ, wenn alle Ergebnisse positiv bzw. negativ sind. Alle anderen Alternativen ti heißen regulär. Für reguläre Alternativen gilt: ( A a ) (w 1 ) v(e a1 ) (w 2 ) v(e a 2 Für den Präferenzwert von strikt negativen bzw. strikt positiven Alternativen mit e a2 <e a1 <0 bzw. e a1 >e a2 >0 gilt dagegen: (A a) v(e a2) (w 1) (v(e a1) v(e a2)) ) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1

83 Prospect-Theorie: Unterschiede zur Erwartungsnutzentheorie Die Prospect-Theorie ist in der Lage, Widersprüche zum Invarianzaxiom und zum Unabhängigkeitsaxiom einzufangen. Die wesentlichen Unterschiede zur Erwartungsnutzentheorie sind: - Existenz einer Editingphase - Verwendung eines Referenzpunktes, der auch von der Darstellung der Entscheidungssituation it ti abhängig ist - Ungleiche Behandlung von Gewinnen und Verlusten durch Verwendung eines Referenzpunktes möglich - Transformation des Wahrscheinlichkeitsurteils Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1

84 Prospect-Theorie: Kritik Erste Kritikpunkte: - Beschränkung auf Lotterien mit höchstens drei Ergebnissen - Wahl von stochastisch dominierten Alternativen möglich Weitere Ansatzpunkte für kritische Anmerkungen: - Verwendung des Modells zur konkreten Vorhersage in komplexen Entscheidungssituationen it ti - Ermittlung des Referenzpunktes (z.b. Berücksichtigung laufender Projekte, Änderungen von Vermögenspositionen während der Abwicklung von ausgewählten Alternativen) - Verlauf der Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion =>Weiterentwicklung zur Cumulative Prospect-Theorie über die rangabhängige Nutzentheorie Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1

85 Rangabhängige Nutzentheorie: Vorgehensweise (1) Veränderung gegenüber der Erwartungsnutzentheorie: Die Gewichtung der Konsequenzen hängt von kumulierten Wahrscheinlichkeiten ab. Vorgehensweise: 1. Ordnung der Konsequenzen und damit auch der Zustände nach aufsteigendem Nutzen 2. Ermittlung der Faktoren p s der Konsequenzen als Differenz der Gewichte der kumulierten Wahrscheinlichkeiten 3. Ermittlung des Präferenzwertes (A a ) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.2

86 Rangabhängige Nutzentheorie: Vorgehensweise (2) (A a ) ERUa ps v(e as ) mit S s1 S S p s ( w(s)) i ( w(s)) i fürs1,..,s 1 und is is1 p S (w(s S)) Dabei gilt: v(e as ): Nutzenwert der Konsequenz e as (mit Rang s in der Ordnung der Konsequenzen) p s : Gewichtungsfaktor für Konsequenzen ( ): monoton steigende Gewichtungsfunktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten mit (0)=0 und (1)=1 Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.2

87 Rangabhängige Nutzentheorie: Beispiel (1) S 1 S 2 S 3 S 4 w(s 1 ) = 0,2 w(s 2 ) = 0,4 w(s 3 ) = 0,3 w(s 4 ) = 0,1 A k ERUk v(20) ( (1) (0,8)) v(40) ( (0,8) (0,4)) v(60) ( (0,4) (0,1)) v(80) (0,1) Für (W)=W² gilt ERU k = v(20) 0,36 + v(40) 0,48 + v(60) 0,15 + v(80) 0,01 Bei der verwendeten Gewichtungsfunktion erhalten die schlechteren Ergebnisse eine höhere Gewichtung und die besseren Ergebnisse eine geringere Gewichtung als die tatsächliche Wahrscheinlichkeit. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.2

88 Rangabhängige Nutzentheorie: Beispiel (2) (W) 1 (W) 1 (1)- (0,8) (0,8)- (0,4) usw. 0,1 0,4 0,8 1 W 1 W (W) streng konvex => Sicherheits-Orientierung Sc e so e e (pessimistischer Entscheider) (W) zunächst konkav, dann konvex => vorsichtige Hoffnung als typischer Verlauf Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.2

89 Cumulative Prospect-Theorie als Erweiterung Erweiterung der Prospect-Theorie zur Cumulative Prospect-Theorie durch Kahneman und Tversky (1992): - Erweiterung auf Lotterien mit mehr als drei Ergebnissen - Verwendung der Idee der rangabhängigen Nutzentheorie unter Beibehaltung der Wertfunktion mit Referenzpunkt - zwei Gewichtungsfunktionen u t e für die kumulierten u Wahrscheinlichkeiten, c e und zwar für Verluste und für Gewinne (Verlauf jeweils nach dem Prinzip vorsichtige Hoffnung ) - Gesamtbewertung einer Alternative = Summe der separaten Bewertung der Gewinne und Verluste - Erweiterung der Theorie auf Entscheidung unter Ungewisshei Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.3

90 Cumulative Prospect-Theorie: Vorgehensweise (1) 1. Ordnung der Konsequenzen und damit auch der Zustände nach aufsteigendem Nutzen e n >0 w(s n ) w(s 1 ) w(s 0 ) w(s -1 ) w(s -m ) e 1 >0 e 0 =0 e -1 <0 Dabei gilt: e n >e n-1 > >e 1 >0>e -1 > >e -m+1 >e -m Anzahl der Zustände: S=n+m+1 e -m <0 2. Ermittlung der Faktoren der Konsequenzen als Differenz der Gewichte der kumulierten Wahrscheinlichkeiten (getrennt für Verluste und Gewinne) 3. Ermittlung des Präferenzwertes (A a ) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.3

91 Cumulative Prospect-Theorie: Vorgehensweise (2) 1 n a s as s as (A ) p v(e ) p v(e ) mit sm s1 s s1 s i i m m p ( w(s )) ( w(s )) für s m1,.., 1 und p (w(s )) im im n n s i i n n p ( w(s )) ( w(s )) für s 1,..,n, 1 und p (w(s ( )) Dabei gilt: is is1 v(e as ): p s / p s : + ( )/ _ ( ): Nutzenwert der Konsequenz e as (mit Rang s in der Ordnung der Konsequenzen) Gewichtungsfaktoren für Konsequenzen monoton steigende Gewichtungsfunktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten mit + (0)= _ (0)=0 und + (1)= _ (1)=1 Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.3

92 Theorien mit kontextabhängiger Bewertung In der Disappointment- und der Regret-Theorie wird die Erwartungsnutzentheorie dahingehend erweitert, dass Enttäuschung oder Bedauern über das Nichterreichen möglicher Ergebnisse berücksichtigt wird (siehe bereits Niehans-Savage-Regel unter Ungewissheit). Die Bewertung von Alternativen erfolgt kontextabhängig entweder - in Abhängigkeit der anderen Konsequenzen der Alternative (Disappointment-Theorie) oder - in Abhängigkeit der Konsequenzen anderer Alternativen (Regret- Theorie). Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.4

93 Regret-Theorie Die Konsequenzen einer Alternative werden den möglichen Konsequenzen einer anderen Alternative gegenüber gestellt. S A,A ws Vv(e ),v(e ER Vv(e ),v(e ) v(e ) Es ist j k s js ks ) s1 V v(e js 0 ) und V v(e ks 0 ) mit js js js Spezielle Darstellung mit einer nicht fallenden Regret-Funktion R, R(0) = 0: ER A S j,ak ws s v(e js ) Rv(e js ) v(eks ) s1 Alternative A j wird gegenüber Alternative A k strikt präferiert, wenn gilt: ER A,A ERA, A j k k j Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.4

94 Regret-Theorie: Beispiel S 1 S 2 S 3 S 4 w(s 1 ) = 0,25 w(s 2 ) = 0,25 w(s 3 ) = 0,25 w(s 4 ) = 0,25 A j A k keine axiomatische Absicherung intransitive Präferenzaussagen bei R(x) = R(-x) Übereinstimmung mit Erwartungsnutzentheorie Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.4

95 Fazit (1) Erwartungsnutzentheorie versus Ansätze der deskriptiven Entscheidungstheorie: Es gibt viele Beispiele dafür, dass Menschen in realen Entscheidungssituationen gegen die Erwartungsnutzentheorie verstoßen. Welche der deskriptiven Theorien beschreibt menschliches h Entscheidungsverhalten nun jedoch am besten? In der Regel konzentrieren sich die deskriptiven Ansätze auf nur einen experimentellen Effekt (z.b. die Prospect-Theorie auf Framing-Effekte und die Regret-Theorie auf Intransitivitäten). 1. Keine der Theorien kann für den allgemeinen Fall als empirisch bestätigt angesehen werden. 2. Im Bereich extremer Wahrscheinlichkeiten schneiden Ansätze mit nichtlinearer Transformation der Wahrscheinlichkeiten besser ab als die Erwartungsnutzentheorie. Und selbstverständlich gilt: Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.3

96 Fazit (2) 3. Je mehr Parameter festzulegen sind, desto mehr empirische Datenmuster können erklärt werden. => Trade-off zwischen Sparsamkeit und Erklärungsgehalt einer Theorie Keine der deskriptiven Ansätze ist in der Lage, alle bisher beobachteten b t Widersprüche zur Erwartungsnutzentheorie in realen Entscheidungssituationen zu erklären. Obwohl insbesondere im Bereich extremer Wahrscheinlichkeiten die Erwartungsnutzentheorie von der Realität abweichende Ergebnisse liefern kann, ist diese Theorie zurzeit der Standardansatz zur Vorhersage menschlichen Entscheidungsverhaltens bei Unsicherheit. Sie ist daher auch die Grundlage für die Ableitung von Empfehlungen für reale Entscheidungssituationen. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.3

97 Literatur zu Abschnitt 4 (1) In Eisenführ/Weber/Langer (2010), Kapitel 14, Frank (2000), Kapitel 8, oder Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2012), Kapitel VI, findet man einen Überblick über typische menschliche Verhaltensweisen in Experimenten zu Individualentscheidungen sowie Darstellungen der theoretischen Ansätze. Literatur zur Experimentellen Ökonomik: Davis, D. D. und C. A. Holt (1993): Experimental Economics, Princeton, New Jersey, Kapitel 2 und 8. Kagel, H. J. und A. E. Roth (1995): Handbook of Experimental Economics, Princeton, New Jersey, Kapitel 8. Originalquellen zur Prospect-Theorie: Kahneman, D. und A. Tversky (1979): Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk, in: Econometrica 47, S Tversky, A. und D. Kahneman (1992): Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty, in: Journal of Risk and Uncertainty 5, S Wakker, P. P. und A. Tversky (1993): An Axiomatization of Cumulative Prospect Theory, in: Journal of Risk and Uncertainty 7, S Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4

98 Literatur zu Abschnitt 4 (2) Originalquellen zur Regrettheorie: Loomes, G. und R. Sugden (1982): Regret Theory: An Alternative Theory of Rational Choice under Uncertainty, Economic Journal, 92, Loomes, G. und R. Sugden (1987): Some Implications of a more Generalized Form of Regret Theory, Journal of Economic Theory, 41, Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4