II. BUCH VIERECKE. 08. Wie geht s weiter: FÜNFECKE

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1 II. BUCH VIERECKE 08. Wie geht s weiter: FÜNFECKE

2 1.. Fünfecke Im ersten Buch wurden die Dreiecke (the english people would say Dreiwinkel ) auf s genaueste untersucht! Dabei ist jedes beliebige Dreieck ein affines Bild des gleichseitigen Dreiecks, das daher zuerst untersucht wird. Aber das reguläre Dreieck ist andrerseits sehr langweilig, das die vielen besonderen Punkte alle in einen einzigen Zentralpunkt zusammenfallen. Im zweiten Buch wurden die Vierecke näher unter die Lupe genommen (und wie sagen die englisch-sprachigen Leute dazu? Nein weniger Vierwinkel, sondern eher Quadrilateral, also Vierseit). Und ist nicht jedes Viereck auch das perspektive Bild eines Quadrats? Analog werden wir bei Fünfecken auch zuerst das reguläre Pentagon untersuchen, das ja ein Teil des pythagoreischen Pentagramm-Symbols ist. Überhaupt scheint jedes Vieleck (Polygon) das Abbild einer Kollineation des entsprechenden regulären n-ecks zu sein. Allerdings möchte ich an dieser Stelle einmal betonen, dass die Realität ja sicherlich nicht euklidisch ist, was ja schon der größte deutsche Mathematiker C.F. Gauß wusste, es aber besser wegen dem Geschrei der Boöter für sich behielt. In Wirklichkeit gibt es streng genommen gar keine ähnlichen Gebilde, sondern jedes Vieleck ist eine Art Individuum. Daher gibt es bei den gleichseitigen Dreiecken unterschiedliche Winkel, je nach der Länge der Seiten

3 Die gleichseitigen Dreiecke sind sich somit gar nicht ähnlich, denn manche haben sogar drei rechte Winkel und 60 Winkel gibt es gar nicht, da die Winkelsumme größer als 180 ist (und wenn auch nur so gering größer, dass es noch niemand nachweisen konnte vgl. I Buch letztes 21-te Kapitel!). Ein Kreis, der zwei innere aneinander liegende Kreise des halben Radius umfasst, wird durch den inneren und äußeren Berührkreis an diese beiden, deren konzentrisches Zentrum S auf dem Schnitt des Ursprungkreises mit der Achse liegt, in vier Punkten geschnitten. Diese bilden zusammen mit dem diametralen Punkt zu S ein regelmäßiges Pentagon. Seine fünf Diagonalen bilden ein Pentagramm 1! Natürlich gibt es auch noch andere Konstruktionen (Coxeter). 1 Bundzeichen der Pythagoräer, magischer Drudenfuß, auch verwendet z.b. bei der sowjetischen und amerikanischen Armee

4 ABC BCD (gleiche Winkel) Betrachten wir nun einmal das reguläre Fünfeck genauer. Zunächst fällt auf, dass die Verbindungen zu jeder zweiten Ecke eine Diagonale ist, und dass die

5 Diagonalen wiederum ein reguläres Pentagon 2 bilden (durch Widerholungen kann man schnell die Güte der gezeichneten Regularität feststellen, wenn etwa das dritte Pentagon gar nicht mehr regelmäßig aussieht) Sodann sollte man bemerken, dass die auftretenden Winkel zwischen den Seiten und Diagonalen stets nur Vielfache von 36 sind, nämlich außer dem 36 -Winkel die 72 und 108! Auch die zentralen Verbindungen schließen eine Winkel ein von 360 : 5 = 2 x 36 Auf Grund der Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und BCD (WWW) ergibt sich, dass sich die Diagonalen der Länge d wechselseitig im Verhältnis des goldenen Schnitts (Sectio divina) teilen, wobei der größere Abschnitt die Pentagonseitenlänge s ist. Addiert man zur diagonalen die Seitenlänge des Fünfecks dazu, dann wird diese vergrößerte Strecke auch wieder gülden geteilt. (d+s) : d = d : s (d+s)s = d² s² + ds d² = 0 Normieren wir die Diagonalenlänge auf 1, dann wir der Bruchteil s zum Verhältnis des goldenen Schnitts, der üblicherweise mit φ bezeichnet wird, also s = φ. φ ² + φ -1 = 0 mit den Lösungen -0,5 ± 1,25 = ± (5/4) -½ = ± 5:: 2 - ½ = ½ (± 5-1) Wir können nur die positive Wurzel verwenden, so dass also φ = ( 5-1) :2 ist. 2 Der Steckungsfaktor ist 2φ -1 2x ,236 Somit wird das zweit kleiner Fünfeck nur 5,6% der Ausgangsseitenlänge haben, das dritte etwa noch 1%

6 Der beim Pentagramm auftretende Goldene Schnitt 3, ist das Teilverhältnis seiner Diagonalen oder auch das Verhältnis der Diagonalen zur Seitenlänge Φ = ½( 5 + 1) 1,618 ϕ ist diejenige Zahl, deren Kehrwert diese um eins verringert: 1/ϕ = ϕ - 1 (Φ - 1) = Φ - 1 und (Φ + 1) = Φ 2 Die Diagonalen teilen sich wechselseitig gülden, eben im diesem irrationalen Verhältnis ½( 5 + 1) bzw. in dessen Kehrwert 1/ Φ = 2 : ( 5+1) = ½( 5+1) - 1 = ½( 5-1) 0,618 = Φ 1 Φ² = ¼( 5+1)² = ¼( )=½( 5+3)= ½( 5+1) +1 = Φ für die schon Euklid eine einfache geometrische Konstruktion beschrieb! Oft wird er mit dem griechischen Buchstaben ϕ (Phi) bezeichnet. phi == (sqrt (5) + 1) / 2 Golden Ratio, Golden Mean oder Golden Section

7 Aus 1/Φ = Φ - 1 (was auch mit klein Phi bezeichnet wird) folgt Φ = 1 + 1/Φ und daher kann man das Phi in den Nennern immer wieder durch (1 + 1/Φ) einsetzen, woraus man den folgenden Kettenbruch erhält: 1 Φ = [1] = /(1+ ) 1, = 1 + φ Da man diese irrationale Zahl am besten durch die rationalen Brüche der abgebrochenen Kettenbrüche annähern kann, ist φ die irrationalste aller Zahle, denn schlechter kann der Kettenbruch nicht konvergieren, als wenn nur die kleinste Zahlen (die Einsen) vorkommen. Die ersten Annäherungen durch den Kettenbruch für klein φ sind 1/(1+1) = 1/2, 1/(1+½) = 2/3, 1/(1+1:(1+½))= 3/5, 1/(1+1:(1+1:(1+½)))= 5/8 und entsprechen der harmonischen Tönen (5 der Sieben 4 ): der Oktave, der Quinte sowie der großen und kleinen Sext Dass dieses goldene Verhältnis der Diagonale zur Fünfeckseite die irrationalste aller irrationalen Zahlen 5! ist, lesen Sie bei (leider ist das Buch nicht mehr lieferbar, weshalb ich einige Seiten zitiere) 4 Die Quarte für ¾ fehlt sowie die große u. kleine Terz für 4/5 und 5/6 5 Speziell für den >>Goldenen Schnitt<< sei Hans Walsers Buch vom EAGLE-Verlag, Edition am Gutenbergplatz, Leipzig, 2004 empfohlen!

8 >>Der goldene Schnitt in der Natur<< von Peter H. Richter und Hans-Joachim Scholz in Bernd Olaf Küppers >>Ordnung aus dem Chaos<<, Prinzipien der Selbstorganisation und Evolution des Lebens; Piper-Verlag

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11 Verwunderung löste die fünfachsige Symmetrie aus, die man bei diversen Mangansalzen fand. Man hielt solche Symmetrien für unmöglich Fand sie aber in sog. Quasikristallen Näheres dazu finden Sie dazu im Kapitel IV 11c. Die Parkettierungen

12 Eng verbunden mit dem Goldenen Schnitt sind die Fibonacci 6 -Zahlen, die man rekursiv als Summe der zwei Vorgänger erhält: F n = F n-1 +F n-2 F 1 = 0+1=1 F 2 = 1+1=2 F 3 = 1+2=3 F 4 = 2+3=5 F 5 = 3+5=8 F 6 = 5+8=13 F 7 = 8+13=21. F 8 = 21+13=34. Das Verhältnis von F n zu seinem Nachfolger F n+1 nähert nämlich den Golden Schnitt φ an: F 1 / F 2 = 1/(1+1) = 1/2, F 2 / F 3 = 1/(1+½) = 2/3, F 3 / F 4 = = 3/5, F 4 / F 5 = 5/8. und die Güldene Zahl ergibt sich im Grenzfall φ = lim F n / F n+1 Interessant ist auch, dass man auch eine explizite Berechnungsformel für diese Bonacci-Zahlen seltsamerweise über die Irrationalität der 5 bzw. über das goldene Schnittverhältnis Φ 1,618 berechenbar wird: F n = { [(1 + 5)/2] n [(1-5)/2] n } / 5 F n = [ Φ n (-Φ) -n ] / 5 Beachte: Φ -1 = φ weshalb auch Φ - n = φ n ist! 6 Leo von Pisa lern te um 1200 von den Arabern in Nordafrika Mathe

13 Dabei lassen sich aber diese Bonacci-Zahlen auch im Pascalschen Dreieck berechen, wenn man diagonal summiert! Die F n kommen auch in der Natur vor 7 (In Suchmaschine fragen nach: Fibonacci phyllotaxis (from the Greek: Phyllo means leaf, and taxis means arrangement). Oder suchen nach Fibonacci numbers in nature bzw. Leaf and flower arrangements unter dem Stichwort: Fibonacci phyllotaxis, 7 Fibonacci phyllotaxis - Fibonacci phyllotaxis pattern generator

14 Teilt man den Vollkreis nach dem goldenen Schnitt, multipliziert also die 360 mit φ, erhält man damit den größeren Kreissektor zu etwa 222,48. Der kleinere golden geteilte Kreissektor liefert dann 137,5. Dieser Winkel soll für gewisse Pflanzenblätter vorteilhaft sein, da sich nicht alles überdeckt. Denn nach drei Drehungen a 137,5. 3 mal 137,5. = ,5 ergibt sich ein um 52,5 größerer Winkel als eine volle Umdrehung um 360 Grad 8. 8 Fibonacci spiral htm

15 Computer berechnete acht linksgekrümmte (+)-Spiralen 9 9 Hans Walser, Der goldene Schnitt,EAGLE001,

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18 Andere Konstruktionen eines regulären Fünfecks Die Strecke AB wird nach dem goldenen Schnitt geteilt (nach Hofstetter)

19 Die ersten 10,000 Dezimalziffern des Goldenen Schnitts (golden ratio )

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23 Wie man sieht, sind auch die Ziffern-Drillinge und Quadrillinge in etwa gleich verteilt! Im Dezember 1996 das Goldene Schnittverhältnis bis auf 10 Millionen Dezimalstellen berechnet, was eine halbe Stunde Rechenzeit brauchte. Phi auf zwei tausend Stellen finden Sie in The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number MARIO LIVIO; BROADWAY BOOKS New York

24 Nochmals zurück zu den Kettenbrüchen. Aus 1/Φ = Φ - 1 folgt auch Φ² - Φ -1 =0 oder die quadratische Gleichung x²-x-1=0. Die >>Proportion divina<<, wie der Goldene Schnitt auch genannt wird, liefert den am schlechtesten konvergierenden periodischen Kettenbruch mit nur Einsen, nämlich [1] = Φ = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1, 1, 1...] = 1,61803 bzw. ½( 5-1) = φ = [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1...] = 0,61803 = [0, 1] [1] = ½( 5 + 1) lässt sich übrigens auch als unendliche Kettenwurzel darstellen: {1+[ [1+ (1+ 1+ )]}. Vergleichsweise ist 2 = [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2.] = [1, 2] 3 = [1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2,.] 5 = [2,4, 4, 4, 4, ] 6 = [2, 2, 4 Periode 24] 7 = [2, 1,1,1,1,4 Periode 11114] 8 = [2, 1, 4 Periode 14] 10 = [3, 6 Periode 6] 11 = [3,6, 3, 6, 3, ]

25 Kettenbruch der Quadratwurzel von 13 in Eulers De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo von 1767 Dass alle Wurzeln zweiten Grades als periodische Kettenbrüche dargestellt werden können, wurde von Lagrange ( ) bewiesen 10. (a²+1) = [a, 2a] Der die Unterstrich ist Periode zb. 10 = [3, 6] (a²+2) = [a, a, 2a] zb. 3 = [1, 1,2] (a²+a) = [a, 2, 2a] zb. 6 =[2, 2, 4 ] (9a²+3) = [3a, 2a, 6a] zb. 12 =[3, 2, 6 ] 11 c Alle Quadratwurzeln lassen sich als periodische Kettenbrüche darstellen, während die anderen irrationalen Zahlen wie zb 12. und die transzendenten Zahlen wie Pi und e nicht-periodische Kettenbrüche sind 13 : 10 Die Umkehrung bewies Euler

26 π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, ]. Hier erkennt man keine Gesetzmäßigkeit 14 wohl aber bei e e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12,...]. quasiperiodisch e² = [7, 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, 12, 54, 14, 1, 1, 15, 66, 17, 1, 1, 18,78,..] Interessant ist auch ein anderer unendlicher Kettenbruch für die Eulersche Zahle e 1 e = = 2, /(3 +3/{4+4/[5+ ]}) Schon Leonhard Euler fand und die Umkehrung durch Euler ( ). 1 π/4= ² = 0, ²/(2 +5²/{2+7²/[2+9²/2+ ]}) oder etwas chöner dargestellt 13 DIE LEHRE VON DEN KETTENBRÜCHEN von OSKAR PERRON,.TEUBNER Weitere regelmäßige Formen finden Sie unter

27 von Johann Heinrich Lambert haben wir seit 1770 erhalten aus dem Produkt von John Wallis

28 weiteres Kettenbrüche und transzendente Zahlen:

29 Aufgaben 1.) Zeige dass AG : (AG-AH) =HG : AH= AB : BC = IC : HI = 2ED : EF = EG : 2ED 0, ist 2.) Φ = 1 + φ Φ 2 = Φ +1 = φ + 2 1/ϕ = Φ = 1 + φ Beweise: Die n-te Bonacci-Zahl ist nach der Formel von Binet 15 : F n = { (1+φ) n (-φ) n } / 5 F n = { [(1 + 5)/2] n [(1-5)/2] n } / 5 15 Jacques Binet ( )

30 Hinweis: Φ² = Φ + 1 (-Φ)² = (-Φ) + 1 Φ³ = Φ² + Φ = 2Φ + 1 (-Φ)³ = (-Φ)² + (-Φ) = 2(-Φ) + 1 Φ 4 = Φ³ +Φ² = 3Φ + 2 (-Φ) 4 = (-Φ)³ +(-Φ)² = 3(-Φ) + 2 Φ 5 = Φ 4 +Φ³ = 5Φ + 3 (-Φ) 5 = (-Φ) 4 +(-Φ)³ = 5(-Φ) + 3 Φ 6 = Φ 5 +Φ 4 = 8Φ + 5 (-Φ) 6 = (-Φ) 5 +(-Φ) 4 = 8(-Φ) + 5 Φ 7 = Φ 6 +Φ 5 = 13Φ +8.. Φ n = Φ n-1 +Φ n-2 = F n Φ + F n-1 (-Φ) n = (-Φ) n-2 +(-Φ) n-1 = F n (-Φ) + F n-1 Was ergibt also Φ n - Φ n? Diesen kürzesten Beweis finden Sie im folgenden PDF von A. Fehringer, das ich Ihnen sehr empfehle! >> Fibonaccizahlen und Goldener Schnitt << auf Arno Fehringers Homepage (npage) (in einer Suchmaschine nach Mathematik-Garten suchen)