Kapitel 2. schreiben wir M N. Keine Menge ist { A A A}

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1 Kapitel 2 Das zweite Kapitel beschätigt sich mit gen und Konstruktion neuer gen, die ür den weiteren Verlau wichtig sind Hierbei werden gen als kleine Klassen deiniert Für große Klassen verweise ich wieder au das Literaturverzeichnis Eine bbildung wird sich als eine ge darstellen Da bbildungen eine enorm wichtige Rolle in allen Disziplinen spielen, werden hier schon viele solcher bbildungen eingeührt 1 gen Was ist eine ge? Gehen wir von der naiven Vorstellung aus, so stellt sich jeder etwas anderes vor Eine ge Geld, eine ge Reis, usw In der Mathematik muss dieser egri klar deiniert werden Dies geschieht durch widerspruchsreie xiome Sind es endlich viele klar unterscheidbare Dinge, so können sie augezählt werden Damit die zusammengehörigen Dinge auch kenntlich sind, schreiben wir sie in geschweite Klammern eispiele: 1 Die Namen Julia, Irina und Klaus ergeben als ge {Julia; Irina; Klaus} 2 Die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 97 ergeben die ge {2; 3: 5: 7: 11; 97} 3 Die Farben rot, grün, blau, violett ergeben die ge {rot; bla violett; grün} Im letzten eispiel ist die Reihenolge vertauscht Dies soll auch unwichtig sein u die Reihenolge kommt es nicht an! Wie aber deiniert man gen? Ganz so einach wie in den obigen eispielen ist es nicht In der axiomatischen gentheorie zeigt sich, dass der naive genbegri au Widersprüche ührt Für den interessierten Leser sei hier au ourbaki [] oder Friedrichsdor/Prestel [] Hier werden Klassen deiniert gen sind dann kleine Klassen Der geneigte Leser stelle sich der Einachheit halber immer eine endliche ge vor Der besseren Lesbarkeit bezeichnen große uchstaben gen und kleine uchstaben Elemente Ferner verwenden wir die Zeichen =, und die Zeichen der Prädikatenlogik Logisch besteht kein Unterschied zwischen Elementen und gen So bedeutet die Relation = der Prädikatenlogik =, also ist gleich Sie unterscheiden sich nicht Entsprechend bedeutet die Relation MN der Prädikatenlogik M N Hierzu sagen wir: M ist Mitglied von N, M gehört zu N, M ist Element von N Für ( M N) schreiben wir M N Keine ge ist { } Vorsichtig sagen wir: gen sind durch ihre Mitgliedschat ausgezeichnet Für zwei gen uns gilt entweder oder eides geht nicht u Klassen gehen wir nicht ein, da dies ür einen nänger zu mühevoll wäre Wir legen nun einige xiome ür gen est Dabei kann x in oder x sowohl ein Element einer x ge als auch eine ge selbst sein ußerdem erinnern wir, dass eine Deinition stets notwendig und hinreichend ist Wir verzichten daher au den Terminus genau dann Deinition 11 1 Wir sagen, wenn eine ge ist 2 ( ( )) W Eine ge enthält sich nie selbst als ge 3 { ; } und { ; } = { } us zwei Elementen wird eine neue ge deiniert, die diese Elemente enthält Elemente werden stets nur einmal gezählt 18 PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

2 4 Wir deinieren das Zeichen ür zwei gen, durch (( x ) ( x )) : ( ) Wir sagen ist x Teilmenge von oder ist in enthalten oder liegt in oder umasst Statt Negat wird durch schreiben wir auch zum usdruck gebracht Das 5 Durch (( Y ) ( Y )) : ( = Y ) Y wird die Gleichheit von gen deiniert Zwei gen sind gleich, wenn sie die dieselben Elemente enthalten 6 Mit { }=: bezeichnen wir die ge, die kein Element besitzt Sie heißt leere ge Wegen x x ( ) W ist die leere ge Teilmenge jeder ge Dh ür x jedes 7 Wir deinieren das Zeichen ür, durch (( x ) : ( x x )), also Wir sagen vereinigt, die Vereinigung von und enthält sowohl die Elemente aus als auch die Elemente aus Die olgenden ilder zeigen eine Veranschaulichung der Vereinigung Im ersten ild gibt es gemeinsame Elemente, im zweiten ild nicht Figur 1 Figur 2 8 Wir deinieren das Zeichen ür, durch (( x ) : ( x x )), also und Wir sagen geschnitten, schneidet, trit, der Durchschnitt von enthält nur gemeinsame (Figur 3) oder keine Elemente(Figur 4) Enthält und kein gemeinsames Element ( = ), so heißen und disjunkt Figur 3 Figur 4 PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 19

3 9 ( P ( ) : ), also P () enthält alle Teilmengen von und wird auch mit P () heißt Potenzmenge von Sie 2 bezeichnet 10 Das geordnetes Paar ist deiniert durch (( a; : { a;{ a; b}}) und ist nach 2 eine ge a b 11 Die Deinition ( x : x= ( a, ) a b geordneten Paare est (Figur 5) und ist eine ge, also legt das Produkt als ge der a ( a, b ) Figur 5 b emerkung: bweichend von Deinition werden wir immer ( a; a b schreiben Dies ist kein Widerspruch! 12 ls letztes deinieren wir eine unendliche ge durch die Vorschrit: ls eispiel diene ( N n N) ( m N { m,{ m}} N) N n m Da die logische Schreibweise der Quantoren ein Umsetzen in den allgemeinen Sprachgebrauch erordert, werden wir meist darau verzichten Der nänger sollte sich jedoch immer klar machen, welche Quantoren verwendet werden 2 Operationen mit gen Das Verhalten von gen miteinander und untereinander beschreibt die oolesche lgebra Es seien,,, C P ( ) Die ge C ( ) : = { x x } heißt das Komplement von bezüglich und wird auch mit Es gelten olgende bei 21 C ( ) =, C ( ) = oder auch mit ' bezeichnet 22 C (C ( )) (doppelte Verneinung) = 22 =, = (Kommutativität) 23 ( ) C= (, ( ) C= ( (ssoziativität) 24 ( = ( ) (, ( = ( ) ( (Distributivität) 25 C ( ) = C ( ) C ( ), C ( ) = C ( ) C ( ) 26 C ( ) C ( ) = = 20 PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

4 27 = C ( ) C ( ) 28 = C ( ) C ( ) ugabe: eweisen Sie diese ussagen mit Hile der ussagenlogik PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 21

5 3 bbildungen Deinition 31 Es seien, Eine Teilmenge R heißt eine Relation zwischen und Eine Relation heißt bbildung, wenn gilt: Zu jedem a gibt es genau ein b mit ( a, Wir schreiben bb ( ; ) Geometrisch heißt die bbildung der Graph von chtung: Es kommt zwar jedes a in einer Funktion vor, aber nicht notwendigerweise jedes b ezeichnungen: Die ge heißt dann auch Quellbereich, Deinitionsbereich, Stellenbereich oder einach nur ereich, die ge Zielbereich, Wertebereich oder kurz Ziel von Da zu a das Element b eindeutig bestimmt ist, bezeichnen wir es mit (a) In dieser Schreibweise sind ereich und Ziel enthalten! Das Element a heißt Stelle oder 1 Koordinate Das Element ( a) heißt Wert der bbildung oder 2 Koordinate oder auch das ild von a unter, je nach dem ob wir analytisch oder geometrisch denken Die ge I : = { ( a) a } heißt ildmenge von unter oder kurz ild von Sie wird auch mit () bezeichnet Die ge F ( a) : = { x ( ( a)} heißt Faser von über a Die Faser wird auch mit 1 = ( ( a)) bezeichnet Man stellt sich dabei über jedem Element b des ildes eine Faser vor, an der alle Elemente von augereiht sind, die au b abgebildet werden Ist C, so heißt die ge ( : = { a ( a) C} Urbild von C unter Die bbildung {( x, x } heißt Identität und wir mit 1 bezeichnet Geometrisch heißt sie auch Diagonale () Fasern ( C () Figur 6 Figur 7 Figur 8 Deinition 32 Es seien,, C (i) Zwei bbildungen bb ( ; ) und g bb ( ; ) heißen gleich, wenn die gen und g gleich sind In obiger Schreibweise heißt dies: Für alle x gilt ( (ii) Sind bb ( ; ) und g bb ( ; zwei bbildungen, so bezeichne g bb ( ; olgende bbildung Zu jedem x gibt es genau das eindeutig bestimmte ( und zu diesem ( gibt es genau ein g( ( ) C Dies trit au jedes x zu g bb ( ; heißt Komposition oder Hintereinanderausührung der bbildungen und g 22 PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

6 Satz 33 Es seien,, C, D Sind bb ( ; ), g bb ( ; und h bb D), so gilt h ( g ) = ( h g) eweis: Dass es sich hierbei um eine bbildung handelt ist nach 32 (ii) erster Teil klar Nun gilt ür alle x : ( h ( g ))( = h( g )( ) = h( g( ( )) = ( h g)( ( ) = (( h g) )( Hierür haben wir den zweiten Teil der Deinition 32 (ii) verwendet Peildiagramme 34 In der Mathematik deuten wir bbildungen auch durch Peildiagramme Ist eine bbildung von der ge in die ge, also bb ( ; ), so schreiben wir auch und ür das Paar ( a, dann a b Das Diagramm g C beschreibt die Komposition der bbildungen und g, alls sie erklärt ist Das Diagramm heißt kommutativ, wenn g = k h gilt Deinition 35 Es seien, Es sei bb ( ; ) 1 heißt injektiv, wenn ür alle x, y gilt ( = ( x= y 2 heißt surjektiv, wenn ( ) =, bzw zu jedem y existiert ein 3 heißt bijektiv, wenn injektiv und surjektiv ist h Y k g x mit 4 r bb ( ; ) heißt Retraktion von, wenn r = 1 5 s bb ( ; ) heißt Schnitt von, wenn s= 1 Satz 36 Es seien, Es sei bb ( ; ) (i) ist genau dann injektiv, wenn eine Retraktion r von existiert (ii) ist genau dann surjektiv, wenn ein Schnitt s von existiert (iii) ist genau dann bijektiv, wenn Retraktion und Schnitt übereinstimmen, dh eweis: (i) Es sei, a est gewählt und injektiv Deiniere ( : x, r ( =: a, wenn y () Dann ist r( ()) x = x=1( ür jedes x, also Es sei nun r eine Retraktion von Dann gilt ür alle x, y : ( = ( r( ( ) = r( ( ) x = y Folglich ist injektiv r= s ( = y r = wenn ( = y und r = 1 PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 23

7 (ii) Es sei ( ) = und : = ( ( ) Für jedes b wähle genau ein ( x der Faser mit ( = b Deiniere s ( ( ) : = x Dann gilt ( s( ) = b, also o s= 1 Es sei nun s ein Schnitt von us s( ) olgt = ( s( )) ( ) Folglich ist wegen ( ) die Gleichheit ( ) = bewiesen und surjektiv (iii) Die Fasern sind jetzt einelementig Wir haben nur r= s zu zeigen Nach (i) ist r = 1 und nach (ii) s= 1 Daraus olgt ( r ) s= 1 s= s und r ( s ) = r 1 = r Nun ist aber nach 33 ( r ) s= r ( s), also r= s nach 32 (i) Im ersten Teil von (ii) wählen wir ein Element aus Dies geschieht willkürlich Eine solche Funktion heißt uswahlunktion In vielen eispielen, wie auch in (iii) kann sie direkt deiniert werden In allen anderen, wie auch hier, ist sie ein xiom Deinition 37 Es seien, Es sei bb ( ; ) bijektiv Da in diesem Fall Retraktion und Schnitt zusammenallen, heißt diese bbildung Umkehrabbildung und wird mit bb ( ; ) bezeichnet Mithin gilt 1 = 1 und = 1 chtung: Der Unterschied von Urbild, Faser und Umkehrabbildung ist zu beachten Deinition 38 Es sei Y, Y Es seien C, D, P ( Y ) Teilmengen der Potenzmenge 1 C heißt eine Überdeckung von Y, wenn Y (Figur 9) C 2 Eine Überdeckung C heißt einer als eine Überdeckung C ', wenn ür jedes C ein Z C ' existiert mit Z 3 Eine Überdeckung D heißt paarweise disjunkt, wenn ür alle, ' D mit ' olgt ' = 4 Es sei eine paarweise disjunkte Überdeckung von Y Gilt und Y, so heißt eine Partition von Y (Figur 11) Ein einaches eispiel einer Partition ist die Einteilung des vorhandenen Geldes Schichtet man alle gleichen Münzen übereinander, so erhält man eine Partition Vorteil: Das Geld lässt sich leicht zählen C 1 C 4 C 2 C 1 C C 2 4 C 3 C 5 C 3 C Figur 9 Figur 10 Figur 11 Korollar 39 1 Y und ({ y}) y Y sind Partitionen von Y, sogenannte triviale Partitionen 2 Ist C eine paarweise disjunkte Überdeckung von Y, so ist : = { Y Y C } eine Partition von Y 3 Es sei bb ( ; ) und D ' paarweise disjunkt in Dann ist D : = { ( Y ) Y D '} paarweise disjunkt in Gilt sogar D ' ist eine Überdeckung von (), so ist D { } eine Partition von 24 PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

8 4 Gilt ( ) =, so bilden die Fasern (vgl 31) ( ( ( )) ( eine Partition von 5 Zu jeder bbildung : existiert eine Partition von eweis: Es ist nur die 4 ussage von 37 zu prüen 1 Diese ussage ist oensichtlich erüllt, denn = {Y } bzw = {{ y} y Y } 2 Wegen Y Y und Y ür alle C ist auch die zweite ussage nach 37 richtig 3 us ( Y ) ( Z) = ( Y Z) = ( ) = ür alle Y Z Der Zusatz olgt aus der Tatsache = ( Y ) Y D ' 4 us z ( ( ) ( ( ) ( z) = ( ( z) = (, also ( = ( Damit sind Fasern nach 37 disjunkt Da außerdem bewiesen 5 Folgt soort aus 4 = ( ) = ( U{ ( }) = U ( ( ), ist alles ( ( emerkung 310 Die ildmengen paarweiser disjunkter gen sind nicht notwendigerweise paarweise disjunkt, wie olgendes eispiel zeigt 2 ( : = x und ( ;0),(0; ) lieert ( ;0) = (0; ) Im Folgenden geht es darum, gen zu verkleinern, um einen besseren Überblick über die ge zu erhalten Deinition 311 Es sei Eine Teilmenge E heißt Äquivalenzrelation au, wenn ( i) ( ii) ( iii) ( x, E x ( x, 2 ( x, y, z) ( x, E ( y, E 3 ( x, E ( y, z) E ( x, z) E Identität Relexivität Transitivität Satz 312 Es sei und E eine Äquivalenzrelation au Es sei E( : = { y ( x, E} Dann ist ür 2 alle ( x, entweder E ( oder E ( E( = eweis: Wegen x E( ür jedes x ist E ( nach (i) Wir zeigen zuerst, dass ür jedes u E( gilt E ( u) Für z E( u) u E( olgt ( z, u) E ( u, E Nun gilt nach (iii) ( z, E und mit (ii) ( x, z) E, also z E( Da z beliebig war olgt E( u) E( Da wir aber x und u vertauschen können, denn x E(u), olgt E ( u) Sei z E( E(, dann ist z E( z E( Folglich gilt E ( z) E( z) und damit E ( Deinition 313 Es sei E eine Äquivalenzrelation au Die ge E ( heißt eine Äquivalenzklasse von x Die ge aller Äquivalenzklassen von wird als Quotientenmenge mit { E( x } E : = Hierbei handelt es oenbar um eine Teilmenge der Potenzmenge, also E P () Da zu jedem x genau eine Äquivalenzklasse Funktion gegeben Durch E bezeichnet Es gilt olglich E( E existiert, ist hier die Deinition einer PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 25

9 E ν : x E( ist eine surjektive bbildung deiniert Sie heißt kanonische Quotientenabbildung oder kanonische Surjektion Korollar 314 Die Quotientenmenge E bildet eine Partition au, also : = E( E( E eweis: Dies olgt unmittelbar aus 36 Satz 315 Es sei bb ( ; ), dann gilt (i) E : = {( a, ( a) = ( } ist eine Äquivalenzrelation au (ii) Die bbildung φ :I E deiniert durch φ ( ( ) : = ( ( ) ist eine ijektion von der ildmenge au die Fasern von eweis: (i) Es ist 311 mit E nachzuweisen (i) olgt aus ( = ( ür alle x, (ii) ist wegen ( = ( ( = ( auch erüllt (iii) olgt aus ( = ( ( = ( z) ( = ( z) (ii) Zuerst haben wir zu zeigen, dass zu jedem ( a) ( ) genau ein E (a) existiert Wegen E ( E ( ( ( ist die Deinition einer Funktion erüllt, dh φ ist deiniert Die Injektivität olgt aus φ ( ( ) = φ( ( ) E ( = E ( ( ( Für die Surjektivität sei φ ist auch surjektiv E = (, x gegeben Da ( ( ) existiert, olgt φ ( ( ) = E ( und ν E 1 E Satz 316 Es sei Folgende ussagen sind äquivalent (i) Es gibt eine Äquivalenzrelation E au (ii) Es gibt eine Partition au ( ) φ E (iii) Es gibt eine bbildung : ( ) mit E = eweis: Wir zeigen die Äquivalenzen durch ( i) ( ii) ( iii) ( i) ( i) ( ii) : Korollar 314 ( = E ) ( ii) ( iii) : Deiniere ( : = ür x Da eine Partition ist eine bbildung Die Äquivalenzklassen stimmen mit der Partition überein, da = ( = ( = Y ist ( iii) ( i) : Satz 315 Satz 317 Es seien,, C (i) Es sei bb ( ; ) surjektiv Dann gilt: Zu jedem g bb ( ; existiert genau ein h bb ( ;, so dass olgende ussagen äquivalent sind a) g= h Für alle a, b gilt ( a) = ( g( a) Ist s ein Schnitt von, so ist h= g s j 26 PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

10 s (ii) Es sei bb ( ; ) injektiv Dann gilt: Zu jedem g bb ) existiert genau ein h bb ), so dass olgende ussagen äquivalent sind a) g= h g( ( ) Ist r eine Retraktion von, so ist h= r g r 1 g 1 g C h C h eweis: In beiden Fällen existiert h durch s bzw r nach 36 (i) a) : Es sei g= h Dann gilt ür alle a, b : ( a) = ( g( a) = h( ( a)) = h( ( ) a) : Da nach Voraussetzung surjektiv ist, deiniere C h : ( a) g( a) Dann gilt g= h Wir haben noch die Eindeutigkeit von h zu zeigen Sei auch h' bb ( ; mit g= h' Folglich ist g= h' = h, also g ( a) = h'( ( a)) = h( ( a)) ür alle a und damit h '( ( a)) = h( ( a)) ür alle a, also h ' = h enutzt man einen Schnitt s von, so erhalten wir h= g s und dies nicht vom gewählten Schnitt ab (ii) a) : Es sei g= h Dann gilt g( = ( h( ) h( g( = ( h( ) ( ) Sei r eine Retraktion von, so ist h= ( r ) h= r ( h) = r g und h eindeutig bestimmt a) : Deiniere h : = r g mit einer Retraktion r von Wegen g( ( ) existiert ür jedes c C ein b mit ( c) Folglich ist ür jedes c C die Gleichungskette ( h( c)) = ( r( g( c))) = ( r( ( )) = ( c) erüllt und damit g= h eispiel: Obwohl wir noch keine Strukturen au den gen haben, ziehen wir eine einache Struktur vor Starten wir mit den natürlichen Zahlen ekannt sind die Operationen + und u N N deinieren wir eine Relation wie olgt: ( x ; ( x + v = y + u Die Gleichheit gilt natürlich nur in N Zu zeigen ist nun, dass hierdurch eine Äquivalenzrelation deiniert ist 4 2 Sei also E : = {(( x;,( ) N x + v = y + u} und E( x, : = {( N ( x;,( ) E} (i) Identität: Da ( x ; ( y; x + y = x + y immer wahr ist, gilt (( x;,( y; ) E ür alle x, y N (ii) Relexivität: Sei (( x;,( ) E, dann gilt ( x ; ( x + v = y + u Das Kommutativgesetz der ddition lieert x + v = y + u v + x = u + y Die Relexivität des Gleichheitszeichen dann v + x = u + y u + y = v + x und damit u + y = v + x ( ( x;, also ((,( x; ) E PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 27

11 (iii) Transitivität: Sei (( x;,( ) E und ((,( k; l)) E, also x + v = y + u und u + l = v + k Folglich ist auch x + v + k = y + u + k x + u + l = y + u + k Wieder lieert das Kommutativgesetz x + u + l = y + u + k x + l + u = y + k + u Nach Subtraktion von u erhalten wir x + l = y + k (( x;,( k; l)) E Damit ist E als Äquivalenzrelation nachgewiesen n diesem eispiel können die Äquivalenzklassen soort bestimmt werden Dazu schreibe man einach ( x ; ( x + v = y + u und beachte, dass wir uns in N beinden Schreiben wir die Elemente ( x ; N N als Matrix, so erhalten wir (0;0) (0;1) (0;2) (0;3) (1;0) (1;1) (1;2) (1;3) (2;0) (2;1) (2;2) (2;3) Die Klassen liegen alle parallel zur Diagonalen Folglich benötigen wir als Repräsentanten (Elemente der Klassen) nur die erste Zeile und Spalte Erklären wir au den Äquivalenzklassen eine ddition und Multiplikation Es seien x, y, u, v N Wir deinieren E ( x; + E( : x + y + und E ( x; E( : xu + yv; xv + yu) Wir sehen E ( 0;0) + E( und E ( 1;0) E( : sowie E ( 0;1) E( : v; u) Insbesondere E ( 0;1) E(0;1) : 1;0 ) Folglich ist E(0;0) ein neutrales Element der ddition, E (1;0 ) ein neutrales Element der Multiplikation und E (0;1 ) ein Element mit E (0;1) E(1;0) : 0;0) Da wir in N ein solches von eins verschiedenes Element noch nicht hatten, andererseits aber die erste Zeile zu N korrespondiert, muss es sich wohl um negatives Element Einselement handeln Wir werden gleich zeigen, dass N N E Z Mit diesem eispiel sind wir bisher spielerisch umgegangen Trotz alledem muss die sogenannte Wohldeiniertheit der neuen Operationen (Deinitionen sind unabhängig von den gewählten Repräsentanten) gezeigt werden Warum dies wichtig ist, sieht man soort an olgender abgeänderter Deinition der ddition E ( x; + E( : 2x + y + v + 1) Wählen wir die Repräsentanten E (0;0) und E (1;0 ), dann ist E ( 0;0) + E(1;0) : 1;1 ) Wähle ich stattdessen E (1;1 ) und E (2;1 ), so olgt E ( 1;1) + E(2;1) : 4;3) ber E ( 1;1) 0;0) und E ( 4;3) 1;0) Folglich werden denselben Äquivalenzklassen verschiedene Klassen als Ergebnis zugeordnet Dies kann sicher nicht sein Zeigen Sie nun die Wohldeiniertheit der oben deinierten ddition und Multiplikation nleitung: Seien x, y, u, v, x', y', u', v' N mit E ( x; x'; y' ) und E ( u'; v' ) Zeigen Sie nun mit Hile der Äquivalenzrelation die Gleichheit E ( x; + E( : x'; y' ) + E( u'; v' ) und E( x; E( : x'; y') E( u'; v' ) 4 Wichtige Konstruktionen mit gen Wir haben jetzt die wichtigsten genabbildungen zusammengestellt Via dieser bbildungen können wichtige neue gen konstruiert werden, die bis au Isomorphie eindeutig bestimmt sind eginnen wir mit einer Konstruktion, die wir bereits kennen, dem Produkt Das Tripel, p, p ) (3;0) (3;1) (3;2) (3;3) 2 ( heißt natürliches Produkt von und, wenn, und p bb ( ; ), p bb ( ; ) surjektiv sind 28 PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

12 Satz 41 Es seien, und (, p, p ) das natürliche Produkt von und, dann gilt: Zu jedem C und zu jedem Paar q bb ), q bb ) existiert genau ein q bb ) mit q = p q und q = p q Darüber hinaus gilt: bb ) bb ) bb ), wobei q q q eweis: Es seien C und q bb ), q bb ) Zu c C sei ( a ; mit q ( c) = p( a; und q ( c) = p( a; Deiniere q bb ) durch q ( c) = ( a;, dann hat q die gewünschte Eigenschat Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen Sei g bb ) mit q = p g und q = p g Dann sind p g = p q und p g = p q us g ( c) = ( x; olgt x; = p( g( c)) = p( q( c)) = p( a; b = x; = p ( g( c)) = p ( q( c)) = p ( a; b = x = p ( ) a und y = p ( ) b Insgesamt also g ( c) = ( x; = ( a; = q( c) ür jedes c C Damit ist g = q Satz 41 kann au beliebig viele gen verallgemeinert werde Für unendlich viele gen wird das uswahlaxiom benötigt eweisen Sie Satz 41 ür beliebig viele, aber endliche nzahl von gen eginnen Sie wie olgt: Es sei I eine beliebige endliche ge und ür jedes i I seien i gen Es sei = 1 2 und pi bb ( ; i ) mit p i ( x 1 ; ; xi; ; x ) : = xi ür jedes i I I Verahren Sie jetzt wie in 42 Deinition 42 (Produkt) Es seien,, C und p bb ), p bb ) Ein Tripel ( C, p, p ) heißt Produkt über und, wenn zu jedem D und jedem Paar ( q, q ), q bb ( D; ), q bb ( D; ) genau ein q bb ( D; existiert mit q = p q und q = p q Folgerung 43 Ein Produkt ist bis au ijektion eindeutig bestimmt I eweis: Es sei D, q, q ) auch ein Produkt über und Dann gibt es zum Produkt C, p, p ) über ( ( und genau ein p bb D) mit p = q p und p = q p Wir erhalten p = q p = ( p q) p = p ( q p) und p = q p = ( p q) p = p ( q p) sowie q = p q = ( q p) q = q ( p q) und q = p q = ( q p) q = q ( p q) Folglich ist C q p = 1 und D p q = 1 Somit sind p und q inverse bbildungen voneinander Es gibt noch eine andere ijektion als bb ) bb ) bb ) aus 41 Folgerung 44 Es seien,, C Dann gilt die ijektion bb ( ; bb ( ; bb ( ; ) eweis: Es sei : C gegeben Es sei : bb ( ; deiniert durch ( ( )( a) : = ( a;, dann ist ( = die gesuchte ijektion (i) Φ ist injektiv: Dazu seien,g bb ( ; mit Φ ( ) = Φ( g) Wir veriizieren die ehauptung au den Elementen Seien a und b, dann ist ( Φ ( )( )( a) = ( Φ( g)( )( a) ( a; a;, also = g (ii) Φ ist surjektiv: Es sei h : bb ( ; deiniert durch h : b hb mit h b : C Deiniere h ' bb ( ; durch h' ( a; : = h ( a), dann gilt Φ ( h ') = h b PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 29

13 Die nächste Konstruktion beschätigt sich mit dem Faserprodukt Es wird auch kartesisches Quadrat oder Pullback genannt Der egri kartesisches Quadrat wird selten benutzt Der Name Pullback wird erst klar, wenn zusätzliche Strukturen au den gen deiniert sind Wir starten wieder sehr anschaulich und erinnern an die ezeichnungen 31 Der Name Faserprodukt kann wie olgt erklärt werden Es seien, ; und bb ( ; ), g bb ( ; ) Die Fasern von und g sind Teilmengen von und In betrachten wir olgende Teilmenge M : = { x ( a) = x } Die Fasern werden nun vermöge der Produktbildung zum Faserprodukt Dies kann wie olgt geschrieben werden : = ( g ( M x M Deinition 45 (Faserprodukt) Es seien, ; und bb ( ; ), g bb ( ; ) Die ge = {( a; ( a) } M heißt Faserprodukt von und g Sind p bb ( ; ), p bb ( ; ) die Einschränkungen der natürlichen Projektionen, so M M ist das olgende Diagramm kommutativ p M p ls letzte vorläuige Konstruktion soll die Fasersumme behandelt werden Sie wird auch als Koaserprodukt, kartesische Summe, kokartesisches Quadrat, Pushout und amalgamierte Summe bezeichnet Es seien, ; und bb ( ; ), g bb ( ; ) Hier sollen nun die ildelemente ( und g ( ür x identiiziert werden, also ( g( lle anderen Elemente in und sollen verschieden bleiben leiben alle Elemente in und verschieden, so ist die disjunkte Vereinigung die Lösung des Problems Wie aber identiiziert man diese Elemente? Wir deinieren eine Äquivalenzrelation (311) au durch r s (( r = ( s ) ( r s = ( )) x Die Quotientenmenge hat jetzt die gewünschte Eigenschat Die Fasersumme kann nun wie E olgt beschrieben werden : = E M g 30 PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt