Simulation Mechatronischer Systeme
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- Brigitte Vogel
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1 Simulation Mechatronischer Systeme Dr.-Ing. Hans Friedrich Steffani 26. Oktober 2005
2 Definitionen von Simulation VDI-Richtlinie 3633 Simulation ist die Nachbildung eine dynamischen Prozesses in einem Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind. Shannon Simulation is the process of designing a modell of a real system and conducting experiments with this model for the purpose of either understanding the behavior of the system or of evaluation various strategies (within the limits imposed by a criterion or set of criteria) for operation of the system.
3 Beispiel P 1 -System mit analytische Lösung Beispiele ẋ = f (x) = k x(t) + h(t) (1) k = 1 (2) h(t) = 1 (3) x(t) = 1 e 1 t (4) Motor, der beschleunigt (geschwindigkeitsproportionale Reibung) Kondensator, der sich auflädt (i = const., Entladewiderstand) Spule mit Vorwiderstand
4 Warum braucht man Integrationsverfahren? 0.4 Lö sung Eulerschritt relativer Fehler 21%
5 Warum braucht man Integrationsverfahren? 0.35 Lö sung 0.3 Modifizierter Euler 0.4 Lö sung 1 Eulerschritt 0.3 Modifizierter Euler relativer Fehler 0,6%
6 Warum braucht man Integrationsverfahren? 0.35 Lö sung Eulerschritte relativer Fehler 10% Lö sung Eulerschritt 0.3 Modifizierter Euler Eulerschritte
7 Beispiel Masse-Feder-System c F = c s + d ṡ (5) ma = m s = F (6) m s = cs dṡ (7) s = c m s d m ṡ (8) m s, v mit m = 0, 1 g c = 10 N /m
8 Euler vs. Runge-Kutta 4 - Vefahren Lö sung 4 Eulerschritte RK
9 Beispiel Eulerverfahren Beispiel Eulerverfahren t x(t) x k f (x k ) k ,0 0,1 9,05 0,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 System: Anfangswert x 0 = 10 einsetzen. ẋ(t) = x(t) (9) x(0) = 10 (10) = 0, 1 (11)
10 Beispiel Eulerverfahren Beispiel Eulerverfahren t x(t) x k f (x k ) k ,0-10,0 0,1 9,05 0,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 System: Ableitung f (0) = 10 berechnen. ẋ(t) = x(t) (9) x(0) = 10 (10) = 0, 1 (11)
11 Beispiel Eulerverfahren Beispiel Eulerverfahren t x(t) x k f (x k ) k ,0-10,0-1,00 0,1 9,05 0,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 System: Näherungsinkrement 0 = f (0) = 1 ẋ(t) = x(t) (9) x(0) = 10 (10) = 0, 1 (11)
12 Beispiel Eulerverfahren Beispiel Eulerverfahren t x(t) x k f (x k ) k ,0-10,0-1,00 0,1 9,05 9 0,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 System: ẋ(t) = x(t) (9) x(0) = 10 (10) Neuer Wert x 1 = x = 10 1 = 9 = 0, 1 (11)
13 Beispiel Eulerverfahren Beispiel Eulerverfahren t x(t) x k f (x k ) k ,0-10,0-1,00 0,1 9, ,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 System: Ableitung f (x 1 ) = 9 berechnen. ẋ(t) = x(t) (9) x(0) = 10 (10) = 0, 1 (11)
14 Beispiel Eulerverfahren Beispiel Eulerverfahren t x(t) x k f (x k ) k ,0-10,0-1,00 0,1 9, ,9 0,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 System: Näherungsinkrement 1 = f (x 1 ) = 0, 9 ẋ(t) = x(t) (9) x(0) = 10 (10) = 0, 1 (11)
15 Beispiel Eulerverfahren Beispiel Eulerverfahren t x(t) x k f (x k ) k ,0-10,0-1,00 0,1 9, ,9 0,2 8,19 8,1 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 System: ẋ(t) = x(t) (9) x(0) = 10 (10) = 0, 1 (11) Neuer Wert x 2 = x = 9 0, 9 = 8, 1
16 Beispiel Eulerverfahren Beispiel Eulerverfahren t x(t) x k f (x k ) k ,0-10,0-1,00 0,1 9, ,9 0,2 8,19 8,1-8,1-0,81 0,3 7,41 7,29 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 System: Usw. ẋ(t) = x(t) (9) x(0) = 10 (10) = 0, 1 (11)
17 Beispiel Eulerverfahren Beispiel Eulerverfahren t x(t) x k f (x k ) k ,0-10,0-1,00 0,1 9, ,9 0,2 8,19 8,1-8,1-0,81 0,3 7,41 7,29-7,29-0,73 0,4 6,7 6,56-6,56-0,66 0,5 6,07 5,9-5,9-0,59 0,6 5,49 5,31-5,31-0,53 0,7 4,97 4,78-4,78-0,48 0,8 4,49 4,3-4,3-0,43 0,9 4,07 3,87-3,87-0,39 1 3,68 3,49-3,49-0,35 System: Usw. Usw. ẋ(t) = x(t) (9) x(0) = 10 (10) = 0, 1 (11)
18 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P1 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 1 t x(t) x k K 1 = f (x k ) ,1 9,05 0,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 Anfangswert x 0 = 10 x k + K 2 k = K 2
19 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P1 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 1 t x(t) x k K 1 = f (x k ) ,1 9,05 0,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 Rechte Seite f (x 0 ) = 10 x k + K 2 k = K 2
20 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P1 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 1 t x(t) x k K 1 = x k + f (x k ) ,1 9,05 0,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 K 2 k = K 2 Inkrement bis zum Hilfspunkt
21 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P1 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 1 t x(t) x k K 1 = f (x k ) x k ,1 9,05 9 0,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 K 2 k = K 2 Hilfspunkt zur Berechnung der endgültigen Steigung
22 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P1 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 1 t x(t) x k K 1 = f (x k ) x k ,1 9, ,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 Steigung am Hilfspunkt K 2 K 2 k = K 2
23 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P1 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 1 t x(t) x k K 1 = f (x k ) x k + K 2 k = K ,1 9, ,8 0,2 8,19 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 Näherungsinkrement für den 1ten Schritt
24 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P1 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 1 t x(t) x k K 1 = f (x k ) x k + K 2 k = K ,1 9, ,8 0,2 8,19 8,2 0,3 7,41 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 Nächster Stützpunkt x 1 = x 0 + k
25 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P1 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 1 t x(t) x k K 1 = f (x k ) x k + K 2 k = K ,1 9, ,8 0,2 8,19 8,2-8,2-0,82 0,3 7,41 7,38-7,38-1,48 0,4 6,7 0,5 6,07 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 Usw.
26 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P1 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 1 t x(t) x k K 1 = f (x k ) x k + K 2 k = K ,1 9, ,8 0,2 8,19 8,2-8,2-0,82 0,3 7,41 7,38-7,38-1,48 0,4 6,7 6,72-6,72-0,67 0,5 6,07 6,05-6,05-1,21 0,6 5,49 0,7 4,97 0,8 4,49 0,9 4,07 1 3,68 Usw. usw.
27 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P1 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 1 t x(t) x k K 1 = f (x k ) x k + K 2 k = K ,1 9, ,8 0,2 8,19 8,2-8,2-0,82 0,3 7,41 7,38-7,38-1,48 0,4 6,7 6,72-6,72-0,67 0,5 6,07 6,05-6,05-1,21 0,6 5,49 5,51-5,51-0,55 0,7 4,97 4,96-4,96-0,99 0,8 4,49 4,52-4,52-0,45 0,9 4,07 4,07-4,07-0,81 1 3,68 3,71-3,71-0,37 Usw. usw. usw.
28 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P2 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 2 Das System ṡ(t) = v(t) (12) v(t) = 1 s(t) 0, 2 v(t) (13) = 0, 6 Rechenschrittweite (14)
29 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P2 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 2 t s k v k fs k fv k s k ,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 Anfangswerte x 0 = 10, v 0 = 0 K 1 K 2 v k + fs(x k+ 1 2 ) fv(x k+ 1 2 )
30 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P2 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 2 t s k v k fs k fv k s k ,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 Steigung im Startpunkt x 0, v 0 K 1 K 2 v k + fs(x k+ 1 2 ) fv(x k+ 1 2 )
31 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P2 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 2 t s k v k fs k fv k s k + K 1 K 2 v k , ,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 Hilfspunkt x , v fs(x k+ 1 2 ) fv(x k+ 1 2 )
32 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P2 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 2 t s k v k fs k fv k s k + K 1 K 2 v k + fs(x k+ 1 2 ) fv(x k+ 1 2 ) , ,4 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 Steigung im Hilfspunkt x , v
33 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P2 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 2 t s k v k fs k fv k s k + K 1 K 2 v k + fs(x k+ 1 2 ) fv(x k+ 1 2 ) , ,4 1,2 8,2-5,64 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 Neuer Wert s 1, v 1
34 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P2 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 2 t s k v k fs k fv k s k + K 1 K 2 v k + fs(x k+ 1 2 ) fv(x k+ 1 2 ) , ,4 1,2 8,2-5,64-5,64-7,07 1,8 6,51-7,76-7,76-4,96 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 Usw.
35 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P2 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 2 t s k v k fs k fv k s k + K 1 K 2 v k + fs(x k+ 1 2 ) fv(x k+ 1 2 ) , ,4 1,2 8,2-5,64-5,64-7,07 1,8 6,51-7,76-7,76-4,96 2,4 3,54-8,61-8,61-1,82 3 0,96-9,16-9,16 0,87 3,6 4,2 4,8 5,4 6 Usw. usw.
36 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P2 Beispiel Modifiziertes Eulerverfahren P 2 t s k v k fs k fv k s k + K 1 K 2 v k + fs(x k+ 1 2 ) fv(x k+ 1 2 ) , ,4 1,2 8,2-5,64-5,64-7,07 1,8 6,51-7,76-7,76-4,96 2,4 3,54-8,61-8,61-1,82 3 0,96-9,16-9,16 0,87 3,6-1,95-8,09-8,09 3,57 4,2-4,38-7,02-7,02 5,78 4,8-6,16-4,62-4,62 7,09 5,4-7,55-2,49-2,49 8,05 6-7,66 0,21 0,21 7,62 Usw. usw. usw.
37 Differentialgleichung Masse-Feder-System: Differentialgleichung c m d s, v F = c s + d ṡ (nach oben) (15) ma = m s = F = cs dṡ (16) s = c m s d m ṡ (17) ṡ = v (18) v = s = c m s d m ṡ (19) Analytische Lösung mit s(0) = s 0, v(0) = v 0 s(t) = s 0 e d d 2 2 m (cos( t + 4 c m 2 m 2 m t) t) + d sin( d 2 +4 c m d c m ) (20)
38 Blockschaltbild Masse-Feder-System: Blockschaltbild v v ṡ s ṡ = v v = c m s d m ṡ Für jede Differentialgleichung ein Integrator platzieren
39 Blockschaltbild Masse-Feder-System: Blockschaltbild v v ṡ s ṡ = v v = c m s d m ṡ Summationsglied am Eingang jedes Integrators
40 Blockschaltbild Masse-Feder-System: Blockschaltbild v v ṡ s d m ṡ = v v = c m s d m ṡ c m Rechte Seiten der Dgl. am Eingang der Integratoren bilden
41 Blockschaltbild Masse-Feder-System: Blockschaltbild v v ṡ s s(0) = 1 d m ṡ = v v = c m s d m ṡ c m Vorbesetzung der Integratorausgänge mit Anfangswert (idr. 0)
42 Stabilitätsgebiet Stabilitätsgebiet Eulerverfahren RK4-Verfahren d ab,ok ab,ko ab,ok ab,ko 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
43 Prinzipdarstellung Kugelgewindeantrieb: Prinzipdarstellung x ϕ Motor Stellgröße: Ankerstrom i A durch unterlagerte Stromregelung eingeprägt Moment: M A = k i A Umrechnung in Linearbewegung: ü = 2π h s, F A = üm A, m A = ü 2 J A Zusammengefaßte Steifigkeit von orsion und Zug-/Drucksteifigkeit c ischmasse m L
44 Zweimassenmodell Kugelgewindeantrieb: Zweimassenmodell x A c x L F L F A m A m L Aufstellen der Dgl. mittels Freischneiden d Antrieb m A ẍ A = F A c (x A x L ) }{{} Auslenkung der Feder d(ẋ A ẋ L ) Last m L ẍ L = F L + c(x A x L ) + d(ẋ A ẋ L )
45 Gleichungen und Werte Kugelgewindeantrieb: Gleichungen und Werte m A ẍ A = F A c(x A x L ) d(ẋ A ẋ L ) (21) m L ẍ L = F L + c(x A x L ) + d(ẋ A ẋ L ) (22) Werte nach [?] k = 61 N /µm m A = 58 kg m L = 50 kg
46 Masse-Feder-System Viertelfahrzeug m f s F F F Fahrzeug 3 c R = N/m c F d F = 38 dan /m c f = 41, N/m = 4, 11 dan /m m f s R F F F Reifen d f = 5, N s/m Rad m f = 186 kg c R s 0 m r = 41 kg
47 Aufgabe Aufgabe Aufbau des Blockschaltbild in Simulink Wie verhält sich das System bei verschiedenen Anregungen s 0? Was passiert, wenn m F = 65 kg Modellerweiterungen Wirkung der Schwerkraft FReifen ist immer positiv Erweiterung von FF durch die Kraft eines zusätzlichen Aktuators
48 Zweitank-System Massenbilanz ṁ 1 = ρ d dt Ah 1(t) = ρ(q e q) q e ṁ 2 = ρ d dt Ah 2(t) = ρ(q q a ) h 1 p 1 q p 1 q e h 2 Durchfluss q = a v v: Durchflussgeschw.
49 Quasistatische Betrachtung Quasistatische Betrachtung Massenbilanz ṁ 1 = ρ d dt Ah 1(t) = ρ(q e q) ṁ 2 = ρ d dt Ah 2(t) = ρ(q q a ) Durchfluss q = a v v: Durchflussgeschw. Strömungswiderstand fr (q) = 8ηl R 2 q q = R4 π 8ηl (p 1 p 2 ) laminarer Strömung Statischer Druck p 1,2 = h 1,2 ρ g
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