Diplomprüfung im Fach Ökonometrie im SS 06 - Aufgabenteil

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1 Lehrstuhl für Statstk und emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Regna T. Rphahn, Ph.D. Dplomprüfung m Fach Ökonometre m SS 06 - Aufgabentel Name, Vorname Matrkelnr. Studengang Semester Datum Raum, Stzplatz-Nr. H6, Unterschrft Vorbemerkungen: Anzahl der Aufgaben: Bewertung: Erlaubte Hlfsmttel: Wchtge Hnwese: De Klausur besteht aus 7 Aufgaben, von denen alle bearbetet werden müssen. De Prüfung dauert 120 Mnuten, es können maxmal 120 Punkte erworben werden. De Punktzahl st für jede Aufgabe n Klammern angegeben. 2 DIN A4-Blätter mt Notzen (Vorder- und Rücksete, also max. 4 DIN A4-Seten) Tabellen der statstschen Vertelungen (snd der Klausur begefügt) Taschenrechner Fremdwörterbuch Sollte es vorkommen, dass de statstschen Tabellen, de deser Klausur belegen, den exakten Wert der Frehetsgrade ncht auswesen, machen Se des kenntlch und verwenden Se den nächstgelegenen Wert. Sollte es vorkommen, dass be ener Berechnung ene erforderlche Annahme fehlt, machen Se des kenntlch und treffen Se für den fehlenden Wert ene plausble Annahme. De Aufgaben 6 und 7 snd m Aufgabentel zu beantworten, de restlchen Aufgaben m Lösungstel. Verwenden Se herbe für jede Aufgabe en neues Blatt.

2 Aufgabe 1: [22 Punkte] Ene US-amerkansche Umweltbehörde untersucht de Determnanten der Luftqualtät n Kalfornen. De Behörde sammelt dazu für 21 Küsten- und 9 Nchtküstenregonen Daten über de folgenden Indkatoren: arq: vala: ran: coas: dens: med: Index für Luftverschmutzung (Wert=200 be maxmaler, =0 be mnmaler Verschmutzung) Wertschöpfung von Unternehmen (n 1000 US-$) Nederschlag (n Kubk-Zoll) Dummyvarable über regonale Lage (1 = Küstenregon, 0 = sonst) Bevölkerungsdchte (pro Quadrat-Mele) durchschnttlches Pro-Kopf-Enkommen (n US-$) De Behörde unterstellt folgendes Modell: arq = β + β vala + β ran + β coas + β dens + β med + e De Auswertung der Daten mt R ergbt folgenden Output: Call: lm(formula = arq ~ vala + ran + coas + dens + med) Coeffcents: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ? 1.53e-07 *** vala ran coas ? ** dens med Sgnf. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Resdual standard error: 24.2 on 24 degrees of freedom Multple R-Squared: , Adjusted R-squared:? F-statstc:? on 5 and 24 DF, p-value: a) Berechnen Se unter Angabe des Rechenwegs (6 Punkte) a1) den t-wert für b 0 ; a2) den Standardfehler für b 3 ; a3) en 95% Konfdenzntervall für b 2 ; a4) de F-Statstk; a5) das korrgerte R 2. b) Interpreteren Se de Koeffzenten b 3 und b 5 nhaltlch und statstsch. (2 Punkte) c) In ener zusätzlchen Schätzung wrd statt des absoluten Wertes der logarthmerte Wert der Bevölkerungsdchte verwendet. Der geschätzte Koeffzent beträgt , der dazugehörge t-wert Interpreteren Se nhaltlch und statstsch. (2 Punkte) d) In ener weteren Schätzung wrd dem Modell aus a) en Interaktonsterm coas*med hnzugefügt. De geschätzte Regressonsgerade lautet: arq = *vala *ran 37.27*coas *dens 0.55*med *(coas*med). Berechnen Se den margnalen Effekt des Durchschnttsenkommens für Küstenregonen und für Nchtküstenregonen und nterpreteren Se dese nhaltlch. (3 Punkte) e) Beschreben Se de Vorgehenswese des Breusch-Pagan Tests. De aus dem ersten Modell (sehe Output) resulterende Teststatstk st BP= Testen Se auf dem 5%-Sgnfkanznveau, ob Heteroskedaste vorlegt. (5 Punkte) 1

3 f) Es besteht weterhn de Vermutung, dass de Fehlertermvaranz mt stegendem Enkommen varert: 2 var e = σ = σ 2 * med, was zu Heteroskedaste führen kann. (4 Punkte) ( ) f1) Beschreben Se ene Vorgehenswese, das zugrunde legende Modell so zu transformeren, dass en Modell mt homoskedastschen Fehler resultert und zegen Se letzteres. f2) We unterschedet sch de Interpretaton der Schätzergebnsse des Modells mt transformerten Daten von derjengen der Orgnalschätzung? Aufgabe 2: [8 Punkte] Ene Unternehmensberatung untersucht de relatve Effzenz der Wenprodukton n 75 kalfornschen Wnzereen und legt herfür de folgende Produktonsfunkton zugrunde: wobe y : xper : cap : lab : y = β + β xper + β cap + β lab + e, (Quanttäts- und Qualtäts-)Index der -ten Wnzere Erfahrung des Managers der -ten Wnzere Kaptalensatz der -ten Wnzere Arbetsensatz der -ten Wnzere Zusätzlch steht noch Informaton über das Alter des Managers der -ten Wnzere (age ) zur Verfügung. In der nachfolgenden Tabelle snd de Ergebnsse ener Klenstquadrate-Schätzung (KQ), ener Hlfsregresson, ener IV-Schätzung sowe ener KQ-Schätzung ener reduzerten Glechung dargelegt: (1) (2) (3) (4) KQ Hlfsregresson IV KQ Abh. Varable y y y xper Constant 1.762* * (1.06) (2.19) (2.72) (2.57) cap 0.438*** 0.332*** 0.332** 0.407* (0.12) (0.12) (0.15) (0.21) lab 0.239** 0.240** 0.240* (0.100) (0.097) (0.12) (0.18) xper 0.147** 0.512*** 0.512** (0.063) (0.18) (0.22) age 0.166*** (0.053) ν ** (0.19) Observatons R Anmerkungen: Standardfehler n Klammern; *** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1 a) De Unternehmensberatung vermutet, dass xper mt e korrelert st. Was wäre de Konsequenz?(2 Punkte) b) Für den Durbn-Wu-Hausman Test wurde de Hlfsregresson n Spalte (2) durchgeführt. Beschreben Se den Test nklusve der Null- und Alternatvhypothese und führen Se hn durch. (4 Punkte) c) Ist age en gutes Instrument für xper? Dskuteren Se kurz de beden relevanten Aspekte. (2 Punkte) 2

4 Aufgabe 3: Unterstellen Se das wahre Modell y = x β + z γ + ε. [16 Punkte] a) Erläutern Se ausführlch de Auswrkungen für b, wenn statt des wahren Modells nur y = xβ + ε geschätzt wrd. (3 Punkte) b) Erläutern Se de Konsequenzen, wenn das Modell aus a) das wahre wäre, jedoch das engangs unterstellte Modell geschätzt würde. (1 Punkte) c) We können Se allen mt Hlfe der Schätzergebnsse aus Telaufgabe a) emprsch de funktonale Form des Modells überprüfen? Stellen Se Ihre Vorgehenswese kurz dar. (5 Punkte) d) De nachfolgende Tabelle zegt KQ Schätzergebnsse ener Lohnfunktonsglechung, n der zunächst nur für Jahre der Bldung (educ) kontrollert wrd. De Schätzungen n den Spalten (2) und (3) kontrolleren für Testergebnsse enes IQ-Tests (IQ) als Proxy für ncht beobachtbare Fähgketen sowe für enen Interaktonsterm zwschen educ und IQ. In der Stchprobe legen de Mttelwerte (Standardabwechungen) für educ be (2.20) und für IQ be (15.05). (7 Punkte) Abh. Varable: log(wage) (1) (2) (3) Constant (0.113) (0.128) (0.546) educ (0.006) (0.007) (0.041) IQ (0.0010) (0.0052) educ*iq ( ) Observatons R Anmerkungen: Standardfehler n Klammern d1) Welchen Effekt hat de Berückschtgung von IQ auf b educ? Interpreteren Se de Ergebnsse n Spalten (1) und (2) nhaltlch. d2) Spalte (2): We hoch st der Effekt ener Stegerung n IQ um ene Standardabwechung, ausgedrückt n Enheten von educ? d3) Spalte (3): We nterpreteren Se her b educ? Aufgabe 4: [8 Punkte] Unterstellen Se das Modell y = x t t β + α + εt, mt als Index für de Beobachtungsenhet und t als Index für de Beobachtungsperode t. a) Durch welche Annahmen unterscheden sch random effects und fxed effects Schätzer. (3 Punkte) b) En Hausman Test prüft, ob de Ergebnsse enes random effects oder fxed effects Schätzers zu bevorzugen snd. (5 Punkte) b1) Skzzeren Se de Idee des Hausman Tests. b2) De Teststatstk enes Hausman Tests se 2.33 be 2 Frehetsgraden. Testen Se auf dem 5% Sgnfkanznveau, ob der random effects oder der fxed effects Schätzer heranzuzehen st. 3

5 Aufgabe 5: Gegeben se en Störtermprozess mt folgender Struktur: [11 Punkte] ε = υ + υ + υ, t t t 1 t 2 2 wobe υ ~ N ( 0, σ t υ ) und cov ( υ, υ ) 0 s. t t = s a) Bestmmen Se de Varanz von ε und de Kovaranz benachbarter Störterme ε t und εt 1. b) Stellen Se de Varanz-Kovaranz-Matrx von ε t dar. (3 Punkte) (4 Punkte) c) Beschreben Se enen emprschen Zusammenhang, be dem ene solche Fehlertermstruktur vorkommen kann. (4 Punkte) Aufgabe 6: [40 Punkte] Wahr oder falsch? Tragen Se für jede der folgenden Aussagen en w für wahr oder en f für falsch en. Für jede rchtge Antwort gbt es 0.75 Punkte, für jede falsche Antwort werden 0.75 Punkte abgezogen. De Gesamtpunktzahl kann ncht negatv werden. Das angepasste R 2 entsprcht der Korrelaton zwschen der abhänggen Varablen ener lnearen Regressonsglechung und hrem vorhergesagten Wert. Wrd bem GMM Schätzer ncht de optmale Gewchtungsmatrx W gewählt, so snd de Parameterschätzer verzerrt. Autokorrelerte Störtermprozesse snd dann statonär, wenn der Enfluss vergangener Schocks auf de laufenden Störterme mt der Zet abnmmt. Im lnearen Regressonsmodell wrd unterstellt, dass de abhängge Varable kene Zufallsvarable st. Be Gültgket des Gauss-Markov Theorems gbt es kenen Schätzer des lnearen Regressonsmodells mt klenerer Varanz als de des Klenstquadrateschätzers. Bem Least Squares Dummy Varables Schätzer (LSDV) wrd en Klenstquadrateschätzer auf en Modell angewendet, be dem sowohl von der abhänggen Varable, we von den erklärenden Varablen de beobachtungsspezfschen Mttelwerte abgezogen wurden. AR(1) Störterme snd homoskedastsch. Be endogenen erklärenden Varablen st ene GMM Schätzung dann effzent, wenn de Anzahl der Momentenbedngungen (R) klener st als de Anzahl der zu schätzenden Parameter (K). Der Klenstquadrateschätzer mnmert de Summe der quadrerten horzontalen Abwechungen von der Regressonsgerade. Wenn statt enes Cochrane-Orcutt Schätzers en teratver Cochrane-Orcutt Schätzer verwendet wrd, stegt de Effzenz der Schätzung. De Normalvertelung st ene enparametrge Vertelungsfunkton. Der Durbn-Wu-Hausman Test auf Endogentät ener erklärenden Varablen wrd durchgeführt, ndem der Regressonsglechung ene zusätzlche erklärende Varable hnzugefügt wrd. Be negatver Autokorrelaton zweter Ordnung st der Durbn-Watson Test ncht durchführbar. Man wählt den GIVE (generalzed nstrumental varables estmator) Schätzer, wenn mehr endogene erklärende Varablen als Instrumente vorlegen. De Nullhypothese H 0 : β c wrd be 1500 Frehetsgraden am 5 Prozentnveau verworfen, wenn als Teststatstk der t-wert klener als 1,645 st. 4

6 Wenn alle erklärenden Varablen x strkt exogen snd, st der wthn Schätzer konsstent. Jede Varable z kann als Instrumentvarable genutzt werden, wenn Se mt dem Störterm des Regressonsmodells unkorrelert st. De statstsche Sgnfkanz enes Stegungsparameters lässt sch mttels enes F-Tests testen. Der Durbn-Watson Test verallgemenert den Whte Test. Um k Parameter zu dentfzeren, benötgt man mndestens k Momentenbedngungen. Der random effects Schätzer kann de between und fxed effects Schätzer an Effzenz übertreffen. Be movng average Störtermprozessen kann de Korrelaton zwschen länger ausenanderlegenden Störtermen Null betragen. Der Goldfeld-Quandt Test st en F-Test auf de Glechhet der Varanz zweer Telstchproben. Wenn glt E{x 2 ε } = 0, sagen wr, dass x 2 ene endogene erklärende Varable st. Um de Unverzerrthet des Klenstquadrateschätzers zu bewesen, braucht man stärkere Annahmen, als zum Nachwes sener Konsstenz. Newey-West Standardfehler korrgeren sowohl für Heteroskedaste unbekannten Ursprungs als auch für Autokorrelatonsmuster, de auf H Peroden beschränkt snd. Der F-Test auf gemensame Sgnfkanz ener Gruppe von erklärenden Varablen m Rahmen enes lnearen Modells kann mttels R 2 Werten durchgeführt werden. Whte Standardfehler korrgeren für Autokorrelaton belebger Ordnung. Ohne Kenntns der Kovaranz zwschen den beden Schätzern kann der Hausman Test zur Entschedung zwschen fxed und random effects Schätzung ncht durchgeführt werden. Be Modellen n struktureller Form st es möglch, dass erklärende Varablen mt dem Störterm korrelert snd. Durch das Hnzufügen weterer erklärender Varablen kann der angepasste R 2 Wert ncht snken. Wenn der p-wert größer st als das Sgnfkanznveau enes Tests, wrd de Nullhypothese verworfen. Wenn heteroskedastsche Störterme vorlegen, st der Feasble GLS Schätzer BLUE. F-Tests lassen sch m Rahmen des lnearen Modells n Wald Tests überführen, de χ 2 vertelte Teststatstken erzeugen. Modelle n reduzerter Form enthalten auf der rechten Sete kene endogenen erklärenden Varablen. Je nachdem, ob de Schätzung mt oder ohne Konstante durchgeführt wrd, sprcht man be Paneldaten von fxed oder random effects Schätzungen. Mthlfe des Akake Informaton Crteron (AIC) und des Schwarz Bayesan Informaton Crteron (BIC) wrd auf Strukturbruch n den Daten getestet. Multkollneartätsprobleme können durch Vergrößerung der Stchprobe reduzert werden. Wurden Stegungsparameter mt dem verallgemenerte Klenstquadrateschätzer geschätzt, so st der F Test ncht anwendbar. Ist ene erklärende Varable mt Messfehler gemessen, so beschrebt der KQ Schätzer hres Stegungsparameters m lnearen Modell konsstent den Effekt der gemessenen Varable. 5

7 De Vertelungsfunkton der Stegungsparameter des lnearen Modells n klenen Stchproben kann nur dann präzse beschreben werden, wenn de Vertelung des Störterms feststeht. Gbt es verschedene Modelle, de ene abhängge Varable erklären können, so beschrebt der encompassng Test, ob en Modell den Erklärungsbetrag des anderen mt enthält. De Annahme E{ε X} = 0 lässt zu, dass de Varanz des ε von X abhängt. Der nchtlneare Klenstquadrateschätzer bestmmt dejengen Parameter, de de quadrerte Summe der Störterme mnmeren Auch be exakter Multkollneartät kann der Klenstquadrateschätzer unverzerrt geschätzt werden. Heteroskedastsche Störterme blden de Schocks vergangener Peroden ab. Ist ene erklärende Varable mt Messfehler gemessen, so snd de KQ Schätzer des Stegungsparameters des lnearen Modells und de der Regressonskonstante nkonsstent. En Parameterschätzer st effzent, wenn er gegen senen wahren Wert konvergert. Das Auslassen ener relevanten erklärenden Varablen führt zu überhöhten Standardfehlern. Der Chow-Test überprüft mttels ener F Teststatstk, ob vorhergesagte Werte der abhänggen Varable den Erklärungsgehalt des Modells erhöhen. Der verallgemenerte Klenstquadrate Schätzer wendet den KQ Schätzer auf transformerte Varablen an. En Vorhersagentervall für en y 0 kann bestmmt werden, ohne den Parameterschätzer für de Regressonskonstante zu kennen. Enthält das lneare Regressonsmodell ene verzögerte endogene Varable (y t-1 ), dann sollte für den Test auf Autokorrelaton erster Ordnung des Störterms der Durbn-Watson Test verwendet werden. In der Paneldatenanalyse wrd standardmäßg unterstellt, dass sch de Stegungsparameter über de Zet ändern. Ist de abhängge Varable lognormal vertelt und n logarthmerter Form geschätzt, so kann hr ncht-logarthmerter Wert nur unter Berückschtgung der Varanz des Störterms vorhergesagt werden. Be Autokorrelaton erster Ordnung glt das Gauss Markov Theorem ncht mehr. De optmale Gewchtungsmatrx des GMM Modells W entsprcht der Varanz-Kovaranzmatrx der Koeffzenten. Auch be verzerrten Koeffzenten führt der Klenstquadrateschätzer zu unverzerrten Vorhersagen. De Annahme V{ε} = σ 2 I glt unter Autokorrelaton, aber ncht unter Heteroskedaste. Unabhängg von den Egenschaften des Störterms ener lnearen Regressonsglechung führt de Berückschtgung von verzögerten endogenen Varablen (y t-1 ) zur Inkonsstenz der geschätzten Stegungsparameter. 6

8 Aufgabe 7: [15 Punkte] Wahr oder falsch? Begründen Se Ihre Auffassung (Bsp.: "Stmmt, wel..." bzw. "Stmmt ncht, wel..."). Nur be korrekter Begründung erhält jede rchtge Antwort 1.5 Punkte; Angaben ohne Begründung werden ncht gewertet. Der verallgemenerte Klenstquadrateschätzer kann als gewchteter KQ Schätzer nterpretert werden. Es st ncht möglch, m Rahmen enes lnearen Regressonsmodells Elastztäten zu schätzen. De Wahrschenlchket enes Typ I Fehlers st umso höher, je höher das Sgnfkanznveau α enes Tests. Am Sgnfkanznveau von 5 Prozent wesen en- und zwesetge Tests ener Hypothese den glechen krtschen Wert der Teststatstk aus. De Unverzerrthet des Klenstquadrateschätzers lässt sch ncht nachwesen, wenn E{X'ε}= 0. Ob "schwache Instrumente" vorlegen, lässt sch durch ene Hlfsregresson überprüfen. Der PE Test testet n zwe Stufen, ob das lneare oder loglneare Modell angemessen st. Alle Fragestellungen der Paneldatenanalyse können auch mt Querschnttsdaten beantwortet werden. Identsch und unabhängg vertelte Störterme können heteroskedastsch sen. Das GMM Verfahren nutzt Annahmen an de Vertelungsfunkton der abhänggen Varable. 7