Lehrstuhl für Statistik und emp. Wirtschaftsforschung, Prof. R. T. Riphahn, Ph.D. Bachelorprüfung, Praxis der empirischen Wirtschaftsforschung

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1 Lehrstuhl ür Statstk und emp. Wrtschatsorschung, Pro. R. T. Rphahn, Ph.D. Bachelorprüung, Praxs der emprschen Wrtschatsorschung Augabe 1: [11 Punkte] Se vermuten, dass das Nveau der Wohnungsmeten n Unverstätsstädten unter anderem vom Antel der Studerenden an den Enohnern abhängt. Ihnen legen Daten ür 64 amerkansche Unverstätsstädte vor, mt denen Se olgendes schätzen: rent = β0 + β1 pctstu + β avgnc + u rent = durchschnttlch zu zahlende Mete pro Wohnung n US-Dollars pctstu = Antel der Studerenden an den Enohnern gemessen n Prozent (0-100%) avgnc = durchschnttlches Jahresenkommen pro Enohner n 1000 US-Dollars SPSS leert Ihnen olgenden Output: ANOVA(b) Quadratsu mme d Mttel der Quadrate F Sgnkanz 1 Regresson 37890, ,199 47,389,000(a) Resduen 4347, ,345 Gesamt 6176,43 63 a Enlußvarablen : (Konstante), avgnc, pctstu b Abhängge Varable: rent Koezenten(a) Ncht standardserte Koezenten Standardsert e Koezenten Standarde B hler Beta T Sgnkanz 1 (Konstante) 78,064 39,590 1,97,053 pctstu 1,699,608,33,797,007 avgnc 1,567 1,91,811 9,734,000 a Abhängge Varable: rent a) Interpreteren Se de Größe der Koezenten von pctstu und avgnc. ( Punkte) Stegt der Studentenantel unter den Enohnern ener Unverstätsstadt um enen Prozentpunkt, so stegt de erartete Durchschnttsmete ceters parbus um crca 1,70 $. Stegt das jährlche Durchschnttsenkommen pro Enohner n ener Unverstätsstadt um 1000$, so erhöht sch de erartete Durchschnttsmete dort ceters parbus um crca 1,57 $. b) Berechnen Se das 95% Kondenzntervall ür den Koezenten von avgnc. (3 Punkte) KI = [ ˆ β ( ˆ tα /, n k 1 se β ); ˆ β ( ˆ + tα /, n k 1 se β )] KI = [ 1,567,00 1,91;1,567 +,00 1,91] = [ 9,985;15,149] 1/10

2 c) Berechnen und nterpreteren Se den R - Wert. ( Punkte) 37890,39 R = = 0, ,43 Crca 61 % der Varaton n rent rd durch das erklärt. d) We ändern sch jeels ˆ β, se( ˆ β ) und der p-wert von ˆ β, enn das durchschnttlche Jahresenkommen pro Enohner n $ statt n 1000 $ gemessen äre? Beenlusst dese Transormaton auch de Schätzgüte des s? (4 Punkte) ~ β = 1,567 :1000 = 0,01567 (1) ~ se ( β ) = 1,91:1000 = 0,00191 (1) p-wert blebt glech, da t-statstk = [ ˆ β :1000]/[ ( ˆ se β ) :1000] glech blebt. Schätzgüte rd ncht beenlusst. ( R blebt glech) Augabe : [8 Punkte] Se entschleßen sch, de abhängge Varable rent n logarthmerter Form zu verenden: log( rent ) = β + β1 pctstu + β avgnc 0 + De Schätzung leert olgende Ergebnsse: Koezenten(a) u Ncht standardserte Koezenten Standardsert e Koezenten Standarde B hler Beta T Sgnkanz 1 (Konstante) 5,339,085 63,150,000 pctstu,004,001,7 3,086,003 avgnc,04,003,776 8,806,000 a Abhängge Varable: log(rent) a) Interpreteren Se erneut de Größe der Koezenten von pctstu und avgnc. ( Punkte) Stegt der Studentenantel unter den Enohnern ener Unverstätsstadt um enen Prozentpunkt, so stegt de erartete Durchschnttsmete ceters parbus um ca. 0,4%. Stegt das jährlche Durchschnttsenkommen pro Enohner n ener Unverstätsstadt um 1000 $, so erhöht sch de erartete Durchschnttsmete dort ceters parbus um crca.,4% b) Testen Se anhand enes t-tests am 5% Sgnkanznveau, ob der Koezent von avgnc sgnkant größer Null st. Geben Se de Null- und Alternatvhypothese, de Teststatstk, den krtschen Wert der t-vertelung, de Anzahl der Frehetsgrade soe de Testentschedung an. (3 Punkte) H β 0 ; H β 0 0 : ˆ β β t = se( ˆ β ) t 0,05;64 1 = 1 : > 0,04 = = 8,00 0,003 1,671 /10

3 1,671 < 8,00 Der Koezent von avgnc st sgnkant größer Null. c) We hoch st laut desem de erartete Durchschnttsmete n ener Unverstätsstadt n der 30% der Enohner Studerende snd und das jährlche Durchschnttsenkommen pro Kop $ beträgt? (3 Punkte) Hnes: es glt ˆ σ = 0, 0 lôg( rent) = 5, , ,04 0 = 5,939 rent ˆ = exp( ˆ σ / ) exp(lôg( rent)) = 379,63 De erartete Durchschnttsmete beträgt 379,63$. Augabe 3: [13 Punkte] Se möchten untersuchen, ovon das Rauchverhalten abhängt. Dazu betrachten Se Daten zu 807 Indvduen und schätzen das : cgs = β0 + β1 educ + β male + β 3 age + β 4 age + β 5 log( ncome) + u cgs = Anzahl gerauchter Zgaretten pro Tag educ = Anzahl n Ausbldung verbrachter Jahre male = 1 enn männlch, = 0 enn eblch age = Alter n Jahren age = Alter n Jahren quadrert log(ncome) = Logarthmertes Jahresenkommen n US-Dollars SPSS leert Ihnen olgenden Output: ANOVA(b) Quadratsu mme d Mttel der Quadrate 1 Regresson 6800, ,049 Resduen , ,966 Gesamt , a Enlußvarablen : (Konstante), educ, male age, age, log(ncome) b Abhängge Varable: cgs Koezenten a 1 (Konstante) educ male age age log(ncome) a. Abhängge Varable: cgs Ncht standardserte Koezenten Standardse rte Koezenten Standard B ehler Beta T Sgnkanz -5,889 6,88 -,86,389 -,516,168 -,115-3,076,00 -,161 1,455 -,004 -,111,91,78,161,970 4,855,000 -,009,00-1,048-5,0,000,730,78,038 1,00,316 3/10

4 a) Beantorten Se de olgenden Fragen. (3 Punkte) (1) Was versteht man allgemen unter rrelevanten Varablen? Ene erklärende Varable st rrelevant, enn hr Bevölkerungsparameter glech Null st. () Welche Ausrkungen haben rrelevante Varablen ür de Schätzergebnsse? De Varanz der übrgen geschätzten Parameter stegt. (3) Beurtelen Se anhand der vorlegenden Schätzergebnsse, ob male ene rrelevante Varable st. Der Parameter von male st nsgnkant. Das deutet darau hn, dass male ene rrelevante Varable st. b) Testen Se au dem 5% Sgnkanznveau, ob das von Ihnen geschätzte sgnkant st. Geben Se an, elchen Test Se durchühren, de Null- und Alternatvhypothese, de Teststatstk, den krtschen Wert soe de Testentschedung. (4 Punkte) F-Test au Gesamtsgnkanz des s H 0 : β1 = β = β 3 = β 4 = β 5 = 0 H 1 : mnd. en Koezent 0 (1P) ( SSR F = SSR F 0 =,1,05;5;801 r u SSRu ) / q (151753, ,4) / ,06 = = = 7,5 /( n k 1) ,4 / ,97 F > F krt H 0 muss au dem 5% Sgnkanznveau veroren erden. Das st statstsch sgnkant. c) Se überlegen, de Varable log(mncome) (logarthmerter Monatsverdenst n US-Dollars) zusätzlch n Ihr auzunehmen und cgs = β0 + β1 educ + β male + β 3 age + β 4 age + β 5 log( ncome) + β 6 log( mncome) + u zu schätzen. De Regresson log( mncome) = β0 + β1 educ + β male + β 3 age + β 4 age + β 5 log( ncome) + u ergbt enen R6 -Wert von 0,99. Sollten Se de Varable log(mncome) n Ihr aunehmen? Begründen Se. ( Punkte) Der sehr hohe R 6 -Wert deutet au nahezu perekte Multkollneartät hn. De Varaton n log(mncome) rd benahe gänzlch durch de übrgen Regressoren erklärt. Der egene Erklärungsbetrag von log(mncome) st vernachlässgbar gerng. De Varable sollte ncht ns augenommen erden. d) Welche dre Faktoren beenlussen Var ( ˆ β 6 )? Erarten Se au Bass der n c) angegebenen Ergebnsse ene präzse Schätzung von ˆβ 6? Begründen Se kurz Ihre Antort. (4 Punkte) Sörtermvaranz; Varaton von log(mncome) n der Stchprobe; Antel der Varaton n log(mncome) de durch de anderen Regressoren erklärt erden kann; R hoch -> unpräzse Schätzung 6 4/10

5 Augabe 4: [18 Punkte] Ihr Datensatz enthält Inormatonen über NBA Basketballspeler. Se schätzen olgendes : pkt = β0 + β1 er + β er + u pkt = pro Spel durchschnttlch erzelte Punktzahl er = Lgazugehörgket n Jahren er = Lgazugehörgket n Jahren, quadrert Se erhalten olgende Ergebnsse mt SPSS: Koezenten(a) Ncht standardserte Koezenten B Standardehler T Sgnkanz 1 (Konstante) 6,79,937 6,700,000 er 1,34,39 4,077,000 er -,078,04-3,40,001 a Abhängge Varable: pkt a) Beantorten Se olgende Fragen: (8 Punkte) (1) We unterschedet sch der margnale Eekt der Lgaerahrung ür Personen mt ün und zehn Jahren Lgaerahrung? ) pkt = ˆ β1 + ˆ β er = 1,34 * 0,078*er er *5*(-0,078)=-0,78 Der margnale Eekt der Lgaerahrung st ür Speler mt 10 Jahren Lgaerahrung um 0,78 Punkte nedrger als ür Speler mt 5 Jahren. () Be elchem Wert ür de Varable er st der margnale Eekt der Lgazugehörgket Null? 0 = 1,34 0, 078 er ; er 0 = 8,6 Be ener Lgazugehörgket von 8,6 Jahren hat en eteres Jahr Erahrung kenen Eekt au de Punktzahl. (3) Be elchem Wert ür de Varable er st der margnale Eekt der Lgazugehörgket maxmal? Begründen Se Ihr Ergebns kurz. Der margnale Eekt nmmt lnear n er ab. Daher st er be er = 0 maxmal. (4) Fertgen Se ene grobe Skzze des geschätzten Zusammenhangs zschen den pro Spel erzelten Punkten (y-achse) und Erahrung (x-achse) an. Skzze enes umgekehrt U-örmgen Kurvenverlaus b) Se haben n Ihrer Regresson ncht ür das Alter kontrollert. (5 Punkte) 5/10

6 (1) Welche Bezehungen müssen zschen den varablen und der eggelassen Varable Alter bestehen, damt de Parameter Ihres s trotz Fehlen der Varable Alter mt KQ unverzerrt geschätzt erden können? Alter dar ncht mt er oder er korrelert sen (1 P) oder (ncht: und ) dar ncht mt pkt korrelert sen () We plausbel snd dese Bedngungen? Begründen Se. unplausbel, da Alter und Erahrung postv korrelert snd unplausbel, da älter erden (m Gegensatz zu mehr Erahrung sammeln) negatv mt erzelter Punktzahl korrelert sen sollte (andere plausble Erklärungen möglch) c) Welche Annahmen müssen mndestens erüllt sen, damt de Parameter ener Klenstquadrateschätzung konsstent geschätzt erden können? Geben Se ür jede der Annahmen ene kurze verbal Beschrebung. (5 Punkte) MLR.1 : das st lnear n den Parametern MLR. : de Stchprobe st zuällg gezogen MLR.3 : kene perekte Kollneartät zschen Regressoren MLR.4 : der Erartungsert des Störterms st Null und de Kovaranzen zschen dem Störterm und jedem enzelnen Regressor snd Null +1P ür das Wssen, dass genau MLR.1 MLR.4 Voraussetzung ür Konsstenz snd (d.h. ken Punkt, enn zu eng oder zu vele Annahmen augeührt erden) Augabe 5: [6 Punkte] Wahr oder alsch? Tragen Se ür jede der olgenden Aussagen en ür ahr oder en ür alsch en. Für jede rchtge Antort gbt es 0,5 Punkte, ür jede alsche Antort erden 0,5 Punkte abgezogen. De Gesamtpunktzahl kann ncht negatv erden. Das Sgnkanznveau enes Tests beschrebt de Wahrschenlchket, dass man H 0 verrt, obohl H 0 ahr st. De Ablehnungsregon enes t-tests mt der Nullhypothese H 0 : β j =0 und der Alternatvhypothese H 1 :β j >0 bendet sch n der graphschen Darstellung der t-vertelung am rechten Ende. Im log-lnearen msst 100 βˆ de prozentuale Änderung von y be Änderung von x 1 1 um ene Enhet. Wenn der margnale Eekt der abhänggen Varablen vom Wert der Ausprägung der Varablen selbst abhängt, dann urden Interaktonsterme verendet. Im multplen mplzeren de Annahmen MLR.1 MLR.5, dass der KQ-Schätzer asymptotsch normalvertelt st. Das Gauss-Markov Theorem glt nur ür klene Stchproben. Wenn βˆ egen ausgelassener erklärender Varablen verzerrt geschätzt st, st der Intervallschätzer j ene unverzerrte Alternatve. Es gbt e, de nchtlnear n den Varablen snd und glechzetg lnear n den unbekannten Parametern. Be Regressonen durch den Ursprung hat der Achsenabschnttsparameter den Wert ens. En Regressor st endogen, enn er mt dem Störterm unkorrelert st. Medanerte snd enger von Ausreßern beenlusst als Mttelerte. Da bem F-Test mehrere lneare Restrktonen getestet erden, hat der p-wert ene andere Bedeutung als bem t-test ener lnearen Restrkton. Ist en Schätzverahren konsstent, so entsprcht der geschätzte Wert be unendlch großer Stchprobe dem Bevölkerungsparameter. 6/10

7 Der p-wert entsprcht dem Sgnkanznveau enes Tests, be dem de berechnete Teststatstk dem krtschen Wert entsprcht. Der Schätzert ür de Konstante n enem Regressonsmodell st ene Realsaton ener Zuallsvarable. Be mmer größer erdenden Stchproben tendert de Varanz konsstenter Schätzer gegen Null. Je höher das R, desto höher st de Wahrschenlchket, bem F-Test au Gesamtsgnkanz enes s H 0 zu vereren. Das 95%-Kondenzntervall st breter als das 99%-Kondenzntervall. exp(x 1 +x )=exp(x 1 )+exp(x ) Das Enügen rrelevanter Regressoren n en erhöht de Varanz des Störterms. Dummy-Varablen können zur Beertung von Poltkmaßnahmen genutzt erden. De Unverzerrthet der KQ-Schätzer ür de Stegungsparameter m multplen rd durch de Annahme Var(u x 1,x,..,x k ) = 0 schergestellt. De KQ-Schätzung enes lnearen s st auch dann möglch, enn de erklärende Varable n logarthmerter Form vorlegt. Wenn X den Erartungsert von Y ncht beenlusst, snd X und Y korrelert. De Kovaranz kann nur Werte zschen -1 und +1 annehmen. Das R kann stegen, enn ene zusätzlche erklärende Varable berückschtgt rd. Für dskrete Zuallsvarablen kann kene kumulatve Vertelungsunkton berechnet erden. Das Weglassen relevanter Varablen ührt n der Regel zu ener Unterschätzung der KQ-Parameter der anderen Regressoren. Wenn de Annahme der Normalvertelung der KQ-Schätzer ncht glt, snd Kondenzntervalle unter den Annahmen MLR1-MLR5 eterhn asymptotsch nterpreterbar. Var(aX+b)=a*Var(X) De Nullhypothese bezeht sch au den unbekannten Bevölkerungsparameter, ncht au den geschätzten Wert. Benutzt man Dummy-Varablen, um de Eekte der ver Jahreszeten zu kontrolleren und berückschtgt ledglch 3 Indkatorvarablen n der spezkaton, so kann über de ncht berückschtgte Jahreszet kene Aussage getroen erden. Be Schätzung der Spezkaton y=β 0 +β 1 x+β x st der margnale Eekt von x au y ncht konstant. Je größer der berechnete t-wert, desto ahrschenlcher rd, dass de zugehörge H 0 glt. Im log-lnearen st 100 βˆ als Sem-Elastztät nterpreterbar. 1 De Nullhypothese H 0 : β 1 =β kann mt dem t-test getestet erden. Im mt logarthmerter abhängger Varable düren kene Dummy-Varablen als erklärende Varablen verendet erden. Tests zu Lnearkombnatonen von Parametern können ncht mt dem t-test durchgeührt erden. Wenn X und Y unabhängg vonenander snd, dann st E(X Y)=E(X). En Regressor st exogen, enn er mt dem Störterm unkorrelert st. Unter omtted varable bas versteht man ene Verzerrung des KQ-Schätzers, de autreten kann, enn relevante erklärende Varablen m ehlen. En ensetger t-test au dem 5% Nveau hat ene größere Ablehnungsregon als en ensetger t-test au dem 10% Nveau. De F-Vertelung kann nur postve Werte annehmen. Das Kondenzntervall um präzse geschätzte Parameter st enger als das um Parameter mt großem Standardehler. En Cho-Test kann n Form enes F-Tests durchgeührt erden. Das Gauss-Markov-Theorem macht ene Aussage zu nchtlnearen Schätzverahren. Wrd ene logarthmerte abhängge Varable umskalert, ändert sch be Schätzung des es ledglch der Achsenabschntt. 7/10

8 F- und t-test können be zesetgen Tests zum glechen Ergebns kommen. Ist de Stchprobengröße zu klen, so snd de Parameter verzerrt. Im multplen lnearen erden ür jeden Regressor separate R -Werte errechnet. De Zählerrehetsgrade des F-Tests hängen ncht von der Zahl der Beobachtungen ab. Von ze unverzerrten Schätzern ür θ (W und V) st W ezenter, enn Var(W)<Var(V). Augabe 6: [14 Punkte] Welche Antort st rchtg? Kreuzen Se nur ene Antort pro Augabe an. Falls mehrere Aussagen korrekt snd, kreuzen Se nur de entsprechende Antortkombnaton an. Für jede rchtge Antort gbt es 1 Punkt. Für alsche Antorten erden kene Punkte abgezogen. 1. De ceters parbus Annahme m multplen lnearen Regressonsmodell a kann mttels des Lagrange-Multpler Test überprüt erden. b glt ür Männer, aber ncht ür Frauen. c st ene asymptotsche Egenschat. d a und b. e a, b und c. kene der Antorten.. Unverzerrthet der Stegungsparameter m KQ-Verahren a glt als Egenschat des Schätzverahrens nur n großen Stchproben. b glt als Egenschat des Schätzverahrens auch be klener Stchprobe. c rd als nte sample property bezechnet. d glt unabhängg von der Vertelung der Störterme. e a, b und d. b, c und d. 3. Be der Ausahl von Regressoren a glt es, over-controllng zu vermeden. b spelt omtted varable bas kene Rolle. c kann es m Snne ener präzseren Schätzung snnvoll sen, ene zusätzlche Varable ns auzunehmen, de ncht mt den berückschtgten korrelert st. d a und b. e a und c. a, b und c. 4. De t-vertelung a hat ene Varanz de vom geählten Sgnkanznveau abhängt. b est ür Mttelert und Medan den glechen Wert au. c rd be nur ener zu testenden Restrkton asymmetrsch. d nähert sch mt stegender Zahl an Frehetsgraden der Normalvertelung an. e b und d. Alle Antorten snd zutreend. Be elchen der olgenden e st augrund hrer Spezkaton mndestens ene der Gauss-Markov 5. Annahmen zum lnearen Regressonsmodell verletzt? a log( y ) = β + β log( x) + log( x ) + u 0 1 β 8/10

9 b log( y ) = β 0 + β1 log( x) + β [log( x)] + u β1 c y = β + x + u 0 d y β + β x + x + u e a und c. a, b und c. = β 6. En sehr hoher p-wert be enem Test au statstsche Sgnkanz a kann au enen betraglch großen Koezenten zurückzuühren sen. b kann au ene sehr ungenaue Schätzung zurückzuühren sen. c deutet au en zu nedrges Sgnkanznveau hn. d deutet au statstsche Sgnkanz des Koezenten hn. e a und b. c und d. 7. Im x y y β x + u und be Gültgket der Annahmen MLR.1 bs MLR.5 rd β 1 mttels = 1 x a unverzerrt geschätzt, enn der Populatonsparameter der Regressonskonstante β 0 = 0. b unverzerrt geschätzt, enn der Populatonsparameter des Stegungsparameters β 1 = 0. c unverzerrt geschätzt, enn x = 0. d ezent geschätzt, enn β 0 = 0 e a, c und d. b und d. 8. Glt de Normalvertelungsannahme der Störterme ncht, a kann de asymptotsche Gültgket von t- und F-Tests selbst unter zusätzlchen Annahmen ncht aus dem zentralen Grenzertsatz abgeletet erden. b st der KQ-Schätzer nkonsstent. c st der KQ-Schätzer ncht mehr BLUE, da er an Ezenz enbüßt. d a und c. e a und b. kene der Antorten. 9. Mttels KQ vorhergesagte Werte a haben m enachen Regressonsmodell am Mttelert der Daten enen erarteten Vorhersageehler von Null. b haben de klenste Varanz, enn de abhängge Varable an hrem Mttelert betrachtet rd. c snd Zuallsvarablen. d kene der Antorten. e a und c. b und c. 10. Geht n de Spezkaton enes s ene Dummy-Varable en, a st das R ncht mehr berechenbar. b ällt de Schätzgüte des s ( R ) ncht. c berkt des ene Parallelverschebung der Regressonsgerade m Ausmaß β + β. 0 Dummy d msst dese enen Nveauuntersched ür ze Gruppen. e a, b und c. 9/10

10 b und d. 11. Wrd das log(y) = β 0 + β 1 log(x)+u geschätzt, a msst β 1 de absolute Änderung n y be Änderung von x um en Prozent. b msst β 1 de absolute Änderung n y be Änderung von x um enen Prozentpunkt. c msst β 1 de relatve Änderung n y be Änderung von x um enen Prozentpunkt. d msst β 1 de relatve Änderung n y be Änderung von x um en Prozent. e kene der Antorten. b und d. Wenn sch der Erartungsert der Störterme n ener lnearen Regresson je nach Ausprägung der 1. Regressoren unterschedet a sprcht man von Homoskedaste. b müssen de Koezenten des s als kausale Eekte nterpretert erden. c snd de geschätzten Parameter unverzerrt, solange de Störterme normalvertelt snd. d muss das mehrmals geschätzt erden. e a und d. kene der Antorten. 13. De Verendung von Interaktonstermen zschen unterschedlchen erklärenden Varablen a st zngende Voraussetzung ür de Durchührung des Cho-Tests. b st nur möglch, enn de ceters parbus Bedngung erüllt st. c ermöglcht, ür verschedene Gruppen unterschedlche Stegungsparameter zu berechnen. d st nur ür Dummy-Varablen snnvoll. e a, b und c. a und c. 14. Perekte Multkollneartät a ührt zu ener sehr genauen Schätzung der Eekte der kollnearen Regressoren. b ührt zu ener sehr ungenauen Schätzung der Eekte der kollnearen Regressoren. c trtt au, enn be ener Schätzung mt Dummy Varablen und Konstante kene Reerenzkategore geählt rd. d trtt au, enn de abhängge Varable und mndestens ener der Regressoren n en und derselben Enhet gemessen erden. e b und c. b, c und d. 10/10