Masterprüfung SS 2016

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1 Lehrstuhl für Statstk und emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Regna T. Rphahn, Ph.D. Masterprüfung SS 06 Fach: Ökonometre Prüfer: Prof. Regna T. Rphahn, Ph.D. Vorbemerkungen: Anzahl der Aufgaben: Bewertung: Erlaubte Hlfsmttel: Wchtge Hnwese: De Klausur besteht aus 5 Aufgaben, de alle bearbetet werden müssen. Es wrd nur der Lösungsbogen engesammelt. Es können maxmal 90 Punkte erworben werden. De maxmale Punktzahl st für jede Aufgabe n Klammern angegeben. Se entsprcht der für de Aufgabe empfohlenen Bearbetungszet n Mnuten. Formelsammlung (st der Klausur begefügt) Tabellen der statstschen Vertelungen (snd der Klausur begefügt) Taschenrechner Fremdwörterbuch Sollte es vorkommen, dass de statstschen Tabellen, de deser Klausur belegen, den gesuchten Wert der Frehetsgrade ncht auswesen, machen Se des kenntlch und verwenden Se den nächstgelegenen Wert. Sollte es vorkommen, dass be ener Berechnung ene erforderlche Informaton fehlt, machen Se des kenntlch und treffen Se für den fehlenden Wert ene plausble Annahme.

2 Aufgabe : [3 Punkte] Se nteresseren sch dafür, we Unterschede n der durchschnttlchen Kalorenaufnahme zwschen Ländern erklärt werden können. Ihnen snd folgende Daten über 07 Länder gegeben: kcal Durchschnttlche täglche Kalorenaufnahme n Land n Klokaloren (kcal) ln_gdppc Logarthmertes Bruttonlandsprodukt von Land n Dollar pro Kopf gran Antel der Getredeanbaufläche an der gesamten Anbaufläche von Land n Prozent (0-00) gran ˆ (gran ) trocken Dummy-Varable, =, wenn n Land trockenes Klma herrscht, =0 sonst tropsch Dummy-Varable, =, wenn n Land tropsches Klma herrscht, =0 sonst medterran Dummy-Varable, =, wenn n Land medterranes Klma herrscht, =0 sonst arktsch Dummy-Varable, =, wenn n Land arktsches Klma herrscht, =0 sonst Es wrd folgendes Regressonsmodell aufgestellt und anschleßend mt Stata geschätzt: kcal = β + β ln_gdppc + β 3 gran + β 4 gran ˆ + β 5 tropsch + β 6 medterran + β 7 arktsch + ε Source SS df MS umber of obs = F( 6, 00) = 7.49 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared =?????? Total Root MSE = kcal Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ln_gdppc gran gran^ tropsch medterran arktsch _cons Runden Se alle Zahlenangaben auf de drtte achkommastelle.. Interpreteren Se den geschätzten Koeffzenten b nhaltlch und statstsch. [ Punkte]. Bestmmen Se den margnalen Effekt des Antels der Getredeanbaufläche. Be welchem Antel st de Kalorenaufnahme maxmal? [,5 Punkte].3 Das Land Balkonen hat en Bruttonlandsprodukt pro Kopf von Dollar, es herrscht medterranes Klma und auf 0% der Anbaufläche wrd Getrede angebaut. We hoch st de erwartete täglche Kalorenaufnahme enes Bewohners von Balkonen? [,5 Punkte].4 Ermtteln Se das R (das angepasste R ) der Regresson. [ Punkte].5 Haben de Dummy-Varablen für das Klma gemensam enen sgnfkanten Enfluss auf de Kalorenaufnahme? Führen Se enen geegneten Test auf dem 5%-Sgnfkanznveau durch. Geben Se ull- und Alternatvhypothese, Teststatstk, krtschen Wert und Testentschedung an. Hnwes: Das Bestmmthetsmaß R des restrngerten Modells beträgt 0,609. [4 Punkte]

3 Aufgabe : [7 Punkte] Se nteresseren sch für den Enfluss der Fertltät auf de Erwerbstätgket von Frauen. Herfür steht hnen en Datensatz über 753 Frauen mt folgenden Varablen zur Verfügung: Job kdsl6 kds68 educ age Dummy-Varable, =, wenn Frau erwerbstätg st, =0 sonst Anzahl der Knder unter 6 Jahren von Frau Anzahl der Knder zwschen 6 und 8 Jahren von Frau Bldung von Frau n Jahren Alter von Frau n Jahren Es wrd folgendes Modell aufgestellt und mttels Logt geschätzt: P(Job = x ) = F(β + β kdsl6 + β 3 kds68 + β 4 educ + β 5 age ) Logstc regresson umber of obs = 753 LR ch(4) = Prob > ch = Log lkelhood = Pseudo R = Job Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] kdsl kds educ age _cons Runden Se alle Zahlenangaben auf de drtte achkommastelle.. Berechnen Se de Dfferenz n der Wahrschenlchket erwerbstätg zu sen zwschen ener Frau mt enem 5-jährgen Knd und ener Frau mt enem 8-jährgen Knd. Bede haben enen Hauptschulabschluss (0 Jahre Bldung), snd 30 Jahre alt und haben kene weteren Knder. [5 Punkte]. Es gbt zwe gebräuchlche Arten, den margnalen Effekt ener unabhänggen Varable be ener Logt Schätzung zu berechnen. Benennen se kurz n Worten de beden Möglchketen. [ Punkte] Aufgabe 3: [0 Punkte] En Verkehrsverbund nteressert sch für de Determnanten der Anzahl verkaufter U-Bahn-Tckets n senem Gebet. Es legt en Datensatz mt Informatonen für 365 Tage des Jahres 05 vor: ln_tckets t ln_prce t Ran t Speed t Logarthmerte Anzahl verkaufter Enzelfahrschene am Tag t Logarthmerter Pres enes Enzelfahrschenes n e am Tag t ederschlagsmenge n Mllmeter pro Quadratmeter am Tag t Durchschnttlche Straßenverkehrsgeschwndgket n km/h am Tag t Es wrd folgendes Regressonsmodell aufgestellt und anschleßend mt Stata geschätzt: ln_tckets t = β + β ln_prce t + β 3 Ran t + β 4 Speed t + ε t 3

4 Source SS df MS umber of obs = F( 3, 36) = 54.7 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = ln_tckets Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ln_prce Ran Speed _cons Runden Se alle Zahlenangaben auf de drtte achkommastelle. 3. Interpreteren Se den geschätzten Koeffzenten b nhaltlch und statstsch. [ Punkte] 3. Der folgende Stata-Output enthält de Ergebnsse enes Whte-Tests auf Heteroskedaste. Führen Se den Test auf enem Sgnfkanznveau von 5% durch. Geben Se ull- und Alternatvhypothese sowe Hlfsregresson an. Defneren Se de abhängge Varable der Hlfsregresson. Bestmmen Se zudem Teststatstk, Frehetsgrade, krtschen Wert und Testentschedung. [7 Punkte] Whte s test for Ho:??? aganst Ha:??? ch(?) =,4 Prob > ch =?????? 3.3 Es se V (ε t ) = σ Ran 3 t. Zegen Se formal de aus ener generalzed least squares (GLS)-Transformaton resulterende Schätzglechung, welche zu konstanter Störtermvaranz führt. Leten Se zudem de Varanz des Störterms m transformerten Modell her. [,5 Punkte] 3.4 Erläutern Se verbal den Begrff Autokorrelaton. Welche Folgen hat unkorrgerte Autokorrelaton für de geschätzten Parameter und deren Standardfehler? [ Punkte] 3.5 Führen Se enen Breusch-Godfrey-Test auf Autokorrelaton. Ordnung auf enem Sgnfkanznveau von % durch. Geben Se ull- und Alternatvhypothese, Hlfsregresson, Teststatstk, Frehetsgrade, krtschen Wert und Testentschedung an. Defneren Se dabe formal Autokorrelaton. Ordnung. Hnwes: Das Bestmmthetsmaß aus der Hlfsregresson lautet: R = 0,0. [6,5 Punkte] 4

5 Aufgabe 4: [0 Punkte] De Unverstätsletung beauftragt Se, de Determnanten der Klausurlestungen von Erstsemesterstuderenden zu analyseren. Se stellen dazu folgendes Regressonsmodell auf: wobe Se de Varablen we folgt koderen: Punkte = β + β Anwesenhet + γmotvaton + ε (Modell I) Punkte Durchschnttlch errechte Punktzahl des Studerenden n den Klausuren des. Semesters (0-00) Anwesenhet Antel der besuchten Vorlesungen des Studerenden n % (0-00) Motvaton Motvaton des Studerenden für das Studum Der Ihnen durch de Unverstätslestung zur Verfügung gestellte Datensatz mt Daten für 680 Studerende enthält jedoch kene Informaton über de Motvaton der Studerenden, so dass Se ledglch de Glechung mt ν = γmotvaton + ε schätzen können. Punkte = β + β Anwesenhet + ν (Modell II) 4. Leten Se ausgehend von der Formel b = (X X) X (Xβ +Uγ + ε) mt Anwesenhet Motvaton Anwesenhet X =.. und U = Motvaton. Anwesenhet 680 Motvaton 680 n Matrzenschrebwese formal her, unter welchen Bedngungen de Klenstquadrateschätzung (KQ) n Modell II zu enem unverzerrten Schätzer für β führt. Erläutern Se de beden Bedngungen knapp verbal. Machen Se kenntlch, an welcher Stelle der Herletung Se welche Annahme benötgen. Gehen Se davon aus, dass Anwesenhet und Motvaton determnstsch snd. [5,5 Punkte] 4. We unterschedet sch der geschätzte Koeffzent für Anwesenhet zwschen Modell I und II, wenn Se vermuten, dass Cov(Anwesenhet,Motvaton ) > 0 und γ > 0 glt? Erläutern Se Ihre Antwort. We können Se den KQ-Schätzer für β n Modell II nterpreteren? [3 Punkte] 4.3 Ihr Kommltone rät Ihnen, hr Endogentätsproblem durch Instrumenterung von Anwesenhet zu lösen. Er schlägt vor, als Instrumente für Anwesenhet de geographsche Dstanz zwschen dem Wohnort der Studerenden und des Hörsaals (Dstanz) sowe de Gesamtanzahl an verpflchtenden Semesterwochenstunden (SW S) zu nutzen. Erläutern Se verbal, unter welchen Bedngungen de beden Varablen geegnete Instrumente darstellen. [ Punkte] 4.4 Se entscheden sch, bede Instrumente n ener two-stage-least-squares (SLS)-Schätzung von Modell II zu verwenden. Erläutern Se kurz verbal de Vorgehenswese des SLS-Schätzers und stellen Se de für de Schätzung benötgten Modellglechungen auf. [4 Punkte] 5

6 Für Ihre SLS-Schätzung mt Stata erhalten Se folgenden Output: Frst-stage regressons umber of obs = 680 F(, 677) = Prob > F = R-squared = Adj R-squared = Root MSE = Robust Anwesenhet Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] Dstanz SWS _cons Instrumental varables (SLS) regresson umber of obs = 680 Wald ch() = 8.4 Prob > ch = R-squared = Root MSE = Robust Punkte Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Anwesenhet _cons Instrumented: Anwesenhet Instruments: Dstanz SWS 4.5 Interpreteren Se den Koeffzenten für Anwesenhet nhaltlch und statstsch. [ Punkte] 4.6 Erläutern Se den Begrff schwacher Instrumente und dskuteren Se, we sch de Stärke von Instrumenten messen lässt. Erklären Se, ob es sch be Ihren Instrumenten Dstanz und SW S um schwache Instrumente handelt. [3,5 Punkte] 6

7 Aufgabe 5 - MC Fragen [30 Punkte] Btte geben Se de zutreffende Antwort auf Ihrem Multple-Choce-Lösungsblatt an. Zu jeder Frage gbt es genau ene rchtge Antwort. Für jede korrekt beantwortete Frage erhalten Se enen Punkt. Falsche Antworten führen ncht zu Punktabzug. Be mehr oder wenger als ener markerten Antwort auf ene Frage glt dese als ncht beantwortet. Angaben auf dem Aufgabenblatt werden ncht gewertet.. En Messfehler n x führt be ener KQ-Schätzung des Modells y = β + β x + ε a zum Problem des ablty bas. b zu ener Überschätzung von β. c zu endogenen Störtermen. d zu ener Verzerrung von β.. Be GLS (generalzed least squares) Schätzern a muss de Varanz-Kovaranz Matrx geschätzt werden. b snd nach der GLS-Transformaton de Gauß-Markov Annahmen verletzt. c st de Varanz-Kovaranz Matrx des Störterms bekannt. d snd t- und F-Tests ncht gültg. 3. Was st ene Egenschaft des KQ-Schätzers be bnärer abhängger Varable? a Der Fehlerterm st mmer heteroskedastsch. b Es werden mmer erwartete Wahrschenlchketen außerhalb des Intervalls [0,] errechnet. c Er st mmer verzerrt. d Das R hat kene snnvolle Interpretaton. 4. Der feasble GLS (FGLS)-Schätzer st be Gültgket der unterlegenden Annahmen a konsstent und neffzent. b erwartungstreu und asymptotsch effzent. c erwartungstreu und effzent. d konsstent und asymptotsch effzent. 5. Unkorrgerte Heteroskedaste m lnearen Regressonsmodel führt zu a Effzenz des KQ-Schätzers. b Verzerrung des KQ-Schätzers. c falschen Werten der t-statstk. d korrekten Standardfehlern des KQ-Schätzers. 6. Se schätzen das Modell Stundenlohn = β male + β f emale + β 3 educ + β 4 (male educ ) + ε mttels KQ (educ ˆ= Bldung n Jahren). Welche Aussage über de Schätzung trfft zu? a Das angepasste R gbt an, we vel Prozent der Varaton m Stundenlohn durch das Modell erklärt werden. b Das Modell lässt sch aufgrund perfekter Multkollneartät ncht schätzen. c b 3 gbt de geschätzte Bldungsrendte für Frauen an. d b 4 gbt de geschätzte Bldungsrendte für Männer an. 7. Autokorrelaton m Störterm kann behoben werden durch a ene Vergrößerung der Stchprobe. b ene OLS-Transformaton. c de Aufnahme von rrelevanten erklärenden Varablen. d ene FGLS Schätzung. 8. Se schätzen das Modell ln_stundenlohn = β + β male + β 3 educ + ε mttels KQ-Schätzer. Der geschätzte Koeffzent b st 0,86. We hoch st der erwartete Lohnuntersched zwschen Männern und Frauen mt glecher Ausbldung genau? a 8, 60% b 33, % c 48, 97% d 7, 40% 7

8 9. Se führen enen Chow-Test auf Geschlechterunterschede für de KQ-Schätzung des Modells Stundenlohn = β + β male + β 3 educ + ε durch. De Teststatstk des Chow-Tests hat den p-wert 0,443. Was können Se daraus schleßen? a Männer haben m Mttel enen höheren Stundenlohn als Frauen. b Der mttlere Stundenlohn von Männern und Frauen unterschedet sch ncht sgnfkant. c De Bldungsrendte von Männern und Frauen unterschedet sch sgnfkant. d De Bldungsrendte von Männern und Frauen unterschedet sch ncht sgnfkant. 0. De obere und untere Grenze für den krtschen Wert enes Durbn-Watson Tests auf Autokorrelaton für en lneares Modell mt 90 beobachteten Peroden, ener Konstante, 3 unabhänggen Varablen beträgt auf enem Sgnfkanznveau von 5% a d L =,6 und d W =,70. b d L =,6 und d W =,7. c d L =,59 und d W =,73. d d L =,57 und d W =,75.. Welche Annahme des Gauß-Markov-Theorems st verletzt, wenn de Matrx X de ( K)-Dmenson ( 0) und enen Rang von 0 hat? a A: {x,...,x } und {ε,...,ε } snd unabhängg. b A3: V {ε } = σ für =,,...,. c A6: = x x konvergert gegen ene postv defnte nchtsnguläre Matrx xx. d Kene. ( ) 3 4. Für de Matrzen A = und B = glt 6 9 ( ) a AB = ( ) b AB = ( ) c AB = ( ) d AB = Be unabhänggen Beobachtungen entsprcht de Log-Lkelhoodfunkton a dem Produkt der ndvduellen logarthmerten Wahrschenlchketsdchten der beobachteten abhänggen Varable. b der Summe der ndvduellen logarthmerten Wahrschenlchketsdchten der beobachteten abhänggen Varable. c dem Produkt der ndvduellen logarthmerten Wahrschenlchketsdchten der beobachteten unabhänggen Varablen. d der Summe der ndvduellen logarthmerten Wahrschenlchketsdchten der beobachteten unabhänggen Varablen. 4. Im lnearen Modell y = β + β x + β 3 x + ε mt β > 0 und β 3 < 0 st f (y) ene a lneare Funkton von x. b konvexe Funkton von x. c konkave Funkton von x. d konstante Funkton von x. 5. Für de Hlfsregresson enes RESET-Test bldet man das Quadrat und höhere Polynome der a abhänggen Varable. b Resduen. c vorhergesagten Werte der abhänggen Varable. d der unabhänggen Varable, de man testen wll. 6. Schwarzs Bayesansches Informatonskrterum a wrd mt Hlfe der Resduenvaranz ausgerechnet. b st ncht geegnet, genestete Modelle mtenander zu verglechen. c lässt sch für ene Probtschätzung aus der Informatonsmatrx ermtteln. d bewertet de Effzenz ener Schätzung. 8

9 7. De rrelevante Varable z n der KQ-Schätzung des Modells y = β + β x + β 3 z + ε a führt zu nkonsstenten Koeffzentenschätzern, wenn de Stchprobe klen st. b erhöht de Störtermvaranz. c führt schon be lechter Multkollneartät zu verzerrten Koeffzentenschätzern. d erhöht de Varanz des Koeffzentenschätzers b, wenn cov(x,z) Wenn für zwe Zufallsvarablen X und Y glt, dass E(Y X) = E(Y ), dann a st der Korrelatonskoeffzent zwschen X und Y glech 0. b st de Kovaranz zwschen X und Y glech. c st der auf X bedngte Erwartungswert von Y glech 0. d snd X und Y statstsch unabhängg. 9. Se führen enen rechtssetgen und enen bedsetgen t-test durch. We unterscheden sch de krtschen Werte, wenn se bede Tests für das gleche Modell, de gleche Stchprobe und das gleche Sgnfkanznveau durchführen? a Der krtsche Wert des ensetgen Tests st größer. b Der krtsche Wert des bedsetgen Tests st größer. c Der krtsche Wert st n beden Tests glech groß. d De Antwort hängt von dem Vorzechen des Koeffzenten ab. 0. De Annahme ε t..d.(0,σ ) mplzert, dass de Störterme a ncht heteroskedastsch und ncht autokorrelert sen können. b heteroskedastsch und autokorrelert sen können. c autokorrelert sen können. d heteroskedastsch sen können.. De Alternatvhypothese m Durbn-Watson Test besagt, dass a Heteroskedaste vorlegt. b Autokorrelaton vorlegt. c sowohl Heteroskedaste als auch Autokorrelaton vorlegen. d weder Heteroskedaste noch Autokorrelaton vorlegen.. Be Vorlegen von Homoskedaste und Autokorrelaton glt für de Varanz-Kovaranz Matrx des Störterms, dass de Enträge a auf der Hauptdagonalen konstant und de Enträge absets der Dagonalen unglech 0 snd. b auf der Hauptdagonalen konstant und de Enträge absets der Dagonalen 0 snd. c auf der Hauptdagonalen unterschedlch und de Enträge absets der Dagonalen unglech 0 snd. d auf der Hauptdagonalen unterschedlch und de Enträge absets der Dagonalen 0 snd. 3. Ene t-vertelte Zufallsvarable a hat für große Stchproben mt hoher Wahrschenlchket enen Wert be 0. b entsprcht der Wurzel ener F-vertelten Zufallsvarable. c entsteht durch de Summerung mehrerer standardnormalvertelter Varablen. d nähert sch mt stegender Stchprobengröße der χ -Vertelung an. 4. cov(ε,ε j ) = 0 für alle j mplzert, dass a V (ε) = σ I. b ε ID(0,σ ). c cov(x,ε ) = 0. d E(ε ε ) = 0. 9

10 ( ) De Inverse der Matrx A = lautet ( ) /7 5/7 a A =. ( /7 3/7 ) 3/7 5/7 b A =. ( /7 /7 ) /7 5/7 c A =. ( /7 3/7 ) 3/7 /7 d A =. 5/7 /7 6. Für de Beobachtung (y,x ) = (, ) beträgt das Resduum für de Schätzglechung ŷ = 3,5 + 0,5x a -. b. c 3. d De FGLS-Schätzung be heteroskedastschen Störtermen beruht darauf, dass a Beobachtungen mt klener Störtermvaranz en kleneres Gewcht erhalten als Beobachtungen mt großer Störtermvaranz. b Beobachtungen mt klener Störtermvaranz en größerers Gewcht erhalten als Beobachtungen mt großer Störtermvaranz. c nur de abhängge Varable so transformert wrd, dass Homoskedaste vorlegt. d de Standardfehler des KQ-Schätzers neu berechnet werden. 8. Im lnearen Modell y = β + β x + β 3 x + β 4x + ε seen x und x exogen und x endogen, wobe x durch z und z nstrumentert werden kann. Welche der folgenden Bedngungen benötgt man zur Herletung des IV-Schätzers ncht: a = (y b b x b 3 x b 4x )x = 0. b = (y b b x b 3 x b 4x ) = 0. c = (y b b x b 3 x b 4x )x = 0. d = (y b b x b 3 x b 4x )z = Welche der Aussagen für den KQ-Schätzer st rchtg? a Unverzerrthet erfordert, dass der Störterm unabhängg von allen erklärenden Varablen st. b Für = x x muss Sngulartät gegeben sen. c Konsstenz st ene asymptotsche Egenschaft. d Asymptotsche ormalvertelung des Schätzers setzt ε (0,σ I) voraus. 30. Der Breusch-Pagan Test a kann ene H 0, de ncht zutrfft, mt höherer Wahrschenlchket verwerfen als der Whte Test. b st allgemener als der Whte Test. c prüft, ob e durch de ersten und zweten Momente und Interaktonsterme der ursprünglchen Regressoren erklärt werden kann. d hat ene Teststatstk, de auch n klenen Stchproben χ -vertelt st. 0

11 Tabelle : Perzentle der t-vertelung Zellenentrag: x, sodass Prob x P, mt n Frehetsgraden t n P n Quelle: In R generert

12 Tabelle 3: Perzentle der -Vertelung Zellenentrag: c, sodass Prob c P, mt n Frehetsgraden n n P Quelle: In R generert 3

13 Tabelle 4a: 95% Perzentle der F-Vertelung Zellenentrag: f, sodass Prob f F n, n n = Frehetsgrade des Zählers n n = Frehetsgrade des Zählers n Quelle: In R generert 4

14 Tabelle 4b: 99% Perzentle der F-Vertelung Zellenentrag: f, sodass Prob f F n, n n = Frehetsgrade des Zählers n n = Frehetsgrade des Zählers n Quelle: In R generert 5

15 Tabelle 5: Durbn-Watson Teststatstk d L und d U am 5% Sgnfkanznveau k= k=3 k=4 k=5 k=6 k= k=6 n dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du Anmerkung: k st de Anzahl der Regressoren mt Konstante. Quelle: Johnston, J. and J. Dardo, 997, Econometrc Methods, 4 th ed., ew York: McGraw-Hll 6

16 Formeln Ökonometre I. Mathematsche Grundlagen. Algebra AB ' B'A ' A' ' A AA I und A A I A ' A' AB B A Abletung von Matrzen Für de Matrx A und de Vektoren x und c glt be passender Ordnung: c'x c x Ax A' x Wenn A symmetrsch st: x'ax Ax x. Varanz, Kovaranz und Korrelatonskoeffzent Varanz: V Y E Y E Y EY E Y Kovaranz: EXEY YX cov Y,X E Y E Y X E X E XY Korrelatonskoeffzent: Y, X cov YX YX YX YX V X V Y X,Y snd unkorrelert, wenn cov{y,x} = 0 Rechenregeln:, Wenn a, b, c, d Skalare und X, Y Zufallsvarablen snd: V ay b a V Y V ay bx a V Y b V X ab cov Y, X II. Annahmen m lnearen Modell A E 0 =,,..., A x,,x und,, unabhängg snd A 3 V =,,, A 4 j cov, 0,j =,,, j A 5 ~ (0, I ) A 5' ~ ID (0, ) A 6 xx ' konvergert gegen ene postv defnte nchtsnguläre Matrx xx. A 7 E{x } = 0 A 8 xt und t snd für gegebenes t statstsch unabhängg A 9 V X Dag h A 0 E{X} = 0 A t ~ IID (0, ) A t st über de Zet unkorrelert, mt Erwartungswert 0. III. Das Lneare Regressonsmodell Lösung für : b xx ' xy st bzw. wenn b X'X X'y wenn X'X nverterbar st Lösung für b wenn y = + x + : b x xy y x x Varanz des KQ Schätzers: xx ' nverterbar V b X X'X x x '

17 Unverzerrter Schätzer für : s e K IV. Maxmum Lkelhood Lkelhood Funkton m Modell mt ener bnären abhänggen Varable: y y L P y x ; P y 0 x ; Log-Lkelhood Funkton m Modell mt ener bnären abhänggen Varable: log L y log F x ' y log F x ' Margnale Effekte m Probt und Logt Modell: Probt: x ' x ' k x k Logt: x' expx' xk expx ' V. Gütemaße ŷ y e R y y y y Angepasstes R R AIC e K y y K AIC log e BIC K BIC log e log k pseudo R pseudor log L log L 0 / Mc Fadden R McFadden R log L / log L0 VI. Tests Krtscher Wert be enem ensetgen Test P tk tk; Konfdenzntervall zum veau - b t se b b t se b Teststatstk für enen F-Test auf gemensame Sgnfkanz S0 S /J F ~ FJ,K S /( K) R R /J F R /(K) 0 Teststatstk Goldfeld-Quandt-Test sa ~F A K,BK s B Teststatstk Durbn-Watson-Test dw T t e t t T t e e t Teststatstk Wald-Test ξ Rθ q RVR Rθ q~χ Teststatstk Lkelhood-Rato-Test ˆ LR log L log L VII. IV Schätzer ˆ zx' zy IV ˆ IV 0 xz zz zx, k k k k k K; K; J