Lernziele. Kapitel 1: Einführung. Was ist und wozu benötigt man die Ökonometrie? 1.1 Technische Vorbemerkungen

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1 Kaptel : Enführung. Technsche Vorbemerkungen. Inhaltlche Glederung und Zele der Veranstaltung.3 Ökonometre: Was, wozu und we? Lernzele Was st und wozu benötgt man de Ökonometre? We rechnet man mt Vektoren und Matrzen? We lassen sch Zufallsvarablen und hre Vertelungen beschreben?.4 Illustraton Anhang A B C Wederholung: Lneare Algebra Wederholung: Statstk und Vertelungstheore Zusammenstellung von Annahmen... Technsche Vorbemerkungen Vorlesung SWS, Übung SWS, Tutoren - Vorlesung, Mo und M 8:00 09:30 - Übung, 7 Parallelveranstaltungen, sehe Lehrstuhlwebste - Tutoren: ab ovember 00, verschedene parallele Termne, wöchentlch, zur Klausurvorberetung De Veranstaltung fndet geblockt n der ersten Semesterhälfte statt. Des hat den Vortel, dass de Klausur vorgezogen, berets Anfang Januar (7..) durchgeführt werden kann und dass ene wetere herauf aufbauende Ökonometreveranstaltung m WS belegt werden kann. Lteratur: Marno Verbeek, 008, A Gude to Modern Econometrcs, thrd edton, John Wley & Sons Ltd., Chchester UK. Pres (neu): 39,95 (Stand Sept. 009). De Veranstaltung bezeht sch stark auf deses Lehrbuch. De Veranstaltung wrd durch ene Klausur abgeschlossen. Hlfsmttel: Taschenrechner, ggf. Wörterbuch, Formelsammlung wrd beretgestellt Auf de Endnote kann de ote ener frewllgen Hausaufgabe zu 0 Prozent angerechnet werden. ote verfällt nach dem SS 0. Bearbetung n Gruppen von -3 Personen st möglch. Anmeldung bs be Felctas.Koetzsch@wso.un-erlangen.de. Ausgabe der Hausarbetsthemen ab 09..0, Abgabe: bs

2 Lestungs- und Prüfungsanforderungen - alte Klausuren mt Musterlösung m etz - ca. 33 % wahr/falsch Fragen zu enzelnen Lernnhalten Lerntpps: - Lerngruppe blden - Veranstaltungen regelmäßg vor- und nachbereten - am Ende der Kaptel prüfen, ob Fragen offen gebleben snd - ca. 67% offene Fragen zur Interpretaton und Dskusson von Schätzergebnssen, krtsche Dskusson der unterstellten Modelle cht geprüftes Lernzel: Anwenderkenntns der Statstksoftware Stata - ermöglcht egenes emprsches Arbeten - wchtg für emprsche Abschlussarbeten - verteft Verständns für Anwendbarket der Methoden Im Rahmen des Tutorums werden frühere Klausuraufgaben besprochen..5.6 Empfehlenswerte Lteratur: Greene, Wllam H., 008, Econometrc Analyss, 6th ed., Prentce Hall, ew Jersey. Gujarat, Damodar., 008, Basc Econometrcs, 4th ed., McGraw Hll, ew York. Wooldrdge, Jeffrey M., 00, Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, MIT Press, Cambrdge/Mass. Stock, James H. and Mark W. Watson, 007, Introducton to Econometrcs,. Auflage, Pearson, Boston. Wooldrdge, Jeffrey M., 009, Introductory Econometrcs, 4. Auflage, South-Western. Deutschsprachge Vorberetungslteratur bspw.: von Auer, Ludwg, 007, Ökonometre. Ene Enführung, Sprnger Verlag..7.8

3 . Inhaltlche Glederung und Zele der Veranstaltung Glederung: Kaptel m Lehrbuch:. Enführung und Wederholung & Appendx. Lneare Regresson 3. Interpretaton und Verglech von Regressonsmodellen 3 4. Heteroskedaste und Autokorrelaton 4 5. Maxmum Lkelhood und 0/ abhängge Varablen 6,7 Zel: - Vertefung der Kenntns ökonometrscher Methoden - Enführung n de Anwendung der Stata Software - Enüben, emprsche Ergebnsse zu nterpreteren - Erlernen, egene und fremde Resultate krtsch zu bewerten - Möglch: Erstellen ener egenen emprschen Analyse m Rahmen der Hausaufgabe Ökonometre: Was, wozu und we? Defnton : Econometrcs s what econometrcans do. Defnton : Econometrcs s the nteracton of economc theory, observed data, and statstcal methods. Zel: Bezehungen zwschen Größen (z.b. Bldung und Löhnen) überprüfen und quantfzeren. 4 Kategoren von Bezehungen zwschen Größen: () Bezehungen zwschen vergangenen und gegenwärtgen Werten ener enzelnen Größe, Zetrehenmodelle (z.b. we hängt de Zns- oder Aktenpresentwcklung von hrer Vergangenhet ab).. () Bezehungen zwschen verschedenen, typscherwese aggregerten ökonomschen Größen über enen Zetraum (z.b. der Zusammenhang zwschen kurz- und langfrstgen Znssätzen). (3) Bezehungen zwschen Größen, de dsaggregerte Enheten (z.b. Indvduen, Haushalte, Unternehmen) zu enem Zetpunkt beschreben (z.b. welchen Enfluss hat das Enkommen auf das Sparverhalten der Indvduen). Modelle erklären den Untersched zwschen Beobachtungsenheten. (4) Bezehungen zwschen Merkmalen dsaggregerter Enheten, de über enen Zetraum (mndestens zwe Peroden) gemessen werden. Modelle erklären Unterschede zwschen Beobachtungsenheten und Änderungen n deren Verhalten über de Zet..

4 Ökonometrker wählen ene Modellform und Vorgehenswese, um de jewelgen Bezehungen emprsch zu untersuchen. Oft müssen de Daten beschafft werden (z.b. durch Erhebungen). Hauptaufgabe: geegnete Verfahren wählen und unterstellte Bezehungen durch Tests überprüfen. De Verfahren werden ebenfalls n anderen sozalwssenschaftlchen Dszplnen, we Sozologe und Psychologe, n der Medznforschung und n ngeneurwssenschaftlchen Berechen verwendet. Wssenschaftlcher Fortschrtt benötgt das emprsche Testen von Hypothesen (sehe Karl Poppers krtschen Ratonalsmus). Ohne Empre und für de Wrtschaftswssenschaften Ökonometre entwckelt sch der Wssensstand ncht weter. Ökonometrsche Verfahren nutzt ncht nur der Wssenschaft; se snd Bestandtel veler betrebs- und volkswrtschaftlcher Tätgketen, bespelswese n den Berechen Marktforschung, Fnanzmarktanalyse, Geldpoltk, Arbetsmarkt- und Sozalpoltk, Makroökonome Illustraton: Fnanzeller utzen unverstärer Ausbldung Vor dem Hntergrund der demographschen Entwcklung und der doppelten Abturjahrgänge muss poltsch entscheden werden, ob und an welcher Stelle zusätzlche Studenplätze beret gestellt werden. Kosten und utzen des Studums an Unverstäten und Fachhochschulen snd relevante Größen zur Steuerung zukünftger Studerendenströme. Be der Berechnung des utzens enes Studums unterschedet man de gesellschaftlche und de ndvduelle Perspektve. Letztere st anhand enes Verglechs der Verdenstentwcklung m Lebenszyklus enfacher zu bewerten. Ene solche Verglechsstude haben Rphahn / Eschelbach / Heneck / Müller auf Bass der Daten des Sozoökonomschen Panels (00-007) vorgenommen. Theoretsches Modell auf Bass der Mncer'schen Verdenstfunkton: ( ) log w =β +β educ +β exp +β exp +β X + e w = realer Stundenlohn von Person educ = Indkator des von gewählten Bldungsweges exp = Arbetsmarkterfahrung von, gemessen n Jahren exp = exp exp X = Vektor von Kontrollvarablen.5.6

5 e = Restgröße β 0 -β 4 = unbekannte Parameter. Wenn β > 0 st der Lohn höher be höherer Bldung. Stchprobe: Wederholte Beobachtungen von erwerbstätgen Personen mt enem tertären Bldungsabschluss, m Alter von 8 60 Jahren..879 Personen-Jahr-Beobachtungen von 64 verschedenen Personen. 39,7 % haben enen Fachhochschul- und 60,3 % enen Unverstätsabschluss. Abhängge Varable: w = reale Bruttostundenlöhne (n 005er Euro). De Vertelung unterschedet sch berets zwschen den beden Gruppen (her nur Männer):.7.8 Erklärende Varablen: Unverstätsabschluss (ja/nen), Alter, Alter, Alter 3, männlches Geschlecht, Telzet beschäftgt, befrstet beschäftgt, m öffentlchen Denst, verheratet, ncht deutsch, sowe Betrebszugehörgketsdauer, Unternehmensgröße, Branche, Bundesland, Kalenderjahr. Ergebns ener lnearen Schätzung für Männer und Frauen zusammen, nur für Frauen und nur für Männer (wetere Koeffzenten wurden geschätzt, aber her ncht dargestellt): Männer und Frauen Männer Frauen () () (3) Unverstät (0/) (β) 0.53*** 0.9*** 0.3*** (0.06) (0.05) (0.0) Alter (β) 0.46*** 0.33** 0.54*** (0.060) (0.095) (0.077) Alter^/00 (β3) *** ** -0.50*** (0.40) (0.4) (0.79) Alter^3/ *** 0.03* 0.03** (0.0) (0.07) (0.04) Mann (0/) 0.66*** (0.09) Telzet beschäftgt (0/) ** ** (0.0) (0.04) (0.050) Befrstet beschäftgt (0/) -0.7*** -0.46*** -0.9*** (0.05) (0.034) (0.033) Öffentlcher Denst (0/) ** 0.0 (0.03) (0.09) (0.07) Verheratet (0/) *** 0.087*** (0.07) (0.04) (0.03) Hat ncht-deutsche atonaltät (0/) -0.38** * (0.055) (0.090) (0.067) Konstante -.535* (0.83) (.309) (.093) R-squared

6 Interpretaton: Ceters parbus verdenen Männer ca. 3, % und Frauen ca. 9, % mehr, wenn se enen Un- statt enen FH-Abschluss haben. Es lässt sch anhand der lnearen Regresson prüfen, ob de Lohnentwcklungen m Lebenszyklus sch für de Absolventengruppen unterscheden. De Schätzungen ergaben folgende mttlere Verläufe der logarthmerten Löhne m Lebenszyklus. Frauen: Log(Lohn) 3,4 3, 3,0,8,6,4, Männer: 3,4 3, Im Mttel verdenen FH-Absolventen be Berufsentrtt besser, werden dann aber rasch überholt. Veles st be der Interpretaton der Ergebnsse zu beachten: Log(Lohn) 3,0,8,6,4, FH (a) De Vorhersagen wurden auf Bass von geschlechtsspezfschen Schätzungen erstellt. Herbe wurde de Modellspezfkaton um Interaktonsterme des Alterspolynoms drtter Ordnung mt der Varable "Unverstätsabschluss" ergänzt. (b) De Graphken zegen de nach Enzelaltern vorhergesagten mttleren realen log- Stundenlöhne sowe zugehörge Konfdenzbänder am 90 Prozent veau. Unv..3 a) heteroskedastsche Standardfehler b) korrekte Spezfkaton der Schätzglechung c) Erklärungskraft des Modells d) Selekton n de Stchprobe der Erwerbstätgen e) Korrelaton von "Un-Abschluss" mt dem Störterm f) Antel der FH-Absolventen unter älteren Erwerbstätgen repräsentatv? g) sonstges? Lässt man solche Aspekte unberückschtgt, ergeben sch oft falsche Interpretatonen der emprschen Befunde..4

7 De ökonometrsche Methodenlehre zegt, worauf es ankommt, vermttelt das Werkzeug egene Studen durchzuführen und de Kenntns, krtsch mt den Ergebnssen anderer umzugehen. A. Anhang Wederholung: Lneare Algebra A. Termnologe Für unsere Zwecke st en Vektor ene Spalte von Zahlen (Spaltenvektor): a a a = a n De Transponerte enes Vektors st ene Rehe von Zahlen (Zelenvektor): a ' = ( a,a,, ) an Ene Matrx st en rechteckges, geordnetes Schema von Zahlen. In der Dmenson n k (n Rehen und k Spalten) wrd se we folgt dargestellt:.5.6 a a A = a n a ak a ak a n ank a a A' = a k a an a an a k ank Dabe gbt der erste Index jedes Matrxelementes a j an, dass das Element zur -ten Zele gehört, der zwete Index bezeht sch auf de j-te Spalte. Ene Matrx besteht aus k Spaltenvektoren a bs a k : A = [ a a ] ak Vertauscht man de Spalten und Rehen ener Matrx, so erhält man de transponerte Matrx: Be quadratschen Matrzen st n = k. Ene quadratsche Matrx st symmetrsch, wenn A = A'. Ene quadratsche Matrx st ene dagonale Matrx, wenn a j = 0 für alle j. Jede dagonale Matrx st auch symmetrsch. Ene Enhetsmatrx I st ene dagonale Matrx, be der alle Elemente der Hauptdagonalen glech ens snd..7.8

8 A. Rechnen mt Matrzen Matrzen und Vektoren mt den glechen Dmensonen können addert und subtrahert werden. Wenn a j und b j de Elemente zweer n k Matrzen A und B snd, dann glt: A + B = C, wobe c = a + b j j j A B = C, wobe c = a b j j j A + B = B+ A ( A + B )' = A' + B' = B' + A' n k und ene Matrx B mt den Dmens- Ene Matrx A mt den Dmensonen onen Dmenson n m. k m können multplzert werden. Ihr Produkt ergbt ene Matrx der Wenn k =, st A = a' en Zelen- und B = b en Spaltenvektor: b b AB = a'b = ( a,a,,a ) = a b + a b + a b bn n n n a'b nennt man das Skalarprodukt (nneres Produkt) der Vektoren a und b. Zwe Vektoren a und b werden orthogonal genannt, wenn a'b = 0. Außer für den ullvektor glt für alle Vektoren a, dass a'a > 0. Das äußere Produkt enes Vektors st aa' mt der Dmenson n n Be der Multplkaton ener Matrx A ( n k) mt enem Spaltenvektor b ( k ) ergbt sch en Spaltenvektor, c = Ab mt der Dmenson n. De Elemente von c ergeben sch aus: c = a b + a b + + a b k k und stellen das nnere Produkt jedes Zelenvektors aus A mt dem Spaltenvektor b dar. Be der Multplkaton der Matrzen A ( n k) und B ( k m) Matrx C = AB mt der Dmenson ( n m) durch c = a b + a b + + a b j j j k kj ergbt sch ene. De Elemente von C snd bestmmt und beschreben de nneren Produkte der Zelen von A und der Spalten von B. Das Produkt kann nur bestmmt werden, wenn de Anzahl der Spalten von A und der Zelen von B überenstmmen. Bespel: 3 A =, B =, so dass AB = 9 8 Beachte, dass AB BA, z.b. wenn A ( n k) und B ( k n) de Dmenson ( n n) und BA de Dmenson ( k k) st, dann hat AB. In unserem Bespel ergbt sch.3.3

9 9 3 BA = Es glt ( AB )' Da ( A '' ) = B'A' = Afolgt, dass A 'A und AA' exsteren und symmetrsch snd. Multplzert man ene Matrx A mt enem Skalar c, so wrd jedes Element von A mt c multplzert. En Element von ca st ca j. A.3 Egenschaften von Matrzen und Vektoren De Lnearkombnaton von Vektoren a bs a k mt Skalargewchten c,,c k ergbt den Vektor ca + ca + + ca k k abgekürzt Ac, mt [ ] ( ) A = a a und c = c c '. k k Ene Gruppe von Vektoren st lnear abhängg, wenn ener der Vektoren als Lnearkombnaton der anderen beschreben werden kann, bzw. wenn glt ca+ ca + + ca = 0. k k Ene Gruppe von Vektoren st lnear unabhängg, wenn deser Zusammenhang nur für c = c = = c k = 0 glt, d.h. Ac = 0 nur für c = De Menge aller durch Lnearkombnaton der Vektoren a,,a k erzeugbaren Vektoren bldet enen Vektorraum. Snd de Vektoren a,,a k lnear abhängg, so kann man de Anzahl der Vektoren reduzeren, ohne den Vektorraum zu beenflussen. En Vektorraum hat de Dmenson n, wenn er n lnear unabhängge Vektoren aufnmmt und wenn Gruppen von mehr als n Vektoren n desem Raum lnear abhängg snd. Entsprcht der Spaltenrang der Anzahl der Spalten, so hat de Matrx vollen Rang. Der Zelenrang ener Matrx entsprcht der Dmenson des durch de Zelenvektoren aufgespannten Raumes und st mt dem Spaltenrang dentsch. Bede defneren den Rang der Matrx, wobe glt rank ( A ') = rank ( A ' A) = rank ( AA ') Ähnlch defnert man den Spaltenraum ener Matrx als den Raum, der durch hre Spalten aufgespannt wrd. Der Spaltenrang ener Matrx st de Dmenson des durch hre Spalten aufgespannten Raumes bzw. de Maxmalzahl lnear unabhängger Spaltenvektoren. Dabe kann der Spaltenrang ne de Anzahl der Spalten übertreffen

10 A.4 Inverse Matrzen De Matrx B, für de n Bezug auf de Matrx A glt, dass AB = I und BA = I st, heßt Inverse der Matrx A. A hat nur dann ene Inverse, wenn A quadratsch st und vollen Rang hat. In desem Fall nennt man A nverterbar oder ncht-sngulär. Man defnert B = A - so, dass AA = I und A A = I Des mplzert, dass A = B - und es glt ( ) A = A. Wenn A - ncht exstert, st A sngulär. Inverse Matrzen werden we folgt berechnet: Für dagonale Matrzen glt a 0 0 a a 0 0 a 0 = 0 0 a a 33 Sonst am Bespel ener Matrx a a a a =, a a aa aa a a wobe a a a a als Determnante von A, A, bezechnet wrd. De Determnanten sngulärer Matrzen haben den Wert ull. Inverse Matrzen snd nützlch, um Glechungssysteme der Form Ac = d nach c aufzulösen, wobe A ene ( n n) Matrx st und c und d n- dmensonale Spaltenvektoren snd. Wenn A nverterbar st, gbt A Ac = c = A d de Lösung für de n Unbekannten des Vektors c. Ist A ncht nverterbar, so gbt es entweder mehrere Lösungen für c oder kene. AB = B A Es glt ( A ) ' = ( A' ) und ( ) A.5 Wetere Matrxegenschaften Ene Matrx P st symmetrsch, wenn dempotent, wenn PP = P. P = P'. Ene Matrx P heßt Ene symmetrsche und dempotente Matrx P dent als Projektonsmatrx. Telt man enen Vektor x mthlfe von P auf n enen Projektonsvektor P X und enen Resdualvektor x P X, x = P X + (x P X ), so legt P X m Spaltenraum von P, während x P X zu allen Vektoren m Spaltenraum von P orthogonal st. Wenn A ene symmetrsche n n Matrx und c en Spaltenvektor st, dann bezechnet man enen Skalar λ, der Ac =λ c erfüllt, als Egenwert. Allgemen gbt es n Lösungen λ,, λ n, de jewels mt n Vektoren c,,c n, den.39.40

11 Egenvektoren, korresponderen. De Egenvektoren snd orthogonal, d.h. c'c = 0für alle j. j Ist en Egenwert ull, dann erfüllt der zugehörge Egenvektor Ac = 0. Das mplzert, dass A sngulär st und kenen vollen Rang hat. Der Rang ener symmetrschen Matrx entsprcht der Anzahl der von ull verschedenen Egenwerte. Ene symmetrsche Matrx A st postv defnt, wenn alle Egenwerte postv (> 0) snd. A st postv semdefnt, wenn alle Egenwerte ncht negatv ( 0) snd. 3 Bespel: A = 3 3 b b 3 b b b'ab =( bb ) = [ b+ b 3 3b + b ] bb + b3b + bb 3 + b b = ( ) = b + b > 0 De Determnante ener symmetrschen Matrx A st das Produkt der n Egenwerte. Se st postv, wenn A postv defnt st und ull, wenn A sngulär st. Postv defnte Matrzen snd nverterbar. Für ene postv defnte Matrx A glt für jeden Vektor x: x'ax > A.6 Abletungen und andere Manpulatonen Wenn c und x n-dmensonale Spaltenvektoren snd, st c'x en Skalar. Ist c'x ene Funkton des Vektors x, lässt sch nach jedem der Elemente von x c'x ableten: = c und ergbt den Spaltenvektor c. x Ax Allgemen glt, wenn A ene Matrx st: = A' x x'ax Wenn A symmetrsch st: = Ax x x'ax x Ist A ncht symmetrsch, so folgt = ( A+ ) A' x Wenn = ( ) β = ( β β β ) x x,x,,x ' mt x und,,, ', dann K K x' β=β +β x + +βx K K De Operaton ' xx = ( x,x,,x K) = = x x xk x x x x x K = = = x = = xx K xk = =.43.44

12 ergbt ene symmetrsche K K Matrx. Der Vektor = x y = = = = xy x y xky aus K Glechungen mt K un- hat K Elemente und de Dmenson K. Daher besteht das System xx' b= xy = = bekannten Werten b. b hat de Dmenson K..45 = Wenn xx' nverterbar st, also vollen Rang bestzt, exstert ene endeu- tge Lösung. Wenn de Matrx kenen vollen Rang hat, snd hre Spalten und Zelen lnear abhängg. Überträgt man de Vektoren x n Matrxnotaton mt x x xk X = x x xk y = y,y,...,y ', so lässt sch abkürzen und ( ) X'y = xy. = X'X = x x ' und X'X st nverterbar, wenn X vollen Rang bestzt und sene Spalten (unsere späteren Regressoren) ncht lnear abhängg snd. =.46 B. Wederholung: Statstk und Vertelungstheore B. Dskrete und stetge Zufallsvarablen Dskrete Zufallsvarablen: Wahrschenlchketsfunkton: f(y) = P{ Y = y} Es glt: f( y j ) = j Erwartungswert: E{ y} = y f j ( yj) Stetge Zufallsvarablen Wahrschenlchketsdchtefunkton: f( y) 0 b Es glt: { } ( ) j P a Y b = f y dy a.47.48

13 Ebenfalls: ( ) f y dy = Vertelungsfunkton (kumulatve Dchtefunkton): y { } ( ) F(y) = P Y y = f t dt Es glt: f(y) = F'(y) und Pa { Y b} = F(b) F(a) Erwartungswert (oder Mttelwert): E{ Y} μ= = y f(y)dy B. Erwartungen und Momente Der Erwartungswert (Moment erster Ordnung) st en lnearer Operator. Wenn X, Y Zufallsvarablen snd und a, b Konstanten, dann glt EaY { + bx} = aey { } + bex { }. Be nchtlnearen Funktonen, g, glt ncht E{ g( Y) } = g( E{ Y} ). Jensens Unglechhet besagt für konkave g ( d.h. g"(y) < 0), dass { ( ) } g( E{ Y} ). Allgemen glt E{ g( Y) } ( ) E g Y = g y f(y)dy. De Varanz st en Streuungsmaß von Zufallsvarablen, genannt zentrales Moment zweter Ordnung: { } ( ) { } { } { } { } σ = V Y = E Y μ = E Y E Y μ+μ = E Y μ (σ st de Standardabwechung ener Zufallsvarablen, μ st der Erwartungswert). Varanz dskret vertelter Zufallsvarablen: { } = ( μ j ) ( j ) V Y y f y Varanz stetg vertelter Zufallsvarablen: Rechenregel: V{ ay+ b} = a V{ Y} j { } = ( μ) ( ) V Y y f y dy k { } Zur besseren Beschrebung der Vertelung ener Zufallsvarablen: k-tes zent- E Y μ, k =,,3, rales Moment, ( ) B.3 Multvarate Vertelungen Gemensame Dchtefunkton zweer Zufallsvarablen: b b { } ( ) P a < Y < b,a < X < b f y,x dy dx = Snd Y und X unabhängg, so glt f( y,x) a a = f(y) f(x) und { < < < < } = { < < } { < < } P a Y b, a X b P a Y b P a X b Margnale Vertelung von Y: ( ) f(y) = f y,x dx so dass { } = = ( ) E Y y f(y)dy y f y,x dx dy.5.5

14 Kovaranz als Maß lnearer Abhänggket: { } { } { } { } ( )( ) σ = cov Y, X = E Y μ X μ, μ = E Y, μ = E X yx y x y x Korrelatonskoeffzent: cov{ Y, X } σyx ρ = =, ρ yx yx V X V Y σσ y x { } { } X,Y snd unkorrelert, wenn cov{y,x} = 0 Rechenregeln, wenn a,b,c,d Konstante und X, Y Zufallsvarablen snd: cov{ ay + b, cx + d} = ac cov{ Y, X } cov{ ay + bx, X } = a cov{ Y, X } + b cov{ X, X } = acov{ Y,X} + bv{ X} { + } = { } + { } + { } V ay bx a V Y b V X abcov Y,X Für den Vektor Y ( Y,,Y ) ' { } E Y und { } V Y { } E Y = E{ YK } = glt: K { } { } V Y cov Y,Y K = cov{ Y,Y K } V{ YK} De Kovaranzmatrx des Vektors Y st symmetrsch. Für lneare Kombnatonen RY, wobe R de Dmenson J K hat und ncht-stochastsch st, glt { } = { } V RY R V Y R' JxK KxK KxJ B.4 Bedngte Vertelungen Es glt folgender Zusammenhang zwschen bedngter und gemensamer f( y,x) Vertelung von Zufallsvarablen X und Y: f( y X = x) = f( y x) = f x Für unabhängge Zufallsvarablen X und Y glt: f( y x) = f( y) Außerdem glt allgemen: f( y,x) = f( y x) f( x) = f( x y) f( y) Für bedngte Erwartungswerte glt: E{ Y X = x} = E{ Y x} = y f( y x) dy De bedngte Varanz st: V{ Y x} = ( y E{ Y x} ) f( y x) dy = E{ Y x} ( E{ Y x} ) ( ) Wenn E{Y} = 0, snd zwe Zufallsvarablen X,Y unkorrelert, wenn glt E{YX} = cov{y,x} = 0, da cov{ X, Y} = E ( X E ( X) )( Y E ( Y) ) = E X( Y E( Y) ) E( X) ( Y E( Y) ) = E X( Y E( Y) ) E( X) E( Y E( Y) ) Wenn E{Y} = 0, snd zwe Zufallsvarablen genau dann "condtonal mean ndependent", wenn glt E{Y X} = E{Y} = 0. Be mttlerer bedngter Unabhänggket glt für jede Funkton g(x), dass E{Y g(x)} = 0. Statstsche Unabhänggket st von allen 3 Maßen des Zusammenhangs zwschen X und Y (Unkorrelerthet, mttlere bedngte Unabhänggket, stats

15 tsche Unabhänggket) das stärkste. Se mplzert, dass E{g (X)g (Y)} = E(g (X)) E(g (X)) für alle Funktonen g und g. Be statstscher Unabhänggket snd bespelswese auch de höheren Momente von X und Y vonenander unabhängg. Zufallsvarablen, de statstsch unabhängg snd, snd auch "condtonal mean ndependent", Zufallsvarablen, de "condtonal mean ndependent" snd, snd unkorrelert, aber ncht notwendgerwese anders herum (Ausnahme: ormalvertelung). Aus E(X Y) = 0 folgt ncht E(Y X) = 0. Wenn X statstsch unabhängg von Y st, dann auch Y von X. B.5 Spezelle Vertelungen Wenn Y ~ ( μσ, ) dann f( y) Wenn μ= 0 und σ =, z.b. für Z = mt f( z) =φ ( z) = exp z π = exp ( y μ) σ πσ Wenn Y~ ( μ, σ ), dann ay + b ~ ( aμ+ b,a σ ) Vertelungsfunkton (kumulatve Dchtefunkton) Y μ, dann st Z standardnormalvertelt σ y μ σ Y μ y μ y μ P{ Y y} = P = Φ = φ(t)dt σ σ σ. Wegen Symmetre: Φ ( y) = Φ( y) Snd zwe Zufallsvarablen Y, X bvarat normalvertelt, so schrebt man μy σ σ y yx Y, X ~, μx σ σ yx x ( ) In desem Fall snd auch margnale und bedngte Vertelungen normal. ur be bvarater ormalvertelung folgt aus σ yx = 0, dass Y und X unabhängg snd und damt, dass ρ = 0. yx Lneare Funktonen normalvertelter Zufallsvarablen snd normalvertelt: ( y x y x xy) ay + bx ~ aμ + b μ, a σ + b σ + abσ Wenn Y,,Y J unabhängg und standardnormalvertelte Zufallsvarablen snd, dann st J ξ= Y Ch-quadrat vertelt mt J Frehetsgraden: j j= Verallgemenerung : Wenn Y,,Y J unabhängg und normalvertelte Zufallsvarablen mt Mttelwert μ und Varanz σ snd, folgt ( ) J Y μ ξ= ~ χ j= σ j J ( ) ' J ξ~ Verallgemenerung : Wenn Y en Vektor von J Zufallsvarablen Y = Y,...,Y st, de gemensam normalvertelt snd mt dem Mttelwertvektor μ und der ncht sngulären Kovaranzmatrx Σ, dann ( ) ( ) ξ= Y μ ' Σ Y μ ~ χ J De Ch-Quadrat-Vertelung mt J Frehetsgraden hat E( ξ ) = Jund V( ξ ) = J. χ J.59.60

16 Wenn X ~ (0,), ξ~ ene t-vertelung mt J Frehetsgraden. X χ und X und ξ unabhängg snd, dann hat J t = ξ /J Wenn J, konvergert de t-vertelung zur ormalvertelung. Wenn ξ ~ χ J, ξ ~ χ J und de beden Zufallsvarablen unabhängg snd, ξ /J dann hat f = ~FJJ ξ /J ene F-Vertelung mt (J, J ) Frehetsgraden. Wenn log Y ~ ( μσ, ), dann folgt Y > 0 der Lognormalvertelung. Dese wrd häufg genutzt, um Enkommens- oder Rendtevertelungen zu beschreben. Es glt E{ logy } =μ, aber E{ Y} = exp μ+ σ. Für J = st ξ ene quadrerte, normalvertelte Zufallsvarable, z.b. ξ = X, und es ergbt sch X ξ t = = ~F /J ξ ξ /J,J.6.6 C. Zusammenstellung von Annahmen A E{ ε } = 0 =,,... A { x, x } und { ε, ε } snd unabhängg A 3 V{ ε } = σ =,, A 4 cov {, j } 0 εε =,j =,, j A 8 x t und ε t snd für gegebenes t statstsch unabhängg (stärker als A 7) A 9 V{ x} Dag{ h } ε = σ = σ Ψ A 0 E{ε X} = 0 stärker als A 7, schwächer als A 8, A. A ε t ~ IID (0, σ ) A ε t st über de Zet unkorrelert, mt Erwartungswert 0. A 5 ε ~ (0,σ I ) A 5' ε ~ ID (0,σ ) A 6 xx' konvergert gegen ene fnte nchtsnguläre Matrx Σ xx. = A 7 E{x ε } = 0 Unkorrelerthet.63.64

17 Lteratur: Verbeek, 008, Kaptel und Appendx A und B. Greene, 008, Appendx A und B Rphahn, R.T., M. Eschelbach, G. Heneck und S. Müller, 00, Kosten und utzen der Ausbldung an Tertärbldungsnsttutonen m Verglech, Perspektven der Wrtschaftspoltk. Wooldrdge, 009, Appendx A - D.65

18 Kaptel : Enführung n das lneare Regressonsmodell. Lneare Regresson aus algebrascher Scht. Das lneare Regressonsmodell.3 Egenschaften des Klenstquadrateschätzers n klenen Stchproben.4 Schätzgüte.5 Hypothesentests.6 Asymptotsche Egenschaften des Klenstquadrateschätzers Lernzele Kaptel : We wrd der Klenstquadrateschätzer abgeletet? Was snd sene Egenschaften, welche Annahmen werden gemacht? We können wr de Erklärungskraft enes Regressonsmodells messen? We lassen sch Hypothesen testen? Was st de Bedeutung von Multkollneartät? Wann können wr präzse Vorhersagen machen?.7 Illustraton.8 Multkollneartät.9 Vorhersage... Lneare Regresson aus algebrascher Scht Ausgangsstuaton: Informaton über Indvduen zu Stundenlöhnen (y) und andere Merkmale, z.b. Geschlecht, Alter, Ausbldung (x, x 3,, x K ). We lässt sch der Zusammenhang zwschen Stundenlöhnen und Merkmalen beschreben? Welche Lnearkombnaton von x,, x K und ener Konstanten ergbt ene gute Approxmaton von y? Wenn β,, β K Konstanten snd, könnte das so aussehen: β+β x + +β x. (.) K K Wr ndexeren mt =,,, und fassen n Vektoren zusammen: ( ) ( ) x = x x x ' und β = β,, β '. 3 K K Dann können wr abkürzen:.3 y β +β x x y x ' + +β = β K K. (.), (.3) De Approxmaton von y durch de Lnearkombnaton x'β st dann gut, wenn dese Dfferenz klen st. Das Klenstquadrateverfahren sucht dejengen Werte für β, de dese Dfferenz n quadrerter Form mnmeren: S( β) ( y x' β ) = Wr leten S( β ) nach β ab und erhalten K ormalglechungen: x( y x ' β ) = 0 (.4) (.5) = xx' β xy = (.6) = = Wenn xx' nverterbar st, ergbt des ene endeutge Lösung für β : =.4

19 = = b = xx' xy (.7) De hnschtlch der Mnmerung von S( β ) beste lneare Approxmaton von y durch x, x 3,, x k plus Konstante lautet: ŷ = x 'b. Annahme der cht-multkollneartät: Wenn de ( K K) Matrx nverterbar st, kann kener der x k Werte durch ene Lnearkombnaton der anderen x-werte bestmmt werden. Da de Werte von b nur für de Stchprobe berechnet wurden, haben se kene allgemene Interpretaton. Wenn wr das Resduum e defneren als e = y yˆ = y x 'b, dann lässt sch umformuleren y = yˆ + e = x 'b+ e (.8) = xx' sowe S(b) = e, de Summe der quadrerten Resduen. (.9) = Aus der ormalglechung ergbt sch x( y x' b ) = x e = 0 (.0) = = d. h. der Vektor der Resduen st orthogonal zum x-vektor. Wenn x = (de Konstante) folgt e = 0, d.h. das mttlere Resduum st 0. Da y = x'b+ e, folgt für de mttlere Beobachtung y = x'b (mt y = y, x = x) =. (.) Für de mttlere Beobachtung gbt es kene Abwechung zwschen Vorhersage und beobachtetem Wert..5.6 Im enfachsten Fall betrachten wr enen Regressor (x) und ene Konstante, so dass für jedes nur en y (z.b. Stundenlohn) und ene Varable x (z.b. Alter) bekannt snd, was sch zwedmensonal abblden lässt: Abb... Enfache lneare Regresson: Punktwolke und geschätzte Gerade Man erhält de beste lneare Approxmaton von y durch x und ene Konstante, ndem man de Summe der quadrerten Resduen mnmert. In der Graphk snd das de quadrerten vertkalen Abstände zwschen den Punkten und der Regressonsgeraden. Alle vorhergesagten Werte von y legen auf der Regressonsgeraden. Wenn β aus zwe Unbekannten besteht, lässt sch ableten: ( β β ) = ( β β ) (.) S, y x ( ) = S β, β = ( y β x β ) = 0 β = ( ) S β, β = ( β β ) = β = x y x 0 (.3) (.4).7.8

20 Aus (.3) folgt (.5) b = y b x = y b x = = b lässt sch we folgt aus (.4) und (.5) bestmmen: xy b x x b = 0 = = = xy ( y b x ) x x b 0 = = = = xy x y b x x 0 = = =, [da b = ( x x )( y y ) = ( x x ) = x = x ] = (.6) Hnwes: Erwetert man Zähler und enner von (.6) mt, so ergbt sch das Verhältns der Stchprobenkovaranz von x und y zur Stchprobenvaranz von x. Frage: Was ergbt sch aus (.5) für das mttlere Resduum? Bespel: Stchprobe von 394 jugendlchen Erwerbstätgen aus den USA von 987, davon 569 Frauen. Der mttlere Stundenlohn für Männer st $ 6,3 und für Frauen $ 5,5. De Regresson der Stundenlöhne auf ene Dummyvarable (x ) für das Geschlecht ( = männlch, 0 = weblch) ergbt: ŷ = 5,5 +,7x.9.0 Interpretaton: Approxmaton des Lohnes für Frauen: $ 5,5 und für Männer 5,5 +,7 = $ 6,3. Des entsprcht den beobachteten Mttelwerten, da b = y und b = y m y f, mt y f m = = = xy und y = f x ( ) = ( x ) = x y Wr benutzen gelegentlch folgende abkürzende Schrebwese: x x K x' y X = =, y = x x x' y K K S β = y X β ' y Xβ = y'y y'x β+β 'X'Xβ (.7) Damt: ( ) ( ) ( ) ( ) S β = ( X'y X'X β ) = 0 β ( ) (.8) b = X'X X'y, (.9) vorausgesetzt, X X st nverterbar. Wr können y zerlegen: y = Xb + e (.0) K K De Bedngung erster Ordnung (.8) fordert X'(y Xb) = 0 X'e = 0, (.) K K..

21 d.h. jede Spalte von X st orthogonal (lnear unabhängg) zum Vektor der Resduen. Es lässt sch umformen: y = Xb+ e = X(X'X) X'y+ e = y+ e (.) ˆ Hnwes: P x P x = P x und M x M x = M x aber wegen Orthogonaltät M x P x = 0 Letztlch snd also ŷ und e, sowe X und e orthogonal. De Matrx = = =. ŷ Xb X(X'X) X'y P y x Px X(X'X) X' wrd als Projektonsmatrx beschreben, da se den Vektor y auf den Spaltenraum von X projzert. Das Resduum e st orthogonal zur Projekton von y, X b: e = y X b =(I P x ) y = M x y e repräsentert de Projekton von y auf enen Vektorraum, der orthogonal zu dem st, den de Spalten von X aufspannen Das lneare Regressonsmodell Zel der Analyse st es normalerwese, allgemene Aussagen über Zusammenhänge zwschen Varablen abzuleten, ncht y zu approxmeren. Man unterstellt en statstsches Modell, das für de Grundgesamthet glt: y =β +β x β x +ε (.4) K K y = x ' β+ε (.5) y, x snd beobachtbare Varablen, ε st en unbeobachtbarer Störterm. β snd de unbekannten, wahren Bevölkerungsparameter. Da wr de Daten nur für ene Zufallsstchprobe vorlegen haben, betrachten wr y und ε mmer und x manchmal als Zufallsvarablen. In Matrxschrebwese: y = Xb + ε (.6) KK Mest betrachtet man x als determnstsch, ncht-stochastsch, we n enem Laborexperment fest vorgegeben. Jede neue Stchprobe hätte de glechen x Werte und würde sch nur durch de Werte für ε und y unterscheden. Man unterstellt Zufallsstchproben, de Fehlerterme werden unabhängg für jede Beobachtung aus der Bevölkerungsvertelung gezogen. Gelegentlch betrachtet man de Werte für x als stochastsch. De Zufallszehung betrfft dann (x,ε ) oder (x,y ) und es müssen Annahmen dazu getroffen werden, ob de Vertelung der ε von X abhängt. Ene Annahme an unser statstsches Modell (.5) besagt, dass de x- Varablen exogen snd: { } E ε x = 0, be jeder Kombnaton erklärender Varablen st der erwartete Wert des Störterms ull. Daher folgt:.5.6

22 { } E y x = x' β (.7) De Koeffzenten β k beschreben de Änderung m Erwartungswert von y, wenn x k sch ändert und de anderen Werte von x konstant bleben (ceters parbus). Ene kausale Interpretaton st ncht n allen Fällen gerechtfertgt. b st en Vektor von Zufallsvarablen, da es über ene Stchprobe bestmmt wurde. Es approxmert den Vektor der wahren Werte β. Uns nteressert de Qualtät des Schätzverfahrens. En Schätzer (Schätzverfahren, estmator) beschrebt, we ene Approxmaton für β bestmmt wrd. Der geschätzte Wert für β n ener konkreten Stchprobe (estmate) st davon zu unterscheden. Der Klenstquadrateschätzer (en Schätzverfahren) für β lautet: b = xx' xy (.8) = = Egenschaften des Klenstquadrateschätzers n klenen Stchproben Gauss-Markov-Annahmen A: E{ } 0 A: { ε,..., ε } und { } ε =, =,,, x,...,x snd unabhängg. A3: V{ ε } = σ, =,,, A4: cov {, j} 0 εε =,j =,,, j Interpretaton: Aus A folgt, dass de Regressonsgerade m Mttel korrekt st. A3 besagt, dass alle Fehlerterme de gleche Varanz haben (Homoskedaste), A4 schleßt Autokorrelaton aus, da verschedene Fehlerterme ncht korrelert snd. Dese dre Annahmen können zusammengefasst werden:.9 E{ ε } = 0 und V{ } ε = σ I (.9) ( ) De Annahme A der Unabhänggket mplzert und E { ε X} = E{ ε } = 0 (.30) V { ε X} = V{ ε } = σ I. (.3) De Glechhet der bedngten und unbedngten Werte besagt, dass man aus Kenntns der X-Werte für Erwartungswert und Varanz von ε nchts hnzulernen kann. Das st automatsch der Fall, wenn X ene determnstsche, nchtstochastsche Matrx st..0

23 KQ Egenschaft : Unter den Annahmen A-A4 st der KQ-Schätzer unverzerrt, d.h. n wederholten Stchproben nmmt der Schätzer m Mttel den wahren Wert β an: E{b} = β. Bewes: {} Eb= ( ) { } = { ( ) ( β+ε )} { β+ ε } =β+ { ( ) ε } E{ X'X X' } E{ } E X'X X'y E X'X X' X = ( ) E X'X X' E X'X X' = ( ) β+ ε =β ur A und A müssen erfüllt sen, damt des glt. KQ-Egenschaft : De Streuung des KQ Schätzers wrd we folgt beschreben =σ =σ = V{ b X} ( X'X) xx' (.3) Unterstellt man ncht-stochastsche Werte für X, so verenfacht sch de Schrebwese zu V{b}. Herletung n Matrxnotaton be ncht-stochastschen X: { } V{ b } = E{ ( b β)( b β )'} = E ( X'X) X' εε 'X( X'X) = ( ) ( ) X'X X' σ I X(X'X) = σ (X'X).. Gauss-Markov-Theorem: Unter den Annahmen A-A4 st der KQ-Schätzer der beste, lneare, unverzerrte Schätzer für β (Best Lnear Unbased Estmator, BLUE). lneare Schätzer lassen sch darstellen als für unverzerrte Schätzer glt E{ Ay } =β b ~ = Ay, A st ene K x Mat rx (be KQ: A = (X'X) X' ) der KQ Schätzer st der beste m Snne der klensten Varanz: KQ V b V b { k } { k } Um { } V b =σ (X'X), de Varanz der Koeffzenten, zu schätzen, brauchen wr enen Schätzer für σ, de Varanz des Störterms. s = e. (.34) = s~ st en verzerrter Schätzer für σ, unverzerrt st (unter Ann. A-A4):. (.35) K = = e s De Frehetsgrade müssen um de berets geschätzten K Parameter korrgert werden. Daher ˆV{ b} = s (X'X) = s xx'. (.36) = Für jedes Element b k st sene Varanz s c kk en Maß für de Präzson der Schätzung. Dabe st c kk das (k,k)te Element von ( xx' ). De Wurzel der Varanz st der Standardfehler ( ) se b = s c. k Vertelung der Fehlerterme: Typsche Annahme: unabhängg normalvertelte Fehlerterme: kk.3.4

24 A5: ε (0, σ I ) A5 schleßt A, A3, A4 mt en und wrd auch we folgt dargestellt A5 : ε ID(0, σ ) (ID: ormaly and Independently Dstrbuted). Des mplzert auch ene ormalvertelung für y (be gegebenen oder determnstschen x ). Unter den Annahmen A, A5 und determnstschen X folgt ( ) b β, σ (X'X), (.38) Bespel: Statstsches Modell: wage = β + β male + ε wage st der ndvduelle Lohn, male ene Dummyvarable für das Geschlecht von : Unter der Annahme E{ε } = 0 und E{ε male } = 0 folgt E{wage male =0} = β der erwartete Lohn für Frauen E{wage male =} = β + β der erwartete Lohn für Männer. De Schätzergebnsse unter A-A4: da b ene Lnearkombnaton aller ε st. Es mplzert wobe c kk das (k,k)te Element von ( ) b β, σ c, (.39) k k kk (X'X) st..5.6 Tab.. KQ-Ergebnsse der Lohnglechung De Angaben zu den Standardfehlern erlauben uns, Hypothesen zu testen..4 Schätzgüte We gut passt de geschätzte Regressonsgerade zu den Daten? Klasssches Maß: Antel der durch das Modell erklärten Stchprobenvaranz von y, R : wobe ŷ = x' b und y = y ( ) ( ˆ ) y y Vˆ { yˆ } = R = = ˆV{ y } y y ( ) ( ) =, (.40) Da y = x'b + e, lässt sch ableten: { } = { + } = { } + { } + { } V ˆ y V ˆ x' b e V ˆ x' b V ˆ e Cov ˆ x'b,e.7.8

25 Gemäß ormalglechung snd x und ε unabhängg, d.h. K. Da x' b = ŷ, folgt Also lässt sch R auflösen zu { } { ˆ } { } = ex = 0, k =, V ˆ y = V ˆ y + V ˆ e (.4) ( ) e Vˆ ( yˆ ) Vˆ ( e ) = R = = = Vˆ ( yˆ ) + Vˆ ( e) Vˆ ( y) y y ( ) ( ) = k (.4) De Stchprobenvaranz von y kann n zwe Tele aufgetelt werden. R beschrebt den Antel der Gesamtvaranz, der durch das Modell erklärt wrd. Solange das Modell ene Konstante enthält, glt 0 R. En Modell nur mt Konstante führt zu R = 0. Wenn alle e = 0, dann R =. Bespel: In Tabelle. wrd 3,% der Varaton n y durch das Modell erklärt, anschenend snd Geschlechterunterschede ken zentraler Faktor. De Größe von R hängt ab von der Art der abhänggen Varablen und des Datensatzes. R msst ncht de Qualtät des Modells, sondern de lneare Anpassung des Spaltenraumes von x an y. Be zusätzlchen erklärenden Varablen x k kann das R ncht snken, selbst wenn de zusätzlchen Varablen kenen Erklärungsgehalt haben. Das angepasste R berückschtgt de zur Schätzung benötgten Frehetsgrade:.9.30 ( ) K e = R = y y ( ) ( ) = (.45) Deses Maß kann snken und negatv werden, wenn berückschtgte erklärende Varablen kenen Erklärungsbetrag lesten. Sucht man nach enem Modell mt besonders hohem R, so läuft man Gefahr, en Modell für de vorlegende Stchprobe zu spezfzeren..5 Hypothesentests Unter A A5 ergab sch für den KQ-Schätzer: b ( βσ, (X'X) ). b β k k Daraus folgt: z = (0,); wobe β k und σ unbekannt snd. σ c kk σ kann durch den unverzerrten Schätzer s, mt s, ersetzt wer- K = den. = e De Summe quadrerter, standardnormalvertelter Zufallsvarablen st Chquadrat vertelt: e = σ χ.3.3

26 Setzt man für de wahren, unbeobachteten Störterme e de beobachteten Werte der Stchprobe en, so folgt: ê ( ) = K s ~ χ (.47) K σ σ t b β k k = ~ t (.48) k K s c Je größer -K, umso ähnlcher wrd de t- der ormalvertelung. kk Her hat de χ -Vertelung nur -K Frehetsgrade, da nur -K der Störterme statstsch unabhängg snd. Das Verhältns von unabhänggen standardnormalvertelten (z) und χ - vertelten Zufallsvarablen ( M ) t = Für unseren Fall ergbt sch: V~χ st t-vertelt, wenn man umformt: z ~ t V/m m Enfacher t-test Grunddee: De t-vertelung st symmetrsch um 0 und t-vertelte Zufallsvarablen legen mt hoher Wahrschenlchket be 0. Es st unwahrschenlch, unter der t-vertelung sehr hohe oder sehr nedrge Werte vorzufnden. Bespel: Be K = 00 0 = 90 Frehetsgraden legen m Mttel 5% der t-vertelten Zufallsvarablen oberhalb von,66 und unterhalb von,66, bzw. % oberhalb von,368 und unterhalb von,368. Bem Testen geht man davon aus, dass de ullhypothese (H 0 ) glt. Unter deser Annahme folgt de t-teststatstk der t-vertelung. Wenn nun de berechnete Teststatstk betraglch große Werte annmmt, schleßt man, dass de ullhypothese ncht glt, da solche Werte unter der t-vertelung unwahrschenlch snd..35 Bespel: 0 H :β =β 0 k k Wenn H 0 zutrfft, st t ( β 0 se en konkreter Wert) k b β 0 k k = t-vertelt, mt -K Frehetsgraden. k se( bk ) Trfft H 0 ncht zu, dann glt de Alternatvhypothese, z.b. 0 H:β β. k k Man berechnet t k auf Bass von Schätzergebnssen für b k und se(b k ). mmt t k hohe Werte an, so wrd H 0 verworfen. Man bestmmt herfür krtsche Werte, de von enem zuvor bestmmten Sgnfkanznveau α abhängen. α beschrebt de Wahrschenlchket, mt der unter der unterstellten Vertelung Werte jensets des krtschen Wertes t vorkommen: > = α P t t k α K; α K;.36

27 Für α wrd mest, 5 oder 0 Prozent gewählt. Am 0% veau werden also m Bespel mt K = 90 Frehetsgraden alle ullhypothesen verworfen, für de der Betrag der Teststatstk t k größer als,66 st. Be zwesetgen Tests wrd de ullhypothese zugunsten der Alternatvhypothese sowohl abgelehnt, wenn t k zu groß st, als auch wenn es zu klen st. Be ensetgen Tests wrd nur ene möglche Alternatve betrachtet, z.b. H 0 : β k β 0 H k : β k > β 0 k H 0 wrd nur verworfen, wenn t k zu groß st (wenn t k negatve Werte annmmt, wrd H 0 ncht verworfen). Der krtsche Wert für ensetge Tests bestmmt sch daher we folgt: { k K; } P t > t α = α.37 Be K = 90 Frehetsgraden verwerfen wr am 5% Sgnfkanznveau H 0, wenn t k >,66 und am % veau, wenn t k >,368. De ullhypothese H 0 : β k = 0 wrd von der Regressonssoftware mest automatsch getestet. Berechnet wrd der t-wert b 0 b k k t = = k se b se b ( ) ( ) k k Kann man H 0 am α-sgnfkanznveau verwerfen, so sagt man, dass b k am α- Sgnfkanznveau statstsch sgnfkant (von ull verscheden) st. eben Punktschätzern gbt es auch Intervallschätzer. Dese beschreben enen Werteberech für den Parameter β k, der alle β 0 umfasst, für de k 0 H 0 : β =β ncht verworfen werden kann. Deses Intervall lässt sch we folgt k k ableten: Unter H 0 glt mt Wahrschenlchket α, dass.38 b β k k t < < t (.50) α α K; K; se( b k ) ( ) ( ) t se b < b β < t se b α K; k k k α K; k ( ) ( ) b t se b < β < b + t se b (.5) k α K; k k k α K; k Für en konkretes Konfdenzntervall st de Aussage, dass es β enthält, entweder wahr oder falsch. Ene Wahrschenlchketsaussage st nur m Zusammenhang mt Zufallsvarablen, ncht mt konkreten Ausprägungen zulässg. Be ener hohen Zahl von Frehetsgraden st t K;0,05 =,96, so dass das 95% Konfdenzntervall für β k so ausseht: ( ) ( ) b,96 se b ; b +,96 se b k k k k (.5) Interpretaton: Be wederholten Stchproben enthalten 95% aller auf dese Wese berechneten Konfdenzntervalle den wahren Wert β k, der ene nchtstochastsche, unbekannte Zahl st. En zufällg gewähltes Konfdenzntervall enthält das wahre β mt der Wahrschenlchket von 95%

28 .5. Bespel Tab...: KQ-Ergebnssee Lohnglechung Wr testen de statstsche Sgnfkanz des Koeffzenten der Varablen male: H 0 : β male = 0,66 0 t = = 0,38 0, H : β male 0 Krtscher t-wert be = 394 und K = am 5%-veau für zwesetgen Test: t 39; 0,05 =,96. Da 0,38 >,96, wrd H 0 verworfen; es wäre extrem unwahrschenlch, n ener t-vertelung den Wert 0,38 anzutreffen. Also st de Teststatstk vermutlch ncht t-vertelt und de ullhypothese trfft ncht zu. Konfdenzntervall: (,66,96 0,;,66+,96 0,) = ( 0,946;,386) Des bedeutet ncht, dass β male tatsächlch n desem Intervall legt und auch ncht, dass es mt 95%-Wahrschenlchket n desem Intervall legt. Aber mt desem Verfahren wäre n wederholten Stchproben n 95% der Fälle das wahre β male m Intervall enthalten Illustraton Zusammenhang: Pres und offene Bewertung Prlad und Rensburg, 006, onlnearty n the hedonc prcng of South Afrcan red wnes, Internatonal Journal of Wne Marketng 8(3), Fragestellung: Was bestmmt den Pres enes Wenes? We groß st der Enfluss verschedener Determnanten? Daten: 537 Sorten südafrkanscher Rotwene 004 mt Informaton zu Pres, Rebsorte, Wenqualtätsmaße (blnde und offene Bewertung).43.44

29 Zusammenhang: Pres und blnde Bewertung K Schätzglechung: prce = α+ b x k + ε k= k = Index der Wene k = Index der Determnanten α = Regressonskonstante b k = Koeffzent des Merkmals k ε = Störterm Interpretaton: Intrnsscher Wert = Pres ε K = α+ bx k k= k Schätzergebnsse lneares Modell: Modell Modell Koeff. t Koeff. t Constant Cabernet Merlot Shraz Pnot-or Pnotage (Referenz) (Referenz) Blnd-Bewertung Offene Bewertung ("Platter") Adj. R n Tests der gemensamen Sgnfkanz von Regressonskoeffzenten ullhypothese, dass Telgruppe J der K- Stegungsparameter glech ull st. (mt J < K): H 0 : β K-J+ = = β K = 0. Alternatvhypothese H : wengstens ener der J Koeffzenten st 0. Testdee: Vergleche de Summe der quadrerten Resduen aus der Regresson mt J Parametern (S ) mt der des restrngerten Modells ohne de J Parameter (S 0 ). Unter der ullhypothese sollten S 0 und S ungefähr glech sen. Teststatstk: ( ) S S /J 0 f = ~FJ, K S/( K) Es lässt sch zegen, dass f auch we folgt bestmmt werden kann: (.58).48

30 ( 0) R R /J f =, (.59) ( R ) / ( K) R und R messen de Schätzgüte für das unrestrngerte und restrngerte 0 Modell. Wenn f große Werte annmmt, sollte de H 0 verworfen werden. De krtschen Werte für den F-Test werden ensetg bestmmt, so dass glt P f > FJ, K; α = α, wobe α das Sgnfkanznveau angbt. { } krt. Bespel: Für K = 60 und J = 3 st F =,76. 3,60; 0,05 Es st möglch, dass ene Gruppe von Koeffzenten enzeln nsgnfkant und gemensam sgnfkant st, d.h. H 0 : β = 0 und H 0 : β 3 = 0 wrd ncht verworfen, aber H 0 : β = β 3 = 0 kann verworfen werden. Auch das Gegentel st möglch. Grund: be t-tests wrd de Korrelaton zwschen Parameterschätzern ncht berückschtgt, be F-Tests jedoch sehr wohl. Häufge Anwendung des F-Tests: H 0 : β = β 3 = = β K = 0 (alle Stegungsparameter). Her kann de Teststatstk geschreben werden als wobe S f = ( S S )/( K ) 0 S/( K), (.60) = e und S 0 de Fehlerquadratsumme enes Modells st, das le- dglch aus enem Achsenabschnttsparameter besteht: S = ( y y) 0 her R = 0, lässt sch de Teststatstk auch we folgt schreben: 0 ( ) R / K F = ( R ) / ( K).. Da Bespel Geschätzt wrd das Modell wage = β + β male + β 3 school + β 4 exper + ε, wobe school de Dauer der Schulausbldung abbldet und exper de Arbetserfahrung n Jahren. un werden alle Koeffzenten ceters parbus nterpretert, d.h. β beschrebt den Untersched m Lohn für Männer und Frauen glecher Schulausbldung und Arbetserfahrung. Tab..: KQ-Ergebnsse Lohnglechung Der mttlere Lohnuntersched zwschen Männernn und Frauen beträgt nun,34. Alle dre Stegungsparameter snd enzeln statstsch sgnfkant. En zusätzlches Schuljahr erhöht den Lohn um 0,64, en weteres Jahr Arbetser- fahrung um 0,5. De Hypothese, dass alle Stegungsparameter = 0 snd, wrd deutlch verwor- fen: F 3,3 = 390;0,05,60 < 67,

31 Im Verglech zum Modell n Tabelle. st das R deutlch von 0,03 auf 0,3 gestegen. En Test auf gemensame Sgnfkanz der Koeffzenten β 3 und β 4 lautet daher ( 0,36 0,037 )/ ( 0,36 )/ ( 394 4) f = = 9,35 > 3,00 = F,390;0,05 Somt verbessern de zusätzlchen Varablen den Erklärungsgehalt des Modells sgnfkant..5.6 Allgemene Form des F-Tests Allgemene Form für J lneare Restrktonen: Rβ = q, wobe R ene J x K Matrx st (wr unterstellen chtsngulartät), q st en J dmensonaler Vektor. Bespel: Restrkton β + β β K = Restrkton β = β mt J = glt R =, q = In den mesten Fällen kann das Modell unter den Restrktonen geschätzt werden, so dass der normale F-Test verwendet werden kann. Wenn des z.b. wegen der Komplextät der ullhypothese ncht möglch st, nutzt man de Tatsache, dass ( ( ) ) Rb ~ R βσ, R X' X R', um über de quadratsche Form ene χ -vertelte Teststatstk abzuleten. Es glt ( ) ( ) ' ( ) ( ) Rb q ' R X X R' Rb q ξ= ~ χ σ Das unbekannte σ muss ersetzt werden durch s. un gbt es zwe Möglchketen: Entweder man ersetzt σ durch s, dann st de Teststatstk approxmatv χ -vertelt (unter der ullhypothese). Des wrd als Wald Test bezechnet. J Alternatv nutzt man, dass (-K) s / σ ~ χ und letet unter der Annahme -K zweer unabhängg χ -vertelter Zufallsvarablen aus ξ und (.47) enen f- Test ab: ( ) ( ) ( ) ( ) ' σ f = ( K) s / σ /( K) Rb q ' R X X R' Rb q / J ( ) ( ' ) = ( ) ( ) Rb q ' R X X R' Rb q Js ~F J, K (unter H 0 ).55.56

32 .5.7 Sgnfkanz, Teststärke und p-wert Fehlertypen bem statstschen Testen von Hypothesen: Typ I Fehler: De zutreffende ullhypothese wrd verworfen. Stchprobe Bevölkerung Typ II Fehler: De ncht zutreffende ullhypothese wrd ncht verworfen. De Wahrschenlchket enes Typ I Fehlers kontrolleren wr mt dem Sgnfkanznveau α. Be enem Test am 5% Sgnfkanznveau beträgt de Typ I Fehlerwahrschenlchket 5% (α = sze of the test). De Wahrschenlchket enes Typ II Fehlers (β) hängt vom wahren Parameterwert ab. Je weter deser von der ullhypothese abwecht, umso klener st de Typ II Fehlerwahrschenlchket..57 α/ Typ I α/ Typ I Typ II (Fehlerwahrschenlchket β) Man bezechnet de Wahrschenlchket, dass de ullhypothese abgelehnt wrd, wenn se falsch st, als de Teststärke (Power) enes Testes: -β. Auch dese st vom wahren Parameterwert abhängg. Zusammenhang zwschen Typ I und Typ II Fehlern: Je größer α, umso klener β..58 Je größer de Stchprobe, umso klener de Streuung des geschätzten Parameters. Bem Sgnfkanztest stegt de Wahrschenlchket, H 0 zu verwerfen. De Wahrschenlchket enes Typ II Fehlers snkt. Um des auszuglechen, werden be großen Stchproben gerngere Werte für α festgelegt (gerngere α Werte stegern de β Wahrschenlchket). Während be klenen Stchproben α = 0, relevant st, betrachtet man be großen eher α = 0,0. der ullhypothese de Wahrschenlchket, ene Teststatstk zu fnden, de größer als de emprsch auf Bass der Stchprobe bestmmte Teststatstk st. Wenn p < α, wrd H 0 verworfen. Bespel: Be enem Sgnfkanztest H 0 : β = 0 mt p = 0,08 würde H 0 am α = 0% veau verworfen, am α = 5% veau ncht. Ene ncht verworfene ullhypothese mplzert ncht, dass H 0 wahr st. Es st möglch, dass verschedene ullhypothesen be gegebener Datenlage ncht verworfen werden können. Dennoch können ncht alle wahr sen. Des zegt dann, dass de Tests ncht mächtg snd. Der p-wert (probablty value) gbt den klenstmöglchen α Wert an, unter dem ene ullhypothese noch verworfen würde. Der p-wert beschrebt unter.59.60

33 .6 Asymptotsche Egenschaften des KQ Schätzers Es gbt vele Stuatonen, n denen de beschrebenen Egenschaften des KQ Schätzers ncht mehr zutreffen. Ist ε ncht normalvertelt, dann auch ncht b, snd ε und X ncht orthogonal, so st b ken unverzerrter Schätzer, trfft { } V ε = σ ncht zu, st der KQ Schätzer ncht mehr BLUE. Um de Egenschaften von Schätzern außerhalb enger Annahmen beschreben zu können, defnert man für den Fall von asymptotsche Egenschaften von Schätzern..6. Konsstenz Im lnearen Modell hat der KQ Schätzer de folgenden Momente: E{ b } =β (.65) (.66) = V b xx XX ' ' {} =σ =σ ( ) Ohne Annahme ener ormalvertelung der Störterme lässt sch über de Vertelung von b weng sagen. De Unglechung von Chebycheff besagt, dass de Wahrschenlchket, dass ene Zufallsvarable z um mehr als den Betrag δ von hrem Mttelwert abwecht, ncht größer sen kann als de Varanz der Zufallsvarable getelt durch δ :.6.6 { {} } Für KQ-Koeffzenten: { } V z P z E z > δ < für alle δ > 0 (.67) δ { } P b { } σ V b k kk β >δ < = k k wobe c kk das (k,k)te Element von ( X'X) δ δ c für alle δ > 0, (.68) = xx ' = st. Entschedend: Wenn, wächst xx ' und Var{b k } fällt. Unter der Annahme, dass xx ' für = folgt: = gegen ene nchtsnguläre Matrx konvergert, xx { } k k (A6) lm P b β >δ = 0 für alle δ > 0 (.69) Asymptotsch st de Wahrschenlchket, dass der KQ-Schätzer sch um mehr als δ von senem Erwartungswert entfernt, 0. Der Wahrschenlchketsgrenzwert (probablty lmt, plm) von b k st β k : plm b = β. (.70) Schätzer, de zum wahren Wert konvergeren, bzw. deren Wahrschenlchketsgrenzwert dem wahren Wert entsprcht, snd konsstent. Intuton: Je größer de Stchprobe, umso klener wrd de Streuung des Schätzers um den unbekannten wahren Wert. Konsstenz st ene large sample property. Konsstente Schätzer treffen be ausrechendem Stchprobenumfang den wahren Wert mt belebger Ge

34 naugket. Dese Egenschaft st nsbesondere dann von Interesse, wenn man de Unverzerrthet enes Schätzers ncht nachwesen kann. f(b A ) f(b B ) < < 3 < < β b A β b B Schätzer b A und b B snd konsstent. b A st unverzerrt, b B st verzerrt. Be plm b = β und für de stetge Funkton g glt für den Wahrschenlchketsgrenzwert de Rechenregel plm g(b) = g(β). (.7).65 Des mplzert z.b. dass, wenn s en konsstenter Schätzer für σ st, s en konsstenter Schätzer für σ st, ene Egenschaft, de für Unverzerrthet und Erwartungswerte ncht glt: E{ s} E{ s }. Man kann zegen, dass der KQ Schätzer auch unter schwächeren Annahmen als A A4 konsstent st: = = b = xx ' xy = xx ' xy (.7) = β + xx ' xε ' Wenn groß wrd, konvergeren de Mttelwerte von x x und x ε zum Mttelwert der Grundgesamthet. Unter der Annahme A6 konvergert xx ' für = gegen, so dass xx.66 plm b. (.73) xx ( β ) = E{ x ε} Der KQ Schätzer st daher konsstent, wenn { } E xε = 0. (A7) De Konsstenz von KQ-Schätzern ergbt sch berets aus den Annahmen (A6) und (A7). Dese Bedngungen rechen zum achwes der Unverzerrthet ncht aus. Herzu benötgt man (A) (A4). Der KQ-Schätzer s für de Varanz des Störterms σ st unter den Annahmen (A6), (A7), (A3) und weteren Regulartätsannahmen ebenfalls konsstent. Je größer de, umso genauer schätzt b β, umso verlässlcher schätzen de geschätzten Störterme de wahren ε und V{ε} das wahre σ..6. Asymptotsche ormalvertelung snd asymptotsch normalvertelt, d.h. für folgt ( ) Ist de Vertelung enes Schätzers für klene Stchproben unbekannt, so kann man sene asymptotsche Vertelung bestmmen. De mesten Schätzer β β ˆ der ormalvertelung. Da asymptotsch ˆβ =β (be konsstenten Schätzern) hat ( ˆβ β ) ene degenererte Vertelung, d.h. für st de gesamte Wahrschenlchketsmasse P β β ˆ = 0 =. Betrachtet man statt dessen auf der ull: Es folgt { ( ) } ( β β ˆ ), erhält man ene ncht degenererte ormalvertelung mt der Konvergenzrate. Greene (008) nennt de Multplkaton mt ene "stablserende Transformaton"

35 Es lässt sch zegen, dass unter den Annahmen (A) (A4) n Kombnaton mt (A6) ( ) ( xx ) b β 0, σ, (.74) man sagt, der KQ-Schätzer st asymptotsch normalvertelt mt der Varanz- Kovaranz-Matrx σ. xx Be kleneren Stchproben sprcht man von approxmatver Vertelung: ( xx ) a b~ βσ, / (.75) De Varanz-Kovaranz-Matrx wrd we folgt geschätzt: a b~ β,s xx' = (.76) Des glt auch für klene Stchproben und st umso genauer, je größer de Stchprobe. Da der KQ-Schätzer unabhängg von der Vertelung der Störterme asymptotsch normalvertelt st, snd de Abletungen der Vertelungen der t- und F- Statstken asymptotsch zutreffend, auch ohne normalvertelte Störterme. Da de t-vertelung für zur ormalvertelung konvergert, werden oft de krtschen Werte der ormalvertelung genutzt, ohne dass für de Störterme de ormalvertelung unterstellt wrd. Auch für F J, K - vertelte Zufallsvarablen f glt asymptotsch, dass ξ= J f χ - J vertelt st. Um J lneare Restrktonen zu testen, berechnet man also J f und wählt de krtschen Werte aus der χ -Vertelung De Ergebnsse (.74) und (.76) gelten auch noch, wenn de Annahme A abgeschwächt wrd zu x und ε snd unabhängg, (A8) d.h. für j st Unabhänggket von x und ε ncht erforderlch. A8 mplzert A7, d.h. { } E x ε = 0..7 Illustratonen.7. Illustraton : Makroökonomsche Investtonsfunkton Frage: Welchen Zusammenhang gbt es zwschen BIP und Investtonen? Daten: jährlche makroökonomsche Daten aus USA ( ) Varablen: Inv_MR = prvate Investtonen, n Mrd. US-$ von 000 Inv_M = prvate Investtonen, n Mo. US-$ von 000 BIP_MR = Bruttonlandsprodukt, n Mrd. US-$ von 000 BIP_M = Bruttonlandsprodukt, n Mo. US-$ von

36 R 0,9648 0,9648 0,9648 0,9648 Lneare Regressonsergebnsse: Koeffzenten (Standardfehler) 3 4 Abh. Var.: Inv_MR Inv_M Inv_MR Inv_M Konstante -96, , (6,358) (6 358) (6,358) (6 358) BIP_MR 0, ,54 (0,09) (,946) BIP_M - 0,535 0, (0,099) (0,00009).73 In Spalte zegt sch en postv sgnfkanter Zusammenhang. Der Stegungsparameter n Spalte blebt dentsch, wenn bede Größen mt 000 multplzert werden. De Konstante wächst ebenfalls um den Faktor 000. Wrd ledglch de erklärende Varable skalert (Spalte 3), so blebt de Konstante m Verglech zu Spalte glech, aber der Stegungsparameter passt sch an. Sene statstsche Sgnfkanz st von der Skalerung unabhängg. In Spalte 4 wrd nur de abhängge Varable skalert. Des beenflusst bede geschätzten Parameter. Weder das R noch de t-statstk werden von Skalerungen beenflusst. (Quelle: Gujarat / Porter, 009, S. 56) Illustraton : Stundenlöhne und Bachelorabschluss n USA Frage: Gbt es enen Zusammenhang zwschen Ausbldung und Löhnen? Daten: 4000 Vollzetbeschäftgte m Alter 5-34 aus dem Current Populaton Survey von 998 Varablen: AHE mttlere Stundenlöhne n 998 US-$ (abh. Var.) College, wenn Bachelor, 0 wenn Hgh School Female, wenn weblch, 0 wenn männlch Age Alter n Jahren ortheast, wenn aus dem ordosten der USA, 0 sonst Mdwest, wenn aus dem mttleren Westen der USA, 0 sonst South, wenn aus dem Süden der USA, 0 sonst West, wenn aus dem Westen der USA, 0 sonst.75 Lneare Regressonsergebnsse: Koeffzenten (Standardfehler) 3 College 5,46 5,48 5,44 (0,) (0,) (0,) Female -,64 -,6 -,6 (0,0) (0,0) (0,0) Age 0,9 0,9 (0,04) (0,04) ortheast - - 0,69 (0,30) Mdwest - - 0,60 (0,8) South ,7 (0,6) Konstante,69 4,40 3,75 (0,4) (,05) (,06) R 0,76 0,90 0,94 F-Test der Regonalen Effekte - - 6,0.76

37 Fragen: Welche Koeffzenten snd am -Prozent-veau sgnfkant? We unterscheden sch de Löhne von Männern und Frauen? In welcher Regon st das Lohnnveau am höchsten? Ist de Kontrolle für de Regon gemensam sgnfkant? We hoch st der mttlere Lohnuntersched für 5 und 30-Jährge Frauen mt Collegeabschluss? (Quelle: Stock & Watson, 007, S. 47).8 Multkollneartät Be Multkollneartät führen enge lneare Bezehungen zwschen erklärenden Varablen zu ncht verlässlchen Schätzergebnssen. Bespel : Regressere Stundenlöhne auf Alter und Berufserfahrung. Alter und Berufserfahrung snd korrelert und X ' X nähert sch damt der Sngulartät und chtnverterbarket. De Koeffzenten werden unpräzse geschätzt, da de Daten ncht genug Informaton enthalten, um bede Effekte enzeln zu dentfzeren. Im Extremfall perfekter Multkollneartät st de X' X-Matrx ncht nverterbar und der KQ-Schätzer st ncht endeutg defnert En typscher Fall von Multkollneartät legt ebenfalls vor, wenn zu vele Dummyvarablen verwendet werden. Bespel : y =β +β male +β female +ε, 0 wobe male für Männer mt und Frauen mt 0 und female umgekehrt kodert werden. Da mmer glt male + female = st de X' X-Matrx sngulär, de Summe der Varablen ergbt de Konstante. De (analytsche) Lösung besteht darn, ene der dre Varablen (Konstante, male, female) auszulassen. De Konstante sollte m Allgemenen jedoch bebehalten werden. Bespel 3: wages = β + β age + β schoolng + β experence + ε 0 3 Da de Arbetserfahrung (experence) mest ncht als Varable vorlegt, wrd se approxmert (potental experence): experence = age schoolng 6. Her snd de dre Varablen automatsch kollnear. Auswrkung von Kollneartät auf KQ-Schätzer: Modell y = β x + β x + ε und wr unterstellen y = x = x = 0 sowe V { x } = V{ x } = und Korrelatonskoeffzent r. Dann folgt σ V{ b } = V{ b } = r Je höher r, umso größer st de Varanz und Ungenaugket der Regressonskoeffzenten, umso klener de t-werte, umso breter de Konfdenzntervalle. Postv korrelerte erklärende Varablen führen zu negatv korrelerten Koeffzenten

38 Lösung: mehr Daten bzw. Informatonen beschaffen, entweder durch größere Stchproben oder durch zusätzlche Restrktonen auf den Parametervektor. Tab..6 Alternatve Spezfkatonen mt Dummyvarablen Bespel: Ob man n der Lohnglechung den Dummy für Männer oder für Frauen berückschtgt, st rrelevant. Ohne Konstante kann nur noch das nchtzentrerte R -Maß präsentert werden, welches generell größer st als das Standard R (sehe.43) Vorhersage Ene Verwendung von Schätzergebnssen besteht m Erstellen von Vorhersagen der abhänggen Varable, wenn Werte für x 0 vorgegeben snd: y = x' β+ε. En unverzerrter Vorhersagewert für y 0 wäre ŷ 0 = x' 0 b, da E{b} ˆ 0 0 = β. Das heßt { } E y y = 0. De Varanz des vorhergesagten Wertes nfolge der Schätzung von β st { } { } { } ( ) ˆ V y = V x' b = x' V b x = σ x' X'X x. (.8) De Varanz des Vorhersagefehlers: ( ) y yˆ = x' β+ε x' b = ε x' b β (.83) V y yˆ = σ + σ x' X'X x, (.84) beträgt { } ( ) Im enfachen Regressonsmodell mt ener erklärenden Varable x glt ( x x 0 ) ( ) V{ y yˆ } = σ +σ + x x 0 0 Je weter x 0 von x entfernt, umso unpräzser wrd de Vorhersage. Das 95%-Vorhersagentervall für y 0 st:. ( ) ( ) x' b,96 s + x' X'X x ; x' b+,96 s + x' X'X x , (.85) wobe,96 der krtsche Wert der Standardnormalvertelung st. Mt 95% Wahrschenlchket enthält das Intervall den wahren, aber unbekannten Wert von y 0. wenn b und ε 0 ncht korrelert snd

39 Illustraton: Prlad und Rensburg, 006, onlnearty n the hedonc prcng of South Afrcan red wnes, Internatonal Journal of Wne Marketng 8(3), Das n Abschntt. präsenterte Modell wrd mt ener detallerteren Spezfkaton verglchen. Schätzergebnsse lneares Modell Modell 3 Modell 4 Koeff. t Koeff. t Constant Cabernet Merlot Shraz Pnot-or Pnotage (Referenz) (Referenz) Blnd-Bewertung Offene Bewertung ("Platter") Platter Stern Platter 3 Stern Platter 4 Stern Blnd Stern Blnd Stern Blnd 3 Stern Adj. R Kene enhetlchen oder lnearen Pressprünge be stegender Qualtät Verglech von vorhergesagtem Wert und tatsächlchem Pres (Modell 4): K wobe value = prce ε = α+ bx. k= k k.87.88

40 Entgegen dem "populären Marketng-Mythos", dass Schnäppchen nur m unteren Pressegment exsteren, zegt de Analyse, dass auch hochwertge Wene preswert sen können:.89 Des lässt sch auch für konkrete hochwertge Wene zegen: Hgh prced wnes that offer exceptonal value-for-money Wne label 004 Wne Platter Lnear Dummy Lnear Dummy Prce score score valuaton valuaton model: model: (n (n (n extent of extent of Rand) Rand) Rand) msprcng msprcng (%) (%) Kevn Arnold Shraz BWC Shraz Thelema Cabernet Sauvgnon Hartenberg Shraz Es macht n der Bewertung enen erheblchen Untersched, ob Modell 3 oder 4 geschätzt wurde (vergleche de beden letzten Spalten)..90 Lteratur: Verbeek, 008, Kaptel. Prlad, D.A. und P. van Rensburg, 006, on-lnearty n the hedonc prcng of South Afrcan red wnes, Internatonal Journal of Wne Marketng 8(3),

41 Kaptel 3: Interpretaton und Verglech von Regressonsmodellen 3. Interpretaton des lnearen Modells 3. Auswahl der unabhänggen Varablen 3.3 Fehlspezfkaton der funktonalen Form 3.4 Illustraton: De Erklärung von Hauspresen 3.5 Illustraton: De Erklärung ndvdueller Löhne Lernzele Kaptel 3: Welche Möglchketen gbt es Koeffzenten lnearer Regressonsmodelle zu nterpreteren? ach welchen Krteren sollte de Spezfkaton von Regressonsmodellen erfolgen? Wann st en Modell fehlspezfzert? Interpretaton des lnearen Modells Hnwes: Verbeek verwendet stets de otaton log, aber der natürlche Logarthmus ln st gement. Modell: y = x' β+ε (3.) Annahme: E{ ε X } = 0 oder { } E ε x = 0 (3.) Wenn der Erwartungswert von ε für gegebene X null st, gbt das Modell den auf X bedngten Erwartungswert von y an. Bespel: Der erwartete Lohnsatz (y) für ene Frau (x ) m Alter 40 (x ) mt Unverstätsabschluss (x 3 ). Der Koeffzent β k msst ceters parbus den Effekt ener Änderung von x k auf den Erwartungswert von y: 3.3 { } E y x x k = β k (3.3) Es st ncht snnvoll, Koeffzenten enzeln zu betrachten, wenn Polynome der erklärenden Varable geschätzt werden. Wenn y = + age β + age β +, wrd der margnale Effekt des Alters we folgt bestmmt: { } E y x age 3 3 =β + age β. (3.4) Der margnale Effekt erklärender Varablen kann auch von anderen Varablen abhängen, z.b. be Interaktonstermen ( ) { } y = + age β + age male β + 3 E y x age =β + male β 3 (3.5) 3.4

42 Der margnale Effekt des Alters beträgt β + β 3 für Männer und β für Frauen. Elastztäten lassen sch aus Regressonen drekt ablesen, wenn logarthmerte Varablen betrachtet werden. En loglneares Modell lautet: ( ) logy = logx ' γ +υ (3.6) Da log y log y y log y y / y = =, so dass = = γ folgt her y y y log x x / x { } { } { } { x } { } E y x E y x E y x x E log y log x k = = γ x x x E y log x k k k k Des mplzert für das lneare Modell, dass de Elastztäten mt x vareren: { } E y x x β x k k k = x E y x x'β k { } k (3.7) (3.8) 3.5 Wenn x ene Dummyvarable st, beschrebt der Koeffzent β für logy = x' β+ε, (3.9) um we vel Prozent sch y be ener Änderung von x um ene Enhet ändert. Für klene β lässt sch des wegen e β +β drekt ablesen. Bespel: e 0,0 =.00. Für große β berechne ( e β ) 00%. Für de Vorhersage von y spelt es ene Rolle, ob lnear oder loglnear geschätzt wurde. Wenn E{ υ logx } = 0, st der vorhergesagte Wert für log y log x ' γ. ˆ Der vorhergesagte Wert für y st ncht aus Modell (3.6) genau ( ) ( ) { } { } { { } } exp log x ' γ, denn E y x exp E log y x. Der Erwartungswert ener nchtlnearen Funkton st ncht dentsch mt der nchtlnearen Funkton enes Erwartungswertes. 3.6 Das Problem lässt sch nur lösen, wenn man für υ (und damt für y ) Verte- υ ~ 0, σ, dann st de Vertelung υ lungsannahmen trfft. Unterstellt man ( ) von y lognormal. Es glt dann für Modell (3.6): E{ y x } = exp E{ log y x } + σ exp ( logx ) ' υ = γ+ συ (3.0) Aus der Annahme { } E ε x = 0 für das Modell y = x' β+ε folgt ncht, dass y ausschleßlch ene Funkton von x st. Daneben kann auch y = z' γ+υ mt υ = gelten. De Modelle beschreben y als Funkton unterschedl- E{ z } 0 cher erklärender Varablen mt E{ y x } = x' β und E { y z} ur de Formulerungen E{ y x,z} = z' γ und E{ y x,z} = x' β = z' γ. Illustraton: Quelle: Albers, S. und B. Skera, 000, n: Herrmann, A. u. C. Homburg (Hrsg.), Marktforschung Methoden, Anwendungen, Praxsbespele,. Auflage, Gabler-Verlag, Wesbaden, S Frage: angemessene Umsatzvorgabe für Außendenstmtarbeter (ADM) Problem: Regonale Unterschede, Farness be ndvduellen Vorgaben Lösung: Umsatzreaktonsfunkton zur Bewertung regonaler Faktoren va Regressonsanalyse. a) Operatonalserung des Outputs: Absatzmenge oder Umsatz n. können ncht glechzetg zutreffen (solange ncht x = z und β = γ)

43 b) Bestmmung von Enflussfaktoren & Datenquellen, z.b. Bevölkerungskonzentraton (amtl. Statstk), Anzahl der Kunden (Unternehmensstatstk), regonaler Branchenumsatz (GfK). c) Funktonalen Zusammenhang festlegen: Lneare Form mplzert konstante Grenzerträge, Fehlen von Interakton. Multplkatve Form flexbler: K k y =α Π x β, β gbt Elastztäten an. k k= d) Datenbeschrebung ( = 0 regonale Beobachtungen) Varable Mttelwert Mnmum Maxmum Branchenumsatz (BU) Bevölkerungskonzentraton (BK) 0,794 0,673,000 Anzahl der Kunden (A) Umsatz (y) BU: Branchenumsatz ndzert de Kaufkraft der Regon BK: Bevölkerungskonzentraton gbt Realserbarket an A: Anzahl der Kunden beschrebt das Marktpotenzal De Größen snd von ADM ncht beenflussbar. e) Parameterschätzung: Logarthmerung erlaubt lneare Schätzung: ( ) ( ) ( ) ( ) ln y = lnα+β ln BU +β ln BK +β ln A +ε 3 Varable Coeff. SE T ln(bu) 0,44 0,0694,79 ln(bk),0935 0,333 3,30 ln(a) 0,3999 0,974,05 constant 5,705 0,7730 7, R = 0,603 Adj. R = 0,54890 F = 8,7065 (p = 0,00) f) Ergebnsnterpretaton hoher Erklärungsgehalt des Modells postve Zusammenhänge zwschen Umsatz und (BU, BK, A). Elastztät von ca. 0,40 für Anzahl Kunden gbt an, dass Umsatz um 0,4% höher legt, wenn Kundenstamm um % wächst. Wert plausbel, be wachsendem Kundenstamm kann ncht jeder genauso ntensv betreut werden we vorher. g) Festlegung der Umsatzvorgaben (für Soll-Ist-Verglech) für jede Regon : Umsatz = e BU BK A 5,705 0,44,0935 0, Auswahl der unabhänggen Varablen 3.. Fehlerhafte Auswahl der Regressoren Ene Fehlspezfkaton des Modells legt sowohl vor, wenn relevante erklärende Varablen ausgeschlossen werden, als auch wenn rrelevante erklärende Varablen berückschtgt werden. Unterstellen wr y = x' β+ z' γ+ε (3.) Der KQ-Schätzer aus (3.3) st: y = x' β+υ (3.3) = = = (3.4) b xx' xy Unter der Annahme, dass (3.) wahr st, können wr ableten: 3. 3.

44 = β+ γ+ ε = = = = (3.5) b xx' xz' xx' x Während der letzte Term n (3.5) unter Modell (3.) enen Erwartungswert von ull hat, stellt der zwete Term das Ausmaß der Verzerrung dar, wenn z ncht mtgeschätzt wrd (omtted varable bas). De Verzerrung entfällt nur, wenn entweder γ= 0, d.h. de Modelle snd doch glech, oder wenn xz' = 0 bzw. { } = E x z' = 0, d.h. wenn x und z orthogonal snd. Des st selten der Fall und geht solange x de Regressonskonstante enthält nur, wenn E{ z } = 0. Wenn wr (3.) schätzen, obwohl (3.3) wahr st, wrd en Koeffzent zuvel geschätzt, der ull st. Des erhöht de Varanz der Schätzer. De Koeffzenten bleben unverzerrt Auswahl der Regressoren Statstsch gbt es kene Vorgaben zur Auswahl der Regressoren, wenn das Modell ledglch E(y x) defnert. Aus ökonomscher Scht nutzt man theoretsche Modelle zur Begründung der Regressorenauswahl. Erklärende Varablen sollten vor der Schätzung bestmmt werden. Wählt man se aufgrund von Probeschätzungen, läuft man Gefahr, das Schätzmodell auf ene Stchprobe hn auszurchten (data fshng, data snoopng, data mnng). Be "Spezfkatonssuchen" wrd mttels Tests entscheden, welche erklärenden Varablen berückschtgt werden. 3.4 Auf dem Weg zur endgültgen Modellspezfkaton wrd n der Regel getestet, ob () de Restrktonen der Theore gelten und ob () zusätzlch ncht m Modell enthaltene Restrktonen auferlegt werden können. Es gbt kenen Grund, warum en Modell nur sgnfkante Varablen enthalten sollte. Auch nsgnfkante Koeffzenten können nformatv sen. Das R kann ncht snken, wenn zusätzlche erklärende Varablen berück- R entwckelt, welches schtgt werden. Daher hat man das korrgerte R ( ) enen Tradeoff zwschen Erklärungsgehalt und Anzahl der Regressoren (K) berückschtgt: ( ) K e = R = y y ( ) ( ) = (3.6) 3.5 Alternatve Maße snd Akakes Informatonskrterum (AIC): K AIC = log e + (3.7) = sowe Schwarz Bayesansches Informatonskrterum (BIC): K BIC = log e + log (3.8) = In beden Fällen snd Modelle dann gut, wenn de Krterumswerte klen ausfallen. De Strafe für zusätzlche Regressoren st bem BIC größer als bem AIC. Bem Verglech genesteter Modelle nutzt man mest das R oder R, be ncht genesteten Modellen AIC oder BIC. 3.6

45 Man kann testen, ob ene R -Verbesserung statstsch sgnfkant st. Des st dentsch mt enem Test statstscher Sgnfkanz der Koeffzenten von hnzugefügten erklärenden Varablen: ( R R 0) J f = (3.9) R K ( ) ( ) R und R repräsenteren de R -Werte mt und ohne zusätzlche J erklärende Varablen, K snd de Frehetsgrade des unrestrngerten Modells. f st 0 unter H 0 F-vertelt. De Teststatstk lässt sch ebenfalls als Kombnaton der R darstellen: R > R genau dann, wenn f >. Das mplzert umgekehrt für J =, dass 0 genau dann stegt, wenn der t-wert des Koeffzenten größer als st (für J = R glt t = f). Gemäß R kommt es her also ncht auf statstsche Sgnfkanz an. Ebenfalls kann man t- und F-Tests drekt verwenden oder folgenden Zusammenhang zur Auswahl von Regressoren nutzen. Unter H: 0 γ= 0 glt für V ˆ γ ˆ, dass den KQ-Schätzer ˆγ mt { } asymptotsch { } ξ=γˆ'vˆ γˆ γ ˆ (3.0) χ -vertelt st mt J Frehetsgraden (s. Wald-Test.63). Zwe enzelne t-tests können zu anderen Ergebnssen führen als en gemensamer F-Test. Wll man Varablen auslassen, sollte das per F-Test geprüft werden. Das Ergebns der t-tests kann auch von der Rehenfolge der Tests abhängen Fehlspezfkaton der funktonalen Form 3.3. chtlneare Modelle De Lneartätsannahme hnter E{ y x } darstellen. =x'β kann ene starke Restrkton chtlneartäten können sch durch quadratsche Terme (Alter, Alter ) oder Interaktonen (Alter Geschlecht ) ergeben. In desen Fällen blebt das Modell lnear n Parametern und kann durch KQ geschätzt werden. Wenn sch chtlneartäten n den Parametern ergeben, hat das grave- E y x =g x,β se g(.) nchtlnear n β. Zum rendere Konsequenzen. Für { } ( ) Bespel 3 ( ) x β g x, β =β +β (3.7) β β3 oder ( ) g x, β = β x x. (3.8) (3.8) gbt ene Cobb-Douglas-Produktonsfunkton mt zwe Inputs an. Her lässt sch durch Logarthmeren (und de Annahme β > 0) Lneartät herstellen, n (3.7) ncht. Daneben gbt es das Verfahren der nonlnear least squares, be dem de Zelfunkton ( β ) = ( ( β )) S y g x, = hnschtlch β mt numerschen Verfahren mnmert wrd. Voraussetzung für ene endeutge konsstente Lösung st, dass en globales Mnmum für S( β ) exstert

46 3.3. Tests der funktonalen Form Mthlfe von t-, F- und Wald-Tests kann man prüfen, ob de funktonale Form { } E y x = x' β durch nchtlneare Terme von x ergänzt werden sollte. Der RESET-Test (regresson equaton specfcaton error test) baut auf de Idee auf, dass m vorgegebenen Modell nchtlneare Funktonen von y=x'b ˆ ncht dazu betragen sollten, y zu erklären: In ener Hlfsregresson H :α = =α =0. Der Test reagert sowohl auf unangemessene funktonale 0 Q Form als auch auf ausgelassene Varablen. Illustraton: Hej, C. et al., 004, Econometrc Methods wth Applcatons n Busness and Economcs, Oxford Unv. Press, S Problem: Determnanten der Lohnhöhe für 474 Bankangestellte y = log (Jahresenkommen) y = x' β+α yˆ +α yˆ + +α yˆ +υ (3.3) 3 Q 3 Q EDUC = Schulbldung (n Jahren) wrd überprüft, ob de Koeffzenten α n der Werte von y ˆn mt n sgnfkant von 0 verscheden snd. Man nutzt enen F- oder Wald-Test für FEMALE = für Frauen, 0 für Männer MIORITY = für chtweße, 0 für Weße Lneares Modell: y=α+β EDUC +β FEMALE +β 3 MIORITY + ε Ergebnsse: Koeffzenten, Standardfehler n Klammern constant EDUC FEMALE MIORITY FITTED Modell Modell Modell (0.059) (0.004) 0.6 (0.05) (0.09) (8.97) (0.7) (0.583).488 (0.98) (0.07) 87.6 (555.86) 0.63 (7.483) (5.66) -8.3 (.836) -4. (9.330) FITTED 3 (0.99) F-Statstk 77.6 (p = 0.00) 40. (p = 0.00) RESET-Test n Modell ergbt sgnfkanten Parameter, n Modell 3 RESET- Test mt Koeffzenten: gemensame Sgnfkanz durch F-Test bestätgt - Hnwes auf Fehlspezfkaton (z.b. lnearer Effekt von Bldung, ncht unbedngt zutreffend). Modell könnte erwetert werden um quadratschen Bldungseffekt oder Interakton des Bldungseffekts mt FEMALE oder MIORITY

47 3.3.3 Strukturbruchtests Bslang haben wr unterstellt, dass de funktonale Form enes Modells für alle Beobachtungen glech st. Über Interaktonsterme kann man prüfen, ob sch margnale Effekte für Telgruppen unterscheden. Manchmal vermutet man, dass sch alle Koeffzenten über Telstchproben (g = und g = 0) unterscheden. ( ) y = x' β+ g x' γ+ε (3.3) Für de Gruppe mt g = 0 trfft der Koeffzent β, für de Gruppe mt g = β + γ zu. Unter H:γ =0 0 snd de Gruppen dentsch. En für de ullhypothese angemessener F-Test st f = ( S S R UR) K S ( K) UR wobe K de Anzahl der Regressoren m restrngerten Modell st (enschleßlch Achsenabschntt) und S R und S UR de restrngerten und unrestrngerten Fehlerquadratsummen darstellen. Der F-Test wrd m Zusammenhang von Strukturbrüchen als Chow-Test bezechnet. Man kann auch für g = 0 und g = separate Modelle schätzten. Dann ergbt sch S UR = S + S 0 aus der Summe der jewelgen Fehlerquadratsummen und S R nach we vor aus der gepoolten Schätzung. Der Test kann auch für ausgewählte Koeffzenten statt dem Gesamtvektor ( x ) durchgeführt werden., In Zetrehenanalysen hat man normalerwese klare Vorstellungen, zu welchem Zetpunkt en Strukturbruch stattfndet. Man kann den Chow-Test jedoch auch nutzen, um alle zetlchen Möglchketen zu überprüfen. In desem Fall wrd nach der größten F-Statstk gesucht. De größte aus ener Gruppe von F-Statstken folgt dann allerdngs ncht mehr der herkömmlchen F- Vertelung. 3.4 Illustraton: De Erklärung von Hauspresen Ene Schätzglechung, de den Pres enes Gutes auf sene Egenschaften regressert und zulässt, daraus den Wert enzelner Egenschaften abzulesen, nennt man hedonsche Presfunkton. Hedonsche Prese snd de mt enzelnen Attrbuten des Gutes verbundenen Prämen bem Pres. Bespel: De Daten enthalten Informatonen zu 546 m Jahr 987 verkauften Häusern ener kanadschen Stadt. Ene KQ-Regresson regressert den logarthmerten Hauspres auf de logarthmerte Grundstücksgröße, Zmmerzahl, Badezmmerzahl und das Vorhandensen ener Klmaanlage

48 Tab. 3.. KQ-Schätzergebnsse: Hedonsche Presfunkton Der Pres für en Haus mt 4 Zmmern, enem Badezmmer, enem Grund von 5000 sq.ft. und ohne Klmaanlage beträgt 7, ,4 log(5000) + 0, ,6 =,08, was enem erwarteten Pres von exp{,08 + 0,5 0,456} = kanad. Dollars entsprcht. 0,456 st de geschätzte Varanz des als normalvertelt unterstellten Störterms. Das R und alle t-wertee snd hoch. Der Koeffzent für den Dummy zur Kl- rer snd als ohne. En um 0% größeres Grundstück führt c. p. zu enem um 4% höheren Pres, en weteres Zmmer zu plus 8% maanlage gbt an, dass Häuser mt Klmaanlage ceters parbus ca. % teu- %. Mt dem RESET-Test lässt sch de funktonale Form überprüfen. Her ergbt der ŷ -Term ene t-statstk von 0,54 (p = 0,6) und de Terme ŷ und ŷ 3 gemensam ene F-Statstk von 0,56 (p = 0,57), es legt also ken Problem vor. Dennoch kann man wetere Merkmale m Modell berückschtgen: Tab. 3. KQ-Schätzergebnsse: Hedonsche Presfunkton, ausführlcheres Modell Jetzt stegen das R sowe das korrgerte R und de t-statstken zegen sgnfkante Effekte an. Der F-Test auf gemensame Sgnfkanz der zusätzlchen Varablen ergbt auf Bass der R -Werte ( 0,6865 0,5674) 7 ( 0,6865) ( 546 ) = 8,99, was hochsgnfkant st, mt p = 0,000. Man seht, dass sch durch de zusätzlchen erklärenden Varablen auch de vorhergen Koeffzenten geändert haben. Des legt daran, dass de betrachteten Merkmale unterenander korrelert snd. Auch her zegt der RESET-Test kene Fehlspezfkaton an. Auch deses erweterte Modell kann für Vorhersagen des Hauspreses verwendet werden

49 Alternatv könnte man de Prese selbst statt hres logarthmerten Wertes betrachten. In desem Fall (Tabelle 3.3) reflekteren de Koeffzenten absolute statt relatve Presunterschede. Während n Tabelle 3. ene Zufahrt den Hauspres um % erhöhte, schlägt des absolut mt 6688 Dollars zu Buche. Tab. 3.3 KQ-Schätzergebnsse: Hedonsche Presfunkton, ausführlches Modell mt lnearer abhängger Varable De Tabellen erlauben kenen drekten Rückschluss darauf, welche Spezfkaton der abhänggen Varable vorzuzehen st, mt dem R kann man her ncht argumenteren. En PE-Test des lnearen Modells (sehe 3..3) ergbt ene t-statstk von -6,96, was das lneare Modell verwerfen würde. Testet man das loglneare Modell, so ergbt sch ene Statstk von -0,569, so dass man deses ncht verwrft Illustraton: De Erklärung ndvdueller Löhne Tab. 3.4 Beschrebende Statstken, 47 Indvduen Löhne von 893 Männern und 579 Frauen für ene Zufallsstchprobe mt 47 Beobachtungen für das Jahr 994 aus Belgen, mt den Varablen wage = Bruttostundenlohn n male = wenn männlch, 0 wenn weblch educ = Bldungsnveau, = Grundschule bs 5 = Unverstätsabschluss exper = Berufserfahrung n Jahren. De Betrachtung der Mttelwerte ergbt Lohnunterschede für Männer und Frauen, de jedoch ncht unbedngt auf Dskrmnerung zurückgehen:

50 3.5. Lneares Modell Tab KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton Zunächst kann man mt ener Dummyvarablen den Geschlechterlohnuntersched be gegebenem veau an Erfahrung und Bldung ablesen; er entsprcht dem mttleren Lohnuntersched recht genau. De Ergebnssee mplzeren, dass auch be glecher Erfahrung und Bldung en hochsgnfkanter Geschlechterlohnuntersched exstert. Erfahrung und Ausbldung wrken lohnstegernd. Das enfache Modell erklärt 36% der Vara- ton der Löhne Man könnte vermuten, dass der Effekt zusätzlcher Berufserfahrung zu- nächst groß st und dannn abfällt. Um das zu prüfen, wrd zusätzlch en quad- ratscher Effekt der Erfahrung m Modell berückschtgt, der enen negatven Koeffzenten haben sollte. Tab KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton Deser zusätzlche Koeffzent st hochsgnfkant von ull verscheden, R und R stegen. un muss der gesamte Effekt der Erfahrung über bede Koeffzenten gemensam bestmmt werden, ndem man de Lohnglechung nach exper abletet (sehe (3.4)): wage = 0,358 0,0044 exper exper Des zegt, dass der Effekt enes Jahres Erfahrung vom errechten Bestand an Berufserfahrung abhängt. ach Jahr ergbt sch 0,358 0,0088 0,35, also 35 Cents pro Stunde höherer Lohn für Personen mt enem statt 0 Jahren Berufserfahrung. ach 30 Jahren ergeben sch 0,358 0, = 0,094, also 9 Cents

51 Der Lohnuntersched mt 3 statt 30 Jahren Berufserfahrung beträgt be Berechnung über de Lohnglechung: ( ) ( ) 0, , = 0,0896 Euro pro Stunde Loglneare Modelle un ergbt sch für das logarthmerte Modell en anderes R sowe ene an- dere Interpretaton der Koeffzen nten. Tab KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton 3 Der Koeffzent des Geschlechterdummyes beschrebt den relatven Unter- sched n den Löhnen, de für Männer um ca. % höher snd: Ergbt sch für ene Frau en Lohn von w*, so st für enen sonst dentschen Mann der logarthmerte Lohn um 0,8 höher, was m Lohn selbst enen Untersched von e 0,8 =,5, also,5% macht. Da exp (a) + a für klene a, lest man de Prozentunterschede oft drekt (und approxmatv) am Koeffzenten ab, her,8%. De Koeffzenten logarthmerter stetger Varablen können nun als Elastztäten nterpretert werden. Hätten wr kenen quadratschen Effekt der Berufserfahrung m Modell, so bedeutete der Koeffzent 0, der log(exper), dass der Lohn um 0,% stegt, wenn de Erfahrung um % stegt. Mt dem zusätzlchen quadratschen Effekt beträgt de Elastztät jetzt jedoch 0,+ 0,06 log( exper), Bede log(exper) Koeffzenten snd sgnfkant am 5%-, aber ncht am %- veau. Um hre gemensame Sgnfkanz zu bestmmen, nutzt man enen F- Test, z.b. auf Bass der R -Werte des vorlegenden Modells und des Modells ohne de beden log(exper) Varablen. ( 0,3783 0,798) ( 0,3783) ( 47 5) f = = 34, (3.36) De ullhypothese wrd deutlch verworfen. Zusätzlch kann man prüfen, ob das Modell mt nur enem Term für log(exper) ene deutlch schlechtere Güte hat, was ncht der Fall st, das R snkt nur gerngfügg: d.h. se st ncht über alle Werte von exper konstant

52 Table 3.8 KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton 4 höher Gebldeten betrachtet. Das Modell st restrktv, dadurch dass en lne- arer Effekt unterstellt wurde. Dese Annahmen können wr lockern, ndem wr en Modell mt Dummyvarablen schätzen. Dazu wrd ene Referenzkategore von der Schätzung ausgenommen, um Multkollneartät zu vermeden: Tab KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton 5 In desem Modell st der Bldungseffekt lnear m logarthmerten Wert der Bldungsvarable. Ceters parbus beträgt der Log-Lohnuntersched zwschen Bldungsstufe und 0,437 (ln() ln() )) = 0,437 0,693 = 0,30, d.h. Per- sonen auf Bldungsstufe verdenen um 0,3 höhere logarthmerte Löhne als Personen auf Bldungsstufe. Der Abstand wächst auf 0, 48, 0,6 und 0,70 wenn man de Loglohndfferenz zwschen Grundschulabsolventen und noch Im Ergebns snd alle enzelnen Koeffzenten der Bldungsdummes sgnfkant und bestätgen den stegenden Verlauf, auch wenn enzelne Bldungseffekte anders ausfallen als auf Bass von Spezfkaton 4. Da das Modell aus Tabelle 3.8 grundsätzlch n der allgemeneren Fassung genestet st, kann man de Modelle aus 3.8 und 3.9 per R -F-Test gegenenander testen. ( 0,3976 0,376) 3 ( 0,3976) ( 47 7) f = = 7,358 (3.37) Des überstegt den krtschen F 3,465 -Wert am %-veau (3,78). Daher werden de Restrktonen der Spezfkaton aus Tabelle 3.8 verworfen Effekte des Geschlechts Bslang haben wr unterstellt, dass sch de Löhne von Männern und Frauen ledglch um enen für alle Personen glechen, konstanten Betrag unterscheden. Mthlfe von Interaktonsvarablen kann man prüfen, ob enzelne erklärende Varablen für Männer und Frauen den glechen Effekt haben. Interaktonsvarablen snd her das Produkt der erklärenden Varablen mt dem Geschlechtsndkator. Interagert man das gesamte Modell, so ergbt sch Tabelle 3.0, de man dann auch für den Chow-Test nutzen kann

53 Tab KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton 6 De glechen Ergebnssee hätte man auch durch getrennte Schätzung für de beden Geschlechter errechen können. Be getrennter Schätzung snd un- terschedlche Fehlertermvaranzen für de Telstchproben möglch, während de gemensame Schätzung ene enhetlche Varanz unterstellt. Wenn sch be getrennter Schätzung deutlch unterschedlche Standardfehler ergeben, deutet das auf Heteroskedaste hn. De Koeffzenten selbst snd n beden Fällen glech. Der Untersched m Erfahrungseffekt für de Geschlechter st ncht hochsgnfkant. De Bldungseffekte snd für Männer telwese sgnfkant klener als für Frauen. Der Koeffzenten von male gbt nun ncht mehr den gesamten Untersched zwschen den Geschlechtern an. Der Lohnuntersched nach 0 Jahren Erfahrung auf Bldungsstufe beträgt: 0,54 + 0,04 log(0) 0,097 = 0,80 zugunsten der Männer, also ca. 8% höhere Löhne En Test auf de gemensame Sgnfkanz aller nteragerten Varablen entsprcht dem Chow-Test und lautet auf Bass der R -Werte: ( 0,403 0,3976) 5 ( 0,403) ( 47 ) f = =,7399, Tab. 3. KQ-Schätzergebnsse: Spezfkaton 7 was de H 0 ncht am %-, aber am 5%-veau verwrft. Schleßlch kann man sch noch vorstellen, dass der Berufserfahrungseffekt vom Bldungsstand abhängt. Auch des kann durch Interaktonsterme überprüft werden. De Koeffzenten der Interaktonsterme geben an, we stark sch etwa der exper-effekt be höherer Bldung wandelt. De Ergebnsse zegen kene sgn

54 fkanten Unterschede. Auch en F-Test auf gemensame Sgnfkanz zegt kene Sgnfkanz. Interessanterwese st n der letzten Spezfkaton fast nchts mehr sgnfkant, obwohl das R recht hoch ausfällt. Des west auf Multkollneartät hn. Der Test auf Gesamtsgnfkanz des Modells generert enen hoch-sgnfkanten Wert. Dennoch würde man angeschts der offenschtlchen Multkollneartät vermutlch das Modell aus Tabelle 3.0 bevorzugen Hnwese Be der ökonomschen Interpretaton der Ergebnsse st Vorscht geboten. Der Bldungseffekt gbt oft weder, welchen Beruf Indvduen mt deser Bldung gewählt haben; er st ncht bedngt auf den Beruf, da Berufe her ncht herausgerechnet wurden. Daher beschrebt er ncht den Effekt unterschedlcher Bldung be gegebenem Beruf, sondern enen Bldungseffekt, der Berufsunterschede mt enschleßt. Wchtg: Das Modell wurde nur für Erwerbstätge geschätzt. Für chterwerbstätge muss das so ncht gelten, nsbesondere wenn sch de beden Gruppen systematsch unterscheden. Überseht man desen Umstand, so ledet de Interpretaton unter Selektonsverzerrung. Das Problem kann ökonometrsch angegangen werden Vorscht st geboten, wenn man de Koeffzenten kausal nterpreteren wll. Des wäre z.b. dann en Problem, wenn sch de Gruppen (z.b. Bldung = vs. Bldung = 3) auch durch andere als de her beobachteten Merkmale unterscheden (z.b. n unbeobachteten Größen we Intellgenz und Fähgket). Da auch dese Merkmale ncht herausgerechnet werden, schleßt der Bldungseffekt hre Lohnwrkung mt en und wr können ncht scher sen, dass der Bldungseffekt auf Bldung statt z.b. auf Intellgenzunterschede der Gruppe zurückzuführen st. Lteratur: Verbeek, 008, Kap. 3 Albers, S. und B. Skera, 000, n: Herrmann, A. u. C. Homburg (Hrsg.), Marktforschung Methoden, Anwendungen, Praxsbespele,. Auflage, Gabler- Verlag, Wesbaden, S Hej, C. et al., 004, Econometrc Methods wth Applcatons n Busness and Economcs, Oxford Unv. Press, S

55 Kaptel 4: Heteroskedaste und Autokorrelaton 4. Konsequenzen für den KQ-Schätzer 4. Abletung enes alternatven Schätzverfahrens 4.3 Heteroskedaste 4.4 Heteroskedaste-Tests 4.5 Bespel: Arbetsnachfrage 4.6 Autokorrelaton 4.7 Tests für Autokorrelaton erster Ordnung 4.8 Bespel: achfrage nach Escreme 4.9 Alternatve Autokorrelatonsmuster 4.0 Vorgehenswese be Vorlegen von Autokorrelaton Lernzele Kaptel 4: Warum und wodurch sollte der KQ-Schätzer be Vorlegen von Heteroskedaste und Autokorrelaton ersetzt werden? Was versteht man unter enem FGLS-Schätzer? Wann snd Standardfehler robust? We lässt sch auf Heteroskedaste und Autokorrelaton testen? We unterscheden sch AR() und MA() Prozesse? We kann das Autokorrelatonsproblem gelöst werden? Konsequenzen für den KQ-Schätzer Unser Modell lautet y = x'β+ ε (4.) bzw. y = Xβ+ ε (4.) Wr unterstellen de Gauss-Markov-Annahmen A A4, zusammengefasst: E{ ε X} = E{ ε} = 0 (4.3) V{ ε X} = V{ ε} = σ I. (4.4) De Störtermvertelung hat Erwartungswert ull, Varanzen snd konstant und de Kovaranzen ull. Unter Heteroskedaste haben unterschedlche Beobachtungen unterschedlche Varanzen, d.h. de Elemente auf der Hauptdagonalen der Varanz- Kovaranz-Matrx snd ncht dentsch. Unter Autokorrelaton snd de Stör- 4.3 terme z.b. zetlch benachbarter Beobachtungen korrelert, d.h. de Varanz- Kovaranz-Matrx st kene dagonale Matrx. Bede Phänomene wdersprechen der Annahme (4.4). Als allgemene Schrebwese führen wr en { } σ V ε X = Ψ, (4.5) wobe Ψ ene postv defnte Matrx darstellt, de von X abhängen kann. Da de Annahme (4.4) für den Bewes der Unverzerrthet des KQ-Schätzers ncht genutzt wurde, glt de Unverzerrthet unabhängg von Ψ. Ledglch der Ausdruck für de Varanz-Kovaranz-Matrx von b ändert sch mt (4.5) statt (4.4). Da ( ) ( ) b = X'X X'y = β+ X'X X' ε, hängt de Streuung 4.4

56 von b von der Varanz-Kovaranz-Matrx von ε ab. Für gegebenes X erhalten wr { } ( ) { } ( ) { } ( ) V b X = V X'X X' ε X = X'X X'V ε X X X'X ( X'X) X' X( X'X) =σ Ψ (4.6) Standardfehler, (c) gelegentlch ergeben sch de Probleme durch Fehlspezfkaton des Modells, was behoben werden kann. Des lässt sch nur dann zu ( ) σ X'X verenfachen, wenn Ψ = I. Glt das ncht, so snd de Standardfehler des KQ-Schätzers falsch berechnet. Dadurch werden t- und F-Tests ungültg. Das Gauss-Markov-Theorem lässt sch ncht mehr bewesen, KQ st ncht mehr das beste unter allen lnearen und erwartungstreuen Schätzverfahren. Es gbt dre Möglchketen, Heteroskedaste- und Autokorrelatonsprobleme zu lösen: (a) Abletung enes neuen BLUE-Schätzers, (b) Korrektur der KQ Abletung enes alternatven Schätzverfahrens Wr unterstellen (4.5) und dass wr de postv defnte Matrx Ψ kennen. Wr transformeren das Modell so, dass es de Gauss-Markov-Bedngungen weder erfüllt. Wr nehmen an, dass es ene quadratsche, nchtsnguläre Matrx P gbt, so dass Ψ = P'P (4.7) Ψ= P'P = P (P') un lässt sch schreben: ( ) P P' PP Ψ = (P') P' = I Es folgt für den mt P vormultplzerten Störterm, dass EP { ε X} = PE{ ε X} = 0 V{ Pε X} = PV{ ε X} P' = σpψ P' = σ I Also erfüllt P ε de Gauss-Markov-Bedngungen und wr können das ganze Modell transformeren zu Py = P Xβ+ Pε bzw. y* = X * β+ ε*, (4.8) wobe ε* nun den Gauss-Markov-Bedngungen genügt. utzt man den KQ- Schätzer für das so transformerte Modell, ergbt sch wederum en BLUE- Schätzer für β. atürlch seht P unterschedlch aus, je nachdem, ob en Heteroskedaste- oder en Autokorrelatonsproblem gelöst wrd. Der Schätzer für β st ( ) ( ) ˆ X*'X* X*'y* X' X X' y β= = Ψ Ψ (4.9)

57 und wrd verallgemenerter KQ- oder GLS- (generalzed least squares) Schätzer genannt. Für Ψ = I ergbt sch der KQ-Schätzer. Um den GLS-Schätzer zu bestmmen, braucht man Ψ, was wr ncht kennen und schätzen müssen. Verwendet man ene Schätzung für Ψ, so sprcht man vom feasble-gls (FGLS oder EGLS, für estmated-gls) Schätzer. Da der GLS-Schätzer ˆβ BLUE st, st sene Varanz klener als de korrgerte Varanz des KQ-Schätzers b (4.6). Es lässt sch nachwesen, dass V b V β ˆ postv sem-defnt st. {} { } Man gewnnt GLS-Schätzer oft durch Umkoderen der Varablen und wendet dann KQ an. Dann werden de Varanz-Kovaranz-Matrx von β und de Fehlertermvaranz drekt n korrgerter Form ausgewesen. { ˆ} ( ) ( ) V β = σ X*'X* = σ X' Ψ X, (4.0) wobe σ we folgt geschätzt wrd: ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ ) ( ˆ) K K ˆσ = y* X*β ' y* X*β = y Xβ ' Ψ y Xβ. (4.) Heteroskedaste 4.3. Enführung Man sprcht von Heteroskedaste, wenn V{ X} ε dagonal st, aber ncht σ I entsprcht. De Störterme snd unterenander unkorrelert, aber de Varanz von ε varert über de Beobachtungen. Bespel: Lebensmttelausgaben (y ) werden auf ene Konstante und das verfügbare Enkommen (DPI ) regressert. Man erhält ene postve Stegung und erwartet, dass de Streuung der Lebensmttelausgaben be Hochverdenern größer st als be Gerngverdenern. Dese Form von Heteroskedaste kann we folgt modellert werden: Her wäre { } { } { } V ε DPI = σ = σ exp α DPI = exp α +α DPI (4.) α = log σ und α belebg. 4. Annahme: De Heteroskedaste folgt der allgemenen Form: { } { } V ε X = V ε x = σ h, (4.3) wobe alle h bekannt und postv snd. Unter der Annahme, dass es kene Autokorrelaton gbt, lässt sch schreben { } { } { } V X Dag h ε = σ = σ Ψ (A9) Dag h st ene dagonale Matrx mt den Elementen h,h,,h. De Annahme A9 ersetzt unsere Annahmen A3 und A4. Sobald de Varanz von ε von den erklärenden Varablen abhängt, glt auch A, de Annahme der Unabhänggket von ε und X ncht mehr. A und A werden ersetzt durch Wr suchen den BLUE-Schätzer für β m Modell E{ ε X} = 0 (A0) 4.

58 y = x' β+ε, =,,, (4.4) unter den Annahmen A9 und A0. Für P wählen wr { } P = Dag h, (4.5) ene dagonale Matrx mt den Elementen h,,h. Elemente des Vektors * der transformerten Daten snd dann y = y h, x = x h, ε * = ε h. * Man erhält den GLS-Schätzer für β, ndem man den KQ-Schätzer auf das transformerte Modell anwendet: * * * y x ε y = x ' β+ε = ' β + (4.6, 4.7) h h h Der resulterende Störterm st nun homoskedastsch (sehe 4.3): ε = ε = σ = σ { } V X V X h h h h und der KQ-Schätzer lautet (als Spezalfall von (4.9)): = = ˆ β= h xx' h xy (4.8) Deser Schätzer wrd auch als gewchteter KQ-Schätzer bezechnet (weghted least squares): Jede Beobachtung st mt enem Faktor gewchtet, der proportonal zum rezproken Wert der Fehlervaranz st. Unter A9 und A0 st der GLS-Schätzer BLUE. So erhalten Beobachtungen mt großer Varanz n der Schätzung en kleneres Gewcht als Beobachtungen mt klener Fehlertermvaranz De Interpretaton der geschätzten Koeffzenten bezeht sch auf das Orgnalmodell, ncht auf das transformerte Modell. Im transformerten Modell wrd auch de Konstante transformert und her durch de Varable h ersetzt. Das transformerte Modell wrd daher ohne egentlche Konstante geschätzt Egenschaften des Schätzers und Hypothesentests Da GLS en KQ-Schätzer auf en transformertes Modell st, der de Gauss- Markov-Egenschaften erfüllt, lassen sch sene Egenschaften analog zum KQ-Fall ableten. De Varanz-Kovaranz-Matrx von ˆβ ergbt sch aus V { ˆ} β = σ h xx' (4.9) = Dabe wrd σ unverzerrt geschätzt durch ( ˆ ) σ ˆ = h y x' β (4.0) K = Wenn wr we n A5 normalvertelte Störterme unterstellen, folgt, dass ˆβ normalvertelt st mt Erwartungswert β und ener Varanz we n (4.9)

59 Damt können wr t-tests legtmeren, z.b. für H 0 : β = gegen H : β nutzen wr βˆ t = se ( βˆ ) (4.) ( ) Ohne de Annahme normalvertelter Störterme folgt dese Teststatstk unter βˆ H 0 ncht der t -K -Vertelung. wäre dann asymptotsch standardnor- se βˆ malvertelt, was am 5%-Sgnfkanznveau zu enem krtschen Wert von,96 führt. Schätzer ˆβ und sene geschätzte Varanz { ˆ} { ˆ} der Waldstatstk Es lässt sch ebenfalls mt ( ˆ ) ( ˆ { ˆ} ) ( ˆ ) ξ= Rβ q ' RV β R' Rβ q ~ χ ˆσ und ˆ {} ˆ V Rβ = RV β R' zur Abletung J V β ene F-Statstk berechnen, für de glt f =ξ J~FJ, K. Auch F- und Wald-Tests können we zuvor verwendet werden. Unter H 0 : Rβ = q und H : Rβ q und R mt der Dmenson J K nutzt man den GLS Stuaton unbekannter Varanzen In (4.3) haben wr unterstellt, dass wr de Störtermvaranzen kennen: Das st selten der Fall. { ε } = { ε } = σ V X V x h Solange h unbekannt st, kann der GLS-Schätzer ncht bestmmt werden. Man müsste de unbekannten h -Werte durch unverzerrte oder konsstente Schätzwerte ersetzen und hoffen, dass des de Egenschaften des GLS- Schätzers ncht beenträchtgt. Allerdngs kann man mt Beobachtungen ncht verschedene h -Werte verlässlch schätzen. Das geht nur mt zusätzlchen Annahmen etwa hnschtlch ener funktonalen Form, mt der h bestmmt wrd. 4.9 So kann de Varanz von ε auch durch mehr als ene exogene Varable bestmmt werden, und des auch n ncht-proportonaler Form. ε = σ x α oder k { } α ( ) α V x x k l z.b. { } V ε = σ + (4.5) In desem Fall müssten de Parameter α oder α und α zunächst geschätzt werden, um dann den GLS-Schätzer auf de geschätzten Werte von h anzuwenden. Hätten wr Schätzwerte ˆα und ˆα, so könnten wr ĥ als konsstenten Schätzer für h bestmmen und den Feasble GLS (FGLS)-Schätzer für β berechnen: ˆ ˆ = = β ˆ* = h xx' h xy (4.6) Wenn de Werte für h konsstent geschätzt werden, snd FGLS β ˆ * und GLS ˆβ asymptotsch äquvalent. Allerdngs kann man für den FGLS-Schätzer de 4.0

60 BLUE-Egenschaften für klene Stchproben ncht nachwesen. Zumest st FGLS auch ken lnearer Schätzer, da ĥ n nchtlnearer Form von y abhängt. Unter A9, A0 und ener Annahme zur Form der Heteroskedaste st der FGLS-Schätzer für β konsstent und asymptotsch der Beste (asymptotsch effzent, d.h. mt der klenstmöglchen Varanz). De Varanz-Kovaranz-Matrx wrd geschätzt als ˆ { ˆ } ˆ V β * = σˆ h xx', (4.7) = wobe β ˆ * ersetzt. ˆσ der Schätzer der Fehlervaranz st (4.0). Dabe wrd jetzt ˆβ durch Heteroskedaste-konsstente Standardfehler für KQ-Schätzer Für unser Modell y = x' β+ε (4.8) mt heteroskedastschen Fehlern glt E{ ε X } = 0 und V{ X } Xβ + ε mt V{ X} Dag{ } ε = σ bzw. y = ε = σ Ψ = σ. Der KQ-Schätzer für β st unverzerrt und konsstent mt der Varanz-Kovaranz-Matrx { } ( ) { } ( ) V b X = X'X X'Dag σ X X'X (4.9) Um dese Matrx zu schätzen, benötgt man Schätzer für de ohne wetere Annahmen ncht möglch st. σ für alle, was Whte (980) hat gezegt, dass ledglch en konsstenter Schätzer der K K- Matrx = X'Dag{ σ } X = σ xx' (4.30) erforderlch st. Dabe glt unter allgemenen Bedngungen, dass S e xx' (4.3) en konsstenter Schätzer für Deshalb kann = st (e st der KQ-Störterm). = { } ( ) ( ) ˆV b = X'X e xx' X'X xx' e xx' xx' = = = = (4.3) als Schätzer der wahren KQ-Varanz genutzt werden ohne dass wr de wahre Form der Heteroskedaste kennen. Her wrd ledglch de Formel für de Berechnung der Varanz von b ausgetauscht. Des st n den mesten Softwares als Opton engebaut. Wenn de Standardfehler von b als Wurzel der we n (4.3) bestmmten Varanz berechnet werden, sprcht man von robusten oder heteroskedaste-konsstenten Standardfehlern oder Whte-Standardfehlern. De t- und F-Teststatstken snd auch be Whte-Standardfehlern asymptotsch angemessen. Kennte man de genaue Form der Heteroskedaste, so wäre en FGLS- Schätzer effzenter als der KQ-Schätzer mt Whte-Standardfehlern

61 4.3.5 Multplkatve Heteroskedaste Be multplkatver Heteroskedaste wrd unterstellt, dass de Fehlertermvaranz mt enem J-dmensonalen Vektor z der exogenen erklärenden Varablen korrelert st, der um Postvtät zu garanteren exponentell berückschtgt wrd: { ε } = σ = σ { α + +α J J} = σ { α } V x exp z z exp z' (4.36) Typscherwese enthält z enen Tel der Regressoren aus x oder hre Transformaton. Im letzten Unterkaptel war J = und z der Geschlechtsdummy. Um den FGLS zu bestmmen, benötgen wr konsstente Schätzer der unbekannten Parameter α n h exp{ z' } = α. Zunächst stellen wr fest, dass log σ = logσ + z' α. Für e = y x'b kann man schreben: 4.5 loge = logσ + z' α+ loge logσ = logσ + z' α+ ν (4.37) Da ν kenen Erwartungswert von ull hat, kann de Konstante, logσ, ncht konsstent geschätzt werden. Dennoch können mt (4.37) konsstente Schätzergebnsse für α gewonnen werden. un snd 6 Schrtte erforderlch, um konsstente Schätzer für β zu erhalten:. Schätze das Modell mt KQ, um de konsstenten b-schätzer zu erhalten.. Berechne ( ) loge = log y x' b auf Bass der Resduen. 3. Schätze (4.37), um konsstente Schätzer für α zu erhalten. ˆ h = exp z' α ˆ, transformere alle Beobachtungen, und schätze 4. Berechne { } das Modell 4.6 y x ε ' = hˆ β+ hˆ hˆ per KQ (nklusve transformerter Konstante). Des ergbt den FGLS- Schätzer ˆβ* für β. 5. σ kann konsstent geschätzt werden durch σ = ˆ ( y x' βˆ *) K = h 6. En konsstenter Schätzer der Varanz-Kovaranz-Matrx von β ˆ * st xx' V ˆ { β ˆ *} = σˆ = ĥ ˆ Deser wrd be KQ-Schätzung des transformerten Modells automatsch berechnet. Illustraton: Hej, C. et al., 004, Econometrc Methods wth Applcatons n Busness and Economcs, Oxford Unv. Press, S und Frage: Was st der Zusammenhang zwschen Znsen auf US-Schatzanlehen der US-Regerung und den Znsen von AAA Schuldtteln prvater Schuldner? (Vermutung: postver Zusammenhang, schwächer m Berech höherer Znsen)

62 Modell der Heteroskedaste: E( ) ε = σ x, so dass x 0 Ω = σ x 0 0 x n Höchste Varanz n Monaten mt großen Änderungen n x, Beobachtungen mt hoher Varanz snd wenger nformatv hnschtlch α und β. Daten: Durchschnttszns der Schuldttel von AAA Unternehmen (Moody's Investor Servce); Zns auf Schatzanlehen des Bundes (Federal Reserve) Jan. 950 Dez. 999 x = monatlche Änderung der Znsen der Schatzanlehen y = monatlche Änderung der Znsen der AAA Schuldttel Regressonsmodell: y = α+β x +ε =,, 600 Graphsche Analyse ergbt über de Zet stegende Volatltät des Resduums, möglcherwese, wel Volatltät der Znsen der Schatzanlehen steg. Schätzung: Abh. Varable: Änderung der Znsen auf AAA Bonds Koeff. KQ- Std.fehler t Whte Std.fehler Konstante 0,0063 0,006 0,9 0,0069 0,9 Δ US-Schatzanlehe 0,745 0,04 8,75 0,08,00 R-squared: 0,37 = 600 Beobachtungen t ur klene Unterschede n Standardfehlern. Modell zur Heteroskedaste erlaubt gewchtete Schätzung: Wenn E( ) ε = σ x, führt folgende Modelltransformaton zum effzenten y ε Schätzer: =α +β+ε wobe ε =, E í í ( ε ) = σ x x Ergebns der gewchteten Schätzung: Koeff. Std.fehler t Konstante -0,0038 0,005 0,46 Δ US-Schatzanlehe 0,66 0,443,88 R-squared (ungewchtet) 0,37 n = 583 x Zusammenhang st am 5%-Sgnfkanznveau ncht sgnfkant. 7 Beobachtungen verloren, für de x = 0 war. Dese hätten ene Varanz und en Gewcht von ull. Modellalternatve A für Heteroskedaste, wenn Varanz z.b. vor und nach 975 unterschedlch: σ = γ +γ D, wobe 0 für Jan. 950 Dez. 974 D = für Jan. 975 Dez. 999 Varanz nach 974 um festen Betrag γ größer. Modellalternatve B, wenn Varanz nach großen Schocks stegt: ( y x ) σ = γ + γ ε = γ + γ α β

63 Vorgehenswese: ) Schätze KQ und bestmme ε ) Berechne 3) Bestmme für jedes ε und schätze γ und γ der alternatven Modelle, 4) Gewchte de Daten mt also ε = γ +γ D +η bzw. ε =γ +γ e +η ˆσ, also σˆ σ ˆ = γ ˆ +γ ˆ D bzw. σ ˆ =γ ˆ +γ ˆ ˆ und schätze erneut: e Modell A Modell B Koeff. Std.fehler t Koeff. Std.fehler t Konstante Δ US-Schatzanlehe Welches der beden Modelle st zu bevorzugen? Testen, z.b. Verglech der Resduen und hrer Varanz Heteroskedaste-Tests Es gbt ene Rehe von Tests auf Heteroskedaste. Wenn se de ullhypothese der Homoskedaste verwerfen, kann man entweder enen FGLS- Schätzer nutzen, heteroskedaste-konsstente KQ-Standardfehler berechnen oder de Modellspezfkaton ändern Test der Glechhet zweer unbekannter Varanzen (Goldfeld-Quandt Test) Wenn de Stchprobe aus zwe Telen A und B besteht, kann de ullhypothese lauten: H :σ 0 A B = σ. Der Test baut auf den Zusammenhang s K ~ j χ j j K σj ( ), j = A,B auf. Wenn s und s unabhängg snd, folgt A B s A A ~F A K,B K σ B B s σ Unter H 0 folgt also s λ= ~F (4.4) s A A K,B K B

64 Be ener zwesetgen Alternatvhypothese H:σ A B σ wrd H 0 verworfen, wenn das Verhältns der geschätzten Varanzen zu stark nach oben oder unten von abwecht. Be ensetger Alternatvhypothese H:σ >σ wrd H A B 0 verworfen, wenn λ zu groß st. De Alternatvhypothese H:σ <σ würde A B genauso getestet, nachdem man de Benennung der Gruppen vertauscht hat Der Breusch-Pagan-Test Zuvor haben wr unterstellt, dass σ = σ exp{ z' } α. Des kann auch allgemener gefasst werden: ( ) σ = σ h z' α, (4.44) wobe h ene unbekannte, dfferenzerbare und von unabhängge Funkton st, mt h(.) > 0 und h(0) =. Für den Spezalfall h(t) = exp{t} erhalten wr unsere Ausgangshypothese. Der Test prüft H 0 : α = 0 gegen H : α 0 unabhängg davon, welche konkrete Form h annmmt De Teststatstk multplzert das R der Regresson von e auf z und ene Konstante mt. ξ= R st asymptotsch χ -vertelt mt J Frehetsgraden (J = Anzahl der Elemente von z, ohne Konstante) Der Whte-Test Der Whte-Test verallgemenert den Breusch-Pagan-Test, ndem er für de Form der Heteroskedaste kene konkrete Annahme macht. Geprüft wrd, ob e durch de ersten und zweten Momente und Interaktonsterme der ursprünglchen Regressoren erklärt werden kann. Man berechnet weder R ener solchen Regresson. Dese Teststatstk st χ -vertelt und hat so vele (P) Frehetsgrade, we de Hlfsregresson von e Regressoren berückschtgt. Da n der Hlfsregresson mehr Parameter berückschtgt werden als m Breusch-Pagan-Test, können mt dem Whte-Test auch allgemenere Formen von Heteroskedaste aufgespürt werden. Allerdngs kann es sch be den aufgespürten Problemen auch um Fehlspezfkatonen handeln Auswahl enes Tests Welcher Test angemessen st, hängt davon ab, welche Form der Heteroskedaste vermutet wrd. En Test st umso stärker (d.h. er kann de falsche H 0 mt umso höherer Wahrschenlchket verwerfen), je konkreter de ullhypothese st. Der achtel konkreter ullhypothesen st, dass be Vorlegen ener anderen Form von Heteroskedaste dese ncht entdeckt wrd. Der allgemenste Test, der Whte-Test, hat be velen Alternatven nur ene gernge Teststärke (der β-fehler st potentell hoch). Tests für konkretere ullhypothesen snd stärker, aber das wederum nur gegenüber ener begrenzten Zahl von Alternatven. Oft st es hlfrech, de Resduen gegenüber ausgewählten exogenen Varablen grafsch darzustellen. 4.40

65 4.5 Bespel: Arbetsnachfrage Wr betrachten en enfaches Modell der Arbetsnachfrage belgscher Unternehmen. De Daten beschreben für 569 Unternehmen folgende Varablen für 996: labour: Gesamtbeschäftgung, Anzahl der Arbetnehmer captal: Anlagekaptal, n Mllonen Euro wage: Lohnkosten pro Arbetnehmer, n Tausend Euro output: Wertschöpfung; n Mllonen Euro In ener enfachen Produktonsfunkton Q = f(k,l) beschreben Q den Output, K und L den Faktorenensatz an Kaptal und Arbet. De gesamten Produktonskosten snd rk + wl, wobe r und w de Faktorkosten für Kaptal und Arbet abblden. Über Kostenmnmerung be gegebenem Output lässt sch de Arbetsnachfragefunktonn ableten: L = g(q,r,w). r wrd häufg durch K appro- xmert. Zunächst wrd en lneares Modell geschätzt. Tab. 4..: KQ-Ergebnsse, lneares Modell Alle Koeffzenten haben de erwarteten Vorzechen: Be höheren Löhnen st de Beschäftgung gernger, höherer Output erfordert mehr Arbetsensatz groß st. De Teststatstk st R = 569 0,588 = 33,0, der krtsche χ - Wert für 3 Frehetsgrade beträgt am 5%-veau 7,8. Damt wrd de H 0 homoskedastscher Fehlerterme klar verworfen. In Datensätzen, de aus unterschedlch dmensonerten Beobachtungen bestehen (z.b. große und klene Länder oder Unternehmen), st das Verwerfen von Homoskedaste en typsches Ergebns. Ene Möglchket, dem Problem zu begegnen st, en logarthmsches Modell zu schätzen, das sch etwa be ener Cobb-Douglas Produktonsfunkton Q AK α β = L ergäbe. Bevor wr de Standardfehler und Teststatstken nterpreteren, prüfen wr, ob Heteroskedastee vorlegt. Im Rahmen enes Breusch-Pagan-Tests regresseren wr de quadrerten Störterme n ener Hlfsregresson auf Löh- ne, Output und Kaptal. Tab. 4..: Hlfsregresson Breusch-Pagan-Test Be dem hohen R -Wert und sgnfkantenn Koeffzenten st es unwahrschen- lch, dass de ursprünglche Fehlertermvaranz für alle Beobachtungen glech

66 Tab. 4..3: KQ-Ergebnsse, loglneares Modell Wenn man für deses Modell de Breusch-Pagan-Hlfsregresson von oben durchführt, ergbt sch en R von 0,036, de Teststatstk des χ -Tests beträgt 7,74, was am 5%-veau mt χ = 7,8 ncht mehr sgnfkant st. 3,95% Man könnte auch enen Whte-Test durchführen. Dazu regressert man e auf alle Regressoren, hre Quadrate und Interaktonsterme: Her können alle Koeffzenten als Elastztäten nterpretert werden. De Lohnelastztät der Arbetsnachfrage st mt 0,93 recht hoch. Auch de Outputelastztät beträgtt fast, de Erhöhung des Outputs um % erfordert % mehr Arbetsensatz Tab. 4..4: Hlfsregresson Whte-Test Offenschtlch st de Störtermvaranz mmer noch eng korrelert mt Outpu und Kaptal. Man sollte also m Orgnalmodell (mndestens) heteroskedaste- konsstente Standardfehler berechnen: Tab. 4..5: KQ-Ergebnsse, loglneares Modell, Whte Standardfehler Be enem R von 0,09 st de χ -Teststatstk von 58,55 noch hochsgnf- kant. Der krtsche Wert am 5%-veau mt 9 Frehetsgraden beträgt 6,

67 un fallen de Standardfehler größer aus als n Tabelle 4.3, aber qualtatv haben sch de Ergebnsse ncht verändert. Den effzenten FGLS-Schätzer kann man bestmmen, wenn man ene kon- krete Form der Heteroskedaste unterstellt, z.b. dass de Varanz von ε von log(wage), log(captal) und log(output) bestmmt wrd. Dazu berechnet man zunächst de Hlfsregresson n Tabelle Tab. 4..6: Hlfsregresson Multplkatve Heteroskedaste Zwe der erklärenden Varablen snd statstsch sgnfkant und auch der F- Wert leße uns de ullhypothese der Homoskedaste verwerfen (krtscher Wert be J = 3 und K = = 565 be 5% beträgt,60). Um zu prüfen, ob de Heteroskedaste besser durch en Modell aufgefangen würde, das zusätzlch dre quadratsche Terme der erklärenden Varablen enthält, wrd das Modell aus Tabelle 4.6 entsprechend erwetert geschätzt. De H 0, dass de dre zusätzlchen Terme Koeffzenten von ull haben, können be ener Teststatstk von F =,85 allerdngs ncht verworfen werden (p = 0,37). Um nun den FGLS-Schätzer der Arbetsnachfrageglechung zu erhalten, müssen de Daten transformert werden. Bs auf de Konstante (vgl. (4.39)) snd de Parameter n Tabelle 4.6 konsstent. Mt Hlfe der auf Bass deser Regresson vorhergesagten Werte hˆ = hˆ mt hˆ = eˆ werden de Orgnaldaten transformert. Da de Inkonsstenz der Konstanten der Hlfsregresson über de Transformaton alle Daten n der Arbetsnachfrageglechung proportonal betrfft, hat se kenen Enfluss auf de letztendlchen Schätzergebnsse (sehe Tabelle 4.7). Tab. 4..7: FGLS-Ergebnsse, loglneares Modell Der Verglech der Standardfehlerr zwschen Tabelle 4.7 (FGLS) und 4.5 (Wh- Whte te-standardfehler) zegt den großen Effzenzgewnn: Stdfehler β < Stdfehler β ). En Verglech mt den Standardfehlern n 4.3 st FGLS ( ) ( ) ncht nützlch, da letzteree unkorrgert und damt falsch snd. De Koeffzenten haben sch bs auf den des Kaptals ncht wesentlch geändert. Letzterer st jetztt sgnfkant

68 Wr prüfen H 0 : β log( wage) = gegen H : β log( wage) mt t = (-0,856 + )/0.07 =,0, was am %-veau ncht, aber am 5%-Sgnfkanznveau noch verworfen wrd. so dass de Verwendung enes anderen Schätzverfahrens ne zu enem höheren Wert für das R führen kann. Das R n Tabelle 4.7 (FGLS) st höher als n Tabelle 4.3 (KQ-Schätzer). Allerdngs musste n Tabelle 4.7 das ncht-zentrerte R berechnet werden, da das Modell ohne (echte) Konstante geschätzt wurde. Außerdem wurde das R n Tabelle 4.7 für ene transformerte abhängge Varable bestmmt, umgerechnet auf de Orgnalvarable würde das R snken. Würde man n Tabelle 4.7 de Berechnungsart R = corr { ˆ } y,y nutzen und ŷ = x' β ˆ * setzen, ergäbe sch R = 0,8403, was nur gerngfügg unter dem R aus Tabelle 4.3 legt. Der KQ-Schätzer maxmert per defntonem das R, Autokorrelaton Wenn de Kovaranz von Fehlertermen ncht ull st und statt dessen zwe oder mehr aufenander folgende Störterme korrelert snd, sprechen wr von Autokorrelaton oder sereller Korrelaton. Solange E{ ε X} = 0, snd de Konsequenzen von Autokorrelaton und Heteroskedaste ähnlch: Der KQ- Schätzer st unverzerrt und neffzent, de Standardfehler snd falsch. Autokorrelaton gbt es typscherwese be Zetrehendaten, wo de Beobachtungen (ndexert nun mt t =,,,T statt mt =,, ) geordnet vorlegen. Der Störterm beschrebt den Enfluss von Größen, de ncht m Modell berückschtgt wurden. Ausgeschlossene Varablen snd en häufger Grund für postve Autokorrelaton. Insofern west Autokorrelaton auch oft auf Fehlspezfkaton hn. Bespel: Monatlche achfrage nach Escreme. Der Fehlerterm ε enthält her den Enfluss des Wetters. Abbldung 4. beschrebt de auf Bass enes geschätzten Modells vorhergesagten Werte (Lne) sowe de tatsächlch beobachteten Werte (Punkte). Es gbt jewels Gruppen postver und negatver Resduen. Abb. 4.: Tatsächlche und vorhergesagte Esnachfrage (März 95 Jul 953)

69 4.6. Autokorrelaton erster Ordnung Jede Form von Autokorrelaton führt zu ener anderen Varanz-Kovaranz- Matrx der Störterme V{ε}. Am häufgsten betrachtet man autoregressve Prozesse erster Ordnung. Der Störterm von y = x' β+ε (4.47) t t t folgt dann auf senen Vorläufer gemäß: ε t =ρε t +ν. t (4.48) In makroökonomschen Analysen führen Konjunkturzyklen zu ähnlchen Effekten. Postve Autokorrelaton st de Regel, negatve st eher selten (postve und negatve Störterme würden abwechseln). Dabe hat ν t den Mttelwert 0 und de konstante Varanz σ ohne serelle Korrelaton. ν t wrd n jeder Perode neu und unabhängg von vorhergen Werten ν bestmmt. Es wrd unterstellt, dass x t und alle Störterme statstsch unabhän- gg snd. ρ und σ snd unbekannt. Wenn ρ = 0 st, gelten für ε ν t = ν t de Standardannahmen A A Wr unterstellen typscherwese, dass ε enen Erwartungswert von 0 und de gleche Varanz we spätere ε t hat, sowe dass ρ <. Wenn ρ <, sprechen wr von enem statonären autoregressven Prozess erster Ordnung. Be statonären Prozessen snd Mttelwert, Varanz und Kovaranz von ε t über de Zet konstant. Aus E ε = ρe ε + E ν folgt, dass { } ergbt sch E ε = 0 und aus t { } { } { } t t t { } { } { } V ε = V ρε +ν = ρ V ε +σ t t t t υ σν σ = V{ ε ε t} = (4.49) ρ Für ncht-dagonale Elemente der Varanz-Kovaranz-Matrx von ε folgt aus 4.59 σν cov { ε, ε t t } = E{ εε t t } = ρe{ ε t } + E { ε ν t t} = ρ (4.50) ρ De Kovaranz für Fehlerterme m Abstand von Peroden st gegeben durch σν E{ εε t t } =ρe{ ε ε t t } + E { ε ν t t} =ρ (4.5) ρ und allgemen glt für s 0 E s σν εε =ρ. (4.5) t t s ρ { } Somt snd solange 0 <ρ< alle Elemente von ε mt stegendem zetlchem Abstand mmer schwächer korrelert. Dabe enthält de Varanz- Kovaranz-Matrx von ε kene ullen. Für enen FGLS-Schätzer kann ene entsprechende Transformatonsmatrx abgeletet werden. 4.60

70 Da ε =ρε +ν, generert ene Transformaton we ε ρε t t t t t homoskedastsche, ncht-autokorrelerte Störterme. Das transformerte Modell st: y ρ y = x ρx ' β+ν t =,3,,T (4.53) ( ) t t t t t Der KQ-Schätzer für de für t = mt (4.54) und für t =,3, T mt (4.53) transformerten Beobachtungen ergbt den GLS-Schätzer ˆβ, der de BLUE- Egenschaft hat. Ohne t = sprcht man vom Cochrane-Orcutt-Schätzer, mt t = vom Pras-Wnsten-Schätzer. und lefert, sofern ρ bekannt st, be KQ-Schätzung approxmatv den GLS- Schätzer. Allerdngs kann de erste Beobachtung (t = ) ncht genutzt werden, was aber nsbesondere wenn T groß st nur enen gerngen Enfluss auf de Schätzergebnsse hat. Für t = nutzt man wobe { } ( ) ( ) ρ y = ρ x' β+ ρ ε, (4.54) Var ρ ε = ρ Var ε =σ (sehe 4.49). ν Unbekanntes ρ Im ormalfall kennt man ρ ncht. Gegeben ε =ρε +ν, (4.55) t t t lässt sch ρ durch KQ-Regresson von ε t auf ε t- schätzen: T T t t t t= t= (4.56) ρ= ˆ e ee st konsstent. utzt man ˆρ statt ρ, um den FGLS-Schätzer β ˆ * zu erhalten, glt de BLUE-Egenschaft ncht mehr. Asymptotsch snd β ˆ * und ˆβ allerdngs äquvalent und man kann gnoreren, dass ρ geschätzt wurde. Bem teratven Cochrane-Orcutt-Schätzer schätzt man zunächst KQ und erhält b und ε. Dann schätzt man ˆρ und erhält β ˆ *. un erhält man neue Resduen und bestmmt en neues ˆρ. De Prozedur wrd so lange wederholt, bs 4.63 sch ˆρ und β ˆ * ncht mehr ändern. Dadurch wrd ρ zunehmend effzenter geschätzt, aber ncht unbedngt auch β ˆ *. Da ρ soweso konsstent geschätzt wurde, st der Vortel des Verfahrens gerng. Be klenen Stchproben kann es günstg sen. Illlustraton: Quelle: Murray, M.P., 006, Econometrcs. A Modern Introducton, Pearson, S. 453, 47. Fragestellung: Was st der Zusammenhang zwschen Arbetslosgket und Armut? Daten: US-Armutsrate (Bevölkerungsantel mt Enkommen unter der Armutsgrenze), US-Arbetslosenquote, ( = 4) 4.64

71 KQ-Schätzung: Abh. Varable Armutsrate Koeff. Std.fehler t Konstante Arbetslosenquote R = 4 Hochsgnfkanter Zusammenhang, we erwartet. Vermutung: Autokorrelerte Störterme erster Ordnung, neue Schätzungen: Cochrane-Orcutt Pras Wnsten Koeff. Std.fehler t Koeff. Std.fehler t Konstante Arbetslosenquote rho Auch be korrgerenden Schätzverfahren blebt sgnfkanter Zusammenhang erhalten. Ansteg der Arbetslosenquote um 0,0 (en Prozentpunkt, z.b. von 5 auf 6 Prozent) erhöht Armutsrate um 0,583 0,0 = 0,0058. Da aber nur de Hälfte der Bevölkerung m Arbetsmarkt aktv st, mplzert jeder wetere Arbetslose ca., wetere Personen n Armut; unterstellt wrd, dass de Ar mutsrate = Anzahl Arme/Anzahl Enwohner, Alq = Anzahl Arbetslose/Anzahl der Erwerbspersonen sowe Enwohner Erwerbspersonen. 4.7 Tests für Autokorrelaton erster Ordnung Solange ρ = 0, st KQ BLUE. Wenn ρ 0, snd de KQ-Standardfehler falsch. Daher snd Autokorrelatonstests wchtg

72 4.7. Asymptotsche Tests De KQ-Resduen aus y t = x'β t + ε t enthalten Informatonen über Autokorrelaton. En erster Ansatz st, ε t mt oder ohne Regressonskonstante auf ε t- zu regresseren. Solange das ursprünglche Modell kene verzögerten endogenen Varablen aufwest, st der t-test für ˆρ asymptotsch gültg. Es lässt sch zegen, dass t Tρ ˆ. (4.57) Wr verwerfen H 0 : ρ = 0 gegen ene zwesetge Alternatve mt ρ 0, z.b. wenn t >,96 am 5%-veau. Unterstellt man postve Autokorrelaton, so lautet H : ρ > 0 und de Teststatstk am 5%-veau st,64. En anderer Test (Breusch-Godfrey-Test) stützt sch auf das R der Hlfsregresson mt Konstante ε =α+ρε t t t +ν für t =,3, T Her folgt unter H 0 : ρ = 0, (T - ) R der χ Vertelung mt enem Frehetsgrad. Je klener R st, umso eher glt ρ = 0. Der Test kann enfach für den Fall von Autokorrelaton höherer Ordnungen erwetert werden, ndem der Hlfsregresson wetere verzögerte Werte hnzugefügt werden, z.b. für Autokorrelaton drtter Ordnung: ε =α+ρε +ρ ε +ρ ε +ν t = 4,5, T t t t 3 t 3 t Wenn das Modell verzögerte endogene Varablen enthält, ergbt sch entgegen Annahme A ene Korrelaton der erklärenden Varablen mt dem Störterm: e t y = x'β + y γ+ρ e t t t- t +ν t Das gleche Problem ergbt sch, wenn enzelne Regressoren mt e t- korrelert snd. Dennoch snd de oben genannten Tests auch n desen Stuatonen angemessen, wenn de entsprechende Regressoren y t- bzw. x t n der Hlfsglechung berückschtgt werden: e =α+ x' β+ρ e +ρ e + +ρ e +ν. t t t t M t M t Vermutet man m Hauptmodell Heteroskedaste, be der de Varanz der Störterme durch de erklärenden Varablen beenflusst wrd, dann gelten de t- Test Formen der Autokorrelatonstests nach we vor, solange heteroskedaste-konsstente Whte-Standardfehler berechnet werden Der Durbn-Watson-Test Der Durbn-Watson-Test st sowohl asymptotsch als auch be klenen Stchproben gültg, wenn Annahmen zutreffen: (a) De Regressoren snd nchtstochastsch, d.h. A glt und es snd kene verzögerten endogenen Varablen m Modell. (b) x enthält de Regressonskonstante. De Durbn-Watson-Teststatstk nutzt den KQ-Störterm e t : dw = T ( e e t t ) t= T t= e t, (4.58) da T T T ( + ) e ee e e ee dw = ρˆ t t t t t t t t= t= t= T T T et e e t t t= t= t= (4.59)

73 En dw-wert von ungefähr mplzert, dass ρ 0. Wenn dw <, so st des en Indz für postve Autokorrelaton mt ρ > 0, st dw >, dann st ρ < 0. Tab. 4..8: Oberee und untere Grenzwerte der DW-Teststatstk für α = 5% Unter H 0 : ρ = 0 hängt de Vertelung von dw ncht nur von T und der Anzahl K der Koeffzenten ab, sondern auch von den Werten der x t Varablen. Daher gbt es kene allgemengültgen krtschen Werte, sondern obere und untere Grenzen für dw, de von T und K abhängen (sehe Tabelle 4.8). Dabe legt der wahre krtsche Wert d crt zwschen oberem (upper) und unte- rem Grenzwert (lower): d L < d crt < d U und unter H 0 glt am 5%-veau P{ { dw < d L } P{ dw < dcrt} = 0,05 P{ { dw < d U } Be K = 5, T = 5 : d L,5% =,038 d U,5% =,767 Be K = 5, T = 00 : d L,5% =,59 d U,5% =,758 α =5% Der Durbn-Watson-Test st nur anwendbar, wenn de Annahmen A A4 d L d crt d U (ρ=0) dw sowe ε gelten. Dennoch wrd er häufg verwendet. De asymptotschen Tests jedoch gelten auch be ncht normal vertelten Störtermen und können ρ > 0 ρ < 0 be verzögerten endogenen Regressoren m Modell angewendet werden. Be enem ensetgen Test H 0 : ρ = 0 gegen H : ρ > 0 ergeben sch dre Möglchketen: (a) dw < d L : H o wrd verworfen (b) dw > d U : H o wrd ncht verworfen (c) d L < dw < d U : Kene Aussage möglch, der Test hat ken Ergebns. Be Test auf negatve Autokorrelaton mt H : ρ < 0 legt der krtsche Wert zwschen 4 d und 4 d, so dass de glechen Tabellen genutzt werden U L können. Je größer T, umso klener de Regon, n der kene Aussage möglch st

74 4.8 Bespel: achfrage nach Escreme Genutzt wrd en klassscher Datensatz mt 30 monatlchen Beobachtungen von bs für folgende Varablen cons: Pro-Kopf Konsum (Enkauf n pnts) Abb. 4..: Eskonsum, Pres und Temperatur (n Fahrenhet/00) ncome: mttleres Haushaltsenkommen pro Woche (n US $) prce: temp: Pres für Escreme (pro pnt) Durchschnttstemperatur (n Fahrenhet) Abbldung 4. beschrebt de Daten über de Zet und stützt de Vermutung, dass de Temperatur ene Rolle für de achfrage nach Es spelt. Um de Determnanten des Eskonsums zu bestmmen, wrd en lneares Mo- dell geschätzt: Tab. 4.9: KQ-Ergebnsse Abb. 4..3: Beobachteter (Punkte) und vorhergesagter (Lne) Konsum De Koeffzenten haben das erwartete Vorzechen, das R st hoch und de Durbn-Watson-Statstk beträgt,0. De Grenzwerte für enen ensetgen Test von H 0 : ρ 0 gegen H : ρ > 0 am 5%-veau mt T = 30 und K = 4 snd d L =, und d U =,65. Da,0 < d L, kann H 0 verworfen werden. De Darstellung (Abb. 4.3) zegt, dass postve und negatve Resduen n Gruppen auftreten. De sasonale Schwankung der achfrage wrd durch de Varable temp noch ncht vollständg aufgefangen

75 Der Autokorrelatonskoeffzent ρ, n ε t =ρε t +ν t kann geschätzt werden, wenn man ε t ohne Konstante auf ε t regressert. Da E{ε} = 0, sollte ene Konstante n desem Modell ncht sgnfkant von ull verscheden sen. Tab. 4..0: FGLS (teratve Cochrane-Orcutt) Ergebnsse Man erhält ˆρ = 0,40 und R = 0,49. En asymptotscher Test von H 0 : ρ = 0 gegen Autokorrelaton erster Ordnung benutzt T ρ= ˆ,9, was größer st als t krt, 5% =,96, so dass H 0 auch mt desem Test verworfen wrd. Der Breusch-Godfrey-Test auf Bass von R führt zu ( T ) R = 4,3, H 0 wrd verworfen. Daher st KQ ncht BLUE, de Standardfehler n Tabelle 4.9 snd falsch. En teratves Cochrane-Orcutt-Verfahren ergbt de Schätzergebnsse n Tabelle 4.0. De Rchtung und Größe der geschätzten Koeffzenten wrd tendenzell be- stätgt. De mt enem Stern versehenen Größen bezehen sch auf das trans- formerte Modell und können ncht mt den KQ-Ergebnssen n Tabelle verglchen werden. Auch de Durbn-Watson-Statstk des transformerten Modells st ncht mehr verlässlch. Tab. 4..: KQ-Schätzung, erweterte Spezfkaton Autokorrelaton kann en Indkator dafür sen, dass das Modell fehlspezfzert st. Daher kann man auch versuchen, das Problem durch Änderung der Spezfkaton zu lösen. Man könnte z.b. noch enen verzögerten Wert der Temperatur (temp t- ) ns Modell aufnehmen (sehe Tabelle 4.). Im Verglech zu Tabelle 4.9 st de Durbn-Watson-Statstk mt,58 jetzt am 5%-veau n der Regon, n der kene Aussage möglch st (,4 bs,74). Allerdngs legt der Wert n der ähe der oberen Grenze, so dass de H 0 eher ncht verworfen wrd (bspw. am %-veau)

76 Der verzögerte Wert der Temperatur hat enen sgnfkant negatven Koeffzenten, während de kontemporäre Temperatur postv mt der Escremenachfrage korrelert. Das kann man so nterpreteren, dass be hohen Temperaturen de achfrage stegt. Hält de hohe Temperatur jedoch für mehr als enen Monat an, geht de achfrage weder zurück, vellecht wel de Vorräte noch ncht aufgebraucht snd. 4.9 Alternatve Autokorrelatonsmuster 4.9. Autokorrelaton höherer Ordnung Autokorrelaton erster Ordnung kommt häufg vor, jedoch st be Quartalsoder Monatsdaten auch denkbar, dass es quartals- oder monatsbezogene Störtermkorrelatonsmuster gbt, z.b. ε = γε +ν (4.60) t t 4 t oder ε =γε +γε +γε +γε +ν (4.6) t t t 3 t 3 4 t 4 t (4.6) nennt man Autokorrelaton verter Ordnung. De FGLS-Schätzer können solange ken x t mt dem Störterm korrelert st geschätzt werden, ndem man mt den KQ-Resduen de Modelle (4.60) bzw. (4.6) schätzt. Anschleßend müssen weder de Daten transformert werden, wodurch bem Cochrane-Orcutt-Verfahren de ersten ver Beobachtungen verloren gehen Movng-Average-Resduen Bslang haben wr unterstellt, dass alle Störterme unterenander korrelert snd, wobe der Grad der Korrelaton abnmmt, wenn der zetlche Abstand wächst. Alternatv könnte de Theore vorgeben, dass nur ausgewählte Störterme korrelert snd; des kann durch enen movng average Störtermprozess modellert werden und kann dann auftreten, wenn der Messabstand der Datenpunkte klener st als das Intervall, für das se defnert snd. Bespel : Monatlche Daten zum Wert von 3-Monatsfestgeldverträgen. In desem Fall beenflusst en Eregns m Monat t den Wert der Verträge, de n den Monaten t, t+ und t+ fällg werden. Später fällge Verträge snd zum Zetpunkt t noch ncht ausgegeben, daher wrd hre Wertentwcklung vom Er- egns zum Zetpunkt t ncht beenflusst. Entsprechend erwarten wr ene Korrelaton n den Werten von Verträgen, de m En- oder Zwemonatsabstand fällg werden, aber ncht darüber hnaus. Bespel : Halbjährlche Beobachtungen der jährlchen Presstegerung. Unsere abhängge Varable beschrebt de Presstegerung der letzten 6 Monate zum Termn. oder.7. und auch de erklärende Varable (z.b. das Geldangebot) se halbjährlch gemessen. Das wahre Modell st y = x'β +ν, t =,, T (halbjährlch) (4.6) t t t wobe ν t den Gauss-Markov-Bedngungen genügt. Für den jährlchen Pres- * ansteg glt y = y + y und t t t- ( ) y = x + x ' β+ν +ν, t =,, T (4.63) * t t t- t t

77 bzw. y = x ' β+ε, t =,, T (4.64) * * t t t mt ε t = ν t + ν t- und x * x x t t t- = σ, dann folgt für de Egenschaften des Störterms n (4.64): E ε = E ν + E ν = 0 { } { } { } t t t { ε } = { ν +ν } = σ V V t t t = +. Wenn { } ν V ν t { ε ε t t } = { ν +ν ν +ν t t t t } = E{ νν } + E{ νν t t t t } + E{ ν ν t t } + E { ν ν t t } = σ ν { ε ε } = { ν +ν ν +ν } = s =,3, cov, cov, cov, cov, 0 t t s t t t s t s ν In desem Fall enthält de Varanz-Kovaranz-Matrx des Störterms zahlreche ullen: σ ν σν σν σν σν 0 0 { } 0 σν σν 0 0 E ε ε = t ' t σν σν σν σν Deser Fall wrd als movng average Störtermprozess erster Ordnung bezechnet, wobe n desem Fall der Korrelatonskoeffzent zwschen ε t und ε t- cov ( ε, ε t t ) σν a pror auf 0,5 festgesetzt st: corr ( ε, ε t t ) = = = 0,5 Var ε Var ε σν ( ) ( ) t t Der allgemene Fall enes movng average Prozesses erster Ordnung lautet ε =ν +αν, mt α < t t t Es st komplzerter, Modelle unter movng average als unter Autokorrelaton zu schätzen, da de Transformaton, um Gauss-Markov-Fehler zu erhalten, aufwändger st. Falls de verwendete Software dazu kene Routne anbetet, st es enfacher, KQ zu schätzen und anschleßend ene Korrektur für Autokorrelaton undefnerter atur durchzuführen. 4.0 Vorgehenswese be Vorlegen von Autokorrelaton In velen Fällen west Autokorrelaton auf de Fehlspezfkaton des Modells hn. In solchen Fällen sollte ncht der Schätzer, sondern das Modell geändert werden. Bespelswese könnte es sch um Fehlspezfkaton der Dynamk, ausgelassene Varablen oder Fehlspezfkaton der funktonalen Form handeln

78 4.0. Fehlspezfkaton Angenommen, das wahre Modell lautet y =β + β von x t stegt über de Zet. Würden wr m Rahmen enes lnearen Modells y t auf x t egresseren, ergäbe sch en Bld we n Abbldung 4.4: Abb. 4.4 Tatsächlche (Punkte) und lnear vorhergesagtee Werte (Lne) für das wahre Modell y t = 0,,5 log t + ε t t t logx t + ε t und der Wert De Resduen n deser Abbldung snd stark korrelert, dw = 0,93. De Lösung des Problems besteht jedoch ncht darn, den Schätzer zu ändern, sondern de Modellspezfkaton, und statt auf x t auf log x t zu regresseren. Autokorrelaton kann sch auch be Auslassen relevanter erklärender Varablen ergeben, we wr am Escremebespel gesehen haben. Auch ene Fehlspezfkaton der Dynamk kann zu Problemen führen. Bespel: Wr haben m lnearen statschen Modell y = x'β+ ε (4.65) t t t Autokorrelaton erster Ordnung ε =ρε +ν. Das Modell beschrebt t t t { } E y x = x' β. Man könnte aber auch am Erwartungswert von y t vor dem t t t Hntergrund der Werte x t, xt und y t nteressert sen, wobe glt: { t t t t } t ( t t ) E y x,x,y = x' β+ρ y x' β (4.66) Dann lässt sch en dynamsches Modell we folgt formuleren: y = x'β +ρy - ρx' β+ν (4.67) t t t t- t un enthält der Störterm kene Autokorrelaton. Durch de Erweterung des Modells um verzögerte exogene und endogene Varablen verschwndet de Autokorrelaton. Es gbt auch Fälle, n denen es ausrecht, nur y t- oder nur x t- ns Modell aufzunehmen. Es st ene nhaltlche Frage, ob man sch für das Modell { t t} das Modell E{ y x,x,y t t t t } E y x oder für nteressert. Letzteres generert scher ene bessere Anpassung an de Daten. Allerdngs st der Durbn-Watson-Test be Modellen mt verzögerten endogenen Varablen ncht anwendbar Heteroskedaste- und Autokorrelaton konsstente Standardfehler Um en lneares Modell y t = x'β t + ε t mt autokorrelertem Störterm zu schätzen, kann man entweder GLS verwenden oder bem KQ-Schätzer de Standardfehler korrgeren. Insbesondere, wenn nach ener gewssen Lag-Länge H de Korrelaton zwschen ε t und ε t-s gegen ull geht oder wenn de Konsstenzbedngungen für den GLS-Schätzer ncht gelten, werden Heteroskedaste- und Autokorrelaton-konsstente (HAC) oder ewey-west-standardfehler bestmmt. Dabe werden de Whte-Standardfehler auf den Fall der Autokorrelaton erwetert. De HAC Standardfehler werden auch verwendet, wenn das Autokorrelatonsmuster über enen vorbestmmten Lag-Abstand von H hnausgeht. Das Verfahren wurde für große Stchproben entwckelt. 4.96

79 Lteratur: Verbeek, 004, Kaptel 4. Hej, C. et al., 004, Econometrc Methods wth Applcatons n Busness and Economcs, Oxford Unv. Press, S und Murray, M.P., 006, Econometrcs. A Modern Introducton, Pearson, S. 453,

80 Kaptel 5: Maxmum Lkelhood und 0/ abhängge Varablen 5. Das Maxmum Lkelhood Verfahren (6.) 5. Inferenz m ML-Rahmen (6.) 5.3 Bnäre abhängge Varablen (7.) Lernzele Kaptel 5: Was st de Intuton des Maxmum Lkelhood Schätzers? Welche Egenschaften haben Maxmum Lkelhood Schätzer? Welche Testverfahren gbt es m ML-Rahmen? We wrd de Schätzgüte von ML-Schätzern gemessen? We gehen Probt- und Logt-Schätzer vor? Das Maxmum Lkelhood Verfahren 5.. Enführung Grundlage des Verfahrens st ene Annahme bezüglch der Vertelung der abhänggen Varable. Bedngt auf Kovarate st ledglch en Vektor von Parametern unbekannt, der de Vertelung charaktersert. Deser wrd so bestmmt, dass de Wahrschenlchket, dass genau de vorlegenden Daten generert wurden, maxmert wrd. Bespel: Ene normalvertelte Varable y könnte durch den Mttelwert β +β x und de Varanz σ charaktersert werden. 5 3 Illustraton : De Wahrschenlchket aus ener Urne mt Kugeln von denen der Antel p rot st (der Rest st weß), rote und - weße zu zehen, lautet: { } ( ) Prote, weße = p p. (6.) Deser Ausdruck stellt ene Lkelhoodfunkton dar. De Schätzung bestmmt den Wert für p, der (6.) maxmert, ˆp. Rechnersch st es oft enfacher, den logarthmerten Wert zu maxmeren: ( ) ( ) ( ) ( ) log L p = log p + log p (6.) ( ) dlogl p = = 0 dp p p (6.3) ˆp = (6.4) 5 4

81 ˆp st der Maxmum Lkelhood Schätzer und entsprcht dem Antel der roten an allen Bällen. Ene Überprüfung der Bedngungen zweter Ordnung ergbt, dass en Maxmum vorlegt. Intuton: De Wahrschenlchket, de vorlegenden Daten zu beobachten, wrd als Funkton der unbekannten Parameter beschreben, de de Vertelung charakterseren. De Lkelhoodfunkton wrd dann über dese Parameter maxmert. Illustraton : Wr unterstellen A. A.4 für y = β + β x + ε, (6.6) d.h. E(ε x) = 0, V(ε x) = σ. Das ML-Verfahren erfordert zusätzlch ene Vertelungsannahme, de wr als ε ID (0, σ ) treffen. ε 5 5 Der Betrag jedes y zur Lkelhoodfunkton wrd über de Dchtefunkton der ormalvertelung beschreben: ( y β β x ) f( y x; βσ, ) = exp. (6.7) πσ σ Wenn β = (β, β )' und alle =,,..., Beobachtungen unabhängg snd, lautet de auf x bedngte gemensame Dchte von y,..., y : ( βσ ) = ( βσ ) f y,...,y x ;, f y x ;, = ( y x ) β β exp = = πσ σ Des st de Lkelhoodfunkton, so dass de Log-Lkelhoodfunkton lautet: (6.8) 5 6 ( ) ( ) log L βσ, = log πσ ( y x ) β β = σ (6.9) ur der letzte Term varert mt β und er entsprcht der Summe der quadrerten Resduen (.). Daher snd de ML-Schätzer des lnearen Modells dentsch mt den KQ-Schätzern. Der ML-Schätzer für σ lautet nach erster Abletung und be e = y βˆ β ˆ x: σ ˆ = (6.) e = wobe K de Anzahl der Stegungsparameter + (für de Konstante) st. ˆβ hat de glechen Egenschaften (unverzerrt, konsstent) we bem KQ-Schätzer. Allgemen kann für den ML-Schätzer nur Konsstenz und somt asymptotsche Effzenz nachgewesen werden. In den mesten Fällen exstert kene analytsche Lösung für de unbekannten Parameter. Wenn ε ncht-normal vertelt oder heteroskedastsch st, st de angegebene Lkelhoodfunkton falsch, da se ncht de wrklche Vertelung beschrebt. Des st konsstent, aber ncht unverzerrt. Der unverzerrte (KQ-) Schätzer lautet:, K = = e s

82 5.. Allgemene Egenschaften des ML-Verfahrens Im allgemenen Fall se f(y x ; θ) de Dchtefunkton für de endogene Größe y, de durch den K-dmensonalen Parametervektor θ charaktersert wrd. Unter der Annahme unabhängg vertelter y und wenn X = (x,..., x )' lautet de gemensame Dchtefunkton: ( θ ) = ( θ ) f y,...,y X; f y x ; = Des entsprcht der Lkelhoodfunkton: ( θ ) = ( θ ) = ( θ ) L y,x L y,x f y x; = = Der Betrag von Indvduum zur Lkelhoodfunkton lautet: L ( y,x ) Der ML-Schätzer ˆθ löst: θ. 5 9 (6.) = ( θ ) = ( θ) max logl max logl θ De Bedngungen erster Ordnung werden durch θ ( ) logl ( ) = = ˆ = θ θ=θ θ=θˆ ˆ θ=θ erfüllt: logl θ θ 0 (6.3) θ Wenn de Log-Lkelhoodfunkton global konkav st, exstert en endeutges globales Maxmum. In der Regel lässt sch de Lösung nur numersch und ncht analytsch bestmmen. Den Vektor der ersten Abletungen der Log-Lkelhoodfunkton bezechnet man als score Vektor: ( ) logl ( ) s ( ) (6.4) logl θ θ s( θ) = θ θ = θ = 5 0 und für de ersten Abletungen ergbt sch: ( ˆ) ( ˆ) s θ = s θ = 0. = Wenn de Lkelhoodfunkton korrekt spezfzert st, lassen sch folgende Egenschaften des ML-Schätzers zegen: () Konsstenz, ˆ plmθ =θ () Asymptotsche Effzenz a (3) Asymptotsche ormalvertelung: ( θ θ ˆ ) ( 0,V) asymptotsche Varanz-Kovaranz-Matrx des Schätzers st., wobe V de V hängt von der Form der Lkelhoodfunkton ab. De Informaton n Beobachtung hnschtlch θ st defnert als (K x K) Matrx: 5 logl ( θ) I ( θ) E θ θ' Als Mttelwert über de Stchprobe ergbt sch. (6.6) ( θ) logl I( θ) I( θ ) = E = θ θ'. (6.7) Für wrd des als Informatonsmatrx bezechnet: ( θ) lm I ( θ ) I Wenn alle Beobachtungen d snd, glt I ( ) I ( ) I( ) asymptotsche Varanz-Kovaranz-Matrx des ML-Schätzers st: θ θ = θ. De V = I( θ ). (6.8) 5

83 Intutv glt, dass de ML-Schätzer umso präzser, d.h. mt klenerer Varanz bestmmt werden können, je stärker de Krümmung der Log- Lkelhoodfunkton an der Stelle ˆθ st. Da das ML-Verfahren asymptotsch effzent st, sagt man, dass de Varanz ene untere Schranke der asymptotschen Kovaranzfunkton errecht, das sogenannte Cramer-Rao-lower bound. ( ) { ( ) ( )} ( ) J θ E s θ s θ ' = I θ (6.0) De auf Bass des Gradentenvektors geschätzte Varanz-Kovaranzmatrx nutzt dese Approxmaton: ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ V = G s θ s θ '. (6.) = V kann geschätzt werden: ˆV = H ( θ) logl = ' (6.9) θ θ θ=θˆ Alternatv kann genutzt werden, dass das Produkt der Score-Vektoren de Informatons-Matrx approxmert: Inferenz m ML-Rahmen Im Rahmen des ML-Verfahrens fnden 3 verschedene Testprnzpen Anwendung. Der Wald-Test st für alle konsstenten, asymptotsch normalvertelten Schätzer anwendbar. Mt dem Lkelhood Rato-Test lassen sch genestete Modelle verglechen. Der Lagrange Multpler (LM) Test wrd nach restrngerter Schätzung engesetzt. Wenn der k-dmensonale Parametervektor θ = (θ, θ,..., θ k )' durch ene Log-Lkelhoodfunkton geschätzt wrd: ( θ ) = ( θ) maxlog L max log L, θ θ = lassen sch Restrktonen unter der ullhypothese we folgt darstellen: 5 5 H 0 : Rθ = q, wobe q en J-dmensonaler Vektor und R ene J x K Matrx st. De Tests gehen we folgt vor: Wald-Test: Schätze θ ohne Restrktonen und prüfe, ob H 0 erfüllt und Rθ ˆ q= 0 st. Lkelhood Rato Test: Schätze θ ohne Restrkton ( ˆθ ), sowe unter H 0 ( θ ) und prüfe, ob sch de Log-Lkelhood-Werte sgnfkant vonenander L θˆ L θ = 0. unterscheden: ( ) ( ) Lagrange Multpler Test: Schätze θ unter H 0 und prüfe, ob de Bedngungen erster Ordnung der unregstrerten Lkelhoodfunkton erfüllt snd: logl θ / θ = 0 ( ) θ=θ. 5 6

84 lnl c ( θ) LM Da de dre Teststatstken de gleche asymptotsche Vertelung haben, sagt man, se snd asymptotsch äquvalent. Man wählt den Test, der am lnl U lnl enfachsten durchzuführen st. Der Wald Test kann von der asymptotschen ormalvertelung der LR Parameter abgeletet werden: lnl R W c(θ) Es folgt, dass auch a ( ˆ ) ( 0, V) θ θ (6.3) ˆ Rθ asymptotsch normalvertelt st: R ˆθ ML ˆθ θ a ( ˆ ) ( ) Rθ Rθ 0,RVR' (6.4) De Teststatstk nutzt enen konsstenten Schätzer ˆV von V und st unter H 0 Ch-quadrat vertelt mt J Frehetsgraden ξ = R w ( θ ˆ q'rvr ) ˆ ( Rˆ θ q) χj Der Lkelhood-Rato-Test nutzt de Log-Lkelhoodwerte, de mt ( logl( θ )) und ohne logl( θ ˆ ) Restrkton erzeugt werden. Unter H 0 sollte de Dfferenz ( ) ncht sgnfkant von ull verscheden sen: ( ) ( ˆ ) J ξ = logl θ logl θ χ LR Der Test st nur be genesteten Modellen und dann sehr enfach anwendbar. Der Lagrange Multpler Test letet sch aus der Maxmerung unter lnearen ebenbedngungen (Lagrange-Ansatz) ab: ( ) ( ) ( ) logl θ * logl θ Rθ q = +λ = 0 θ θ θ logl ( θ) * = ( Rθ q) = 0 λ Wenn de Restrkton zutrfft, sollte der Schattenpres der Restrkton λ nahe logl ( θ) * logl( θ) ull sen, da unter H 0 :. θ θ Wenn λ groß st, legt des nahe, H 0 zu verwerfen, da sch n desem Fall de restrngerte (L(θ)*) und de unrestrngerte (L(θ)) Lkelhoodfunkton deutlch unterscheden. log L(θ)* = log L(θ) + λ (Rθ - q) Als Parameterschätzer ergeben sch unter der Restrkton θλ, De LM-Test Statstk lautet: :

85 ξ = s ( θ LM )' s ( θ ) s ( θ ) ' s ( θ ) χ, (6.3) J = = = wobe s ( θ ) de erste Abletung der unrestrngerten Lkelhoodfunkton, bewertet am Vektor der unter Restrkton geschätzten θ st. Wechen de Werte von s ( θ ) deutlch von 0 ab, sollte H 0 verworfen werden. 5.3 Bnäre abhängge Varablen (7.) 5.3. Enführung Man könnte sch fragen, ob das Enkommen damt korrelert st, dass manche Haushalte Autos bestzen und andere ncht. Defnert y = für Haushalte mt Auto und y = 0 für Haushalte ohne Auto, so lässt sch en lneares Modell aufstellen, be dem x das Enkommen msst und x ene Konstante darstellt, x = (x, x ) y =β +β x +ε = x ' β+ε. (7.) Wenn ene Varable nur de Ausprägungen 0 und annmmt, sprcht man von bnären, bvaraten, dchotomen oder Dummy-Varablen. 5 Unter der Standardannahme E {ε x } = 0 folgt E {y x } = x 'β sowe 5 { } = { = } + { = } = P{ y = x} = x ' β E y x P y x 0 P y 0 x (7.) Das Modell mplzert, dass x 'β ene Wahrschenlchket beschrebt und zwschen 0 und legt. Praktsch glt das ncht mmer. Da y entweder 0 oder beträgt, kann ε nur zwe möglche Werte annehmen. ε st ncht normalvertelt und heteroskedastsch: { } { } P ε= x ' β x = P y = 0 x = x ' β { } { } P ε= x ' β x = P y = x = x ' β (7.3) Es lässt sch zegen, dass ( ) ( ) V ε x = x ' β x ' β, so dass de Varanz für jedes unterschedlch ausfällt. Dese Probleme lassen sch lösen, wenn de Wahrschenlchket dafür, dass y = st, als Funkton von Kovaraten x modellert wrd: { } ( ) P y = x = G x, β (7.4) De Funkton G sollte ausschleßlch Werte m Intervall [0, ] annehmen, wobe man sch n der Regel auf de lneare Funkton G( x, β ) = F( x ' β ) beschränkt. Da F Werte aus [0, ] annehmen sollte, beten sch Vertelungsfunktonen an. Unterstellt man ene Standardnormalvertelung, ergbt sch en Probt- Modell:

86 =Φ = (7.5) π w F w w exp t dt ( ) ( ) Unterstellt man ene standard logstsche Vertelung, ergbt sch en Logt- Modell: w = = w + e (7.6) ( ) L( w) F w e Erwartungswert ener standard logstsch vertelten Zufallsvarable: 0, π Varanz:. 3 De beden Vertelungsfunktonen snd sehr ähnlch. Im Verglech zur ormalvertelung hat de logstsche Vertelung dckere Ränder. De Schätzergebnsse snd typscherwese sehr ähnlch. Be geschätzten Koeffzenten lassen sch Vorzechen und statstsche Sgnfkanz nterpreteren. Um de Stärke der Zusammenhänge zu beschreben, berechnet man de margnalen Effekte enzelner erklärender Varablen; für kontnuerlche erklärende Varablen x k glt: Probt: Logt: ( x' ) Φ β =φ ( x' β ) β k x k ( ) x' β L x ' β e =, β k xk + e x' ( ) β wobe φ(x ' β ) de Dchtefunkton der Standardnormalvertelung repräsentert und L für de kumulatve standard logstsche Vertelung steht De margnalen Effekte hängen von den Werten für x ab. Dabe nutzt man entweder für alle x de Stchprobenmttelwerte oder berechnet de mttleren margnalen Effekte: Φ( x' β ) L( x' β ) bzw. x x = k = Wegen der chtlneartät der betrachteten Funktonen können sch de Ergebnsse je nach Art der Berechnung unterscheden. Das Vorzechen des margnalen Effekts entsprcht stets dem Vorzechen des Parameters ˆβ k. Be dchotomen (0/) erklärenden Varablen wrd statt des margnalen Effekts oft der Untersched n den vorhergesagten Wahrschenlchketen bestmmt, wobe alle anderen erklärenden Varablen feste Werte zugewesen bekommen. k 5 7 Bespel m Probtfall: ( = = = ) ( = = = ) P y male,x x P y male 0,x x ( ˆ x' ˆ D ) ( ˆ 0 x' ˆ D ) = Φ β + β Φ β + β Glechung (7.4) des Logt-Modells lässt sch umformen zu: p p = β log x ', wobe p = P{y = x }. Den Ausdruck lnks bezechnet man als log odds rato. En Wert von 3 würde bedeuten, dass de Wahrschenlchket von y = dremal höher st, als de Wahrschenlchket, dass y = 0. Her beschrebt β k den Effekt von x k auf das odds rato. Wenn β k = 0,, führt ene Änderung 5 8

87 von x k um ene Enhet zu enem Ansteg des odds ratos um 0 Prozent (sem-elastztät) Das latente Modell Bvarate Modelle lassen sch von theoretschen Verhaltensmodellen ableten. Es wrd unterstellt, dass Indvduen ene unbeobachtbare egung haben, bestmmte Handlungswesen zu präfereren (z.b. erwerbstätg zu sen). Dese egung wrd als latente Varable, y * modellert: y* = x' β+ε (7.8) Überstegt de latente Varable enen unbekannten Schwellenwert, den wr als 0 annehmen, so wählt y =, sonst y = 0. Man schrebt: { } { } { } { } ( ) P y = = P y* > 0 = P x ' β+ε > 0 = P ε x ' β = F x ' β. (7.9) Dabe beschrebt F de Vertelungsfunkton von -ε, bzw. be symmetrschen Funktonen de von ε. Des ergbt en bnäres Modell, dessen konkrete Form von den Annahmen an de Vertelung von ε abhängt. En Probtmodell auf Bass ener latenten Varablen lässt sch we folgt vollständg beschreben: ( ) y* = x' β+ε, ε 0, y = wenn y* > 0 y = 0 wenn y * 0. (7.0) Unterstellt wrd, dass ε von allen x unabhängg st. De Parameter des Modells werden typscherwese mt Maxmum Lkelhood geschätzt Schätzung De Parameter werden geschätzt, ndem de logarthmerte Lkelhoodfunkton maxmert wrd. Der Betrag von Indvduum zur Lkelhoodfunkton st entweder P(y = x ; β) oder P(y = 0 x ; β), je nachdem ob das Eregns y = oder y = 0 engetreten st. De Lkelhoodfunkton für de Stchprobe lautet: y (7.) = y ( β ) = { = β } { = β} L P y x; P y 0 x; ach Logarthmerung und Ensetzen von F(x β): ( β ) = ( β ) + ( ) ( ( β )) (7.) log L y log F x ' y log F x ' = = 5 3

88 De Bedngung erster Ordnung zur Maxmerung der log-lkelhoodfunkton lautet: ( ) ( ) = f( x ' β ) x = 0, (7.3) = F( x ' )( F( x ' )) logl β y F x ' β β β β wobe de Dchtefunkton f de Abletung von F nach x'β st. Der Ausdruck n Klammern wrd als generalzed resdual bezechnet und nmmt entweder de Werte ( ) ( ) oder ( ) ( ( )) f x ' β /F x ' β für y = f x ' β / F x ' β für y = 0 an. De Bedngungen erster Ordnung fordern, dass über de ganze Stchprobe hnweg de Werte von x ncht mt der generalzed resdual korrelert sen dürfen, Im Logt lässt sch verenfachen ( ) exp( x ' ) = exp( x ' ) logl β β = = β + β Gegeben ˆβ lässt sch P{y = x } berechnen: y x 0 (7.4) ( βˆ ) ( ˆ ) exp x ' ˆp = + exp x ' β Engesetzt n (7.4) folgt: = = ˆp x = yx. (7.6) Des bedeutet, dass solange m Logt-Modell ene Konstante mt geschätzt wrd, de vorhergesagte Wahrschenlchket mmer exakt dentsch mt der beobachteten Wahrschenlchket st. Da de log-lkelhoodfunktonen global konkav snd, konvergeren de Schätzungen schnell zum globalen Maxmum Schätzgüte Im Gegensatz zum lnearen Modell mt senem R gbt es für bnäre Modelle ken endeutges, etablertes Gütemaß. Im Rahmen von ML-Schätzern wrd der Erklärungsgehalt des Modells oft aus dem Verglech der log-lkelhoodwerte mt (log L ) vs. ohne erklärende Varablen (log L 0 ) bestmmt. Zu erwarten st: log L log L 0. Je besser das Modell umso größer st L ebenso we log L. Je größer der Untersched zwschen log L und log L 0, umso bedeutender st der Erklärungsbetrag des Modells. Amemya führte folgendes Maß en:

89 = (7.7) + pseudo R ( logl logl 0) / Das McFadden R (auch Lkelhood rato ndex genannt) lautet: ( ) McFadden R logl / logl 0 = (7.8) Insbesondere be seltenen Eregnssen (z.b. 5% y =, 95% y = 0) st auf dese Wese kaum en Modell n der Lage, ene konstante Vorhersage (z.b. y = 0 für alle) zu übertreffen. Deser Wert muß zwschen 0 und legen; er nmmt m schlechtesten Fall den Wert 0 und m besten Fall den Wert an. Passt das Modell ncht, so glt log L = log L 0, passt das Modell perfekt, so glt L =, log L = 0. Velfach wrd Modellgüte daran gemessen, welcher Antel der abhänggen F x 'β ˆ Varablen korrekt vorhergesagt wrd. Dazu bestmmt man für alle ( ) und west typscherwese enen vorhergesagten Wert von zu, wenn F x ' β ˆ > 0,5, andernfalls wrd en Wert von 0 vorhergesagt. ( ) Bespel: Arbetslosengeld und Arbetslosengeldbezug Stchprobe: = 4877 amerkansche Arbeter, de zwschen 98 und 99 den Arbetsplatz verloren. cht alle nutzen de Möglchket, Arbetslosengeld zu bezehen, wennglech alle enen Anspruch haben. De Takeup-Rate der Stchprobe beträgt 68%. Der Betrag an Arbetslosengeld, der enzelnen zusteht, hängt ab von Bundesstaat, Jahr der Arbetslosgket und früherem Verdenst. De Lohnersatzrate varert zwschen 33 und 54 Prozent und könnte de takeup- Entschedung beenflussen. Zusätzlch können wetere persönlche Faktoren (z.b. Bldung, Alter, Geschlecht), Präferenzen oder de Haushaltszusammensetzung ene Rolle spelen. Tabelle 7. präsentert de Schätzergebnsse für en lneares Wahrschenlchketsmodell (LPM), d.h. KQ ohne Korrektur für Heteroskedaste, sowe Logt und Probt Modelle. Da das Logt Modell de Parameter entsprechend V =π / 3 skalert, während Probt von σ = ausgeht, unterscheden sch de geschätzten Parameter β um ungefähr desen Faktor. De Parameter des lnearen Modells (lnear probablty model LPM) snd typscherwese um den Faktor 4 klener als de Logtwerte

90 Vorzechen und statstsche Sgnfkanz der Ergebnsse snd verglechbar. Auch de quanttatven Ergebnsse unterscheden sch ncht deutlch zwschen den Modellen. Der Effekt der Lohnersatzrate wurde quadratsch geschätzt und hängt daher davon ab, an welcher Stelle er bewertet wrd. Im Probt ergbt sch ( x' ) Φ β =φ β x,rr ( x ' ) (,863,980 replacement rate) Da deser Wert für unsere Stchprobenwerte der replacement rate mest negatv st, schent ene hohe Ersatzrate (kontrantutv) de takeup- Wahrschenlchket zu reduzeren. Andere wchtge Varablen snd, ob de Stelle wegen slack work (Unterauslastung) gekündgt wurde, Knderzahl und Famlenstand. Vele Parameter snd nsgnfkant. De Maße der Schätzgüte bestätgen, dass der Erklärungsgehalt der Modelle ncht hoch st so dass + =,06, was ncht deutlch besser st als ene enhetlche Vorhersage für alle Beobachtungen, de enen Wert von ergbt. En Verglech von Vorhersage und tatsächlchem Wert ergbt: ŷ = 0 ŷ = Gesamt y = y = Gesamt