Kolloquium zum Modul Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der BWL WS 2010/2011

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1 Kolloquium zum Modul Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der BWL WS 2010/ Überblick 2 Dominanzkriterien 3 Investitionstheoretische Kennzahlen 4 Renditegrößen als Entscheidungshilfen 5 Entscheidungsregeln bei Risiko 6 μ-σ-prinzip und Portefeuilletheorie 7 Bernoulli-Prinzip 8 Übungsaufgaben 1

2 1 Überblick 2

3 Entscheidungssituation bei Sicherheit a i = Handlungsalternativen t j = Ergebniszeitpunkt e ij = monetäre Ergebnisse e ij (eindeutig) t 0 t 1 t 2 t T a 1 1 e 0 1 e e e 1 T a 2 2 e 0 2 e 1 2 e 2 e 2 T 3

4 Entscheidungssituation bei Unsicherheit a i s j = Handlungsalternativen = Umweltzustände e ij = monetäre Ergebnisse e ij (eindeutig) s 1 s 2 s 3 s J a 1 e 11 e 12 e 13 e 1J a 2 e 21 e 22 e 23 e 2J 4

5 2 Dominanzkriterien Projekt e 0 e 1 e 2 e 3 a a a ± 0 ± a Allgemeine zeitliche Dominanz Kumulative zeitliche Dominanz 5

6 s 1 p 1 =0,2 s 2 p 2 =0,1 s 3 p 3 =0,3 s 4 p 4 =0,2 s 5 p 5 =0,2 min e ij max e ij a a a a

7 a 1 a 2 7

8 8

9 2.2 Investitionstheoretische Kennzahlen 9

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18 Investitionsentscheidungen bei unvollkommenem Finanzmarkt Hier relevantes Merkmal: r H < r Beispiel: Zu beurteilen ist folgendes Investitionsprojekt: e 0 = , e 1 = und e 2 = Am Finanzmarkt können beliebige Beträge zu r H = 4% angelegt bzw. zu r S = 10% aufgenommen werde. Zu beurteilen ist die projektindividuelle Vorteilhaftigkeit für folgende drei Investoren: S A : B : C : Verfügt in t=0 über keinerlei Mittel, Verfügt in t=0 über liquide Mittel in Höhe von GE, Verfügt in t=0 über liquide Mittel in Höhe von GE. 18

19 Kennzahlenberechnung: K (r=4%) = = 780,33 1,04 1,04 2 EW (r=4%) = 844 K (r=10%) = -165,29 EW (r=10%)= -200 TAP A : t = t = , = t = , = 200 [ EV u = 0] Es gilt : EW = EV EVu I 19

20 TAP C : t = 0 ± 0 t = t = , = EVu = ,04 = Es gilt : EW = EV I EVu TAP B : t = t = , = t = , = EVu = ,04 = 3.244,80 Es gilt nicht : EW = EVI EVu 20

21 4. Renditegrößen als Entscheidungshilfen Renditegrößen als Entscheidungshilfen Ein Investor möchte ein Projekt realisieren, das in den Zeitpunkten t = 0 bis t = 4 folgende Projektzahlungssalden aufweist: ( ; ; ; ; ). Für den zur Projektdurchführung benötigten Kredit über GE liegen ihm zwei Angebote vor: A: Annuitätendarlehen mit einer Laufzeit von 4 Jahren zu einem Zinssatz von 9% p.a. B: Endfälliges Darlehen mit jährlicher Zinszahlung zu einem Zinssatz von 10% p.a. Der Investor kann während der Projektlaufzeit beliebige Beträge für jeweils 1 Jahr zu 5% anlegen bzw. zu 15% als Kredit aufnehmen. a) Soll der Investor das Projekt realisieren, wenn er sein Endvermögen maximieren möchte? Welchen Kreditvertrag sollte er im Falle der Projektrealisierung wählen? b) Welche Entscheidungsrelevanz hat die Höhe der am Finanzmarkt für Zwischenfinanzierungen bzw. Zwischenanlagen geltenden Zinssätze? 21

22 ad a) In den beiden folgenden Tilgungs- und Anlageplänen werden die Zahlungseffekte jeweils für die über Darlehen A bzw. Darlehen B finanzierte Projektdurchführung zusammen gefasst. Die mit * gekennzeichneten Beträge geben dabei an, in welcher Höhe im betrachteten Zeitpunkt zum Zwecke des Kontenausgleichs Kreditaufnahmen (+) bzw. Geldanlagengetätigt (+) getätigt werden. Darlehen A: t = 0: * = 0 t = 1: * = 0 t = 2: , ,05* = 0 t = 3: ,05 1, ,66* = 0 t = 4: ,66 1,15 = 1.084,26. Darlehen B: t = 0: * = 0 t = 1: = 0 t = 2: * = 0 t = 3: , * = 0 t = 4: ,05 = ,50. 22

23 ad b) Diese Frage ist differenziert zu beantworten. Darlehen B: Die Höhe des Zwischenanlagezinses hat nur Auswirkungen auf das Ausmaß der Vorteilhaftigkeit der Projektrealisierung hat. Für jeden positiven Zwischenfinanzierungszinssatz gilt in diesem Fall: EVI > EVU. Dies ergibt sich unmittelbar aus der um die Zahlungen des Darlehens B erweiterten Projektzahlungsreihe (0; 0; ; ; ). Darlehen A: Anders als bei Darlehen B) ist die Vorteilhaftigkeit der Projektdurchführung allein von der Höhe des Zwischenfinanzierungszinssatzes abhängt. Dies ergibt sich unmittelbar aus der um die Zahlungen des Darlehens A erweiterten Projektzahlungsreihe (0; ; ; ; ). Der interne Zinsfuß dieser Zahlungsreihe beträgt 14,16%. Daraus folgt, dass für r < 0,1416 auch im Fall einer Projektfinanzierung mittels Darlehen A gilt: EV > EV. Untersucht man nun abschließend die Frage, unter welchen Voraussetzungen Darlehen A bzw. Darlehen B die optimale Finanzierungsvariante darstellt, so kommt man recht schnell zu dem Ergebnis, dass Darlehen A c.p. mit abnehmendem Zwischenfinanzierungszinssatz und Darlehen B c.p. mit zunehmendem Zwischenanlagezins relativ vorteilhafter wird. Bei einem Zwischenfinanzierungszins in Höhe von z.b. 13% würde die Projektfinanzierung mittels Darlehen A bereits zu einem positiven Endvermögen in Höhe von 1.483,79 GE führen und damit das beim Zwischenanlagezins von 5% bei Projektfinanzierung mittels Darlehen B erreichbare Endvermögen in Höhe von 1.012,50 GE übersteigen. I U 23

24 5. Entscheidungsregeln bei Risiko 24

25 25

26 6. μ-σ-prinzip und Portefeuilletheorie 26

27 27

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31 u = e α e 2 u = 1 2α e = 0 e* = 1 2α 31

32 Beispiel: Portefeuilletheorie s 1 p 1 = 0,25 s 2 p 2 = 0,25 s 3 p 3 = 0,25 s 4 p 4 = 0,25 Rendite A μ σ Rendite B Rendite C Rendite D

33 μ σ A 2 A 4 = e p = j = 1 4 Aj = (e μ ) p = j = 1 j Aj A 2 j σ A = 33

34 Fragen: μ = x μ + x μ? AB A A B B σ = x σ + x σ? AB A A B B Beispielhafte Überprüfung: je zur Hälfte A+B / A+C / A+D 34

35 p1 = p2 = p3 = p4 = 0,25 s 1 s 2 s 3 s 4 μ σ Rendite A+B Rendite A+C Rendite A+D ,9 35

36 Korrelationskoeffizient: ρ AC = cov σ σ A AC C 4 cov AC = = j 1 ( e μ )( e μ Aj A Cj C ) p j 36

37 ρ AC = = 1 ρ AB = = + 1 ρ AD = = 0 37

38 σ 2 2 σ 2 2 = + σ 2 x x + 2 x x σ σ ρ p = x + x + 2 x x 2 2 ( σ ) ( σ ) ( σ1) ( σ ) ρ für ρ=+ 1 σ = x σ + x σ p für ρ= 1 σ = x σ x σ p für ρ= 0 σ = x σ + x σ p

39 39

40 σ = x σ x σ AC A A C C σ = 0 x σ (1 X ) σ = 0 AC A A A C σ x C A = σ A + σ C x A = = xc = ( ) μ σ = 0 = x μ + x μ AC AC A A C C = = 8,

41 41

42 AD A A D D σ = x s + x σ 2 2 A A = x ( 1 x ) = 884 x A 968x A σ x A = 0 x = 0,5475 X = 0,4525 A D μ AD ( min σ ) AD =8,19 σ min AD = 14,8 42

43 Beispiel: Optimale Portefeuillezusammensetzung (nicht prüfungsrelevant) ϕ = μ 0,5σ μ = 10 σ = 20 A A μ = 6 σ = 22 ρ = 0 D D AD Gesucht ist die optimale Portefeuillezusammensetzung für einen Investor, der einen gegebenen Betrag nur in die Wertpapiere A und/oder B investieren kann und obiger Präferenzfunktion folgt. 43

44 44 0,79 14,8 8,19 0,4525 X 0,5475 x P P D A = ϕ = σ = μ = = σ μ = ϕ 5 0, 1, ,3655 8,7463 0,3134 X 0,6866 x P P D A = ϕ = σ = μ = = 0,79 14,8 8,19 0,4525 X P P D A = ϕ = σ = μ = ϕ = 0 ϕ = 1,0635 ϕ = 2,3 1, ,3655 8,7463 0,3134 X P P D A = ϕ = σ = μ =

45 2 2 A A A A ϕ = 10x + 6 (1 x ) 0,5 400 x (1 x ) ϕ x A 1768 xa 968 = 4 0,5 = x 968x A A x = 0,6866 A μ = p σ = p 8, ,3655 ϕ = 1,

46 7. Bernoulli Prinzip a) Das Petersburger-Spiel als Ausgangspunkt Eine ideale Münze mit den Seiten Adler und Zahl wird solange geworfen, bis zum ersten Mal Adler erscheint. Fällt die Münze im n-ten Wurf zum ersten Mal auf Adler, so erhält der Spieler eine Zahlung von 2 n GE 46

47 Daraus resultiert folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung möglicher Zahlungen an den Spieler: e 2 (=2 1 ) 4 (=2 2 ) 8 (=2 3 ) 2 n p(e) 1 2 (=2-1) 1 4 (=2-2) 1 8 (=2-3) 2-n μ = = (2n 2 n) = 1 = 2 4 n= 1 n= 1 47

48 b) Kernidee des Bernoulli-Prinzips Gehe bei der Beurteilung von Glücksspielen nicht vom Erwartungswert der möglichen Gewinne aus, sondern von dem Erwartungswert des aus den Gewinnen resultierenden Nutzens. Daraus resultiert eine zweistufige Vorgehensweise. Allen Ergebniswerten e ij eine Alternative a i wird zunächst mittels einer Nutzenfunktion u(e) ein Nutzenwert u ij = u(p ij ) zugeordnet. Der entscheidungsrelevante Präferenzwert Ф(a i ) einer Alternative a i wird anschließend als Erwartungswert dieser Nutzwerte ermittelt. 48

49 Für die Zielfunktion des Bernoulli-Prinzips gilt folglich: max : φ (a i) = u(e ij) P n j= 1 j Wesentliches Charakteristikum des Bernoulli- Prinzips ist die Transformation der Ergebniswerte in Nutzenwerte. 49

50 c) Axiomatische Fundierung des Bernoulli-Prinzips Es werden solche Postulate als Axiome formuliert, die von möglichst vielen Entscheidungsträgern als plausible Voraussetzungen rationalen Entscheidungsverhaltens akzeptiert werden. Gesucht ist ein geschlossenes präskriptives Entscheidungskonzept auf Basis eines möglichst plausiblen und zugleich einfachen Axiomensystems. 50

51 Ordinalprinzip Vergleichbarkeit: Alternativen müssen grundsätzlich vergleichbar sein. Es soll stets genau eine der folgenden Relationen erfüllt sein: a 1 a 2 bzw. a 1 a 2 bzw. a 1 ~a 2. Transitivität: Gilt a 1 a 2 und a 2 a 3, so gilt zwingend a 1 a 3. 51

52 Dominanzprinzip Gilt a 1 (e ; p 1 ; e ) und a 2 (e ; p 2 ; e ) so gilt für p 1 > p 2 zwingend a 1 a 2. Es gilt folglich das Prinzip der Wahrscheinlichkeitsdominanz. 52

53 Experiment zum Dominanzprinzip: a) Sie haben die Möglichkeit (kostenlos) an einem Würfelspiel teilzunehmen, bei dem Sie abhängig von der gewürfelten Zahl und der gewählten Spielvariante A oder B folgende Auszahlung in Euro erhalten. Ich wähle: A und C Variante A B Zahl A und D B und C B und D b) Sie haben die Möglichkeit (kostenlos) an einer Lotterie teilzunehmen, bei der Sie abhängig von der gezogenen Kugel (Kugeln mit den Nummern 1, 2,, 1.000) und der gewählten Spielvariante folgende Auszahlungen in Euro erhalten. Variante C D Zahl Keine Entscheidung möglich, weil 53

54 Stetigkeitsprinzip _ Gilt e > e > e, so existiert eine kritische Erfolgswahrscheinlichkeit p* (0 < p* < 1), für die das sichere Ergebnis e _ und die einfache Chance (e ; p*; e ) als gerade gleichwertig angesehen werden. 54

55 Substitutionsprinzip (Unabhängigkeitsprinzip): Gilt für 2 Lotterien a b, so muss für alle Lotterien c und alle Wahrscheinlichkeit p gelten: p a + (1 p) c p b (1 p) c. Die Präferenz zwischen a und b soll sich also nicht ändern, wenn beide Lotterien mit ein- und derselben (somit für die Entscheidung irrelevanten) Alternative verknüpft werden. Beispiel a (100; 0,5; 0) b (60; 0,7; 10) c (50; 1) Für a b, muss also z.b. auch gelten: 0,8 a + 0,2 c 0,8 b + 0,2 c. 55

56 0, ,7 60 0,8 0,5 0 0,8 0,3 10 0,2 50 0,2 50 0,4 0, ,56 0, ,4 0 0,

57 d) Ableitung des Bernoulli-Prinzips aus den Kernaxiomen (vgl. nachfolgende Abbildung) Die beste und die schlechteste Konsequenz aller zu bewertender Alternativen werden mit e max und e min bezeichnet. Nach dem Stetigkeitsprinzip existiert zu jeder Konsequenz e i (e min e i e max ) eine Lotterie (e max, p*; e min, 1 p*), so dass gilt: e i ( e max, p*; e min, 1 p*) Nach dem Unabhängigkeitsprinzip (Substitutionsprinzip) kann jede Konsequenz e i durch eine gleichwertige Lotterie ersetzt werden und können gleiche Konsequenzen zusammengefasst werden. Nach dem Dominanzprinzip ist eine Lotterie a einer Lotterie b genau dann vorzuziehen, wenn die Gesamtwahrscheinlichkeit e max zu erzielen für die zu a gleichwertige Lotterie a größer ist als für die zu b gleichwertige Lotterie b. 57

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59 e) Beispielhafte Verdeutlichung des Bewertungskonzeptes Ausgangssituation p 1 = 0,1 p 2 = 0,4 p 3 = 0,5 a a μ(a 1 ) = 48,5 μ(a 2 ) = 51,6 59

60 Äquivalenzbedingung e (100; p*(e); 0) e Erfolgswahrscheinlichkeit p*(e) des äquivalenten Loses 0 0%; d.h. 0 (100; 0%; 0) 36 60%; d.h. 36 (100; 60%; 0) 49 70%; d.h. 49 (100; 70%; 0) 64 80%; d.h. 64 (100; 80%; 0) 60

61 1 0,1 49 a 0,4 64 0,5 36 * 1 0,1 (100; 70%; 0) a 0,4 (100; 80%; 0) 0,5 (100; 60%; 0) 61

62 wenn a 1 a * 1 dann: a 1 (100; p*(a 1 ); 0) mit p*(a1) = 0,1 70% + 0,4 80% + 0,5 60% p*(a1) = 69% a 1 (100; 69%; 0) 62

63 2 0,1 0 a 0,4 49 0,5 64 * 2 0,1 (100; 0%; 0) a 0,4 (100; 70%; 0) 0,5 (100; 80%; 0) 63

64 wenn a 2 a * 2 dann: a 2 (100; p*(a 2 ); 0) mit p*(a 2 ) = 0,1 0% + 0,4 70% + 0,5 80% p*(a 2 ) = 68% a 2 (100; 68%; 0) 64

65 Für u(e) = 0,1 e ergibt sich für die Präferenzwerte der beiden Alternativen: 1 3 ϕ (a ) = u(e ) p j1 = 1 j = (0,1 49) 0,1 + (0,1 64) 0,4 + (0,1 36) 0,5 = 0,7+ 0,32 + 0,30 = 0, j j j1 = ϕ (a ) = u(e ) p = (0,1 0) 0,1 + (0,1 49) 0,4 + (0,1 64) 0,5 = 0 + 0,28 + 0,40 = 0,68 65

66 f) Sicherheitsäquivalente RNF: u(e) = p*(e) = 0,1 e Ordnet jedem sicheren Ergebnis e ein äquivalentes Standardlos mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p*(e) zu. Umkehrfunktion: e = 10 p* e = 100 (p*) 2 Ordnet jedem Standardlos mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p* ein äquivalentes sicheres Ergebnis zu. Die Umkehrfunktion bestimmt also das Sicherheitsäquivalent eines beliebigen Standardloses. 66

67 Aus u(e) = p*(e) = 0,1 e folgt somit: S(p*) = 100 (p*) 2 Beispiel: a 1 (100; 69%; 0) (100; 69%; 0) S(0,69) = 100 0,69 2, a 1 (100; 69%; 0) 47,6 a 1 47,6 oder S 1 = 47,6 67

68 g) Risikoeinstellung Degressive Steigung der RNF Risikoscheu Lineare Steigung der RNF Risikoneutralität Progressive Steigung der RNF Risikofreude 68

69 h) Welche Präferenzen berücksichtigt das Bernoulli-Prinzip? RNF verläuft linear (Ausdruck einer risikoneutralen Einstellung) degressiv (Ausdruck einer risikoscheuen Einstellung) progressiv (Ausdruck einer risikofreudigen Einstellung) Beachte: Der Verlauf der RNF hängt nicht nur von der reinen Einstellung des Entscheiders gegenüber dem Risiko ab (Risikopräferenz i.e.s.), sondern wird auch durch den subjektiven Geldnutzen (Höhenpräferenz) bestimmt. 69

70 Beispiel: Zu bewerten ist folgende Lotterie (100; 0,5; 0). Trifft der Entscheider seine Entscheidung gemäß der RNF u(e) = e, so schätzt der Entscheider den Wert dieses Loses exakt so ein, wie den Besitz von sicheren 25 GE. Da die RNF und darauf aufbauende Bewertungen sowohl die Höhenpräferenz des Entscheiders als auch dessen Risikopräferenz i. e. S. berücksichtigen, muss diese Bewertung des Loses keineswegs zwingend aus einer Abneigung gegenüber dem Risiko resultieren. Verdeutlichung: Ein Entscheider A bewertet den Nutzenzuwachs des Übergangs von 0 GE auf 25 GE exakt so wie den Nutzenzuwachs beim Übergang von 25 GE auf 100 GE. Wenn A im engeren Sinne risikoneutral eingestellt ist, bewertet er das Los trotzdem nur mit genau 25 GE. 70

71 i) Einschränkung zulässiger Präferenzen Zu beurteilen sind Lotterien mit den drei möglichen Ergebnissen en < em < eh, die mit den Wahrscheinlichkeiten pn bzw. pm bzw. ph (pn + pm + ph = 1) eintreten. Für den entscheidungsrelevanten Präferenzwert eines Loses gilt: EU = u(e n) pn + u(e m) pm + u(e n) p n Umgeformt nach ph ergibt sich für beliebige Nutzenniveaus EU*: p h u(e = m) u(e n) EU * u(e + m) pn u(e ) u(e ) u(e ) u(e ) Beispiel: h m n m Für en=36, em=49, eh=64 und u(e)= e gilt: 7 6 7,3 7 ph = pn ph = pn + 0,3 (mit p n,p m,ph 0 und p + p + p = 1) 71 n m h

72 Dies bedeutet, dass das Bernoulli-Prinzip in Bezug auf die Bewertungsrelevanz von Wahrscheinlichkeiten zwingend lineare Präferenzen voraussetzt. Die Lose L1 = (36, 0,2; 49, 0,3; 64; 0,5) L2 = (36, 0,3; 49, 0,1; 64; 0,6)... Ln = (36, 0,35; 49, 0; 64; 0,65) werden wegen Geltung von ph = pn + 0,3 alle mit einem identischen Präferenzwert bewertet. 72

73 8 Übungsaufgaben Aufgabe 1 Gegeben seien folgende Investitionsprojekte a, b 1, b 2, b 3 und b 4, deren Zahlungsreihen für die Zeitpunkte t = 0 bis t = 3 in folgender Weise durch die Größen X, Y und Z (X > 0, Y > 0, Z > 0) beschrieben werden können. Projekt e 0 e 1 e 2 e 3 a X + Y + Y + Y b 1 X Z + Y + Y + Y b 2 X + 0,5 Y + 0,5 Y + 2 Y b 3 X + 0,1 Y + 0,1 Y + 3 Y b 4 X + 2 Y + 0,4 Y + 0,3 Y In den folgenden Grafiken ist jeweils die Kapitalwertfunktion für Projekt a sowie eines der übrigen Projekte b n (n = 1, 2,..., 4) abgebildet. Geben Sie jeweils mit kurzer Begründung an, um welches Projekt b n es sich handelt! 73

74 K K a b n a 0 b n r 0 r Investitionsprojekt: n = Begründung: Investitionsprojekt: n = Begründung: 74

75 K K a 0 b n r 0 b n a r Investitionsprojekt: n = Begründung: Investitionsprojekt: n = Begründung: 75

76 Aufgabe 2 Ein Investor betrachtet zwei sich gegenseitig ausschließende Investitionsprojekte. Es handelt sich dabei um Normalinvestitionen, die lediglich bei einem Kalkulationszinsfuß von 10% nach dem Kapitalwertkriterium gleichwertig sind. Folgende investitionstheoretische Kennziffern wurden ermittelt: Kennziffern Projekt A Projekt B Nominalwert (N) äquivalente Annuität für r = 10% +52, K(r*) = 0 * A r = 14,9% r * = 20% B 76

77 a) Für welches Projekt wird sich der Investor bei einem Kalkulationszins von (1) 0 % (2) 6 % (3) 10 % (4) 16 % (5) 22 % entscheiden, wenn er als Zielsetzung die Maximierung seines Endvermögens verfolgt? (Begründung erforderlich) b) Welches der beiden Projekte hat die längere Laufzeit? (Begründen Sie Ihre Antwort) 77

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80 Aufgabe 3 Ein Unternehmen, das aktuell und in den kommenden drei Jahren jederzeit über Bankguthaben verfügt, hat die Möglichkeit eine Investition durchzuführen, die im Zeitpunkt t = 0 eine Anfangsauszahlung von genau GE erfordert (e0 = 1.000) und in den Zeitpunkten t = 1, t = 2 und t = 3 Einzahlung in Höhe von e1, e2 und e3 erbringt. Am Finanzmarkt können finanzielle Mittel in den drei Perioden jeweils am Periodenanfang für jeweils ein Jahr zu Zinssätzen von r1, r2 und r3 angelegt bzw. aufgenommen werden. Für die bisher nicht spezifizierten Parameter soll gelten: e 100 e 100 e e + e + e = ,06 r 0,10 0,05 r 0,09 0,04 r 0, Markieren Sie die nachfolgenden Aussagen jeweils mit R, wenn Sie sie für zutreffend halten, F, wenn Sie sie für unzutreffend halten, und?, wenn die Aussage je nach den weiteren, hier nicht bekannten Rahmenumständen zutreffen kann, aber nicht zwingend muss. Für die investitionstheoretischen Kennzahlen Kapitalwert (K), Endwert (EW) und interner Zinssatz (r*) dieses Projektes gilt dann: 80.

81 K > 0 K > 20 K > 30 K > 100 EW > 0 EW > 30 EW > EW > r* = 0 % r* < 0 % r* > 3 % r* > 8 % 81

82 Aufgabe 4 Betrachtet seien die Alternativen a1 und a2. Die zugehörige Ergebnismatrix hat folgendes Aussehen: p1 = 0,25 s1 p2 = 0,25 s2 p3 = 0,25 s3 p4 = 0,25 s4 a a a) Berechnen Sie die μ-und σ-werte der beiden Alternativen! b) Angenommen, ein Entscheider wähle immer die Alternative mit dem höchsten Präferenzwert und gehe von folgender Präferenzfunktion aus: ϕ(μi,σi) = μi 1,5 σi 1. Für welche Alternative wird er sich entscheiden? 2. Kann diese Entscheidung als vernünftig angesehen werden? 3. Wie groß dürfte der Risikoparameter maximal sein, damit auf Basis obiger Präferenzfunktion im vorliegenden Fall eine mit dem Dominanzprinzip vereinbare Entscheidung getroffen wird? 82

83 c) Gegeben seien zwei Lotterien a1 und a2 mit folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen der möglichen Gewinne: e e a 1 a 2 p 0,5 0,5 p 0,9 0,1 Einem Entscheidungssubjekt werde nach seiner Wahl ein Los für eine der beiden Lotterien zum Geschenk angeboten. Wie wäre nach der Präferenzfunktion gemäß b) zu entscheiden, wenn für den Risikoparameter der Wert 0,1 gilt? d) Wie hoch sind nach der Präferenzfunktion gemäß b) die Sicherheitsäquivalente der Lotterien a1 und a2? 83

84 Aufgabe 5 Der risikoscheue Anleger FORTUNA sucht nach einer Anlagemöglichkeit für ein Jahr. Dabei ist er auf 4 Wertpapiere a 1 a 4 gestoßen, deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Jahresrendite durch folgende Werte gekennzeichnet sind: μ σ a1 4 2 a a a a) Ist es sinnvoll, dass FORTUNA alle diese Wertpapiere in seine Anlageüberlegungen mit einbezieht, wenn er sich nach dem μ-σ-prinzip richten will? Begründen Sie Ihre Antwort bitte kurz! b) Gehen Sie davon aus, dass der Korrelationskoeffizient ρ 14 einen Wert von +1 aufweist! Zeichnen Sie für alle denkbaren Mischungen dieser beiden Wertpapiere den Verlauf der Portefeuillelinie in ein μ-σ-diagramm ein! c) Gehen Sie davon aus, dass sich eine risikolose Mischung aus den Wertpapieren a 1 und a 3 mit folgenden Anteilen erstellen lässt: x 1 = 0,9 und x 3 = 0,1. In welcher Weise korrelieren die Wertpapiere a1 und a3 miteinander? 84

85 Aufgabe 6 ALPHA will einen fest vorgegebenen Geldbetrag für genau 1 Jahr anlegen. Er orientiert sich dabei an dem portefeuilletheoretischen Grundmodell. Als Anlagemöglichkeiten zieht er die Wertpapiere A und B sowie beliebige Mischungen in Betracht. Dazu ermittelt er zunächst die Kennzahlenwerte μ (Erwartungswert) und σ (Standardabweichung) der Papiere A und B. Markieren Sie die in den folgenden Teilaufgaben präsentierten Aussagen mit R, wenn Sie sie für zutreffend halten, F, wenn Sie sie nicht für zutreffend halten und?, wenn die Aussage je nach den weiteren Rahmendaten zutreffen kann, aber nicht zwingend muss. a) Nehmen Sie an, für die Erwartungswerte seien μ A = 5 und μ B = 10 ermittelt worden. Außerdem können alle A-B-Mischungen durch die nachfolgend abgebildete Portefeuillelinie mit dem Scheitelpunkt M bei μ M = 7 gekennzeichnet werden. 85

86 μ Wenn ALPHA sich risikoscheu im Sinne des μ-σ-prinzips verhält und ein effizientes Portefeuille anstrebt, so wird der Anteil von Wertpapier A an seinem Portefeuille % betragen... 0% betragen... 80% betragen... 20% betragen... kleiner als 65% sein 86

87 b) Zusätzlich zur Anlage in A und B oder beliebigen Mischungen aus beiden zieht ALPHA nun auch die Anlage in einem sicheren Wertpapier in Betracht. Die von ihm zusätzlich ins Kalkül gezogenen Anlagemöglichkeiten werden durch die Strecke ST in folgender Abbildung verdeutlicht (ST tangiert die Portefeullelinie bei μm = 8). μ 87

88 Wenn ALPHA nach wie vor risikoscheu im Sinne des μ-σ-prinzips eingestellt ist, so wird das für ihn optimale Portefeuille folgende Zusammensetzung aufweisen: Anteil von S A B 100% 0% 0% 0% 100% 0% 0% 0% 100% 0% 40% 60% 50% 20% 30% 50% 0% 50% < 100% < 100% < 100% 88