Bemerkungen zur Fehlerdiskussion

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1 Fakultätsübergreifedes Labor für Physik. Vorbemerkuge Bemerkuge zur Fehlerdiskussio Messergebisse sid stets mit Fehler behaftet. Nach DIN 39-3 werde Abweichuge der Messergebisse vom tatsächliche Wert, die durch Uvollkommeheit des Messgegestades, der Messgeräte ud der Messverfahre, sowie durch Eiflüsse der Umwelt (wie Temperatur, Luftdruck,...) ud der Beobachter (wie Sehschärfe, Schätzvermöge,...) verursacht werde, als Fehler betrachtet. Fehler der Messergebisse durch Irrtümer der Beobachter (z. B. falsches Ablese eies richtig azeigede Messistrumetes, echefehler bei der Auswertug, Abschreibfehler,...) lasse sich bei etsprecheder Sorgfalt vermeide ud sid daher icht i der Norm 39 berücksichtigt. Zur Vermeidug dieser Fehler (häufig uter dem Begriff grobe Fehler zusammegefasst) ist es wichtig, dass die Messergebisse ohe Umrechug dokumetarisch (radierfest!) im edgültige Protokoll eigetrage werde. Im Folgede wird vorausgesetzt, dass derartige Fehler durch ausreichede Kotrolle vermiede werde.. Statistische Fehler (Zufällige Fehler) Statistische Fehler sid die Abweichug, die ma erhält, we ma uter gleiche Bediguge eie Größe mehrfach misst. Die Abweichuge trete mit wechseldem Betrag ud Vorzeiche auf.. Systematische Fehler Systematische Fehler habe eie bestimmte Betrag ud ei bestimmtes Vorzeiche. Die Ursache für diese Fehler sid häufig icht leicht zu fide. Beispiele: eie achgehede Stoppuhr, ei falsch kalibriertes Messgerät, falscher Wert eier bei der Auswertug beutzte Naturkostate, Wärmeverlust bei eier kalorimetrische Messug, icht berücksichtigter Temperatureifluss auf eie Messgröße,... Systematische Fehler führe i der egel auch bei Wiederholug eier Messug uter gleiche Bediguge zum gleiche falsche Ergebis. Köe systematische Fehler abgeschätzt werde, so wird das bei der Messusicherheit berücksichtigt. Die zufällige ud die abschätzbare systematische Fehler werde zur sogeate Messusicherheit zusammegefasst..3 Fehlergreze Die Fehlergreze sid begrifflich streg vo de obe betrachtete Fehler oder der Messusicherheit zu uterscheide. Die Fehlergreze sid i der Messtechik die vereibarte oder garatierte äußerste Abweichuge vo der Sollazeige oder vom Newert oder Nemaß eies Messgerätes, d.h. der tatsächliche Wert liegt ierhalb der Fehlergreze des Messgerätes. Die Fehlergreze betrage oft etwa das 5-fache der Messusicherheit (siehe 3.).

2 . echerische Erfassug der zufällige Fehler Bei der Berechug der zufällige Fehler werde die Gesetze der Statistik beutzt.. Arithmetisches Mittel oder Mittelwert Mittelwert x = + x x = x i i= x x...,, x, x voeiader uabhägige Eizelwerte eier Messreihe Azahl der Eizelwerte. Empirische Stadardabweichug Die empirische Stadardabweichug gibt die zufällige Abweichug eies Eizelmesswertes vom Mittelwert a. Empirische Stadardabweichug s = i= ( x i x) Das Quadrat dieser Größe wird als empirische Variaz ( s² ) bezeichet. Empirische Stadardabweichug des Mittelwerts s = s = i= ( x i x) ( ).3 Eiige Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Weil die ermittelte Zahlewerte eier Messgröße statistisch schwake, ka diese Größe als Zufallsvariable (hier mit x bezeichet) betrachtet werde. Hier relevate Messgröße wie Zeite, Läge, elektrische Spauge usw. köe prizipiell uedlich viele verschiedee Werte aehme. Aus diesem Grude müsse die egel für stetige Zufallsvariable betrachtet werde, vo dee hier eiige aufgeführt sid: f (x) Wahrscheilichkeitsdichte für x x f ( x) dx Wahrscheilichkeit dafür, dass x im Itervall [, x ] x f ( x) dx = = 00% Normierugsbedigug x f ( x ) dx = µ = lim x Erwartugswert ( x µ ) f ( x) dx = σ = lim s Variaz vo x σ = var(x) Stadardabweichug vo x x liegt

3 .4 Mittelwert ud Vertrauesbereich Für die weitere Betrachtuge spielt die Normalverteilug eie zetrale olle. Es ka gezeigt werde, dass die Streuug des experimetell gefudee Mittelwertes x um de wahre, aber ubekate Wert µ durch eie Normalverteilug beschriebe werde ka. Ihre Wahrscheilichkeitsdichtefuktio ist gegebe durch: f ( x µ ) ( x) = e σ σ π µ Erwartugswert σ Stadardabweichug Sid die Parameter µ ud σ bekat, gilt (wie ma leicht mit Hilfe der Tabelle der Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug achprüfe ka): p µ + σ { σ x µ + σ } = f ( x) dx = 0, 683 µ p Wahrscheilichkeit µ σ d. h. ca. 68% aller für x ermittelte Werte liege im Itervall µ ± σ. Aalog hierzu gilt: p ud p { µ,96 σ x µ +,96 σ} = 0, 95 { µ,58 σ x µ +,58 σ } = 0, 99 Stadard-Normalverteilug Der Vertrauesbereich vo σ gilt für eie statistische Sicherheit vo 68%. De Ausdruck σ bezeichet ma als Variaz. e f (x) max f ( x f (x) ) max I der Praxis ist der wahre Wert μ sowie die Stadardabweichug σ aber ubekat. Sie werde daher ahad der experimetelle Date -wie ma i der mathematische Statistik sagt- geschätzt. Es lässt sich beweise, dass sich die bestmögliche Schätzuge wie folgt ergebe: µ = x ud σ = s d.h. das arithmetische Mittel ist die beste Schätzug für das wahre Ergebis ud die empirische Stadardabweichug die beste Schätzug für desse Streuug. Zu eier komplette Agabe des Edergebisses gehört ebe dem wahrscheilichste esultat x außerdem eie Abschätzug des Vertrauesbereiches x ± uz ( uz = Usicherheit durch zufällige Fehler), ierhalb desse der wahre Wert µ mit eier vorzugebede Wahrscheilichkeit p liegt. Da u sowohl µ als auch σ empirisch ahad edlich vieler Messdate ermittelt wurde, verwedet ma zur mathematische Modellierug icht die Normalverteilug, soder die t-(auch Studet-) Verteilug. Sie ähelt der Stadard-Normalverteilug sehr stark, hat aber -isbesodere bei weige Messwerte- eie größere Variaz. 3 µ σ x

4 I der Praxis bestimmt ma de Vertrauesbereich, idem ma ahad der geforderte statistische Sicherheit p de Wert für s = s mit dem Faktor t (, p ) aus der folgede Tabelle multipliziert t 95% 4,30 3,8,78,57,45,36,3,6,4,09,98,96 t 99% 9,9 5,84 4,60 4,03 3,7 3,50 3,36 3,5,98,86,63,58 Zum Messergebis x gehört der Mittelwert x ud der Vertrauesbereich s x = x ± t s ± t = ± u z. 3. Systematische Fehler Erfassbare systematische Fehler solle durch Korrekture ausgeschaltet werde. Nicht erfassbare systematische Fehler sid abzuschätze ud als etsprechede Usicherheite u s bei der Ermittlug der Messusicherheite zu berücksichtige. Zu diese Usicherheite gehöre auch die Geauigkeite (Fehlergreze) der verwedete Messgeräte bzw. Messmittel. 4. Messusicherheit Die Messusicherheit u ist ei Maß dafür, wie sicher ei Messergebis ist. Sie umfasst immer die zufällige Fehler u z (Vertrauesbereich), ud/oder die abgeschätzte systematische Usicherheite u s. s x = x ± u mit u = uz + us = t + us Hiweise zum zweckmäßige ude des Edresultates fide sich i Abschitt Fehlerfortpflazug Die bisherige Betrachtuge habe sich auf zufällige ud systematische Fehler eier eizele Messgröße beschräkt. Ist das Ergebis aber eie Fuktio eier oder mehrerer Messgröße, so erfolgt die Berechug der Fehler bzw. der Messusicherheit ach dem Fehlerfortpflazugsgesetz. Das Ergebis y sei eie Fuktio der Messgröße x : y = F( x,..., x v ) x,..., s,..., zugehörige empirische Stadardabweichuge u,...,u ν Messusicherheite der uabhägige Messgröße x j x ν uabhägige Messgröße (Mittelwerte) s ν Es gilt: s j u j = uzj + usj = t j + Die Messusicherheit des Messergebisses ist ν F u y = u j. j= x j j u sj j 4

5 6. Formulierug des Edergebis Beim Bereche der Fehlerfortpflazug ergebe sich Zwischeergebisse, die viele Stelle ethalte. Viele dieser Stelle habe keie relevate physikalische Bedeutug, da sie weit uter der Messusicherheit liege. Es habe sich daher für das Formuliere der Edergebisse folgede egel durchgesetzt. 6. ude Die letzte Stelle, die ach dem ude och bei der Zahl verbleibt, wird udestelle geat. Für das ude gilt ach DIN 333 folgede egel: Steht hiter der udestelle eie Ziffer 0 bis 4, so wird abgerudet, steht hiter der udestelle die Ziffer 5 bis 9, so wird aufgerudet. Beispiel: zu rudede Zahl: 6,73 6,763 udestelle: udeverfahre: Abrude Aufrude gerudete Zahl: 6,7 6,8 Soll eie Ergebiszahl mit eier Usicherheit u gerudet werde, so wird die udestelle ach folgeder egel gefude: Vo liks begied ist die erste vo Null verschiedee Ziffer der Usicherheit zu suche. Ist diese eie der Ziffer 3 bis 9, so ist sie die udestelle (likes Beispiel ute). We die erste vo Null verschiedee Ziffer eie oder ist, ist die udestelle rechts daebe (rechtes Beispiel ute). Die Ergebiszahl ud die Usicherheit werde a der gleiche Stelle gerudet. Die Ergebiszahl wird wie obe beschriebe gerudet, die Usicherheit wird immer aufgerudet Beispiel: Ergebiszahl : 8, ,57967 Usicherheit u : 0, ,0063 udestelle: gerudete Ergebiszahl: 8,580 8,5796 aufgerudete Usicherheit: 0,004 0,007 Die Ergebisse ach dem ude sid also: 8,580 ± 0,004 8,5796 ± 0,007 Literatur: [] PTB: Leitfade für de Gebrauch des Iteratioale Eiheitesystems 7. Beispiel 7. Widerstadsmessug Der Widerstad eies rei ohmsche Verbrauchers soll durch Strom-/Spaugsmessuge bestimmt werde. Die Aordug der Messgeräte ist hierbei so gewählt, dass der Fehler durch dere Eigeverbrauch verachlässigbar ist. Für die Messuge werde folgede Messgeräte verwedet:. Spaugsmesser mit eier Geauigkeit vo 0,V im 0V-Messbereich. Strommesser mit eier Geauigkeit vo 0,0A im A-Messbereich. Zur Erhöhug der statistische Sicherheit wurde die Strom-/Spaugsmessug 5 mal durchgeführt. Die hierbei abgelesee Messwerte sid i Tabelle dargestellt. Tabelle : Messwerte zur Widerstadsbestimmug 5

6 Nr. Spaug U i V Strom I i A 0,04 0,50 9,94 0, ,98 0, ,00 0, ,05 0,54 Mit diese Werte werde zuächst die folgede statistische Größe berechet. Mittelwert: Empirische Stadardabweichug: Empirische Stadardabweichug des Mittelwertes: U = 0,00V I = 0,504A s U = 0,045V s I = 0,009A s = 0,00 V s = 0,004 A U I Ahad der gewüschte bzw. geforderte statistische Sicherheit werde mit dem zugehörige t-wert die Vertrauesbereiche für die Spaug u zu ud de Strom u zi berechet. Es soll eie statistische Sicherheit vo 95% erreicht werde. Der zugehörige Wert für = 5 ist t =, 78. Hieraus ka der zugehörige Vertrauesbereich berechet werde. Vertrauesbereich: u = 0,056 V u = 0,0A Als systematische Messabweichuge werde die agegebee Geauigkeite ageomme. zu zi Systematische Messabweichug: u = 0,00 V u = 0,00 A su si Die Messusicherheit ist die Summe aus dem Vertrauesbereich ud der systematische Messabweichug ( u U = uzu + usu ud u I = uzi + usi ). Messusicherheit: u = 0,56 V u = 0,03A U I Hiermit erhält ma die vollstädige Messergebisse für Spaug ud Strom. Vollstädiges Messergebis: U = ( 0,00 ± 0,56) V I = ( 0,504 ± 0,03) A Aus de Mittelwerte vo Spaug ud Strom ka der Widerstad berechet werde. U 0,00V = = = 9, 86 I 0,504A Mit de Messusicherheite vo Spaug ud Strom wird gemäß der Fehlerfortpflazug die Messusicherheit für de Widerstad berechet. Es gilt: u U = uu + ui = uu + u I U I I I U = I = 0,504A =,986 A U = I I = 0,00V = 39,438 ( 0,504A) A Messusicherheit Spaug: u U = 0,56V 6

7 Messusicherheit Strom: u I = 0,03A u =,986 0,56 V + 39,438 0,03A = ±, 67 A A,67 = (9,86±,67) relative Messusicherheit: 6,4% 9,86 Sivoll gerudetes Ergebis: = (9,9 ±,3) 7. Zusammefassug mehrerer uabhägiger Ergebisse Wir ehme a, der gleiche Widerstad sei vo mehrere Laborgruppe mit uterschiedliche Messmittel ( u su, u si ) ud uterschiedlicher Azahl vo Eizelmessuge () gemesse worde. Alle Berechuge sid für eie statistische Sicherheit vo 95% durchgeführt. Die Ergebisse sid i Tabelle zusamme getrage. Tabelle : Parameter ud Ergebisse aus verschiedee Messreihe zur Widerstadsbestimmug Gruppe u su u si i u z u s u Ergebis (s.o.) 0,0 V 0,0 A 5 9,86 0,453 0,83,67 = (9,9 ±,3) 0,0 V 0,0 A 8 9,883 0,87 0,397 0,684 = (9,9 ± 0,7) 3 0,05 V 0,0 A 7 9,836 0,49 0,405 0,834 = (9,8 ± 0,8) 4 0,0 V 0,0 A 0 9,98 0,34 0,889,3 = (9,9 ±,) 5 0,0 V 0,0 A 3 9,34 0,76 0,767,493 = (9, ±,5) Da sich statistische ud systematische Fehler ud dadurch vor allem die resultierede Messusicherheit dieser 5 Ergebisse uterscheide, ist die Formulierug eies Gesamtergebisses icht ohe Aufwad möglich. Die eifache Mittelwertbildug scheidet wege der uterschiedliche Zuverlässigkeit der eizele Ergebisse aus. Sie würde das Gesamtergebis durch die Ergebisse mit de größere Usicherheite verfälsche. Es muss eie Mittelug durchgeführt werde, i der eie zur Messusicherheit umgekehrt proportioale Wichtug eigeht. Noch mühsamer wird die Formulierug der Usicherheit des Gesamtergebisses. Zum Studium des Verfahres sei hier verwiese auf folgede Norme: DIN 39-3 A.5 -Kombiatio vo Messergebisse bei Vergleichsmessuge- DIN 39-4 A.4 -Gesamtmittelwert aus mehrere Messreihe bei Vergleichsmessuge- Im ahme dieses Labors verzichte wir auf diese echeschritt. Um die eizele Ergebisse deoch für de Leser hilfreich darzustelle, schlage wir i diesem Fall folgede Verfahre vor:. Gemeisame Darstellug aller Eizelergebisse i Tabelleform (s. Tabelle ) ud als Grafik (s. Abb. ). 7

8 Abb. : Grafische Darstellug der Mittelwerte i,0 i mit de zugehörige Usicherheite u i. 0,0 9,0 8,0 Messug Die Darstellug ka ergäzt werde, idem zusätzlich ei Vergleichswert (z.b. Literaturwert oder Mittelwert) eigezeichet wird. Der Mittelwert aller Ergebisse ist allerdigs ur da verwedbar, we die Usicherheite der eizele Ergebisse ählich sid. I diesem Beispiel ist dies icht der Fall. Hier köte z.b. der Sollwert (Newert) des Widerstades N zum Vergleich eigezeichet werde (Abb. ). Abb. : Grafische Darstellug mit eigezeichetem Newert i,0 N. 0,0 N 9,0 8,0 Messug Ud och ei wichtiger Hiweis auf beliebte Fehler i der Ausarbeitug: Grudsätzlich werde zuächst ur die primäre Messgröße, also die Größe, die tatsächlich gemesse werde, eier grüdliche Fehleraalyse uterzoge. Das heißt, ur für die primäre Messgröße werde die statistische Auswertug ud die sorgfältige Diskussio der systematische Fehler durchgeführt. Für alle weitere, durch echug aus diese primäre Messgröße ermittelte Größe, werde die Messusicherheite durch Fehlerfortpflazug ermittelt. Es ist midestes überflüssige Arbeit, die statistische Auswertug zuächst zwar richtigerweise auf die primäre Messgröße azuwede, aschließed jedoch aus diese primäre Größe mal eie weitere, hieraus abgeleitete Größe (wie z.b. das Edresultat) zu bereche ud diese da ereut der statistische Auswertug zu uterziehe. Wie erläutert, werde die Messusicherheite aller abgeleitete Größe durch Fehlerfortpflazug ermittelt ud die abgeleitete Größe selbst aus de Mittelwerte der primäre Größe. Es ist i der egel sifrei zu versuche für eie Größe, die icht direkt gemesse wurde, de systematische Fehler abzuschätze. 8