von Frank Frenzel Karsten K th Hartmut Kuttruf

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1 Experimentalphysik A f r Chemie- und Elektroingenieure von Frank Frenzel Karsten K th Hartmut Kuttruf

2 Was wir wissen ist ein Tropfen, was wir nicht wissen ein Ozean. (Isaac Newton)

3 Inhaltsverzeichnis 0.1 Vorwort Inhalt Teil B griechische Buchstaben Zehnerpotenzen Mechanik Kinematik des Punktes Geschwindigkeit Beschleunigung Die gleichf rmig beschleunigte Bewegung Bewegungen in zwei oder drei Dimensionen Grundgesetze der klassischen Mechanik Die drei Newtonschen Axiome Tr gheitsprinzip und Inertialsysteme (Erstes Newtonsches Axiom) Kraft, Masse und Impuls (Zweites Newtonsches Axiom) Kraft und Gegenkraft, Schwerelosigkeit (Drittes Newtonsche Axiom) Die quivalenz von schwerer und tr ger Masse Reibungskr fte Drehbewegung / Rotation Kinematik der Drehbewegung Scheinkr fte im gleichf rmig rotierenden Bezugssystem Arbeit, Leistung, Energie und Kr fte Arbeit Leistung und Wirkungsgrad Potentielle Energie Kinetische Energie Der Energieerhaltungssatz (EES) konservative und nicht konservative Kr fte Kraft und Potential Schwingungen Die harmonische Schwingung

4 4 INHALTSVERZEICHNIS Die harmonische Schwingung einer Hookschen Feder Energieerhaltung bei einer harmonischen Schwingung Das mathematische Pendel Impulserhaltung und Sto gesetze Der Impulserhaltungssatz Der Schwerpunkt (oder Massenmittelpunkt) gerader, elastischer Sto gerader, zentraler inelastischer Sto nicht zentraler Sto mit m 1 = m Die Physik der Drehbewegung Drehbewegung eines Massenpunktes kinetische Energie Leistung Hebelgesetz Formulierung des 2. Newtonschen Gesetzes f r die Drehbewegung Gegen berstellung von Translation und Rotation Der Drehimpulserhaltungssatz Die Mechanik starrer K rper Tr gheitsmoment ausgedehnter K rper Der Satz von Steiner Zylinder auf schiefer Ebene Translation und Rotation rollender K rper vektorielle Schreibweise bei Drehbewegungen Der Kreisel Gleichgewicht am starren K rper Hooksches Gesetz der Torsion, Drehschwingung Gravitation und Keplersche Gesetze Das Newtonsche Gravitationsgesetz Feldst rke, Potential und potentielle Energie im Gravitationsfeld Bestimmung der Gravitationskonstanten Planetenbahnen und Keplersche Gesetze Gebundene und ungebundene Zust nde Deformation fester K rper Dehnung und Zugversuche Spannung, Dehnung und Hooksches Gesetz Querkontraktion Kompressibilit t Scherung und Torsion Elastische Energie und Energiequelle Ruhende Fl ssigkeiten und Gase (Hydrostatik und Aerostatik) Druck in ruhenden Fl ssigkeiten (ohne Gravitation)

5 INHALTSVERZEICHNIS Gravitation bei Fl ssigkeiten: der Schweredruck Auftrieb Prinzip von Archimedes p(h) bei Gasen: die barometrische H henformel Ober chenspannung und Kapillarit t Str mende Fl ssigkeiten und Gase (Hydrodynamik und Aerodynamik) Die Kontinuit tsgleichung (inkompressible Str mung) Potentielle und kinet. Energie in str menden Medien: die Bernoulli-Gleichung Viskose Str mung zwischen Platten Laminare Str mung durch Rohre das Gesetz von Hagen- Poiseuille Stokesche Reibung einer Kugel Turbulente Str mung und Reynolds-Zahl Luftwiderstand und c w -Wert Schwingungen Freie und erzwungene Schwingungen Schwingungsarten Die Bewegungsgleichung Dierentialgleichungen Der harmonische Oszillator Gegen berstellung verschiedener harmonischer Schwingungen Der freie, ged mpfte Oszillator Erzwungene Schwingungen und Resonanz Einschwingvorg nge berlagerung von Schwingungen berlagerung paralleler Schwingungen berlagerung orthogonaler Schwingungen Fourier-Synthese und Fourier-Analyse Gekoppelte Schwingungen Wellen Von Schwingungen zu Wellen Die Wellengleichung Wellenarten Longitudinale Wellen Transversale Wellen Ebene- und Kugelwellen Beugung und Huygenssches Prinzip Stehende Wellen Beispiel einer mechanischen Welle Energietransport durch die Welle Der Dopplereekt

6 6 INHALTSVERZEICHNIS 3.7 Koh renz und Interferenz Dispersion Thermodynamik W rmeenergie und Temperatur Temperatur und der Nullte Hauptsatz Temperaturskala / absoluter Nullpunkt W rmeausdehnung Technische Verfahren zur Temperaturmessung W rmeenergie und spezischew rme Phasenumwandlungen und latente W rme Phasendiagramme Ideale und reale Gase Die Zustandsgleichung f r ideale Gase Mikroskopische Denition des idealen Gases kinetische Gastheorie Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung Partialdruck, Dampfdruck, Luftfeuchtigkeit Daltonsches Gesetz der Partialdr cke Dampfdruck Siedepunkt Relative Luftfeuchtigkeit im Taupunkt Reale Gase: van der Waalsche Zustandsgleichung Joule - Thomson - Eekt und Gasver ssigung nach Linde Zustands nderungen und Kreisprozesse idealer Gase Der erste Hauptsatz der Thermodynamik Die spezischen Molw rmen C p und C v idealer Gase Zustands nderungen idealer Gase Der Carnotsche Kreisproze Energiebilanz und Wirkungsgrad der Carnot - Maschine Die r ckw rts laufende Carnot - Maschine Stirling - Proze und Hei luftmotor Technische K hlschr nke und W rmepumpe Transport von W rmeenergie Entropie und der zweite Hauptsatz Formulierung des zweiten Hauptsatzes Reversible und irreversible Prozesse Reduzierte W rme und Entropie Nullpunkt der Entropie und dritter Hauptsatz Der berstr mversuch von Gay - Lussac

7 0.1. VORWORT Vorwort Mit dieser Mitschrift wollen wir die Reihe der im Internet erh ltlichen Skripte erg nzen und es den H rern der Experimentalphysik f r Chemie- und Elektroingenieure empfehlen. Da es trotz Fehlerkorrektur m glich ist, da sich Fehler eingeschlichen haben, freuen wir uns ber konstruktive Kritik. Die Mitschrift haben wir unter Linux mit LYX, einer graschen Ober che zu LATEX, erstellt. Dieses Skript und sein Nachfolgeskript Experimentalphysik B sind unter erh ltlich. Frank Frenzel Karsten K th Hartmut Kuttruf upix@rz.uni-karlsruhe.de upkl@rz.uni-karlsruhe.de upiy@rz.uni-karlsruhe.de 0.2 Inhalt Teil B 1. Elektrizit t und Magnetismus (a) Elektrostatik (b) Magnetostatik (c) Elektrodynamik 2. Optik (a) geometrische Optik (b) Wellenoptik (c) Quantenoptik 3. Aufbau der Materie (a) Atome und Molek le (b) Festk rper (c) Kerne

8 8 INHALTSVERZEICHNIS 0.3 griechische Buchstaben A Alpha I Jota % P Rho B Beta K Kappa & Sigma ; Gamma Lambda T Tau Delta M My Y Ypsilon " E Epsilon N Ny ' Phi Z Zeta Xi X Chi H Eta o O Omikron Psi # Theta $ Pi! Omega 0.4 Zehnerpotenzen Potenzschreibweise Dezimalschreibweise Vorsilbe Abk rzung Deka da Hekto h Kilo k Mega M Giga G Tera T Peta P 10 ;1 0,1 Dezi d 10 ;2 0,01 Zent c 10 ;3 0,001 Milli m 10 ;6 0, Mikro 10 ;9 0, Nano n 10 ;12 0, Piko p 10 ;15 0, Femto f

9 Kapitel 1 Mechanik 1.1 Kinematik des Punktes Geschwindigkeit mittlere Geschwindigkeit x=0 x1 x2 x(t 1 )=x 1 x(t 2 )=x 2 x = x(t 2 ) ; x(t 1 )=x 2 ; x 1 zur ckgelegter Weg t = t 2 ; t 1 daf r ben tigte Zeit v m = x(t2);x(t1) t 2;t 1 = x :[v] =1 m t s mittlere Geschwindigkeit oder Durchschnittsgeschwindigkeit. Momentangeschwindigkeit v Idee: Wir machen die Zeit t immer kleiner. v = lim Momentangeschwindigkeit x(t 2);x(t 1) t t 2!t 1 2;t 1 x t!0 t oder v = lim In der Physik ist die Geschwindigkeit meist die Momentangeschwindigkeit. Weg-Zeit-Diagramm: x(t) t 1 2 t t 9

10 10 KAPITEL 1. MECHANIK Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm: v(t) t 1 2 t t Die Steigung im Weg-Zeit-Diagramm als Momentangeschwindigkeit: x(t) x(t) α t x s t v m = x t =tan x v = lim =_x t!0 t = (t) dt dt innitesimal Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit. _x =tan gibt die Steigung der Tangente an die x(t)-kurve zum Zeitpunkt t an. Dies gilt auch f r beliebige x(t) Beschleunigung Geschwindigkeit: nderung des Weges als Funktion der Zeit. Beschleunigung: nderung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit? mittlere Beschleunigung a m : a m = v(t2);v(t1) t 2;t 1 = v t Einheit: [a] = [v] [t] = 1 m s 1s =1m s 2 momentane Beschleunigung: v(t a = lim 2);v(t 1) t t 2!t 1 2;t 1 = lim v t!0 t = dv a(t) = dv dt = d dt ( dx dt )= 2 x(t) dt 2 =x(t) dt =_v

11 1.1. KINEMATIK DES PUNKTES 11 allgemein v(t) v(t) v α t t a ist die Steigung im v(t)-diagramm, a kann auch negativ sein. Bei negativem a mu jvj nicht geringer werden, da das Vorzeichen auch von der Wahl des Bezugssystems abh ngen kann. v = a t allgemein f r a(t) gilt: dv = a(t) dt v = lim t i!0p a(ti )t i Schreibweise als Integral R t 2 v = a(t) dt v(t 2 )= v(t 1 ) t 1 {z} ebenso beim Weg: Integrationskonstante v = dx x = v t dx = v(t)dt dt R x = v(t)dt x(t 2 )=x(t 1 )+ v(t)dt t 1 R t 2 + Z t 2 a(t)dt t 1 {z } Aufsum: innitesimaler Geschw:aenderungen Die gleichf rmig beschleunigte Bewegung Die Grundformeln v(t =0)=0 x(t =0)=0 a = const: v(t) v(t) t v = at x = v m t = v(t);v(0) 2 t gilt nur bei a = const: x = at;0 2 t x = 1 2 at2 oder : x = R t 0 v(t)dt = R t 0 (at)dt

12 12 KAPITEL 1. MECHANIK = a R t 0 tdt= 1 2 at2 allg.: R t n dt = 1 n+1 tn+1 v = at (1) q x = 1 2 at2 ) t 2 = 2x ) a t = 2x (2) a (2)in(1) v = a q 2x a = p 2ax Das Superpositionsprinzip in einer Dimension Bewegungsabl ufe lassen sich bertragen. Beispiel: Anfangsgeschwindigkeit: v 0, Anfangskoordinaten: x 0 =) x(t) =x 0 + v 0 t at2 und v(t) =v 0 + at Dabei kann auch v 0 < 0 und a =0sein. Anwendungen: senkrechter Wurf Fu g nger mit v F = const: Bewegungen in zwei oder drei Dimensionen Superpositionsprinzip in 2 oder 3 Dimensionen Eine Bewegung l t sich inteilbewegungen zerlegen. Die Teilbewegungen laufen unabh ngig voneinander ab und beeinussen sich nicht gegenseitig. Die Summe der Teilbewegungen ergibt die Gesamtbewegung. =) Die Bewegungen in x-, y-, und z- Richtung lassen sich v llig unabh ngig voneinander beschreiben. Beispiele Freier Fall Freier Fall aus der H he H, v 0 =0 v(t) =gt im Schwerefeld der Erde. h(t) =H ; g 2 t2 Fallzeit: t(h =0)=0=H ; 1 2 gt2 =) t = q 2H g waagrechter Wurf Zerlegung in 2 Teilbewegungen: freier Fall in z-richtung z(t) =; 1 2 gt2 konstante Bewegung mit v x in x-richtung

13 1.1. KINEMATIK DES PUNKTES 13 (1) x(t) =v x t ) t = x(t) v x g v 2 x 2 x (2) z(t) =; 1 2 g x2 v 2 = ; 1 x 2 Wurfparabel (z(x) =const x 2 ) z x Wurfparabel Die vektorielle Darstellung Idee: unabh ngige Beschreibung der Teilbewegungen x(t) =x 0 v x t = a x t 2 y(t) =y 0 v y t = a y t 2 z(t) =z 0 v z t = a z t 2 als 0 Vektoren: x x 0 C y A B C y 0 A + 0 v 0 x v 0 y z z 0 v 0 z oder kurz: ~r = ~rc+ ~v 0 t ~at2 1 0 C A B t + 1 Vektoren haben Einheiten! z.b.: ~a= a x a y a z 1 C A t 2 1 C A m s 2 1.Vektor - 2.Vektor (Verschiebungsvektor) 1.Vektor 2.Vektor Die mittlere Geschwindigkeit zeigt in die Richtung des Verschiebungsvektors! Wir betrachten zwei Arten physikalischer Gr en: Skalare (nur Betrag) Vektoren (Betrag + Richtung)

14 14 KAPITEL 1. MECHANIK 1.2 Grundgesetze der klassischen Mechanik Die drei Newtonschen Axiome 1. Erstes Newtonsches Axiom Tr gheitsprinzip (siehe auch 1.2.2) Ein K rper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichf rmig geradlinigen Bewegung, solange keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt. d.h. ~v= const: falls P Fi ~ =0 (f r m = const:) 2. Zweites Newtonsches Axiom Aktionsprinzip (siehe auch 1.2.3) F ~F = m~a, ~a = ~ m ~F :Kraft F ~ = Pi F ~ i m : Masse ~a :Beschleunigung Die Beschleunigung eines K rpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn einwirkt. allgemeinere Formulierung: ~F = ~p ~p = m~v 3. Drittes Newtonsches Axiom Reaktionsprinzip (siehe auch 1.2.4) actio = reactio Kr fte treten immer paarweise auf. bt ein K rper A auf einen K rper B eine Kraft F aus, so bt K rper B eine betragsm ig gleiche, aber entgegengesetzte Kraft auf K rper A aus Tr gheitsprinzip und Inertialsysteme (Erstes Newtonsches Axiom) ) ~r ~v = _ ~r ~a = _ ~v ~r sind immer in Bezug auf ein Koordinatensystem deniert. Ein solches Koordinatensystem, auf das man sich bei der Beschreibung einer Bewegung bezieht, hei t Bezugssystem. Ein unbeschleunigtes Bezugssystem hei t Inertialsystem. In allen relativ zu einem Inertialsystem mit ~v = const: bewegten Koordinatensystemen gilt das erste Newtonsche Axiom und folglich gilt: ~v 1 = const: ~v 2 = const: ) ~v 1 + ~v 2 = const: ) Jedes solches System ist ebenfalls Inertialsystem. In einem relativ zu einem Inertialsystem beschleunigten Bezugssystem gilt das 1. Newtonsche Axiom nicht, da dies kein Inertialsystem ist.

15 1.2. GRUNDGESETZE DER KLASSISCHEN MECHANIK 15 Die Erde kann nur n herungsweise als Inertialsystem angesehen werden. Das 1. Newtonsche Axiom gilt nicht exakt, wegen der Erdrotation. Dies f hrt zur sogenannten Corioliskraft Kraft, Masse und Impuls (Zweites Newtonsches Axiom) Masse: m [m] =1kg Messung der Masse ber die Gewichtskraft: F = mg Vergleich mit der Gravitationskraft, die auf ein Massennormal, das Ur-Kilogramm, wirkt. Kraft: F ~F = m~a [F ]=[m][a] =1kg m s 2 =1N Messung der Kraft: 1. Vergleich mit der Gewichtskraft einer bekannten Masse. 2. Messung mit Hilfe einer Federwaage (Hooksches Gesetz) Die Ausdehnung einer Feder ist proportional der l ngs ihrer Achse wirkenden Zugkraft. F = D x D:Federkonstante x: Auslenkung der Feder Achtung: Dies ist kein Naturgesetz, gilt nur n herungsweise und f r kleine Auslenkungen. Impuls ~p = m~v [p] =[m][v] =1 kg m s Die allgemeine Form des 2. Newtonschen Axioms ~F = ~p = d (m~v) (Produktregel!) dt = m~v + ~v _m ) ~ F = m~a + _m~v Wir unterscheiden zwei F lle: Fall 1: m = const ) _m = 0 ~F = m~a Fall 2: ~a =0 ) ~v = const ) ~ F = _m~v Es wird immer mehr Masse aus der Ruhe auf eine Bestimmte Geschwindigkeit ~v gebracht.

16 16 KAPITEL 1. MECHANIK Kraft und Gegenkraft, Schwerelosigkeit (Drittes Newtonsche Axiom) Zu jeder Kraft wirkt eine Gegenkraft. Wirkt auf einen K rper eine Gegenkraft, so ist die relative Beschleunigung Null. Beispiel: Beispiel: Ein Mensch sitzt auf einem Stuhl. Auf ihn wirken zwei Kr fte: ~F 0 = m~g und ~ FStuhl = ;m~g =) Der Mensch bleibt in Ruhe. freier Fall m g Stein - m g Erde Zur Gewichtskraft wirkt auf den Stein keine Gegenkraft, daher f llt er Die quivalenz von schwerer und tr ger Masse P i F i = m i ~a (tr ge Masse) ~F g = m s ~g (schwere Masse) Ist ein K rper nur seiner Gewichtskraft ausgesetzt, so gilt P i = ~ F i = m s ~g ) m s ~g = m i ~a ~a = ms m t ~g Beobachtung: Ohne Luftwiderstand ist die Beschleunigung im freien Fall f r alle K rper am selben Ort gleich. ms = m t const =: 1 =) quivalenz von m s und m t. =) Massenvergleich ber die Gewichtskraft m glich Reibungskr fte Haft- und Gleitreibung F H = H F N Haftreibungskraft F Gl = Gl F N Gleitreibungskraft Diese N herung ist unabh ngig von Geschwindigkeit und Auage che.

17 1.3. DREHBEWEGUNG / ROTATION 17. F N F N : Normalkraft = Kraft senkrecht (?) H : Haftreibungskonstante Reibungsarbeit W R = Gl F N s (Gleitreibung) Bei Haftreibung tritt keine Reibungsarbeit auf, da s =0gilt. Bestimmung von H an der schiefen Ebene mg. F N F H α F H = F N H mg sin = mg cos H ) H = sin cos =tan 1.3 Drehbewegung / Rotation Kinematik der Drehbewegung v(t) v(t) s r Ein Massenpunkt bewegt sich auf einem Kreis mit dem Radius r um den Mittelpunkt zun chst gleichf rmig. Eindimensional: v(t) = ds =_s = const dt Dreidimensional: ~v(t) aber j~vj = const: die Richtung ndert sich! Der Geschwindigkeitsvektor ist immer tangential zur Bahnkurve.

18 18 KAPITEL 1. MECHANIK ~v = j~vj ~e tan ~e tan : Einheitsvektor in Richtung der Tangente. Da ~v = ~v(t) gilt, liegt eine beschleunigte Bewegung vor. Radial- und Tangentialkomponente der Beschleunigung: ~a(t) = djvj dt ~e tan {z } tangential (~a tan=0 ) gleichfoermig + jvj d~e tan dt {z } radial ~a r e tan ϕ r s Falls ' sehr klein ist, ist ~e tan auf den Mittelpunkt gerichtet. j~e tan j = s ) d~etan s = lim r dt t!0 tr j~e tan j = jvj r {z } =0 Die Kreisbewegung hat eine konstante Be- ) Radialbeschleunigung ja r j = v2 r schleunigung ja r j in Richtung des Kreismittelpunktes. Beschreibung der Winkelgr e ' im Bogenma : ' = s ' :[rad] r Die zeitliche nderung des Winkels ist die Winkelgeschwindigkeit:! = d' dt [!] =1 rad s =1s ;1 f r die gleichf rmige Kreisbewegung:! = 2 T Die Winkelgeschwindigkeit ist ein axialer Vektor: ~! ^= Kreisfrequenz,T = Umlaufzeit ω v... r v ;! ~! steht senkrecht auf der Ebene der Kreisbewegung. ;! Die Drehrichtung ist eine Rechtsschraube (Rechte-Hand-Regel). Es gilt: ~v = ~! ~r (1) Das Vektorprodukt zweier Vektoren ~a und ~ b ist der Vektor ~c: ~c = ~a ~ b ~c steht senkrecht zu~a und ~ b. F r seinen Betrag gilt: j~cj = j~ajj ~ bj sin <)(~a ~ b) ~a ~ b ~c bilden ein Rechtssystem. Das Vektorprodukt ist weder kommutativ noch assoziativ: (~a ~ b)=;( ~ b ~a)

19 1.3. DREHBEWEGUNG / ROTATION 19 ~c (~a ~ b)=(~c ~ b)~a ; (~c ~a) ~ b ~v = ~! ~r ~r ~v = ~r (~! ~r) =(~r ~r)~! ; (~r ~!) ~r = r 2 ~! {z } =0 =) ~! = 1 r 2 ~r ~v mit ja r j = v2 r =) ~a r = ;! 2 ~r Radialbeschleunigung Winkelbeschleunigung = dw dt Da gilt: d dt! = d dt ( d dt ') und! = d' dt. = d2 ' dt Scheinkr fte im gleichf rmig rotierenden Bezugssystem z ω z. A x y x y Scheinkr fte treten in beschleunigten Bezugssystemen auf, wobei in unserem Beispiel die Drehachse z 0 parallel zu z ist. ruhendes Bezugssystem: (x y z) mit ^e x ^e y ^e z (^e x ist Einheitsvektor in x-richtung). rotierendes Bezugssystem: (x 0 y 0 z 0 ) mit ^e 0 x ^e0y^e0 z. Der Punkt A hat den Ortsvektor: ~r(t) =x(t)^e x + y(t)^e y + z(t)^e z, und die Geschwindigkeit: ~v(t) = dx dt ^e x + dy dt ^e y + dz dt ^e z, im rotierenden System dagegen: ~r(t) =x ^e x + y ^e y + z^e z und die Geschwindigkeit: ~v(t) = d~r dt = dx dt ^e x + dy dt ^e y + dz dt ^e z Ein ruhender Beobachter gibt die Geschwindigkeit im rotierenden System so an (Rotation des Koordinatensystems wird ber cksichtigt): ~v(t) = dx dt ^e x + dy dt ^e y + dz dt ^e z +(x^e x + y^e y + z^e z )

20 20 KAPITEL 1. MECHANIK = ~v (t) +~! ~r und die Beschleunigung: ~a(t) = d~v dt = d~v d~r +(~! dt dt ) ~a = ~a + 2(~v ~! {z } Coriolisbeschleunigung + ~! (~r ~!) {z } Zentrifugalbeschleunigung 1.4 Arbeit, Leistung, Energie und Kr fte Arbeit Konstante Kraft und geradliniger Weg W := Fscos [W ]=[F ][s] =1N 1m =1Nm =: 1J 1J =1Nm =1 kg m s 2 m Wir ziehen einen Wagen von links nach rechts: F α. F = F sinα s s Wagen F = F cos α a F a = F cos F a Kraftkomponente parallel zu ~s W= Fscos = F a s Arbeit ist das Produkt aus Kraftkomponenten parallel zum zur ckgelegten Weg und dem Weg s selbst. F ~ : auf den K rper wirkende Zugkraft ~s : vom K rper zur ckgelegter Weg Vorzeichen: gleiches Vorzeichen von F jj und s : verrichtet. W > 0=) Am K rper wird Arbeit unterschiedliche Vorzeichen von F jj und s : W>0 =) Der K rper verrichtet Arbeit an seiner Umgebung, was im Gegensatz zum Arbeitsbegri im Alltag steht. Die Kraft abh ngig vom geradlinigen Weg F = F (s) ) W = Fscos gilt hier nicht, da F nicht konstant ist. Konzept: f r innitesimal kleine Wegpunkte ds ist die Kraft F konstant. W = lim s!0 P F s cos dw = F cos ds ) W = F (s) cos ds s 1 Rs 2

21 1.4. ARBEIT, LEISTUNG, ENERGIE UND KR FTE 21 Allgemeiner Fall: Dreidimensionale Bewegung Idee: Zerlegung der Kraft in x-, y- und z- Komponente dx d~s = 0 dy dz 1 0 C A F ~ = F x F y F z 1 C A F x verrichtet nur eine Arbeit l ngs d~x, nicht l ngs d~y oder d~z, weil d~y d~z? ~ F x. Analog f r ~ F y und ~ F z =) dw = F x dx + F y dy + F z dz Skalarprodukt Definition: ~a = 0 a x a y a z 1 0 C A ~ b = b x b y b z 1 C A ~a ~ b = a x b x + a y b y + a z b z {z } V ektor {z } Vektor ~a 2 R 3 ~ b 2 R 3 ~a ~ b{z 2 R} Skalarprodukt Rechenregeln: (~a) ~ b = (~a ~ b)=~a ( ~ b) f r 2 R(Skalar) Anwendung: dw = Fdscos dw = ~ Fd~s = F x dx + F y dy + F z dz ) W = R s 2 s 1 ~ Fd~s Leistung und Wirkungsgrad Arbeit: Parallelkomponente der Kraft mal Weg. Leistung: Arbeit pro Zeit. P = dw Leistung dt (Spezialfall: f r P=const. gilt auch P = W [P ]= [W ] [t] = 1J s =1W 1W =1 J s =1Nm =1 kg m s s 2 mechanische Leistung: m s m2 =1kg s 3 t ) P = dw Fd~s = ~ = F ~ d~s dt dt dt = F ~ ~v P = F ~ ~v = F x v x + F y v y + F z v z Wirkungsgrad (einer Maschine, Motor etc.): = Pout P in = Nutzleistung investierte Leistung Potentielle Energie Denition der Energie allgemein Energie ist die F higkeit eines Systems, Arbeit zu verrichten. Energie = gespeicherte Arbeit ;! [F ]=[W ]=1J =1Nm Formen von Energie:

22 22 KAPITEL 1. MECHANIK potentielle Energie (Energie der Lage / Federenergie) kinetische Energie (Energie der Bewegung) thermische Energie (W rmeenergie) chemische Energie (z.b. im Treibsto) Strahlungsenergie (z.b. Licht) potentielle Energie einer Hookschen Feder F = Dx (Feder entspannt f r x =0) Arbeit: R x 2 W = F (x) dx x 1 xr 2 cos {z } 1 fuer F ~ jj ~x xr 2 W = Dx dx = D xdx x 1 x 1 W = D ( x2 2 2 ; x2 1 2 ) Spezialfall: x 1 =0 xr 2 = F (x) dx x 1 W = 1 2 Dx2 Arbeit W zum Spannen der Feder = in der gespannten Feder gespeicherte Energie E pot = 1 2 Dx2 potentielle Energie einer Hookschen Feder anschauliche Herleitung: W = mittlere Kraft Weg W = Dx 2 x = D 2 x2 potentielle Energie im Gravitationsfeld Annahme: g = const Anheben um h F = mg = const s = h cos =1 ) W = Fscos = mg h 1=E pot E pot = mgh Beachte: Der Nullpunkt der potentiellen Energie im Gravitationsfeld ist willk rlich festgelegt. Dies hat jedoch auf die Arbeit und damit die nderung E pot der potentiellen Energie E pot keinen Einu.

23 1.4. ARBEIT, LEISTUNG, ENERGIE UND KR FTE Kinetische Energie An einem K rper verrichtete Beschleunigungsarbeit resultiert in einem Zuwachs an kinetischer Energie (Energie der Bewegung). F = ma mit ~ F jj ~a ) cos =1 {z} v=at ) t= v a s = 1 2 at2 = {z } =1 W = Fscos = 1 2 mv2 E kin = 1 2 mv2 1 2 a v2 a 2 = ma v2 2a 1 = v2 2a Der Energieerhaltungssatz (EES) In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Energien konstant (Ein Erfahrungssatz). Daher: Energie kann weder aus dem Nichts erzeugt noch vernichtet werden, sondern immer nur in andere Energieformen umgewandelt werden: Unm glichkeit eines sogenannten Perpetuum Mobile. EES der Mechanik (ein Spezialfall des allgemeinen EES) In einem abgeschlossenen System ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie konstant, sofern ausschlie lich konservative Kr fte wirken: E kin + E pot = const konservative und nicht konservative Kr fte Denitionen: Bei konservativen Kr ften ist die verrichtete Arbeit unabh ngig vom Weg, der vom Startpunkt ~r 1 zum Zielpunkt ~r 2 verwendet wird. Die Gewichtskraft ist also eine konservative Kraft. F r konservative Kr fte l t sich jedem Ort relativ zu einem Bezugspunkt eindeutig ein Potential (= pot. Energie relativ zum Bezugspunkt) zuordnen. Bei nicht-konservativen Kr ften ist die verrichtete Arbeit abh ngig vom Weg der von ~r 1 nach ~r 2 verwendet wird. Die Reibungskraft ist also eine nichtkonservative Kraft Kraft und Potential In einer Dimension: de pot = F x dx F x = depot dx

24 24 KAPITEL 1. MECHANIK In drei Dimensionen (bei konservativen Kr ften): F = 0 de pot dx de pot dy de pot dz 1 C A =: ~ re pot ~r:gradient (Vektor!) E pot = E pot (x y z) de pot :potentielle Ableitung nach x(y,zwerden dabei wie Konstanten behandelt) dx schwere Masse traege Masse =1 1.5 Schwingungen Die harmonische Schwingung Kreisbewegung von der Seite betrachtet (d.h. Projektion der Kreisbewegung auf die y-achse) y A ϕ A sinϕ x ' =!t : Winkel zum Zeitpunkt t =0. allg.: A(t) =A 0 sin(!t + ) )sog. harmonische Schwingung A {z } 0 : Amplitude periodische Bewegung!t + : Phase!: Kreisfrequenz (! = 2 ) T T: Periode Wir setzen nun =0f r folgende berlegungen: Ort: A(t) =A 0 sin(!t) Geschwindigkeit: v(t) = A(t) _ =A 0! cos(!t) Beschleunigung: a(t) = _v(t) =;A 0! 2 sin(!t) =) Kraft: F (t) =ma(t) =;m! 2 {z } const: A(t) Eine r cktreibende Kraft, deren Betrag proportional zur Auslenkung ist, f hrt zu einer harmonischen Schwingung. Eine solche Kraft hei t elastische Kraft (Beispiel Hooksche Feder).

25 1.5. SCHWINGUNGEN Die harmonische Schwingung einer Hookschen Feder Feder, masselos 0 Gleichgewichtslage bei y=0 Masse m y(t) =y 0 sin!t a =y(t) =;! 2 y 0 sin!t = ;! 2 y(t) F = ma = ;m! 2 y (1) F = ;Dy (2) (Hooksches Gesetz) Aus(1) und (2) folgt D = m! 2! = q Dm!: Kreisfrequenz D: Federkonstante m: Masse Energieerhaltung bei einer harmonischen Schwingung y = y 0 sin!t _y = y 0! cos!t E pot = D 2 y2 = D 2 y2 0 sin2!t E kin = m 2 _y2 = m 2 v2 0!2 cos 2!t = m 2 y2 0 D m cos2!t = D 2 y2 0 cos2!t E = E pot + E kin = D 2 y2 0 sin2!t + D 2 y2 0 cos2!t {z } =1 = D 2 y2 0 sin2!t +cos 2!t E = E pot + E kin = const = D 2 y2 0 = D 2 y2 0 = m 2 y 2 0!2 {z} max: Geschwindigkeit

26 26 KAPITEL 1. MECHANIK Das mathematische Pendel ϕ ϕ mg F =mg sinα. F =mg cosα P r cktreibende Kraft: F? = ;mg sin ' N herung f r kleine ' (' <5 ) sin ' ' ) F? = ;mg' Elastische Kraft f r kleine ' 0 ) harmonische Schwingung f r kleine ' Impulserhaltung und Sto gesetze Der Impulserhaltungssatz zur Erinnerung: ~p = m~v : Impuls 2. Newtonsche Axiom: F ~ = ~p _ 3. Newtonsche Axiom: F ~ 1 = ; F ~ 2 (jede Kraft hat eine Gegenkraft) ) ~ F = ~ F 1 + ~ F 2 =0 ) _ ~p =0 ) ~p = const: (2 Massenpunkte in gegenseitiger Wechselwirkung) allg.: Impulserhaltungssatz (IES) Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Ein abgeschlossenes System ist dabei ein System, auf das keine resultierende Kraft von au en wirkt. Gesamtimpuls: ~p = m 1 ~v 1 + m 2 ~v 2 ::: = P i m i~v i Der Schwerpunkt (oder Massenmittelpunkt) P ~r s = P m i ~r i = m1~r1+m2~r2+::: m i m 1+m 2+::: d dt ~r s = ~r _ s = ~v P s = P m i ~v i = m i P P ~p i m i = ~p m ~r s : Ort des Gesamtschwerpunktes ~r i : Ort des Einzelschwerpunktes ~v s :Schwerpunktgeschwindigkeit p: Gesamtimpuls m: Gesamtmasse ~p = m~v s

27 1.6. IMPULSERHALTUNG UND STO GESETZE gerader, elastischer Sto Gerader, zentraler Sto : Beide Massen bewegen sich auf einer Geraden. Elastischer Sto : Der EES der Mechanik gilt, was bedeutet, da die gesamte kinetische Energie vor und nach dem Sto gleich bleibt und keine Umwandlung von kinetischer Energie in W rme stattndet. m v 1 1 m v 1 2 vor dem Sto : ~v 1 ~v 2 nach dem Sto : ~v 0 1 ~v0 2 IES: m 1 ~v 1 + m 2 ~v 2 = m 1 ~v m 2~v 0 2 m 1 (v 1 ; v 0 1 )=m 2(v 0 2 ; v 2 ) EES: 1 2 m 1 v m 2 v2 2 = 1 2 m 1 v v02 2 m 1 (v1 2 ; v02 1 )=m 2(v2 2 ; v02 2 ) m 1 (v 1 + v 0 1 )(v 1 ; v 0 1 )=m 2(v v 2)(v 0 2 ; v 2 ) v 1 ; v 2 = ;(v 0 1 ; v 0 2 ) () in IES eingesetzt: () v 0 1 = (m1;m2)v1+2m2v2 m 1+m 2 v 0 2 = (m2;m1)v2+2m1v1 m 1+m 2 1. Spezialfall: m 1 = m 2 = m v 0 1 = v 2 Geschwindigkeit, Impuls und Energie werden ausgetauscht. v 0 2 = v 1 2. Spezialfall: m 1 m 2 m 1 y m 2 v 1 ; v 2 = v 0 2 ; v 0 1 +v # ;v " v 1 ; v 2 = v ; (;v) =2v v =2v v 0 2: ndert sich kaum bei Sto mit m gerader, zentraler inelastischer Sto Der EES der Mechanik gilt nicht, da z.b. Energie durch Reibung oder unelastischer Verformung entzogen wird. IES: wie gehabt. EES: E 1 + E 2 = E E0 2 +W

28 28 KAPITEL 1. MECHANIK 1 2 m 1 v m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 v m 2 v W Falls W nicht bekannt ist, wird eine weitere Gleichung ben tigt. Gegeben: v 1 v 2 =0 m 1 = m 2 = m IES: m 1 v 1 + m 2 v 2 =(m 1 + m 2 ) v 0 v 0 = m1v1+m2v2 m 1+m 2 = m1v1 m 1+m 2 = m 2m v 1 = v1 2 vor dem Sto : E kin = 1 2 mv2 1 nach dem Sto : E 0 kin = 2m 2 v2 2 = 1 4 mv nicht zentraler Sto mit m 1 = m 2 Kraftsto : F = d~p dt ) d~p = F (t) dt ) ~p = R F (t) dt mv α mv 1 1 mv =v 1 a sinα v =v cos α 2 a Stoßgerade Keine Reibung zwischen den Kugeln! =) Kraft? Ber hrungs che =) Impuls bertrag ("Kraftsto ) um jj Sto gerade. =) v 0 2 jj Sto gerade. Kugel 2 erh lt wegen m 1 = m 2 den gesamten Impulsanteil jj Sto gerade. Der Impuls? Sto gerade ist nicht bertragbar und verbleibt daher bei Kugel 1. ~v 02 1?~v02 2 f r m 1 = m 2 ~v 0 1: Geschwindigkeit der Kugel 1 nach dem Sto. ~v 0 2: Geschwindigkeit der Kugel 2 nach dem Sto. 1.7 Die Physik der Drehbewegung Drehbewegung eines Massenpunktes Bis jetzt hatten wir nur die Physik der Translationsbewegung, nun kommen wir zur Physik der Kreisbewegung. Unser Ziel ist es, eine m glichst bequeme Beschreibung ganz analog zur Translation zu nden. Als einfachstes System untersuchen wir zun chst einen Massenpunkt auf einer festen Kreisbahn ohne Einwirkung der Gravitation.

29 1.7. DIE PHYSIK DER DREHBEWEGUNG 29 Kinematik Kinematik der Translation Kinematik der Rotation s : Weg ': Winkel v =_s Geschwindigkeit! = _': Winkelgeschwindigkeit a =_v =s Beschleunigung = _! =': Winkelbeschleunigung Formeln f r a = const: v = at s = a 2 t2 v p = 2as Formeln f r = const:! = _!t ' = _! 2 t2! p = 2_!' Umrechnung bei Kreisbewegung: dϕ r ds ) ds dt ds = rd' {z} v = r d' ) v = r! {z} dt! kinetische Energie kinetische Energie der Translation: {z} p=mv E kin = 1 2 mv2 = p 2 2m m: Masse p: Impuls kinetische Energie der Rotation {z} v=r! E kin = 1 2 mv2 = #: Tr gheitsmoment [#] =[m][r 2 ]=1kg m 2 Umformung: E kin = 1 2 #!2 = (#!)2 2# 1 2 mr2! 2 =: E kin = 1 2 #!2 mit # = mr 2 = L2 2# E kin = L2 2# mit L := #! L: Drehimpuls (vgl.: p = mv $ L = #!) kg m2 [L] =[#][!] =1 s Leistung Leistung bei Translation: P = dw dt = Fds dt = Fv (falls ~ Fjj~v)

30 30 KAPITEL 1. MECHANIK F : Kraft v: Geschwindigkeit Leistung bei Rotationsbewegung: {z} M P = Fv = Fr! = M! P = M! mit M = Fr wobei ~ F?~r M: Drehmoment [M ]=[F ][r] =1Nm Vorsicht: trotz gleicher Einheit ist M weder eine Arbeit noch eine Energie!!! Hebelgesetz r 1 ϕ r 2 F F 1 2 {z} M dw = F 2 ds = F 2 r d' {z} Kraft dw = Md' mit M = F 2 Aus dem EES folgt: F? r = const:, F 1 r 1 = F 2 r 2 ) F1 = r2 F 2 r 1 {z} r Hebelarm Formulierung des 2. Newtonschen Gesetzes f r die Drehbewegung Die Tangentialkraft F T ist die tangential zur Kreisbahn wirkende Kraft. F T = ma T = mr _! rf {z} T M = mr {z} 2 _! r# ) M = # _! (vgl.: F = ma) M: Drehmoment #: Tr gheitsmoment

31 1.7. DIE PHYSIK DER DREHBEWEGUNG Gegen berstellung von Translation und Rotation Translation Rotation Gr e, Formelzeichen Einheit Gr e, Formelzeichen Einheit Weg m Winkel rad =1 s ds Geschwindigkeit ~v = ds dt Beschleunigung ' d' m rad Winkelgeschwindigkeit = 1 s s s ~! = d' dt m rad Winkelbeschleunigung s 2 s 2 = 1 s 2 ~a = dv dt = d2 s dt 2 ~ = d! dt = d2 ' dt 2 Masse kg Massentr gheitsmoment kg m 2 P m # = i m iri 2 Kraft kg m s 2 = N Drehmoment M ~ = ~r F Nm ~M = #~ = dl dt F = m~a = dp dt Impuls kg m s p = m~v ~ L = #~! Kraftkonstante c = F s = Ns Drehimpuls kg m2 s N Winkelrichtgr e N m m c = M ' rad 2 = Nms Arbeit Nm = J = Ws Arbeit Nm = J = Ws dw = Fds dw = Md' Spannarbeit J Spannarbeit Nmrad 2 = J W = 1 2 cs2 W = 1 2 c ' 2 kinetische Energie J kinetische Energie J E kin trans = 1 2 mv2 E kin trans = 1 2 #!2 Leistung W = J s Leistung W = J s P = dw dt = Fv P = dw dt = M~! ~ = J Der Drehimpulserhaltungssatz Drehimpuls ~ L:Vektor mit Richtung jj zur Drehachse f r Massenpunkt. Die Richtung ergibt sich aus dem Umlaufsinn, der sich mit der Rechten-Hand-Regel bestimmen l t. ~L = ~r ~p = ~r (m~v) ~L = #~! Es gilt: Der gesamte Drehimpuls eines abgeschlossenen Systems (= Summe der Einzeldrehimpulse) ist konstant. Ein abgeschlossenes System ist dabei ein System, auf das kein resultierendes u eres Drehmoment wirkt. (Drehimpulserhaltungssatz, ~ LES)

32 32 KAPITEL 1. MECHANIK 1.8 Die Mechanik starrer K rper Tr gheitsmoment ausgedehnter K rper Tr gheitsmomente sind immer bez glich einer bestimmten Achse deniert. verschiedene Drehachsen existieren verschiedene Tr gheitsmomente. F r Bis jetzt: K rper mit einem Massenpunkt # = mr 2 #: Tr gheitsmoment m: Masse r: Abstand der Masse von der Drehachse mehrere Massenpunkte m i # = P i # i = P i mr2 i Beispiel: m r r m Achse A Achse A masseloser Stab 2 1 Zeichenebene ausgedehnte K rper kontinuierlicher Massenverteilung ) Integration # = r 2 dm = r 2 %V #: Beitrag von dm zu # % = m V :Dichte V :Volumen # = R r 2 dm = % R r 2 dv = % RRR r 2 (x y z) dx dy dz Einfache Beispiele: Ring oder Hohlzylinder um eigene Achse r = const # = R r 2 dm = r 2 R dm # = mr 2 Scheibe oder Vollzylinder Geringeres # als Hohlzylinder. Gleiche Masse und gleicher Radius gegen ber dem Hohlzylinder, da die Masse im Mittel an der Drehachse liegt. Methode: Aufsummierung der gleichen Volumenelemente mit gleichem Radius als konzentrische Ringe.

33 1.8. DIE MECHANIK STARRER K RPER 33 dm = %dv = %U ldr = % 2rldr # = R r 0 # =2l% r 2 dm = rr 0 rr 0 r 3 dr # =2lg [ r4 4 ]r 0 # =2lg ( r4 ; 4 0) r 2 % 2rldr # = r 2 2r lg {z } 2 4 = 1 2 mr2 =V %=m Zylinder dr Homogener Stab (d nn), um seinen Schwerpunkt L: Gesamtl nge des Stabes % L := m L # =2 # 2 =2R L 2 0 l2 dm # =2 R L 2 0 l2 % L dl # =2% L R L 2 # =2% L l2 dl =2% L [ l3 3 ] L 2 0 L 3 8 = 1 12 % LL 3 # = 1 12 ml2 Bei der Rotation um das Stabende: # = R L 0 l2 dm = % L R L 0 l2 dl = % L [ l3 3 ]L 0 # = % L L 3 3 = 1 3 ml2 Kugel um den Mittelpunkt (homogene Vollkugel) # = 2 5 mr Der Satz von Steiner gegeben: # SP bez glich Achse A SP die durch den Schwerpunkt SP geht. gesucht: # bez glich Achse A, die nicht durch SP geht, wobei A jj A SP.

34 34 KAPITEL 1. MECHANIK Durchstoßpkt. dm r SP a SP A A SP ~r = ~a + ~r SP R R # = R r 2 dm = R (~a + ~r SP ) 2 dmz = a 2 dm + 2~a~r SP dm + r 2 SP {z dm } # SP = a 2 Z R dm +2~a r SP dm + # SP {z } =m # = ma 2 + # SP Satz von Steiner # SP :Tr gheitsmoment bzgl. Achse durch SP #: Tr gheitsmoment durch neue Achse, die zu obiger parallel ist a: Abstand der beiden Achsen Zylinder auf schiefer Ebene Drehachse ist die momentane Auageachse () a = r) ) # = # SP + mr 2 (Satz von Steiner) = 1 2 mr2 + mr 2 (Vollzylinder) = 3 2 mr2 (# =2mr 2 f r Hohlzylinder) M = F? r = mgr sin ' M = # _! ) _! = M # ) a = r M # a = mgr2 sin ' 3 = g sin ' 2 mr2 3 2 a<gsin ' (;! Beschleunigung bei reibungslosem Gleiten) Translation und Rotation rollender K rper Beispiel: Der rollende Zylinder, Drehachse = Auageachse Abstand Drehachse - Schwerpunkt: r ) # = # SP + mr 2 (Satz von Steiner) besser: v SP =!r (Geschwindigkeit des SP), sogenannte Rollbedingung (f r Rollen ohne Schlupf) Kinetische Energie: E kin = # 2!2 = #SP 2!2 + mr2 2!2

35 1.8. DIE MECHANIK STARRER K RPER 35 E kin {z} = # SP 2!2 + m 2 v2 SP Rollbeschleunigung E kin = 1 2 # SP! mv2 SP Gesamte kinetische Energie = kinetische Energie der Rotation um den SP + kinetische Energie der Translation des SP Allgemeine Bewegung: Translation des SP + Rotation um den SP vektorielle Schreibweise bei Drehbewegungen ~!: Vektor parallel Drehachse Richtung gem Rechte-Hand-Regel j~!j = j _'j Drehimpuls: ~L = ~r ~p ) ~ L? ~r ^ ~L? ~p ^j ~ Lj = jrp sin j wobei: =<) (~r ~p) (Zwischenwinkel zu ~r und ~p) ~L = #~! Achtung: # ist nur in einfachen F llen ein Skalar. Im Allgemeinen ist # ein sogenannter Tensor. Die Folge ist, da ~ L ~! nicht automatisch parallel sind! Jedoch: F r jeden noch sokomplizierten K rper existieren 3 Achsen, die sogenannten Haupttr gheitsachsen f r die ~ L jj ~! gilt. F r symmetrische K rper entsprechen sie gerade den Symmetrieachsen, die aufeinander senkrecht stehen. Drehmoment: ~M = ~r ~ F jf? j = F sin ' r F ϕ F 0 F ~F: zieht nur am Lager der Drehachse ~M = ~ L (aus dem 2. Newtonschen Gesetz) Der Kreisel Der kr ftefreie symmetrische Kreisel Kreisel: Rotierender K rper um festgelegte Drehachse Symmetrischer Kreisel: Bei Verwendung eines K rpers mit zwei gleichen Haupt-

36 36 KAPITEL 1. MECHANIK tr gheitsmomenten z.b. ein rotationssymmetrischer Kreisel. Wirken auf einen Kreisel keine realen u eren Drehmomente, so ist ~L = const ( ~ LES) ein sog. Kr ftefreier Kreisel. Um einen kr ftefreien Kreisel auf der Erde beobachten zu k nnen,darf die Gewichtskraft den Kreisel nicht mehr beeinussen. Daher lagern wir ihn auf eine punktf rmige Auage in seinem Schwerpunkt. So bewirkt die Gewichtskraft kein Drehmoment mehr. Haupttr gheitsachsen durch den SP: Achse mit gr tem # : A 1 Achse mit kleinstem # : A 2 Achse senkrecht zu beiden: A 3 Um A 1 A 2 A 3 ist eine Rotation auch ohne ein Lager m glich. Daher nennt man sie Freie Achsen. Nutation Wenn ein Kreisel um eine seiner Haupttr gheitsachsen (freie Achsen) rotiert, dann gilt ~! k ~ L und aus ~ L = const folgt, da ~! = const. So liegt eine stabile Rotation um eine feste Drehachse (Fall 1) vor. Bei einem Kreisel, der nicht um eine seiner Haupttr gheitsachsen rotiert (z.b. Fall 1 + seitl. Schlag auf die Drehachse), gilt ~! nicht k ~ L. Da aber trotzdem ~ L = const (wegen ~ M =0)bewegen sich ~! und die Symmetrieachse (sog. Figurenachse) auf Kegelm nteln um den ortsfesten ~ L (Drehimpuls). Dies nennt mannutation. ~L = #~! momentane Drehachse ω Nutationskegel Drehimpuls- Achse L Figurenachse Drehmomente am Kreisel Pr zession Es sei ~! k Haupttr gheitsachse (also keine Nutation!) und es sei ~ M 6= 0. Experiment: Man h nge ein rotierendes Rad, durch dessen Achse ein Stab f hrt, an diesem Stab an ein Seil.

37 1.8. DIE MECHANIK STARRER K RPER 37 Seil r. M=r x FG SP L, ω F G = m g ~! k L ~ L ~ = #~! ~M = ~r F ~ G ~M = ~ _ L= d L ~ ) d L ~ = Mdt ~ dt L ~ k M ~ M ~? FG ~ Daraus erkennen wir, da der Kreisel? zur ausf hrenden Kraft wirkt. Dies nennt man die Pr zessionsbewegung. Dauer T P eines Pr zessionsumlaufs: L dl=m dt 1 Umlauf: R dl =2L R R TR P dl = Mdt= M 2L = MT T P =2 L M! P = 2 T P = M L = ~ Frsin ' #! r 0 dt = MT Gleichgewicht am starren K rper Statik: Was mu ich tun, damit ein K rper im Zustand der Ruhe verbleibt? 1. Vermeidung von Translation des SP ) P i ~ F i =0 2. Vermeidung von Rotation um den SP ) P i ~ M i =0 Im statischen Gleichgewicht ist sowohl die Summe aller an einem K rper angreifenden Kr fte als auch die Summe der auf ihn wirkenden Drehmomente Null.

38 38 KAPITEL 1. MECHANIK Arten von Gleichgewicht: Stabiles Gleichgewicht Der K rper kehrt bei kleinen Auslenkungen aus der Ruhelage selbst ndig in diese zur ck. Beispiele: Pendel Indifferentes Gleichgewicht Der K rper verbleibt bei kleiner Auslenkung an einem Ort. Beispiel: K rper auf Ebene Instabiles Gleichgewicht Bei innitesimaler Auslenkung erh lt der K rper eine Position und entfernt sich um eine makroskope, endliche Auslenkung Hooksches Gesetz der Torsion, Drehschwingung Bei der Torsion eines Drahtes oder d nnen Stabes ist das r ckstellende Drehmoment proportional zum Verdrillungswinkel '. ~M = ;D ' ' Hooksches Gesetz der Torsion D ' :Torsionsfederkonstante Bei der Schwingung einer Torsionsfeder folgt aus dem Hookschen Gesetz ein elastisches Moment und eine harmonische Schwingung. '(t) =' 0 sin!t _'(t) =' 0! cos!t '(t) =;! 2 ' 0 sin!t (1) M = # '(t) =;#! 2 '(t) (2) M = ;D ' '(t) (1) ^ (2) ) #! 2 = D ' )! = q D (vgl.: bei Feder:! = ). m q D ' #

39 1.9. GRAVITATION UND KEPLERSCHE GESETZE Gravitation und Keplersche Gesetze Das Newtonsche Gravitationsgesetz Zwischen zwei Massen m 1 und m 2 wirkt eine anziehende Kraft, die zu m 1 und m 2 direkt und zum Quadrat ihres Abstandes indirekt proportional ist. F G = ; m1m2 r 2 ;11 Nm2 = kg 2 Gravitationskonstante Die Richtung von F ~ ist antiparallel zu ~r. Die Kraft F G auf die Probemasse m P im Einu der Masse M (z.b. die Erde): F G = ;M r 2 m P Da F G = mggilt g = ; M, die Gravitationsfeldst rke, die an der Erdober che r 2 g =9 81 m betr gt. s Feldst rke, Potential und potentielle Energie im Gravitationsfeld Die Gravitationskraft ist eine konservative Kraft. Eine investierte Arbeit bewirkt E pot. dw {z} = sei ~ Fkd~s Fds=+ m1m2 r 2 ds Bewegung von m 1 im Feld von m 2 k zu ~r: r m 1 Rr 2 Rr 2 1 W = Fds= m 1 m 2 r 2 ds r 1 r 1 W = ; m 1 m 2 ( 1 r 2 ; 1 r 1 )=E pot Vorzeichen: r 2 >r 1 m 2 1 r 2 < 1 r 1 gr erer Abstand = Zuwachs von E pot ( 1 r 2 ; 1 ) r 1 < 0 ;( 1 r 2 ; 1 ) r 1 > 0 Da F eine konservative Kraft ist, ist E pot unabh ngig vom Weg von ~r 1 nach ~r 2. E pot ist maximal f r r ;! 1 Setze E pot =0f r r ;! 1(neuer Bezugspunkt), dann ist: E pot = ; m1m2 r Dies nennt man die Bindungsenergie, mit der die Massen m 1 und m 2 aneinander gebunden sind. Denition des Gravitationspotentials ': das Potential im Gravitationsfeld der Masse m. ' = ; m r

40 40 KAPITEL 1. MECHANIK Bestimmung der Gravitationskonstanten Gravitationsdrehwaage nach Cavandish (1798): Torsionsfaden A m 2 m 1 B Spiegel Lichtzeiger ϕ A m 1 m 2 2 ϕ B Kleine Kugeln an einem (beinahe) masselosen Stab an einem Torsionsfaden drehbar. m 1 und m 2 bekannt. D ' aus Schwingungsdauer: 2 T = q D ' #. Umlagerung der Massen m 2 =) Kraft von m 2 auf m 1 wechselt Vorzeichen. =) Drehmoment auf den Torsionsfaden wechselt Vorzeichen. D ' = ' =M = {z} {z} 2 {z} 2 m1m2 l r 2 2 cos ' Spiegeldrehung V orzeichenwechsel 2 Kugelpaare Anwendung: Bestimmung der Masse der Erde: g = me r E ) m E = re 2 g g: z.b. aus! des mathematischen Pendels:! = p g l : aus Gravitationsdrehwaage: r E 6370 km g =9 81 m s 2 =) m E = kg Planetenbahnen und Keplersche Gesetze Von Johannes Kepler aufgrund empirischer Daten zur Planetenbewegung gefunden: 1. Keplersches Gesetz Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Keplersches Gesetz Der Radiusvektor Sonne-Planet berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl chen. 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufzeiten verschiedener Planeten verhalten sich wie die Kuben der gro en Bahnachsen. Die Erkl rung folgt aus dem Gravitationsgesetz und dem Drehimpulserhaltungssatz. So folgt das 2. Keplersche Gesetz direkt aus dem ~ LES und das 3. Keplersche Gesetz aus dem Gravitationsgesetz, wobei hier die Gravitationskraft Zentralkraft ist.

41 1.10. DEFORMATION FESTER K RPER 41 Spezialfall: Kreisbahn m P r P! 2 P = msmp r 2 P rp T 2 r 3 P T 2 = ms P = m S 4 2 = const f r alle Planeten Gebundene und ungebundene Zust nde E pot = ; m1m2 r E pot r E pt < 0 E pot ;! 0 f r r ;! 1 Gesamtenergie E: E = E kin + E pot E = m2 2 v2 ; m1m2 r E 0: m 2 kann sich von m 1 beliebig weit entfernen! ungebundener Zustand E<0: m 2 kann sich nicht beliebig weit von m 1 entfernen! gebundener Zustand E 0 Energie, um das Gravitationsfeld der Erde zu verlassen: m 2 v2 P ; m E r 2 E {z } g m 0 v 2 E 2gr E Fluchtgeschwindigkeit: v p 2gr E =11 2 km s Satellitenbahnen E<0: Ellipsen ;! gebunden (Spezialfall: Kreis) E =0: Parabel ;! ungebunden E>0: Hyperbel ;! ungebunden 1.10 Deformation fester K rper Dehnung und Zugversuche Bis jetzt haben wir alle K rper als starre K rper behandelt. In Wirklichkeit ver ndern jedoch feste K rper ihre Form unter dem Einu von Kr ften. Es gibt zwei F lle:

42 42 KAPITEL 1. MECHANIK 1. Elastische Verformung Sie verschwindet, sobald die verformende Kraft weggenommen wird. ( Bsp.: Hooksche Feder) 2. Plastische Verformung Sie bleibt auch nach Wegfall der verformenden Kraft bestehen. (Bsp.: Blechschaden am Auto nach Unfall) Spannungs-Dehnungs-Diagramm: Kraft F E F P. P. E Hooksches Gesetz. F. R Längenänderung Achtung! Der Verlauf der Kurve ist stark materialabh ngig! P: Proportionalit tsgrenze f r F<F P gilt: l F E: Elastizit tsgrenze f r F<F E Dehnung reversibel F: Festigkeitsgrenze R: Rei grenze Spannung, Dehnung und Hooksches Gesetz Wir setzen voraus, da ein Faden unter Einwirkung einer Zugkraft gedehnt wird und da die Kraft noch unterhalb der Proportionalit tsgrenze liegt ) l F. Wovon h ngt l ab? Von der Kraft (siehe oben) Von der Fadenl nge Jeder Faden der L nge l dehnt sich uml n F den ) n l (Serienschaltung)! l l l l l l l l l F Serienschalung F Parallelschaltung

43 1.10. DEFORMATION FESTER K RPER 43 Vom Querschnitt Parallelschaltung n F den: auf jeden Faden wirkt nur noch FG n ) n-facher Querschnitt: l n Vom Material des Fadens l = 1 l F E A (1) (masseloser Faden!) l: Fadenl nge A: Querschnitts che F : Zugkraft E: sog. E-Modul oder Elastizit tsmodul (h ngt vom Material ab) Definitionen: " := l l relative L ngen nderung oder Dehnung := F A Kraft pro Querschnitts che oder Zugspannung (bzw. bei Druckbelastung Druckspannung) Umformung von (1): l = 1 F ) " = 1 " E {z} l {z} A " ) = E" Hooksches Gesetz Die Spannung ist proportional zur Dehnung. Wie verh lt sich einbalken? gr. Dehnung F kl. Stauchung Dehnung Stauchung F neutrale Faser Querkontraktion Bei der Dehnung eines Fadens oder Stabes nimmt die Dichte in? Richtung zur Dehnung ab. Dies nennt manquerkontraktion. d: relative Dicken nderung d l : relative L ngen nderung l j Poisson-Zahl = j d d l l

44 44 KAPITEL 1. MECHANIK Volumen nderung (quadrat. Querschnitt des Stabes) V =(d ; d) 2 (l +d) ; d 2 l =(d 2 ; 2dd +d 2 )(l +l) ; d 2 l d 2 l + d 2 l ; 2ddl ; 2ddl ; d 2 l d 2 l ; 2dld Das Produkt zweier kleiner Gr en ist vernachl ssigbar klein. V V V V = d2 l d 2 l = l l = l l = l l ; 2dld d 2 l ; 2d d d d (1 ; 2 l ) l (1 ; 2) ="(1 ; 2) Kompressibilit t V V = ;"(1 ; 2) Druck l ngs der x-, der y- und der z-achse: V = V {z} x +V y +V z durch Druck in x;richtg: =) Isotroper Druck(von allen Seiten gleicher Druck) V V = ;3"(1 ; 2) =;3 p (1 ; 2) E V V = ;3 p E (1 ; 2) mit " = p E Im Dreidimensionalen hei t Kraft/Fl che Druck: p = F A Kompressibilit t V V = ;p ) = 3 (1 ; 2) E = 1 K hei t Kompressionsmodul K Scherung und Torsion Scherung A α Die Kraft F s wirkt tangential zur Fl che A (Scherkraft) und bewirkt eine Scherung um den Winkel. Scherspannung : := Fs A Es gilt: = G G : Torsions- oder auch Schermodul

45 1.10. DEFORMATION FESTER K RPER 45 Torsion eines d nnwandigen Rohres d ϕ rϕ l α d nnes Rohr: L nge l, Radius r, Torsionswinkel ', Wandst rke d r F r kleine Winkel gilt: tan ) = r' (< 5 ) l = G F = A = {z} A G=2r d G 2r d =2rd G r' l =2r 2 d' l G Drehmoment M: ) M = Fr =2r 3 d' G l D ' = 2r3 d G l M = D ' ' D ' :Torsionskonstante eines d nnwandigen Rohres. Torsion eines Stabes (kreisf rmiger Querschnitt) Idee: Den Stab kann man als ineinandergeschachtelte d nne Rohre der Dicke d und der Federkonstanten D '. Die Federkonstanten der einzelnen Rohre addieren sich zud '. Der Radius des Vollstabes sei R. D ' = = RR 0 =2 G l AR R D ' 2r 2 dr G l RR 0 R 4 4 r 2 dr =2 G l D ' = R 4 G R 4 2 l D ' : Torsionsfederkonstante eines Vollstabes mit kreisf rmigem Querschnitt.

46 46 KAPITEL 1. MECHANIK Elastische Energie und Energiequelle Dehnung eines Stabes (oder Drahtes) = "E F A = E l l F = EA l l F = D {z} F ederkonstante l 9 >= > D = EA l Federkonstante eines Stabes oder Drahtes. Potentielle Energie Arbeit beim Dehnen: W = D 2 (l)2 = EA 2l l2 l l = 1 2 E {z} Al V olumen V ( l l )2 {z } " = 1 EV "2 2 Energiedichte w(elastische Energie pro Volumen) w = W V = E 2 "2 f r Dehnung. Analog herzuleiten f r Torsion: w = G 2 2 Energiedichte f r Torsion 1.11 Ruhende Fl ssigkeiten und Gase (Hydrostatik und Aerostatik) Druck in ruhenden Fl ssigkeiten (ohne Gravitation) Fl ssigkeiten nehmen jede beliebige Form an. Es gibt keine Scherkr fte in ruhenden Fl ssigkeiten. Eine Fl ssigkeit bt auf W nde den Druck p aus. p = Kraft F laeche = F A [p] =1 N m 2 =1pa 1 atm = pa (1Atmosph re 1 bar) Pascalsches Prinzip: Der Druck in einem geschlossenen Gef ist ohne Gravitation an jedem Ort innerhalb der Fl ssigkeit in allen Richtungen gleich. Bemerkungen: p ist kein Vektor. Da keine Scherkr fte existieren, bewirkt p eine Kraft, die senkrecht auf der Ober che der Wand steht. Anwendung ist z.b. die Hydraulik (z.b. Autobremsen) F 1 = A1 F 2 A 2

47 1.11. RUHENDE FL SSIGKEITEN UND GASE (HYDROSTATIK UND AEROSTATIK)47 F = p A F = p A Α 1 Α 2 p = const Gravitation bei Fl ssigkeiten: der Schweredruck p=p 0 h A Druck auf die Ober che der Fl ssigkeit: p 0 (z.b. der Luftdruck von 1 atm =10 5 pa) horizontale Fl che A in der Tiefe h: auf A wirkt p 0 auf A wirkt zus tzlich die Gewichtskraft der dar berliegenden Fl ssigkeitss ule. F = p 0 A + mg = p 0 A + % A Vg {z} V =Ah F = p 0 A + % A hga p(h) =p 0 + % A : Dichte in H he h % A hg {z } Schweredruck in der Tiefe h Auftrieb Prinzip von Archimedes Ein K rper in einer Fl ssigkeit (oder einem Gas) erf hrt durch den Schweredruck eine nach oben gerichtete Kraft, den sog. Auftrieb. h 1 h > h 2 1

48 48 KAPITEL 1. MECHANIK Kraft von oben : F 1 =(p 0 + % A h 1 g) A Kraft von unten : F 2 =(p 0 + % A h 2 g) A F 2 ; F 1 = % A (h 2 ; h 1 )Ag = % A Vg= mg F A = m A g Prinzip von Archimedes ) h 2 >h 1 ) F 2 >F 1 Kraft auf K rper in Fl ssigkeit ~F = FA ~ {z} nach oben + FG ~ F = % {z} Fl {z} nach unten {z} Vg; % K m Fl F =(% Fl ; % K ) Vg F lle: Masse des Koerpers Vg 1. % K <% Fl ) F A >F G =) K rper steigt auf, schwimmt 2. % K = % Fl ) F A = F G =) K rper schwebt 3. % K >% A ) F A <F G =) K rper sinkt Die Folge davon ist, da ein schwimmender K rper so tief eintaucht, bis das Gewicht der verdr ngten Fl ssigkeit dem Gewicht des K rpers gleich ist p(h) bei Gasen: die barometrische H henformel Die Dichte % bei Gasen h ngt vom Druck ab: % % p d.h. p = %0 = p 0 const f r T = const (T : Temperatur) % 0 :Dichte an der Erdober che p 0 : Druck an der Erdober che Druck nderung dp von dh abh ngig: dp = ;%gdh= %p %0 p 0 dp = ;p %0 p 0 gdh R p(h) p 0 dp p = ; %0 p 0 g hr 0 dh ln p ; ln p 0 =ln p p 0 = ; %0 p 0 gh p = exp[ %0 gh] p 0 p 0 p = p 0 exp(; %g h) p 0 Barometrische H henformel