Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Verhältnismäßig gut in Form Seitenverhältnisse untersuchen. Wolfgang Göbels, Bergisch Gladbach VORANSICHT

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1 Reihe 3 S Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen Verhältnismäßig gut in Form Seitenverhältnisse untersuchen Wolfgng Göbels, Bergisch Gldbch Ppierformte A0 bis A8, Anschuungsmodell im Wissenschftsmuseum von Brcelon: Die Invsion der Qudrtwurzeln, Mßstb : Klsse: 9/0 (G8) Duer: Inhlt: 6 Stunden Rechnerische und geometrische Untersuchung verschiedener Formte, insbesondere DIN-Formte, unter Anwendung von Wurzel- und Potenzgesetzen; der Goldene Schnitt; Zeichnen mit Zirkel und Linel Ihr Plus: Fchübergreifende Themtik (industrielle Produktion, Kunst) CosmoCix Brcelon Ds Deutsche Institut für Normung (DIN) ht im Jhre 9 Stndrdgrößen für Ppierformte festgelegt, wie Sie sie oben im Foto und im Wissenschftsmuseum von Brcelon nsehen können. Die in Deutschlnd llgemein gebräuchlichen Ppierformte DIN A0 DIN A6 etc. weisen untereinnder gnz besondere lgebrische und geometrische Eigenschften uf. Nutzen Sie die Ppierformte ls nwendungsorientierten Einstieg in ds Rechnen mit Wurzeln und Potenzen! 78 RAAbits Mthemtik März 0

2 Reihe 3 S Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen Didktisch-methodische Hinweise Alltgsbezug: DIN- und ndere Formte begegnen uns täglich! Ppier Ihre Schüler gehen täglich dmit um. Unter den Formten DIN A und DIN A5 können sie sich etws Konkretes vorstellen (Hefte, Bücher etc.). Hier bietet es sich n bsierend uf den intuitiven Vorstellungen der Lernenden, mthemtische Bezüge herzustellen. Errbeiten Sie ds Them Wurzeln und Potenzen hndlungsorientiert. Einstieg Motivieren Sie Ihre Lerngruppe, im Internet und z. B. beim Schreibwrenhändler, in der Buchhndlung, beim Fotogrfen oder im Elektronikfchhndel umfngreiche Informtionen über die Vielflt der existierenden Formte einzuholen. Nutzen Sie ds so erworbene Vorwissen Ihrer Schüler zu einem nschulichen Einstieg in die Unterrichtsreihe. Ob Sie Kurzreferte vergeben oder die in Einzelrbeit gewonnenen Erkenntnisse im Plenum diskutieren, steht Ihnen frei. Ein breites Spektrum mthemtischer Themen wird bgedeckt! Die Mterilien umfssen eine breit gestreute Vielflt curriculrer Busteine des 9. und 0. Schuljhres, wie Wurzeln und Potenzen, Bruchrechnen, Termumformungen, Verhältnisgleichungen und geometrische Konstruktionen mit Zirkel und Linel. Die Themtik verzhnt lgebrische und geometrische Problemstellungen miteinnder. Aufbu Die Reihe beginnt mit einer exemplrischen Auswhl verschiedener Formte in der Ppierindustrie und der Elektronik (M ). Hier smmeln Ihre Schüler erste Erfhrungen mit Seitenverhältnissen und hlten diese im Heft fest. Um uch die rechnerische Betrchtung der Ppierformte bewältigen zu können, wiederholen Ihre Schüler die wichtigsten Wurzel- und Potenzgesetze mit den dzugehörigen Termumformungen (M ). Durch gerde Schnitte und Messungen n einem DIN-A-Bltt erforschen sie erste Eigenschften der DIN-Formte und bestätigen uf rechnerischem Wege ds Seitenverhältnis : (M 3). Komplexere Berechnungen und Überlegungen erfordert ds Mteril M. Ds Erstellen und Vervollständigen der Tbelle setzt ds tiefere Verständnis des fortgesetzten Hlbierens und einen geübten Umgng mit den zugehörigen Rechentechniken vorus. Der Experten-Zustz stellt eine Verllgemeinerung uf ein beliebiges DIN-Formt dr und erfordert somit höheres Abstrktionsvermögen. Schruben Sie hier Ihre Erwrtungshltung nicht llzu hoch. Die Expertenufgbe richtet sich n die Begbten in Ihrer Klsse, die us eigenem Antrieb und Erfolg versprechend diese Herusforderung nnehmen wollen. Ds Mteril M 5 ist hndlungsorientiert konzipiert und gnz uf (die Ähnlichkeit) entdeckendes Lernen ngelegt. Mteril M 6 bezieht den berühmten Goldenen Schnitt ls spezielles Formt mit in die Betrchtung ein. Wie M zeigt, gibt es j sogr Fotos, die ds sog. Goldene Rechtecksformt hben. Mit den gegebenen Hilfestellungen in Form einzelner Rechenetppen sollten Ihre Schüler die Aufgbenteile ) bis c) lösen können. Qudrtische Gleichungen kommen hier erstmlig vor. 78 RAAbits Mthemtik März 0

3 Reihe 3 S Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen Auf einen Blick Verschiedene Ppierformte Mteril Them Stunde M (Einstieg) Beispiele für Formte ein nschulicher Einstieg Formte us dem Alltg zusmmenstellen; die Seitenverhältnisse der Alltgsgegenstände durch Ausmessen bestimmen. M (WH) M 3 M M 5 Zurück zu den Wurzeln frische dein Wissen uf! Elementre Wurzel- und Potenzgesetze, die zur rechnerischen Betrchtung von Formten nötig sind, wiederholen Vererbte Ähnlichkeit Ppierformte nch der DIN-Norm Ein DIN-A-Bltt fortgesetzt hlbieren und ds Seitenverhältnis rechnerisch bestätigen sowie ds llgemeine Seitenverhältnis ermitteln Normgerecht hlbiert DIN-Formte mehrfch verkleinern Digonle, Flächeninhlte und Seitenverhältnisse von Rechtecken im DIN-Formt rechnerisch bestimmen Von ähnlichem Formt Seitenverhältnisse vergleichen Verschiedene Formte durch fortgesetzte Rechtecksteilungen untersuchen und die Teilrechtecke uf Ähnlichkeit hin untersuchen Der Goldene Schnitt Mteril Them Stunde M 6 M 7 M 8 (Fo) M 9 (SW-Fo) Ästhetische Seitenverhältnisse der Goldene Schnitt Ds Seitenverhältnis beim Goldenen Schnitt rechnerisch bestimmen, Näherungswerte ngeben; Kettenbrüche; p-q- Formel für qudrtische Gleichungen, 3. binomische Formel Mit Zirkel und Linel zum Goldenen Schnitt Geometrische Konstruktion des Goldenen Schnitts und des Goldenen Rechtecks; die Eigenschften des Goldenen Schnitts n zwei Gemälden von Leonrdo d Vinci, nämlich Mon Lis und Die Dme mit dem Hermelin, entdecken und nhnd der Kunstwerke erörtern Perfekt ufgeteilt der Goldene Schnitt in der Mlerei 6. Schön nzusehen der Goldene Schnitt bei Skulpturen Ein Beispiel us der Bildhuerei Mteril uf CD-ROM 53! Minimlpln WH Wiederholungsbltt; SW-Fo SW-Folienvorlge Bei Zeitnot lssen Sie Block (ds Them Goldener Schnitt ) weg. Den lgebrischen Teil der Reihe decken Sie in diesem Flle ber im Wesentlichen b. 78 RAAbits Mthemtik März 0

4 Reihe 3 Verluf Mteril S LEK Glossr Lösungen M Beispiele für Formte ein nschulicher Einstieg Anniks Pinnwnd ist mit gnz verschiedenen Fotos bestückt. Foto Priser Oper Formt : Bbyfoto Formt : 3 Kopierppier 500 Bltt DIN A Formt : Urgroßvter mit Urenkel 5 + Formt etw : ( Goldenes Rechteck ) Historisches Buch us dem Jhre 80 Formt 5 : 3 5,8 cm 3,3 cm Breitbildfernseher (Bildschirm) Formt etw 6 : 9 Fotos: Wolfgng Göbels Aufgbe ) Richte dein Augenmerk uf die ngegebenen Formte der Fotos. Miss nch (mit Rhmen, ußer beim Kopierppier und dem Bildschirm!). Knnst du die Seitenverhältnisse bestätigen? b) Stelle eine eigene Auswhl von Formten zusmmen, zum Beispiel Fotos, verschiedene Bücher und Hefte, Bildschirme von Smrtphone oder Computer usw. Miss die jeweiligen Seitenverhältnisse. Ordne sie schriftlich den betreffenden Gegenständen zu. Linel Nullpunkt prllele Hilfslinienlinie Nimm dein Geodreieck zu Hilfe. Winkelmrkierung 5 Winkelmrkierung 90 äußere Skl innere Skl 78 RAAbits Mthemtik März 0

5 Reihe 3 Verluf Mteril S LEK Glossr Lösungen M Zurück zu den Wurzeln frische dein Wissen uf! Dmit du it für die Lösung der Aufgben bist, wiederhole die Regeln zum Rechnen mit Wurzeln und Potenzen! Regeln Sei r, 0 Regel : Regel : Regel 3: n Regel : ( m m n = für lle m z und n n /{0; } wobei mn für n = : m m = schreibt und für m = n: n = n speziell für m = und n n /{0; } p q p q = + für lle p,q q p q p q : = für lle p,q q p q ) pq = für lle p,q q n m = gilt. Zustz: n m n m n n n Beispiele Zu Regel : = und b = b Regel Regel = = = = =, denn b = b Zu Regel : = = = = = oder = = Zu Regel 3: = = 7 = oder ( ) Aufgbe: Wende die Regeln n. Rechne wie in den Beispielen. ) 8 = d) = b) = e) ( ) 5 5 = c) : = Kontrolle: Vergleiche deine Ergebnisse mit denen deines Bnknchbrn. 78 RAAbits Mthemtik März 0

6 Reihe 3 Verluf Mteril S 5 LEK Glossr Lösungen M 5 Von ähnlichem Formt Seitenverhältnisse vergleichen Bildet Gruppen mit jeweils 3 Schülern. ) Zu jedem der ngegebenen Formte schneidet ihr us einem DIN- A-Bltt ein Rechteck (weiße Gesmtläche) und us dem jeweiligen Rechteck durch fortlufende Hlbierung weiße Teilrechtecke us. b) Untersucht durch Nchmessen die usgeschnittenen Teilrechtecke uf Ähnlichkeit. Entsprechende Seiten von ähnlichen Rechtecken sind proportionl zueinnder, d. h. sie hben dsselbe Seitenverhältnis. Ws fällt uf, wenn ihr die Seitenverhältnisse der Teilrechtecke mit den Seitenverhältnissen in der Formt-Splte vergleicht? Formuliert eure gewonnenen Erkenntnisse in Form eines kurzen Textes. Formt : Qudrt Mße des uszuschneidenden weißen Rechtecks Seitenlänge cm Ausgeschnittenes weißes Rechteck mit Anleitung zum Ausschneiden der Teilrechtecke : 3 Seitenlängen cm und 8 cm : DIN A Seitenlängen cm und 9,7 cm 78 RAAbits Mthemtik März 0

7 Reihe 3 Verluf Mteril S 7 LEK Glossr Lösungen M 6 Ästhetische Seitenverhältnisse der Goldene Schnitt Merke Die meisten Menschen empfinden gewisse Proportionen ls besonders ngenehm und nsprechend. Architekten, Mler und Fotogrfen verwenden diese Proportionen dher seit der Antike insbesondere bei Buwerken und Gemälden. In der Geometrie nennt mn ein Rechteck, bei dem sich die kürzere Seite zur längeren Seite genu so verhält wie die längere Seite zur Summe der beiden Seitenlängen Goldenes Rechteck. Dieses Seitenverhältnis wird ls Goldenes Verhältnis (rtio ure) oder ls Goldener Schnitt (sectio ure) bezeichnet. Der Goldene Schnitt wird demnch beschrieben durch die Verhältnisgleichung Aufgbe Zeige durch Termumformungen, dss gilt: ) b =. b + b b 5 =... + b b = 0... = 0,68 b + b b b) b 5+ =,68 Schreibe lle notwendigen Zwischenschritte in dein Heft. Verwende die 3. binomische Formel. Die Näherungswerte lssen vermuten, dss gilt: b = +. b b c) Zeige llgemein: Ist ϕ= und Φ=, so gilt: b ϕ= und Φ = +ϕ. Φ d) Für Experten Folgere us Aufgbenteil c), dss sich Φ folgendermßen ls sog. Kettenbruch, der nicht bbrechend ist, drstellen lässt: Φ= kürzere Seite längere Seite b Unterteilung des menschlichen Körpers nch den Proportionen des Goldenen Schnitts, exemplrisch nhnd der Sttue des Doryphoros Dr. Dr. R. Stelzner: Der Goldene Schnitt. Ds Mysterium der Schönheit; 78 RAAbits Mthemtik März 0

8 M 8 Perfekt ufgeteilt der Goldene Schnitt in der Mlerei Reihe 3 Verluf Mteril S 9 Seitenverhältnisse untersuchen 78 RAAbits Mthemtik März 0 Mon Lis (itlienisch: L Giocond); Ölgemälde des itlienischen Mlers Leonrdo d Vinci; Anfng 6. Jhrhundert; Louvre (Pris) Dme mit dem Hermelin; Ölgemälde des itlienischen Mlers Leonrdo d Vinci; Ende 5. Jhrhundert; Museum Czrtoryski (Krku) LEK Glossr Lösungen

9 Reihe 3 Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen S Lösungen und Tipps zum Einstz M Beispiele für Formte ein nschulicher Einstieg Ihre Schüler smmeln hier erste Erfhrungen mit gängigen Formten. Durch Ausmessen mchen sie sich selbstständig mit verschiedenen Seitenverhältnissen us ihrem Alltg vertrut. Mchen Sie Ihre Schüler druf ufmerksm, dss Messungenuigkeiten nicht uszuschließen sind. M Zurück zu den Wurzeln frische dein Wissen uf! Die Regeln, Beispiele und Aufgben sind uf spätere Berechnungen zugeschnitten ) = = = = b) n c) : = = = =, denn = n d) ( ) = = = = = = = = = = e) = = = = M 3 Vererbte Ähnlichkeit Ppierformte nch der DIN-Norm Diskutieren Sie die Frgestellungen in freiem Unterrichtsgespräch und lssen Sie sich möglicherweise von den Antworten Ihrer Schüler überrschen. b b = = b = b b b = ;, b > 0, d Seitenlängen In den Kommentren sollte zum Ausdruck kommen, dss bei den betrchteten DIN- Formten ds Verhältnis von längerer zu kürzerer Seite beträgt. M Normgerecht hlbiert DIN-Formte mehrfch verkleinern 0 b0 = 0 0 = 0 = 0 = ± ± 0,8 [m] Negtive Streckenlängen gibt es nicht 0 = 0,8 [m] 0 b0 = b0 = = = 0,89 [m] ( ) oder : b0 = 0 = = =,89 [m] 78 RAAbits Mthemtik März 0