Übungsaufgaben 1a Übungsaufgaben 1b. a) 168. d) 2y -

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1 Übungsufgben Übungsufgben b Zhlen keine Aufgben Übungsufgben Mthemtik Vorkurs im Studiengng Informtions- und Kommuniktionstechnik Wintersemester 00/00 Rechnen mit reellen Zhlen Aufgbe. Schreiben Sie ls Kommzhl ) 0 - b), 0-5 c) 0, Aufgbe. Berechnen Sie ) (-) (-) (-7) b) (-) (- - (-)) - c) (-) (-9b) (-) d) (7 - (-)) b - 8 c) 8(7-5b) - 5c(7-5b) Aufgbe.5 Berechnen Sie ohne Tschenrechner ) Aufgbe.6 6 : b) 5 6 Kürzen Sie soweit wie möglich ) 68 c) d) e) y y b) b für y u v 6yu 8yv v u yv 6yu b b b : c) c bc für, b, c 0 für -y und v u Aufgbe. Multiplizieren Sie us und fssen Sie zusmmen. ) ( - y) b) - ( - b ) c) ( b) ( b) ( b) d) ( y Aufgbe. y ) ( 7 y ) Klmmern Sie us und fssen Sie zusmmen: ) 8(-) 7 b) 8b 0b Aufgbe.7 Vereinfchen Sie: ),z - y 8z - 0,5,5y - (-z) b) c) 5 ( ( y ( - y)) ( - y) - ) d) y y y e) b b b b Mthe Vorkurs, Studiengng I&K, Prof. Dr. G. Juen Aufgben.DOC FH Gelsenkirchen, FB Elektrotechnik Bocholt Aufgben.DOC

2 Übungsufgben Übungsufgben b f) für 0 und g) für 0 und h) Aufgbe.8 5 6b 8 : für, b,, y 0 by y y Berechnen bzw. vereinfchen Sie ohne Tschenrechner ) ( ) b) c) 9 c für c 0 d) e) f) 7 g) ( 7 ) Aufgbe.9 5 h) für 6b b Für welche reelle Zhlen,, z eistiert die Wurzel? für, b 0 ) b) c) z d) e) f) ( y )( y ) b) ) 7 b 8 c) : 5 0y d) ( 5) ( 5) e) ( y )( y ) g) f) 9 6 i) 0 5 Aufgbe. h) ( ) Für welche Werte von,, y, z ist der jeweilige Ausdruck nicht definiert: ) d) b) e) 9 Aufgbe. z Lösen Sie ds Betrgszeichen uf: c) f) ( )( ) 9 ) - b) für < 0 b) - für < 0 c) für < 0 d) - ( - ) - 9 e) - (5 - ) für < 0 f) - (5) für >0 Aufgbe.0 Für welche reellen Zhlen, b,, y sind die nchfolgenden Ausdrücke definiert? Vereinfchen Sie die Ausdrücke. Aufgbe. Beseitigen Sie die Wurzel ) b) ( ) c) Mthe Vorkurs, Studiengng I&K, Prof. Dr. G. Juen Aufgben.DOC FH Gelsenkirchen, FB Elektrotechnik Bocholt Aufgben.DOC

3 Übungsufgben Übungsufgben b Aufgbe. Berechnen Sie ohne Tschenrechner ) 6 7 b), 5 5 c) (-0,) 5 d) d) (,8 0 ) : (, 0 - ) e) 6,8 0 0,7 0 f) 0, g) (- ) h) ((-) ) 6 i) 65 k) m) ( )( )( ) n) 5 Aufgbe.5 0 Vereinfchen Sie j) ( ) 6 l) ( ) 9 ) (- ) b) ( ) - 00 c) (-) 00 d) e) p (u pq v ) ( u v) (p q g) 5 h) ) f) 5 y y 5 7 z z y z : 5 y z 5 8 i) (y) -q (y) q- j) Aufgbe.6 Berechnen Sie ohne Tschenrechner n n Mthe Vorkurs, Studiengng I&K, Prof. Dr. G. Juen Aufgben.DOC FH Gelsenkirchen, FB Elektrotechnik Bocholt Aufgben.DOC n b y n y b n log 5 5 lg 0,00 log 7 log ( Aufgbe.7 5 ) ln (e e ) log 8 Entscheiden Sie ohne Tschenrechner, ob die gegebene Zhl positiv, negtiv oder 0 ist ) lg,8 b) lg 5,8 c) lg 0,085 d) lg 0, 05 e) lg, 75 g) lg (lg 0) Aufgbe.8 f) lg Schreiben Sie ls Summe (Differenzen) und Produkte (Quotienten) 5 ) log b) log 5 d) lg 0 Aufgbe.9 c b 0 5 ( 6 y ) e) lg Schreiben Sie mit einem Logrithmus u v 0 c) lg 8,6 0,75 ) lg u lg v b) lg (uv) lg (uv) - lg u - lg v b c

4 Übungsufgben Übungsufgben b c) ln d) lg ( -) lg (-) lg () e) (log ):(log ) f) [(lg b ):(0,5 lg b)] lg b g) ln ln Aufgbe.0 - ln Beweisen Sie dss sich der Logrithmus einer Zhl > 0 zu zwei verschiedenen Bsen und b für lle nur um eine Konstnte K unterscheidet: log = K log b für lle > 0 Berechnen Sie diese Konstnte. Wovon hängt sie b? Aufgbe. 000 l sind m. Welche Kntenlänge ht ein Würfel von ) 000l, b) l, c) 8l? Gleichungen/Ungleichungen Aufgbe. Ein junges Pärchen will ml in einen richtigen Film (FSK: b Jhre). Der Kssierer frgt beide nch Ihrem Alter. Der Junge sgt ich bin 5 und drf dher rein. Ds Mädchen sgt: ich bin doppelt so lt ls ich wr, ls mein Freund so lt wr wie ich heute bin. Drf ds Mädchen rein oder nicht? Aufgbe. Berechnen Sie mit Hilfe des Tschenrechners ) log b) log 5 55 c) log log c) log log Aufgbe. In einem einfchen Computerspiel sollen Sie eine vom Computer usgedchte Zhl zwischen und n errten. Zu jeder Zhl, die Sie per Tsttur eingeben, erhlten Sie eine der drei Antworten Getroffen, Zu Klein, Zu Groß. ) Entwickeln Sie eine Strtegie, die mit möglichst wenigen Schritten die gesuchte Zhl ermittelt. b) Wie viele Schritte sind im ungünstigsten Fll nötig für n=, n=8, n=6, n=. c) Gegeben Sie eine llgemeine Formel für die m. Zhl von Schritten in Abhängigkeit von n n. d) Wie viele Schritte sind im ungünstigsten Fll für n=0 nötig? Aufgbe. Krl hebt von seinem Konto 50 DM b und kuft nschließend eine Flsche Wein für 9 DM und zwei Kästen Bier. Dnch ht er noch 97 DM im Geldbeutel. Welchen Preis ht Krl für einen Ksten Bier bezhlt, wenn er vor seinem Bnkbesuch noch 5 im Geldbeutel htte? Aufgbe. Zwei Gläser Wein sind jeweils mit der gleichen Menge Wein gefüllt. In einem Gls befindet sich Weißwein, im nderen Rotwein. Sie nehmen nun einen Löffel voll Rotwein us dem Rotweingls und schütten es in ds Weißweingls. Dnch rühren Sie kräftig um, dmit sich der Rotwein gleichmäßig im Weißweingls verteilt. Anschließend entnehmen Sie dem Weißweingls einen Löffel voll Weingemisch und geben dieses in ds Rotweingls. Befindet sich nun mehr Rotwein im Weißweingls ls Weißwein im Rotweingls oder ist es gerde ndersherum? Wie ändert sich Ihre Antwort, wenn sie nicht kräftig umrühren. Mthe Vorkurs, Studiengng I&K, Prof. Dr. G. Juen Aufgben.DOC FH Gelsenkirchen, FB Elektrotechnik Bocholt Aufgben.DOC

5 Übungsufgben 5 Übungsufgben 5b Aufgbe. Bestimmen Sie die Lösungen für folgende qudrtische Gleichungen: ) 5 = 0 b) - 5 = 5 c) log = d) lg = e) lg () = 0,5 f) lg = lg 5 lg 6 g) lg lg () = h) lg lg = lg c) (-) = () 6 d) = 0 e) 8 = - f) -9 = 6 Aufgbe.5 Für welche reelle Zhlen u besitzt die folgende Gleichung zwei, genu eine oder keine reelle Lösung: 6 u = 0 Aufgbe.6 Lösen Sie folgende Gleichungen ) = b) = 0 c) = 0 d) = = 0 Aufgbe.7 Petr kuft für eine Prty ein: Kisten Bier zu je, eine Kiste Wein für und für den Rest möchte sie Sekt kufen, die Flsche zu 6. Sie ht nur 65 dbei. Wie viele Sektflschen knn Petr höchstens erwerben? Aufgbe.8 Lösung Sie folgende Gleichungen ) lg = b) lg = 0,5 Aufgbe.9 Lösen Sie folgende Gleichungen ) = b) 5 = 0 c) - =, d) - = e) 0, - 0 = 0-0, f) 0, = 0 Aufgbe.0 Welche erfüllen jeweils die folgenden Ungleichungen ) > 7 b) < 6 c) > d) > e) - < 7 f) ( - ) > g) -7( - 0,5) > 0,5(-),5 h) 8 5 (7 (-)) < Aufgbe. Zeigen Sie Aufgbe. b für, b 0 Ein Stt kssiert eine 0%-ige Einkommenssteuer. Um die Geburtenrte nzukurbeln, wird den Bürgern ein großzügiges Kindergeld gezhlt. Dbei können die Bürger zwischen folgenden Modellen wählen: - 8 Mthe Vorkurs, Studiengng I&K, Prof. Dr. G. Juen Aufgben.DOC FH Gelsenkirchen, FB Elektrotechnik Bocholt Aufgben.DOC

6 Übungsufgben 6 Übungsufgben 6b 00 montlich für jedes Kind (Festbetrg) Reduktion der Steuerquote um % Punkte für jedes Kind Für welche Einkommen ist der Festbetrg günstiger? Aufgbe. Wählen Sie ein geeignetes C so, dss folgende Ungleichung für lle n N gilt: n n n 7 < C n Folgen und Reihen Aufgbe. Om Schulze legt zu Geburt Ihrer Enkelin 000 in ein Sprschwein. Jedes Jhr legt sie zum Geburtstg der Enkelin 50 dzu. Wie viel bekommt die Enkelin m 8. Geburtstg usgezhlt? Aufgbe. Om Schulze legt zu Geburt Ihrer Enkelin 50 in ein Sprschwein. Zu jedem Geburtstg legt sie einen weiteren Betrg dzu, der jeweils um 0 höher liegt ls im Jhr dvor. Wie viel bekommt die Enkelin m 8. Geburtstg usgezhlt? Aufgbe. Ein Frosch springt über eine m breite Strße. Beim. Sprung springt er m. Weil Springen nstrengend ist, schfft er bei den weiteren Sprüngen nur noch / der Weite des jeweiligen Vorgängersprungs. Kommt der Frosch über die Strße? Aufgbe. Bestimmen Sie die ersten 5 Glieder sowie der Folgen ) n = n b) n = n c) n = (-) n d) n = (-) n e) n = Aufgbe.5 Mthe Vorkurs, Studiengng I&K, Prof. Dr. G. Juen Aufgben.DOC FH Gelsenkirchen, FB Elektrotechnik Bocholt Aufgben.DOC n n Bestimmen Sie die ersten 6 Glieder der Folge = ; = n = n- n- für n > und geben Sie eine eplizite Form für n n. Aufgbe.6 Bestimmen Sie jeweils die ersten 6 Glieder der Folge und geben Sie eine eplizite Form für n n. ) = ; n = n n- für n > b) = ; = ; n = n n n Aufgbe.7 Bestimmen Sie die ersten 6 Glieder der Folge = 0 ; = ; n = n- n- für n > Aufgbe.8 Definieren Sie die Folge n = n rekursiv. Aufgbe.9 Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens ) b) c) d) m

7 Übungsufgben 7 Übungsufgben 7b Aufgbe.0 Es soll die Zhlenfolge n = untersucht werden. n Ab welchem Inde n 0 sind die Folgenglieder kleiner ls 0,0? Ab welchem Inde n unterscheiden sich benchbrte Folgenglieder um weniger ls 0,0? Aufgbe. Om Mier legt für zur Geburt Ihres Enkels ein Sprbuch mit 00 bei einem Zinsstz von % n. Geben Sie eine rekursive Formel für den Betrg uf dem Sprbuch n Jhre nch Anlgezeitpunkt n. Geben Sie eine nicht rekursive Form n. Welcher Betrg befindet sich zum 8. Geburtstg des Enkels uf dem Sprbuch? Welchen Betrg hätte Om Mier nlegen müssen, wenn der Enkel zum 8. Geburtstg 000 hätte bekommen sollen. 5 Kombintorik Aufgbe 5. 0 Jungen einer Schulklsse fhren ins Schullndheim. ) Bei der Abfhrt steigen lle schön brv ncheinnder in den Bus ein. Wie viele Reihenfolgen für ds Einsteigen gibt es. b) Während der Fhrt bekommt jeder ein Überrschungspket. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die mitgenommenen 0 unterschiedlichen Pkete uf die 0 Schüler zu verteilen? c) Im Schullndheim ngekommen, gibt es bends eine Prty. Zufällig ist uch eine Klsse mit 0 Mädchen d. Wie viele Prbildungen sind möglich? d) Am zweiten Abend ist ein Kinobesuch ngesgt. Im Kino sind noch 0 Plätze frei. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Plätze zu besetzen? e) Im dritten Tg geht s ins Theter. Dort sind noch 5 Plätze frei. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Pltze zu besetzen? f) Am vierten Tg wird Theter gespielt. Dbei sind Rollen zu besetzen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Rollen zu besetzen? g) Am fünften Tg soll Pizz geholt werden. Dbei werden Leute gebrucht. Wie viele Möglichkeiten gibt es, Leute zum Pizz holen zu schicken? h) Am 6. Tg geht s zum Bden. Leider gibt es nur Bdemtten. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Bdemtten uf die 0 Jungen ufzuteilen? Aufgbe 5. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, 6 Richtige im Lotto zu hben? Aufgbe 5. Ein Piel einer VGA-Krte besteht us Frben: rot, grün, blu. Jede Frbe knn mit der Intensität von zum Gesmtpiel beitrgen. Wie viele unterschiedliche Frben knn ein VGA-Piel und dmit die VGA-Krte drstellen? Aufgbe 5. Wie viele Möglichkeiten gibt es, us 6 Postkrten 5 uszuwählen? Aufgbe 5.5 An einem Pferderennen nehmen Pferde teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es uf die ersten drei Plätze zu setzen. Aufgbe 5.6 Ein Vertriebsingenieur muss 5 (0) Kunden besuchen. Um Benzin zu spren will er die kürzeste Gesmtroute ermitteln. In Mthe Vorkurs, Studiengng I&K, Prof. Dr. G. Juen Aufgben.DOC FH Gelsenkirchen, FB Elektrotechnik Bocholt Aufgben.DOC

8 Übungsufgben 8 Übungsufgben 8b einem Rechenprogrmm benötigt die Bezinkostenberechnung für eine Route s. Wie lnge duert die Rechenzeit, um die günstigste Route (Durch Anlyse ller Routen) zu ermitteln. Aufgbe 5.7 In einer Schulklsse mit Jungen und 8 Mädchen soll die optimle Besetzung für die beiden Huptrollen Romeo und Juli ermittelt werden. Jede mögliche Kombintion soll eine 5 minütige Probevorstellung geben. Wie lnge duert die Auswhl? Aufgbe 5.8 Auf einer Prty mit 0 Gästen will beim Abschied jeder dem nderen genu einml die Hnd geben. Wie viele Hndschüttlungen gibt es? Aufgbe 5.9 Der Vorkurs Mthemtik mit 0 Teilnehmern drängt in den Hörsl mit 0 (0) Plätzen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Hörsl zu bevölkern. Wie ändert sich die Antwort, wenn die Plätze beliebig oft belegt werden könnten (Mehrfches uf dem Schoß sitzen)? Aufgbe 5.0 An einem Opernbll nehmen n Männer und n Fruen teil. ) Beim Eröffnungstnz soll nur ein Pr (Fru mit Mnn) tnzen. Wie viele möglichen Pre können für den Eröffnungstnz gebildet werden? b) Nun sollen lle uf die Tnzfläche. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Tnzfläche zu bevölkern unter der Annhme, dss klssisch (Fru mit Mnn) getnzt werden soll. c) Nun wird ngenommen, dss die n Fruen und n Männer ls Ehepre zum Opernbll gekommen sind. Wie lutet die Antwort zu b) wenn keiner mit dem mitgebrchten Prtner tnzen soll. Aufgbe 5. Auf einer Prty mit 0 Pren sollen lle Herren einml mit llen Dmen (ußer der mitgebrchten) tnzen. Wie viele Tänze gibt es? Aufgbe 5. Ein einfcher (nicht optimierter) Algorithmus zur Sortierung von n Zhlen der Größe nch läuft folgendermßen b: Suche die größte Zhl us den n Zhlen durch einfchen Vergleich. Übernehme die gefundene Zhl uf Pltz der Ergebnisliste. Suche die größte Zhl us den n- verbleibenden Zhlen und übernimm die gefundene Zhl uf Pltz in die Ergebnisliste. Suche die größte Zhl us den n- verbleibenden Zhlen und übernimm die gefundene Zhl uf Pltz in die Ergebnisliste. usw. Wie viele Vergleichsopertionen sind insgesmt durchzuführen? Wie lnge duert ein Progrmm für die Sortierung von 00 Zhlen, wenn eine Vergleichsopertion (ggf. mit Herusnhme der Zhl) ms benötigt? 6 Beweismethoden Aufgbe 6. Beweisen Sie direkt und durch vollständige Induktion...n = Aufgbe 6. n (n ) Beweisen Sie: Die Summe dreier ufeinnder folgender ntürlicher Zhlen ist stets durch teilbr. Mthe Vorkurs, Studiengng I&K, Prof. Dr. G. Juen Aufgben.DOC FH Gelsenkirchen, FB Elektrotechnik Bocholt Aufgben.DOC

9 Übungsufgben 9 Übungsufgben 9b Aufgbe 6. Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Es pssen beliebig viele Menschen in einen Bus. Aufgbe 7.5 Der Mond ist c km von der Erde entfernt und erscheint unter einem Betrchtungswinkel von c. 5 ( = 60 ). Welchen 7 Ausflug in die Geometrie Aufgbe 7. Zeichen Sie die folgenden Funktionen im Bereich -60 α 60 sin α cos α tn α = sin α cos α ( Tngens ) Für welche Winkel α ist tn α nicht definiert? Aufgbe 7. Zeichnen Sie den Spnnungszeitverluf u(t) für die Wechselspnnung us der Steckdose: u(t) = 0V cos(πf t), f=50hz Aufgbe 7. Beweisen Sie, dss für beliebige Winkel α folgende Gleichung gilt: (sin α) (cos α) = Durchmesser ht der Mond? Aufgbe 7.6 Während einer Wnderung kommen Sie n einen See. Auf der nderen Seite befindet sich ein Berg. Um ohne Verdrehen der Augen die Bergspitze betrchten zu können, müssen Sie den Kopf um 5 nheben. Sie können ber uch ds Spiegelbild im Wsser nschuen, wenn Sie den Kopf um 6 senken. Würden Sie bei 8 C Wssertempertur zum nderen Ufer schwimmen? 8 Vektoren Vorbemerkung: Aus Gründen der vereinfchten Drstellung werden Vektoren nicht mit einem Pfeil, r, sondern durch Unterstreichung,, gekennzeichnet. Aufgbe 8. Welche der folgenden Vektorpre sind orthogonl: = b = 6 = b = 5 5 Aufgbe 7. In einer Pizzeri bekommen Sie eine kleine Pizz (0cm Durchmesser) für und eine große (0cm Durchmesser) für 8. Bei welcher Pizz bekommen Sie mehr für Ihr Geld? = b = = b = 0 0 Mthe Vorkurs, Studiengng I&K, Prof. Dr. G. Juen Aufgben.DOC FH Gelsenkirchen, FB Elektrotechnik Bocholt Aufgben.DOC

10 Übungsufgben 0 Übungsufgben 0b Mthe Vorkurs, Studiengng I&K, Prof. Dr. G. Juen Aufgben.DOC FH Gelsenkirchen, FB Elektrotechnik Bocholt Aufgben.DOC Aufgbe 8. Bestimmen Sie so, dss folgende Vektoren orthogonl sind: = = c b Aufgbe 8. Stellen Sie c ls Linerkombintion von und b dr: = = = c b Aufgbe 8. Zeigen Sie, dss der Schnittpunkt zweier Seitenhlbierenden eines Dreiecks diese im Verhältnis : teilt. Aufgbe 8.5 Beweisen Sie den Stz von Thles: φ P Kreismittelpunkt Ds gezeigte Dreieck ist für beliebige Punkte P uf dem Kreisbogen rechtwinklig