Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene (P3) Gitterschwingungen. Michael Lohse, Matthias Ernst Gruppe 11. Karlsruhe,

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1 Physiklisches Prktikum für Fortgeschrittene (P3) Gitterschwingungen Michel Lohse, Mtthis Ernst Gruppe 11 Krlsruhe,

2 1 Theoretische Grundlgen 1.1 Gitterschwingungen In diesem Versuch sollen Phononen in Festkörpern mit Hilfe einer lineren Kette us Gleitern, die über Federn miteinnder gekoppelt sind und sich nhezu reibungsfrei uf einer Luftkissenbhn bewegen, simuliert und ihre Dispersionsreltion untersucht werden. Der Grundzustnd eines kristllinen Festkörpers ist eine periodische Anordnung der Atome mit bestimmten Symmetrieeigenschften. Diese Anordnung wird beschrieben durch ds zugrundeliegende Brvisgitter, ds durch die drei (in 3D) Bsisvektoren der Elementrzelle ufgespnnt wird und die räumliche Periodizität des Kristlls beschreibt, sowie die Bsis, die die Anordnung der Atome innerhlb der Elementrzelle ngibt. Aus dem Brvisgitter erhält mn durch Fouriertrnsformtion ds reziproke Gitter im Impulsrum, in dem mn nlog zur Wigner-Seitz-Zelle im Ortsrum die sogennnten Brillouin-Zonen definiert. Die erste Brillouin-Zone enthält dbei lle Punkte, deren Abstnd zum Ursprung kleiner ist ls zu llen nderen Gitterpunkten. In einem eindimensionlen Gitter mit einer Gitterkonstnte gilt für die erste Brillouin-Zone beispielsweise π k π Die Kristllstruktur und insbesondere die Abstände der Atome zueinnder im Gleichgewicht werden durch die Wechselwirkung zwischen den Atomen bestimmt. Diese ist für große Abstände ttrktiv, während sie für kleine Abstände strk repulsiv wird, wodurch sich ein Minimum für die potentielle Energie ls Funktion des Abstnds ergibt, dessen Position den Gleichgewichtsbstnd definiert. Die Wechselwirkung fällt meist strk mit dem Abstnd b, so dss in den meisten Fällen nur die Wechselwirkung mit den nächsten Nchbrn von Bedeutung ist. Durch thermische Anregungen kommt es bei endlichen Temperturen zu Auslenkungen der Atome us ihrer Gleichgewichtslge. D diese Auslenkungen in der Regel klein sind, knn ds Wechselwirkungs-Potentil in der Nähe des Minimums ls näherungsweise prbolisch betrchtet werden. Sind die vereinfchenden Annhmen der hrmonischen Näherung und Nächsten-Nchbr-Wechselwirkung gerechtfertigt, lässt sich ds Kristllgitter idelisiert ls ein System von mit Federn gekoppelten Punktmssen drstellen. 1. Wellen 1..1 Dispersionsreltion Zur mthemtischen Beschreibung der Orts- und Zeitbhängigkeit von Wellen wie beispielsweise mechnischer Wellen in Medien oder elektromgnetischer Wellen verwendet mn den Wellenvektor k und die Kreisfrequenz ω, die über die sogennnte Dispersionsreltion ω = f(k) miteinnder verknüpft sind. Die Phsengeschwindigkeit v ph = ω k

3 ist die Geschwindigkeit, mit der sich Flächen konstnter Phse im Rum usbreiten. Betrchtet mn ein Wellenpket, ds durch Überlgerung ebener Wellen entsteht, so bewegt sich dessen Schwerpunkt mit der Gruppengeschwindigkeit v gr = dω dk Die Gruppengeschwindigkeit ist im Allgemeinen verschieden von der Phsengeschwindigkeit, wodurch ein solches Wellenpket mit der Zeit zerläuft. Nur im Flle einer lineren Dispersionsreltion wie sie beispielsweise bei elektromgnetischen Wellen im Vkuum oder lngwelligen kustischen Phononen uftritt sind Phsen- und Gruppengeschwindigkeit gleich. 1.. Stehende Wellen Betrchtet mn wie im vorliegenden Versuch eine linere Kette us miteinnder gekoppelten, diskreten Mssen mit festen Enden, so führt diese Rndbedingung zur Ausbildung stehender Wellen, für die gilt: L = n λ wobei L die Gesmtlänge der Kette ist, λ = π k die Wellenlänge und n eine ntürliche Zhl. Durch die endliche Zhl von Mssen ist uch die Zhl der unterscheidbren Eigenmoden begrenzt. D die Wellen chrkterisiert werden durch die Auslenkungen der Mssen us ihren Gleichgewichtslgen, die nturgemäß nur n bestimmten Punkten definiert sind, können Wellen mit kleiner Wellenlängen λ < nicht von solchen mit großer Wellenlänge λ > unterschieden werden, wobei die Gitterkonstnte der lineren Kette ist. Diese Ttschen zusmmen mit der Einschränkung möglicher Wellenlängen durch die äußeren Rndbedingungen führt dzu, dss die Anzhl der Eigenmoden gerde gleich der Anzhl der Mssen in der lineren Kette ist. D die Wellenlängen der Eigenmoden nch unten beschränkt sind, liegen sämtliche Wellenvektoren innerhlb der ersten Brillouin-Zone, deren Rnd definiert ist durch k = π 1.3 Die linere Kette Eintomige Kette Die linere eintomige Kette besteht us mehreren gleichen Mssen m, die jeweils über Federn mit ihren Nchbrn gekoppelt sind und sich im Gleichgewicht in einem Abstnd von einnder befinden. Betrchtet mn usschließliche longitudinle Auslenkungen, hndelt es sich um ein eindimensionles Problem und die Position einer Msse lässt sich schreiben ls x j (t) = x 0,j + s j (t) wobei x 0,j = j die Ruhelge der j-ten Msse ist und s j (t) die zeitbhängige Auslenkung us dieser Ruhelge beschreibt. Durch die Kopplung über die Federn zwischen den Mssen gilt nch dem Hookeschen Gesetz für die Auslenkung folgende Bewegungsgleichung mit der Federkonstnten D: m s j = D (s j+1 + s j 1 s j ) 3

4 Kürzen mit Atoms sei m. Der Gitterbstnd sei. Die linere Kette, die dieses Atomgitter repräsentiert, heißt linere s ik j t o e eintomige verbleibt Kette. Sie besteht us Punktmssen der Msse m mit dem Ruhebstnd, verbunden durch identische, msselose Hookesche Federn mit der Federkonstnte D. ik ik rhlten somit eine Beziehung m zwischen der Kreisfrequenz und D dem Wellenvektor k en Identitäten ix ix e e cos( x) m D e e. 1 cos( x) sin x x Abbildung 1: Linere eintomige Kette (Quelle: Vorbereitungsmppe) Zur mthemtischen Behndlung werden die Mssenpunkte mit dem Index j indiziert. Als Koordintenchse Ds drus resultierende wählen System wir eine gekoppelter x-achse Differentilgleichungen prllel zur Kette, d knn sich gelöst die Mssepunkte werden mit dem nur längs Anstz x bewegen können (longitudinle Auslenkung). x j (t) ist dnn die momentne Position des Mssepunkts mit der Nummer j. Sie lässt sich zerlegen in die Gleichgewichtsposition x o,j und in die Auslenkung us dieser Gleichgewichtsposition, s j (t) = s 0 e i(kx 0,j ωt) s j (t): Durch Einsetzen dieser ebenen Wellen in die Bewegungsgleichung erhält mn die in Abbildung 4D gezeigte Dispersionsreltion für die linere x j ( t) eintomige xo, j s k Kette: j ( t). k sin m ( ) 4D ω(k) = k m sin nch und schließlich nch ufgelöst werden, so dss wir die Dispersionsreltio der lineren eintomigen Kette erhlten (11) (k) 4D m k Abbildung : Dispersionsreltion der lineren eintomigen Kette (Quelle: Vorbereitungsmppe).1: Dispersionsreltion der lineren eintomigen Kette. Wegen der endlichen Ausdehnung der Kette und endlichen Anzhl n Mssen und der dmit einhergehenden Beschränkung der Anzhl n Eigenmoden sind nur diskrete Werte von k = n π L offensichtlich periodisch im Wellenvektor 9 erlubt und nur die Moden innerhlb der ersten Brillouin-Zone k mit [ π der, π ] sind Periode physiklisch /. unterscheidbr. Zu Wellenvektore r / gehören Kreisfrequenzen, die bereits im Intervll [-/, /] enthlten sind. Di rsionsreltion (11) drückt dher ds Ergebnis us Kp. 4 us, wonch keine neue n für Wellenvektoren größer / zu finden 4sind (Glg. 10). de Kette eine endliche Länge ht, ist uch die Anzhl N der diskreten Mssen endlich ispersionskurve besteht dher im k-intervll [, /] in Wirklichkeit us N diskrete ten, der Zhl der unterscheidbren Moden. Die zugehörigen k-werte ergeben sich u

5 Betrchtet mn die Dispersionsreltion im Grenzfll kleiner Wellenvektoren k 1, erhält mn eine linere Beziehung, so dss Gruppen- und Phsengeschwindigkeit gleich sind und mit der Schllgeschwindigkeit übereinstimmen: D 6. Gitterschwingungen: Die linere v gr = v ph = zweitomige Kette m 6.1 Koordintensystem 1.3. Zweitomige Kette Hben die Elemente der lineren Kette zwei unterschiedliche Mssen m und M, so spricht mn von einer zweitomigen Kette. Der Gitterbstnd entspricht in diesem Fll dem doppelten Gleichgewichtsbstnd zwischen benchbrten Mssen, d nur jede zweite Msse gleich ist und dmit die zugehörigen Punkte identisch sind. Die linere zweitomige Kette lässt sich somit beschreiben durch ein eindimensionles Gitter mit Abstnd und eine Bsis, die us den zwei unterschiedlichen Mssen m und M besteht, die sich im Abstnd / befinden. Wir betrchten ein eindimensionles Atomgitter mit zwei Atomen pro Bsis, die unterschiedliche Msse hben. Die Msse des leichteren Atoms sei m, die des schwereren Atoms sei M. Der Gitterbstnd sei wieder. Die linere Kette, die dieses Gitter repräsentiert, heißt linere zweitomige Kette. Sie besteht us Punktmssen, die durch idele Hookesche Federn im Abstnd / verbunden sind und die bwechselnd die Mssen m und M hben. /. m M Die Auslenkungen sind wieder reltiv zu den Ruhelgen definiert / M s j+1 = D (s j+ + s j s j+1 ) Als Anstz wählts mn wieder j- sebene Wellen, j-1 sllerdings mit j sunterschiedlichen j+1 s Amplituden j+ s s j+3 0,m und s 0,M für die leichten und schweren Mssen. Durch Einsetzen erhält mn ein lineres Gleichungssystem für s 0,m und s 0,M, us dem über die Forderung der Existenz einer nichttrivilen Lösung die Dispersionsreltion folgt: x j- x j-1 x j x j+1 x j+ x j+3 x( t) ( 1 ω± = D m + 1 ) ( 1 ± D M m + 1 ) 4 ( ) k M mm sin Wie in Abbildung x 0,j- 4 zu sehen x existieren 0,j-1 nun x 0,j zu jedemxwert 0,j+1von k zwei x 0,j+ unterschiedliche x 0,j+3 Lösungen, der kustische (ω = ) und der (j-) = optische Zweig (j-1) = (ω ), die j = durch eine Frequenzlücke (j+1) = (j+) = getrennt sind. Die leichten und schweren Mssen schwingen im kustischen Ast in Phse und im (j+3) optischen Ast gegenphsig. Der kustische Ast zeigt für kleine k-werte wieder ein lineres Verhlten, us dem sich die Schllgeschwindigkeit x 0, j ergeben sich wegen der verdoppelten Gitterkonstnte zu x0, j j. Die Ruhelgen Abbildung 3: Linere zweitomige Kette (Quelle: Vorbereitungsmppe) Die gekoppelten Bewegungsgleichungen erhält mn nlog zur eintomigen Kette us dem Hookeschen Gesetz: m s j = D (s j+1 + s j 1 s j ) x 6. Die Bewegungsgleichungen 5 Die Krft uf einen Mssepunkt resultiert wieder us der Änderung der Federlänge der jeweils rechten und linken Federn. Auf den Mssepunkt j wirkt somit die Krft

6 (k) + Frequenzlücke k Abbildung 4: Dispersionsreltion der lineren zweitomigen Kette (Quelle: Vorbereitungsmppe) 6.1: Dispersionsreltion der lineren zweitomigen Kette. ispersionsreltion ist wiederum periodisch in k D mit der k-periode /. Der + -Ast hei v scher Ast, d hier, wie wir noch gr (k 0) = sehen werden, (m + M) die leichten und schweren Mss neinnder bestimmen schwingen, lässt. Die so Gesmtzhl dss bei der unterschiedlicher Moden entspricht wie bei elektrischer der eintomigenldung Kette der die Anzhl Atome m u der Mssen, d zwr die Brillouin-Zone und dmit Anzhl möglicher k-werte wegen der doppelt nen schwingenden Dipol bilden. D dieser elektromgnetische Strhlung bsorbier so großen Gitterkonstnte nur noch hlb so groß ist, es ber gleichzeitig zu jedem k eine kustische emittieren undknn, eine optische wird Mode die gibt. Schwingung optisch ktiv. Die unterschiedliche Ldu tiert us dem ionischen oder polren Chrkter der chemischen Bindung in viel llen. Aufbu und Durchführung Zur Relisierung einer lineren Ketten werden in diesem Versuch zwölf Gleiter verwendet, die sich -Ast heißt kustischer Ast, d er für k 0 die größte Gruppengeschwindigk uf einer Luftkissenbhn befinden und sich dmit nhezu reibungsfrei bewegen können. Zwischen hlb der Kette den Gleitern ufweist, befindend.h. sich identische die kustischen Federn und der Schllgeschwindigkeit Gleichgewichtsbstnd beträgtv41.4 S. cm bei einer Gesmtlänge der Kette von cm. Die Gleiter hben lle die gleiche Msse, können chen den ber beiden zur Simultion Ästen der existiert zweitomigen ein Kette Frequenzbereich, mit einem zusätzlichen der Gewicht nicht versehen überstrichen werden. wird. I Um einzelne Moden der Kette gezielt nregen zu können, ist ds eine Ende der Kette mit einem uenzspektrum der Schwingungsmoden existiert lso eine Frequenzlücke. Schrittmotor verbunden, dessen Frequenz und Anregungsmplitude mnuell eingestellt werden können. Ds ndere Ende der Kette ist unbeweglich. Die Bewegung der Gleiter wird mit einer Kmer beobchtet. Dzu sind zwei benchbrte Gleiter zwei fundmentlen Unterschiede zur eintomigen Kette sind lso: Ankopplung mit Reflektorstreifen versehen, die von mehreren LEDs erzeugte Lichtblitze reflektieren, die dnn romgnetische Wellen und eine Frequenzlücke im Frequenzbereich der Schwingungen. von der Kmer ufgezeichnet und mit Hilfe eines LbVIEW-Progrmms über den Computer usgelesen werden. Auf diese Weise lssen sich die Auslenkungen der beiden Gleiter mit einer Zeituflösung von 5 ms und einer Ortsuflösung von 0.5 mm beobchten. Mit diesem Versuchsufbu wurde zunächst ohne Zustzmssen die eintomige Kette untersucht. renzfälle für kleine und große k (Zentrum und Rnd der Brillouin-Zone) (Zonenzentrum) 6 ngwelligen Grenzfll knn uf die Dispersionsreltion des kustischen Astes (17 er die Näherung sin(x) x ngewndt werden. Entwickeln der Wurzel liefert dnn

7 Dzu wurde von Hnd eine der Mssen ngeregt, die Auslenkungen der beiden Gleiter in einem Zeitintervll von etw 100 Sekunden ufgezeichnet und über eine diskrete Fourier-Trnsformtion us den gemessenen Werten die Eigenfrequenzen bestimmt. Im Anschluss drn wurde n jeden zweiten Gleiter eine der zusätzlichen Mssen ngebrcht und dmit in nloger Weise die Eigenfrequenzen der zweitomigen Kette untersucht. Für die zweitomige Kette wurden ußerdem mit Hilfe des Schrittmotors lle zwölf Eigenmoden ngeregt, indem der Schrittmotor mit der gemessenen zugehörigen Frequenz und geeigneter Amplitude betrieben wurde. Nch dem Einschwingvorgng wurden dnn die Amplituden der beiden Gleiter mit Hilfe der Kmer gemessen. 3 Auswertung 3.1 Dispersionsreltionen Eintomige Kette Wie eben beschrieben wurden zuerst die Eigenfrequenzen der eintomigen Kette ermittelt, indem diese vierml m äußersten Gleiter (Gleiter 1, Messung 1-4) und je einml n Gleiter 4 (Messung 5) und Gleiter 7 (Messung 6) durch einen kurzen Stoß ngeregt wurde. Die jeweils us den gemessenen Auslenkungen ls Funktion der Zeit ermittelten Eigenfrequenzen sowie die zugehörigen Wellenvektoren k = n π L mit L = cm sind in Tbelle 1 ufgeführt. Mode k in 1/m ν n in 1/s σ ν in 1/s Tbelle 1: Eigenfrequenzen der lineren eintomigen Kette Trägt mn die Eigenkreisfrequenzen ω = πν über dem Wellenvektor k uf, erhält mn die in Abbildung 5 gezeigte Dispersionsreltion. Zusätzlich zu den experimentell ermittelten Werte wurde hier uch noch der nicht gemessene Punkt (0,0) hinzugefügt. Der ebenflls eingezeichnet Rnd der ersten Brillouin-Zone lässt sich mit Hilfe der gemessenen Gitterkonstnte = 41.4 cm berechnen: k mx = π = m Unter Verwendung der gemessen Gitterkonstnte und der beknnte Msse der Gleiter m = kg lässt sich die Dispersionsreltion der eintomigen Kette ( ) 4D ω(k) = k m sin n die Messwerte fitten und mn erhält D = (7.10 ± 0.08) N m 3.1. Zweitomige Kette Zur Bestimmung der Dispersionsreltion der zweitomigen Kette wurden uf jedem zweiten Gleiter die Zustzgewichte ngebrcht und nschließend wieder die Eigenfrequenzen in nloger Weise 7

8 Abbildung 5: Gemessene Dispersionsreltion der lineren eintomigen Kette bestimmt. Auch diesml wurden neben der Anregung m ersten Gleiter uch je eine Messung durchgeführt, bei der die Anregung n Gleiter 4 bzw. 7 erfolgte. D llerdings in diesen Fällen ufgrund der strken Unterdrückung einzelner Moden einige Eigenfrequenzen gr nicht ermittelt werden konnten und bei den nderen zum Teil kleinere Abweichungen uftrten, wurde druf verzichtet, diese Werte zur Mittelwertbildung hernzuziehen. In Tbelle sind die ermittelten Eigenfrequenzen und Wellenvektoren der zwölf Eigenmoden zusmmengefsst. Mode k in m/s ν n in 1/s σ ν in 1/s Tbelle : Eigenfrequenzen der lineren zweitomigen Kette Die Gitterkonstnte der zweitomigen Kette ist gerde ds Doppelte der Gitterkonstnte der eintomigen Kette, lso 8.8 cm, worus für den Rnd der ersten Brillouin-Zone folgt: 8

9 k mx = π = m Für die beiden Äste der Dispersionsreltion gilt wie oben beschrieben: ( 1 ω± = D m + 1 ) ( 1 ± D M m + 1 ) 4 M mm sin Ein Fit n die gemessenen Werte liefert: ( ) k D kust = (6.04 ± 0.10) N m M kust = (0.814 ± 0.004) kg D opt = (6.74 ± 0.07) N m M opt = (0.803 ± 0.007) kg Abbildung 6: Gemessene Dispersionsreltion der lineren zweitomigen Kette 3. Schllgeschwindigkeit Sowohl für die eintomige ls uch für die zweitomige Kette lässt sich die Schllgeschwindigkeit us der Steigung des lineren Teils der (kustischen) Dispersionsreltion bestimmen. Nimmt mn zur Bestimmung der Steigung einfch ds Werte-Pr (0,0) und (k 1,ω 1 ), so erhält mn für die eintomige Kette und für die zweitomige Kette v S,1 = ω 1 k 1 = (.983 ± 0.004) m s v S, = (.590 ± 0.004) m s 9

10 Der Fehler von v S knn dbei mittels Größtfehlerbschätzung us der Stndrdbweichung des Mittelwerts von ω 1 sowie dem Fehler von k 1, der us einem möglichen Messfehler bei der Bestimmung der Gesmtlänge der Kette (Annhme ± 1 mm) resultiert, berechnet werden ls: v = v s ω 1 σ ω + v s 1 k = σ ω + ω 1 k k 1 Alterntiv knn die Schllgeschwindigkeit uch mit Hilfe der in der Vorbereitung hergeleiteten Formeln für die Dispersionsreltionen im Grenzfll kleiner Wellenvektoren und mit den oben ermittelten Fitprmetern berechnet werden. Mn erhält dnn Werte von 3.04 m s für die eintomige und.60 m s für die zweitomige Kette. Wie ufgrund der guten Übereinstimmung der Fits mit den Messwerten nicht nders zu erwrten, liegen diese Werte sehr nhe n den us (k 1,ω 1 ) ermittelten Werten. k Mssenverhältnis Aus den gemessenen Schllgeschwindigkeiten der eintomigen und zweitomigen Kette knn mit Hilfe der nlytischen Ausdrücke für die Gruppengeschwindigkeit für k 0, die in der Vorbereitung us den berechneten Dispersionsreltion für die idelen Ketten bgeleitet wurden, ds Verhältnis der Mssen der leichten und schweren Gleiter ermittelt werden: γ = M m = v S,1 vs, 1 D 1 m D mit v S, = v gr, (k 0) = (m+m) und v S,1 = v gr,1 (k 0) = Mit den us den experimentell gemessenen Dispersionsreltionen bestimmten Schllgeschwindigkeiten ergibt sich mit γ = ± γ = 4 v S,1 vs, v S,1 + 4 v S,1 vs, 3 v Vergleicht mn dies mit dem us dem Fit für den kustischen Ast der Dispersionsreltion der zweitomigen Kette erhltenen Wert von 1, 615 ± 0.007, sieht mn, dss die Werte zwr einigermßen vergleichbr sind, die Differenz ber größer ist ls durch die ngegebenen Fehler zu erklären wäre. 3.4 Federkonstnte Für die linere eintomige Kette lässt sich die Federkonstnte leicht über die Dispersionsreltion ( ) 4D ω(k) = k m sin us einem beliebigen Wertepr (ω, k) berechnen, d sowohl die Gitterkonstnte = 41.4 cm ls uch die Msse der Gleiter m = kg beknnt ist. Führt mn dies für lle gemessenen Wertepre durch und berechnet den Mittelwert, ergibt sich 10

11 D = (6.858 ± 0.007) N m In den Fehler geht dbei usschließlich der Fehler von ω ein, d k vom Inversen der gemessenen Gitterkonstnte bhängt und dmit die Federkonstnte unbhängig von ist. Wie nicht nders zu erwrten, ist dieser Wert recht ähnlich zu der durch den Fit der Dispersionsreltion ermittelten Federkonstnten von D = (7.10 ± 0.08) N m. Ein weiterer Weg, um die Federkonstnte zu ermitteln, ist über die Schllgeschwindigkeit der Kette, für die gilt D v S,1 = m Mit dem us dem Wertepr (ω 1, k 1 ) erhltenen Wert von (.983 ± 0.004) m s ergibt sich D = (6.17 ± 0.08) N m. Dieser Wert ist deutlich kleiner ls der oben berechnete, ws vermutlich drn liegt, dss die us der Dispersionsreltion berechnete Federkonstnte für kleinere Wellenvektoren kleiner ist und mit zunehmendem k im größer wird, ws vermutlich uf Ungenuigkeiten bei der Frequenzbestimmung zurückzuführen ist. Mit dem in 3.3 berechneten Mssenverhältnis knn uch für die zweitomige Kette die Federkonstnte über die Dispersionsreltion berechnet werden: ω ± D = ( 1 m + 1 ) ( M ± 1 m + 1 M ) 4 ( ) mm sin k Dmit erhält mn D = (6.468 ± 0.015) N m für den kustischen Ast und D = (7.004 ± 0.003) N m für den optischen Ast und dmit insgesmt D = (6.736 ± 0.008) N m, ws ebenflls in etw vergleichbr ist mit den us dem Fit erhltenen Werten. Insgesmt fällt uf, dss die für die Federkonstnte erhltenen Werte für die ein- und zweitomige Kette zwr in der gleichen Größenordnung liegen, sich ber doch stärker unterscheiden ls dss dies lleine durch die berechneten Fehler erklärt werden könnte. 3.5 Amplitudenverhältnisse Zur Bestimmung der Amplitude eines leichten und schweren Gleiters in der zweitomigen Kette in den verschiedenen Eigenmoden, wurde die jeweilige Mode gezielt mit Hilfe des Schrittmotors m linken Ende der Kette ngeregt, indem die entsprechende Eigenfrequenz und eine geeignete Anregungsmplitude eingestellt wurde. Vor der eigentlichen Messungen wurde einige Minuten gewrtet, bis der Einschwingvorgng bgeschlossen wr, und nschließend mit Hilfe der Kmer die Schwingungsmplituden der beiden Gleiter ermittelt. Um ds ttsächliche Amplitudenverhältnis zu erhlten, muss noch berücksichtigt werden, dss die Amplituden für den leichten und schweren Gleiter n verschiedenen Punkten gemessen wurden. Aus dem Anstz ebener Wellen folgt für die Amplitude der Schwingung m Ort x: s 0 (x) = s 0 sin (kx) Dbei ist s 0 die Amplitude n den Schwingungsbäuchen, lso den Punkte mximler Auslenkung. Die Gleiter befinden sich in der Kette n den Positionen x = j, so dss für ds Verhältnis der Amplituden der Gleiter j-1 (Msse M) und j (Msse m) gilt: 11

12 s 0,m (x j ) s 0,M (x j 1 ) = s 0,m s 0,M sin ( nπ 13 j) (j 1)) sin ( nπ 13 Die gemessenen Werte für die Gleiter 8 und 9 sind in Tbelle 4 und 5 im Anhng ufgeführt. Die berechneten Mittelwerte und Stndrdbweichungen der Amplituden für die verschiedenen Eigenmoden, die zugehörigen Korrekturfktoren sowie ds ttsächliche Amplitudenverhältnis finden sich in Tbelle 3. Gleiter 8 (Msse M) Gleiter 9 (Msse m) Korrekturfktor Mode Mittelwert Stdbw Mittelwert Stdbw s 0,m s 0,M Stdbw Tbelle 3: Amplitudenverhältnisse der zweitomigen lineren Kette Abbildung 7: Amplitudenverhältnisse der zweitomigen lineren Kette 1

13 Trägt mn für den kustischen (Moden 1-6) und den optischen Ast (Moden 7-1) ds Amplitudenverhältnis über dem Wellenvektor uf, ergibt sich Abbildung 7. Drin ist schön zu sehen, dss im kustischen Ast für kleine Wellenvektoren ds Amplitudenverhältnis etw eins ist, die leichten und schweren Msse lso etw gleich große Auslenkungen hben. Für größere Wellenvektoren nimmt ds Verhältnis b und nähert sich schließlich m Rnd der Brillouin-Zone n null, d.h. die leichten Mssen ruhen. Im optischen Ast ist ds Amplitudenverhältnis negtiv, d die leichten und schweren Mssen gegenphsig schwingen. Für kleine Wellenvektoren ist ds Verhältnis ungefähr konstnt, fällt dnn strk b und geht für k π gegen, d.h. die schweren Mssen ruhen. 13

14 4 Anhng Mode Gleiter Mittelwert Stdbw Tbelle 4: Akustischer Ast - Gemessene Amplituden Mode Gleiter Mittelwert Stdbw Tbelle 5: Optischer Ast - Gemessene Amplituden 14