Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Noli me tangere! obwohl, warum eigentlich nicht?

Transkript

1 Reihe 4 S 1 Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen Noli me tngere! obwohl, wrum eigentlich nicht? Geist- und lehrreiche Tngentenzuberei Florin Borges, Trunstein Klsse: 11/1 Duer: Inhlt: 9 Stunden Tngenten, Schren von Funktionen, Ortslinien, ggf. Kugeln mit Berührebenen Ihr Plus: Betrchtung von Tngentilebenen einer Kugel: Dieser Ausflug in die Geometrie verdient leider us Lehrplngründen keine llzu große Vertiefung, er ist ber für Ihre Schüler dennoch lehrreich, denn sie wiederholen, üben und festigen dbei den Umgng mit mthemtischen Funktionen. Ds Ableiten einer Wurzelfunktion sowie ds Anwenden der Ketten- und Quotientenregel der Differenzition sind nur zwei Beispiele. Nutzen Sie die dynmische Geometriesoftwre GeoGebr, um Ihren Schülern den Verluf von Tngenten, Hüllkurven und Ortslinien (von Extrem und Wendepunkten) deutlich zu mchen. Der Beitrg eignet sich, um Grundbegriffe der Anlysis in einem spnnenden Kontext zu vertiefen, und ist somit eine gute Ergänzung zu den Schulbuchufgben, wenn Sie sich mit Ihren Schülern uf ds Abitur vorbereiten. Einstz der dynmischen Geometriesoftwre GeoGebr! RAAbits Mthemtik September 017

2 Reihe 4 S Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen Didktisch-methodische Hinweise Kreise sind Ihren Schülern bereits seit dem Grundschulunterricht geläufig. Die Beschreibung von Hlbkreisen ls Funktion mithilfe des Stzes von Pythgors fällt ihnen leicht und ist für sie gut nchvollziehbr. Tngenten und ihre Gleichungen sind fundmentler Bestndteil des Oberstufenunterrichts in Mthemtik, ebenso Prmeterkurven bzw. Kurvenschren. Gerdenschren beispielsweise lssen sich ls (Hlb-)Kreistngenten mithilfe der dynmischen Geometriesoftwre GeoGebr leicht drstellen. So erspren Sie sich mühevolle Zeichenrbeit. Anschulich klr wird der Begriff der Hüllkurve durch ds Zeichnen mit GeoGebr, weitere Beispiele mit Prbeln ergänzen die grundsätzlichen hndwerklichen Routinen. Auch Ortskurven werden themtisiert. Außer Ortskurven, die us Extrempunkten gebildet sind, werden (bei Einstz etw zur Abiturvorbereitung in der 1. Klsse) optionl uch Ortslinien, die durch die Verbindung von Wendepunkten entstnden sind, behndelt. Diese setzen dnn die Kenntnis der zweiten Ableitung sowie der Kurvenkrümmung vorus. Schließlich gehen wir den Schritt us den zwei Dimensionen der Ebene hin zu den drei Dimensionen des Rumes und reißen ds nloge Problem von Tngentilebenen einer Kugel n. Abluf der Unterrichtseinheit Als Einstieg eignet sich der Kurztext in Mteril M 1 zur symbolischen Bedeutung von Kreis und Qudrt. Der durch den Stz des Pythgors induzierte Zusmmenhng zwischen Sinus und Kosinus des Winkels im Beispielkreis liefert unmittelbr die Hlbkreisfunktion. Im Rhmen der Aufgben sprechen Sie kurz ds Them Krümmung n, ds meist nur vorzeichenmäßig bei der zweiten Ableitung behndelt wird, nicht ber betrgsmäßig. Die konstnte Krümmung des Kreises trotz nicht-konstnter. Ableitung der Hlbkreisfunktion einerseits und die nicht-konstnte Krümmung der Prbel trotz konstnter. Ableitung der Prbelfunktion ndererseits ht hier, ohne weiter vertieft zu werden, einen interessnten Überrschungseffekt. In Mteril M werden zunächst einzelne Tngenten n den Hlbkreis gelegt, schließlich die gnze Schr sowie die Normlen dzu. Mteril M 3 geht von eben dieser Gerdenschr us und führt qusi rückwärts nun zur Hüllkurve, dem Hlbkreis, ehe in Mteril M 4 ds zugehörige Rezept vorgestellt wird. Es folgt in Mteril M 5 eine Gerdenschr mit einer Prbel ls Hüllkurve, in Mteril M 6 werden die Ortskurven der Scheitel bei Prbelschren ergänzt. In Mteril M 7 sind Ortskurven von Wendepunkten nch ngepsstem Rezept Them, um dessen Vielseitigkeit zu demonstrieren. Ds Verfhren setzt ber die. Ableitung vorus. Einen kurzen Ausflug in den Rum bietet Mteril M 8. Hier sei usdrücklich uf die mögliche Anglyphendrstellung in GeoGebr hingewiesen, die bei vorhndenen Rot-Cyn-Brillen einen guten 3D-Eindruck vermittelt. Ein Abschlusstest in Mteril M 9 rundet die Sequenz b. Vorkenntnisse Besondere Vorkenntnisse sind für ds Verständnis der Mterilien nicht nötig. Jedoch sollten den Oberstufenschülern die Begriffe Tngente, Schr von Funktionen, Ortslinie, Berührebene einer Kugel geläufig sein. Knn mn z. B. unter käuflich erwerben (0,85 /Stück). 9 RAAbits Mthemtik September 017

3 Reihe 4 S 4 Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen Auf einen Blick Mteril Them Stunde M 1 (Einstieg) M M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 optionl mit Folie M 8 optionl M 9 (LEK) M 10 M 11 Der Kreis Einführung Einführungstext, Eigenschften eines Kreises, Drstellung des Hlbkreises ls Funktion Die Hlbkreis-Tngentenschr Tngenten, Tngenten- und Normlenschr sowie deren Visulisierung in GeoGebr q GeoGebr Eine besondere Gerdenschr Hüllkurven von Funktionsschren q GeoGebr Der Hlbkreis ls Hüllkurve der Tngentenschr ein Rezept zum Auffinden der Hüllkurve n eine Funktionsschr Eine Prbel ls Hüllkurve einer Gerdenschr zwei Beispiele zur Berechnung und Visulisierung von Hüllkurve n Gerdenschren q GeoGebr Hüll- und Ortskurven bei Prbelschren Berechnung von Hüllkurve und Ortskurve der Scheitel einer gegebenen Funktionenschr Die Funktionenschr und die Ortskurven sind uf der Frbfolie drgestellt. Ortskurve von Wendepunkten Neben der Hüllkurve und Ortskurve der Scheitel wird nch vorgegebenem Rezept die Ortslinie der Wendepunkte ermittelt. Und jetzt noch in 3D : Berührebenen n eine Kugel Die Überlegungen werden uf dreidimensionle Objekte erweitert: der Kreis wird zur Kugel und die Tngenten zu Berührebenen. q GeoGebr Berühren leicht gemcht testen Sie Ihr Wissen! Eine gegebene Funktionenschr wird uf die Existenz gemeinsmer Punkte, Ortskurven der Extrem und Wendepunkte sowie einer Hüllkurve untersucht. Tippkrten Visulisieren mit GeoGebr wichtige Informtionen zur Drstellung von Funktionenschren mit GeoGebr und der Nutzung der 3D-Grfiknsicht Die Tngentenbilder im Überblick Die Lösungen zu den Mterilien finden Sie b Seite 13 (Lösungsseite 1). 9 RAAbits Mthemtik September 017

4 Reihe 4 Verluf Mteril S 1 LEK Glossr Lösungen M 1 Der Kreis Einführung Der Kreis in seiner Vollkommenheit fszinierte die Menschen schon immer ls Symbol für Unendlichkeit und für Wiederkehr. Im Gegenstz zum Qudrt ls Zeichen für von Menschen Erschffenes (Häuser, Felder, Städte) steht der Kreis für den Himmel und ds Göttliche. Konzentrische Kreise bedeuten im Zen-Buddhismus die höchste Stufe der Erleuchtung ds soll hier ber nicht ds Ziel sein, vielmehr bescheiden wir uns mit ein wenig genüsslich hergerichteter Mthemtik. Der Kreis um den Ursprung mit Rdius r = 5 ist die Menge ller Punkte (x y), die vom Ursprung (0 0) den Abstnd r = 5 besitzen (vgl. Abbildung). Weil x- und y-achse miteinnder einen rechten Winkel einschließen, gilt der Stz des Pythgors für die Achsenbschnitte x und y sowie den Rdius r = 5, kurz: x y 5 + = bzw. y = 5 x. Weiter lässt sich diese Gleichung nicht ohne Fllunterscheidung nch y uflösen. Mit einer solchen ergibt sich: Dbei beschreibt: y 5 x y 5 x =±. = den oberen und y 5 x = den unteren Hlbkreis. Definiert sind die rechten Seiten für x-werte zwischen 5 und 5 einschließlich. Jede der beiden Gleichungen lässt sich ls Funktion interpretieren. Die Funktion: f(x) 5 x = ht ls Grphen den oberen Hlbkreis um (0 0) mit Rdius r = 5. Betrchtet wird in den folgenden Aufgben diese Funktion: Aufgben f(x) = 5 x 1. Bestimmen Sie die Definitionsmengen der Funktion f(x) und ihrer Ableitungsfunktion f (x).. Untersuchen Sie den Grphen von f uf Extrem (uch Rndextrem!). 3. Zeigen Sie, dss der Grph von f stets rechtsgekrümmt verläuft. 4. Die Krümmung des (Hlb-)Kreises ist konstnt, nicht ber f (x). Zeigen Sie dies rechnerisch. 5. Die Krümmung der Normlprbel ist nicht konstnt, wohl ber die zweite Ableitung der zugehörigen Funktion. Zeigen Sie uch dies rechnerisch. 9 RAAbits Mthemtik September 017

5 Reihe 4 Verluf Mteril S 3 LEK Glossr Lösungen M 4 Der Hlbkreis ls Hüllkurve der Tngentenschr Die Gerdenschr mit der Gleichung: 5 t (x) = y = x schmiegt sich (vgl. M 3) n den (oberen Hlb-)Kreis um den Ursprung (0 0) mit Rdius 5, wobei der Prmeter die Werte von jeweils usschließlich 5 bis 5 durchläuft: Die Gerdenschr dringt lso offenbr nicht in diesen Kreis ein, der Kreis bildet die sog. Hüllkurve der Gerdenschr. Rechnerisch lässt sich die Funktion dieser Hüllkurve ermitteln, indem mn kurzzeitig die Rollen von Vrible x und Prmeter (eigentlich beides reelle Zhlen) vertuscht. Die Punkte der Hüllkurve (z. B. bei x = 3 der Punkt (3 4)) ergeben sich ls bzgl. extreme Werte (lso Minim wie hier bzw. Mxim). Die Frge lutet lso bei jedem (festen) x-wert: Welche Schrgerde (= Wert von ) ht hier den höchsten bzw. niedrigsten y-wert? Dies gelingt nch folgendem Rezept: Mn leitet dzu die Schrgleichung nch (!) b und setzt sie null, wie uch sonst bei der Suche nch Extrem. Die ddurch gelieferte Beziehung zwischen und x löst mn nch uf und ersetzt im Schrterm durch den Ausdruck mit x. Ds Ergebnis ist eine Funktion mit Vrible x, deren Grph die Hüllkurve beschreibt. Aufgben 5 1. Bestimmen Sie die Ableitung der Gerdenschr: t (x) = y = x nch, setzen Sie diese null und lösen Sie die Gleichung nch uf.. Ersetzen Sie den Prmeter im Schrterm durch den Ausdruck der soeben bestimmten Gleichung. Ds Ergebnis ist die Gleichung der Hüllkurve. M 5 Eine Prbel ls Hüllkurve einer Gerdenschr Nch dem Beispiel einer Gerdenschr, die sich n einen Hlbkreis schmiegt, meidet uch die Gerdenschr mit der Gleichung: f (x) = x einen Bereich des Koordintensystems, sie ht lso uch eine Hüllkurve, llerdings von nderer Form. Aufgben 1. Stellen Sie die Schr für Prmeterwerte von 5 bis 5 dr (beispielsweise mit Geo- Gebr und dem Befehl Folge[x ^,, 5,5,0.].. Berechnen Sie mit dem Rezept us Mteril M 4 die Hüllkurve und ergänzen Sie deren Grph im Bild mit den Schrgerden. 3. Nch einer Prbel ls Hüllkurve einer Gerdenschr drehen wir den Spieß um : Zeigen Sie, dss die Prbelschr: f (x) = x x eine Gerde ls Hüll- 4 Kurve besitzt und bestimmen Sie deren Gleichung. 9 RAAbits Mthemtik September 017

6 Reihe 4 Verluf Mteril S 4 LEK Glossr Lösungen M 6 Hüll- und Ortskurven bei Prbelschren Die Schr von Prbeln mit der Gleichung: f (x) = x + 3x 4 ht einerseits ls Hüllkurve die Prbel: hüll(x) = x, zudem liegen lle Scheitel der Schrprbeln uf der sog. Ortskurve der Scheitel mit Gleichung: scheitel(x) = x : 9 Rezept: Die Ortskurve der Scheitel (llgemein der Extrem) erhält mn durch Ableiten der Funktion (nch x), Nullsetzen, Aulösen nch dem Prmeterwert und Ersetzen des entstndenen Terms in der Schrgleichung. Also: Die Informtion Ableitung ist null für ds Extremum wird durch den nch ufgelösten Ausdruck: f '(x) = 0 gleichsm in die Schrgleichung implntiert. Aufgben 1. Zeigen Sie für die oben gennnte Prbelschr, dss sowohl die ngegebene Hüllkurve ls uch die gennnte Ortskurve der Scheitel richtig sind.. Bestimmen Sie die Ortskurve der Scheitel (hier keine Hüllkurve, weil nicht vorhnden!) zur Schr: f (x) = x + 3x 4 und zeigen Sie, dss zudem lle Prbeln durch 4 16 den Punkt P 3 9 lufen. M 7 hüll(x) Ortskurve von Wendepunkten Folgendes Rezept für Ortslinien verschiedener besonderer Punkte einer Schr soll hier verwendet werden. scheitel(x) Auch Wendepunkte einer Schr liegen ggf. uf einer Kurve, deren Funktionsgleichung mn gnz ähnlich erhält wie bei Extrem-Ortskurven: Hierzu setzt mn die zweite Ableitung der Schrfunktion null (Bedingung für einen Wendepunkt!), löst nch dem Prmeter uf und ersetzt diesen in der Schrgleichung durch den eben erhltenen Term. Die entstehende Funktionsgleichung enthält dnn nur noch x ls Vrible und beschreibt die Ortslinie der Wendepunkte. Ds folgende Beispiel liefert lle bisher besprochenen Ortslinien: Als Ortslinien ergeben sich: 3 4 hüll(x) = x + 0, 5x für die brune Hüllkurve, 3 ext() x = 05, x 5, x für die rote Ortslinie der Extrem, 3 wep(x) = x 9x für die blue Ortslinie der Wendepunkte. f (x) = x + x 3 Aufgbe Bestätigen Sie die ngegebenen Funktionen durch Anwendung der behndelten Verfhren. 9 RAAbits Mthemtik September 017

7 Reihe 4 Verluf Mteril S 5 LEK Glossr Lösungen M 7 Ortskurve von Wendepunkten Frbfolie Dies ist die grfische Drstellung der Funktionenschr f (x) x x = RAAbits Mthemtik September 017

8 Reihe 4 Verluf Mteril S 6 LEK Glossr Lösungen M 8 Und jetzt noch in 3D : Berührebenen n eine Kugel Betrchtet mn ds Strtbild des Kreises mit seinen Tngenten ls ebenen Schnitt durch den Mittelpunkt einer Kugel, dnn sind die Tngenten die Schnittgerden mit den Berührebenen der Kugel. Aufgbe In der Geometrie des Rumes wird die Kugel mit Rdius 5 um (0 0 0) mit der Kugelgleichung: x + x + x 5= beschrieben ( räumlicher Pythgors ). Die Tngentilebenen dieser Kugel hben lle den Abstnd 5 vom Ursprung, ihre Hesse sche Normlform muss lso folgende Gestlt hben: 1 ( nx 1 1+ nx + nx 3 3) ± 5= 0 n + n + n 1 3 Beispielsweise sind ds die Ebenen: 1 x1 =± 5 oder ( 3x 1+ 4x ) ± 5 = 0. 5 Stellen Sie die Kugel sowie zwei der Beispielebenen mit GeoGebr im 3D-Fenster frbig dr! M 9 Berühren leicht gemcht testen Sie Ihr Wissen! Überprüfen Sie die Funktionenschr: 3 f (x) = x x + uf folgende Eigenschften: Gibt es gemeinsme Punkte ller Schrkurven, und, wenn j, welche? Gibt es eine Ortskurve der Extrem, und, wenn j, welche? Gibt es eine Ortskurve der Wendepunkte, und, wenn j, welche? Gibt es eine Hüllkurve, und, wenn j, welche? 9 RAAbits Mthemtik September 017

9 Reihe 4 Verluf Mteril S 7 LEK Glossr Lösungen M 10 Tippkrten Visulisieren mit GeoGebr Schneiden Sie die Tippkrten entlng der gestrichelten Linien useinnder! Tipp 1 Drstellen einer Funktionenschr Fügen Sie einen Schieberegler im Bereich 5 bis 5 mit einer Schrittweite von 0.1 hinzu. Tippen Sie die gegebene Funktionsgleichung in ds Eingbe-Feld ein. Die Funktion erscheint nun im Grfik-Fenster. Wählen Sie nch Rechtsklick uf die Funktion im Grfik-Fenster die Option Spur ein us. Ziehen Sie den Schieberegler lngsm von 5 bis 5. Im Grfik- Fenster wird nun die gesmte Schr n Funktionen ngezeigt. Tipp Drstellen einer Funktionsschr ls Folge Der Befehl Folge ht in GeoGebr die Syntx: Folge[<Ausdruck>, <Vrible>, <Strtwert>, <Endwert>, <Schrittweite>]. Geben Sie in ds Eingbe-Feld Folge[ ] ls <Ausdruck> die gegebene Funktionsgleichung der Funktionsschr, ls <Vrible>, ls <Strtwert> 5, ls <Endwert> 5 und ls <Schrittweite> beispielsweise 0.05 ein. Ntürlich können Sie für Strt-, Endwert und Schrittweite beliebige ndere Werte verwenden. Tipp 3 Die 3D-Grfiknsicht verwenden Strten Sie unter Ansicht die 3D-Grfik Die Gleichungen der dreidimensionlen Objekte geben Sie wie gewohnt in ds Eingbe-Feld ein. Verwenden Sie für die drei Koordinten die Bezeichnungen x, y und z (nicht x 1, x und x 3 ). Beispiel: Eine Kugel mit dem Rdius 8 um den Ursprung 9 RAAbits Mthemtik September 017

10 Reihe 4 Verluf Mteril S 8 LEK Glossr Lösungen M 11 Zur Festigung: Die Tngentenbilder im Überblick Die Schr von Prbeln mit der Gleichung: f (x) = x + 3x 4 ht einerseits 5 ls Hüllkurve die Prbel: hüll(x) = x, 16 zudem liegen lle Scheitel der Schrprbeln uf der sog. Ortskurve der Scheitel 5 mit Gleichung: scheitel(x) = x 9 Die Tngentilebenen n die Kugel mit Rdius 5 um (0 0 0) mit der Kugelgleichung x + x + x 5= hben lle den Abstnd 5 vom Ursprung, ihre Hesse sche Normlform muss lso folgende Gestlt hben: 1 ( nx 1 1+ nx + nx 3 3) ± 5= 0 n + n + n 1 3 Drstellung der Funktionenschr 3 f (x) = x x +. Eine Prbel ls Hüllkurve der Gerdenschr f (x) = x. Aufgbe Ordnen Sie die Schubilder den behndelten Kontexten zu. Beschreiben Sie mit eigenen Worten, ws drgestellt ist. 9 RAAbits Mthemtik September 017