Fourier-Reihe Wir gehe aus vo eier gegebee periodische Fuktio f (t). Die Fuktio hat die Fudametalperiode ( Schwigugsdauer ) ud damit die Grud-Kreisfrequez ω = π. Zeit t Periode Die Fuktio f (t) soll zerlegt werde i ihre() kostate Mittelwert ( Kreisfrequez ) Grudschwigug (Kreisfrequez ω). Oberschwigug (Kreisfrequez ω). Oberschwigug (Kreisfrequez 3ω) usw. Das heißt, ma will die Fuktio i der folgede Form darstelle: f (t) = a + a cos (ωt) + b si (ωt) + a cos (ωt) + b si (ωt) + a 3 cos (3ωt) + b 3 si (3ωt) +... We wir eimal aehme, dass sich die periodische Fuktio f (t) tatsächlich i dieser Weise zerlege lässt, stellt sich sofort die Frage ach de richtige Koeffiziete. Wie bekommt ma a, a, a,... ud b, b,... heraus? Dazu stelle wir erst eimal fest: Die Fuktioe (kostat) cos(ωt) cos(ωt) cos(3ωt) cos(4ωt)... si(ωt) si(ωt) si(3ωt) si(4ωt)... bilde ei System orthogoaler Fuktioe, d.h. für je zwei verschiedee dieser Fuktioe g (t) h (t) gilt: g (t) h (t) dt = Warum a ud icht eifach a? Das ist der Preis für die da eiheitlichere Formel für die Berechug der Koeffiziete. Es geht atürlich aus aders ud wird auch oft so gemacht: Ma schreibt a dieser Stelle a. Da tauche die Koste aber i Form eies Soderfalls bei de Formel a aderer Stelle wieder auf. Die Kostate ist ud bleibt bei de Fourierreihe ei Soderfall.
Geauer gilt für zwei Fuktioe g (t) ud h (t) dieses Systems Folgedes falls g (t) h (t) g (t) h (t) dt = falls g (t) = h (t) falls g (t) = h (t) = Ma ka das mithilfe der folgede trigoometrische Formel, die sich umittelbar aus de Additiostheoreme ergebe, achreche: cos (x) cos (y) = (cos (x + y) + cos (x y)) Zum Beispiel g (t) = h (t) = si (ωt): si (x) si (y) = (cos (x y) cos (x + y)) si (x) cos (y) = (si (x + y) + si (x y)) g (t) h (t) dt = si (ωt) dt = (cos () cos (ωt)) dt = dt cos (ωt) dt = [t]t= t= = Der Grud, dass cos (ωt) dt = ist, liegt dari, dass sich das Itegral über vollstädige Periode des Kosius erstreckt. Im folgede Beispiel hat ma deselbe Effekt sogar zweimal. Zum Beispiel g (t) = si (ωt) ud h (t) = si (mωt) mit m : g (t) h (t) dt = si (ωt) si (mωt) dt = cos (( m) ωt) dt = cos (( + m) ωt) dt Zum Beispiel g (t) = h (t) = (OK dazu braucht s keie trigoometrische Formel): g (t) h (t) dt = dt = [t] t= t= Wie ka ma damit die Fourier-Koeffiziete bereche? Nehme wir zum Beispiel b, de Koeffiziete vo si (ωt). Um b zu bereche, itegriere wir f (t) si (ωt) über eie vollstädige Periode: f (t) si (ωt) dt = a si (ωt) dt = + a cos (ωt) si (ωt) dt + b + a cos (ωt) si (ωt) dt + b si (ωt) si (ωt) dt si (ωt) si (ωt) dt + a 3 cos (3ωt) si (ωt) dt + b 3 si (3ωt) si (ωt) dt +... Vo all diese Itegrale ist ur ei eiziges icht ull: si (ωt) si (ωt) dt =. Es ergibt sich f (t) si (ωt) dt = b ud folglich b = f (t) si (ωt) dt Auf aaloge Weise erhält auch sämtliche adere Koeffiziete.
Fourier-Reihe-Etwicklug f (t) = a + (a cos (ωt) + b si (ωt)) Dabei ist ω = π die Grud-Kreisfrequez der periodische Fuktio f (t) mit Fudametalperiode. Die Fourier-Koeffiziete sid a = a = b = f (t) dt f (t) cos (ωt) dt f (t) si (ωt) dt Die Itegrale müsse sich dabei über irgedeie vollstädige Fudametalperiode erstrecke, z.b. geht auch +/... dt. / Ist f (t) eie ugerade Fuktio (f ( t) = f (t)), so gilt = a = a = a =... ud ma hat eie Fourier-Sius-Reihe: f (t) = b si (ωt) + b si (ωt) +... Ist f (t) eie gerade Fuktio (f ( t) = f (t)), so gilt = b = b =... ud ma hat eie Fourier-Kosius-Reihe: f (t) = a + a cos (ωt) + a cos (ωt) +... Beispiel Sägezahfuktio (Kippschwigug) f (t) = t für π < t < +π, periodisch fortgesetzt für t außerhalb dieses Bereichs. Die Periode ist = π, ud ω =. π π π 3π 4π 5π 6π t Es hadelt sich um eie ugerade Fuktio: alle Fourier-Kosius-Koeffiziete a i sid ull. Welche Wert die Fuktio a de Sprugstelle habe soll, habe wir uter de isch falle lasse. Die Fourier-Reihe vo f (t) liefert a Sprugstelle sowieso immer de Mittelwert der Grezwerte vo liks ud vo rechts der Sprugstelle, d.h. de Wert auf halber Höhe des Sprugs. Für usere Sägezahfuktio hieße das: = f ( π) = = f (π) = f (3π) = f (5π) =...
Wir bereche die Sius-Koeffiziete: b = / / π f (t) si (t) dt = π t si (t) dt π = [ π t cos (t) = ( π cos (π) π = cos (π) = ( ) = π cos (t) dt π }{{} = ) ( π) cos ( ( π)) ] t=+π t= π { für =, 3, 5,... für =, 4, 6,... Es ergibt sich die Fourier-Siusreihe der Sägezahfuktio: f (t) = (si (t) si (t) + si (3t) ) si (4t) +... 3 4 Die Grafike zeige die Näheruge, die ma erhält, we ma die Fourier-Reihe ach dem -te erm abbricht. Zwar wird f (t) i immer weitere Bereiche immer besser approximiert. Die maximale Abweichug wird jedoch icht kleier, kozetriert sich aber zuehmed i der Nähe der Sprugstelle (sog. Gibbssches Phäome). =8 / / / / 3 3 = 6 / / / / 3 3 =4 =3 / / / / 3 3
< t < Beispiel Rechteck-Schwigug f (t) = < t < + + < t < + periodisch fortgesetzt. Periode: = 4, Kreisfr.: ω = π = π + + +3 +4 +5 +6 t Diese Fuktio ist gerade. Die Fourier-Reihe hat keie Sius-erme. Bereche wir a i. a = / f (t) dt = f (t) dt = dt = / [t]t=+ t= = Der Mittelwert vo f (t) ist offesichtlich, ud a ist i der at der doppelte Mittelwert. a k = / f (t) cos (ωt) dt / = f (t) cos (ωt) dt = = cos (ωt) dt [ ] t=+ si(ωt) ω t= = (si (ω) si ( ω)) ω = π = Es ergibt sich die folgede Fourier-Kosiusreihe (mit ω = π ): f (t) = + π = (si (ω) + si (ω)) si ( ) π π { ± für ugerades π für gerades cos (ωt) cos (3ωt) + cos (5ωt) cos (7ωt) ±... 3π 5π 7π =8.5.5-3 - 3 = 6.5.5-3 - 3 =4 =3.5.5-3 - 3
Die Parseval sche Gleichug (f (t)) dt = a + ( ( a + b) + a + b) +... ( = a + a + b) (Itegratio über irgedeie vollstädige Periode) Beispiel Welche mometae ud welche durchschittliche Leistug setzt ei Spaugssigal u (t) = 6, V +, V si (t), V si (t) über eiem Widerstad R = 5Ω frei? Die mometae Leistug ergibt sich aus dem Produkt vo mometaer Spaug u (t) ud Stromstärke i (t) zum Zeitpukt t. Nach dem Ohmsche Gesetz gilt u (t) = R i (t) oder i (t) = u (t). Also habe wir als mometae Leistug R p (t) = u (t) i (t) = (u (t)) R Die mittlere Leistug ergibt sich, idem wir die mometae Leistug über eie Periode itegriere ud durch die Läge der Periode teile. Die mittlere Leistug ist also p = p (t) dt = R (u (t)) dt = R (u (t)) dt = ( 5Ω (,V) + (, V) + (, V) ) = Ω 77V = 7, 7AV = 7, 7W wobei wir vo dritter zu vierter Zeile die Parseval sche Gleichug beutzt habe. Beispiel Noch eimal Sägezah: f (t) = t für π < t < +π, π-periodisch fortgesetzt. Wir habe obe ausgerechet, dass f (t) = ( ) + si (t) = si (t) si (t) + si (3t) si (4t) ±... 3 4 Die Parseval sche Gleichug sagt, weil hier alle a = sid: / (f (t)) dt = b Wir bereche die like Seite: / / (f (t)) dt = π π π / t dt = [ t 3 π 3 ] t=+π t= π = ( ) π 3 π 3 π3 = 3 3 π
Die rechte Seite ergibt Ergebis: oder b = ( ) = 3 π = 4 = π 6 4 = 4 Dieses Reihebeispiel war im Kapitel Reihe am Afag des Semesters och übriggebliebe. Mit der Parseval sche Gleichug habe wir jetzt die Summe berechet. (Wie so oft war Leohard Euler der Erste, der die Reihesumme berechete.)