HM Tutorium Lucs Kunz 9. Jnur 07 nhltsverzeichnis Theorie. Mehrfche Ableitungen.............................. Stz von Tylor................................... Spezilfll n = 0............................ 3.3 dentitätsstz für Potenzreihen......................... 3.4 Grundlegende Eigenschften des ntegrls................... 3.5 ntegrierbrkeit von Kompositionen...................... 4.6 Stmmfunktionen................................ 4.7. Huptstz der Differentil- und ntegrlrechnung............. 4.8. Huptstz der Differentil- und ntegrlrechnung............. 5.9 Prtielle ntegrtion.............................. 5.0 Substitutionsregel................................ 5 Theorie über ds Tutorium hinus 6. Eigenschften von Extrem.......................... 6. Ableitungen von Potenzreihen......................... 6.3 Definition des ntegrls............................. 7.3. Riemnn-Summen........................... 8 3 Aufgben 8 3. Aufgbe 6 (i).................................. 8
Theorie. Mehrfche Ableitungen Eine Funktion lässt sich nicht nur einfch, sondern häufig uch mehrfch bleiten. st f : R eine solche in x 0 differenzierbre Funktion und ihre Ableitung f (x 0 ) ist erneut differenzierbr, dnn existiert die zweite Ableitung f (x 0 ). Gnz nlog definiert mn uch weitere Ableitungen wie f (x 0 ), f (4) (x 0 ),... sowohl n der festen Stelle x 0 lso uch (flls existent) uf dem gnzen ntervll. Für höhere Ableitungen ht mn dbei die kurze Nottion f (n) (x 0 ) eingeführt, ws die n-te Ableitung bedeutet und ds schreiben von n Strichen vermeiden soll. Entsprechend knn mn uch f () (x 0 ) für die erste und f () (x 0 ) für die zweite Ableitung schreiben, ws in der Prxis ber selten getn wird. Eine weitere häufige Nottion liegt in den Mengen C n () := {f : R f ist uf n-fch stetig differenzierbr}. (.) Eine Funktion f C n () lässt sich uf dem ntervll n ml bleiten und diese Ableitungen sind stetig uf (ws genu der Bedeutung von stetiger Differenzierbrkeit entspricht). Für n = 0 ist C 0 () = C() die Menge der stetigen Funktionen uf dem ntervll (siehe Kpitel Tutorium 8), ws lso der Nottion f (0) (x 0 ) = f(x 0 ) entspricht.. Stz von Tylor Es sei n 0 N und f C n () sowie x 0. Dnn nennt mn T n (f, x 0 )(x) := n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k (.) k! = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n (.3) n! ds n-te Tylorpolynom von f. Die Stelle x 0 nennt mn dbei den Entwicklungspunkt des Polynoms. An dieser Stelle stimmt T in ll seinen Ableitungen mit der Funktion f und deren Ableitungen überein (wie durch nchrechnen mit der Definition überprüft werden knn). st f ein Polynom von Grd n, dnn sind T und f sogr überll uf identisch. Wir hben bereits f C n () vorusgesetzt. Weiterhin existiere uf uch die (n + )-te Ableitung der Funktion f, diese muss jedoch nicht zwingend stetig sein. st nun x, dnn existiert ein ξ zwischen x und x 0, sodss f(x) = T n (f, x 0 )(x) + f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+. (.4) Die Funktion lässt sich lso drstellen ls Summe ihres Tylorpolynoms und eines sogennnten Restgliedes. n der Physik wird ds Restglied meist vernchlässigt, d die Approximtion durch T meist usreichend gut ist. Eine ndere häufige Vrinte der Nutzung des Stzes von Tylor besteht drin, den Grenzwert n zu betrchten, wodurch sich die Potenzreihe einer Funktion ergibt. Die Reihendrstellung des Sinus, Kosinus oder der Exponentilfunktion sind Tylorpolynome von Grd n = um den Entwicklungspunkt x 0 = 0. Solche unendlichen Tylorpolynome werden uch ls Tylorreihen bezeichnet.
.. Spezilfll n = 0 Flls mn ds Tylorpolynom nur bis zur nullten Ordnung berechnet, lutet der Stz von Tylor folgendermßen (es sei x > x 0 ): ξ (x 0, x) : f(x) = f(x 0 ) + f (ξ)(x x 0 ). (.5) Geht mn nun hin und benennt b := x und := x 0, so ist dies genu der Mittelwertstz..3 dentitätsstz für Potenzreihen Es sei erneut eine Funktion f : R definiert über eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0, mit dem ntervll := (x 0 R, x 0 +R) bzw. = R flls R =. Die Funktion ht lso genu die selbe Form wie die in Gleichung.. Weiterhin sei eine konvergente Folge (x m ) \ {x 0 } gegeben, die gegen den Entwicklungspunkt der Reihe konvergiert, lso x m x 0 (m ). Gilt nun f(x m ) = 0 m N, dnn gilt f(x) = 0 x und sogr n = 0 n N. st lso die Funktion f (drgestellt durch eine Potenzreihe) entlng einer konvergenten Folge x m immer 0, dnn ist sie innerhlb des gesmten Konvergenzrdius identisch mit 0. Entsprechend gilt, dss zwei Funktionen g und h uf ihrem gnzen Definitionsbereich identisch sind, wenn sie entlng einer konvergenten Folge übereinstimmen. Hierzu definiere mn einfch die Differenz der beiden ls neue Funktion f(x) := g(x) h(x), die dnn entlng der Folge x m verschwindet, und wendet druf diesen Stz n. Auf diese Art lässt sich die Eindeutigkeit einer bestimmen Funktion recht einfch beweisen, ws in der Mthemtik häufig genutzt wird. Erneute Anwendung findet dieser Stz m Ende von HM zur Herleitung des dentitätsstzes für holomorphe Funktionen..4 Grundlegende Eigenschften des ntegrls Prktischerweise ist ds ntegrl liner αf(x) + βg(x) dx = α f(x) dx + β und erfüllt die Dreiecksungleichung f(x) dx g(x) dx α, β R, f, g R() (.6) f(x) dx. (.7) Außerdem gilt ntürlich flls g f uf, dss bei ntegrtion diese Ungleichung beibehlten wird, lso g(x) dx f(x) dx. (.8) Neben diesen oft llgemein verwendbren Eigenschften benötigt mn noch Definitionen für Spezilfälle. Die zwei häufigsten derer sind die folgenden: f(x) dx = b b f(x) dx und Für den Fll, dss < c < b und f R[, b] gilt: f(x) dx = 0. (.9) b f(x) dx = c f(x) dx + b c 3 f(x) dx. (.0)
Aus f R[, b] folgt lso in diesem Fll direkt f R[, c] und f R[c, b]. Dies ist möglich für jedes beliebige c (, b), der Wert des ntegrls bleibt derselbe. st f R() und c sowie F : R definiert ls F (x) := x c f(t) dt, dnn gilt b f(x) dx = F (b) F (), b. (.) Auch hier ist der Wert des rechten ntegrls unbhängig von der exkten Whl von c..5 ntegrierbrkeit von Kompositionen Häufig ist es interessnt zu wissen, welche Eigenschften bezüglich ntegrtion eine Komposition (Produkt, Quotient, Verkettung,...) von integrierbren Funktionen ht. Zur genueren Betrchtung dieser Eigenschften seien die beiden Funktionen f, g : [, b] R integrierbr und D := f([, b]). Mit diesen Vorussetzungen folgt: ist h : D R eine Funktion und existiert ein L 0, sodss h(t) h(s) L t s t, s D, (.) dnn ist h f R[, b]. Eine Funktion h, die diese Bedingung erfüllt, bezeichnet mn ls Lipschitz-stetig. Anschulich gesprochen bedeutet dies, dss der Betrg der Steigung von h nch oben durch die Konstnte L beschränkt ist. Ds Produkt von f und g ist integrierbr, f g R[, b]. Existiert ein c > 0 mit f(x) c x [, b], so ist R[, b], denn f f und uf gnz [, b] wohl definiert (f 0). ist beschränkt.6 Stmmfunktionen Es sei R ein ntervll und f, F : R seien Funktionen. die Funktion F heißt genu dnn Stmmfunktion von f, wenn sie uf differenzierbr ist und F = f gilt. m Umkehrschluss muss dnn f R(Ĩ) sein, wobei Ĩ Ds offene ntervll ist, lso Ĩ = (, b) für den Fll = [, b]. Aus der Existenz einer Stmmfunktion folgt lso nicht zwngsläufig ntegrierbrkeit n den Rndpunkten. Sei z.b. F (x) := x, dnn ist dies eine Stmmfunktion von f(x) := uf dem ntervll [0, ). An der Stelle x = 0 ist f x llerdings divergent bzw. nicht definiert und somit nicht integrierbr, f / R([0, ))..7. Huptstz der Differentil- und ntegrlrechnung Es sei f R([, b]) und F : [, b] R definiert durch F (x) := x f(t) dt. (.3) Diese Funktion F ist uf [, b] stetig. Weiterhin ist F n jeder Stelle x 0 stetig differenzierbr, n der f stetig ist, und n jeder solchen Stelle gilt F (x 0 ) = f(x 0 ). Flls lso f C([, b]) ist, dnn ist F C ([, b]) und es ist F (x) = f(x) uf gnz [, b]. Es ist in diesem Fll jede durch ein ntegrl wie in Gleichung.3 definierte Funktion F eine Stmmfunktion von f, sofern die untere ntegrlgrenze (hier ls gewählt) in [, b] liegt. 4
.8. Huptstz der Differentil- und ntegrlrechnung Es sei f R([, b]) und f besitze uf [, b] die Stmmfunktion F, dnn gilt b f(x) dx = F (b) F () =: F (x) b =: [F (x)] b. (.4) Ds ntegrl lässt sich lso berechnen über die Differenz der Funktionswerte der Stmmfunktion. Um dies zu notieren verwendet mn üblicherweise die uf der rechten Seite der Gleichung definierten Schreibweisen..9 Prtielle ntegrtion Es sei R ein ntervll und f, g C () seien Funktionen. n diesem Fll lässt sich ein ntegrl über ein Produkt dieser beiden Funktionen durch geschicktes umstellen der Produktregel berechnen. Aus dieser folgt (f g) = f g + f g f g = f g dx + f g dx. (.5) Die rechte Seite dieser Gleichung entspricht bereits der Formel der prtiellen ntegrtion: f g dx = f g f g dx (.6) b.0 Substitutionsregel b f g dx = [f g] b f g dx. (.7) Um diese Regel in ller mthemtischer Korrektheit zu formulieren benötigt es noch eine bestimmte Nottion: { [α, β] α β α, β := (.8) [β, α] α > β. Weiterhin sei druf hingewiesen, dss eine stetig differenzierbre Funktion g C (J), deren Ableitung nie verschwindet, lso g (t) 0 t J, monoton und dmit injektiv, lso uf dem ntervll J umkehrbr ist. Es seien nun, J R, f C() und wie bereits erwähnt g C (J) mit g (t) 0 t J, wobei g(j). n diesem Fll lässt sich x eindeutig ls g(t) mit t J schreiben und umgekehrt t J ls g (x) mit einem x, sodss mn lso bei ntegrtionen die Vriblen vertuschen knn: [ ] f(g(t)) g (t) dt = f(x) dx (.9) f(x) dx = [ x=g(t) ] f(g(t)) g (t) dt. (.0) t=g (x) st = [, b] und J = α, β mit α = g () und β = g (b), dnn ergibt sich die Formel zur Substitution: b f(x) dx = β α f(g(t)) g (t) dt. (.) 5
Die Umschreibung von einer uf die ndere Seite der Gleichung folgt dbei genu den bereits erwähnten Regeln x = g(t) und t = g (x). Drus ergibt sich uch die Umschreibung der Differentile dt und dx: g(t) = x g (t) = dx dt dx = g (t) dt. (.) Diese Nottion, in der mit Differentilen multipliziert wird wie mit gewöhnlichen Zhlen, wird insbesondere in der Physik häufig verwenden, uch wenn sie streng genommen nicht mthemtisch exkt ist. m gegebenen Fll jedoch (wie uch später bei Differentilgleichungen) führt sie offenbr zum richtigen Ergebnis, sodss sie ohne weitere Probleme nwendbr ist. Theorie über ds Tutorium hinus. Eigenschften von Extrem Es sei n und f C n (). Weiterhin sei x 0 ein innerer Punkt von und f (x 0 ) =... = f (n ) (x 0 ) = 0, ber f (n) (x 0 ) 0. Dnn lässt sich folgendes sgen: st n gerde und f (n) (x 0 ) > 0, so ht f in x 0 ein Minimum, ist hingegen f (n) (x 0 ) < 0, so ht f in x 0 ein Mximum. st n ungerde, so ht f in x 0 kein lokles Extremum, sondern nur einen Sttelpunkt.. Ableitungen von Potenzreihen Es sei eine Funktion f : R definiert über eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0, wobei := (x 0 R, x 0 + R) bzw. = R flls R =. Die Funktion ist lso definiert ls f(x) = n (x x 0 ) n (.) und ht folgende Eigenschften: Sie ist unendlich oft stetig differenzierbr, lso f C (). hre erste Ableitung ist gegeben durch f (x) = ( n (x x 0 ) n ) = n n (x x 0 ) n. (.) Diese Reihe ht exkt den selben Konvergenzrdius wie die ursprüngliche Funktion. Höhere Ableitungen lssen sich berechnen ls f (k) (x) = (n (n )... (n (k ))) n (x x 0 ) n k (.3) n=k und hben lle ebenflls den selben Konvergenzrdius. Der untere ndex der Summe knn dbei beliebig zwischen 0 und k verschoben werden, d sämtliche zugehörigen Terme ufgrund des Vorfktors n (n )... ohnehin verschwinden. Die Koeffizienten n lssen sich berechnen ls Koeffizienten einer Tylorreihe: n = f (n) (x 0 ) n! 6 n N 0. (.4)
.3 Definition des ntegrls n diesem Kpitel seien, b R, < b, f : [, b] R sei eine beschränkte Funktion und m := inf(f([, b])) sowie M := sup(f([, b])). Eine Menge Z := {x 0, x,..., x n } heißt eine Zerlegung des ntervlls [, b], wenn = x 0 < x < x <... < x n < x n = b. Sei lso Z eine Zerlegung von [, b] und bsierend druf seien Teilintervlle definiert ls j := [x j, x j ] (j =,..., n). Die Länge dieser ntervlle wird im Folgenden bezeichnet ls j := x j x j. Mn knn nun die Suprem und nfim einer (wie zuvor gefordert beschränkten) Funktion f uf diesen Teilintervllen bestimmen. Diese bezeichnet mn mit m j und M j : m j := inf f( j ) (.5) M j := sup f( j ). (.6) Dmit lssen sich nun sogennnte Unter- und Obersummen definieren: n s f (Z) := m j j (.7) S f (Z) := i= n M j j. (.8) Anschulich sind diese Summen der Flächeninhlt der Rechtecke, die entstehen, wenn mn die Länge des jeweiligen Teilintervlls mit dem Wert des nfimums/des Supremums multipliziert. Direkt us den Definitionseigenschften von nfimum und Supremum und ebenso mit etws geometrischer Logik folgt, dss s f (Z) S f (Z). Weiterhin dürfte klr sein, dss bei großen Teilintervllen die Abschätzung des Funktionswerts durch inf und sup nicht sonderlich gut ist, ber mit immer kleiner werdenden ntervllen besser wird. Mit feiner werdendem Z, lso bei Unterteilung in mehr Teilintervlle, wird lso s f größer und S f kleiner und der Bereich zwischen ihnen kleiner und dmit besser bestimmt. Diese Entwicklung lässt sich im delfll in einem Grenzwert für immer feinere Zerlegungen (n ) festhlten, der wie folgt definiert ist: i= s f := sup {s f (Z) Z ist Zerlegung von } (.9) S f := inf {S f (Z) Z ist Zerlegung von }. (.0) Diese beiden Grenzwerte bezeichnet mn gelegentlich uch ls unteres und oberes ntegrl. Die Funktion f heißt nun genu dnn (Riemnn-)integrierbr, wenn die beiden Grenzwerte übereinstimmen, lso wenn s f = S f. n diesem Fll nennt mn diese Grenzwerte uch ds ntegrl der Funktion über dem ntervll, f(x) dx := S f = s f. (.) Diese Eigenschft der ntegrierbrkeit ist gegeben für jede beschränkte, jede monotone und für jede stetige Funktion, für ndere muss sie gegebenenflls nchgewiesen werden. Die Menge der uf dem ntervll integrierbren Funktionen bezeichnet mn mit R(). Die Gleichheit der beiden Grenzwerte s f uns S f lässt sich nlog zur beknnten Definition von Konvergenz uch folgendermßen usdrücken: f R[, b] ɛ > 0 Zerlegung Z von [, b] : S f (Z) s f (Z) < ɛ. (.) Die Differenz der beiden Grenzwerte wird lso für pssend gewählte Zerlegungen beliebig klein. Diese Schreibweise bezeichnet mn uch ls ds Riemnnsche ntegrbilitätskriterium; sie ist offenbr gleichbedeutend mit der zuvor verwendeten. 7
.3. Riemnn-Summen Sttt über Unter- und Obersummen ist eine Definition des ntegrls uch über sogennnte Riemnn-Summen möglich. Mn verwendet dzu Zerlegungen sowie die nfim m j und Suprem M j nlog zum bereits erläuterten Weg, summiert diese jedoch nders. Um dies sinnvoll drzustellen bedrf es zunächst zweier Definitionen: Z := mx{ j : j =,..., n} nennt mn die Feinheit von Z. Sie entspricht der Länge des größten Teilintervlls der Zerlegung. Je kleiner diese ntervlle lso sind, desto geringer ist der Wert der Feinheit (obwohl die Zerlegung j feiner wird). Wenn mn in jedem Teilintervll j eine Zhl ξ j wählt, dnn heißt ds drus entstehende n-tupel ξ := (ξ, ξ,..., ξ n ) pssend zur Zerlegung Z. Bsierend druf definiert mn die Riemnn-Summe ls n σ f (Z, ξ) := f(ξ j ) j. (.3) j= Aufgrund der Reltion m j f(ξ j ) M j gilt uch s f (Z) σ f (Z, ξ) S f (Z). st lso f R[, b], Z n eine Folge von Zerlegungen mit Z n 0 (die Zerlegungen werden lso mit steigendem n immer feiner) und ξ (n) die Folge der jeweils pssende Tupel, dnn gilt σ f (Z n, ξ (n) ) b f(x) dx (.4) ufgrund des Einschnürungsstzes/Sndwich-Theorems (s f (Z) von unten und S f (Z) von oben) entsprechend Punkt 8 der Aufzählung im Kpitel. des Skripts zu Tutorium 4. Ds Prinzip dieser Definition ist lso wie bereits erwähnt genu ds selbe wie über Oberund Untersummen. 3 Aufgben Die Musterlösungen der Tutoriumsufgben 6, 64 und 66 finden sich nch Abluf der zugehörigen Semesterwoche uf der nternetseite der Vorlesung unter http://www.mth. kit.edu/in/lehre/hmphys06w/. nsbesondere zur ersten dieser Aufgben ist ein lterntiver Weg dzu die Erwähnung wert: 3. Aufgbe 6 (i) Alterntiv zum Vorgehen, dss in der uf der Vorlesungsseite erhältlichen Musterlösung erläutert wird, knn mn sich zur Lösung des Problems uch die geometrische Reihe zu Nutze mchen. Als Erinnerung: q n = q flls q <. (3.) Um diese Formel nutzen zu können, müssen wir zunächst eine Prtilbruchzerlegung der Funktion durchführen: f f(x) = x + x 3 = (x ) (x + 3) = A x + B x + 3. (3.) 8
Die beiden Koeffizienten lssen sich bestimmen, indem mn beide Seiten mit f multipliziert und die ddurch entstehenden Gleichungen für jede Potenz von x löst: = A (x+3)+b (x ) = x (A+B)+ (3A B) A+B = 0 und 3A B =. (3.3) Mn erhält somit die Koeffizienten A = und B =, lso die Zerlegung 4 4 x + x 3 = 4 x 4 x + 3. (3.4) Selbiges erhält mn uch mit Hilfe der Formel zur Berechnung von Residuen. st die jeweilige Nullstelle in der Zerlegung nur einfch (wie in diesem Fll), dnn können A und B über eine einfche Formel berechnet werden, welche in HM eingeführt wird: A = lim x (x ) f = lim x B = lim (x + 3) x 3 f = lim x x + 3 = 4 (3.5) x = 4. (3.6) Für lle, die sich bereits eingehender dmit befssen möchten: Diese Formel ht Nummer 0. im Kpitel 0.0 der uf http://lucskunz.mpillich.de/hm/ bereitgestellten Zusmmenfssung der HM. Für diese Aufgbe ist sie llerdings nicht weiter wichtig. Jeden der beiden Koeffizienten der Zerlegung knn mn nun ls Grenzwert einer geometrischen Reihe um den Punkt x 0 = schreiben: x = (x + ) = ( ) = ( ) n x + x+ flls x + <. (3.7) Selbiges mcht mn uch für den zweiten Teil: x + 3 = + (x + ) = ) = + ( x+ ( x + ) n flls x + <. (3.8) Kombiniert mn diese beiden Reihendrstellungen nun entsprechend der Koeffizienten A und B, so erhält mn [( ) n ( x + x + x 3 = + x + ) n ] (3.9) 8 = ( ) n x + [ + ( ) n ] (3.0) 8 = ( ) n x + = 4 4 (x + n+ )n. (3.) Die Reihe bsiert lso uf den Koeffizienten n = und 4 n+ n+ = 0 (3.) und konvergiert für x + < x ( 3, ) Konvergenzrdius R =. (3.3) Dies ist ntürlich exkt ds selbe Ergebnis, wie mn es uch uf dem Weg der Musterlösung erhält. Diese lterntive Vorgehensweise ist grundsätzlich immer verwendbr, wenn mn die Potenzreihe einer Funktion bestimmen soll, wobei f ein Polynom ist. f 9