Anlysis Allg. Gymnsien: b J / Q Berufliche Gymnsien: b Klsse Alexnder Schwrz August 0
Aufgbe : 4 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) x 4x mit xr. Ihr Schubild sei K. ) Untersuche K uf Schnittpunkte mit der x-achse, Extrem- und Wendepunkte. Zeichne K für x,5 (LE cm). b) K begrenzt mit der Normlen im Koordintenursprung O(0/0) eine Fläche. Berechne deren Inhlt A uf zwei Dezimlen. c) P(u/v) sei ein Punkt uf K mit 0u. Wie ist der Wert von u zu wählen, dmit ds Dreieck P(u/v), Q(u/0) und O(0/0) einen mximlen Flächeninhlt A* besitzt? Aufgbe : x Gegeben sind die Funktionen f durch f (x) x mit xr und > 0. K sei ds Schubild von f. ) Untersuche K uf Schnittpunkte mit der x-achse, Extrem- und Wendepunkte. Zeichne K 9 im Bereich x 9. b) Auf welcher Kurve liegen die Wendepunkte ller K? c) Gegeben ist die Funktion g(x) cx mit xr und c > 0. Wie ist c zu wählen, dmit ds Schubild von g im Bereich 0x 6 unterhlb von K 9 verläuft?
Aufgbe : ) Schnittpunkte mit der x-achse: f(x) 0 Lösungen 4 x 4x0x x 4 0 Lösung mit dem Stz vom Nullprodukt Gleichung I): x = 0 Gleichung II): x 4 0 x x,7 Es gibt zwei Schnittpunkte: N(0/0) und N ( /0) Ableitungen: f (x) x 4 f (x),5x f (x) x Extrempunkte: Hinreichende Bedingung: f (x) 0 und f (x) 0 x 4 0 x x f () 6 0, lso existiert bei x = ein Tiefpunkt T(/f()) T(/ 6) Wendepunkte: Hinreichende Bedingung: f (x) 0 und f (x) 0,5x 0x 0 x 0 f (0) 0, somit ist dmit keine Aussge möglich. Kontrolle mit dem Vorzeichenwechsel: f ( ) 0 und f () 0 D kein VZW der zweiten Ableitung n der Stelle x = 0 existiert, besitzt die Funktion keinen Wendepunkt. Zeichnung:
b) Normle im Ursprung: Anstz: ymx c Steigung der Tngente bei x = 0: f (0) 4 Steigung der Normlen: mnormle 0,5 4 Einsetzen der Steigung und des Punktes O(0/0) in die Gerdengleichung: 00,50c c 0 Gleichung der Normle: y 0,5x Gesuchte Fläche: Schnittpunkt der Normle und des Schubildes K von f: 4 4 x 4x0,5x x 4,5x 0x ( x 4,5) 0 Stz vom Nullprodukt Gleichung I): x = 0 Gleichung II): x 4,5 0 x 4 x 4 4,4 Fläche:,4,4 4 4 5 A (0,5x ( x 4x))dx (4,5x x )dx,5x x 40,0, FE 0 0 0,4 4
c) Skizze des Dreiecks: Koordinten der Eckpunkte des Dreiecks: P(u/f(u)), Q(u/0) und O(0/0) Fläche des Dreiecks: A*(u) OPPQ (u0) (0f(u)) u f(u) 4 5 Zielfunktion: A*(u) u u 4u u u mit 0u 6 Reltives Mximum: 5 4 Es gilt A* (u) u 4u und 6 5 4 A* (u) u 4 Hinreichende Bedingung: A* (u) 0 und A* (u) 0 5 u 4 4u 0 6 Gleichung I): u = 0 5 6 u ( u 4) 0 Stz vom Nullprodukt Gleichung II): 5 u 4 0 u, u,4 6 A* (0) 4 0 lso reltives Minimum A* (,4) 0 lso reltives Mximum mit A*(,4) = 6,57 Globles Mximum: Rndwertuntersuchung: A(0) = 0 < 6,57 A( ) 0 < 6,57 Dmit existiert für u =,4 ein globles Mximum. 5
Aufgbe : ) Schnittpunkte mit der x-achse: f (x) 0 x 0 x Lösung mit dem Stz vom Nullprodukt Gleichung I): x = 0 x Gleichung II): 0x0x Es gibt zwei Schnittpunkte: N(0/0) und N (/0) Ableitungen: x f (x) x 6x f (x) 4x x f (x) 4 f (x) Extrempunkte: Hinreichende Bedingung: f (x) 0 und f (x) 0 6x 4x 04x6x 0x (46x) 0 Stz vom Nullprodukt Gleichung I): x = 0 Gleichung II): 46x0 x f (0) 4 0, lso existiert ein Tiefpunkt T(0/f (0)) T(0/0) f ( ) 4 4 0,lso existiert ein Hochpunkt H( /f ( )) H( / ) 7 Wendepunkte: Hinreichende Bedingung: f (x) 0 und f (x) 0 x 4 04x0 x f ( ) 0, lso existiert ein Wendepunkt 4 7 W( /f ( )) W( / ) 6
Zeichnung von f 9(x) x x 9 Mit = 9 ergeben sich us den berechneten Ergebnissen in ): Schnittpunkte mit der x-achse: N(0/0) und N (9/0) Extrempunkte: T(0/0) und H(6/4) Wendepunkt: W(/) b) Kurve, uf der die Wendepunkte liegen: Der llgemeine Wendepunkt ht die Koordinten Es gilt: x (*) und y 4 7 (**) 4 7 W( / ) Aus (*) folgt = x Eingesetzt in (**) folgt 4 4 y (x) x 7 Die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte lutet y 4 x. c) Die Funktion g(x) cx mit c > 0 ist eine nch oben geöffnete Prbel. Dmit die Prbel die in der Aufgbe gennnte Bedingung erfüllt, muss die Prbel ds Schubild K 9 n den Stellen x = 0 und x = 6 schneiden. Es gilt 9 f (0) 0 und g(0) 0. Ds heißt, die Schubilder schneiden sich immer bei x = 0. 7
Bedingung: f 9 (6) g(6) 6 6 ( ) c 6 9 4c6c