Differentilgleichungen - Ausgewählte Proleme us der Phsik Beisiel: Rdioktiver Zerfll Eine gnze Reihe hsiklischer Erscheinungen lässt sich unter dem Stichwort Zerfll ngeregter Zustände einordnen. Ein Beisiel ist der rdioktive Zerfll; zum Zeitunkt t liegen uns N rdioktive Atome vor, d.h. Atomkerne in einem ngeregten Zustnd, die in einen energetisch günstigeren Zustnd üergehen - lso unter Aussendung von Strhlung zerfllen - wollen. Der rdioktive Zerfll ist sttistischer Ntur, d.h. Kerne wndeln sich unhängig voneinnder mit einer estimmten Zerfllswhrscheinlichkeit um - üer ds individuelle Verhlten eines einzelnen Kerns lssen sich dei keine Aussgen treffen. Es lssen sich nur sttistische Aussgen treffen - z.b. wie viele Atome im Mittel in einem gegeenen Zeitintervll zerfllen werden. verringert sich die Zhl der rdioktiven Atome von N ( uf N( t t - uch Zerfllsrte gennnt - ist N( N( N( t t t Im Zeitintervll t die Zhl der Zerfälle ro Zeiteinheit (in ; Die Gesetzmäßigkeit der Sttistik ist nun einfch: Der Bruchteil dn der Atomkerne eines Nuklids, die sich in einem Zeitintervll umwndeln, ist roortionl zur Anzhl N der jeweils vorhndenen rdioktiven Kerne: dn( N( N( ( - Zerfllskonstnte Gesucht ist die Lösung dieser Dgl., lso die Anzhl der noch vorhndenen (nicht zerfllenen Kerne in Ahängigkeit von der verstrichenen Zeit, woei die Anzhl der Kerne zum Zeitunkt t den Wert N hen möge. N( N ex( Durch Umformen erhält mn: dn N Integrtion eider Seiten von t is t t ergit: ln N( ln N( t Mit N( N erhält mn ln N( ln N t N( Letztendlich ergit sich: ex( N Wir können die Betrchtung uf viele ngeregte Zustände üertrgen, wenn: 1. ein Üergng us den ngeregten in einen Grundzustnd zu erwrten ist 2. die Üergngsrte roortionl zur Zhl der ngeregten Einheiten ist. Dr. Hemel / Mthemtisch Grundlgen - Differentilgleichungen in der Phsik 1 Seite 1
Beisiel: Akühlrozesse Ähnliche Zusmmenhänge wie eim rdioktiven Zerfll lssen sich ei Akühlrozessen finden. So ist dort die Akühlgeschwindigkeit dt / roortionl zur Temerturdifferenz T gegenüer der Umgeung. dt T Vorzeichen - zeigt Temerturnhme! dt T( T ex( t T T steht dei für die Temertur gegenüer der Umgeung ei t (Prozesseginn. Beisiel: Schumkrone von Bier Jeder kennt und eduert den schnellen Zerfll der Schumkrone uf einen Gls Bier. Schum ist ein ngeregter Zustnd; die große Oerfläche (und große Oerflächenenergie ht sehr viel mehr innere Energie ls der Grundzustnd. Im Lufe der Zeit sollten einige der Schumläschen ltzen, ws einen Üergng us dem ngeregten in den Grundzustnd drstellt. Je mehr Schumläschen vorhnden sind, desto mehr ltzen uch ro Zeiteinheit; die Üergngsrte ist roortionl der Zhl der Bläschen. Dmit sollte gelten: Die Zhl der Schumläschen (und dmit die Höhe der Schumkrone folgt dem exonentiellen Zerfllsgesetz. Arnd Leike von der Universität München gewnn mit dieser Areit 22 den Ig Noel rize Demonstrtion of the Exonentil Dec Lw Using Beer Froth," Arnd Leike, Euroen Journl of Phsics, vol. 23, Jnur 22,. 21-26. Dr. Hemel / Mthemtisch Grundlgen - Differentilgleichungen in der Phsik 1 Seite 2
Beisiel: Wchstumsrozesse Mit umgekehrtem Vorzeichen, er gleichen Modellen lssen sich verschiedene, in der Ntur vorkommende Wchstumsrozesse modellieren: Die Zunhme des Holzes ist im Wld ist dem Bestnd nnähern roortionl; je mehr oder größere Bäume sich im Wld efinden, desto mehr Holz wächst in vergleichren Zeitschritten unter normlen Gegeenheiten nch. Die Vermehrung von Hefezellen geschieht nch den gleichen Gesetzmäßigkeiten: in einem Biorektor ist die Zunhme der Hefezellen ro Zeiteinheit (lso die Wchstumsgeschwindigkei roortionl zum Bestnd. Ähnlich wird die Entwicklung der Bevölkerungszhl uf unserer Erde ehndelt. Die Zhl der Menschen nimmt ei genügender Größe der Poultion und ei ungehemmter Vermehrung etw nch den eschrieenen Gesetzmäßigkeiten zu: d /. Um Hemmungen zu erücksichtigen, wie sie etw durch Krnkheiten verurscht sein können, nimmt mn die Verminderung der Vermehrungsgeschwindigkeit um ein dem Qudrt der Bevölkerungszhl roortionles Glied n: d 2. Will mn drus die Bevölkerungszhl zu einem estimmten Zeitunkt estimmen, muss mn diese Differentilgleichung, ds sogennnte Verhulst sche Bevölkerungsgesetz, lösen: Vrilentrennung und Integrtion durch Prtilruchzerlegung: d d ( 1 ; d (1 t t (1 Ds linke Integrl wird durch Prtilruchzerlegung vereinfcht: A(1 B 1 A B (1 (1 (1 Aus dem Koeffizientenvergleich ergit sich: A 1; B A / und dmit B / d (1 d d ln 1 ln 1 ln 1 ( ( ln ln ln ln ( t ( ( ( ( e ( tt ( t t e e ( tt ( tt Dr. Hemel / Mthemtisch Grundlgen - Differentilgleichungen in der Phsik 1 Seite 3
Beisiel: rometrische Höhenformel Für geringe Höhendifferenzen gilt wegen der Proortionlität zwischen Drucknhme und Höhenzunhme: d g dh const Mit. lässt sich schreien: d gdh Der Ausdruck lässt sich integrieren: d g h dh und erhält ln gh oder ex( gh (rometrische Höhenformel. Unter Vorussetzung gleicher Temertur fällt der Druck mit zunehmender Höhe exonentiell. Dr. Hemel / Mthemtisch Grundlgen - Differentilgleichungen in der Phsik 1 Seite 4
Beisiel: Einschltstrom ei induktiver Lst Gegeen sei ein einfcher Gleichstromkreis mit einer Sule (induktiver und Ohmscher Wiederstnd. Zum Zeitunkt des Einschltens sei der Strom I =. Unter Verwendung der induzierten Gegensnnung di di U g L ergit sich: I ( R U L Umgeformt ergit sich die Differentilgleichung: di R U ( I L R U d R Wir sustituieren I womit folgt R L d R Umgestellt (Vrilentrennung ergit ds. L R Es knn integriert werden: ln t ln C L Erforderlich ist nun noch die Rück-Sustitution und Bestimmen der Konstnte C us der Anfngsedingung. Dmit ergit sich letztendlich für den zeitlichen Verluf des Einschltstroms in einem Stromkreis mit Sule U R I ( 1 ex( R L Dr. Hemel / Mthemtisch Grundlgen - Differentilgleichungen in der Phsik 1 Seite 5