Chaos - Nichtlineare Dynamik

Äg Chaos - Nichtlineare Dynamik Renate Thies Universität Dortmund - Fachbereich Informatik Lehrstuhl für Systemanalyse (LS11) Sommersemester 2004 Chaos - Nichtlineare Dynamik 1/102

Inhaltsverzeichnis Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 2/102

Einführung Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 3/102

Einführung Äg Chaostheorie Chaostheorie beschäftigt sich mit Systemen, denen zwar deterministische Gesetzmäßigkeiten zugrunde liegen, deren Verhalten jedoch irregulär und langfristig nicht vorhersagbar ist. Chaos - Nichtlineare Dynamik 4/102

Einführung Äg Chaostheorie Chaostheorie beschäftigt sich mit Systemen, denen zwar deterministische Gesetzmäßigkeiten zugrunde liegen, deren Verhalten jedoch irregulär und langfristig nicht vorhersagbar ist. Die zugrunde liegende DGLs sind nicht nicht linear (= Nichtlineare Dynamik). Folge: kleine Variation in den Anfangsbedingungen verstärken sich exponentiell. Vorhersage über genauen Systemzustand nur begrenzt berechenbar bzw. unmöglich. Chaos - Nichtlineare Dynamik 4/102

Einführung Äg Chaostheorie Chaostheorie beschäftigt sich mit Systemen, denen zwar deterministische Gesetzmäßigkeiten zugrunde liegen, deren Verhalten jedoch irregulär und langfristig nicht vorhersagbar ist. Die zugrunde liegende DGLs sind nicht nicht linear (= Nichtlineare Dynamik). Folge: kleine Variation in den Anfangsbedingungen verstärken sich exponentiell. Vorhersage über genauen Systemzustand nur begrenzt berechenbar bzw. unmöglich. Chaostheorie untersucht dieses Verhalten mit dem Ziel, statistische Aussagen über das System zu treffen. Chaos - Nichtlineare Dynamik 4/102

Einführung Äg Chaos ursprünglich: altgriech., der ungeordnete Urstoff vor der Weltschöpfung heute: schwer vorhersehbarer Zustand Chaos - Nichtlineare Dynamik 5/102

Einführung Äg Chaos ursprünglich: altgriech., der ungeordnete Urstoff vor der Weltschöpfung heute: schwer vorhersehbarer Zustand Determinismus Ein Algorithmus heißt deterministisch, wenn es zu jeder (Programm-)Situation höchstens eine nachfolgende Situation geben kann, wenn also zu jedem Zeitpunkt der Folgeschritt eindeutig bestimmt ist. Chaos - Nichtlineare Dynamik 5/102

Einführung Äg Chaos ursprünglich: altgriech., der ungeordnete Urstoff vor der Weltschöpfung heute: schwer vorhersehbarer Zustand Determinismus Ein Algorithmus heißt deterministisch, wenn es zu jeder (Programm-)Situation höchstens eine nachfolgende Situation geben kann, wenn also zu jedem Zeitpunkt der Folgeschritt eindeutig bestimmt ist. Deterministisches Chaos Verhalten, bei dem einfache deterministische Gesetze zu irregulären Bewegungen führen, wird als Deterministisches Chaos bezeichnet. Chaos - Nichtlineare Dynamik 5/102

Einführung Äg Beispiele für Deterministisches Chaos Verkehrschaos viele Verkehrsteilnehmer mit ihren Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade). periodisch getriebenes Pendel System mit wenigen Freiheitsgraden; Position auf längere Sicht unvorhersehbar. Chaos - Nichtlineare Dynamik 6/102

Einführung Äg Beispiele für Deterministisches Chaos Verkehrschaos viele Verkehrsteilnehmer mit ihren Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade). periodisch getriebenes Pendel System mit wenigen Freiheitsgraden; Position auf längere Sicht unvorhersehbar. tropfendes Wasserhahn durch das Zittern des einzelnen Tropfens wird der nachfolgende beeinflußt. Schmetterlingseffekt Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas hervorrufen? (Edward N. Lorenz) Chaos - Nichtlineare Dynamik 6/102

Einführung Äg Beispiele für Deterministisches Chaos Verkehrschaos viele Verkehrsteilnehmer mit ihren Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade). periodisch getriebenes Pendel System mit wenigen Freiheitsgraden; Position auf längere Sicht unvorhersehbar. tropfendes Wasserhahn durch das Zittern des einzelnen Tropfens wird der nachfolgende beeinflußt. Schmetterlingseffekt Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas hervorrufen? (Edward N. Lorenz) Kleine Ursache - große, meist unvorhersehbare Wirkung Chaos - Nichtlineare Dynamik 6/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 7/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg Stabilitäts-Dogma galt bis ca. 1950 mathematische Modelle, die strukturelle Instabilität aufweisen haben nichts mit der Realität zu tun Verhaltensabhängigkeit von Modellparametern (bisher konstant) Chaos - Nichtlineare Dynamik 8/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg 1. Beispiel: ẋ = f (x, λ) = x 3 + λx (1) = x(x 2 + λ) (2) Chaos - Nichtlineare Dynamik 9/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg 1. Beispiel: ẋ = f (x, λ) = x 3 + λx (1) = x(x 2 + λ) (2) stationäre Zustände (Fixpunkte) für ẋ = 0 x 0 = x = = 0 (3) x + = x = + λ (4) x = x = λ (5) für λ = 0 fallen die Lösungen x + und x zusammen Chaos - Nichtlineare Dynamik 9/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg (Gabel- bzw. Pitchfork-)Bifurkation x ist für λ < 0 global asymptotisch stabil für λ > 0 ist x 0 instabil und für λ > 0 sind x + und x asymptotisch lokal stabil (nicht global) Chaos - Nichtlineare Dynamik 10/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg beim Übergang λ = 0 ändert sich das qualitative Verhalten des System-Modells Widerspruch zum Stabilitäts-Dogma solche Modelle waren bis 1950 nicht erlaubt, weil sie als unnatürlich galten Rene Thom: Katastrophentheorie Chaos - Nichtlineare Dynamik 11/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg 2. Beispiel: ẋ = x 2 + µ (6) (7) Chaos - Nichtlineare Dynamik 12/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg 2. Beispiel: ẋ = x 2 + µ (6) (7) stationäre Zustände (Fixpunkte) für ẋ = 0 x + = x = + λ (8) x = x = λ (9) Chaos - Nichtlineare Dynamik 12/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg x + : stabiler Zweig x instabiler Zweig (Grenzpunkt-)Bifurkation Chaos - Nichtlineare Dynamik 13/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg 3. Beispiel: ẋ = x 3 + λx + µ (10) stationäre Zustände für kubische Gleichung (kanonische Form): bis zu 3 reelle Lösungen Chaos - Nichtlineare Dynamik 14/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg Ursprung 0 bildet Spitzensingularität für λ < 0: 1 Lösung für λ > 0: 3 Lösungen Chaos - Nichtlineare Dynamik 15/102

Einführung - Strukturelle Stabilität Äg λ > 0 (Hyterese) µ 0 Grenzkurve im (µ, λ)-paramterraum zwischen den beiden Lösungsbereichen: 4λ 3 + 27µ 2 = 0 (11) Chaos - Nichtlineare Dynamik 16/102

Einführung - Grenzzyklen Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 17/102

Einführung - Grenzzyklen Äg In dissipativen Systemmodellen mit Phasenraumdimension 2 gibt es außer Fokus und Knoten noch einen dritten Attraktortyp: Grenzzyklus Alle Bahnen münden in einen (stabilen) Grenzzyklus, der einen instabilen Fixpunkt P umgibt. (entdeckt von Poincaré) Chaos - Nichtlineare Dynamik 18/102

Einführung - Grenzzyklen Äg Beispiel: x 1 = ν cos(ϕ); x 2 = ν sin(ϕ) 1. ν = λν ν 3 ν > 0 2. ϕ = ω aus 2. folgt: ϕ(t) = ϕ 0 + ωt aus 1. lassen sich Fixpunkte ermitteln: ν = 0 und ν = λ Chaos - Nichtlineare Dynamik 19/102

Einführung - Grenzzyklen Äg Beispiel: x 1 = ν cos(ϕ); x 2 = ν sin(ϕ) für λ < 0 ist ν = 0, (d.h. ( x 1 x 2 ) = ( 0 0) ein stabiler Fixpunkt für λ = 0 wird dieser Fixpunkt instabil (Hopf Bifurkation) für λ > 0 ist ν = 0 instabil und ν = λ d.h.: x 1 konvergiert gegen λ cos(ϕ 0 + ωt) x 2 konvergiert gegen λ sin(ϕ 0 + ωt) (zeitabhängige Lösung!) Chaos - Nichtlineare Dynamik 20/102

Einführung - Grenzzyklen Äg λ < 0 λ > 0 Grenzzyklus (strukturell stabiles Phasenportrait) Chaos - Nichtlineare Dynamik 21/102

Einführung - Phasenraum Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 22/102

Einführung - Phasenraum Äg Frage: Welche weiteren Phänomene treten neben Fixpunkten (Punkt-Attraktor) und Grenzzyklus (periodischer Attraktor) auf? Beobachtungstrick: niedrigdimensionale Projektionen! Poincaré-Schnitt durch Phasenraum Dynamik der Durchstoßpunkte P i (Dynamik der Minima/Maxima) Chaos - Nichtlineare Dynamik 23/102

Einführung - Phasenraum Äg Seien x, y die Koordinaten der Schnitt-Ebene, so kann man diese Dynamik beschreiben mittels: { x n+1 = f (x n, y n ) Rekurrenz /Wiederkehrrelation y n+1 = g(x n, y n ) Beispiel: Grenzzyklus: ein einziger Durchstoßpunkt allgemein: k Durchstoßpunkte: periodischer Attraktor: Zyklus der Ordnung k Chaos - Nichtlineare Dynamik 24/102

Einführung - Phasenraum Äg Poincaré-Schnitte: a) Chaotische Bewegung b) Annäherung an einen Fixpunkt c) Einfacher Zyklus d) Zyklus der Periode 2 Chaos - Nichtlineare Dynamik 25/102

Einführung - Phasenraum Äg Poincaré-Schnitte: a) Chaotische Bewegung b) Annäherung an einen Fixpunkt c) Einfacher Zyklus d) Zyklus der Periode 2 weiteres Phänomen: Quasiperiodischer Attraktor (invariante Tori) Chaos - Nichtlineare Dynamik 25/102

Einführung - Phasenraum Äg 2D-Torus im dreidimensionalen Phasenraum Chaos - Nichtlineare Dynamik 26/102

Einführung - Phasenraum Äg Die zweidimensionale Mannigfaltigkeit des Torus in den lokalen Koordinaten ϕ 1 und ϕ 1 auf ein Quadrat umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet Chaos - Nichtlineare Dynamik 27/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 28/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Verhulst Modell Wachstumsfaktor: µ Anfangspopulation: y 0 y t+1 = µy t (1 y t ) 1845 von Verhulst (1804-1849) eingesetzt zur Modellierung des zyklischen Wachstumsverhaltens einer Population in einem geschlossenen Gebiet. Chaos - Nichtlineare Dynamik 29/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Herleitung 1. N t+1 = an t, Anzahl der Tiere im Jahr t + 1, (a Wachstumsfaktor) Chaos - Nichtlineare Dynamik 30/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Herleitung 1. N t+1 = an t, Anzahl der Tiere im Jahr t + 1, (a Wachstumsfaktor) 2. Population kann nicht unbegrenzt wachsen (begrenzte Futtervorräte) Nmax Nt Dies wird duch den Faktor N max berücksichtigt (N max unerreichbarer Maximalwert) ) N t+1 = an t (1 Nt N max Chaos - Nichtlineare Dynamik 30/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Herleitung 1. N t+1 = an t, Anzahl der Tiere im Jahr t + 1, (a Wachstumsfaktor) 2. Population kann nicht unbegrenzt wachsen (begrenzte Futtervorräte) Nmax Nt Dies wird duch den Faktor N max berücksichtigt (N max unerreichbarer Maximalwert) ) N t+1 = an t (1 Nt N max 3. Einführung dimensionsloser Größen, da für das Verhalten des Systems die absoluten Zahlen N t und N max nicht relevant sind. Wichtig ist das Verhältnis y t = Nt N max Chaos - Nichtlineare Dynamik 30/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Herleitung 1. N t+1 = an t, Anzahl der Tiere im Jahr t + 1, (a Wachstumsfaktor) 2. Population kann nicht unbegrenzt wachsen (begrenzte Futtervorräte) Nmax Nt Dies wird duch den Faktor N max berücksichtigt (N max unerreichbarer Maximalwert) ) N t+1 = an t (1 Nt N max 3. Einführung dimensionsloser Größen, da für das Verhalten des Systems die absoluten Zahlen N t und N max nicht relevant sind. Wichtig ist das Verhältnis y t = Nt N max 4. Zur Bestimmung des Anteils teile durch N max und erhalte y t+1 = µy t (1 y t ) Chaos - Nichtlineare Dynamik 30/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Iteration y t+1 = µy t (1 y t ) Verhulst y t+1 = f (y t ) Abbildung mit 0 < y < 1 y t+1 = f µ (y t ) 1. Iterierte f (f (y k )) = y k+2 = f 2 (y k ) 2. Iterierte allgemein: f p (y k ) p-te Iterierte Chaos - Nichtlineare Dynamik 31/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Iteration y t+1 = µy t (1 y t ) Verhulst y t+1 = f (y t ) Abbildung mit 0 < y < 1 y t+1 = f µ (y t ) 1. Iterierte f (f (y k )) = y k+2 = f 2 (y k ) 2. Iterierte allgemein: f p (y k ) p-te Iterierte Fragen Konvergenz? (abh. von µ) Stabilität der Bahn? (abhängig von y 0 ) Chaos - Nichtlineare Dynamik 31/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Mathematische Iteration für µ = 2.8 und y 0 = 0.02 1. Iteration: f (y 0 ) = 2.8 0.02(1 0.02) = 0.05488 = y 1 2. Iteration: f (y 1 ) = 0.1452302 3. Iteration: f (y 2 ) = 0.34758892... 10. Iteration: f (y 9 ) = 0.64081372... 15. Iteration: f (y 14 ) = 0.64352313... 20. Iteration: f (y 19 ) = 0.64263854 Fixpunkt bei 0.64 Chaos - Nichtlineare Dynamik 32/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Zeitreihendiagramm für y t+1 = µy t (1 y t ) t max = 40; y 0 = 0.11; µ = 2.8 Chaos - Nichtlineare Dynamik 33/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Graphische Iteration für µ = 2.8 und y 0 = 0.1 blaue Iterationslinie: Trajektorie Chaos - Nichtlineare Dynamik 34/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Graphische Iteration für µ = 2.8 und y 0 = 0.24 Chaos - Nichtlineare Dynamik 35/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Graphische Iteration für µ = 2.8 und y 0 = 0.24 bzw. y 0 = 0.89 Chaos - Nichtlineare Dynamik 36/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Ein stabiler Fixpunkt y fokussiert die Bahnen (hier: y 0.642857) (Fixpunkt-Attraktor). Für µ = 2.8 strebt die Folge immer auf y zu (unabhängig von y 0 ]0; 1[ ) (Bassin) Auch y 0 = 0 ist Fixpunkt, jedoch nur für y 0 = 0 (Repulsor) Chaos - Nichtlineare Dynamik 37/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Ein stabiler Fixpunkt y fokussiert die Bahnen (hier: y 0.642857) (Fixpunkt-Attraktor). Für µ = 2.8 strebt die Folge immer auf y zu (unabhängig von y 0 ]0; 1[ ) (Bassin) Auch y 0 = 0 ist Fixpunkt, jedoch nur für y 0 = 0 (Repulsor) Kriterium für stabilen Fixpunkt: Ein Fixpunkt y ist (lokal) stabil, wenn d dy f (y ) < 1 Chaos - Nichtlineare Dynamik 37/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Attraktor Ein Punkt, (der auch eine Menge von Punkten sein kann,) der sämtliche Trajektorien anzieht. Chaos - Nichtlineare Dynamik 38/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Attraktor Ein Punkt, (der auch eine Menge von Punkten sein kann,) der sämtliche Trajektorien anzieht. Bassin Teil des Phasenraumes bzw. Bereich von Startwerten y 0, aus dem alle Trajektoren in einen Attraktor münden. Chaos - Nichtlineare Dynamik 38/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Attraktor Ein Punkt, (der auch eine Menge von Punkten sein kann,) der sämtliche Trajektorien anzieht. Bassin Teil des Phasenraumes bzw. Bereich von Startwerten y 0, aus dem alle Trajektoren in einen Attraktor münden. Repulsor Ein Fixpunkt, der nur von wenigen Startwerten aus erreicht wird und von dem sich ansonsten alle Trajektorien entfernen. Chaos - Nichtlineare Dynamik 38/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Attraktor Ein Punkt, (der auch eine Menge von Punkten sein kann,) der sämtliche Trajektorien anzieht. Bassin Teil des Phasenraumes bzw. Bereich von Startwerten y 0, aus dem alle Trajektoren in einen Attraktor münden. Repulsor Ein Fixpunkt, der nur von wenigen Startwerten aus erreicht wird und von dem sich ansonsten alle Trajektorien entfernen. Repellor Das Gegenteil eines Attraktors. Chaos - Nichtlineare Dynamik 38/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Bisher: Betrachtung der Funktion y t+1 = 2.8y t (1 y t ) Frage: Wie sieht der Attraktor für anderes bzw. größeres µ aus? Wie sieht der Attraktor aus für d dy f (y ) 1? Chaos - Nichtlineare Dynamik 39/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Bisher: Betrachtung der Funktion y t+1 = 2.8y t (1 y t ) Frage: Wie sieht der Attraktor für anderes bzw. größeres µ aus? Wie sieht der Attraktor aus für d dy f (y ) 1? Es folgt: Betrachtung der Funktion y t+1 = µy t (1 y t ) mit µ = 3.1 Chaos - Nichtlineare Dynamik 39/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Graphische Iteration für µ = 3.1 und y 0 = 0.16 Chaos - Nichtlineare Dynamik 41/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Trajektorie geht in Zyklus der Periode 2 über (Spaltung des Fixpunktes) Fixpunkte liegen bei y 1 0.558 und y 2 0.764 Grenzzyklus Chaos - Nichtlineare Dynamik 42/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Trajektorie geht in Zyklus der Periode 2 über (Spaltung des Fixpunktes) Fixpunkte liegen bei y 1 0.558 und y 2 0.764 Grenzzyklus Bifurkation Die Spaltung des Fixpunktes bzw. der Fixpunkte. Chaos - Nichtlineare Dynamik 42/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Frage: Was passiert bei einer weitereren Erhöhung von µ? Chaos - Nichtlineare Dynamik 43/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Frage: Was passiert bei einer weitereren Erhöhung von µ? Es folgt: Betrachtung der Funktion y t+1 = µy t (1 y t ) mit µ = 3.48 Chaos - Nichtlineare Dynamik 43/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Zeitreihendiagramm für y t+1 = µy t (1 y t ) t max = 40; y 0 = 0.1; mit µ = 3.48 Chaos - Nichtlineare Dynamik 44/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Graphische Iteration bis y 100 für µ = 3.48 und y 0 = 0.15 Chaos - Nichtlineare Dynamik 45/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Erneut Bifurkation der Fixpunkte x1 und x 2 System konvergiert auf einem Zyklus der Periode 4. Chaos - Nichtlineare Dynamik 46/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Erneut Bifurkation der Fixpunkte x1 und x 2 System konvergiert auf einem Zyklus der Periode 4. Für µ = 3.544 Bifurkation dieser 4 Fixpunkte... 8 Fixpunkte Periodenverdopplung Chaos - Nichtlineare Dynamik 46/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Zusammenfassung µ < 1 ein stabiler Fixpunkt bei y = 0; alle Bahnen enden dort. 1 < µ < 3 zwei Fixpunkte: 1. stabiler bei y = 0 2. instabiler µ = 3+ zweiter Fixpunkt wird instabil (Bifurkation) f 2 (y k ) bekommt zwei neue stabile Fixpunkte (Grenzzyklus mit Periode 2 wird stabil) µ = 3 + + Kaskade von Bifurkationen Chaos - Nichtlineare Dynamik 47/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Erhöhung von µ führt zur Periodenverdopplung Grenzzyklus der Periode 2 geht über in Grenzzyklus der Periode 4 2 1, 2 2, 2 3,...,2 n Grenzfall n : Periode 2 bei µ = 3.5699456... (weiterführende Literatur: [Schuster, 1994]) Chaos - Nichtlineare Dynamik 48/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Erhöhung von µ führt zur Periodenverdopplung Grenzzyklus der Periode 2 geht über in Grenzzyklus der Periode 4 2 1, 2 2, 2 3,...,2 n Grenzfall n : Periode 2 bei µ = 3.5699456... (weiterführende Literatur: [Schuster, 1994]) µ > µ : Chaos deterministisches Chaos irreguläres (a periodisches) Verhalten (scheinbar stochastisch) Chaos - Nichtlineare Dynamik 48/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Graphische Iteration bis y 100 für µ < µ = 3.9 Chaos - Nichtlineare Dynamik 50/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg Trajektorie verläuft scheinbar zufällig in begrenztem Gebiet mit steigendem µ wird das Gebiet immer größer für µ=4 werden alle Werte zwischen 0 und 1 erfasst Bezeichnung des Gebiets: seltsamer Attraktor Chaos - Nichtlineare Dynamik 51/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg seltsamer Attraktor beschränkt: alle Trajektorien verlaufen in einem bestimmten Gebiet nicht-periodisch: das Gebiet stellt keinen Zyklus oder definierbaren Bereich dar (seltsam) Chaos - Nichtlineare Dynamik 52/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg seltsamer Attraktor beschränkt: alle Trajektorien verlaufen in einem bestimmten Gebiet nicht-periodisch: das Gebiet stellt keinen Zyklus oder definierbaren Bereich dar (seltsam) deterministisches Chaos Funktion ist deterministisch jeder Wert der Gleichung läßt sich berechnen Chaos - Nichtlineare Dynamik 52/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Die logistische Wachstumsfunktion Äg siehe Tageslicht-Folien 1 und 2 Chaos - Nichtlineare Dynamik 53/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Das Feigenbaumdiagramm Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 54/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Das Feigenbaumdiagramm Äg Feigenbaumdiagramm benannt nach dem amerikanischen Physiker Mitchell J. Feigenbaum (*1945) Entdeckung Mitte der siebziger Jahre Wird verwendet zur Darstellung des globalen Verhaltens eines Systems Dient zur Veranschaulichung des Übergangs Ordnung Chaos Abszisse: µ-werte Ordinate: die zugehörigen y-werte des (Fixpunkt-, zyklischen-, oder seltsamen-) Attraktors Chaos - Nichtlineare Dynamik 55/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Das Feigenbaumdiagramm Äg Feigenbaumdiagramm für y t+1 = µy t (1 y t ) Chaos - Nichtlineare Dynamik 56/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Das Feigenbaumdiagramm Äg Universalität des Feigenbaums : pitchfork bifurcation Für n >> 1 gilt: 1. µ n = µ const δ n 2. d n d n+1 = α Chaos - Nichtlineare Dynamik 59/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Das Feigenbaumdiagramm Äg Universalität des Feigenbaums : pitchfork bifurcation Für n >> 1 gilt: 1. µ n = µ const δ n 2. d n d n+1 = α Die Feigenbaumkonstanten δ und α haben die Werte: δ = 4.6692016091... und α = 2.5029078750... Chaos - Nichtlineare Dynamik 59/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Das Feigenbaumdiagramm Äg Die Feigenbaumkonstanten δ und α δ = 4.6692016091... und α = 2.5029078750... sind universell und rational treten in einer Vielzahl (deterministisch-)chaotischer Systeme auf finden sich in physikalischen Experimenten (elektronische Schaltungen, Turbulenz,...) von ähnlich großer Bedeutung (für die Chaostheorie) wie die der Zahlen π und die eulersche Zahl e für die Mathematik Chaos - Nichtlineare Dynamik 60/102

Bifurkation und Feigenbaumdiagramme - Das Feigenbaumdiagramm Äg Übergang zum Chaos: universell z.b. über Periodenverdopplung für alle quadratischen Abbildungen für alle Modelle mit folgenden Eigenschaften: Abbildung des Einheitsintervalls auf sich selbst x [0, 1] unimodal (ein Maximum bei x = 0.5) monoton für 0 x 1 2 und 1 2 x 1 ( f f ) 2 < 0 für 0 x 1 Sf = d 2 dx [f (x)] 1 2 = f 2 f 3 2 Schwarz sche Ableitung (dann auch alle Sf n < 0) Chaos - Nichtlineare Dynamik 61/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Der Ljapunov-Exponent Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 62/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Der Ljapunov-Exponent Äg Ljapunov-Exponent λ benannt nach dem russischen Mathematiker Ljapunov (1857-1918) Größe zur quantitativen Charaktierisierung chaotischer Bewegungen Maß für den mittleren Verlust an Information (über die Position eines Punktes im Intervall [0, 1]) nach einer Iteration Maß für Vorhersagbarkeit Chaos - Nichtlineare Dynamik 63/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Der Ljapunov-Exponent Äg Ljapunov-Exponent λ benannt nach dem russischen Mathematiker Ljapunov (1857-1918) Größe zur quantitativen Charaktierisierung chaotischer Bewegungen Maß für den mittleren Verlust an Information (über die Position eines Punktes im Intervall [0, 1]) nach einer Iteration Maß für Vorhersagbarkeit x 0 ε x 0 + ε N Iterationen = f N (x 0 ) εenλ(x 0 ) f N (x 0 + ε) = εe Nλ(x 0) = f N (x 0 + ε) f N (x 0 ) Chaos - Nichtlineare Dynamik 63/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Der Ljapunov-Exponent Äg εe Nλ(x0) = f N (x 0 + ε) f N (x 0 ) Für ε 0 und N : λ(x 0 ) = lim lim 1 N ε 0N log f N (x 0 + ε) f N (x 0 ) ε (12) 1 = lim N N log d f N (x 0 ) dx 0 (13) 1 N 1 = lim N N log f (x i ) (14) = lim N 1 N N 1 i=0 i=0 log f (x i ) (15) Chaos - Nichtlineare Dynamik 64/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Der Ljapunov-Exponent Äg Bleibt noch zu zeigen: 1 lim N N log d dx 0 f N (x 0 ) = lim N log N 1 f (x i ) 1 N i=0 Chaos - Nichtlineare Dynamik 65/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Der Ljapunov-Exponent Äg Bleibt noch zu zeigen: 1 lim N N log d dx 0 f N (x 0 ) = lim N log N 1 f (x i ) 1 N i=0 Beweis mit Hilfe der Kettenregel: d dx f 2 (x) = d x0 dx f [f (x)] (16) x0 = f [f (x 0 )] f (x 0 ) (17) = f (x 1 )f (x 0 ) mit x 1 f (x 0 ) (18) = d dx 0 f N (x 0 ) = N 1 f (x i ) i=0 Chaos - Nichtlineare Dynamik 65/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Der Ljapunov-Exponent Äg Zusammenfassung λ < 0: Kontraktion asymptotisches Aussterben der Störung λ > 0: Divergenz Störung wird angefacht λ 1 λ 2 λ 3 Phänomen Fokus 0 Grenzzyklus 0 0 Torus + 0 Seltsamer Attraktor (eigentl. kein Chaos, sondern komplexe Ordnung!) Chaos - Nichtlineare Dynamik 66/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Der Ljapunov-Exponent Äg siehe Tageslicht-Folie 3 Chaos - Nichtlineare Dynamik 67/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 68/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Äg Klimamodell von Lorenz Der Lorenzattraktor ist durch ein System 3 gekoppelter nichtlinearer Differentialgleichungen gegeben: ẋ = σx + σy ẏ = rx y xz σ, r, b sind Modellparameter ż = xy bz Chaos - Nichtlineare Dynamik 69/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Äg Klimamodell von Lorenz Der Lorenzattraktor ist durch ein System 3 gekoppelter nichtlinearer Differentialgleichungen gegeben: ẋ = σx + σy ẏ = rx y xz σ, r, b sind Modellparameter ż = xy bz σ σ 0 Die Jacobi-Matrix lautet: r 1 x y x b Für die Ljapunov-Exponenten erhalten wir: λ 1 = 0.9, λ 2 = 0.0 und λ 3 = 12.8 also handelt es sich um einen seltsamen Attraktor Chaos - Nichtlineare Dynamik 69/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Äg Der Lorenz-Attraktor Chaos - Nichtlineare Dynamik 70/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Äg Der Lorenz-Attraktor Lorenz-Attraktor Chaos - Nichtlineare Dynamik 71/102

Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation - Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Äg Diskrete Abbildung der relativen maximalen M-Werte (Lorenz, 1963) Chaos - Nichtlineare Dynamik 72/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 73/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Dimension dient zur Charakterisierung geometrischer Objekte in der euklidischen Geometrie: Dimension ganzzahlig Objekt Dimension Punkt 0 Linie 1 Fläche 2 Kubus 3 Chaos - Nichtlineare Dynamik 74/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Wie lang ist die Küstenlinie von Großbritannien? die Längenmessung der Küste hängt vom verwendeten Maßstab ab 1. grobe Karte: erste Annährung 2. genaueres Kartenmaterial (mehr Buchten, Landzungen): genauere Annäherung 3. Umwanderung der Insel mit Meßlatte Chaos - Nichtlineare Dynamik 75/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Wie lang ist die Küstenlinie von Großbritannien? die Längenmessung der Küste hängt vom verwendeten Maßstab ab 1. grobe Karte: erste Annährung 2. genaueres Kartenmaterial (mehr Buchten, Landzungen): genauere Annäherung 3. Umwanderung der Insel mit Meßlatte die Küste umschließt eine endliche Fläche, aber mit wachsender Meßgenauigkeit wächst die Umfangslinie ins Unendliche Chaos - Nichtlineare Dynamik 75/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Wie lang ist die Küstenlinie von Großbritannien? die Längenmessung der Küste hängt vom verwendeten Maßstab ab 1. grobe Karte: erste Annährung 2. genaueres Kartenmaterial (mehr Buchten, Landzungen): genauere Annäherung 3. Umwanderung der Insel mit Meßlatte die Küste umschließt eine endliche Fläche, aber mit wachsender Meßgenauigkeit wächst die Umfangslinie ins Unendliche Lösung: Küste ist ein Mittelding zwischen Linie und Fläche von nichtganzzahliger Dimension (Mandelbrot) Chaos - Nichtlineare Dynamik 75/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Wieviele Käfer passen auf ein Blatt? Erwartete Anzahl von Käfern bei einer Blattoberfläche mit der Dimension D = 2 Körperlänge L l l 2 l 3 l x Anzahl N c c 2 2 = c 4 c 3 2 = c 9 c x 2 Chaos - Nichtlineare Dynamik 76/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg erwartet: N L 2, gemessen N L 2.78 z.b. für x = 10: erwartet: 100 = x 2, gemessen: 600 = x 2.78 Chaos - Nichtlineare Dynamik 77/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Hausdorff-Besicovitch-Dimension Gegeben: Objekt im d-dimensionalen Raum Vorschrift: Überdecke Objekt mit d-dimensionale Kugeln mit Durchmesser λ Ermittle die minimale Anzahl N(λ) von Kugeln, die zur Überdeckung notwendig sind N(λ) log D = lim λ 0 λ 0 λ D [ N(λ) N(λ ) log [ λ λ ] ] Chaos - Nichtlineare Dynamik 78/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Beispiel: Hausdorff-Dimension einer Linie λ = 1 N = 1 λ = 1 3 N = 3 λ = 1 9 N = 9 λ: Durchmesser; N: Anzahl Chaos - Nichtlineare Dynamik 79/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Beispiel: Hausdorff-Dimension einer Linie λ = 1 N = 1 λ = 1 3 N = 3 λ = 1 9 N = 9 λ: Durchmesser; N: Anzahl D = lim [ ] log N(λ) N(λ ) λ 0 log[ λ λ ] hier: D = log( 1 ( 3) ) = 1 log 1 1 3 Chaos - Nichtlineare Dynamik 79/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Beispiel: Dimension der Cantor-Menge λ = 1 N = 1 λ = 1 3 N = 2 λ = 1 9 N = 4 Chaos - Nichtlineare Dynamik 80/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Beispiel: Dimension der Cantor-Menge D = log( 1 ( 2) log 1 1 3 λ = 1 N = 1 λ = 1 3 N = 2 λ = 1 9 N = 4 ) = log 2 log 3 = 0.6309 27 ) [ = λ L = λ ( 1 1 3 2 9 4 [ ( )] = λ 1 1 1 3 = 0! 1 2 3 1 1 3 ν=0 ] ( 2 ) ν 3 Chaos - Nichtlineare Dynamik 80/102

Fraktale und fraktale Dimension - Fraktale Dimension Äg Fraktal Benoit Mandelbrot (*1924) aus dem lateinischen, fractum: Bruchstück ist irregulär fraktale Dimension ist größer als die topologische Dimension weist Selbstähnlichkeit auf besitzt keine Glatte, sondern eine zerklüftete Form Chaos - Nichtlineare Dynamik 81/102

Fraktale und fraktale Dimension - Lineare Fraktale Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 82/102

Fraktale und fraktale Dimension - Lineare Fraktale Äg Koch-Kurve (um 1904) Gegeben: Linienstück der Länge 1 Iteration: unterteile jedes Linienstück in drei gleichlange Stücke errichte gleichseitiges Dreieck auf dem mittleren Stück entferne die Basis dieses Dreickecks Chaos - Nichtlineare Dynamik 83/102

Fraktale und fraktale Dimension - Lineare Fraktale Äg Koch-Kurve (um 1904) Gegeben: Linienstück der Länge 1 Iteration: unterteile jedes Linienstück in drei gleichlange Stücke errichte gleichseitiges Dreieck auf dem mittleren Stück entferne die Basis dieses Dreickecks Länge: unendlich; Fläche: begrenzt Dimension D = 1.261859 Kurve ist weder Linie noch Fläche Chaos - Nichtlineare Dynamik 83/102

Fraktale und fraktale Dimension - Lineare Fraktale Äg Konstruktion der Kochschen Schneeflockenkurve Kochsche Schneeflockenkurve Chaos - Nichtlineare Dynamik 84/102

Fraktale und fraktale Dimension - Lineare Fraktale Äg Das Sierpinski-Dreieick Konstruktionsvorschrift: Gegeben: ein gefülltes Dreieck Iteration: Verbinde die Mittelpunkte seiner drei Seiten Erhalte so 4 kongruente Dreiecke entferne das im Zentrum liegende Dreieck Chaos - Nichtlineare Dynamik 85/102

Fraktale und fraktale Dimension - Lineare Fraktale Äg Konstruktion des Sierpinski-Dreiecks Sierpinski-Dreieck Chaos - Nichtlineare Dynamik 86/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Einführung Strukturelle Stabilität Grenzzyklen Phasenraum Bifurkation und Feigenbaumdiagramme Die logistische Wachstumsfunktion Das Feigenbaumdiagramm Seltsame Attraktoren und ihre Klassifikation Der Ljapunov-Exponent Das Klimamodell von Edward N. Lorenz Fraktale und fraktale Dimension Fraktale Dimension Lineare Fraktale Nichtlineare Fraktale Chaos - Nichtlineare Dynamik 87/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Julia-Menge z k+1 = z 2 k c (19) Sei c gegeben, z.b. c = 0.194 0.6557i = f c (z k ) mit z, c C (20)? Wertebereich für z 0 Attraktor (Bassin) z.b. z = 11erZyklus, z =? Grenze zwischen zwei Bassins { } J c = Grenze von z lim f k n c (z) Attraktor Julia-Menge: zusammenhängend nicht zusammenhängend Chaos - Nichtlineare Dynamik 88/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Julia-Menge J c der Abbildung f c (z) = z 2 + c für c = 0.1237 + 0.5651i Jordan-Kurve Chaos - Nichtlineare Dynamik 89/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Julia-Menge J c der Abbildung f c (z) = z 2 + c für c = 0.32 + 0.043i zusammenhängend, inneres Bassin: Zykel der Periode 11 Chaos - Nichtlineare Dynamik 90/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Julia-Menge J c der Abbildung f c (z) = z 2 + c für c = 0.156 + 1.032i Dendrit Chaos - Nichtlineare Dynamik 91/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Julia-Menge J c der Abbildung f c (z) = z 2 + c für c = 0.08 + 0.67037i Cantor-Menge Chaos - Nichtlineare Dynamik 92/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Julia-Menge J c der Abbildung f c (z) = z 2 + c für c = 0.11 + 0.6557i zusammenhängend, kurz vor dem Zerfall in eine Cantor-Menge Chaos - Nichtlineare Dynamik 93/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Julia-Menge J c der Abbildung f c (z) = z 2 + c für c = 0.194 + 0.6557i Cantor-Menge, entstanden nach geringer Variation des Parameters c Chaos - Nichtlineare Dynamik 94/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Julia-Menge J c der Abbildung f c (z) = z 2 + c für c = 1.25 Chaos - Nichtlineare Dynamik 95/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Mandelbrot-Menge Sei z 0 gegeben, z.b. z 0 = 0 z k+1 = z 2 k c (21) = f c (z k ) mit z, c C (22)? Bereich der Parameterwerte c, für die J c zusammenhängend ist { } M = c lim f k n c (0) Mandelbrot-Menge: zusammenhängend, fraktale Struktur Chaos - Nichtlineare Dynamik 96/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Mandelbrot-Menge (Apfelmännchen) Chaos - Nichtlineare Dynamik 97/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Mandelbrot-Menge (Ausschnittsvergrößerung) Chaos - Nichtlineare Dynamik 98/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Zusammenhang zwischen Mandelbrot-Menge und der Periodenverdopplungskaskade der logistischen Abbildung Chaos - Nichtlineare Dynamik 99/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Zusammenhang zwischen Mandelbrot-Menge und der Periodenverdopplungskaskade der logistischen Abbildung Chaos - Nichtlineare Dynamik 100/102

Fraktale und fraktale Dimension - Nichtlineare Fraktale Äg Chaos - Nichtlineare Dynamik 101/102

Literatur Äg Argyris, J., Faust, G., and Haase, M. (1994). Die Erforschung des Chaos: eine Einführung für Physiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden. ISBN 3-528-08941-5. Peitgen, H.-O., Jürgens, H., and Saupe, D. (1992). Bausteine des Chaos: Fraktale. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-55781-4. Schuster, H. G. (1994). Deterministisches Chaos. Eine Einführung. VDH, Weinheim. ISBN 3-527-29089. Chaos - Nichtlineare Dynamik 102/102