2.5 Algebr Inhltsverzeichnis Fktorisieren 2. Terme fktorisieren...................................... 2.2 (-) usklmmern....................................... 2.3 Terme mit Klmmern fktorisieren.............................. 3.4 Binomische Ausdrücke fktorisieren............................. 4.5 Fktorisieren von Ausdrücken, die nicht binomische Formeln sind............. 5.6 Kürzen von Brüchen..................................... 6 2 Bruchterme 6 2. Einführung und Repetition.................................. 6 2.2 Multipliktion und Division von Bruchtermen........................ 7 2.3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I....................... 8 2.4 Doppelbrüche......................................... 9 3 Bruchgleichungen
Algebr 05.05.2009 Theorie und Übungen 2 Fktorisieren. Terme fktorisieren Übungen. Fktorisiere soweit wie möglich. 4x+4y = b) 6p 6q = 5b+5 = d) pq+qr = e) pq qr = f) x bx cx = 2. Fktorisiere soweit wie möglich. 5m 8n = b) 4r+ 2s = 4u 6v = d) p 2 pq = e) x 2 + 2x = f) 2 = g) 5x+5bx = h) 7by 4bz = i) 49r 3 39r = j) 5x 0y+5z = k) 54u+8v+08w = l) uv u 2 + uw = m) 8cx+24dx 2ex = n) p 2 pq+ pr p = 3. Fktorisiere soweit wie möglich. 24p 2 + 6pq = b) 20u 2 55u = 65e+78e 2 = d) 42z 3 + 78z 2 = e) 34y 4 + 7y 2 = f) 9x+57x 2 = g) 63x 3 + 2x 2 + 70x = h) 52p 3 q+94p 2 q 2 36pq 3 =.2 (-) usklmmern Übungen 4. Klmmere (-) us! x y = b) 2p+q = 4 3b = d) 6u+5v = e) c+ = f) 3y 2 5z 2 = g) 8+4b 7c = h) 2x 2 5x+9 = i) 4.5y+z 0.8 =
Algebr 05.05.2009 Theorie und Übungen 3.3 Terme mit Klmmern fktorisieren Übungen 5. Fktorisiere soweit wie möglich. (x+y)p+(x+y)q = b) x(+b) (+b)y = (m n)+2(m n) = d) n(y+z) (y+z) = e) p(x+y)+x+y = f) 2(5v+0w)+4b(0w+5v) = g) 52 3 b 2 (3x+6y) 78b 4 (3x+6y) = h) 66pq(m )+02qr(m ) 48pr(m ) = 6. Fktorisiere soweit wie möglich. (2 b)(x+y)+3(x+y) = b) (5m+6n)( b) 4n( b) = (8 5b)(u+v)+(3+4b)(u+v) = d) (7p+9q)(x y)+(5p 6q)(x y) = e) (8 5b)(u+v)+3(u+v)+4b(u+v) = f) (8c+2d)(u 2v) (7c 2d)(u 2v) = 7. Fktorisiere soweit wie möglich. (2x+2y)(2x 2y) = b) (5+5b) 2 = (3p 6q) 2 = d) (8 30b)(8+30b) = e) (6x 2 8x+2) 2 = f) (2v 2w) 3 = g) (9x+3) 3 = h) (4 4b) 4 = i) (b+ 2 = j) (3u 2 2u) 3 = 8. Fktorisiere soweit wie möglich. bm+bn+cm+cn = b) xu yu+xv yv = gv+gw hv hw = d) q bq r+ br = e) 4mp+4mq 9np 9nq = f) 5cu 8cv+5du 8dv = g) mp mq nq+np = h) x+y+bx+by+cx+cy = i) mx+nx+ px m n p = 9. Fktorisiere soweit wie möglich. 2x+35y+20y+2x = b) 32pv 2 36qv 2 80pw 2 + 90qw 2 = 75x+75y 35bx 5by = d) 88x 3 22x 2 + 32bx 3 33bx 2 e) 0 2 bx 2 + 4b 2 x 2 40 2 by 2 6b 2 y 2
Algebr 05.05.2009 Theorie und Übungen 4.4 Binomische Ausdrücke fktorisieren Es gibt 3 binomische Formeln: (+b) 2 = 2 + 2b+b 2 ( b) 2 = 2 2b+b 2 (+b)( b) = 2 b 2 Wenn ein Term ein binomischer Ausdruck sein soll, dnn müssen sicher zwei Terme vorkommen, von denen mn die Wurzel ziehen knn. Beispiele: x 2 + 4x+4 = 4c 2 2cd + 9d 2 = 9 2 6b 2 = Übungen 0. Fktorisiere soweit wie möglich. g 2 + h 2 + 2gh = b) x 2 2x+ = 4n 2 + 4np+ p 2 = d) p 2 8p+6 = e) m 2 + 26m+69 = f) 4 9 2 + b+ 9 6 b2 = g) 2 + + 4 = h) 25p4 + 80p 2 q 2 + 64q 4 = i) y 4 20y 2 + 00 = j) 4m 2 + 4 n2 mn = k) 5x 2 + 30xy+5y 2 = l) 2r 2 + 75s 2 60rs =. Fktorisiere soweit wie möglich. m 2 n 2 = b) 00x 2 36 = 4z 2 = d) 25 m2 9 4 n2 = e) 9x 4 y 4 = f) 6g 2 6h 2 = g) 63v 2 28w 2 h) u 8 v 8 = i) 3 = j) x 3 00x = k) 4x 5 00x 3 = 2. Fktorisiere soweit wie möglich. (x+y) 2 z 2 = b) p 2 + 2pq+q 2 r 2 = x 2 (y+z) 2 = d) u 2 v 2 2wv w 2 = e) 2 + b 2 c 2 + 2b = f) 49b 2 + 25c 2 70bc 36d 2 = g) r 2 s 2 t 2 + 2st = 3. Fktorisiere soweit wie möglich. 9 2 ( b) 2 = b) ( b)x 4 +(b x 2 = 9p 4 ( b) 25q 2 ( b) = d) m 2 n 2 p 2 + 2np = e) 00x 2 4(7x 2y) 2 = f) 48(+b) 2 2( b) 2 =
Algebr 05.05.2009 Theorie und Übungen 5.5 Fktorisieren von Ausdrücken, die nicht binomische Formeln sind 2 + 9+20 = 2 + 20 = Wie finden wir solche Klmmern? Wir können usprobieren, ws in mnchen Fällen ber sehr lnge duert. Es gibt ber ein einfches Schem, mit dem wir solche Aufgben lösen können. Achtung: Dieses Schem gilt nur, wenn vor der Vrible im Qudrt keine Zhl steht! Zerlege die Zhl (mit Vorzeichen) des Ausdruckes in zwei Fktoren. Finde lle Möglichkeiten. Zähle jeweils die beiden Zhlenpre zusmmen. Wenn eines die Zhl des mittleren Ausdruckes ergibt, dnn nimm dieses Zhlenpr. Schreibe zwei Klmmerpre hin und schreibe die Vrible in beiden Klmmern uf die linke Seite. Schreibe dnn die erste Zhl des Zhlenpres uf die rechte Seite der ersten Klmmer (mit Vorzeichen) und die zweite Zhl des Zhlenpres uf die rechte Seite der zweiten Klmmer (mit Vorzeichen). Wir wenden dieses Schem nun uf ds erste Beispiel dieses Abschnittes n: Aufgbe : Forme den Ausdruck 2 + 9 20 zu einem Ausdruck mit Klmmern um! Aufgbe 2: Forme den Ausdruck 2 + 20 = zu einem Ausdruck mit Klmmern um!
Algebr 05.05.2009 Theorie und Übungen 6 4. Fktorisiere soweit wie möglich. x 2 + 7x+2 = b) 2 + 3+40 = z 2 + 20z+96 = d) m 2 + 5m+6 = e) p 2 + 5p+4 = f) b 2 + 0b+9 = g) x 2 + x 2 = h) x 2 x 2 = i) x 2 7x+2 = j) x 2 + 8x+5 =.6 Kürzen von Brüchen 5. Knn gekürzt werden? Wenn j, dnn kürze soweit wie möglich. d) +b+c +b+d b+c d 6. Kürze soweit wie möglich. d) g) j) m) p) 2 6 4 b) e) b) rs rt su tu e) p 3 p 2 p 3 + p 2 h) 3v+9 5v 2 45 y 4 y 2 y 2 + 2y+ k) n) 64c 2 76c+2 2 64c 2 q) b c b d b c d e f x y y x f) 4 4 f) 2s+2t s 2 t 2 i) x 2 + 7x+0 x 2 25 l) x 2 + 5x 4 6 8x+x 2 o) r 2 2rs+s 2 5rs 5r 2 r) +b+c +b+c b c c d e 2y+2 5y+5 x 2 + 2x 63 7 x 36x 2 y 2x 2 y 60xy x 2 x 2 x 2 + 3x+2 x 2 2xy+y 2 z 2 x 2 y 2 2yz z 2 0x+25y 4x 2 + 20xy+25y 2 2 Bruchterme 2. Einführung und Repetition Den Begriff Term hben wir bereits kennengelernt. Ein Term ist zusmmengesetzt us Zhlen, Vribeln, Klmmern und Bruchstrichen. Dbei sind insbesondere Gleichungen und Ungleichungen keine Terme. Der Begriff Bruchterm ist selbsterklärend. Dmit sind diejenigen Terme gemeint, die einen (oder mehrere) Bruchstrich(e) hben. Beispiele
Algebr 05.05.2009 Theorie und Übungen 7 Bei Bruchtermen gelten die gleichen Prinzipien wie bei den Brüchen (z.b. 3 ). Deshlb lösen wir ls Repetition schnell ein pr Übungen mit bereits beknntem Stoff. Repetitionsübungen 7. Berechne die folgenden Ausdrücke! 3 + 4 = b) 2 3 + 3 5 = 4 5 3 = d) 3 5 2 = 8. Berechne die folgenden Ausdrücke! 3 5 2 = b) 2 5 3 = 3 5 : 2 = d) 2 5 : 4 = 9. Fülle jeweils die Lücke us: Brüche können nur ddiert/subtrhiert werden, wenn sie.... b) Brüche mit gleichem Nenner werden ddiert, indem mn.... Brüche werden multipliziert, indem mn... d) Brüche werden dividiert, indem mn... 20. Entscheide, ob die Aussge whr oder flsch ist. Zwei Brüche können nur miteinnder multipliziert werden, wenn der Nenner gleich ist. b) Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler hben, können sie miteinnder subtrhiert werden. 2.2 Multipliktion und Division von Bruchtermen Beispiele 2. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter
Algebr 05.05.2009 Theorie und Übungen 8 e) 4b 5 2 5b 2 0+0b 7b 3 4 [ ] b) 2 24y b 2 ( b) 6x+40 4x+0 4y 2 2 b 2 (+b) 2 2+2b 3b 3 x 4 y 4 x 2 2xy+y 2 x y x 2 + xy [ 3 2y+ ] [ 2 3 ] d) x 2 y 2 x 2 + y 2 x3 + xy 2 (x y) 2 [ x(x+y) x y ] [ x2 +y 2 x ] 22. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter 2x 2 + 4xy+2y 2 (3xy) 2 : x2 y 2 9x 2 y 9z 2 + 2w 2z 20 : 9z4 6w 2 8z 30 [ 2(x+y) y(x y) ] b) 6u 2 9b 2 24(b+u) : 4u 3b 36(u+b) 9 [ ] d) c 2 d 2 (d 2 2(3z 2 4w) c 2 : 4c+3 c 3 23. Erfinde eine Aufgbe zum Them Division von Brüchen, die ds Ergebnis ht. [ 3(4u+3b) 2 ] [ c+d (c )(d ] 2.3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Wir wollen folgende Aufgbe lösen: b = Wir lösen die Aufgbe in zwei Schritten: Die Ausführung: Übungen 24. Mche bei den folgenden Aufgben die Brüche gleichnmig. +b b b +b b) 7 t + 6 t
Algebr 05.05.2009 Theorie und Übungen 9 25. Fülle die Lücke us: Den gemeinsmen Nenner von zwei Brüchen finden wir herus, indem wir.... 26. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter +b b b +b x x2 2 x 2 [ 4b (+b)( b) ] b) 7 t + 6 t [ 2(x ) ] d) k l k+ 4l x 2 + 4k+ 4l 6k+ 6l 27. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter ( b ) ( : b b ) ( [ b ] b) m + ) ( : n m ) [ n+m n m n ] 28. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter ( 2 + b 2 + b 2 b b ) ( [ b +b ] b) ) )( 2 [ ] + ( 45 7 2 b 2 : +b + ) [ b 6 2+2b ] ( ) 2t + 4s 2t 4s t 2 4s 2 d) : 3t 5s 3t + 5s 9t 2 25s 2 44st [ ] (t+2s)(t 2s) [ t ] [ 5 2 ] 2.4 Doppelbrüche Doppelbrüche mit Zhlen hben wir bereits in der Unterstufe kennengelernt. Bei Doppelbrüchen hben die verschiedenen Bruchstriche verschiedene Prioritäten. Dmit der Doppelbruch eindeutig ist, muss der Huptbruchstrich gekennzeichnet sein, meistens ist er die längste Linie, in diesem Skript ist er die dickste Linie 2 5 4 7 = Merke: Bei Doppelbrüchen werden die äusseren und die inneren Glieder miteinnder multipliziert. Aufgbe: Forme den folgenden Bruch zu einem Bruch mit einem Bruchstrich um. 2+4 2 3+6 2 3 Wenn wir wissen, wie wir einen Doppelbruch mit Zhlen lösen müssen, dnn können wir uch ohne Probleme einen Doppelbruch mit Vribeln lösen:
Algebr 05.05.2009 Theorie und Übungen 0 Bei der nächsten Aufgbe kommt eine zusätzliche Schwierigkeit dzu. Bis jetzt htten wir oberhlb des Huptbruchstriches (dicker Bruchstrich) und unterhlb des Bruchstriches schöne Brüche. In der folgenden Sitution ist ds nicht mehr so. Oberhlb des Bruchstriches hben wir eine Summe von Brüchen. Die Aufgbe sieht so us: 5 x+ 7 x 2 x 2 2 Die Lösung ist nicht viel schwieriger ls beim vorherigen Beispiel. Wir müssen einfch zuerst die beiden Brüche zusmmenzählen, dnch befinden wir uns in der beknnten Sitution des oberen Beispiels. Lösung Übungen 29. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter 2 + [ 2 ] b) x y x+y x x y x+y x y y x+y [ 3xy+y2 x 2 +xy+2y 2 ] 30. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter 4 8b 2 4b 2 5 [ 4 ] b) x 2 + 2 5(+2b) x x +x [ 2 x 2 ] + + [ (+) +2 ] 3. Fsse so zusmmen, dss im Endergebnis nur ein Bruchstrich vorkommt und nicht mehr weiter
Algebr 05.05.2009 Theorie und Übungen x [ x ] b) x+ x 2 r+ s r s r s r+ s r2 + s 2 r 2 s 2 [ 2r s ] d) 2 3 +4 [] + 2 + 2 c +b +c 6 2 2bc+6b 2 c 2 [ ] 6c(+( b 3 Bruchgleichungen In diesem Abschnitt geht es um Bruchgleichungen. Ds sind Gleichungen, wo die Unbeknnte im Nenner eines Bruches (oder mehrerer Brüche) vorkommt. Wir schuen uns ein Beispiel n: Aufgbe: 5x+2 x 2 x 6 x+6 = 4
Algebr 05.05.2009 Theorie und Übungen 2! Auf dem Weg zur Lösung multiplizieren wir mit einem Term (z.b. (x 2) ). Dies ist ber nicht immer eine Äquivlenzumformung, es knn sein, dss wir Lösungen erhlten, die gr keine sind (Scheinlösungen). Deshlb müssen wir für die erhltenen Lösungen immer überprüfen, ob sie uch in der Definitionsmenge sind. 32. Bestimme die Lösungen der Gleichungen in Q, indem Du zuerst die Definitionsmenge ermittelst und dnn nch x uflöst. Gib Dein Ergebnis in der Form L = {...} n. e) 3+x x 2 = 2x+ 2x 4 3(x+2) x+8 = 2(x+3) x+8 x 6 = x x x+0 [L = {}] b) [L = {0}] d) x + 2 = 9 x x 7 x 3 = x x+2 33. Bei welchen der untenstehenden Bruchgleichungen ist x = 2 eine Lösung? (x+2)(x 3) = (x+2)(x+4) [nein] b) x 4 4+x = x 2 x+0 [L = {4}] [L = {3}] [L = {5}] 34. Bei der untenstehenden Bruchgleichung erhlten wir eine Gleichung 2.Grdes, wenn wir mit der bisher gelernten Methode verfhren. Gibt es einen einfcheren Weg, um die Gleichung zu lösen? Probiere Deine Idee us! 2x+9 x+2 = 47 3x+6 (x+2) 2x+9 = 47(x+2) 3x+6 (3x+6) (2x+9)(3x+6) = 47(x+2) 6x 2 + 2x+57x+4 = 47x+94 6x 2 + 69x+4 = 47x+94 6x 2 + 22x x,2 = 22 ± 22 2 4 6 ( 40) 2 6 x = 2 ungültig, / D x 2 = 5/3 L = {-5/3} = 20 [j]