Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 S Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen In cht Leveln zum Meister! Eponentilgleichungen lösen Kerstin Lnger, Kiel Klsse: Duer: Inhlt: Ihr Plus: 0 (G8) 5 Stunden Eponentilgleichungen lösen von der einfchen, mit elementren Mitteln lösbren Aufgbe bis zum komplizierten Problem, für dessen Lösung komplee mthemtische Strukturen wie Potenzgesetze und Logrithmen erforderlich sind ü Binnendifferenziertes Mteril (cht Schwierigkeitsstufen, sog. Level) ü Viele Tippkrten ü Selbstlernmterilien; logisch ufeinnder ufbuend (einfch à schwierig) ü Musterlösungskärtchen uf der CD-ROM 8 Dieses Kpitel ist bei Schülern meist nicht sehr beliebt. Eponentilgleichungen wirken noch bedrohlicher ls qudrtische Gleichungen und die Anwendung des Logrithmus mcht die Angelegenheit nicht gerde einfcher. Ds ht jetzt ein Ende! Diese Einheit but den Umgng mit Eponentilgleichungen nämlich behutsm und Schritt für Schritt uf. Der hohe Motivtionschrkter beruht neben dem klren Aufbu uch druf, dss die Lernenden ihren Weg individuell bestreiten. Dzu zählen die Möglichkeit der eigenen Zeiteinteilung, die Selbstkontrolle durch die Einsicht von Lösungen und die in usreichender Zhl vorhndenen Tippkrten. 7 RAAbits Mthemtik Dezember 0
Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 S Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen Didktisch-methodische Hinweise Fchwissenschftliche Hinweise Um Eponentilgleichungen zu lösen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Elementre Eponentilgleichungen lssen sich z. B. durch Eponentenvergleich oder Anwendung des Logrithmus lösen. Bei komplizierteren Gleichungen, in denen unterschiedliche Bsen oder Eponenten uftreten, benötigt mn die Potenzgesetze. Diese werden in dieser Einheit ls beknnt vorusgesetzt. Alterntiv zu den Potenzgesetzen lssen sich die Logrithmengesetze verwenden. Diese inden in diesem Beitrg jedoch keine Verwendung. Binnendifferenzierte Selbstlernmterilien Diese Einheit ist so konzipiert, dss die Schüler ihren Weg von einfchen zu kompleen Eponentilgleichungen nhezu lleine gehen können. Neben dem Pfd von ufeinnder ufbuenden Aufgben stehen Tippkrten zur Verfügung, uf denen jeweils ein Hinweis für den nächsten Schritt gegeben ist. Sie hben während dieser Einheit den Freirum, Ihre Schüler in Ruhe zu beobchten oder sich gezielt um einzelne Schüler zu kümmern. Aufbu Die Unterrichtseinheit bsiert uf dem Einstz von Krten unterschiedlichster Funktion: Die Aufgbenkrten zu den Eponentilgleichungen sind in cht Schwierigkeitsstufen, sogennnte Level, eingeteilt und beinhlten jeweils sechs Aufgben ähnlicher Art. Die einzelnen Level buen ufeinnder uf: Von Level zu Level kommt ein weiterer Schritt hinzu, der für die Schüler mehr oder (mnchml uch) weniger selbsterklärend ist. Für Level 5 müssen Sie einen Input durch ds Arbeitsbltt M geben, uf dem der Logrithmus vorgestellt wird. Sie hben die Möglichkeit, die Lösungen zu den Aufgben jeweils uf die Rückseite der Aufgbenkrte zu drucken bzw. zu kopieren. Alterntiv dzu können Sie reine Lösungskrten mit (uf der CD-ROM 8) und ohne Rechenweg (Mterilseite ) usgeben. Zu jeder der Aufgben gibt es eine oder mehrere Tippkrten, uf denen elementre Hinweise zum weiteren Vorgehen stehen. Sämtliche Rückseiten zu den Tippkrten inden Sie uf CD-ROM 8. Sie enthlten die Umsetzung des Tipps. Drucken Sie die Seiten us, kopieren Sie sie uf die Rückseite der jeweiligen Tippkrte und lminieren Sie die Krten ls Gnzes. Bitte bechten Sie, dss ds Lyout der Krten für doppelseitiges Kopieren gestltet ist, d. h., die Zuordnung der Rückseiten zu den Vorderseiten erscheint uf den ersten Blick spiegelverkehrt. Dmit die Schüler ihren Lernprozess individuell in seinen einzelnen Schritten verfolgen können, gibt es eine Übersicht (M ), in die sie eintrgen, ob sie die Aufgben jeweils ohne Hilfe, mit Hilfe oder gr nicht gelöst hben. Tipps zur Mterilerstellung Zur lngen Hltbrkeit der Krten sollten Sie diese lminieren. Als zeit- und vermutlich uch geldsprende Vrinte ht sich bewährt, die gesmte A-Seite zu lminieren und hinterher useinnderzuschneiden. Zur Unterscheidung einzelner Level sollten Sie diese uf frbiges Ppier kopieren. Insbesondere bei den Tippkrten ist dies sinnvoll. Alterntiv können Sie uch lle Krten eines Stzes in einer Frbe hlten, wobei Sie jeder Gruppe eine Frbe geben. 7 RAAbits Mthemtik Dezember 0
Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 S Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen Die einzelnen Level im Detil Level Beispiel Hinweis 7 Die Aufgben in diesem Level sollen forml durch Eponentenvergleich gelöst werden. In der Pris wird sich sicherlich die Lösung durch einfches Hingucken ermitteln lssen. 5 7 + 89 90 Diese Aufgben lssen sich eigentlich ebenflls durch Hingucken lösen, jedoch müssen die Schüler zunächst die Potenz freistellen. 5 6 + 7 Bei diesen Aufgben sollen die Schüler wieder ds Prinzip des Eponentenvergleichs verwenden. Allerdings lssen sie sich nicht einfch durch Hingucken lösen. Mn muss zunächst die gleiche Bsis herstellen und dnn eine linere Gleichung ufstellen und lösen. 5 6 Um bei diesen Aufgben die gleiche Bsis verwenden zu können, müssen die Potenzgesetze verwendet werden. Drus ergibt sich eine linere Gleichung, die mn lösen muss. + 8 7 Diese Aufgben lssen sich nicht mehr mit dem Eponentenvergleich lösen. An dieser Stelle wird zum ersten Ml der Logrithmus benötigt. Dieser wird uf einem gesonderten Arbeitsbltt (M ) eingeführt bzw. vorgestellt. + 6 9 7 In Level 6 kommen zum ersten Ml mehrere Potenzen mit gleicher Bsis innerhlb eines Produkts vor, sodss ds bereits erlernte Prinzip des Eponentenvergleichs nicht nwendbr ist. Ds Freistellen der Potenzen ht n dieser Stelle eine gnz besondere Bedeutung. D lle in einer Aufgbe vorkommenden Potenzen die gleiche Bsis hben, können Ihre Schüler die Potenzgesetze für die Division von Potenzen nwenden. 7 8 8 97 Die in Level 7 vorkommenden Potenzen besitzen nicht die gleiche Bsis. Dher müssen sie uf den gleichen Eponenten gebrcht werden. Dzu werden sämtliche Potenzgesetze benötigt. + 8 Level 8 ist ls Zustzlevel für die schnellen Schüler gedcht. Die Aufgben hben lle eine kleine Besonderheit: Einige sind nicht lösbr, während ndere sich durch den richtigen Anstz innerhlb kürzester Zeit lösen lssen. So setzen Sie ds Mteril ein Ds Mteril ist so ufgebut, dss Sie es leibel und pssend zu Ihrer Lerngruppe einsetzen können. Sie hben zur Verfügung: Aufgbenkrten mit oder ohne Lösung uf der Rückseite, Tippkrten mit oder ohne Lösung uf der Rückseite, Musterlösungen für jede Aufgbe mit usführlichem Rechenweg, Übersichtsbltt mit llen Aufgben, uf dem die Schüler eintrgen sollen, ob sie die Aufgben ohne Hilfe, mit Hilfe oder gr nicht gelöst hben. 7 RAAbits Mthemtik Dezember 0
Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 Verluf Mteril S LEK Glossr Lösungen M Mein Mrthon im Lösen von Eponentilgleichungen Zum Lösen von komplizierten Eponentilgleichungen bedrf es der Übung. Dmit du nicht den Überblick verlierst, zeigt dir diese Übersicht, welche Teilziele du bereits wie gut erreicht hst. Trge m Ende jeder Aufgbe ein, ob du sie ohne Hilfe (J grün), mit Hilfe (K gelb) oder gr nicht (L rot) gelöst hst. Level Level A) B) 7 C) 6 D) E) 0,5 0,5 F) 6 + A) 8 + B) 7 6 C) 5 65 D) E) 7 Level A) 9 5 565 B) 6,5 8 Level 5 F) 56 A) 5 8 B) 7 C) 0 + D) 8 7 + E) 7 F) 9 5 8 Level Level 6 C) 6 6656 D) 6 6 E) 5 7 + 89 90 F) 8, + 5,8 7 + A) 5 5 0 B) 0 5 C) 6 + + + 5 F) 8 D) 7 E) 6 6 + A) 5 7 5 + B) 5 C) 6 8 6 + D) 7 + E) 8 7 6+ + F) 9 7 + 6 Level 7 A) 6 7 B) 5 C) 5 7 + D) 8 9 7 E) 5 7 + F)6 6 8 + Level 8 A) 7 7 B) 5 C) 5 7 + D) 9 7 9 + E) 9 7 + F) 8 + 7 RAAbits Mthemtik Dezember 0
Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 Verluf Mteril S LEK Glossr Lösungen M Tipps und Tricks b Level 5 der Logrithmus Bisher hben wir Aufgben vom Typ + 8 gelöst. In diesen Beispielen konnten wir die rechte Seite der Gleichung, wie hier die Zhl 8, ls er-potenz drstellen und die Eponenten vergleichen. Bei Aufgben wie 5 7 können wir unser Verfhren nicht mehr nwenden, d wir 7 nicht ls Potenz von 5 drstellen können. Durch Ausprobieren können wir zwr eine Näherung für finden, für eine ekte Bestimmung ber bruchen wir den Logrithmus. Merke: Der Logrithmus Gegeben ist folgende Gleichung: b y mit b > 0 und y > 0. Gesucht ist. Definition: Der Logrithmus von y zur Bsis b ist die Zhl, mit der mn b potenzieren muss, um y zu erhlten: log y b Übersetzung für Nichtmthemtiker : Der Logrithmus ist der gesuchte Eponent in der Gleichung b y. Dbei geben wir die Bsis b der Potenz n und den Wert y, zu dem wir den Eponenten suchen. Beispiele: 8: Dnn ist (Hingucken!). Der Logrithmus von 8 zur Bsis ist: log 8 5 7: Dnn ist der Logrithmus von 7 zur Bsis 5: log 7, Bemerkung: Bei Logrithmen zur Bsis 0 schreibt mn nstelle von log 0 kurz lg. 5 Bedienung des Tschenrechners: Eingbe zur Berechnung von log b Tschenrechner mit ntürlichem Disply: log Tschenrechner ohne ntürliches Disply: log n Wir mchen uns folgenden Zusmmenhng zunutze: logb log b lg Dbei ist n eine beliebige Bsis, z. B. n 0: log b lg b D der Tschenrechner uns den Logrithmus zur Bsis 0 usgeben knn, ergibt sich folgende Tstenfolge: log : log b n Unglücklicherweise wird die Tste uf dem Tschenrechner für den Logrithmus zur Bsis 0 häufig mit log nstelle von lg bezeichnet. Verwende trotzdem bei llen Rechnungen die korrekte mthemtische Bezeichnung. 7 RAAbits Mthemtik Dezember 0
Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 Verluf Mteril S LEK Glossr Lösungen Die Aufgben Eponentilgleichungen - Level Bestimme. Eponentilgleichungen - Level Bestimme. A) B) 7 C) 6 D) E) 0,5 0,5 F) 6 A) 9 5 565 B) 6,5 8 C) 6 6656 D) 6 6 E) 5 7 + 89 90 F) 8, + 5,8 7 Eponentilgleichungen - Level + A) 8 + B) 7 6 C) 5 65 Bestimme. D) E) 7 F) 56 Eponentilgleichungen - Level + A) 5 5 0 B) 0 5 C) 6 Bestimme. Eponentilgleichungen - Level 5 A) 5 8 B) 7 C) 0 Bestimme. + D) 8 7 + E) 7 F) 9 5 8 D) 7 + + E) 6 6 + 5 F) 8 Eponentilgleichungen - Level 6 + A) 5 7 5 + B) 5 C) 6 8 6 + Bestimme. D) 7 + E) 8 7 6+ + F) 9 7 + 6 Eponentilgleichungen - Level 7 Bestimme. Eponentilgleichungen - Level 8 Bestimme. A) 6 7 B) 5 C) 5 7 + D) 8 9 7 E) 5 7 + F)6 6 8 + A) 7 7 B) 5 C) 5 7 + D) 9 7 9 + E) 9 7 + F) 8 + 7 RAAbits Mthemtik Dezember 0
Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 Verluf Mteril S 5 LEK Glossr Lösungen Eponentilgleichungen - Level Eponentilgleichungen - Level A: Tippkrte / B: Tippkrte / Schreibe ls Potenz von : Schreibe 7 ls Potenz von : 7 Eponentilgleichungen - Level C: Tippkrte / Schreibe 6 ls Potenz von : 6 Eponentilgleichungen - Level D: Tippkrte / Schreibe ls Potenz von : Eponentilgleichungen - Level E: Tippkrte / Eponentilgleichungen - Level E: Tippkrte / Schreibe 0,5 ls Potenz von 0,5: 0,5 0,5 Wndle die Dezimlzhlen in Brüche um: 0,5 0,5 Eponentilgleichungen - Level Eponentilgleichungen - Level F: Tippkrte / F: Tippkrte / Schreibe 6 ls Potenz von : 6 ( ) Verwende den Zusmmenhng. 7 RAAbits Mthemtik Dezember 0
Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 Verluf Mteril S 7 LEK Glossr Lösungen Eponentilgleichungen - Level Eponentilgleichungen - Level A: Tippkrte / A: Tippkrte / Schreibe 8 ls Potenz von : 8 Vergleiche die Eponenten: + Eponentilgleichungen - Level B: Tippkrte / Schreibe 7 ls Potenz von : 7 Eponentilgleichungen - Level B: Tippkrte / Vergleiche die Eponenten: + Eponentilgleichungen - Level C: Tippkrte / Eponentilgleichungen - Level C: Tippkrte / Schreibe 65 ls Potenz von 5: 65 5 Vergleiche die Eponenten: 5 5 6 Eponentilgleichungen - Level Eponentilgleichungen - Level D: Tippkrte / D: Tippkrte / Schreibe ls Potenz von : Vergleiche die Eponenten: 7 RAAbits Mthemtik Dezember 0
Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 Verluf Mteril S LEK Glossr Lösungen Eponentilgleichungen - Level 7 Eponentilgleichungen - Level 7 B: Tippkrte / C: Tippkrte / Verwende den Zusmmenhng b b. Bringe lle Terme mit uf eine Seite, lle nderen uf die ndere Seite. Eponentilgleichungen - Level 7 C: Tippkrte / Bringe beide Potenzen uf den gleichen Eponenten. Eponentilgleichungen - Level 7 C: Tippkrte / Verwende den Zusmmenhng b b. Eponentilgleichungen - Level 7 C: Tippkrte / Eponentilgleichungen - Level 7 D: Tippkrte / Verwende die Definition des Logrithmus: b y log y b Bringe lle Terme mit uf eine Seite, lle nderen uf die ndere Seite. Eponentilgleichungen - Level 7 Eponentilgleichungen - Level 7 D: Tippkrte / D: Tippkrte / Bringe beide Potenzen uf den gleichen Eponenten. Verwende den Zusmmenhng b b. 7 RAAbits Mthemtik Dezember 0
Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen S Lösungen Der Übersichtlichkeit hlber hben wir bei der Drstellung uf die Äquivlenzpfeile ( ) verzichtet. Selbstverständlich hndelt es sich bei llen Gleichungsumformungen um Äquivlenzumformungen. Level A B 7 C 6 E Level 0,5 0,5 0,5 0,5 oder 8 A 9 5 565 : 9 5 565 9 5 65 5 5 C 6 56 6 6 6656 6656 8 8 D 5 5 F ( ) 6 B 6,5 8 :6, 5 8 6 D ( 6) ( 6) 6 6 : 6 6 6 E 5 7 + 89 90 89 5 7 75 : 5 7 7 7 F 8, + 5,8 7 5,8 8,, 5 : 8,,,, 7 RAAbits Mthemtik Dezember 0