f) 2(x y) n a (x y)n (y x)2

Transkript

1 . Wurzelrechnung.9 Entwickle die folgenden Binome: ( + y) 7 ( ) 8 ( y) ( ) b ( ).9 Vereinfche (9 + 9b 8 ( + y) n (b by) n (q pqy) ( py) (u + v) m (bu bv) n (cu cv ) m+n.9 Desgl. ( ) + ( ( ) ( ( ) ( ( ) ( + ) ( + u v (s r) : u v r s g) (p q) (q p) (p q) h) ( k (b 7 k (b k ( 7 + (7b k) (00 00y) + (00y 00) (u + v) (u v) (u v ) f) ( y) n ( y)n+ (y ). Wurzelrechnung.. Rdizieren ls erste Umkehrung des Potenzierens... Der Wurzelbegriff Für die beiden direkten Rechenrten erster und zweiter Stufe, die Addition und die Multipliktion, gilt ds Kommuttivgesetz + b = b + bzw. b = b. Aus diesem Grunde ht jede dieser beiden Rechenrten nur eine Umkehrung. Die Umkehrung der Addition ist die Subtrktion, die Umkehrung der Multipliktion ist die Division. Ds Kommuttivgesetz gilt ber nicht für die Potenzrechnung, die direkte Rechenrt dritter Stufe, denn es ist n n. Aus diesem Grunde muss die Potenzrechnung zwei Umkehrungen besitzen. Ist us der Potenzgleichung n = b

2 Arithmetik bei beknntem n N \{0} und b 0 die Grundzhl zu bestimmen, so führt dies uf eine neue Rechenrt, die mn Wurzelrechnung oder Rdizieren ) nennt. Für diese neue Rechenrt muss eine eine neue Symbolik eingeführt werden. Mn schreibt n = b = n b mit, b 0 sowie n N \{0}. (.) Gelesen wird die Gleichung = n b : ist die n-te Wurzel us b. Für nicht negtive Werte von und b drücken demnch die beiden Gleichungen n = b und = n b denselben Schverhlt us; sie sind nur nch verschiedenen Größen ufgelöst. Es gilt demnch die folgende Definition des Wurzelbegriffs: Die n-te Wurzel us b 0 ist diejenige nicht negtive Zhl, deren n-te Potenz b ergibt. Bei der Potenzrechnung ist lso der Potenzwert b gesucht, den mn erhält, wenn mn die gegebene Grundzhl (Bsis) so oft mit sich selbst multipliziert, wie ds der Eponent n vorschreibt. Dgegen wird bei der Wurzelrechnung die Bsis gesucht, die in dien-te Potenz erhoben werden muss, wenn mn den Rdiknden b erhlten will. In = n b nennt mn b den Rdiknden n den Wurzeleponenten und die Wurzel oder den Wurzelwert. Die hier verwendete Definition des Wurzelbegriffes erlubt es nicht, Wurzeln us negtiven Zhlen zu ziehen, denn es wird gefordert, dss b 0seinmuss.Desgleichengibtes uch keine negtiven Wurzelwerte, d verlngt wird, dss mn unter der n-ten Wurzel us b diejenige nicht negtive Zhl verstehen soll, deren n-te Potenz b ergibt. Die Beschränkung uf positive Wurzelwerte ist nötig, wenn ds Wurzelsymbol ein eindeutiges Rechenzeichen sein soll. Würde mn nämlich diese Einschränkung nicht einführen, so könnte mn z. B. dem Zeichen zwei unterschiedliche Werte zuordnen, nämlich + und, denn es ist sowohl (+) = ls uch ( ) =. Für Aufgben der Art + 9 =? würde es dnn eine gnze Reihe unterschiedlicher Lösungen geben. Dgegen ht diese Aufgbe ufgrund der Beschränkung uf positive Wurzelwerte die eindeutige Lösung + 9 = + =. Eine Begründung dfür, dss mn uch ls Rdiknden nur positive Zhlen bzw. die Zhl Null zulässt, wird im Abschnitt... gegeben. ) rdi (lt.) die Wurzel

3 . Wurzelrechnung 7 Aus der Definition der Wurzel folgt für b 0 ( n b ) n = n bn = b. (.) ( ) wobei mn im Flle n n b n die beiden Klmmern uch weglssen drf. Bei nicht negtivem Rdiknden heben sich demnch Potenzieren und Rdizieren mit dem gleichen Eponenten gegenseitig uf, d. h.: Ds Rdizieren ist die erste Umkehrung des Potenzierens. Von diesem Stz wird Gebruch gemcht, wenn nchgeprüft werden soll, ob eine Wurzel richtig berechnet worden ist. Die zweite Umkehrung der Potenzrechnung, die Logrithmenrechnung, wird. im Abschnitt. behndelt. Beispiel:. 0,0 = 0,, denn es ist 0, = 0,0. gibt es nicht; denn lut Definition der Wurzel drf der Rdiknd nicht negtiv sein. =, denn es ist =. Für 0 gilt n = n, denn es ist ( n ) = n. n n =, denn es ist ( ) n = n. Die Gleichung = ist nur für 0 richtig, weil für den Rdiknden nur positive Werte zugelssen sind. Dgegen gilt die Gleichung = für < < +. Auf der rechten Seite dieser Gleichung ist der Betrg von zu schreiben, d ls Wurzelwerte nur nicht negtive Zhlen in Frge kommen. selbst drf ber in diesem Flle ohne weiteres negtiv sein, denn der Betrg einer negtiven Zhl ist positiv. Als Verllgemeinerung des Beispiels. knn mn formulieren: Ist n N \{0 }, so gilt n n = n n = für 0 (.) n n = für < <. Mn drf lso nicht ohne weiteres gleiche Wurzel- oder Potenzeponenten gegeneinnder kürzen. Es muss stets druf gechtet werden, in welchem Bereich die Bsis gültig ist. Bei der zweiten Wurzel lässt mn gewöhnlich den Wurzeleponenten weg und schreibt in vereinfchter Form =.

4 8 Arithmetik Mn nennt die zweite Wurzel uch Qudrtwurzel, d sie die Seitenlänge eines Qudrtes mit dem Flächeninhlt ngibt. Entsprechend liefert die dritte Wurzel, die Kubikwurzel V, die Kntenlänge desjenigen Würfels, dessen Volumen V beträgt. Beim Rechnen mit Wurzeln sollte mn stets uf die folgenden Sonderfälle chten:. Es ist stets n =, (.) denn für lle n gilt: n =.. Für lle n N \{0} gilt n 0 = 0, (.) denn unter der gennnten Vorussetzung ist 0 n = 0.. Ferner ist für b 0 denn es ist b = b. b = b, (.7) Ds Zeichen wird im Allgemeinen nicht geschrieben. Bei drf dgegen nur der Wurzeleponent weggelssen werden. Bei llen übrigen Wurzeln muss der Wurzeleponent ngegeben werden.... Die Berechnung von Wurzelwerten Algorithmen, mit deren Hilfe die Berechnung von Wurzelwerten uf die vier Grundrechenrten +,, und / zurückgeführt werden, gibt es, solnge mn die Wurzelrechnung kennt. Allerdings kennt sie kum noch jemnd, d es mit den Computern und den Tschenrechnern Hilfsmittel gibt, die die gesuchten Zhlenwerte ußerordentlich schnell und mit großer Genuigkeit ermitteln können. Dennoch soll hier eine Vorgehensweise demonstriert werden, die in ähnlicher Weise bei der Lösung vieler komplizierter mthemtischer Probleme beschritten wird, für die es bis jetzt noch keine Algorithmen gibt, und die sich ddurch uch nicht ohne weiteres mit einem Computer berbeiten lssen. Beispiel:. 0 soll ohne technische Hilfsmittel berechnet werden. Lösung: Es wird ein so gennntes Einschchtelungsprinzip vorgestellt, mit dessen Hilfe der genue Zhlenwert von 0 von Schritt zu Schritt immer mehr verbessert wird. Der Grundgednke ist dbei folgender:

5 . Wurzelrechnung 9 D die dritte Wurzel us 0 bestimmt werden soll, sucht mn zunächst die beiden Zhlen uf, deren dritte Potenzen der 0 m nächsten kommen. Es sind dies die und die, denn = 8 und = 7. Hierus lässt sich schon erkennen, dss 0 näher n der liegen wird ls n der. (Wrum?) Also berechnet mn mit der, beginnend in Zehntelschrittten die folgenden Zhlen, bis mn wiederum n die Stelle gelngt, n der die dritten Potenzen den Wert 0 überschreiten:, = 9,,, = 0,8. Schon beim zweiten Schritt erkennt mn, dss, < 0 <, sein muss, und d der Rdiknd 0 fst in der Mitte zwischen 9, und 0,8 liegt, lässt sich vermuten, dss uch der gesuchte Wurzelwert etw in der Mitte von, und, liegen wird. Beim folgenden Schritt unserer Annäherung n den gesuchten Wert wird mn dher von, usgehend in Hundertstelschritten weiter vornschreiten, bis mn wiederum die Grenze 0 überschreitet:, = 9,800,, = 9,98 7,, = 0, Ds Grundprinzip des Verfhrens müsste nunmehr erkennbr sein: Bei jedem Überschreiten des Potenzwertes 0 verkleinert mn die Schrittweise für die Suche nch dem ekten Wert uf ein Zehntel der bisherigen Schrittweite und verfährt dmit nch demselben Schem, ds vorher ngewendet worden ist. Soll 0 uf Stellen nch dem Komm ermittelt werden, so findet mn uf diese Weise 0 =,. (Es wird empfohlen, die zugehörigen Rechnungen selbständig uszuführen, um sich mit der Vorgehensweise vertrut zu mchen.) Aus diesem Beispiel geht deutlich hervor, wie viel Mühe und Ausduer nötig wren, um derrtige Zhlenwerte zu berechnen, ls noch keinerlei elektronische Rechenhilfsmittel zur Verfügung stnden. Es ist ber genuso ufschlussreich zu wissen, dss die heutigen Computer und Tschenrechner bei der Berechnung von Wurzeln und nderen mthemtische Größen gnz ähnliche Verfhren verwenden, und dss ll die erforderlichen Zwischenschritte mit einer unvorstellbren Geschwindigkeit bgerbeitet werden, sodss die gesuchten Werte sofort nch der Betätigung der entsprechenden Funktionststen zur Verfügung stehen. Selbst bei den billigsten Tschenrechnern steht zumindest eine Tste zur Verfügung, mit deren Hilfe Qudrtwurzeln berechnet werden können. Sie ist meist mit sqrt gekennzeichnet. (SQRT ist die Abkürzung für squreroot.) Will mn mit dem in WINDOWS enthltenen Stndrdrechner 7, berechnen, so wird mit der Tstenfolge 7, sqrt

6 70 Arithmetik sofort ds Ergebnis, geliefert. Wie viele Stellen mn dvon für seine weitere Rechnung brucht, diese Entscheidung nimmt einem der Tschenrechner llerdings nicht b. Auf dem wissenschftlichen Rechner von WINDOWS wird mn ds Wurzelzeichen vergeblich suchen. Es ist nicht verhnden. Ds bedeutet jedoch nicht, dss mn mit diesem Rechner keine Wurzeln ermitteln knn. Dieser Rechner besitzt nämlich eine Inv -Tste, die uf die so gennnten inversen Rechenopertionen hinweist. Dbei versteht mn unter einer inversen Rechenopertion nichts nderes ls die Umkehrung einer Rechenrt. D die Wurzelrechnung die Umkehrung der Potenzrechnung ist, muss mn dem wissenschftlichen Rechner die Absicht eine Wurzel zu berechnen in der Weise mitteilen, dss mnihm sgt, er solle die Umkehrung einer Potenzierung durchgeführen. Die Berechnung von 00 erfolgt demnch in drei Schritten:. Schritt: Eintippen des Rdiknden 00;. Schritt: Mitteilung, dss eine Umkehrrechung durchzuführen ist (Drücken der Inv -Tst;. Schritt: Mitteilung, dss es sich um die Umkehrung der dritten Potenz hndelt. Es muss lso die Tstenfolge 0 0 Inv eingetippt werden, nch der im Disply unmittelbr ds Ergebnis 00 =, erscheint. Über die Anzhl der zu verwendenden Stellen muss entsprechend der zugrunde liegenden prktischen Aufgbenstellung sinnvoll entschieden werden. Beispiel:. 0, wird mit der Tstenfolge 0 Inv berechnet. Als Ergebnis liefert der Rechner: 0, = 0, Die Tstenfolge Inv liefert den Wert = 9, Um zu berechnen muss die Tstenfolge 0 0 Inv y 0 0 = eingetippt werden. Ergebnis: =, Anmerkung: Die Tste yisteinezweistufige Opertionstste. Dher muss die gewünschte Rechnung mit = bzw. mit einer nderen Opertionstste bgeschlossen werden.

7 . Wurzelrechnung 7.. Rtionle und irrtionle Zhlen Im Abschnitt... wurde gezeigt, dss es erforderlich ist, immer umfssendere Zhlbegriffe zu verwenden, wenn mn jede Aufgbe lösen will. Ausgehend von dem Bereich der ntürlichen Zhlen, in dem sich jede Additions-, Multipliktions- und Potenzrechnungsufgbe uneingeschränkt lösen lässt, wurde es erforderlich, den Bereich der gnzen Zhlen einzuführen, wenn uch jede Subtrktionsufgbe lösbr sein soll. (Schon die einfche Aufgbe ist im Bereich der ntürlichen Zhlen mehr nicht lösbr.) Um jede Division usführen zu können, muss der Zhlenbegriff erneut erweitert werden, indem der Bereich der rtionlen Zhlen eingeführt wird. Für die rtionlen Zhlen gilt: Jede rtionle Zhl lässt sich stets ls endliche oder ls unendliche periodische Dezimlzhl schreiben. Jeder rtionlen Zhl entspricht genu ein Punkt uf der Zhlengerden. Die rtionlen Zhlen liegen uf der Zhlengerden in sich dicht ; d. h., zwischen zwei rtionlen Zhlen, und mögen sie noch so eng beieinnder liegen, gibt es stets mindestens noch eine weitere rtionle Zhl. (So liegt z. B. zwischen den beiden rtionlen Zhlen und b ls weitere rtionle Zhl u.. die Zhl + b. Mn könnte nun nnehmen, dss mit den rtionlen Zhlen bereits lle Zhlen die es gibt erfsst sein müssten. Dies ist ber nicht der Fll, denn es lssen sich nicht lle Aufgben der Wurzelrechnung im Bereich der rtionlen Zhlen lösen. So knn gezeigt werden, dss beispielsweise schon keine rtionle Zhl ist. Wäre nämlich eine rtionle Zhl, so müsste mn sie ls Quotient zweier gnzer Zhlen und b drstellen können: = b, ( ) wobei und b ls teilerfremd und verschieden von voruszusetzen sind. Ist dies der Fll, dnn gilt = b, worus = b ( ) folgt. Ds bedeutet ber, dss eine gerde Zhl sein muss. D ber nun ds Qudrt einer gerden Zhl stets gerde, ds Qudrt einer ungerden Zhl ber stets ungerde ist, folgt drus, dss uch der Zähler ds Bruches (*) eine gerde Zhl sein muss. Die Zhl muss sich demnch in der Form = schreiben lssen.

8 7 Arithmetik Setzt mn dies in (**) ein, so erhält mn = b oder b =. Aus der letzten Gleichung geht nlog zu den Schlussfolgerungen us Gleichung (**) hervor, dss b und dmit uch b gerde Zhlen sein müssen oder mit nderen Worten, dss neben nunmehr uch b den Fktor enthält. Hier steht mn nun vor einem Dilemm: Es wurde vorusgesetzt, dss und b teilerfremd sein sollten. Unter dieser Vorussetzung kommt mn ber nun zu dem Schluss, dss und b beide den Fktor enthlten müssen. Folglich können sie nicht teilerfremd sein! Ds bedeutet ber, dss unsere ursprüngliche Vorussetzung nicht ufrecht erhlten werden knn, und ds wiederum besgt, dss die Vorussetzung flsch sein muss. Drus folgt: knnkeine rtionle Zhl sein. Ds, ws hier für vorgeführt wurde, knn für lle Qudrtwurzeln nchgewiesen werden, deren Rdiknden keine Qudrtzhlen sind, für lle Kubikwurzeln us Zhlen, die keine dritten Potenzen sind usw. festgestellt werden. Mn nennt eineirrtionlzhl, und mn definiert gnz llgemein: Alle Zhlen, die sich nicht ls Quotienten zweier gnzer Zhlen drstellen lssen, werden Irrtionlzhlen gennnt. Die rtionlen und die irrtionlen Zhlen unterscheiden sich in den folgenden Merkmlen: Rtionle Zhlen sind gnze Zhlen oder endliche Dezimlbrüche oder periodische unendliche Dezimlbrüche, Irrtionle Zhlen sind nichtperiodische unendlichedezimlbrüche. Die Schreibweise einer Zhl mithilfe des Wurzelzeichens chrkterisiert stets den ekten Wert dieser Zhl. So liefert =. Für ds prktische Rechnen verwendet mn normlerweise Näherungswerte mit so vielen Stellen hinter dem Komm, die der geforderten Genuigkeit der Berechnung entsprechen. So knn mn beispielsweise für denwert, verwenden, muss sich dbei jedoch drüber im Klren sein, dss ds Qudrt von, nicht ist, sondern, =,000. Bei den meisten Aufgbenstellen reichen im llgemeinen vier oder fünf Stellen nch dem Komm us. Außer der Menge der rtionlen Zhlen, die unendlich viele Elemente besitzt, gibt es demnch uch noch die Menge der irrtionlen Zhlen mit unendlich vielen Elementen, und es wird sich beim tieferen Eindringen in die Mthemtik herusstellen, dss es noch weitere Zhlenrten gibt, die sich nicht in diese beiden Ktegorien einordnen lssen. Die Vereinigung der Mengen der rtionlen und und der irrtionlen Zhlen wird die Menge der reellen Zhlen gennnt. Sie soll künftig stets mit R bezeichnet werden.

9 . Wurzelrechnung 7 Mit den bereits eingeführten Bezeichnungen für die unterschiedlichen Zhlenbereiche: N: Menge der ntürlichen Zhlen, G: Menge der gnzen Zhlen, K: Menge der rtionlen Zhlen und R: Menge der reellen Zhlen lässt sich folgende Reltion zwischen diesen Mengen formulieren: N G K R. (.8) Ein umfssenderer Zhlenbereich ls der der rellen Zhlen wird in diesem Buche nicht behndelt... Zweite Erweiterung des Potenzbegriffs (Wurzeln ls Potenzen mit negtiven Eponenten) Im Abschnitt.. wurde der Potenzbegriff, der ursprünglich nur Sinn htte, wenn der Eponent eine ntürliche Zhl > wr, ddurch erweitert, dss uch Potenzen mit negtiven Hochzhlen sowie Potenzen mit den Hochzhlen Null bzw. Eins definiert wurden. Es zeigte sich, dss die bisher geltenden Potenzgesetze uch für diesen erweiterten Potenzbegriff ngewendet werden durften. Es soll nun untersucht werden, ob es sinnvoll ist, uch mit Potenzen mit gebrochenen Eponenten zu rechnen. Solche Potenzen wären z. B.,, 0,, n, 7 usw. Wenn diese Potenzen, unter denen mn sich bis jetzt noch nichts vorstellen knn, einen Sinn hben sollen, dnn müssen in erster Linie uch für sie die Potenzgesetze gelten. Es müsste lso beispielsweise ( ) = = = sein. Nun gilt ber ndererseits uch =, sodss es nheliegt, = zu setzen. In ähnlicher Weise führt der Vergleich von uf die Beziehung 7 = 7. ( 7 ) = 7 = 7 und ( 7 ) = 7 m

10 7 Arithmetik Verllgemeinert mn diese beiden Beispiele, so kommt mn zu einer zweiten Erweiterung des Potenzbegriffes, indem mn für 0 definiert: m n = n m = n m. (.9) Alle Wurzeln lssen sich ls Potenzen mit gebrochenen Eponenten schreiben. Dbei stimmt der Zähler des Eponenten mit der Hochzhl des Rdiknden und der Nenner des Eponenten mit dem Wurzeleponenten überein. Umgekehrt lässt sich uch jede Potenz mit gebrochenem Eponenten ls Wurzel schreiben. Es lässt sich zeigen, dss lle Potenzgesetze uch für den uf die obige Weise erweiterten Potenzbegriff gültig bleiben, sodss die durch die Definition von Potenzen mit gebrochenen Eponenten geschffene Erweiterung des Potenzbegriffs sinnvoll ist. Beispiele:.7 Verwndlung von Potenzen mit gebrochenen Eponenten in Wurzelusdrücke: = = = = 0, = = = q = q = q 0.7 = = f) u,9 = u u 0,9 = u 0 u 9.8 Verwndlung von Wurzeln in Potenzen mit gebrochenen Eponenten: = m n = z n z m = ( ) = + b = ( + b ) u = u D nunmehr Wurzeln ls Sonderfälle von Potenzen behndelt werden können, brucht mn bei der Berechnung von Wurzeln mithilfe des wissenschftlichen WINDOWS- Rechners nicht mehr den Umweg über die Inv -Tste zu gehen. So knn mn beispielweise mit der Tstenfolge y ( / ) = oder schneller mit y 0 = ermitteln. Der Rechner liefert ls Resultt = 7, Ob mn diesen oder einen nderen Weg zur Berechnung einer Wurzel bevorzugen soll, ds muss jeder für sich entscheiden. Für den einen ist ein beschwerlicher, ber kurzer Weg der richtige, ein nderer bevorzugt lieber einen etws längeren, dfür ber sichereren Weg. Auf lle Fälle ber ist es rtsm, immer denselben Lösungsweg einzuschlgen, und nicht einml so zu rechnen und beim nächsten Mle ein nderes Verfhren nzuwenden.

11 . Wurzelrechnung 7 Mit dem Tschenrechner ist es sehr einfch geworden, uch eotische Ausdrücke wie π z. B. zu berechnen. Dem Leser wird empfohlen, diese Wurzel selbständig zu berechnen. Ds Ergebnis lutet π =,7. (Der WINDOWS-Tschenrechner liefert, , ds wohl kum jemnd mit einer derrtigen Genuigkeit bruchen dürfte.).. Wurzelgesetze Für die Wurzelrechnung sind im Grunde genommen keine neuen Rechengesetze erforderlich, weil sich jede Wurzel ls Potenz mit einer gebrochenen Hochzhl schreiben lässt und dmit die Potenzgesetze uch für Wurzeln gelten. D sich jedoch viele Aufgben der Wurzelrechnung mit dem Wurzelzeichen bequemer drstellen lssen ls mithilfe der Potenzschreibweise, werden die einzelnen Rechengesetze im Folgenden uch in der Wurzelschreibweise ngegeben. Der Leser vergewissere sich jedoch, dss bei keinem der folgenden Gesetze etws Neues gegenüber dem entsprechenden Potenzgesetz uftritt. Es reicht lso us, nur die Potenzgesetze zu kennen und sie sinngemäß uf die Wurzelrechnung zu übertrgen.... Addition und Subtrktion von Wurzeln Wie für die Potenzen (vgl. Abschnitt...) so gilt uch für die Wurzeln: Wurzeln lssen sich nur dnn ddieren bzw. subtrhieren, wenn sie sowohl in ihren Rdiknden ls uch in ihren Wurzeleponenten übereinstimmen. Allgemeine Terme wie z. B. n ± n b oder ± b usw. lssen sich demnch nicht weiter vereinfchen, es sei denn, dss für die Vriblen und b bestimmte Zhlenwerte gegeben sind. Es ist lso z. B. ± b ± b und ± b ± b. Beispiel:.9 d + 8 d d = d + = + q b q + c q q = ( b + c ) q Die Gleichung ± b = ± b gilt nur dnn, wenn = 0 und b = 0, oder beliebig und b = 0 oder = 0 und b beliebig ist. + + = = = f) 8 8 = 9 =

12 7 Arithmetik... Multipliktion und Division von Wurzeln mit gleichen Wurzeleponenten Nch den Potengesetzen gilt für und b 0 n b n = ( n. Ersetzt mn die gebrochenen Eponenten durch Wurzelzeichen, so erhält mn In Worten: n n b = n b. (.0) Wurzeln mit gleichen Wurzeleponenten lssen sich ddurch multiplizieren, dss mn ds Produkt der Rdiknden berechnet und dieses mit dem gemeinsmen Wurzeleponenten rdiziert. Es gilt uch die Umkehrung dieses Stzes: Die Wurzel us einem Produkt knn ddurch gebildet werden, dss mn die Fktoren einzeln rdiziert und dnch ds Produkt der Wurzeln ermittelt. Beispiel:.0 8 = 8 = = = ( + 9)( 9) = ( ) 9 = 8 = 7 = ( = b + b = b + b ( u + v ) ( u v ) = u v =? Lösung: In jedem Rdiknden ist eine Qudrtzhl ls Fktor enthlten. Ddurch lssen sich die Wurzeln wie folgt vereinfchen: = + 9 = + =,978 f) ( b )( + b ) = + b b b = + ( b b g) n n n n+ = n n n+ = n n+ = n n = n h) In y soll der Fktor mit unter ds Wurzelzeichen gebrcht werden. Lösung: y = ( ) y = y = y

13 . Wurzelrechnung 77 Ds geometrische Mittel der n Zhlen,,,... n ist der Ausdruck m = n... n. Somit ist ds geometrische Mittel der Zhlen und die Zhl m = = =, und ds geometrische Mittel von, und 0 ist m = 0 = = ( ) = 0. In ähnlicher Weise wie bei der Multipliktion von Wurzeln mit gleichen Wurzeleponenten lässt sich herleiten, dss für 0 und b > 0 gilt: n n b = n b. (.) Wurzeln mit gleichen Wurzeleponenten können durcheinnder dividiert werden, indem mn den Quotienten der Rdiknden mit dem gemeinsmen Wurzeleponenten rdiziert. Oder Einen Bruch knn mn rdizieren, indem mn Zähler und Nenner für sich rdiziert und die entstehenden Wurzelwerte durcheinnder dividiert. Beispiele:. 7 : 8 = 7 : 8 = 9 = 8 b 7 : b = (8 b 7 ):( = 7 b = b 8 8 0,8 = 00 = 0 = 9, = 0, , = 000 = 0 =,99 0 = 0,9 9 (u u + v v) : ( u + v) = u uv + v (u u + u v) u v + v v ( u v v u ) + v u +v v ( + v u +v v ) Rtionlmchen des Nenners Wenn mn einen Näherungswert für den Bruch / benötigt, dnn muss mn (wenn mn nicht über die Aufgbe nchdenkt) eigentlich die durch die Irrtionlzhl =,... dividiert werden. (Je genuer mn ds Ergebnis brucht, umso mehr Stellen nch dem Komm müssen dnn für verwendet werden. Mn gelngt jedoch viel

14 78 Arithmetik schneller zum Ziel, wenn mn den Nenner so erweitert, dss mn nur noch durch eine gnze Zhl zu dividieren brucht, denn durch eine gnze Zhl zu dividieren ist viel bequemer ls durch eine mehrstellige Dezimlzhl teilen zu müssen: =, = = = 0,70 7. Diese Vorgehensweise wird Rtionlmchen des Nenners gennnt. Steht dbei im Nenner eine n-te Wurzel, so muss mn versuchen so zu erweitern, dss im Nenner die n-te Potenz einer Zhl entsteht, denn im llgemeinen lässt sich mit einer irrtionlen Zhl im Zähler vorteilhfter umgehen ls mit einer irrtionlen Zhl im Nenner. Beispiel:. = = =, 0... = = = 9 0,0 = 9 9 = = 7 0,9 0 = = 7 = = = = 7 = 7 Steht im Nenner eines Bruches eine Summe, in der Qudrtwurzeln uftreten, dnn knn mn im Nenner die dritte binomische Formel ( + ( = b nwenden, um ihn rtionl zu mchen. Beispiel:. = ( + ) ( )( + ) = ( + ) = + b = ( + ( ( + = ( + b ( + ) = ( ) ( + ) = + 0 = + 7 ( ) ( + + 0) = + 0 [( + ) 0 ] [( + ) + 0 ] = ( + + ) 0 = +

15 = ( + ) ( ) = ( + ) ( + ) ( ) ( + ) = = = = Wurzelrechnung Rdizieren von Potenzen und Wurzeln Beim Potenzieren einer Potenz dürfen die beiden Eponenten miteinnder multipliziert werden. Dies trifft ntürlich uch für gebrochene Eponenten zu, sodss für 0 gilt ( ) ( m ) n m n =. Schreibt mn diese Formel mithilfe des Wurzelzeichens, so ergibt sich n m = n m. (.) Es ist gleichgültig, ob mn eine nicht negtive Zhl zuerst potenziert und dnn rdiziert oder ob mn in der umgekehrten Reihenfolge vorgeht. Ob mn erst potenzieren und dnn rdizieren oder erst rdizieren und dnn potenzieren soll, ds hängt gnz von der Aufgbenstellung b. Beispiel:. = = = 7 (9 y + y ) = ( y) = y Anmerkung: Der Rdiknd ( y) der zweiten Wurzel ist ls Qudrt uf lle Fälle positiv, sodss die Wurzel ohne Bedenken gezogen werden drf. D jedoch der Ausdruck y sowohl positiv ls uch negtiv sein knn, ist der Wurzelwert der Qudrtwurzel in Absolutstriche setzen (vgl. dzu Abschnitt...). =? ist ds Qudrt einer vielstelligen Dezimlzhl und lässt sich dmit nur sehr unbequem ermitteln. Vertuscht mn hier die Reihenfolge von Rdizieren und Potenzieren miteinnder, so gestltet sich die Berechnung wesentlich einfcher. = =,90. Für 0 folgt schließlich us der Potenzgleichung m n k m k n =

16 80 Arithmetik die Beziehung n m = k n k m. (.) Wurzel- und Potenzeponent dürfen mit der gleichen Zhl multipliziert bzw. durch die gleiche Zhl dividiert werden. Mn nennt diesen Vorgng in Anlogie zur Bruchrechnung Erweitern bzw. Kürzen von Brüchen. Beispiel:. = = =, 9 8 b ( 7c d = 9 b ) b = cd cd = b d b cd u soll ls. Wurzel geschrieben werden. Lösung: u = u 9 An dieser Stelle soll noch die Begründung dfür ngegeben werden, wrum bei der Definition der Wurzel gefordert wurde, dss der Rdiknd nicht negtiv sein drf. Würde mn nämlich diese Einschränkung fllen lssen, so könnte beispielsweise für den Wert von die Zhl ngegeben werden, denn es ist j ( ) =. Dmit könnte mn dnn uch die folgende zu offensichtlich flschen Resultten führende Überlegung nstellen: = ( ) (lt. flscher Definition der Wurzel,) = = ( ) (Erweitern der Wurzel mit,) = (weil ( ) = ist,) = (Kürzen der Wurzel und des Eponenten mit ) =+ und ds ist offensichtlich flsch! Nch den Potenzgesetzen muss ( ) m n ( = ) n m = m n sein. Schreibt mn dies mithilfe von Wurzeln, so ergibt sich m n = n m = m n. (.)

17 . Wurzelrechnung 8 Beim Rdizieren einer Wurzel drf die Reihenfolge, in der rdiziert werden soll, vertuscht werden. Jede mehrfche Wurzel knn uch stets ls eine einfche Wurzel geschrieben werden mit einem Wurzeleponenten, der gleich dem Produkt der gegebenen Wurzeleponenten ist. Umgekehrt lässt sich jede Wurzel mit einem großen Wurzeleponenten in mehrere ineinnder geschchtelte Wurzeln umformen. Beispiel:. 7 = 7 =,7 9 = 9 =, 7 u = 8 u = = = = = 9... Wurzeln mit verschiedenen Wurzeleponenten Wenn Aufgben mit Wurzeln berbeitet werden sollen, in denen unterschiedliche Wurzeleponenten uftreten, ist es meistens m vorteilhftesten, wenn mn die Wurzeln ls Potenzen mit gebrochenen Eponenten schreibt und dnn die Potenzgesetze nwendet. Beispiel:.7 y m+ny mn n m y = n m n = + ym = =? (Vgl. Beispiel.!) = m n m+ny Lösung: { [ = ] } { [ = ] } { = } = { } = 9 (Stimmt ds mit dem Ergebnis von Aufgbe. überein?) ( y + y + y ) ( y y) = ( y + y + y ) ( y y 7 = y 8y + y y + y y = 7 y 0 8y + y y y + y y y y 7 )

18 8 Arithmetik... Rückblick uf die Potenz- und die Wurzelgesetze D sich jede Wurzel ls Potenz mit einer gebrochenen Hochzhl drstellen lässt, lssen sich, wie wir gesehen hben, die Potenzgesetze ohne Schwierigkeiten uch uf die Rechenopertionen mit Wurzeln übertrgen. Um mit Wurzeln rechnen zu können, würde es demnch usreichen, wenn mn nur die Potenzgesetze beherrscht. Mn verwendet jedoch beim Rechnen mit Wurzeln sowohl die Schreibweise mit Wurzelzeichen ls uch die Drstellung ls Potenzen mit gebrochenen Eponenten. Dbei hängt es gnz von der Aufgbenstellung, den gegebenen Zhlenwerten sowie den Rechengewohnheiten des Berbeiters b, welcher der beiden Drstellungsformen der Vorrng gegeben wird. Wer Aufgben der Wurzelrechnung schnell und sicher lösen will, der muss mit der einen Drstellungsweise genu so sicher umzugehen wissen wie mit der nderen. Es wird dher empfohlen, beim Üben eine Anzhl der Aufgben mit beiden Drstellungsrten zu lösen und die uf den unterschiedlichen Wegen gefundenen Resultte uf ihre Übereinstimmung hin zu überprüfen. Aufgben: Anmerkung zu den Aufgben: Diejenigen Aufgben, bei denen es sich um reine Zhlenrechnungen hndelt, sollten zunächst ohne Hilfe von Rechengeräten gelöst werden. Dnch erst sollte mn den Tschenrechner zur Hnd nehmen, um die schriftlich ermittelten Ergebnisse mit dem Rechner zu bestätigen. Diese zweispurige Vorgehensweise ist zwr zeitufwendig, fördert ber ungemein ds Gefühl für die zu erwrtenden Ergebnisse..9 Für welche -Werte eistieren die folgenden Wurzeln? f) g) h) ( y) y k).9 Ohne den Tschenrechner zu benutzen soll nchgeprüft werden, ob die folgenden Wurzelwerte richtig sind. 0 7 =+ 0, =+0, 0,00 =+0, 0 7 =+ 09 =+ f) 8 =+ g) ( + =+( + h),9 =+8, = ± k) 0,08 = 0,.9 Desgl. 0 = 7 78 = = b = b = 70 f) = 0,0 07 g) 9 + = + = 7 h) 0,00 = 0, 00 = 0 = k) + y = + y

19 . Wurzelrechnung 8.97 Die folgenden Wurzeln sind so weit wie möglich zu vereinfchen: 7 7 f) (uv) g) + b h) k).98 Desgl. b c 8 ( ) (u 8) (7 + ( b + ( c ( b b 8 c (8 b ) f) g) h) ( 0) (0 ) +( 0) Folgende Wurzeln sind ls Potenzen mit gebrochenen Hochzhlen zu schreiben: 7 9 f) b 7 g) h) 7 + b k) y.00 Desgl. p 9.0 Desgl. n n+ f) u 0 ( + y) m k p (m n) g) p (q r) k) f) b g) y h) y m n b m + n h) b c y z 8 u v w y.0 Die folgenden Potenzen sollen ls Wurzeln geschrieben werden: f) y g) z h) (m n) u v b c 7 k) ( ) y (b 7 0, k) b,.0 Desgl. b 7 8 c d e 0, f), g) y, h) z, u 0,7 k) v 0,n.0 Berechne die folgenden Zhlenwerte: ( ) 0, 0, 0,7 0, f) 0 0, g) 9 0, h) 7, 0, 7,8, k) 0, 00,.0 Mn vereinfche ohne Benutzung des Tschenrechners: ,7 b +, b 0, b +, b, b

20 8 Arithmetik f) g) b h) k) + 7 b 7 + c 7.0 Desgl. 8 8 f) g) b 8 b h) 8yz y 9uv w 7u vw 7 v w k) n+ 7 n+.07 Desgl ( ) ( + )( + ) ( + ( f) ( + ) g) ( ) h) k) Berechne ohne Tschenrechner: ( + ) + ( ) ( ) ( ) 0, b + ( + ( + ( + 9( b ) ( f) g) ( + ) ( ) h) ( )( ) ( 8)( ) k) ( )( 7 + )( 7 + )( + 7).09 Bei den folgenden Aufgben ist der vor der Wurzel stehende Fktor mit unter die Wurzel zu bringen: y y z m m f) g) y y h) ( + ) ( + ) k) u + v u u u v u + uv + v

21 . Wurzelrechnung 8.0 Berechne ohne Tschenrechner: 7 : 7 : 7 90 : 8 0 : 8 : f) 7 : g) 8 : h) 8 : n+ : n k) 9 :. Desgl. ( ) : ( ) : 0 ( + ) 8 : 8 ( ) 9 + : ( y + y ): y f) ( b + b + b : g) ( b b ): b h) (y y) : y ( y 0, y + ) y y : ( k) b + b ) b : b b b b. Berechne 0 b 0 b 7 b 8 b u v 8u 0v 8uv 0u v 0u v + + n n ( n n+7 n (m n) :( m n) f) ( :(+ g) ( 9y ):( y) h) ( + :( + (m 7n) :( m 7n) k) ( 9 y + 0y y 8 y + y y ):( y). Bei den folgenden Brüchen ist der Nenner rtionl zu mchen: 7 7 f) g) h) 0 k)

22 8 Arithmetik. Desgl. n y n f) + g) b + b k) 7 8 h) 7m n 7m + n m m. Desgl f) 7 0 g) h) k) +. Desgl y y g) h) f) k) Vereinfche ( ) ( ) ( b ) ( y) f) 7 m ny g) b c h) r s t 8 k).8 Der Wurzeleponent soll so weit wie möglich erniedrigt werden: 8 8 f) g) 79 h) 8 9 k).9 Desgl. 8 f) g).0 Desgl. 8 m n f) p u kp p v kp+p k) 09 8, h) 0,0 8 0 p k q 7n g) 00 8 k) n n n v n h) b 8 c d e 0 9 y 8 z u v w y y bc m+ u m

23 . Wurzelrechnung 87. Der Wurzeleponent soll uf die Zhl gebrcht werden, die neben der Aufgbe in Klmmern ngegeben ist: u () v () 7 y (8) b c () + b (0) f) k () g) b c (8) h) y () mn () k) 9 b (8). Die Doppelwurzeln sollen beseitigt werden: u u v + uv v f) p 0 q g) b h) b c 9 k) y 0 z m n. Berechne: 8 9 b b b y y y u f) v g) m m m 8 m h) : 9 u u 8 u 7 9 u k) : v u u 8. Desgl. f) : k) : g) : h) 7 8 : :. Desgl. u v uv 0 uv m m n n 9 ( 0 + ) f) ( + )( ) g) ( 8 + ) : h) ( + ) : ( ) 8 k) ( ) b + 7 l) b b + b 00 m) 0 n) (0, 0, 0, 0, ) o)