9 Vektoren In der Litertur über Pirten geht es oft um geheimnisvolle Schätze, die mithilfe von Schtzkrten gefunden werden können. Die Anweisung uf einer Krte lutet zum eispiel: Um den Schtz zu finden, gehe vom runnen zur Pinie und zähle die Schritte. An der Pinie ngekommen, drehe dich um 90 nch rechts. Gehe nun die gleiche Anzhl n Schritten nch vorne und schlge einen Stb in den oden. Kehre zum runnen zurück. Gehe nun zur Plme und zähle die Schritte. Drehe dich um 45 nch links und gehe die hlbe Anzhl n Schritten gerdeus. Schlge einen zweiten Stb in den oden. Der Schtz befindet sich genu uf der Hälfte des Wegs zwischen den beiden Stäben. Diese Anweisung lässt sich mithilfe von unterschiedlich lngen Pfeilen, die in verschiedene Richtungen zeigen, vernschulichen. Mthemtisch können solche Zusmmenhänge mithilfe der Vektorrechnung erfsst und beschrieben werden. AC AC 9.1 Einführung 9.1.1 Grundbegriffe 9.1 Welche dieser Pfeile sind gleich? In welchen Eigenschften müssen die drgestellten Pfeile dbei übereinstimmen? c 9. Der Pln zeigt den Verluf des U-hnnetzes in udpest. Die rot mrkierte U-hnlinie fährt von West nch Ost und umgekehrt. Zu welchen Endsttionen knn mn mit dieser U-hn vom Zentrum (Deák Ferenc tér) us fhren? Ansttt des lltgssprchlichen egriffs Richtung wird in der Vektorrechnung der egriff Orientierung verwendet. Pfeile, die zueinnder prllel sind, heißen gleich gerichtet. Pfeile, die in die gleiche Richtung weisen, sind gleich orientiert. Diese Vektoren sind gleich gerichtet: Eine Menge von gleich lngen Pfeilen, die gleich gerichtet sind und die gleiche Orientierung hben, wird in der Mthemtik ls Vektor (ltein: vector = Träger) bezeichnet. Viele geometrische Aufgben können mithilfe von Vektoren gelöst werden. In den Nturwissenschften und der Technik nutzt mn Vektoren zur eschreibung von Größen, die nicht nur einen bestimmten etrg, sondern uch eine Richtung hben, wie z Kräfte. In der Ebene knn mn einen Vektor mithilfe der Zhlen 5 und beschreiben, die ls Koordinten oder Komponenten des Vektors bezeichnet werden. Ein Vektor entspricht dher 1-10 -5 einem Zhlenpr. Er knn ls Zeilenvektor (, ) -5 oder ls Spltenvektor ngeschrieben werden. ( ) Diese Vektoren sind gleich gerichtet und gleich orientiert: Jeder einzelne der rot gezeichneten Pfeile wird ls Repräsentnt des Vektors bezeichnet. Oft wird nstelle des egriffs Repräsentnt des Vektors kurz die ezeichnung Vektor verwendet. 94 Algebr und Geometrie b d e f g -10 h Deák Ferenc tér M Déli páludvrdonu M1 Vörösmrt tér v u w M3 Újpest-Központ M1 Meikói út 1 5 10 M Örs vezér tere M3 Köbán-Kispest
Ein Vektor ( ) ist die Menge ller gleich lngen, gleich gerichteten und gleich orientierten Pfeile. und heißen Koordinten des Vektors. Auch ds Zhlenpr (, ) wird ls Vektor bezeichnet. Ein einzelner Pfeil wird Repräsentnt des Vektors oder kurz Vektor gennnt. ( ) Ist der Anfngspunkt des Vektors der Koordintenursprung O, so ist sein Endpunkt der Punkt mit den Koordinten A( ). Mn nennt diesen Vektor den Ortsvektor von A und schreibt OA. Ein Vektor zwischen zwei Punkten A und knn mithilfe der Koordinten dieser Punkte berechnet werden. Vertuscht mn End- und Anfngspunkt eines Vektors, so ändert sich dessen Orientierung. O OA A( A A ) Vektor von A( A A ) nch ( ): ( A) Merkhilfe: Endpunkt Anfngspunkt A A A A - A A A A - A 9.3 erechne die Koordinten des Vektors A und des Vektors A mit A(3 ) und (10 5). eschreibe den Unterschied mit eigenen Worten. A ( 10 3 ) ( = 7 ) A ( 3 10 ) ( = 7 5 3 5 3) Die Vorzeichen der Koordinten der Vektoren sind unterschiedlich, sie sind lso entgegengesetzt orientiert. 9.4 1) Zeichne zwei gleich lnge, ber unterschiedlich gerichtete Pfeile. ) Zeichne zwei gleich gerichtete, ber unterschiedlich orientierte Pfeile. 3) Zeichne zwei gleich lnge, ber unterschiedlich orientierte Pfeile. 4) Zeichne zwei gleich orientierte, ber unterschiedlich lnge Pfeile. 9.5 Zeichne den Vektor von A( 1 3) nch ( 1). Zeichne Repräsentnten des Vektors A mit dem ngegebenen Anfngs- bzw. Endpunkt in ds gleiche Koordintensstem. Lies den End- bzw. Anfngspunkt der entstndenen Vektoren b. 1) Anfngspunkt (3 5) ) Endpunkt ( 1) 9.6 Steht ein Springer bei einem Schchspiel uf d4, so drf er uf jedes der gekennzeichneten Felder ziehen. Den Weg dbei ( knn mn ls Vektor ngeben, zum eipiel ) 1 für den Zug 4 56 von d4 uf f3. 3 1) eschreibe lle erlubten Züge ls Vektoren. 1 ) Ein Springer steht uf Position f4. Gib lle Felder n, die er im nächsten Zug erreichen knn. 3) Ein Springer steht nch dem Zug uf g7. Wo knn er vor diesem Zug gestnden sein? Algebr und Geometrie 8 7 b c d e f g h b c d e f g h 8 7 4 56 3 1 C A C AC 95
D A 9.7 Ermittle den Vektor A und stelle ihn grfisch dr. ) A(5 7), (3 1) b) A(10 0), (1 4) c) A( 9 3), (8 11) d) A(0 ), (14 ) 9.8 Stellen A und CD denselben Vektor dr? Überprüfe grfisch und rechnerisch. ) A( 3), (7 7) und C(4 8), D(9 1) c) A( 6 ), ( 3 0) und C(5 3), D(8 1) b) A( 4 1), (3 ) und C(5 8), D(10 5) d) A(9 ), (6 5) und C(7 4), D(5 7) 9.9 Schreibe die Vektoren jeweils ls Spltenvektor n. b g 1 1 d e h c f CD 9.10 Gegeben ist die Figur ACDEFGH. Überprüfe mithilfe der Zeichnung, ob die folgenden Aussgen whr sind. egründe deine Antwort. ) A CD d) C HD b) DG HC e) EF AG c) FG EA f) CH E G D F H C A E AEHD... Qudrt, DG = E CD AC CD 9.11 Gilt die Aussge für die Figur in Aufgbe 9.10? egründe deine Antwort. ) Der Vektor A ist prllel zum Vektor AE. b) Der Vektor AH ht die gleiche Orientierung wie der Vektor DF. c) Der Vektor GD ist prllel und gleich orientiert wie der Vektor HF. d) Der Vektor CH ist nicht prllel zum Vektor A. e) Der Vektor C ht nicht die gleiche Orientierung wie der Vektor GD. f) Der Vektor DE ist nicht prllel zum Vektor G. 9.1 Von einem Qudrt ACD sind die Eckpunkte A( 1), (4 ) und C(1 8) gegeben. 1) Zeichne die Punkte in ein Koordintensstem und vervollständige ds Qudrt. ) Lies die Koordinten des Eckpunkts D b und gib den Ortsvektor n. 3) Gib die Vektoren A, AC und C n. 4) Zeichne den Digonlenschnittpunkt M ein. 5) Zeige, dss der Vektor MC ein nderer Repräsentnt des Vektors AM ist. 9.13 Zeichne ds Viereck ACD mit A(3 3), (6 ), C(9 6) und D(4 6). 1) Um welches spezielle Viereck hndelt es sich? egründe deine Antwort. ) Zeichne die Digonlen ein. Lies die Koordinten des Schnittpunkts b. 3) Verwende die gegebenen Punkte. Gib drei Vektoren mit dem Anfngs- oder dem Endpunkt A n. 96 Algebr und Geometrie
9.1. etrg (Länge) eines Vektors 9.14 Zeichne den Vektor ( 8 ) 6 in ein Koordintensstem ein und miss seine Länge. Erkläre, welcher beknnte Stz zur erechnung dieser Länge verwendet werden knn. Der etrg (die Länge) des Vektors ( ) des Stzes von Pthgors berechnet: = + wird unter Verwendung 9.15 Welcher der beiden Vektoren oder b ist länger? ( 15 ), b ( 10 0 4 ) = + = 15 + 0 = 65 = 5 E b = ( 10) + 4 = 676 = 6 E Der Vektor b ist länger ls der Vektor. 9.16 erechne den etrg des folgenden Vektors. ) ( 3 ) ( 7 ) 4 b) b 4 c) c 1 0 ( 5 ) d) d ( 8 ) 9.17 erechne den Abstnd des Punkts vom Ursprung. ) A( 7 4) b) (1 9) c) C(8 3) d) D( 5 1) 9.18 erechne den etrg des durch die beiden Punkte gegebenen Vektors. ) A(10 4), (7 6) b) A( 14 9), ( 3 1) c) A(1 3), (9 4) 9.19 erechne den Abstnd zwischen den zwei gegebenen Punkten. ) A( 4 7) und (8 3) b) G( 3 7) und H(8 4) c) P(8 4) und Q( 3 4) 9.0 erechne den Umfng des Dreiecks AC. Gib n, um welches Dreieck es sich hndelt. ) A( ), (3 1), C( 1 3) b) A(3 4), ( 3 4), C(3 5) 9.1 erechne den Umfng und die Länge der Digonlen des Qudrts. Erkläre, wie mn erkennen knn, dss es sich um ein Qudrt hndelt. ) A(3 6), (7 0), C(1 4), D( 3 ) b) A( 4), (4 1), C(1 5), D( 5 ) C C C D Aufgben 9. 9.4: Löse mithilfe von Vektoren. 9. Hndelt es sich bei dieser Figur um ein Prllelogrmm, eine Rute oder um keines von beiden? ) A( 1 3), ( 1), C(1 0), D( 3) b) A(6 ), (5 0), C( 1), D(4 4) 9.3 Hndelt es sich bei der durch die Punkte AC gegebenen Figur um ein rechtwinkliges Dreieck? egründe deine Antwort. ) A( 11 336), (335 336), C(448 4) b) A(57 57), (76 38), C(19 58) 9.4 Zeige die Gültigkeit der Dreiecksungleichung nhnd des Dreiecks A( 1 4), (0 7), C(13 0). Algebr und Geometrie C D D 97
9. Rechenopertionen mit Vektoren 9..1 Addition und Subtrktion von Vektoren AD 9.5 Auf einem Schchbrett (siehe Seite 95) zieht der Turm von 1 uf 4 und im nächsten Zug weiter uf d4. Gib den Weg des Turms mithilfe von Vektoren n. Wie hätte die Dme von 1 us den Weg in nur einem Zug zurücklegen können? Vektoren werden koordintenweise ddiert bzw. subtrhiert. Es gilt: + b und b ( ) ( ) b ( = b b + b b b ) ( ) + ( b ) = ( + b ) Geometrisch werden zwei Vektoren ddiert, indem mn n die Spitze des ersten Vektors den zweiten Vektor nfügt. Die Summe der beiden Vektoren erhält mn durch die Verbindung des Anfngspunkts des ersten Vektors mit dem Endpunkt des zweiten Vektors. Die Differenz der Vektoren und b erhält mn durch die Addition des entgegengesetzt orientierten Vektors von b zu. -b -b b + b D 9.6 Ds Prllelogrmm ACD ht die Koordinten A(0 1), (7 1) und C(4 5). erechne die Koordinten des Punkts D. C C = ( 4 7 ) = ( 3 ) C 5 1 4 Es gilt: C AD OD OA + AD 0 = ( ) + ( 3 ) ( = 3 1 4 3 ) Der Punkt ht die Koordinten D( 3 3). 9.7 Ermittle die Summe und die Differenz b der Vektoren rechnerisch und grfisch. ) ( 4 ), b ( 3 ) ( ) ( 7 ) ( b) 9 ) (, b c) 5 3 5 0 7 1), b 4 9.8 Gegeben sind die Punkte A(3 5), ( 6), C(0 3), D( 7 3), E(7 0) und F( 1 8). 1) Gib die folgenden Vektoren n: A, b C, c CD, d DE, e EF und f = FA ) erechne: ) e + b b) e + c d c) b + f d) c d + f 3) Überprüfe die erechnungen durch eine Zeichnung. D OD OA A C = AD C 9.9 erechne die fehlenden Koordinten des Punkts und die Längen der Digonlen des Prllelogrmms. ) A( 3 4), (6 1), C, D(0 ) b) A, ( 4 4), C(4 ), D(1 5) 9.30 Gegeben sind die Vektoren: 4 ( ), b ( 3 ) (, c ) und d ( 1 3 5 4 4) 1) Zeichne die Vektoren: + b und b +, + d und d +, b + c und c + b ) eschreibe mit eigenen Worten, ws dir beim Vergleich der Ergebnisse us 1) uffällt. 98 Algebr und Geometrie
9.. Multipliktion eines Vektors mit einer reellen Zhl 9.31 Zeichne in ein Koordintensstem einen Vektor ( 4 3) ein. 1) Zeichne den Vektor v + + und berechne seine Koordinten. ) Multipliziere beide Koordinten des Vektors mit ( 1) und zeichne diesen Vektor ebenflls ein. eschreibe, welche Eigenschften des Vektors sich verändert hben. Ein Vektor wird mit einer reellen Zhl multipliziert, indem mn jede Koordinte des Vektors mit dieser Zhl multipliziert. Diese Zhl wird ls Sklr (ltein: scl = Treppe, Leiter) bezeichnet. Ein Sklr ist eine Größe, die im Gegenstz zu einem Vektor keine Richtung ht. Durch die Multipliktion mit einer reellen Zhl verändert sich im Allgemeinen die Länge des Vektors. Ist die reelle Zhl negtiv, so ändert sich die Orientierung des Vektors. Der entstndene Vektor ist zum ursprünglichen Vektor prllel. Z: ( 1 ) ( ) ( 3 4 6) C Wird ein Vektor mit Null multipliziert, so erhält mn den Nullvektor o ( 0 0). Multipliktion eines Vektors mit einer reellen Zhl r ( ) r ( ) = r r ( ) Multipliziert mn mit ( 1), so erhält mn ( ( ) ) =, den Gegenvektor zu. Ein Vektor mit der Länge 1 wird Einheitsvektor gennnt. Der Einheitsvektor 0 eines Vektors ist jener Vektor, der gleich orientiert wie der Vektor ist und die Länge 1 ht. Er wird berechnet, indem mn den Vektor mit dem Kehrwert seiner Länge multipliziert. Der Rechenvorgng wird ls Normieren bezeichnet. Einheitsvektor: 0 = 1 0 = 1 mit ( 0 0) 9.3 Wie luten die Koordinten des Einheitsvektors des Vektors ( 1 5)? = 1 + ( 5) = 13 0 = 1 13 ( 1 ) ( = 0,93... ) ( 0,9 5 0,384... 0,38) 9.33 Multipliziere den Vektor mit dem gegebenen Fktor. Wie ändert sich der Vektor? ) ( 8 ), s = 0,4 ( 14 ), s = 0, ( b) b c) c 1 10 17 7), s = 1 3 Algebr und Geometrie d) d ( 0 ), s = 3 9.34 Überprüfe, ob die Vektoren zueinnder prllel sind und begründe deine Antwort. ) ( ), b ( 1_ ) = _ 3 3 ( ) ( 40 ) ( b) 4,5 ) (, b c) 40 0,5 0,8 450), b 37,5 4 C D 99
C D D Vektoren 9.35 Gib den zugehörigen Einheitsvektor n. ) ( 50 ) ( b) 3 ) ( c) 54 ) ( d) 0 ) ( e) 40 ) ( f) 60 35 48 36 8 16 36 ) 9.36 Wie knn us Vielfchen der Vektoren r 4 werden? eschreibe deine Vorgehensweise. ( 5 ) ( und s 3 ) ( der Vektor 1 ) erzeugt 9.37 egründe, wrum es nicht möglich ist, für s eine Zhl so zu finden, dss die ( Gleichung ) 5 ) ( + s 3 ) ( = 6) (, b) 3 ) ( + s 1) ( = 1 ) erfüllt ist. 1 3 4 1 9.38 Wird ein Vektor mit der reellen Zhl k multipliziert, so ändert sich seine Länge uf ds k-fche. Ist diese ehuptung whr? egründe deine Antwort. C 9.3 Anwendungen der Vektorrechnung 9.3.1 Mthemtische Anwendungen Winkel zwischen einem Vektor und der -Achse 9.39 1) Zeichne in einem Koordintensstem den Ortsvektor zum Punkt A(3 4) ein und miss den Winkel, den er mit der -Achse einschließt, b. ) Dokumentiere, wie mn den Winkel berechnen knn. Für den Winkel α zwischen dem Vektor und der -Achse gilt: tn(α) = 9.40 Welchen Winkel schließt der Vektor ( ) ( 11 ) 6 tn(α) = = 6 11 rctn ( 6 11 ) = 8,610... 9 mit der -Achse ein? Winkelsmmetrle (Winkelhlbierende) Zwei Vektoren und b spnnen einen Winkel uf. Ihre Einheitsvektoren 0 und b0 bilden eine Rute, deren Digonle in Richtung der Winkelsmmetrlen verläuft. Der Vektor w 1 = 0 + b0 hlbiert den Winkel α, der Vektor w = 0 b0 hlbiert den Nebenwinkel (Supplementärwinkel) und steht norml uf w. 1 Vektor in Richtung der Winkelsmmetrle von und b w 0 + b0 w 1 w 0 b 0 b 300 Algebr und Geometrie
Mittelpunkt einer Strecke 9.41 Zeichne die beiden Punkte A(4 3) und ( 7) in ein Koordintensstem ein. Ermittle us der Zeichnung die Koordinten des Mittelpunkts der Strecke A. Für den Mittelpunkt M A der Strecke A gilt: OM A 1_ (OA + O ) Kurzschreibweise: M A = 1_ (A + ) OA A M A O d Schwerpunkt eines Dreiecks C Zur Erinnerung: Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Schwerlinien. A S Für den Schwerpunkt S eines Dreiecks AC gilt: OS 1_ 3 (OA + O + OC ) Kurzschreibweise: S = 1_ 3 (A + + C) 9.4 erechne den Winkel zwischen dem Vektor und der -Achse. ) ( 17 ) ( 9 ) 7 b) b 3 c) c 8 34 ( 11 ) 9.43 erechne den Vektor in Richtung der Winkelsmmetrlen. ) ( 4 ), b ( 4 ) ( 1 ) Algebr und Geometrie d) d ( 5 ) ( 7 ) ( b) c 5 ) (, d c) e 10 3 7 1 35 35 ), f 4 9.44 erechne die Mittelpunkte der Seiten der Figur mit den gegebenen Eckpunkten. ) A(3 5), ( 7 4), C( 5 0), D(11 ) b) A( 8 1), ( 7 3), C(10 4), D(6 4) 9.45 erechne die Vektoren, die jeweils die Innenwinkel in der Figur mit den gegebenen Eckpunkten hlbieren. ) A( 3), ( 5 4), C( 7 3), D(9 0) b) A(0 4), ( 3 6), C( 4), D(7 1) 9.46 Ds Dreieck AC ht die Eckpunkte A(5 6), ( 7 3) und C( 4). 1) erechne die Mittelpunkte der Seiten. ) erechne die Koordinten des Schwerpunkts. 3) Wie lng ist die Schwerlinie s c? 4) Zeige, dss ds Dreieck M A M C M AC denselben Schwerpunkt ht wie ds ursprüngliche Dreieck. 9.47 In jedem Dreieck liegen die Fußpunkte der Höhen und die Mittelpunkte der Seiten uf einem Kreis, dem Feuerbch schen Kreis, bennnt nch Krl Feuerbch (deutscher Mthemtiker, 1800 1834). 1) Zeichne ds Dreieck AC mit den gegebenen Eckpunkten. ) erechne die Koordinten der Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks. 3) Zeichne den Feuerbch schen Kreis ein. Konstruiere seinen Mittelpunkt mithilfe der Seitenmittelpunkte. 4) Zeige in der Zeichnung, dss die Fußpunkte der Höhen uf diesem Kreis liegen. ) A( 4 3), (5 ), C( 1 7) b) A(7 5), ( 8 0), C( 9) 9.48 Leite die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke her. D AD D 301
TI-Nspire: www.hpt.t 9.49 1) Gib die fehlenden Koordinten des Punkts D des Prllelogrmms ACD mit A( 4 1), ( 1 ), C(3 1), D n. Ermittle die Länge der Digonle AC. ) Zeichne die Winkelsmmetrle w β von β ein und gib einen Vektor in Richtung von w β n. Lösung mit GeoGebr: 1) Die Punkte A, und C werden in der Eingbezeile eingegeben oder mithilfe des Werkzeugs Punkt mrkiert. Den Vektor zwischen zwei Punkten erhält mn mit dem efehl Vektor[A,] oder über den efehl Vektor. Die Koordinten von D können nun rechnerisch ermittelt werden, indem mn zum Punkt A den Vektor v = C ddiert: D=A+v Der Punkt D knn uch grfisch mithilfe des efehls Vektor von Punkt us btrgen ermittelt werden. Die Länge der Digonle AC, lso die Länge des Vektors z = AC, wird mit dem efehl Länge(z) ermittelt. Koordinten des fehlenden Eckpunkts: D(0 ) Die Länge der Digonle AC beträgt rund 7,8 Einheiten. ) Um den Vektor wbet in Richtung von w β zu ermitteln, müssen die Vektoren A u und C v mittels Einheitsvektor[Vektor] normiert werden: wbet=u0+v0 Der Vektor in Richtung der Winkelsmmetrle ht die Koordinten wbet( 0,15 0,9). Ds Einzeichnen der Winkelsmmetrle erfolgt über den efehl Winkelsmmetrle. CD 9.50 Prüfe die Formel für den Schwerpunkt eines Dreiecks für A( ), (6 ), C( 7) nch. eschreibe deine Vorgehensweise. Lösung mit GeoGebr: Ds Dreieck mit den Eckpunkten A, und C wird eingezeichnet. Die Vektoren vom Koordintenursprung zu den Eckpunkten werden eingezeichnet. Jeder der Vektoren wird durch 3 dividiert: u1, v1, w1 Der Endpunkt des Vektors u1 wird eingezeichnet: U = O + u1 Der Vektor v1 wird ddiert: U = U + v1 Der Vektor w1 wird ddiert: U = U + w1 Mit dem efehl Schwerpunkt[Vieleck1] wird der Schwerpunkt eingezeichnet. Der Schwerpunkt ist ident mit U. 30 Algebr und Geometrie
9.3. Nturwissenschftliche Anwendungen 9.51 Ein Schiff wird von zwei Schleppern über einen See gezogen. In welche Richtung bewegt sich ds Schiff? Sollten die Schlepper möglichst nhe nebeneinnder fhren? AC Kräfte Eine Krft ist eine gerichtete Größe, lso ein Vektor. Sie knn dher ls Pfeil drgestellt werden. Der Größe der Krft entspricht der etrg des Vektors, wir schreiben F = F. Greifen n einem Punkt P zwei Kräfte F 1 und F n, so können sie durch eine Krft F, R die Resultierende, ersetzt werden. Diese wird durch vektorielle F 1 F R Addition der beiden Kräfte ermittelt: F R = F 1 + F F Die grfische Vernschulichung dieser Addition bezeichnet mn ls Kräfteprllelogrmm. ei der rechnerischen Ermittlung wird jede Krft in eine Komponente in -Richtung und eine Komponente in -Richtung zerlegt. Diese Komponenten sind die Koordinten des Vektors, der die Krft beschreibt. 9.5 Ein Frchtschiff wird von zwei Schleppern us dem Hfen gezogen. Der erste zieht mit einer Krft F 1 = 70 kn unter einem Winkel α 1 = 0 zur Kimuer, der zweite zieht mit einer Krft F = 470 kn unter einem Winkel α = 36. 1) Mit welcher Krft wird ds Frchtschiff gezogen? F F ) In welche Richtung wird ds Schiff gezogen? 1 1) F 1 = F 1 cos(α 1 ) = 70 kn cos(0 ) = 676,578... N; F 1 = F 1 sin(α 1 ) = 46,54... N F = F cos(α ) = 470 kn cos(36 ) = 380,37... N; F = F sin(α ) = 76,59... N F R = F 1 + F ( 1) F + ( ) F = ( 676,578... kn ) + ( 380,37... kn ) = ( 1 056,816... kn F 1 F 46,54... kn 76,59... kn 5,513... kn ) F R = FR + F R = 1 178,93... kn 1 180 kn Ds Schiff wird mit einer Krft von rund 1 180 kn gezogen. ) tn(α) = F R = 5,513... kn = 0,494... rctn(0,494...) = 6,308... 6,3. F R 1 056,816... kn Der Frchter wird unter einem Winkel von 6,3 von der Kimuer weggezogen. A Der schiefe Wurf Ein schräg nch oben geworfener Körper führt gleichzeitig zwei ewegungen us. Die gleichförmige ewegung schräg nch oben ist bhängig von der Anfngsgeschwindigkeit v 0 und dem Abschusswinkel α. Die gleichmäßig beschleunigte Fllbewegung mit der Grvittionsbeschleunigung g ergibt sich ufgrund der Schwerkrft. Um die Flugbhn berechnen zu können, werden die ewegungen ls Vektoren drgestellt und in ihre Komponenten zerlegt. Wird der Luftwiderstnd vernchlässigt und ist die Abschusshöhe 0 m, so ergibt sich für den Ortsvektor s: s = w + e ( v0 cos(α) t ) ( + 0 ) ( = v0 cos(α) t ) v 0 sin(α) t _ g t v 0 sin(α) t _ g t Die erste Koordinte beschreibt die Wurfweite und die zweite die Höhe des geworfenen Körpers zum Zeitpunkt t. Algebr und Geometrie w s v 0. cos( ). t e v 0. sin( ). t 303
AC A AC A 9.53 Ein ll wird uf einer horizontlen Ebene mit einer Anfngsgeschwindigkeit von 0 m s unter einem Winkel von 58 nch oben geschossen. 1) Stelle die Flugbhn grfisch dr, verwende für t die Werte t = 0 s, 1 s,..., 4 s. ) Interpretiere ds Ergebnis für t = 4 s. ( 1) s = 0 m s 0 m s cos(58 ) t ) 9,81 sin(58 ) t m = s t ( 10,598... m = s t ) 16,960... m s t 4,905 m s t t 0 s 1 s s 3 s 4 s s ( 0 m 0 m ) ( 10,6 m 1,1 m ) ( 1, m 14,3 m ) ( 31,8 m 6,7 m ) ( 4,4 m 10,6 m) Flughöhe ) Für t = 4 s ist die Flughöhe ein negtiver Wert, ds heißt, der ll ist bereits gelndet. Die Flugweite muss dher weniger ls 4,4 m sein. 9.54 Gegeben sind die Kräfte F 1 und F und die Winkel, die sie mit der -Achse einschließen. Zerlege F 1 und F in ihre Komponenten, berechne die resultierende Krft F 1 + F. ) F 1 = 400 N, α 1 = 0, F = 650 N, α = 55 b) F 1 = 0,8 kn, α 1 = 78, F = 1,4 kn, α = 65 9.55 eim ogenschießen wird ein Pfeil mit einer Anfngsgeschwindigkeit v 0 im Winkel α bgeschossen. Stelle die einzelnen Punkte der Flugbhn mithilfe von Ortsvektoren grfisch dr. Schätze us der Zeichnung die mimle Flughöhe. Wnn wird diese erreicht? ) v 0 = 60 m s, α = 40 b) v 0 = 55 m s, α = 0 c) v 0 = 65 m s, α = 30 9.56 Zwei Personen ziehen einen Schlitten mit den horizontl wirkenden Kräften F 1 bzw. F unter den Winkeln α 1 bzw. α von einer Strße weg. erechne, mit welcher Krft in horizontler Richtung und in welche Richtung der Schlitten gezogen wird. ) F 1 = 30 N, α 1 = 5, F = 50 N, α = 80 b) F 1 = 80 N, α 1 = 55, F = 10 N, α = 47 t = 1 t = t = 3 t = 4 Flugweite Zusmmenfssung Ein Vektor ist die Menge ller gleich lngen, gleich gerichteten und gleich orientierten Pfeile. A ( b ) b etrg (Länge) des Vektors... Koordinten des Endpunkts minus Koordinten des Anfngspunkts ( ) : = + Addition bzw. Subtrktion von Vektoren: ± b 304 Algebr und Geometrie ( ) ± ( b ) = ( ± b ) b ± b Multipliktion eines Vektors mit einer reellen Zhl (Sklr): s Einheitsvektor: 0 = 1 mit 0 = 1 Winkelsmmetrle zwischen, b : w 0 + b0 Mittelpunkt der Strecke A: M A = 1_ (A + ) Schwerpunkt des Dreiecks AC: S AC = 1_ 3 (A + + C) ( ) s ( ) = s s
Weitere Aufgben 9.57 erechne die Summe + b, die Differenz b, die Längen und die Einheitsvektoren der beiden Vektoren. ) ( 14 ), b ( 6 ) ( 3 ) ( 6,08 ) ( b) 1 ) (, b c) 1,5 11 13 9 4,5 0,7 ), b,54 9.58 erechne die Koordinten des fehlenden Eckpunkts des Prllelogrmms ACD. ) A( 7), (5 3), C( 6), D b) A(5 ),, C(1 5), D(7 ) 9.59 Eine occikugel wird mit einer Anfngsgeschwindigkeit von v 0 unter dem Winkel α geworfen. Wie weit und wie lng fliegt die Kugel? Löse die Aufgbe grfisch. ) v 0 = 8 m s, α = 1 b) v 0 = 7 m s, α = 18 c) v 0 = 6 m s, α = 10 9.60 Gegeben ist ds Deltoid A( 7), (1 ) C(9 0) und D(7 8). erechne die Längen der Seiten, den Umfng und den Schnittpunkt der Digonlen. 9.61 erechne die Koordinten des fehlenden Eckpunkts des Trpezes ACD. Erkläre, wie mn mithilfe des Einheitsvektors einen Vektor mit einer gegebenen Länge erzeugen knn. ) A, (7 0), C(1 4), D( 3 1); = 10 E b) A( 1 3), (4 9), C, D( 4 ); c = 6,5 E 9.6 1) Zeige m Dreieck AC mit A(5 ), (8 8) und C( 4 6), dss der Schwerpunkt die drei Schwerlinien im Verhältnis 1 : teilt. ) Leite mithilfe dieser Aussge die Formel für den Schwerpunkt eines Dreiecks her. 3) Überprüfe den Schwerpunkt mithilfe von Technologieeinstz. A D D Wissens-Check 1 Sind die Aussgen whr oder flsch? A) Ein Vektor ist eine Zhl. ) Ein Zhlenpr gibt einen Vektor n. C) Der etrg eines Vektors ist eine positive oder negtive Zhl. Ich weiß, ws ein Ortsvektor ist. 3 Wie lng ist der Vektor von A( 1 1) nch ( 3)? 4 5 Wie lutet der Vektor b, der doppelt so lng und entgegengesetzt orientiert zu ist? 5 ( ) Sind die Vektoren b und b zueinnder prllel? egründe deine Antwort. 6 Gib die Einheitsvektoren in Richtung der - und der -Achse n. 7 Welche Eigenschften ht der Vektor ( ) im Vergleich zu? gelöst 1) A) flsch, ) whr, C) flsch ) siehe Seite 95 3) 5 E 4) b (4, 10) 5) J, d der Eine ein Vielfches des Anderen ist. 6) u0 (1, 0) und v0 (0, 1) 7) Er ist doppelt so lng und entgegengesetzt orientiert. Algebr und Geometrie 305