auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky
Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl
Eletug Egewerteschleßuge I
Eletug - Defto: E Eschleßugssatz gbt e Gebet a, dem ee bestmmte Azahl vo Egewerte eer Matrx legt. - Bsher ur A R betrachtet, u A C. - Awedugsbespele: Nullstellebestmmug vo Polyome, Iverterbarket vo Matrze, Robusthet vo Egewerte vo Itervallmatrze - Vorab ege Deftoe ud Bezechuge (Wederholug aus Numerk I)
Egewerteschleßuge I Kodto vo Egewerte
Kodto vo Egewerte. Satz Satz: Se λ 0 ee efache Nullstelle des char. Polyoms χ A der -Matrx A, x ud y zugehörge Rechts- ud Lks- egevektore vo A, d.h. Ax = λ0x, y A= λ0 y, xy, 0 ud C ee belebge -Matrx. Da gbt es ee für geüged klees ε, ε ε0, stetg dfferezerbare Fukto λε ( ), so dass glt: λ(0) = λ ud λ (0) = 0 y Cx y x ud λε ( ) efache Nullstelle des char. Polyoms vo A+ εc st.
Kodto vo Egewerte. Satz Bewes: Betrachte de stetg dfferezerbare Fukto C C C f :. ( Bz, ) det( B zid) = χ B ( z) D f( A, λ ) = χ ( λ ) 0, köe wr de Satz über mplzte Da 0 A 0 Fuktoe awede. exstert ee Umgebug U vo A ud f B, Λ ( B) = 0 für B U ee Fukto Λ auf U mt ( ) Da zu C C e ε 0 > 0 exstert mt A+ εc U für ε ε0, gbt es auch ( ) λε mt f ( A+ εc, λε ( )) = 0 ( λε ( ) =Λ ( A+ εc) ) Wähle Rechts- ud Lksegevektore x( ε ) ud y( ε ) so, dass dese für ε ε0 stetg dfferezerbare Fuktoe vo ε sd. (möglch, z.b. mt adugerte Determate)
Kodto vo Egewerte. Satz Aus ( A+ εcx ) ( ε) = λε ( ) x( ε) erhält ma durch Ablete ach ε ud Esetze vo ε = 0 : Cx( ε) + ( A+ εcx ) ( ε) = λ ( ε) x( ε) + λε ( ) ( x ε) ε = 0 Cx + Ax (0) = λ (0) x + λ x (0) y 0 0 0 0 λ (0) y0 x0 = y0 Cx0 + ( y0 A λ0y0 ) (0) x 0 0 0 x0 = 0 y Cx λ (0) =. y
Kodto vo Egewerte. Satz Folgeruge: y Cx - I. Näherug hat ma: λε ( ) λ0 + ε. y x - Mt y x cos( xy, ): = x y folgt: y Cx y Cx Cx C λ (0) = = y x x y cos( xy, ) x cos( xy, ) cos( xy, )
Kodto vo Egewerte. Defto Defto: De Kodto ees efache Egewertes λ eer Matrx A C mt Rechts- ud Lksegevektore x ud y st defert als: κλ ( ) = cos( xy, ) Bemerkuge: - Wrd κ groß, so exstert ee beachbarte Matrx zu A, de ee mehrfache Egewert hat - Für hermtesche Matrze glt: x=y (bs auf Velfache), d.h. cos(x,y)=. Egewerte vo hermtesche Matrze sd relatv störugsuempfdlch. - Für efache Egewerte eer gestörte Matrx A+ εc gbt es ee obere Schrake K, so dass λε ( ) λ0 K ε für ε ε0.
Egewerteschleßuge I 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo
Eschleßugssätze 3. Satz: Bauer-Fke lfslemma: See AB, C, belebge Norm. Da glt für alle Egewerte λ vo A, de kee Egewerte vo B sd: ( λ ) ( ) ( λ ) Id B A B Id B A B Bewes: Se x Egevektor zum Egewert λ vo A. Ax= λx A B x= λid B x ( ) ( ) (λ ke Egewert vo B ) ( ) ( ) ( λid B) ( A B) λid B A B x= x De adere Uglechug folgt aus der Dreecksuglechug.
Eschleßugssätze 3. Satz: Bauer-Fke Satz: (Bauer-Fke) See AB, C, A dagoalserbar mt S AS dag( λ ( A) ) =. Da exstert zu edem Egewert λ ( B) e Egewert λ ( A) mt λ( B) λ( A) κ ( S) A B. Bewes: We λ = λ( B) ke Egewert vo A st, folgt: ( ) ( ) ( ) λ = λ = λ ( λ ( )) Id A S S Id A S S S Id dag A S ( λ ( λ ( ))) S S Id dag A = κ ( S ) = max λ λ ( A) ( ) m λ λ ( A) κ ( S) λid A
Eschleßugssätze 3. Satz: Bauer-Fke Satz: (Bauer-Fke) See AB, C, A dagoalserbar mt S AS dag( λ ( A) ) =. Da exstert zu edem Egewert λ ( B) e Egewert λ ( A) mt λ( B) λ( A) κ ( S) A B. Bewes (): ( ) m λ λ( A) κ ( S) λid A lfslemma ( ) ( ) ( ) κ ( S) λid A λid A A B ( ) ( ) ( ) ( ) κ ( S) λid A λid A A B κ ( S) A B =
Eschleßugssätze 3. Satz: Gershgor Satz: (Gershgor) Se A C. Da glt: spec( A) wobe K = { µ : µ a R} C mt K, = R = K Gershgor-Krese vo A, R Gershgor-Rade vo A. Bewes:. Fall: a Damt folgt sofort: λ = für e {,..., }. Fall: spec( A) λ K.. λ, λ a {,..., } Wede lfslemma a mt B = dag( a ) ud = : ( λid dag a ) ( A dag a ) ( ) ( ) = a
Eschleßugssätze 3. Satz: Gershgor Satz: (Gershgor) Se A C. Da glt: spec( A) wobe K = { µ : µ a R} C mt K, = R = K Gershgor-Krese vo A, R Gershgor-Rade vo A. Bewes (): ( λid dag a ) ( A dag a ) ( ) ( ) dag( )( A dag( a )) λ a max a λ a = = R λ a R für e {,..., }. = a
Eschleßugssätze 3. Gershgor-Bespel Bespel zu Gershgor: 4 0 3 Se A = 0. Da erhält ma ach Gershgor für de Egewerte: 0 3 { C } { C } { C } λ, λ, λ µ : µ 4 3 µ : µ ( ) µ : µ 0 3-4 6 - - -3
Eschleßugssätze 3.3 Korollar: Wlkso Korollar: (Wlkso) Ist J {,..., } ud M = K dsukt vo M = K, so ethält M geau J # J ud M geau # J Egewerte vo A. J Bewes: A : t dag( a ) ta Se = ( ) +, t [ 0,] t De Egewerte vo A0 = dag( a ) sd a,..., a mt a K, also lege M geau # J ud M geau # J Egewerte vo A 0. Da A t stetg vo t abhägt, häge auch de λ ( At) stetg vo t ab (d.h. glech vele λ M für alle [ 0,] t ud aalog für M ). λ M M,..., ud M M = folgt de Beh. Da { }
Eschleßugssätze 3.4 weterer Satz zu Gershgor Satz: A rreduzbel etweder λ a < R für e oder λ a R für alle. Bewes: Se λ Egewert vo A, d.h. Ax = λx für e Wähle Permutatosmatrx P so, dass y y < r < für e r {,..., } Egewert λ. See folgt: R = x C. OE x =. = Px mt y = y =... = y r = ud. Da st y Egevektor vo B T = PAP zum = b de permuterte Gershgor-Rade vo A, da ( λ ) {,..., } By = λy by = b y =. (*)
Eschleßugssätze 3.4 weterer Satz zu Gershgor Satz: A rreduzbel etweder λ a < R für e oder λ a R für alle. Bewes (): ( λ ) {,..., } By = λy b y = b y =. (*).Fall: r =, d.h. y = {,..., }. Ugl. (*) R = b y b y = λ b y = λ b = = λ legt alle Gershgor-Krese. {,..., }
Eschleßugssätze 3.4 weterer Satz zu Gershgor Satz: A rreduzbel etweder λ a < R für e oder λ a R für alle. Bewes (3): ( λ ) {,..., } By = λy by = b y =. (*).Fall: r <. Für < r glt: mt A rreduzbel folgt: (*) λ b = λ b y = by b y = = ( ) = b b + b y = R b y = = r+ = r+ = r+ > 0 r ud > r mt b 0 mt λ b < R.
Eschleßugssätze 3.4 Abschluss Gershgor Wetere Verbesseruge für Gershgor: - Awedug auf A ud A (gleche Egewerte) - Ählche Trasformato durch Dagoalmatrze (mest ur Verbesserug für ee Egewert)
Eschleßugssätze 3.5 Deftoe Defto: x Ax x x für \{ 0} x C heßt Reylegh-Quotet vo x bzgl. der Matrx A. x Ax C aller Reylegh-Quotete vo A x x heßt Werteberech der Matrx A. Defto: De Mege GA ( ) = : x \{ 0} Bemerkuge: - Werte -Berech, da sbesodere alle Egewerte ethalte sd. (Geauer: ma ka zege: GAst ( ) de kovexe ülle der Egewerte). - A hermtesch A hat ur reelle Egewerte ( ) λ ; λ GAst das Itervall [ ] m max
Eschleßugssätze 3.6 Satz: Bedxo Satz: (Bedxo) Zerlegt ma A C A hermtesch, so glt für alle z GA ( ), spezell auch für alle Egewerte λ vo A : = +, wobe = ( A+ A ) ud = ( A A ) λ λ ( ) Re( z) λ ( ) m max ( ) Im( z) λ ( ) m max Bewes: x Ax x Ax+ x A x x x Re( z) maxre = max = max = λmax( ) x 0 x 0 x 0 x x x x x x x Ax x Ax x A x x x Im( z) maxim = max = max = λmax( ) x 0 x 0 x 0 x x x x x x aaloge Abschätzug ach ute lefert Beh.
Eschleßugssätze 3.7 Bespel Fortgesetztes Bespel: 4 0 3 4 0 Es war A = 0. Wede Gershgor auf A = 0 a 0 3 0 ud erhalte: λ, λ, λ µ C: µ 4 µ C: µ ( ) µ C : µ 0 4 3 { } { } { } 4-4 - 4 - -4
Eschleßugssätze 3.7 Bespel Fortgesetztes Bespel: 4 0 3 4 0 Es war A = 0. Wede Gershgor auf A = 0 a 0 3 0 ud erhalte: λ, λ, λ µ C: µ 4 µ C: µ ( ) µ C : µ 0 4 3 { } { } { } 4-4 - 4 6 - -4
Eschleßugssätze 3.7 Bespel Fortgesetzes Bespel (): 4 0 Bereche u = Re( A) = 0 0 ud erhalte mt Satz vo Bedxo: ud 0 0 = Im( A) = 0 0 0 0 0 { C : [.854;4.854 ], [ ;] } λ a+ b a b 0.5 - - 3 4 5-0.5 -
Eschleßugssätze 3.5 Deftoe Fortgesetztes Bespel (3): sgesamt erhalte wr also für de Egewerte vo A: Tatsächlche Egewerte vo A: λ.79, λ 0., λ3 4.67
Egewerteschleßuge I 4 Satz: Courat / Weyl
Zusatz 4 Satz: Courat / Weyl Satz: (Courat/Weyl) V Utervektorraum vo = V C : dm( V) = Se { } Ist A () () C hermtesch mt Egewerte λ λ... λ λ λ = mmax = V V 0 x V max m V V+ 0 x V x Ax x x x Ax x x, da glt:
Zusatz 4 Satz: Courat / Weyl Satz: (Courat/Weyl) x Ax () λ = mmax V V 0 x V x x () λ = max m V V+ 0 x V x Ax x x ( λ λ... λ ) Bewes: () Se { },..., x x ee Orthoormalbass vo A mt Ax = λx. Setze V = spa( x,..., x ) V. Da hat x V ee Darstellug x Ax x x = λ α = λ = α = x Ax max = λ. x V x x x Ax x x x= α x ud es glt: =
Zusatz 4 Satz: Courat / Weyl Satz: (Courat/Weyl) x Ax () λ = mmax V V 0 x V x x () λ = max m V V+ 0 x V x Ax x x ( λ λ... λ ) Bewes (): Se u V V belebg, W = spa( x,..., x ). Da st dm( V) + dm( W) = +, d.h. es exstert e 0 x V W mt Darstellug x Ax x x x = = α x. = = λα = λ α. eraus folgt de Beh. () Folgere aalog de komplemetäre Räume de zwete Aussage.
The Ed Egewerteschleßuge I