Klassische Theoretische Physik TP-L - WS 2013/14 Mathematische Methoden 8.1.2014 Frank Bertoldi (Version 2) Abbildungen und Beispiele aus F. Embacher "Mathematische Grundlagen..." und "Elemente der theoretischen Physik 1" Integrieren Das bestimmte Integral einer Funktion f f(x) in einer Variable über das Intervall [a,b] schreiben wir Es ist der Grenzwert einer Summe von Produkten: lim n Der Zusammenhang mit dem Differenzieren wird durch den Haupsatz der Differential- und Integralrechnung gegeben: wobei hier nun f(x) die Stammfuktion von f (x) ist. Die räumliche Verallgemeinerung des Längenelements dx ist das Volumenelement Das Volumenintegral ist b a dx f (x) Erstreckt sich der Integrationsbereich auf ein Quader, so erhält man ein einfaches Mehrfachintegral x 2 y 2 z 2 dx dy dz f (x ) b a dx f '(x) = f (b) f (a) d 3 x = dx dydz V d 3 x f (x ) x 1 y 1 z 1 i=1,n Δx i f (x) 1
Da der Integrationsbereich nicht immer ein Quader ist oder die Funktion nicht in kartesischen Koordinaten gefasst, kann die Integration praktisch in anderen Koordinaten ausgeführt werden, z.b. in Kugelkoordinaten: d 3 x = dr r 2 dθ sinθ dϕ Entsprechend in Zylinderkoordinaten: in Fällen von Symmetrie um eine Achse. d 3 x = dρ ρ dϕ dz Linienintegrale In der Physik gibt es oft Grössen, die durch Integration entlang Kurven berechnet werden, zb, Massen oder Ladungsträger bewegen sich in Kraftfeldern. Eine Verallgemeinerung des bestimmten Integrals ist die Integration entlang eines parametrisierten Weges. Ist z.b. f(x) ein Kraft auf ein Teilchen, so ist [dx,f(x)] die Arbeit des Kraftfeldes am Teilchen, wenn dieses sich um dx bewegt. Die Arbeit entlang einer gerichteten Kurve ist das Integral des Skalarprodukts (Kraft mal Weg) Die Kurve kann durch einen Parameter t dargestellt werden, der ein abgeschlossenes endliches oder halbunendliches Parameterintervall I=[t0,t1] durchläuft, einer Abbildung : I R 2 oder R 3 t x(t) γ d x f Wir formen um: d x = dt d x dt = dt x(t) 2
x Wobei den Tangentenvektor an der Kurve darstellt. (Voraussetzung: Kurven sind glatt oder stückweise glatt, Tangenten definiert, differenzierbar) Damit ist das Linienintegral t 2 t 1 dt x(t) f ( x(t)) Prozedere: Kurve in Parameterdarstellung Ableitung f(x(t)) ermitteln Skalarprodukt bilden über Parameterintervall integrieren 3
4 Mod: z=ct Schraubenlinie
Mittels Mathematica kann die Schraubenlinie dargestellt werden: ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/5},{t,0,4Pi}] Eine wichtige Eigenschaft des Linienintegrals ist, dass es nicht von der Parametrisierung der Kurve abhängt. Heuristisch: dx = dt (dx/dt) = d (dx/d ) Der Parameter "kürzt sich" in gewisser Weise heraus. Er dient vor allem dazu, die konkrete Berechung zu ermöglichen. Ein wichtiger Spezialfall is das Linienintegral eines Gradientenfeldes (konservativen Vektorfeldes). Nehmen wir an, das Vektorfeld ist der Gradient einer skalaren Funktion f. Das Linienintegral über dieses kann mit Hilfe der Beziehung Das Linienintegral eines Gradientenfeldes ist wegunabhängig! Sein Wert hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt der Kurve ab. Dies ist also eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Dazu benutzen wir den Hauptsatz in der ursprünglichen Form sowie die Leibnitzsche Kettenregel: d dt f ( x(t)) = d x(t) f ( x(t)) dt Das heisst: die von einem bewegten Körper in einem konservativen Kraftfeld (elektrostatisches Feld, Newtonsches Gravitationsfeld) geleistete Arbeit hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab. 5
Eine unmittelbare Folge ist es, dass für eine geschlossene Kurve das Linienintegral Null ist. In einem konservativen Kraftfeld: ein auf geschlossener Kurve bewegter Körper leistet oder benötigt keine Arbeit. Auch wenn das Vektorfeld kein Gradientenfeld ist, ist das Linienintegral über eine geschlossene Kurve, die s.g. Zirkulation, von Interesse. Sie ist ein Mass dafür, wie stark das Feld der Richtung und Orientierung der Kurve folgt, ein Mass des Wirbelcharakters des Feldes. 6
Flächenintegrale Das Flächenintegral ist ein Integral des Skalarprodukts eines gerichteten infinitesemalen Flächenelements da mit dem Vektorfeld v. A d A v Wir nennen es den Fluss des Vektorfeldes durch die Fläche A. Ist A eine geschlossene Fläche, so sei G der Rand des umschlossenen Gebietes G. Der Normalvektor n der Fläche weist konventionsmässig immer aus dem Gebiet heraus. Das Flächenintegral bezeichnet somit den Netto- Fluss des Feldes aus dem Gebiet heraus. Ist E das elektrische Feld, so ist der elektrische Fluss: A d A E Für eine geschlossene Fläche entspricht dieser der eingeschlossenen Ladung. Für das Newtonsche Gravitationsfeld entspricht der Fluss minus der eingeschlossenen Masse. Für das Magnetfeld der magnetische Fluss, der durch eine geschlossene Fläche immer verschwindet - es gibt keine magn. Ladungen. 7
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Integralsätze der Vektoranalysis Gaußscher Satz Sei G ein 3-D Gebiet (Volumen), G seine Randfläche (Oberfläche) v ein auf G definiertes Vektorfeld. Dann gilt: Das Volumenintegral der Divergenz eines Vektorfelds über ein Gebiet = dem Oberflächenintegral des Vektorfelds über den Rand des Gebiets. d 3 x v = da v G Orientierung aus G heraus: Satz von Stokes δ G d A = n da Sei A eine Fläche im Raum, A ihre Randkurve, v ein auf A definiertes Vektorfeld. Dann gilt: da v = dx A δ A v Das Oberflächenintegral der Rotation eines Vektorfelds über eine Fläche = dem Linienintegral des Vektrofeldes über die Randkurve der Fläche. Die Integralsätze haben gemeinsam: links wird ein Integral über eine Größe gebildet die durch Differentiation eines Vektorfeldes zustande kommt, rechts steht eine Größe, die nur von den Werten des Feldes am Rand abhängt. Analog in 1-D ist der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung: b a dx f '(x) = f (b) f (a) Ähnliches fanden wir auch für das Linienintegral über ein Gradientenfeld. Die Integralsätze lassen sich auch auf höhere Dimensionen verallgemeinern. 9
Anwendungen Es gibt viele Anwendungen der Integralsätze. Eine der statischen Maxwellgleichungen lautet: E = ρ Integrieren wir über ein Gebiet so steht rechts die darin enthaltenen Ladung: Q = G d 3 x ρ und links wenden wir den Gaußschen Satz an: Damit ist bewiesen, dass dieser Zusammenhang zwischen dem elektrischen Feld (dessen Fluss) und der Ladung für beliebige Gebiete gilt. Außer den Ladungen gibt es keine Quellen des Feldes. Mit dem Zusatz "für alle G" ist dies die Integralform der Max. Gl. δ G d A E = Q Darüber hinaus können wir feststellen: Der Fluss eines quellfreien Vektorfeldes durch eine Fläche hängt nur von der Randkurve ab - nicht der Form der Fläche. (Beweis nachholen) Achtung Punktquellen! Zwischen Flächen mit gleicher Randkurve dürfen keine Quellen sitzen, auch keine Punktquellen. Beispiel: v = Cx / r 3 v = 0 daraus müsste folgern: 0 = C da x / r 3 Allerdings ist das Oberflächenintegral über ein Kugel z.b. = 4 C 10 δ G
Ganau genommen gilt: ( x / r 3 ) = 4π δ 3 ( x) mit der 3-D Delta-Funktion für die gilt: R 3 d 3 xδ 3 ( x) = 1 Für das Magnetfeld gilt: B = 0 da B = 0 δ G Der magnetische Fluss durch jede geschlossene Fläche verschwindet. Das Magnetfeld besitzt keine Quellen. Die Feldlinien entspringen nirgends, sie sind geschlossen. und Der Fluss durch eine offene Fläche hängt nur von deren Randkurve ab. Das können wir auch anders zeigen: Da das Magnetfeld ein Vektorpotential besitzt: wenden wir Stokes an und B = A A d A B = δ A d x A Dies sagt explizit, dass der magnetische Fluss nur von der Randkurve abhängt, und der Wert das Linienintegral über die Randkurve ist. 11
Wirbel eines Feldes Eine der zeitunabhängigen Maxwell Gleichungen lautet: B = j wobei j die Stromdichte ist. Der duch eine Fläche A fließende Strom ist Bilden wir das Flächenintegral und wenden Stokes an: δ A d x B = I I = A d A j Links: magnetische Zirkulation entlang der Randkurve. Rechts: der durch die Fläche fließende Strom. Integralform der Maxwell Gleichung - mit Zusatz "für alle A". Bedeutung der Rotation als Wirbelstärke eines Vektorfeldes. 12
Rotationsfreie und konservative Vektorfelder Zusammenhang zwischen rotationsfreien Vektorfeldern und konservativen Vektorfeldern, also Gradientenfeldern. Für beliebige Skalarfelder gilt: f = 0 also jedes konservative Vektorfeld ist rotationsfrei (wirbelfrei). Eine lokale Umkehrung: Gilt rot v=0, so gibt es zumindest lokal ein skalares Feld f mit v=grad f. Jedes rotationsfreie Vektorfeld ist - zumindest lokal - konservativ, d.h., der Gradient eines Skalarfeldes / des Potentials. Warum die Einschränkung "lokal"? für ein Feld mit rot v = 0 wird Stokes zu für eine bliebige geschlossene Kurve δ A d x v = 0 13
Es folgt, dass die Linienintegrale wegunabhängig sind, nur von Anfang und Ende abhängen. Daraus können wir eine Funktion konstruieren deren Gradient v ist. φ( x) = d x v kurve von x 0 nach x v = φ Durch Differentiation ergibt sich: v ist ein Gradientenfeld wenn rot v = 0 im gesamten Raum gilt. Achtung bei Feldern mit Singularitäten! Siehe Beispiel von vorheriger Vorlesung: 14
Helmholtz Theorem 15