Elementre Integrtionstechniken Zusmmenfssung Wir wiederholen einfche und häufig benutzte Integrtionstechniken und geben zu jedem Kpitel uch einige Übungsbeispiele n. Die Menge n guten Anlysisbüchern ist kum überschubr. Jedes Buch ht seine eigenen Vorzüge. Zur Wiederholung und Vertiefung von Anlysiskenntnissen seien die beiden Klssiker [] und [2] empfohlen. [] besticht durch seine pädgogisch exzellente Drstellung ohne Verlust mthemtischer Exktheit und Strenge. [2] mg uf den ersten Blick etws ntiquiert wirken, ist ber ls Nchschlgewerk unersetzlich und zeichnet sich trditionsgemäß durch die große Nähe zur physiklischen Anwendung us. Beide Werke sind mehrbändig ([]: 2 Bände, [2]: 7 Bände), im Anhng wurden jedoch nur die hier benötigten ersten Bände zitiert. Bestimmte und unbestimmte Integrle Im Folgenden bezeichnet ds Symbol b f(x) stets ds Riemnn-Integrl einer Riemnn-integrierbren Funktion f : I R, (I R Intervll,, b I) uf [, b] I.. Stz. (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Sei f : I R eine stetige Funktion uf einem Intervll I R,, b I. Dnn gilt: () x ist eine Stmmfunktion von f uf I. f(t) Es gibt uch noch ndere Integrlbegriffe, wie z.b. ds Lebesgue-Integrl.
(2) Für jede beliebige Stmmfunktion F von f uf I gilt:.2 Definition. Ds Integrl b f(x) = F (b) F (). b f(x) heißt bestimmtes Integrl von f uf [, b]. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung. sgt uns, dss wir ds bestimmte Integrl berechnen können, wenn wir eine Stmmfunktion von f kennen. Eine Stmmfunktion von f wird oft unbestimmtes Integrl von f gennnt. Stmmfunktionen von integrierbren Funktionen sind eindeutig bis uf eine dditive Konstnte. f(x) = F (x) + c, wobei F eine beliebige Stmmfunktion von f ist, und c R eine beliebige Konstnte. Die Bildung des unbestimmten Integrls ist die Umkehrung der Differentition: F (x) = f(x) F (x) = f(x). Übungsbeispiele Wiederhole die Definition des Riemnn-Integrls und seine Eigenschften. 2 Ds Auffinden von Stmmfunktionen Sowohl zur Berechnung bestimmter Integrle, ls uch zur Lösung von Differentilgleichungen benötigen wir Techniken, die uns erluben Stmmfunktionen zu konstruieren. Beginnen wir mit einer Liste von Stmmfunktionen häufig uftretender Funktionen. 2
= x + c, x m = xm+ m + + c, = ln x + c, x e x = e x + c, sinx = cosx + c, cosx = sinx + c. m Q\{ }, Diese Tbelle lleine ermöglicht es uns leider noch nicht sehr viele Probleme zu lösen. Wir benötigen zunächst noch Methoden uch kompliziertere Integrle zu berechnen. Es stellt sich herus, dss sich eine sehr große Klsse von Integrlen uf die obigen zurückführen lässt. Übungsbeispiele Beweise die hier ngegebenen Integrtionsregeln. 2. Die Methode der Vriblensubstitution Die Kettenregel für die Differentition führt uns zu einer möglichen Integrtionsmethode - die unbestimmte Integrtion ist j nichts nderes ls die Umkehrung der Differentition. Die Kettenregel (in ihrer einfchsten Form) lutet: d Nch Integrtion folgt sofort df (x) F (φ(t)) + c = F (φ(t)) = df (x) x=φ(t) dφ(t). x=φ(t) dφ(t). Sei nun F = f (d.h. F ist Stmmfunktion von f), dnn folgt wegen F (x) + c = f(x) f(x) x=φ(t) = f(φ(t)) dφ(t). Ist die Funktion φ(t) invertierbr, dnn können wir schreiben: f(x) = f(φ(t)) dφ(t) t=φ (x). Dies beschreibt die Substitutionsmethode zur Berechnung von Stmmfunktionen.
Beispiele e x. Wir möchten dieses Integrl uf t = φ (x) = x und erhlten e x = e t dφ(t) t=φ (x) = e t zurückführen, lso setzen wir ( e t ) = ( t=φ (x) et +c) t=x = ex +c. Wenn wir uns klr drüber sind wie und wrum die Substitutionsmethode funktioniert, können wir uch eine nicht gnz rigorose Nottion benutzen um die Substitutionsmethode einprägsmer drzustellen, nämlich f(x) = f(x(t)) }{{} t=t(x). Dzu ein weiteres Beispiel: x. Wir setzen t = x = = x = t ( ) = ln t + c = ln x + c. Wir sehen nhnd dieser Beispiele, dss die Substitutionsmethode uf jeden Fll zum Ziel führt, flls die eingeführte Funktion t(x) (und dmit ihr Inverses x(t)) liner ist, d dnn die Ableitung einfch eine Konstnte ist. Ds heißt ber nicht, dss die Methode nicht uch in nderen Fällen nützlich sein knn. Dzu zwei Beispiele: Wir suchen eine Stmmfunktion von x 2 uf (, ). Hier hilft uns die Substitutionsmethode nicht, d sie uf x 2 = führt, ws wir nicht weiter vereinfchen können. 6t t+ x Wir suchen eine Stmmfunktion von x 2 uf (, ). Wir erhlten x x 2 = x(t) 6tx(t) = 6 t = 6 ln t + c = 6 ln x2 + c. 4
Übungsbeispiele Berechne folgende Integrle und gib den Definitionsbereich der berechneten Stmmfunktion n. (x 7) 25, x 2, ( ) x + 9 sin, 5 x +, cosx sinx, e x 2e. x 2.2 Prtielle Integrtion Die prtielle Integrtion ist die Umkehrung der Produktregel (Leibniz-Regel) für die Differentition. Es ist uch empfehlenswert sich die Formel für die prtielle Integrtion über den Zusmmenhng mit der Produktregel zu merken, dnn können keine Vorzeichenfehler pssieren. Die Produktregel lutet: (fg) = f g + fg. Subtrktion von fg und Integrtion führt uf die prtielle Integrtion f g = (fg) fg, } {{ } fg lso f g = fg fg. Diese Methode ermöglicht ds Auffinden einer Stmmfunktion wenn die Stmmfunktion f von f beknnt ist, und die Stmmfunktion von fg einfch bestimmt werden knn. 5
Beispiele x sinx. Wir wählen f = sinx und g(x) = x und erhlten x sinx = x cosx ( cosx) = x cosx + sinx + c. Ein interessntes Beispiel ist uch lnx. Auf den ersten Blick scheint es so, ls wäre prtielle Integrtion hier nicht nwendbr, ber interpretieren wir den Integrnden ls lnx, erhlten wir mit f =, g = lnx: lnx = x lnx x (lnx) = x lnx x + c. Übungsbeispiele Berechne folgende Integrle und gib den Definitionsbereich der berechneten Stmmfunktion n. sinx cosx (Hinweis: benutze prtielle Integrtion und schue dir beide Seiten der Gleichung genu n.), x cosx, x 2 cosx, rccosx (Hinweis: (rccosx) = x 2 ), Berechne r r2 x 2, r > mit Hilfe der Substitution x = r sint und nschließender prtieller Integrtion (setze bei der prtiellen Integrtion gleich die Integrtionsgrenzen ein und benutze π/2 cos 2 t = π/2 sin 2 t). Welche geometrische Bedeutung ht ds berechnete Integrl? 6
2. Prtilbruchzerlegung Wir hben bereits ein Beispiel für eine Funktion gesehen die sehr einfch ussieht, ber dennoch mit den bisherigen Methoden nicht elementr integrierbr ist, nämlich x 2. Die Substitutionsmethode führte nicht zum gewünschten Erfolg, lso müssen wir uns eine ndere Methode überlegen. Die zum Ziel führende Methode ist die sogennnte Prtilbruchzerlegung. Auf unser Beispiel ngewn ist die Grundidee folgende: Der Nenner unserer Funktion lässt sich in Fktoren zerlegen: lso x 2 = (x )(x + ), x 2 = (x )(x + ). Ds sieht uf den ersten Blick noch nicht wirklich einfcher us, doch wie fst immer kommt j noch ein kleiner Trick. Betrchten wir folgenden Anstz: (x )(x + ) = A x + B x +. Wir multiplizieren diese Gleichung mit (x )(x + ) und erhlten Koeffizientenvergleich führt uf Drus folgt: und schlussendlich = A(x + ) + B(x ) = (A + B)x + (A B). A + B =, A B = A = B = 2. ( ) (x )(x + ) = 2 x x + x 2 = 2 ( x ). x + Die Funktion uf der rechten Seite lässt sich ber mit Hilfe einer Vriblensubstitution problemlos integrieren. Wir erhlten x 2 = 2 ln x + c, x + wobei ln lnb = ln b benutzt wurde. 7
Dies ist der llereinfchste Fll der sogennnten Prtilbruchzerlegung. Ds nächste Beispiel ds wir betrchten wollen ist folgendes: x 2 2x +. Wenden wir die zuvor besprochene Technik n, erhlten wir: x 2 2x + = (x ). 2 Der Prtilbruchnstz von vorhin würde hier zu nichts führen. Anstttdessen können wir hier ber die Substitutionsmethode verwenden: x 2 2x + = (x ) = 2 y dy = 2 y + c = x + c. Die Funktion x 2 + lässt sich jedoch mit den bisherigen Methoden nicht ohne weiteres integrieren, denn x 2 + ht keine reellen Nullstellen 2. Für solche Ausdrücke knn ( ) x 2 + px + q = 2 rctn 2x + p + c (4q p 2 > ) 4q p 2 4q p 2 benutzt werden. Diese Formel wollen wir herleiten um uns von ihrer Gültigkeit zu überzeugen. Es gilt (rctnx) = + x 2, denn: (rctn(y(x))) = d rctn(y) dy y=y(x) y (x). Mit der geschickten Whl y(x) = tnx erhlten wir = d dy rctn(y) y=y(x) (tnx) }{{} lso d dy (rctny) = + y 2. +tn 2 x=+y(x) 2, (Effektiv hben wir den Stz über die Ableitung der Umkehrfunktion benutzt. Dieser lutet: (f ) (x) =.) Drus folgt sofort f (f (x)) = rctnx + c x 2 + und mit Hilfe der Substitutionsmethode x 2 + = 2 rctnx + c, ( > ). 2 komplexe Nullstellen ber sehr wohl! 8
Wir berechnen: x 2 + px + q = ( ) x + p 2 2 + (4q 4 p2 ) = dy = y 2 + (4q 4 p2 ) = ( ) 2 = rctn 2y + c = 4q p 2 4q p 2 ( ) 2 rctn 2x + p + c. 4q p 2 4q p 2 Zusmmenfssung Wir können bisher die folgenden Brüche integrieren: = ln x + c. x (x ) = + c. m m (x ) m ( ) x 2 + px + q = 2 rctn 2x + p + c (4q p 2 > ). 4q p 2 4q p 2 Ds llgemeine Verfhren der Prtilbruchzerlegung ist ziemlich ufwendig, und in der Prxis wird mn wohl bei komplizierten rtionlen Funktionen uf Computerlgebrsysteme zurückgreifen. Die in der Prxis wichtigste Form der Prtilbruchzerlegung ist die Berechnung von Integrlen der Form P (x) = A + x A 2 x 2 +..., wobei P (x) nur einfche reelle Nullstellen, 2,... ht. A, A 2,... werden durch Koeffizientenvergleich bestimmt. Bei dieser einfchen Form von Integrlen, ist die händische Rechnung (mit nschließender Probe durch Differentition) uf jeden Fll schneller ls die Berechung mit einem Computerlgebr-Progrmm (Rechner hochfhren, Progrmm strten, Integrl eingeben, sich ärgern, dss der Computer utomtisch nnimmt lle Konstnten seien komplex (wodurch im Output des Progrmms unzählige Fllunterscheidungen uftreten), in der Hilfe nchschlgen wie mn reelle Konstnten festlegt,...) Der Vollständigkeit hlber ist die llgemeine Vorschrift zur Prtilbruchzerlegung im Anhng ngegeben. 9
Übungsbeispiele Berechne folgende Integrle und gib den Definitionsbereich der berechneten Stmmfunktion n. x 2, (Hinweis: eine Nullstelle des Nenners ist ), x 6x 2 + x 6 x 2 +. 2.4 Weitere Typen von unbestimmten Integrlen Zur Behndlung von weiteren Typen unbestimmter Integrle, und für eine Auswhl von Beispielen zu llen vorgestellten Integrtionstechniken empfehlen wir die Lektüre von [2], Kpitel 9-92. 2.5 Symmetrien bestimmter Integrle Zu guter Letzt wollen wir uns nocheinml bestimmten Integrlen zuwenden. Betrchten wir ds Integrl x 4 cos( x47 +5x 7 ) 49 πx + rctn(x 42 + x ). Wir möchten dieses Integrl berechnen, und zwr wenn möglich ohne dbei den Verstnd zu verlieren. Dzu denken wir ein bisschen nch. Ds erste ds uns bei genuer Betrchtung uffällt ist, dss der Integrtionsbereich ein symmetrisches Intervll um ist. Könnte ds der Schlüssel zur Berechnung dieses Integrls sein? In der Tt ist die Berechnung des Integrls nicht nur möglich, sondern sogr sehr einfch, und zwr us folgendem Grund: 2. Stz. Eine Funktion f : R R heißt Es gilt gerde, wenn f( x) = f(x) x R und ungerde, wenn f( x) = f(x) x R. f gerde f ungerde f(x) = 2 f(x) =. f(x). Beweis: Wir benutzen die Substitutionsmethode: Ds Integrl ist definiert, d die Funktion ußer bei überll definiert ist und für x gegen konvergiert.
f gerde f(x) = = = = f(x) + f(x) + f(x) + f(x) + f(x) = f( x) = f(y)( )dy = f(y)dy = 2 f(x). f ungerde f(x) = = = = f(x) + f(x) f(x) f(x) f(x) = f( x) = f(y)( )dy = f(y)dy =. Wir finden lso sofort x 4 cos( x47 +5x 7 ) 49 =. πx + rctn(x 42 + x ) Bemerkung: Mthemtic ist hier chncenlos, d es nicht erkennt, dss der Integrnd ungerde ist. Wichtige Bemerkung: Bei uneigentlichen Integrlen ist Vorsicht geboten! Es gilt zwr ber sinx = R, ist flsch! Die Definition lutet nämlich sinx = lim lim b und der obige Limes existiert nicht, d.h. b sinx = sinx = lim lim (cos cosb), sinx. b
Übungsbeispiele Welche der folgenden Funktionen sind gerde oder ungerde? x, sinx, cos(x ), rctn(sin(x)), e x2, x +. Zeige: Ds Produkt zweier gerder oder zweier ungerder Funktionen ist gerde. Ds Produkt einer gerden Funktion mit einer ungerden Funktion ist ungerde. Wie sieht es mit der Zusmmensetzung von Funktionen us (d.h. (f g)(x) = f(g(x)))? 2
A Die llgemeine Form der Prtilbruchzerlegung A. Stz. Sei f(x) = Z(x) N(x) und N(x). Sei weiters ein vollständig gekürzter reeller Bruch von Polynomen Z(x) N(x) = D(x ) p (x 2 ) p2 (x r ) pr (x 2 + b x + c ) q (x 2 + b s x + c s ) qs, wobei i p i -fche reelle Nullstellen von N(x) sind und die Binome (x 2 + b j x + c j ) keine reellen Nullstellen hben. Dnn besitzt f(x) folgende Prtilbruchzerlegung: f(x) = A + A 2 x (x ) +... + A p 2 (x ) +...+ p +... + A r + A r2 x r (x r ) +... + A rp r 2 (x r ) + p r + B x + C +... + B q x + C q x 2 + b x + c (x 2 + b x + c ) +...+ q +... + B sx + C s +... + B sq s x + C sqs x 2 + b s x + c s (x 2 + b s x + c s ). qs Die Koeffizienten A ij, B kl, C kl können wieder durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden. Für Detils (insbesondere für den Beweis dieses Stzes) siehe z.b. [], Kpitel 69. Nun wissen wir in welche Busteine wir einen vollständig gekürzten Bruch zerlegen können. Dbei stellt sich zunächst die Frge: Wie kürzt mn einen Bruch vollständig? Ds Verfhren dzu nennt sich Polynomdivision (funktioniert ähnlich wie die Division von Zhlen). Bruder Beispiel ist der beste Lehrmeister: (2x + 5x 2 2x )/(x + 5) = 7x 2 2 2 x + 5. 2x + 5x 2 2x 2x 2 Nchdem wir die Polynomdivision durchgeführt hben treten nur noch Brüche der Formen A (x ) m und Bx + C (x 2 + bx + c) p uf. Integrle der Form A (x ) m
können wir bereits berechnen, genuso wie Integrle der Form C x 2 + bx + c. Alle nderen uftretenden Typen lssen sich uf diese beiden zurückführen. Es gilt nämlich: (x 2 + bx + c) = 2x + b 2(2p ) + p (p )(4c b 2 )(x 2 + bx + c) p (p )(4c b 2 ) (x 2 + bx + c) p für p 2. Weiters gilt Bx + C x 2 + bx + c = B ( 2 ln(x2 + bx + c) + C bb 2 ) x 2 + bx + c und ( Bx + C (x 2 + bx + c) = B p 2(p )(x 2 + bx + c) + C bb p 2 ) (x 2 + bx + c) p (p 2). Mit diesen Methoden ist es möglich jede rtionle Funktion f(x) = Z(x) zu integrieren. N(x) Wie bereits erwähnt ist wohl bei zu komplizierten Brüchen (vor llem bei solchen wo die ngegebenen Rekursionsformeln notwendig werden, lso b p 2) die Verwendung von Computerlgebrprogrmmen zweckmäßig. Übungsbeispiele f(x) := x4 x + 5x 2 5x + 2. Führe die Polynomdivision us und berechne x 2 x + 2 f(x). Litertur [] H. Heuser, Lehrbuch der Anlysis - Teil, B.G. Teubner, Stuttgrt/Leipzig/Wiesbden, 2. [2] W.I. Smirnow, Lehrgng der höheren Mthemtik - Teil, VEB Deutscher Verlg der Wissenenschften, Berlin, 97; Heute fortgeführt von: Verlg Hrri Deutsch. 4