Bildrekonstruktion und Bildanalyse Prinzipien der Computertomographie

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1 Universitätsklinikum Düsseldorf Studiengang Medizinische Physik Heinrich-Heine Heine-Universität t DüsseldorfD Bildrekonstruktion und Bildanalyse Prinzipien der Computertomographie Dr. Ioannis Simiantonakis Klinik und Poliklinik für f r Strahlentherapie und Radioonkologie Ioannis.Simiantonakis@med.uni-duesseldorf.de

2 Universitätsklinikum Düsseldorf Teil 1: Mathematisches Grundgerüst

3 Was ist Bildrekonstruktion? Prozeß des Transformierens von Sensor-Daten (Messdaten) in Aussage kräftige Bilder eines Objektes Wellen / Partikel Messdaten Rekonstruiertes Bild Objekt Sensor Computer Betrachter

4 Warum ist Bildrekonstruktion wichtig? Objekt ist nicht direkt zugänglich Objekt kann nicht aufgeschnitten oder zerstört werden

5 Datenakquisition 1-D Projektionen der Abschwächung werden unter verschiedenen Winkeln über 180 detektiert

6 Filterung Schärfen der Projektionen, d.h. Anwendung eines gefensterten Rampenfilters, korrigiert jede nicht gewollte Überlappung und Verschwommenheit im finalen Bild

7 Rückprojektion Bild kann rekonstruiert werden m.h. der Rückprojektion oder Verschmierung und Aufsummieren aller gefilterter Projektionen

8 Gefilterte Rückprojektion Schrittweise Rekonstruktion eines Kopfes mittels Rückprojektion jeder gefilterten Projektion

9 3-D Volumen-Rekonstruktion Multiple Bildschichten werden rekonstruiert, in Sequenzen angeodnet und Oberflächen generiert. Gefilterte Rückprojektion ist nur eine Approximation. Gibt es andere Methoden der Bildrekonstruktion aus Projektionsdaten?

10 1-D Signalbearbeitung Jede Funktion oder Signal kann aus der Summe seine Sinusoide, sog. Fourierreihe konstruiert werden. Signal Sum Sinusoid x( t) = k = 0 A k Amplitude cos(2π f k t Frequency + φ ) k Phase φ k A k 1/f k

11 Berechnung von Rechteckwellen Summe von 3 cos und Fourierreihen-Koeffizienten A k Summe von 100 cos und Fourierriehen-Koeffizienten A k Low Frequency High Frequency

12 1-D D Fourier-Transformation Diskrete Frequenzen der Fourierreihe werden zu kontinuierlichen Frequenzen der Fourier-Transformierten verallgemeinert Fourierreihe (diskrete Frequenzen) Fourier-Transformierte (kontinuierliche Frequenzen) Fourier-Transformierte und Inverse Fourier-Transformierte rechnen zwischen Originalfunktion und Frequenzdarstellungn um. Frequenzdarstellung Inverse Fourier- Transformierte Originalfunktion Fourier- Transformierte

13 Berechnung der Kastenfunktion 2-D kann jede Funktion oder Oberfläche durch die Summe ihrer sinusoidalen Wellen konstruiert werden 1. Harmonische 3. Harmonische 5. Harmonische 10. Harmonische Harmonische: ganzzahliges Vielfaches einer Grundfrequenz

14 2-D D Fourier-Transformation Bilder können als 2-D Funktionen angesehen werden Bildintensität Hell Dunkel 2-D Fourier-Transformation des oberen Bildes Frequenzinhalt Hohe Frequenz Niedrige Frequenz

15 Projection Slice Theorem Die Fourier-Transformierte einer 1-D Projektion eines Bildes ist gleich einem Schnitt der 2-D Fourier-Transformierten des gleichen Bildes Projektion Schnitt 1-D Fourier Transformierte 2-D Fourier Transformierte

16 Inverse Fourier-Rekonstruktion Interpolation der Frequenzwerte über das gesamte Schnittraster ergibt die inverse 2-D Fourier-Transformierte Projektion Interpolation Inverse Fourier- Transformierte Aber wieder ist dies nur eine Approximation. Gibt es eine genaue Lösung des Problems?

17 Lineares Gleichungssystem Dies ist eine exakte Lösung, aber Eindeutigkeit (wieviele Frequenzen hinreichend) ) und Konditionierung (Stabilität), welche durch welche Frequenz gekennzeichnet wird, sind 2-D unklar: Ax=b 1 M 1 L O L e e j( M 1)( ω M j( M 1)( ω Systemmatrix 1,1 1, N + ω + ω 2,1 2, N ) ) x(0,0) M x( M 1, M Lösung 1) = X ( e X ( e jω jω 1,1 M 1, N, e, e Daten jω jω 2,1 2, N ) ) (Frequenzraum) (Bild) (Frequenzwert)

18 Fragestellung Unser Ziel ist es folgende Fragen zu beantworten: 1. Ist die Rekonstruktion eines exakten Bildes ohne Approximationen möglich? 2. Kann man eine schnelle Methode entwickeln um die Konfiguration der Frequenzdaten mit der besten Konditionierung zu finden?

19 Kronecker Substitution 2-D D Problem wird überführt in der 1-D: Bild der Größ öße M rotiert um 45 x = z ( M 1)/ 2, y ( M + 1) / 2 Werte der 2-D D Fourier-Transformierten werden überführt in z = y x = e Ein verständlicheres 1-D lineares Gleichungssystem kann gelöst werden = z j ω ω ) ( y x Rotierendes Bild Diagonale Frequenzlinien

20 Messung der Varianz 1-D: Konditionierung ist einfacher als Determinierung. Bedingung: O(n3) Obere Schranke: O(n2) κ ( A) Varianzmessung: O(n) 2 Varianzmessung ermittelt κ F ( A) M Frequenzkonfigurationen mit besserer Konditionierung oder einheitlicher 1-D Frequenzverteilung 2 F = A 2 F A 1 2 F = M M M M m= 1 k = 1 l= 1, l k 2 M M 2 k = 1 l= 1, l k 1 cos k VarianceMeasure normalized = M ( ω ω ) l u z m k z z M ( ω k + 1 ωk µ ) k = 1 l l 2 2

21 Bildkonfiguration Bildkonfiguration Originalbildgröße ist Resultierende 1-D Lösung hat die Längex CT Datenb, abgetastet in den SchnittpunktenA, mit 254 Schichten und 507 diagonalen Gitterlinien. Lineares Gleichungssystem: k N j k j j M N N N M e z e X e X b z z z z z z A ω ω ω = = =, ) ( ) (, M L M O M M M L b A x A A H H = ) ˆ ( Head:

22 Frequenzkonfiguration Überbestimmte Anzahl von Frequenzdatenorten ist 64,264 auf Schnittpunkten. Simulierte Abkühlung optimiert Winkelkonfiguration der Varianzmessung als Kostenfunktion (cost function) Einheitliche Winkelkonfiguration Optimierte Winkelkonfiguration

23 Rekonstruktionsbilder System ist gelöst m.h. der iterativen preconditioned conjugate gradient (PCG) Methode. Einheitliche Winkelrekonstruktion Optimierte Winkelrekonstruktion

24 Inverse Radon-Transformation Für die Wiederherstellung der inneren Struktur aus Projektionen Benötigt viele Projektionen Rekonstruktion von 18, 36, and 90 Projektionen (~ jede 10, 5, 2 )

25 Leistung Relative Restfehler vs. PCG Iteration: Einheitliche Winkelkonfiguartion benötigt 203 Iterationen. Optimierte Winkelkonfiguration benötigt 134 Iterationen.

26 Radon-Transformation Lineare Transformation f(x,y) g(s,θ) Linienintegral oder ray-sum Entlang einer Linie geneigt um Winkel θ von der y-achse und s entfernt vom Ursprung Fixer θ um zum 1-D Signal g θ (s) zu gelangen + g ( s, θ ) = f ( x, y) δ ( x cosθ + y sinθ s) dxdy where = + f ( s cosθ u sinθ, s sinθ + u cosθ ) du s cosθ = u sinθ sinθ cosθ x (coordinate rotation) y

27 Beispiel einer Radon-Transformation [Y-Achse] Abstand, [X-Achse] Winkel

28 Bezug zwischen Radon-/Fourier /Fourier-Transformation Beobachtungen 2-D FT Koeff. entlang der horizontalen Frequenzachse FT des 1-D Signals 1-D Signal ist vertikale Summation (Projektion) der original 2-D Signale FT Koeff. Entlang des θ = θ 0 Stahlursprungs FT der Projektion des Signals senkrecht zu θ = θ 0 Projektionstheorem Nachweis unter Verwendung der FT Definition & Koordinatentransformation

29 Radon-Inversion mittels Projektionstheorem Filling 2-D FT with 1-D FT of Radon along different angles 2-D IFT Need Polar-to-Cartesian grid conversion for discrete scenarios May lead to artifacts

30 Rückprojektion Sum up Radon projection along all angles passing the same pixels + g ( s, θ ) = f ( x, y) δ ( x cosθ + y sinθ s) dxdy ~ π f ( x, y) g( x cosθ y sinθ, θ ) dθ = + 0

31 Rückprojektion = Inverse Radon? Not exactly ~ Back-projection gives a blurred recovery B ( R f ) = conv( ( f, h1 ) Bluring func.. h1 = (x 2 + y 2 ) -1/2, FT( h1 ) ~ 1 / ξ where ξ 2 = ξ 2 x + ξ 2 y Intuition: most contribution is from the pixel (x,y), but still has some tiny contribution from other pixels Need to apply inverse filtering to fully recover the original Inverse filter for sharpening multiplied by ξ in FT domain

32 Inverting Radon via Filtered Back Projection f(x,y) = B H g f ( x, y) = + F( ξ x, ξ y )exp[ j2π ( ξ xx + ξ y y)] dξ xdξ y = 2π 0 0 F polar ( ξ, θ )exp[ j2πξ ( x cosθ + y sinθ )] ξdξdθ Change coordinate (Cartesian => polar) = π 0 π ξ F polar ( ξ, θ )exp[ j2πξ ( x cosθ + y sinθ )] dξdθ { } ξ G( ξ, θ )exp[ j2πξ ( x cosθ + y sinθ )] dξ π Projection Theorem = dθ 0 ( F_polar => G) = 0 gˆ( x cosθ + y sinθ, θ ) dθ where gˆ( s, θ ) = ξ G( ξ, θ ) e j2πsξ dξ Back Projection (FT domain) filtering

33 Filtered Back Projection Convolution-Projection Theorem Radon[ f1 (*) f2] = Radon[ f1 ] (*) Radon[ f2 ] Radon and filtering operations are interchangeable can prove using Projection Theorem Also useful for implementing 2-D 2 D filtering using 1-D 1 D filtering Another view of filtered back projection Change the order of filtering and back-proj proj. Back Projection => Filtering Filtering => Back Projection

34 Terminus τοµή Axialer Schnitt γραφή Schrift, Bild Axiales Schnittbild Projektion Tomogramm

35 integrale Messung Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung Messobjekt Messobjekt Sensor Messmittel Rekonstruktion Messergebnis

36 Messobjekt Sender Empfänger Transmission Messvolumen Emission Brechung Reflexion Streuung Beugung

37 örtlic heauf lösung unigerct Linearbeschle Co mputer-tomo graphie ' NuclearMagne NMR Resonance' tic Tomogr PE 'PositronE mision aphy' T Ultraschal-To mographie Elektrisc hetomograph ie zeitlicheau flösung Mikrowel len-tomograp hie LINAC Optische Tomographie Räumliche spat ial r esolut Auflösung ion PET CT MRT Mikrowellentomographie Ultraschalltomographie Elektronentomographie Zeit

38 ART- Algebraische Rekonstruktionstechnik Iterativer Rekonstruktionsalgorithmus Geeignet für tomographische Rekonstruktion nur wenige Projektionen: Nur wenige Messungen: Limited View Limited Data Beispiel: Messung eines Objektes ist nicht von allen Richtungen möglich, weil unzugänglich

39 ART- Algebraische Rekonstruktionstechnik i.-ter Strahl Zelle j Bereich von ABC w ji für diese Zelle = δ 2

40 ART- Algebraische Rekonstruktionstechnik Φ ( k i ) = N j= 1 w ij f ( j k ) Φ i ( i k j = ) 1...N Projektionswert Anzahl der Zellen Anzahl der integralen Messungen f ( j wij k k ) Zellwert j Wichtungsfaktor Iterationsschritt

41 ART- Algebraische Rekonstruktionstechnik Unterschied zwischen Mess- und Projektionswert: Φ ( k ) i = Φ Mi ( Φ k ) i = Φ Mi N j= 1 w ij f ( j k ) Korrektur des Zellenwertes f j f ( j k+ 1 ) = f ( j k ) + w ij Φ α i ( k j ) ( k+ 1 ) f j = f ( j k ) Φ ( Φi Mi k ) α = ( ) 2 i w ij j mit wij > 0 Additiver ART-Algorithmus multiplikativer ART-Algorithmus

42 CT-Projektion Röhre Detektor Kollimator N0 μ 1 μ 2 μ 3 μ 4 μ n N Δx N = N 0e µ x

43 ART-Algorithmus Messungen 4 6 2,5 2,5 1 2,5 2, , ,5 +1 2,5-1 2,5 +1 (3-5) / 2 = -1 (7-5) / 2 = +1 1,5 1,5 1 3,5 3,5 Startschätzung 1.Iteration: horizontal

44 2.Iteration: vertikal 1,5 1,5 1 3,5 3, Messungen ,5 1-0,5 3,5-0,5 1,5 +0,5 3,5 +0,5 (6-5) / 2 = + 0, Berechnete Felder (4-5) / 2 = - 0,5

45 ART-Algorithmus Algorithmus Messungen horizontal: vertikal:

46 Messungen diagonal rechts: diagonal links: :

47 Rekonstruktion mittels einfacher Rückprojektion 1-D Projektion wird verschmiert um ein 2-D Bild zu formen, obwohl die Rückprojektionen nicht richtig als Stern rekonstruiert werden Projektion durch einen einzigen runden Punkt Bildrekonstruktion durch Rückprojektion von 3 Projektionen

48 Strahlformung Parallelstrahlen Fächerstrahl

49 Technische Konzepte

50 Leistungsmerkmale

51 Historische Entwicklung

52 Entwicklung des Computertomographen 1974 heute Auflösung 80 x 80 Auflösung 512 x 512

53 Beispiel: Skelett

54 Beispiel: Lungentumor

55 Spiral-CT Start des Spiralscans Pfad der kontinuierlich rotierenden Röntgenröhre und des Detektors Richtung des kontinuierlichen Patiententransports Z (mm)

56 Cone-beam CT Beam angle = 28.72º

57 Multislice CT Spiralscanner 64 simultane Schichten verfügbar verwenden cone-beam Algorithmen für volle 3-D Rekonstruktion exakte cone-beam Algorithmen entwickelt Single-slice Multi-slice Multislice Scanner ermöglichen schnellere Scans Bild von der Lunge in 15s (1x Atem halten) dynamische Rekonstruktion des Herzen (durch Gating) Nehmen eine bestimmte Phase des Herzzyklus auf und rekonstruieren Scheiben in z-richtung

58 Dynamische Raumrekonstruktion Dynamic Spatial Reconstructor (DSR) Erster wirklicher 3-D Scanner (seit 1980er von Richard Robb, Mayo Clinic) 14 rotierende Quelle-Detektor-Paare Datenakquisition für 240 Abschnitte in 60 Volumina/s 6 mm Auflösung (6 lp/cm)

59 Elektronenstrahltomograph Electron Beam Tomography (EBT) Entwickelt von Imatron Z.Zt. 80 Scannerinstallatioen weltweit Keine beweglichen mechanischen Teile ultraschnell (32 Schichten/s) und hohe Auflösung (1/4 mm) Kann schlagendes Herz mit hoher Auflösung abbilden sog. cardiovascular CT (5. Generation)

60 Schlußbemerkungen CT-Anwendungen head/neck (brain, maxillofacial, inner ear, soft tissues of the neck) thorax (lungs, chest wall, heart and great vessels) urogenital tract (kidneys, adrenals, bladder, prostate, female genitals) abdomen( gastrointestinal tract, liver, pancreas, spleen) musceloskeletal system (bone, fractures, calcium studies, soft tissue tumors, muscle tissue) Biologische Effekte und Sicherheit radiation doses are relatively high in CT (effective dose in head CT is 2mSv, thorax 10 msv, abdomen 15 msv, pelvis 5 msv) factor higher than radiographic studies proper maintenance of scanners a must Ausblick CT to remain preferred modality for imaging of the skeleton, calcifications, the lungs, and the gastrointestinal tract other application areas are expected to be replaced by MRI (see next lectures) low-dose CT and full cone-beam can be expected