Die Komplexen Zahlen. Nun gibt es jedoch immer noch Gleichungen, die durch keine reelle Zahl gelöst wird, z. B.

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1 Die Komplexe ahle Bis heute habe wir etliche ahle kee gelert Es bega mit de Natürliche ahle N, erweitert auf die Gae ahle bis hi u de Ratioale ahle Q Diese sid alle abählbar, also alle gleich mächtig Nicht mehr abählbar ware die Reelle ahle R Da jede darauffolgede ahlemege eie Erweiterug der vorherige ahle darstellt, ergibt sich folgede Iklusioskette N Q R Nu gibt es jedoch immer och Gleichuge, die durch keie reelle ahl gelöst wird, B + = 0 Das Quadrat müsste ja egativ sei Es ist folglich der Wusch vorhade, für jede positive reelle ahl a die Gleichug + a = 0 u löse uächst führe wir dau ei eues ahlesymbol i ei Diese,,eue ahl" hat die Eigeschaft, dass ihr Quadrat ergibt i ist also keie reelle ahl Vo dieser ahl i verlage wir och, dass sie mit jeder reelle ahl kommutiert Es soll folglich gelte: Mithi gilt: Die ahl ia löst somit die Gleichug ia= ai für alle a R ( ia = iaia= iiaa= i a = a + a = 0 für jede beliebige reelle ahl a Durch ei eues Symbol erhalte wir somit phatastische Möglichkeite Die ahle { } ir : = ia a R heiße Imagiäre ahle wei imagiäre ahle ia ud ib lasse sich atürlich addiere, we i das Distributivgeset erfüllt Es gilt da: Also verlage wir das Distributivgeset für i ia+ ib= i( a+ b Wie aber verhält sich die Multiplikatio? Es gilt: ( ( ia ib iaib iiab i ab ab = = = = Die Multiplikatio liefert folglich im Allgemeie keie imagiäre ahl, da Jedoch Vorsicht! ( ( = i = = = ab R Erweiter wir die Imagiäre ahle, idem wir ulasse, dass auch reelle ahle addiert werde dürfe Forderug: a+ ib mit a, b R solle die Neue ahle sei Wir defiiere: Die Mege aller ahle der Form a+ ib mit a, b R heiße Komplexe ahle Es gilt somit: Die Mege { R } C : = R+ ir : = a+ ib a, b ist ei komplexer kommutativer ahlekörper Für die Additio ud Multiplikatio i C gelte die gleiche Gesete wie i R PD Dr rer at habil Gert Hillebradt

2 Statt C heißt Körper der komplexe ahle R+ ir schreibe wir auch kur R [] i ; gelese R adjugiert i Wir sid hier aiv vorgegage, um diese Körper u fide Mathematisch geht es aders Defiiere wir das Produkt weier Mege Der Eifachheit halber betrachte wir ahlemege Es sei die Mege der Gae ahle ud R die Mege der Reelle ahle Die Mege {( r r } R : = ; ud R heißt (Mege-Produkt der gae ahle ud der reelle ahle Auf dieser Mege defiiere wir jett eie eue Additio Es sei ( ; r ( ; r : ( ; r r = + +, wobei + bw r + r die gewöhliche Additio i bw R ist Das Nullelemet ist folglich ( 0;0 u jeder,,ahl ( ; ( ; r, da ( ; r ( ; r : ( 0;0 = r gibt es eie iverse,,ahl Das Assoiativ- ud Kommutativgeset ist automatisch durch bw R erfüllt Ersete wir u durch R ud defiiere wir eie Multiplikatio auf R R Wir defiiere für a, b, c, d R Wege ac bd R ud ad ( a; b ( c; d : = ( ac bd; ad+ bc + bc R ist ( a; b ( c; d R R Isbesodere ist kommutativ, we die Gesete der reelle ahle beachtet werde Gesucht ist u das eutrale Elemet der Multiplikatio Dau bereche wir die Lösug vo ( a; b ( c; d : = ( a; b Also ac bd= a ud ad+ bc= b Ist a= 0, b 0 bw a 0, b= 0, so folgt sofort ( ; ( ; 0 c d = Seie u a 0, b 0 ( ad+ b c = 0 Wir erhalte a( c bd= 0 Multipliiere wir mit b bw a, so folgt ab( c b d= 0 ud a d ab( c Subtraktio der erste vo der weite Gleichug liefert ( ud + = 0 a + b d= 0 Hieraus folgt d = 0 Sete wir die Lösug ei, so folgt och c= Das eutrale Elemet der Multiplikatio ist somit ( ; 0, wie scho vermutet Wege ( 0; ( 0; : = ( ; 0, ist ( 0; eie Lösug vo ( ; 0 ( 0; 0 : = Auch dieser Körper löst jede quadratische Gleichug + = Hierbei ist PD Dr rer at habil Gert Hillebradt

3 Das Assoiativgeset ist eifach achureche, we die Gesete der reelle ahle berücksichtigt werde Reche wir das Distributivgeset ach Es seie ( a; b,( c; d,( e; f R R Uter Beachtug der Gesete der reelle ahle fide wir ( a; b ( ( c; d ( e; f = ( a; b ( c+ e; d+ f = ( a( c+ e b( d+ f ; a( d+ f + b( c+ e = ( ac bd+ ae bf ; ad+ bc+ af+ be = ( ac bd; ad+ bc ( ae bf ; af+ be = (( a; b ( c; d ( ( a; b ( e; f = ( a; b ( c; d ( a; b ( e; f Wir sete atürlich,,pukt vor,,strich voraus Bereche wir och das iverse Elemet vo ( a; b, wobei a 0 oder b 0 Der Asat ( a; b ( c; d = ( ; 0 liefert ac bd=, ad+ bc= 0 Wieder fide wir wie bei der Bestimmug des eutrale Elemetes das iverse Elemet axc xbd x a c abd abd b c a ( ( = + + = a + b c= a ayd+ ybc= 0 a d+ abc abc+ b d= b a + b d= b Das iverse Elemet ist folglich a b ; a b a b + + Auch diese Kostruktio liefert Komplexe ahle Wir eige u, dass beide Kostruktioe im Wesetliche gleich sid R R Wir idetifiiere Dau betrachte wir die Mege [] i= { a+ ib a, b ud i = } a ( a; 0 ud bi ( 0; b Geauer sid die Körper ( ; ; ( R R ud R [] i ; + ; isomorph Welche Darstellug der komplexe ahl gewählt wird, ist folglich egal Dies ist us auch bei de ratioale ahle bekat da B 0, 3 3 = Graphische Darstellug der komplexe ahle Die reelle ahle lasse sich auf dem ahlestrahl darstelle Dabei lege wei uterschiedliche ahle alle adere ahle fest Dies ist deshalb richtig, weil jede ahl durch de Abstad der ahl vo ull festgelegt ist Jede ahl wird also durch eie Läge bw Spiegelug a ull dargestellt Deshalb geügt ull ud eie weitere reelle ahl festulege 3 PD Dr rer at habil Gert Hillebradt

4 Da der ahlestrahl vollstädig durch die reelle ahle besett ist, köe die komplexe ahle icht auf eiem Strahl dargestellt werde Dies ist aber auch klar, we wir das Produkt R R betrachte ud jeder Pukt eier komplexe ahl etspricht Deshalb wähle wir das rechtwiklige Koordiatesystem Jeder Pukt etspricht jett eier komplexe ahl Der Betrag eier komplexe ahl wird durch de Abstad um Ursprug, also ur ( 0; 0 festgelegt Es gilt folglich b Achse ir a ( a; b Achse R ( a; b : a b = + Kleie Übug: eige, dass ( a; b ( c; d = ( a; b ( c; d Darstellug a+ bi beutt werde Tipp: eige uerst ( a; b ( c; d = ( a; b ( c; d gilt Es darf auch die ud reche rückwärts Die Polarform der komplexe ahle Sete wir r : a b = + für de Abstad der komplexe ahl ( a; b vom Ursprug ( 0; 0 des Achse ir Koordiatesystems, so ka mit Hilfe der trigoometrische Fuktioe si ud cos die komplexe ahl auch wie folgt dargestellt werde ( r cos ϕ; r siϕ ( a; b ( r cos ϕ; r siϕ =, bw a+ ib= r cosϕ+ i r siϕ, wobei 0 ϕ< π r siϕ r Der Wikel ist hier beschräkt, da wir sost später eie Mehrdeutigkeit bekäme, die ur durch eie Riemasche Fläche gelöst werde ka ϕ r cosϕ Achse R Eie weitere Darstellug liefert us Euler Die Formel vo Euler für komplexe ahle iϕ Es gilt e = cosϕ+ i siϕ Ei möglicher Beweis sett die Reiheetwicklug der drei Fuktioe voraus Wir eige später, dass die Lösug der Differetialgleichug ( ϕ ( ϕ ( ig g = 0, g 0 = 4 PD Dr rer at habil Gert Hillebradt

5 i eideutig bestimmt ist Da g( ϕ = e ϕ ud h( cos i si ϕ = ϕ+ ϕ die Gleichug für alle 0 ϕ< π erfülle, folgt aus der Eideutigkeit g= h ud damit die Formel vo Euler Der Sat vo de Moivre Es sei = r( cosϕ+ isiϕ ud r( cosϕ i siϕ Beweis: = + Da gilt ( cos( ϕ ϕ si( ϕ ϕ = r r + + i + i Mit = r( cosϕ+ i siϕ = re ϕ i ud r( cosϕ isiϕ r e ϕ = + = folgt ( ( ( iϕ iϕ iϕ+ iϕ i( ϕ+ ϕ cosϕ ϕ siϕ ϕ = r r e e = r r e = r r e = r r + + i + Korollar: ( cos( ϕ ϕ ϕ si( ϕ ϕ ϕ = r r r i q i q q iq q = r i re + = = r e = r q + i q q ϕ ϕ ( cosϕ siϕ ( cos ( ϕ si ( ϕ für alle q Q Der Beweis des erste Teils erfolgt durch vollstädige Iduktio ach Der weite Teil folgt s aus de Eigeschafte der Expoetialfuktio Schreibe dau q=, wobei s ud t t teilerfremd sid Übug eige Sie: a cos( α+ β = cosα cosβ siαsiβ b ( c cos( α = cos α d ( 3 e cos( 3α = 4 cos α 3cosα f ( siα+ β = cosα siβ+ siα cosβ si 3 = 3si 4si 3 α α α 4 cos 4α = 8cos α 8cos α+ Drehug eies ebee Koordiatesystems ud Kräfte Eie sehr schöe Awedug ist die Drehug eies ebee Koordiatesystems Dau sei P( x; y ei Pukt der Ebee mit seie Koordiate x ud y Diese Pukt fasse wir als ei Pukt der komplexe Ebee auf Wir sete : = x+ iy Eie Drehug um de Wikel ϕ liefert die eue Koordiate ( ; Y des Puktes P Achse ir Y y Achse ir P x ϕ Achse R Achse R 5 PD Dr rer at habil Gert Hillebradt

6 Auch hier schreibe wir : = + iy Natürlich gilt i = e ϕ, also x + y = + Y Wir erhalte ( iy ( x iy( cosϕ i siϕ ( x cosϕ ysiϕ i( xsiϕ y cosϕ + = + = Die Drehug wird folglich beschriebe durch Bemerkuge = x cosϕ+ y siϕ ud Y= xsiϕ+ y cosϕ I Koordiate ka die Drehug mittels Matrix wie folgt beschriebe werde cosϕ siϕ x = Y siϕ cosϕ y Es köe auch halbe Wikel ur Beschreibug herageoge werde, da ( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos i si = cos si i cos si = cosϕ i siϕ Für de Beobachter im ubewegte System geschieht ichts Für de Beobachter im mitbewegte System bewegt sich der Pukt auf eier Kreisbah Kräfte i dem sich drehede Koordiatesystem Wir sete jett die Differeierbarkeit voraus A dem Pukt ( ; Masse m Auf m wirke die Kraft ( t betrachte, also F ( t = F ( t + if ( t bw x x P x x befide sich u eie F im Koordiatesystem ( x ; x F ( t = mx ɺɺ ( t ud x, die wir komplex F ( t = mx ɺɺ ( t Wie lautet die Kraftgleichug i dem sich gleichmäßig drehede Koordiatesystem? Beachte Sie: i t F ( t = F ( t e ω, wobei ( t Wir schreibe F die im Koordiatesystem ( ; x gemessee Kraft ist! i t ϕ= ωt Da ist ( t = ( t e ω Differeiere wir! ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺ [ ω] ( ( ( i ω t iωt t = t i t e ud ( t = ( t i( t ω ( t ω e Elimiiere wir durch rückwärtiges Eisete, so fide wir iωt iωt iωt iωt iωt ( ω ω ω ω ω ɺɺ ( t = ɺɺ ( t i ɺ ( t e + i( t e ( t e e = ɺɺ ( t e iɺ ( t + ( t i t Multipliiere wir mit der Masse m ud beachte F ( t = F ( t e ω, so erhalte wir also i t mɺɺ ω ( t = m ɺɺ( t e imɺ ( t ω+ m( t ω = F ( t imɺ ( t ω+ m( t ω, I Koordiate laute die Kräfte mɺɺ ( t = ( t i mɺ ( t + m( t F ω ω ɺɺ ( = ( + ɺ ( ω+ ( ω ud m t F t m t m t ɺɺ ( = ( ɺ ( ω+ ( ω m t F t m t m t 6 PD Dr rer at habil Gert Hillebradt

7 Die Kraft m ( ( t; ( t ω ist die etrifugalkraft ud mω( ( t; ( t ɺ ɺ die Corioliskraft Ist ω i die 3 Achse gelegt, so ka die Corioliskraft durch mω ɺ ( t = m, ɺ ( t ω ud die etrifugalkraft durch m [, ( t ] ωω beschriebe = 0;0;ω ( t = ( t; ( t;0 ɺ ( t = ɺ ( t; ɺ ( t;0 werde Hier sid ω (, ( ud ( eige Sie: Mit der Wikelbeschleuigug ω ɺɺ ( t gilt im Allgemeie: mɺɺ ( t = F ( t m ( t [ ( t, ( t ] m ( t, ( t ɺ ɺ ɺ ɺ m[ ɺɺ ω ω ω ω ( t, ( t ] Eie sehr schöe ud allgemeie Ableitug für de dreidimesioale Raum fidet ma i Arold Wurel ud Eiheitswurel Es sei N Eie komplexe ahl w heißt -te Wurel der komplexe ahl, we Wir schreibe w= Mit de Moivre folgt mit i = re ϕ : ϕ+ kπ ϕ+ kπ wk= r cos + isi, k 0,,, sid verschiedee Wurel der Gleichug { } w = Ist = ud gilt w =, so heißt w eie -te Eiheitswurel Alle Eiheitswurel sid folglich durch gegebe ( π k k ( π { } w = cos + i si, k 0,,, k Geometrisch bilde die Eiheitswurel die Ecke eies -Ecks i der komplexe ahleebee Sie liege auf dem komplexe Eiheitskreis = Übug eige Sie, dass w + w + + w + = 0 für alle -tc Eiheitswurel, mit k k k k 0 Folger Sie w + w + + w+ w0= 0 Erstelle Aussage für si ud cos Arold, V I: Mathematical Methods of Classical Mechaics; Spriger Verlag; 978; p 30ff 7 PD Dr rer at habil Gert Hillebradt

8 Aufgrud der Eigeschaft ( ( Kojugiere komplexer ahle a ib a ib a b + = + R heiße die ahle a ib + ud a ib kojugiert komplexe ahle Geauer defiiere wir eie Abbildug : C C a+ ib a+ ib : = a ib Es gilt also a+ ib= a ib Wege a ib= a+ i( b = a i( b = a+ ib ist die Abbildug ivolutorisch Wir schreibe daher kur Die ahl heißt die u kojugiert komplexe ahl Es gilt folglich = ud = = Übug eige Sie! a + = + b ist die Läge des eigers Korollar: Ist w eie -te Eiheitswurel, so auch w Beweis: Aus w = folgt w = w = = ( = + + d = i = c ( i ( eiger als verallgemeierte Vektore Die komplexe ahle bilde eie weidimesioale R -Vektorraum Da komplexe ahle auch multipliiert werde köe, beeichet ma die Vektore als eiger Skalar- ud Kreuprodukt komplexer ahle Sid : = a+ ib ud : = a+ ib komplexe ahle, so heißt i : = + ( Skalarprodukt der komplexe ahle ud Etspreched heißt : = i = i ( ( Kreuprodukt der komplexe ahle ud 8 PD Dr rer at habil Gert Hillebradt

9 Übug Es sei ( ; ϕ=, 0 ϕ π a i = aa+ bb = cosϕ b = ab ba = siϕ c i ( i = + i = e ϕ Geometrische Übuge Beweise Sie, dass sich die Diagoale eies Parallelogramms gegeseitig halbiere Lösug: Wir führe ei Koordiatesystem so ei, dass die like utere Ecke im Ursprug liegt Die Seite werde durch die komplexe ahle ud dargestellt Da sid die Diagoale durch ( + ud ( s, 0 s repräsetiert + t, 0 t Nu folgt der Schittpukt aus der Gleichug s( t( ( ( s t t s + = Da a + = + Wir erhalte für a R, ist die Gleichug ur für s+ t = 0 ud t s= 0 u erfülle Daraus folgt t= s ud s= Also s= t= Es seie A( ;, B ( ;5 ud ( 3; C die Eckpukte eies Dreiecks ABC Bereche die Läge der Seitehalbierede vo C ur Strecke AB Lösug: Bereche des Mittelpuktes D der Strecke AB Dau fasse wir die Koordiate als komplexe ahle auf wir fide + i+ ( + 5i i = + 7 i, also D 7 ( ; Die Läge der Seitehalbierede (Abstad vo C u D berechet sich u = 7 ( i 3 i = + i ud beträgt daher = 5+ 9 = 6= 9 Lägeeiheite 3 eige Sie, dass die Flächeihalt des Parallelogramms mit de Seite ud durch berechet wird Lösug: Der Flächeihalt berechet sich aus Läge der Grudliie multipliiert mit der Läge der Höhe Sei also die Läge der Grudliie Da ist die Läge der Höhe ( Mit Übug b folgt die Behauptug si ( ; si ; = 4 Bereche de Flächeihalt des Dreiecks mit de Ecke A( ;, B ( 3;5 ud ( 7; C 9 PD Dr rer at habil Gert Hillebradt

10 Lösug: Wir bereche die beide eiger der Seite mit Eckpukt A = + 3i ud = 6 i Der Flächeihalt beträgt = a b ba = 8= 0 Flächeeiheite 5 Wadle die komplexe ahle um Polar- ud Eulerform a + i3 5 b + i3 5 c 4 i4 d 5 i 7 e i 3 Wird fortgesett 0 PD Dr rer at habil Gert Hillebradt