Anwendung des generalisierten Gaußschen Prinzips auf die Untersuchung der Bewegung eines Satelliten mit konstanter Beschleunigung

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Gertrud Brodbeck
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1 TECHNISCHE MECHANIK Band 4 Hft -4 ( Manuskiptingang: Apil 004 Anwndung ds gnalisitn Gaußshn Pinzips auf di Untsuhung d Bwgung ins Satllitn mit konstant Bshlunigung MP Jushkov SH Soltahanov SA Zgzhda Es wid in d nun möglihn Aufgabn bzüglih d Bwgung ins Satllitn btahtt bi d sin Bshlunigung wähnd sin Umlaufbwgung um di Ed auf inm lliptishn Obit zu inm bstimmtn Zitpunkt fixit wid und bi d witn Bwgung unvändlih haltn blibt Fü di Untsuhung d Bwgung wid das gnalisit Gaußsh Pinzip angwndt Fomuliung d Aufgab FPJ Rimott hat auf vshidnstn Gbitn d Mhanik aktiv gabitt Ein goss Antil sin Abitn von dnn vil in d Zitshift «Thnish Mhanik» shinn sind wa d Untsuhung d Bwgung von Kisln und Satllitn gwidmt (sih z B Rimott und Salusti (00 Rimott und Clghon (00 So wid in d Abit von Rimott und Salusti (00 d Übgang ins Sputniks von inm Kisobit zu inm andn auf in Hohmann-Ellips btahtt Dabi wid das klassish Shma d zwi Impuls witt duh di Büksihtigung d ndlihn Zit d Abit d Bodmoton Im Egbnis läuft s daauf hinaus nbn d Tangntialkaft auh di Nomalkaft zu büksihtign was in Nigung d Rglungskaft ggnüb dm klassishn Impuls zu Folg hat In d voligndn Abit wid in d möglihn Bwgungn ds Sputniks btahtt bi wlhm bi sin Bwgung auf in Ellips (wobi s sih auh um in Hohmann-Ellips handln kann zu inm bstimmtn Zitpunkt d Btag d Bshlunigung fixit wid Zu Lösung dis Aufgab wid das gnalisit Pinzip von Gauß angwndt (Tshuv 974; Poljahov ua 98 Falls di Bwgung ins Punkts in Polakoodinatn (t (t t 0 ggbn ist kann man das Quadat sin Bshlunigung w w (& & + (&& + & bkanntlih mittls d Foml bhnn Daum wdn wi wnn di Bshlunigung zu Zit t t0 di Göß w 0 hat und wi im folgndn di Unvändlihkit ds Quadats dis Göß fodn vlangn dass bi d Bwgung ds Punkts di Bdingung 0 f ( & & && && (&& & + (&& + & w 0 ( füllt wid Di Bdingung ( kann man als in nihtlina nihtholonom Bdingung zwit Odnung btahtn di d untsuhtn Bwgung ds Sputniks auflgt ist Diffnzin wi disn Ausduk nah d Zit so könnn wi anstll ( di lina nihtholonom Bdingung ditt Odnung shibn wo f & & && && &&& &&& ( && & &&& + ( & & && &&& + ( & && & & 0 ( ( 0 && 0 & &&&& + && + & && + && 4 && + 6& & && + &&& ( 6

2 gilt Damit ist in al mhanish Aufgab fomulit in d in nihtholonom Bindung höh Odnung vokommt di in d Fom ( od ( gshibn ist Di Efüllung dis Bindung wid gwählistt duh Aufbingn in zusätzlihn Kaft auf dn Satllitn di in Raktion dis Bindung höh Odnung ist Bahtn wi dass dis Aufgab Mkmal sowohl in diktn als auh in invsn Dynamikaufgab aufwist Tatsählih wid insits di Bwgung ds Systms ntsphnd in ggbnn Kaft (in unsm Fall ntsphnd d Anzihungskaft d Ed auf dn Sputnik gsuht und andsits muss glihzitig nah dn ggbnn Chaaktistikn d Bwgung (in Fom d Vogab in nihtholonomn Bindung höh Odnung in zusätzlih Kaft gsuht wdn di in Bwgung mit d wähntn Eignshaft gwählistt Dshalb hat Akadmimitglid SS Gigojan vogshlagn Aufgabn diss Typs gmisht Aufgabn d Dynamik zu nnnn (Zgzhda und Jushkov 000 Faktish wid bi inm solhn Voghn in bstimmt Rglungsaufgab glöst bi d di Efüllung ds in Fom in zusätzlihn Diffntialglihung (im allgminn Fall ins Systms von Diffntialglihungn ggbnn Pogamms duh Aufbingn in Rglungskaft (von Rglungskäftn auf das Systm gwählistt wid Fü di Lösung d fomulitn gmishtn Dynamikaufgab wud füh d Appaat d nihtholonomn Mhanik angwndt witt auf nihtholonom Bindungn höh Odnung (Jushkov und Zgzhda 00 Jtzt lösn wi dislb Aufgab mit Hilf ds gnalisitn Gaußshn Pinzips (Tshuv 974; Poljahov ua 98 Gundlgnd Fomln ds Polakoodinatnsystms Fü di Lösung d gstlltn Aufgab wid das Polakoodinatnsystm q q bnutzt Wi stlln di gundlgndn Fomln diss Polakoodinatnsystms zusammn (sih z B Zgzhda ua (00 Das Polakoodinatnsystm füht di natülih Basis und di dual Basis in Disn ntsphn in mtish Tnso mit d Matix ( g g g g g 0 und dual dazu in mtish Tnso mit d Matix ( g g g g g 0 Nah dn Fomln (hi und im folgndn glt di Summationsvinbaung von bis Γ Γ g q g π Γπ g + q g q π kann man di Chistofflshn Symbol st und zwit At Γ Γ Γ Γ Γ Γ bhnn Di übign Chistofflshn Symbol sind glih Null 7

3 Di kovaiantn Komponntn ds Bshlunigungsvktos wdn nah dn Fomln bhnt w w w w && & && + & & ( Vblibn wi noh bi in wihtign Foml fü di Diffntiation d kovaiantn Komponnt ins Vktos Wi btahtn inn Vkto a a Dann gltn fü inn Vkto b b a& di Fomln b α a& Γ a q& α ( Das gnalisit Gaußsh Pinzip und di Bwgungsglihungn in d Fom von Maggi fü inn Massnpunkt mit in nihtholonomn Bindung ditt Odnung Bi Vohandnsin in Bindung hat di Bwgungsglihung ins Massnpunkts d Mass m di Fom mw F + R ( wo w di Bshlunigung ds Punkts ist F in aktiv Kaft und R di Raktion d Bindung Wnn wi di Glihung ( nah d Zit diffnzin könnn wi shibn wobi mu P + G U w & P F & G R& gilt Nah dm gnalisitn Gaußshn Pinzip (Poljahov ua 98 habn wi bi Gültigkit d nihtholonomn Bindung ditt Odnung ( δ ( mu P 0 ( od δ G 0 ( d h di Ablitung ds Raktionsvktos ist dm Btag nah minimal im Vglih zu alln Zuständn mit Vkton w& wlh d Bindungsglihung ( gnügn In dn Fomln ( ( bdutt das Symbol δ dass di Vaiation bi konstantn t & & & & & & bhnt wid Das Pinzip ( könnn wi jtzt in d Fom ( m U P δ U 0 shibn od falls wi di skala Multiplikation ausfühn wi folgt: ( mu P δ U 0 (4 Wil nah d Fomln ( U w& Γ w q& U w& Γ w q& gilt bkommn wi unt Büksihtigung d Fomln ( und d Bindung zwishn dn kontavaiantn und dn kovaiantn Komponntn ds Vktos: 8

4 δ U δ & && δ U δ &&& δ && & und δ && & sind ihsits gmäß Glihung ( duh di Bzihung δ &&& δ && & mitinand vbundn wshalb Glihung (4 di folgnd Gstalt annimmt: ( mu P ( mu P δ & 0 & Wil di Vaiation δ && & willkülih ist haltn wi dah fü di bn Bwgung ds d Bindung ( untwofnn Massnpunkts di Glihung in d Fom von Maggi: mu P ( mu P 0 (5 4 Di Bwgungsglihungn ds Satllitn mit konstant Bshlunigung Wi btahtn Glihung (5 angwandt auf uns Aufgab In dism Fall habn und di Gstalt ( und di Bwgung folgt unt d Wikung d Anzihungskaft d Ed wshalb fü di gnalisitn Käft Q µ m Q 0 (4 gilt wo µ di Gaußsh Konstant ist Unt Bnutzung d Foml ( haltn wi U U &&& && & && && &&& + &&& + &&& & P µ m& P µ m& (4 Daum bkommt Glihung (5 nah Einstzn d Ausdük (4 (4 in dis Glihung und nah Küzn duh m di Gstalt & && µ & µ& & && &&& && & && && + (&&& + &&& + &&& & (4 && + && && + && Dis Glihung muss zusammn mit dn Bindungsglihungn ( ( intgit wdn Damit habn wi in linas algbaishs Glihungssystm fü di Unbkanntn & & und & & Fü di numish Intgation ist s zwkmäßig diss Systm in d Nomalfom dazustlln: &&& [( & && + && + ( + ( &&&& [(&& + && &&& [( & && + && + ( ( &&&& + + [(&& + && + µ & + (&& & & &&& &&& µ& ( & & && + && + µ & + (&& & & && + && & & &&& &&& µ& ( & ] + 6& ] & && + &&& ( & & && + &&& (&& + (&& + (&& + && && ( & && && && (&& + ] && ] (44 9

5 5 Ein numishs Bispil Wi bzihnn dn Abstand vom Zntum d Ed bis zum Pigäum mit π und bis zum Apogäum mit α Dann kann man di Exzntizität dn Fokaladius p und di Flähnkonstant nah dn Fomln α π p π ( + + α π pµ bhnn Wnn wi jtzt bi t 0 inn Wt ( t 0 annhmn dann haltn wi di andn Anfangswt fü di numish Intgation ds Systms (44 nah dn Fomln: p + os & p& sin & ( + os && & µ & && Fü di numish Intgation vwndn wi di Wt d Aufgab d Bwgung ds Satllitn auf d Hohmannshn Ellips von Rimott-Salusti (Rimott und Salusti 00: π 6600 km 7000 km µ km s α Bild zigt di Bwgung ds Sputniks wlhn wi jtzt ihtig kosmishn Appaat nnnn bhnt nah dn Glihungn (44 bi Fixiung sin Bshlunigung bi ( t 0 ( t π Wi shn dass sih d Sputnik auf Spialn vom Typ d Wadspial (Rimott und Clghon 00 bwgt wobi sih asymptotish in gadlinign Bwgung mit konstant Bshlunigung näht y x Bild Bwgung ins kosmishn Appaats mit konstant Bshlunigung 40

6 6 Zusammnfassung In d Abit ist in al gmisht Aufgab d Dynamik fomulit wlh igntlih in nu Rglungsaufgab ist In dis Aufgab ist di Rglung in Fom in zusätzlihn Diffntialglihung ditt Odnung ggbn Dis Glihung kann man als in al nihtholonom Bdingung ditt Odnung btahtn Di untsuht konkt Aufgab ntspiht d Bwgung ins Sputniks mit konstantm Btag d Bshlunigung Bi in solhn Aufgab kann man in glihmäßig Bwgung auf inm Kis od in gadlinig glihmäßig bshlunigt Bwgung watn Füh wa dis Aufgab faktish nah dm klassishn Gaußshn Pinzip glöst wodn (Jushkov und Zgzhda 00 wobi d Sputnik zwishn zwi konzntishn Kisn umlif In d voligndn Abit ist dislb Aufgab mit Hilf ds gnalisitn Gaußshn Pinzips glöst wobi in asymptotishs Stbn ds Sputniks zu in gadlinign glihmäßig bshlunigtn Bwgung haltn wud Litatu Jushkov MP Zgzhda SA: Nihtholonom Mhanik und in Klass von Rglungsaufgabn 5 Magdbug Mashinnbau-Tag Tagungsband Logos Vlag Blin ( Poljahov NN; Zgzhda SA; Jushkov MP: Di Vallgminung ds Gaußshn Pinzips auf dn Fall nihtholonom Systm höh Odnung Dokl Ak Nauk UdSSR 69 6 ( (uss Rimott FPJ; Salusti FA: A Not on Hohmann Tansf Vloity Kiks Thnish Mhanik ( Rimott FPJ; Clghon WL: Obit Tansf by Mans of a Wad Spial Thnish Mhanik 4 ( Tshuv MA: Zu Fag d analytishn Mthod d Mhanismussynths Nahihtn d Hohshuln Mashinnbau Vl MVTU NEBaumann 8 ( (uss Zgzhda SA; Jushkov MP: Di gmisht Aufgab d Dynamik Dokl Ak Nauk Ross Fd 76 5 ( (uss Zgzhda SA; Soltahanov ShH; Jushkov MP: Di Bwgungsglihungn nihtholonom Systm und di Vaiations-Pinzip d Mhanik Vlag d St Ptsbug Univsität (00 76 (uss Anshift: Pofsson MPJushkov und SAZgzhda Fakultat fu Mathmatik und Mhanik Staatsunivsitat St Ptsbug Univsittsky Pospkt 8 Stay Pthof RUS Sankt-Ptsbug; Pofsso SHSoltahanov Tshtshnja Staatsunivsitat; mpy@phonixmathspbuu 4

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